Bài 1 · 2.17★★Trang 28— Phân tích đa thức nhiều biến thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức đáng nhớ

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} - y^{2} + 8 x - 8 y

; b)

4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 4 x - 2 y

; c)

x^{3} + y^{3} + 4 x + 4 y

; d)

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{2} - y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Lập phương của một hiệu: $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
Kĩ thuật nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Đề có 4 biểu thức đều từ bốn hạng tử trở lên nên không thể đặt nhân tử chung ngay — dấu hiệu của dạng nhóm hạng tử. Ở câu a), b) hai hạng tử đầu cho hằng đẳng thức bậc hai (hiệu hai bình phương hoặc bình phương của một tổng), hai hạng tử sau cho đúng nhân tử vừa xuất hiện; ở câu c), d) bốn hạng tử đầu (hoặc ba hạng tử đầu) cho hằng đẳng thức bậc ba. Bẫy ở câu d) là phải nhận ra bốn hạng tử

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

đúng khai triển

(x - y)^{3}

trước khi nhóm tiếp với

x^{2} - y^{2}

, nhóm nhầm cặp sẽ không lộ nhân tử chung.

1Nhóm hai hạng tử một cặp rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Bốn hạng tử không có nhân tử chung ngay nên nhóm thành hai cặp: cặp đầu tạo hằng đẳng thức bậc hai hoặc bậc ba, cặp sau xuất hiện đúng nhân tử vừa tạo ra, rồi đặt nhân tử chung.

x^{2} - y^{2} + 8 x - 8 y = (x^{2} - y^{2}) + (8 x - 8 y) = (x - y) (x + y) + 8 (x - y) = (x - y) (x + y + 8)

4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 4 x - 2 y = (2 x + y)^{2} - 2 (2 x + y) = (2 x + y) (2 x + y - 2)

x^{3} + y^{3} + 4 x + 4 y = (x^{3} + y^{3}) + (4 x + 4 y) = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 4 (x + y) = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 4)

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{2} - y^{2} = (x - y)^{3} + (x^{2} - y^{2}) = (x - y)^{3} + (x - y) (x + y) = (x - y) [(x - y)^{2} + (x + y)]

Vậy a) $(x - y) (x + y + 8)$ ; b) $(2 x + y) (2 x + y - 2)$ ; c) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 4)$ ; d) $(x - y) [(x - y)^{2} + x + y]$ .

2Đặt ẩn phụ bằng biểu thức lặp lại rồi thu gọn theo một biến

Định hướng. Đặt ẩn phụ $s$ bằng đúng biểu thức (tổng hoặc hiệu hai biến) xuất hiện lặp lại, đưa cả đa thức về một biến $s$ , phân tích gọn rồi thay lại.

a) Đặt

s = x - y

x^{2} - y^{2} + 8 x - 8 y = s (x + y) + 8 s = s (x + y + 8) = (x - y) (x + y + 8)

b) Đặt

s = 2 x + y

4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 4 x - 2 y = s^{2} - 2 s = s (s - 2) = (2 x + y) (2 x + y - 2)

c) Đặt

s = x + y

x^{3} + y^{3} + 4 x + 4 y = s^{3} - 3 x y s + 4 s = s (s^{2} - 3 x y + 4) = (x + y) [(x + y)^{2} - 3 x y + 4] = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 4)

d) Đặt

s = x - y

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{2} - y^{2} = s^{3} + s (x + y) = s [s^{2} + (x + y)] = (x - y) [(x - y)^{2} + x + y]

Cả bốn kết quả trùng khớp Cách 1: a) $(x - y) (x + y + 8)$ ; b) $(2 x + y) (2 x + y - 2)$ ; c) $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 4)$ ; d) $(x - y) [(x - y)^{2} + x + y]$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay cùng một cặp giá trị $x, y$ vào đa thức gốc và vào kết quả đã phân tích; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin, dùng để soát lại bài.

a) Tại

x = 3, y = 1

: gốc

= 9 - 1 + 24 - 8 = 24

;

(3 - 1) (3 + 1 + 8) = 2 \cdot 12 = 24

, khớp.

b) Tại

x = 1, y = 1

: gốc

= 4 + 4 + 1 - 4 - 2 = 3

;

(2 + 1) (2 + 1 - 2) = 3 \cdot 1 = 3

, khớp.

c) Tại

x = 1, y = 1

: gốc

= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

;

(1 + 1) (1 - 1 + 1 + 4) = 2 \cdot 5 = 10

, khớp.

d) Tại

x = 2, y = 1

: gốc

= 8 - 12 + 6 - 1 + 4 - 1 = 4

;

(2 - 1) [(2 - 1)^{2} + 2 + 1] = 1 \cdot 4 = 4

, khớp.

Cả bốn phép thử đều khớp, xác nhận các kết quả phân tích ở Cách 1, Cách 2 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm hạng tử trực tiếp không cần đặt thêm ẩn phụ nên ít bước hơn Cách 2; Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại đáp số.

