Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 8. Tổng và hiệu hai lập phương

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang26 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.13★Trang 26— Khai triển tích thành đa thức bằng hằng đẳng thức tổng và hiệu hai lập phương

Khai triển các biểu thức sau thành đa thức: a)

(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)

; b)

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tích đều gồm một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai có dạng

a^{2} \mp ab + b^{2}

, đó chính là dấu hiệu của hằng đẳng thức tổng hoặc hiệu hai lập phương chứ không phải một phép nhân đa thức tuỳ ý. Nhận ra đúng vai trò

a, b

trong từng ngoặc giúp viết thẳng kết quả mà không cần nhân phân phối từng hạng tử. Bẫy của bài là phân biệt dấu: ngoặc sau mang dấu

- ab

đi cùng ngoặc trước dấu

+

(tổng hai lập phương), còn ngoặc sau mang dấu

+ ab

đi cùng ngoặc trước dấu

-

(hiệu hai lập phương), dễ nhầm lẫn nếu không viết rõ

a, b

1Nhận diện

a

b

rồi áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức

Định hướng. Xác định $a$ là hạng tử bậc nhất và $b$ là hằng số trong nhân tử bậc nhất, kiểm tra nhân tử bậc hai có đúng dạng $a^{2} \mp ab + b^{2}$ rồi viết thẳng kết quả theo hằng đẳng thức tổng hoặc hiệu hai lập phương.

a = 2 x, b = 1

a^{2} - ab + b^{2} = 4 x^{2} - 2 x + 1

đúng như nhân tử thứ hai, ứng với tổng hai lập phương

(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) = (2 x)^{3} + 1^{3} = 8 x^{3} + 1

a = 2 x, b = 1

a^{2} + ab + b^{2} = 4 x^{2} + 2 x + 1

đúng như nhân tử thứ hai, ứng với hiệu hai lập phương

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = (2 x)^{3} - 1^{3} = 8 x^{3} - 1

Vậy a) $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) = 8 x^{3} + 1$ ; b) $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 8 x^{3} - 1$ .

2Nhân đa thức với đa thức theo tính chất phân phối

Định hướng. Nhân từng hạng tử của nhân tử bậc nhất với cả nhân tử bậc hai theo tính chất phân phối, chưa cần nhận ra hằng đẳng thức, rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng.

(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) = 2 x (4 x^{2} - 2 x + 1) + 1 (4 x^{2} - 2 x + 1)

= 8 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 x^{2} - 2 x + 1

= 8 x^{3} + 1

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 2 x (4 x^{2} + 2 x + 1) - 1 (4 x^{2} + 2 x + 1)

= 8 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 4 x^{2} - 2 x - 1

= 8 x^{3} - 1

Kết quả trùng Cách 1: a) $8 x^{3} + 1$ ; b) $8 x^{3} - 1$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả khai triển

Định hướng. Thay cùng một giá trị của $x$ vào cả biểu thức gốc và kết quả đã khai triển; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin, dùng làm bước soát bài cuối cùng.

a) Tại

x = 1

(2 + 1) (4 - 2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9

; và

8 \cdot 1^{3} + 1 = 9

, khớp.

b) Tại

x = 1

(2 - 1) (4 + 2 + 1) = 1 \cdot 7 = 7

; và

8 \cdot 1^{3} - 1 = 7

, khớp.

Cả hai kết quả đều khớp, xác nhận a) $8 x^{3} + 1$ và b) $8 x^{3} - 1$ đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay hằng đẳng thức nên chỉ hai dòng là ra kết quả, không phải nhân phân phối dài dòng như Cách 2. Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại khi còn thời gian.

Đáp số. a)

(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) = 8 x^{3} + 1

; b)

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 8 x^{3} - 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm dấu, viết

(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) = 8 x^{3} - 1

(lấy nhầm dấu của hiệu hai lập phương) trong khi ngoặc trước mang dấu

+

nên phải là tổng hai lập phương; kiểm tra bằng cách nhân phân phối như Cách 2 sẽ lộ ngay chỗ sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với hệ số bất kỳ:

(m x + n) (m^{2} x^{2} - mn x + n^{2}) = (m x)^{3} + n^{3}

, áp dụng được cho mọi cặp hệ số

m, n

chứ không riêng

m = 2, n = 1

như bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.14★★Trang 26— Điền biểu thức còn thiếu trong hằng đẳng thức tổng, hiệu hai lập phương

Thay dấu

?

bằng các biểu thức thích hợp. a)

x^{3} + 125 = (x + 5) (x^{2} - ? + 25)

; b)

8 x^{3} - 27 y^{3} = (? - 3 y) (? + 6 x y + 9 y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Lấy căn bậc ba của hạng tử lập phương để xác định $a$ , $b$ : $3125 = 5$ , $3 8 x^{3} = 2 x$ , $3 27 y^{3} = 3 y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều đã lộ sẵn

a^{3}

(hoặc

b^{3}

) và

b^{2}

(hoặc

a^{2}

) dưới dạng lập phương, bình phương của một biểu thức cụ thể, đó là dấu hiệu để lấy căn bậc ba của các hạng tử đã cho nhằm xác định đúng

a, b

trước khi điền dấu

?

. Câu a) chỉ thiếu một chỗ (hạng tử

ab

), còn câu b) thiếu hai chỗ cùng liên quan tới

a

nên phải xác định

a

trước rồi mới suy ra

a^{2}

. Bẫy là ở câu b) dễ nhầm điền

a

vào cả hai chỗ trống mà không để ý chỗ trống thứ hai phải là bình phương của

a

chứ không phải chính

a

1Nhận diện

a

b

qua căn bậc ba rồi điền trực tiếp

Định hướng. Lấy căn bậc ba của hạng tử lập phương ở vế trái và của hằng số/luỹ thừa còn lại trong ngoặc để xác định $a$ , $b$ , rồi điền đúng hạng tử $ab$ hoặc $a$ , $a^{2}$ vào chỗ trống theo đúng vị trí trong hằng đẳng thức.

x^{3} = x^{3}

và

25 = 5^{2}

nên

a = x, b = 5

; theo

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

thì chỗ trống là

ab = 5 x

Vậy

x^{3} + 125 = (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)

8 x^{3} = (2 x)^{3}

và

27 y^{3} = (3 y)^{3}

nên

a = 2 x, b = 3 y

; theo

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

thì hai chỗ trống lần lượt là

a = 2 x

và

a^{2} = 4 x^{2}

Vậy

8 x^{3} - 27 y^{3} = (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})

Vậy dấu $?$ ở câu a) là $5 x$ ; hai dấu $?$ ở câu b) lần lượt là $2 x$ và $4 x^{2}$ .

2Đồng nhất hệ số bằng cách nhân ngược có ẩn

Định hướng. Gọi hạng tử cần điền là một biểu thức chưa biết, nhân ngược nhân tử đã biết với ngoặc còn lại rồi đồng nhất hệ số hai vế để tìm đúng biểu thức đó.

a) Gọi chỗ trống là

k x

(x + 5) (x^{2} - k x + 25) = x^{3} + (5 - k) x^{2} + (25 - 5 k) x + 125

So với vế trái

x^{3} + 125

(hệ số

x^{2}

và

x

đều bằng

0

5 - k = 0 \Leftrightarrow k = 5

Kiểm tra hệ số

x

25 - 5 \cdot 5 = 0

, khớp; vậy chỗ trống là

5 x

b) Gọi chỗ trống thứ nhất là

m x

(bậc nhất) và chỗ trống thứ hai là

(m x)^{2}

(m x - 3 y) [(m x)^{2} + 6 x y + 9 y^{2}] = 8 x^{3} - 27 y^{3}

chỉ đúng khi

(m x)^{3} = 8 x^{3} \Leftrightarrow m^{3} = 8 \Leftrightarrow m = 2

Khi đó chỗ trống thứ nhất là

2 x

, chỗ trống thứ hai là

(2 x)^{2} = 4 x^{2}

Đồng nhất hệ số cho cùng kết quả với Cách 1: $5 x$ ; và $2 x$ , $4 x^{2}$ .

3Nhân ngược kết quả để kiểm tra lại với đề bài

Định hướng. Sau khi điền dấu $?$ , nhân ngược lại vế phải; nếu ra đúng vế trái thì việc điền chắc chắn đúng.

(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = x^{3} - 5 x^{2} + 25 x + 5 x^{2} - 25 x + 125 = x^{3} + 125

, khớp vế trái.

(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 18 x y^{2} - 12 x^{2} y - 18 x y^{2} - 27 y^{3} = 8 x^{3} - 27 y^{3}

, khớp vế trái.

Cả hai phép nhân ngược đều khớp đúng vế trái, xác nhận Cách 1 và Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lấy căn bậc ba nhận ra

a, b

ngay rồi điền thẳng, nhanh hơn hẳn Cách 2 phải đồng nhất hệ số. Cách 3 dùng để soát lại kết quả trước khi nộp bài.

Đáp số. a)

x^{3} + 125 = (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)

; b)

8 x^{3} - 27 y^{3} = (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn điền cả hai chỗ trống cùng là

2 x

(nhầm chỗ trống thứ hai cũng là

a

thay vì

a^{2}

), dẫn tới

(2 x - 3 y) (2 x + 6 x y + 9 y^{2})

không phải là một đa thức thuần nhất bậc hai và nhân ngược không ra

8 x^{3} - 27 y^{3}

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra ngược quy tắc: trong

a^{2} \mp ab + b^{2}

, hai hạng tử

a^{2}

và

b^{2}

luôn là bình phương của các căn bậc ba đã lấy, còn hạng tử ở giữa luôn là tích

ab

(không nhân đôi) — quy tắc này dùng được cho mọi bài điền khuyết dạng lập phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.15★★★Trang 26— Tính

a^{3} \pm b^{3}

khi biết

a \pm b

và

ab

bằng hằng đẳng thức

a) Cho

a + b = 4

và

ab = 3

. Tính

a^{3} + b^{3}

. b) Cho

a - b = 4

và

ab = 5

. Tính

a^{3} - b^{3}

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , suy ra $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .
Lập phương của một hiệu: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ , suy ra $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$ .
Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ ; hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.16★★★Trang 26— Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến bằng hằng đẳng thức tổng, hiệu hai lập phương

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

x

: a)

(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) - (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

; b)

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) - 8 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Biểu thức không phụ thuộc biến $x$ khi rút gọn xong chỉ còn lại một hằng số, không còn hạng tử chứa $x$ .