Đáp số. a)

x^{2} - y^{2} + 8 x - 8 y = (x - y) (x + y + 8)

; b)

4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 4 x - 2 y = (2 x + y) (2 x + y - 2)

; c)

x^{3} + y^{3} + 4 x + 4 y = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 4)

; d)

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x^{2} - y^{2} = (x - y) [(x - y)^{2} + x + y]

Sai lầm thường gặp. Ở câu d), nhiều bạn nhóm nhầm

x^{3} + x^{2}

với các hạng tử còn lại vì thấy

x^{3}, x^{2}

đứng gần nhau, không nhận ra bốn hạng tử đầu

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

đúng là khai triển

(x - y)^{3}

; phải nhóm đúng bốn hạng tử đó trước rồi mới cộng

x^{2} - y^{2}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật đặt ẩn phụ, đa thức

x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} + x - y

(bậc nhất thay vì bậc hai) cũng phân tích được thành

(x - y) [(x - y)^{2} + 1]

theo đúng cách làm này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.18★★Trang 28— Phân tích tam thức bậc hai một biến có nghiệm nguyên thành tích hai nhị thức bậc nhất

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} + 3 x + 2

; b)

x^{2} - 7 x + 6

Kiến thức cần nhớ

Với $x^{2} + b x + c$ , nếu tìm được $m, n$ thoả $m + n = b$ và $mn = c$ thì $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kĩ thuật hoàn thành bình phương của một nhị thức.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai đa thức đều là tam thức bậc hai với hệ số bậc cao nhất bằng

1

và có nghiệm nguyên — dấu hiệu tách được hạng tử bậc nhất theo một cặp số nguyên có tích bằng hệ số tự do và tổng bằng hệ số bậc nhất. Câu b) hệ số tự do dương nhưng hệ số bậc nhất âm nên cả hai số cần tìm đều âm, dễ nhầm dấu nếu chỉ thử theo tích mà quên xét dấu theo tổng.

1Tách hạng tử bậc nhất theo cặp số có tổng và tích phù hợp

Định hướng. Với $x^{2} + b x + c$ , tìm hai số $m, n$ sao cho $m + n = b$ và $mn = c$ , tách hạng tử bậc nhất $b x = m x + n x$ rồi nhóm để đặt nhân tử chung.

a) Tìm

m, n

m + n = 3

mn = 2

\Rightarrow m = 1, n = 2

x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + x + 2 x + 2 = x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

b) Tìm

m, n

m + n = - 7

mn = 6

\Rightarrow m = - 1, n = - 6

x^{2} - 7 x + 6 = x^{2} - x - 6 x + 6 = x (x - 1) - 6 (x - 1) = (x - 1) (x - 6)

Vậy a) $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ ; b) $x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6)$ .

2Hoàn thành bình phương rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Thêm bớt một số thích hợp để đưa tam thức về dạng bình phương của một nhị thức trừ đi một số chính phương, rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = (x + \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}

= (x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) (x + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = (x + 1) (x + 2)

x^{2} - 7 x + 6 = x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} - \frac{25}{4} = (x - \frac{7}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2}

= (x - \frac{7}{2} - \frac{5}{2}) (x - \frac{7}{2} + \frac{5}{2}) = (x - 6) (x - 1)

Kết quả trùng Cách 1: a) $(x + 1) (x + 2)$ ; b) $(x - 1) (x - 6)$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ vào đa thức gốc và vào tích hai nhị thức đã tìm được; hai bên trùng số thì kết quả đáng tin, dùng để soát lại bài.

a) Tại

x = 2

: gốc

= 4 + 6 + 2 = 12

;

(2 + 1) (2 + 2) = 3 \cdot 4 = 12

, khớp.

b) Tại

x = 3

: gốc

= 9 - 21 + 6 = - 6

;

(3 - 1) (3 - 6) = 2 \cdot (- 3) = - 6

, khớp.

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận kết quả phân tích ở Cách 1, Cách 2 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách hạng tử theo tổng và tích chỉ mất hai dòng, nhanh hơn Cách 2 phải làm việc với các phân số

\frac{3}{2}, \frac{7}{2}

; Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại đáp số.

Đáp số. a)

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)

; b)

x^{2} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 6)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn tìm cặp số có tích

6

nhưng lấy nhầm dấu dương (như

m = 1, n = 6

) vì quên hệ số bậc nhất

- 7

âm bắt buộc cả hai số cùng âm; phải xét dấu theo tổng

m + n = - 7

trước khi chốt cặp số

m = - 1, n = - 6

🚀 Mở rộng. Với tam thức tổng quát

x^{2} + b x + c

có nghiệm nguyên, luôn tìm được cặp

(m, n)

thoả

m + n = b, mn = c

để phân tích

(x + m) (x + n)

; khi

c

âm thì

m, n

trái dấu, khi

c

dương thì

m, n

cùng dấu theo dấu của

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử