Chương I. Đa thức

Bài tập cuối chương I

SBT (Sách bài tập) Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 17— Nhân hai đơn thức — nhân hệ số, cộng số mũ cùng biến

Khi thu gọn đơn thức

3 x y^{5} (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z)

, ta được đơn thức: A.

2 x^{2} y^{3} z

; B.

- 2 x^{4} y^{7} z

; C.

- 2 x^{3} y^{6} z

; D.

- \frac{2}{9} x^{4} y^{7} z

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các luỹ thừa của cùng một biến với nhau (cộng số mũ): $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ có một phép nhân hai đơn thức nên dấu hiệu nhận ra ngay là dạng nhân đơn thức cơ bản: nhân hệ số, cộng số mũ từng biến. Chọn hướng tính trực tiếp vì đơn thức chỉ có ba biến

x, y, z

, không cần biến đổi gì thêm trước khi nhân. Bẫy nằm ở việc cộng nhầm số mũ của

y

(là

5 + 2 = 7

chứ không phải

5 \cdot 2

hay

5 - 2

) và nhân sai dấu hệ số âm.

1Cách 1. Nhân hệ số rồi cộng số mũ từng biến

Nhân riêng phần hệ số, cộng số mũ của từng biến giống nhau ở hai đơn thức.

3 x y^{5} (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z) = (3 \cdot (- \frac{2}{3})) \cdot (x \cdot x^{3}) \cdot (y^{5} \cdot y^{2}) \cdot z

= - 2 x^{4} y^{7} z

Vậy $3 x y^{5} (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z) = - 2 x^{4} y^{7} z$ , đáp án B.

2Cách 2. Tách riêng dấu rồi nhân giá trị tuyệt đối

Xác định dấu của tích trước (âm vì có đúng một thừa số âm), rồi nhân các giá trị tuyệt đối của hệ số và cộng số mũ.

dấu của tích là dấu âm vì

3 > 0

và

- \frac{2}{3} < 0

∣3∣ \cdot - \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2

, số mũ:

x^{1 + 3} y^{5 + 2} z^{1} = x^{4} y^{7} z

Vậy tích bằng $- 2 x^{4} y^{7} z$ , khớp Cách 1, đáp án B.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để loại các phương án còn lại

Thay $x = y = z = 1$ vào đơn thức gốc và vào cả bốn phương án để loại nhanh.

tại

x = y = z = 1

3 \cdot 1 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 2

A cho

2

, B cho

- 2

, C cho

- 2

, D cho

- \frac{2}{9}

— chỉ B và C còn nghi vấn

thay tiếp

x = 2, y = 1, z = 1

: gốc

= 3 \cdot 2 \cdot 1^{5} \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot 2^{3} \cdot 1^{2} \cdot 1 = - 32

; B cho

- 2 \cdot 2^{4} = - 32

; C cho

- 2 \cdot 2^{3} = - 16

Chỉ B khớp ở cả hai lần thử, xác nhận đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một dòng nhân hệ số và cộng số mũ là ra ngay kết quả, không cần thử số.

Đáp số. Đáp án B,

3 x y^{5} (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z) = - 2 x^{4} y^{7} z

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng nhầm số mũ của

y

thành

5 \cdot 2 = 10

hoặc quên nhân dấu âm nên chọn nhầm đáp án A; số mũ đúng của

y

là

5 + 2 = 7

và hệ số đúng là

- 2

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu bài, nếu đổi thành

3 x y^{5} (- \frac{2}{3} x^{3} y^{2} z)^{2}

thì phải bình phương cả đơn thức trong ngoặc trước, cho kết quả khác hẳn.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 17— Nhận biết hai đơn thức đồng dạng

Trong các đơn thức

M = 2 x y z^{2}

N = - 0, 2 y^{2} z

P = - x z^{2}

Q = 3, 5 y z^{2}

, đơn thức đồng dạng với

y z^{2}

là: A.

M

; B.

N

; C.

P

; D.

Q

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác $0$ và có cùng phần biến (cùng những biến, mỗi biến có cùng số mũ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi đồng dạng chứ không hỏi bằng nhau, dấu hiệu là chỉ cần so phần biến, bỏ qua hệ số. Nên xét lần lượt từng đơn thức xem có đúng hai biến

y, z

với số mũ đúng bằng

1

và

2

hay không. Bẫy là đơn thức

N

tuy chỉ chứa

y, z

nhưng số mũ của

y

là

2

chứ không phải

1

, rất dễ nhận nhầm là đồng dạng.

1Cách 1. Đối chiếu phần biến từng đơn thức với mẫu

y z^{2}

Ghi lại phần biến của $y z^{2}$ là $y^{1} z^{2}$ , rồi so phần biến của từng đơn thức đã cho với đúng hai số mũ này.

M = 2 x y z^{2}

có thêm biến

x

nên phần biến không giống

y z^{2}

N = - 0, 2 y^{2} z

có

y

mũ

2

và

z

mũ

1

, ngược với

y z^{2}

nên không đồng dạng

P = - x z^{2}

có thêm biến

x

và thiếu biến

y

nên không đồng dạng

Q = 3, 5 y z^{2}

có đúng phần biến

y^{1} z^{2}

, đồng dạng với

y z^{2}

Vậy đơn thức đồng dạng với $y z^{2}$ là $Q$ , đáp án D.

2Cách 2. Loại theo từng dấu hiệu sai khác biệt

Loại nhanh các phương án chứa biến $x$ (M, P vì $y z^{2}$ không có $x$ ), rồi so số mũ của $y, z$ cho hai phương án còn lại N, Q.

loại

M

và

P

vì cả hai đều chứa thêm biến

x

mà

y z^{2}

không có

N

và

Q

với

y z^{2}

N

có số mũ của

y

là

2

(khác

1

), còn

Q

có số mũ của

y, z

đúng bằng

1, 2

Chỉ $Q$ còn lại thoả mãn, đáp án D.

3Cách 3. Thử giá trị bằng số để so tỉ số hệ số

Đồng dạng nghĩa là hai đơn thức chỉ khác nhau ở hệ số; thay cùng một bộ giá trị rồi chia thử tỉ số với $y z^{2}$ , nếu tỉ số không đổi khi đổi bộ số khác thì đồng dạng.

tại

x = 2, y = 3, z = 1

y z^{2} = 3

;

M = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 12

, tỉ số

4

;

Q = 3, 5 \cdot 3 \cdot 1 = 10, 5

, tỉ số

3, 5

tại

x = 1, y = 1, z = 2

y z^{2} = 4

;

M = 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4 = 8

, tỉ số

2

(đổi khác

4

nên

M

không đồng dạng);

Q = 3, 5 \cdot 1 \cdot 4 = 14

, tỉ số vẫn

3, 5

Chỉ tỉ số của $Q$ không đổi qua hai lần thử, xác nhận $Q$ đồng dạng với $y z^{2}$ , đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì so trực tiếp phần biến chỉ mất vài giây, không cần tính số.

Đáp số. Đáp án D,

Q = 3, 5 y z^{2}

đồng dạng với

y z^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

N

chỉ có hai biến

y, z

giống

y z^{2}

liền chọn ngay

N

mà quên kiểm số mũ;

N

có

y^{2} z

nên số mũ của

y

sai, không đồng dạng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành tìm đơn thức đồng dạng với

- 5 x^{2} y z^{2}

thì phải so đủ ba biến

x, y, z

cùng lúc, không chỉ hai biến như bài này.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 17— Thu gọn đa thức nhiều biến rồi xác định bậc

Bậc của đa thức

7 x^{5} + 5 x^{4} y^{3} - 2 x^{3} y^{3} - 5 x^{4} y^{3} + 2, 5 x^{3} y^{3} - 7 y^{5}

là: A.

4

; B.

5

; C.

6

; D.

7

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm bậc của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức (cộng các đơn thức đồng dạng), rồi bậc của đa thức là bậc cao nhất trong các hạng tử của dạng thu gọn (bậc của một hạng tử là tổng số mũ các biến trong hạng tử đó).

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức có hai cặp hạng tử đồng dạng (

5 x^{4} y^{3}

với

- 5 x^{4} y^{3}

, và

- 2 x^{3} y^{3}

với

2, 5 x^{3} y^{3}

), dấu hiệu bắt buộc phải thu gọn trước khi xét bậc chứ không được nhìn số mũ cao nhất ngay trên đề bài. Chọn hướng cộng gộp các hạng tử đồng dạng trước vì hạng tử bậc

7

(

x^{4} y^{3}

) triệt tiêu hoàn toàn, làm bậc thật sự của đa thức thấp hơn nhiều so với cái nhìn ban đầu. Bẫy chết người là tưởng hạng tử

x^{4} y^{3}

(bậc

7

) còn nguyên nên chọn đáp án D.

1Cách 1. Thu gọn các hạng tử đồng dạng rồi lấy bậc cao nhất

Gộp các hạng tử đồng dạng lại với nhau trước, sau đó xét bậc từng hạng tử của dạng đã thu gọn.

7 x^{5} + 5 x^{4} y^{3} - 2 x^{3} y^{3} - 5 x^{4} y^{3} + 2, 5 x^{3} y^{3} - 7 y^{5} = 7 x^{5} + (5 x^{4} y^{3} - 5 x^{4} y^{3}) + (- 2 x^{3} y^{3} + 2, 5 x^{3} y^{3}) - 7 y^{5}

= 7 x^{5} + 0, 5 x^{3} y^{3} - 7 y^{5}

bậc của

7 x^{5}

là

5

, bậc của

0, 5 x^{3} y^{3}

là

3 + 3 = 6

, bậc của

- 7 y^{5}

là

5

Bậc lớn nhất trong ba hạng tử là $6$ , vậy đa thức có bậc $6$ , đáp án C.

2Cách 2. Tính riêng bậc của từng nhóm hạng tử đồng dạng

Nhóm các hạng tử theo từng phần biến giống nhau, cộng hệ số trong mỗi nhóm, ghi ngay bậc của mỗi nhóm.

nhóm

x^{5}

: chỉ có

7 x^{5}

, bậc

5

nhóm

x^{4} y^{3}

5 - 5 = 0

nên nhóm này triệt tiêu hoàn toàn, không còn góp bậc

7

nữa

nhóm

x^{3} y^{3}

- 2 + 2, 5 = 0, 5

, còn lại

0, 5 x^{3} y^{3}

, bậc

6

nhóm

y^{5}

: chỉ có

- 7 y^{5}

, bậc

5

Bậc cao nhất còn lại sau khi triệt tiêu là $6$ (từ nhóm $x^{3} y^{3}$ ), đáp án C.

3Cách 3. Loại các phương án bằng lập luận về hạng tử triệt tiêu

Không cần thu gọn hết, chỉ cần chỉ ra hạng tử bậc $7$ đã biến mất và còn một hạng tử bậc $6$ , là đủ chọn đúng phương án.

hai hạng tử

5 x^{4} y^{3}

và

- 5 x^{4} y^{3}

là hai số đối nhau nên cộng lại bằng

0

, loại ngay bậc

7

(loại D)

hai hạng tử

- 2 x^{3} y^{3}

và

2, 5 x^{3} y^{3}

không đối nhau, cộng lại được

0, 5 x^{3} y^{3} \neq = 0

nên bậc

6

vẫn còn (loại A, B vì chúng nhỏ hơn

6

)

Chỉ còn phương án C phù hợp, đúng là bậc $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì thu gọn đầy đủ một lần rồi đọc bậc trực tiếp, chắc chắn không bỏ sót hạng tử nào.

Đáp số. Đáp án C, đa thức thu gọn là

7 x^{5} + 0, 5 x^{3} y^{3} - 7 y^{5}

, có bậc

6

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy ngay hạng tử

5 x^{4} y^{3}

có bậc

7

nên vội chọn đáp án D mà quên còn hạng tử đối

- 5 x^{4} y^{3}

triệt tiêu nó; phải thu gọn hết mới thấy bậc thật sự chỉ còn

6

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số

2, 5 x^{3} y^{3}

thành

2 x^{3} y^{3}

thì hạng tử này cũng triệt tiêu theo

- 2 x^{3} y^{3}

, khi đó bậc của đa thức thu gọn chỉ còn

5

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 17— Cộng hai đơn thức đồng dạng có hệ số chứa căn

Khi cộng

(1 + 5) x^{2} y^{3}

và

(1 - 5) x^{2} y^{3}

ta được đơn thức: A.

x^{2} y^{3}

; B.

2 x^{2} y^{3}

; C.

25 x^{2} y^{3}

; D.

- 5 x^{2} y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đơn thức có cùng phần biến

x^{2} y^{3}

nên đây là dạng cộng đơn thức đồng dạng, chỉ cần cộng hệ số. Chọn hướng cộng trực tiếp hai hệ số

(1 + 5)

và

(1 - 5)

vì đây là hai biểu thức đối nhau qua dấu căn, phần chứa \sqrt5 sẽ triệt tiêu ngay khi cộng. Bẫy là nhiều người thấy có

5

liền nghĩ kết quả cũng phải chứa căn.

1Cách 1. Cộng trực tiếp hai hệ số đối nhau qua dấu căn

Cộng phần hệ số của hai đơn thức đồng dạng, giữ nguyên phần biến $x^{2} y^{3}$ .

(1 + 5) x^{2} y^{3} + (1 - 5) x^{2} y^{3} = [(1 + 5) + (1 - 5)] x^{2} y^{3}

= (1 + 5 + 1 - 5) x^{2} y^{3}

= 2 x^{2} y^{3}

Vậy tổng bằng $2 x^{2} y^{3}$ , đáp án B.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho hai hệ số rồi cộng

Đặt $a = 1 + 5$ , $b = 1 - 5$ , nhận ra $a + b$ chỉ còn phần nguyên vì phần căn đối nhau.

a + b = (1 + 5) + (1 - 5) = 1 + 1 + (5 - 5) = 2 + 0 = 2

tổng cần tính là

(a + b) x^{2} y^{3} = 2 x^{2} y^{3}

Đặt ẩn phụ cũng cho tổng bằng $2 x^{2} y^{3}$ , khớp Cách 1, đáp án B.

3Cách 3. Thử giá trị gần đúng của

5

để kiểm chứng bằng số

Thay giá trị gần đúng $5 \approx 2, 236$ vào hai hệ số rồi cộng, so với hệ số của các phương án.

1 + 5 \approx 3, 236

và

1 - 5 \approx - 1, 236

3, 236 + (- 1, 236) = 2

Hệ số cộng ra xấp xỉ $2$ , khớp đúng hệ số của đáp án B, xác nhận không lệch vì làm tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì thấy ngay

5

và

- 5

triệt tiêu trong một dòng, không cần đặt ẩn phụ.

Đáp số. Đáp án B,

(1 + 5) x^{2} y^{3} + (1 - 5) x^{2} y^{3} = 2 x^{2} y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng nhầm

5 + 5 = 25

do không để ý dấu trừ ở số hạng thứ hai, chọn nhầm đáp án C; thực ra dấu của

5

ở hai hệ số ngược nhau nên chúng triệt tiêu, chỉ còn

1 + 1 = 2

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành trừ hai đơn thức đó,

(1 + 5) x^{2} y^{3} - (1 - 5) x^{2} y^{3}

, phần nguyên sẽ triệt tiêu và kết quả còn lại là

25 x^{2} y^{3}

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★Trang 17— Nhận biết kết quả cộng hai đơn thức không đồng dạng

Kết quả phép cộng

2 x y^{2} z

và

- 0, 2 x^{2} y z

là: A. Một đơn thức; B. Không xác định; C. Một đa thức; D. Một số.

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng mới cộng gộp lại thành một đơn thức; nếu không đồng dạng thì tổng của chúng là một đa thức có hai hạng tử (không rút gọn được thêm).

🧠 Phân tích tư duy

Đề không yêu cầu tính giá trị mà hỏi bản chất của kết quả, dấu hiệu là phải kiểm tra hai đơn thức có đồng dạng hay không trước khi kết luận. Chọn hướng so phần biến của

x y^{2}

và

x^{2} y

vì số mũ của

x

và

y

đã đảo ngược nhau, chắc chắn không đồng dạng. Bẫy là nhiều bạn thấy cùng ba biến

x, y, z

liền nghĩ cộng được thành một đơn thức.

1Cách 1. So phần biến để xác định có đồng dạng hay không

Đơn thức chỉ cộng gộp được thành một đơn thức khi đồng dạng, tức cùng phần biến; so trực tiếp số mũ của $x, y$ ở hai đơn thức.

2 x y^{2} z

có

x

mũ

1

y

mũ

2

; còn

- 0, 2 x^{2} y z

có

x

mũ

2

y

mũ

1

số mũ của

x

và của

y

đều khác nhau nên hai đơn thức không đồng dạng

Vì không đồng dạng nên không gộp được, tổng $2 x y^{2} z - 0, 2 x^{2} y z$ là một đa thức hai hạng tử, đáp án C.

2Cách 2. Viết tổng ra rồi quan sát trực tiếp dạng thu được

Viết thẳng biểu thức tổng ra rồi nhìn xem có rút gọn thêm được nữa hay không.

2 x y^{2} z + (- 0, 2 x^{2} y z) = 2 x y^{2} z - 0, 2 x^{2} y z

hai hạng tử

2 x y^{2} z

và

- 0, 2 x^{2} y z

không đồng dạng nên không thể cộng gộp thêm

Biểu thức thu được có đúng hai hạng tử không đồng dạng, đúng định nghĩa một đa thức, đáp án C.

3Cách 3. Loại trừ từng phương án còn lại

Xét vì sao ba phương án A, B, D đều sai để khẳng định chắc chắn C là đúng.

A sai vì đơn thức chỉ có một hạng tử, trong khi tổng còn hai hạng tử không đồng dạng

D sai vì tổng vẫn còn chứa các biến

x, y, z

, không phải một số cụ thể

B sai vì phép cộng hai đơn thức luôn thực hiện được, kết quả xác định rõ ràng

Loại hết A, B, D thì còn lại đúng phương án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần so số mũ hai biến là kết luận được ngay, không cần viết cả biểu thức dài.

Đáp số. Đáp án C,

2 x y^{2} z - 0, 2 x^{2} y z

là một đa thức (hai hạng tử không đồng dạng).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy cả hai đơn thức đều có đủ ba biến

x, y, z

nên tưởng cộng được thành một đơn thức và chọn đáp án A; thực ra phải so đúng số mũ của từng biến, ở đây số mũ của

x

và

y

đã đảo ngược nên không đồng dạng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn thức thứ hai thành

- 0, 2 x y^{2} z

(cùng phần biến với đơn thức đầu) thì hai đơn thức lại đồng dạng, tổng của chúng gộp được thành một đơn thức duy nhất

1, 8 x y^{2} z

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu 6★★Trang 17— Xét bậc của tổng hai đa thức cùng bậc (có thể xảy ra triệt tiêu)

Cho hai đa thức

A, B

cùng bậc

4

C

là tổng của

A

và

B

. Khi đó: A.

C

bậc

4

; B.

C

bậc lớn hơn

4

; C.

C

bậc nhỏ hơn

4

; D.

C

bậc không lớn hơn

4

Kiến thức cần nhớ

Bậc của tổng hai đa thức không vượt quá bậc lớn nhất trong hai đa thức đó; nếu các hạng tử bậc cao nhất của hai đa thức triệt tiêu nhau thì bậc của tổng có thể giảm xuống thấp hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho đa thức cụ thể mà hỏi tính chất chung, dấu hiệu của dạng lý luận tổng quát chứ không phải tính toán. Nên xét cả hai khả năng: hạng tử bậc

4

của

A

và

B

không triệt tiêu (tổng vẫn bậc

4

) và trường hợp chúng triệt tiêu nhau (tổng tụt xuống bậc thấp hơn). Bẫy là nhiều bạn chỉ nghĩ đến trường hợp thường gặp rồi vội chọn bậc luôn bằng

4

1Cách 1. Xét ví dụ minh hoạ cả hai trường hợp có thể xảy ra

Lấy hai ví dụ cụ thể: một ví dụ hạng tử bậc cao nhất không triệt tiêu, một ví dụ có triệt tiêu, để xem bậc của tổng thay đổi ra sao.

ví dụ 1:

A = x^{4} + x

B = x^{4} - 1

đều bậc

4

;

C = A + B = 2 x^{4} + x - 1

vẫn bậc

4

ví dụ 2:

A = x^{4} + x

B = - x^{4} - 1

đều bậc

4

;

C = A + B = x - 1

chỉ còn bậc

1

Bậc của $C$ có lúc bằng $4$ , có lúc nhỏ hơn $4$ , nhưng không bao giờ vượt quá $4$ ; vậy khẳng định đúng là C bậc không lớn hơn $4$ , đáp án D.

2Cách 2. Lập luận tổng quát bằng hạng tử bậc cao nhất

Gọi hạng tử bậc $4$ của $A$ là $a x^{4}$ và của $B$ là $b x^{4}$ (viết gọn theo một biến để dễ hình dung), xét tổng $a x^{4} + b x^{4} = (a + b) x^{4}$ .

nếu

a + b \neq = 0

thì hạng tử bậc

4

của

C

vẫn còn,

C

bậc

4

nếu

a + b = 0

thì hạng tử bậc

4

triệt tiêu, bậc của

C

tụt xuống bậc của hạng tử cao nhất còn lại, chắc chắn nhỏ hơn

4

Cả hai khả năng đều cho bậc của $C$ không vượt quá $4$ , đáp án D.

3Cách 3. Loại các phương án còn lại bằng phản ví dụ

Chỉ ra phản ví dụ để bác bỏ từng phương án sai, còn lại đúng một phương án.

phản ví dụ ở Cách 1 cho

C

bậc

1 < 4

nên loại A (không phải luôn bậc

4

)

tổng hai đa thức bậc

4

không thể sinh ra hạng tử bậc lớn hơn

4

vì mỗi hạng tử của

C

đều là hạng tử của

A

hoặc

B

, nên loại B

ví dụ 1 ở Cách 1 cho

C

vẫn bậc

4

, không phải luôn nhỏ hơn

4

, nên loại C

Chỉ còn D đúng trong mọi trường hợp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần một phản ví dụ triệt tiêu là đủ loại ngay phương án A, nhanh hơn lập luận tổng quát.

Đáp số. Đáp án D, bậc của

C = A + B

không lớn hơn

4

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn mặc định tổng hai đa thức cùng bậc

4

thì luôn có bậc

4

và chọn đáp án A; thực tế khi hai hạng tử bậc cao nhất đối nhau, chúng triệt tiêu và bậc của tổng giảm xuống, như ví dụ

x^{4} + x

cộng

- x^{4} - 1

chỉ còn bậc

1

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận này áp dụng cho tích: nếu

A, B

cùng bậc

4

thì

A \cdot B

luôn đúng bậc

8

(không thể giảm) vì hạng tử bậc cao nhất của tích là tích hai hạng tử bậc cao nhất, hai hệ số khác

0

nhân nhau không bao giờ triệt tiêu.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Câu 7★★Trang 17— Xác định bậc của tích hai đa thức theo bậc của từng thừa số

Tích của một đa thức bậc

3

với một đa thức bậc

2

là một đa thức: A. bậc

5

; B. bậc

6

; C. bậc nhỏ hơn

5

; D. bậc lớn hơn

6

Kiến thức cần nhớ

Bậc của tích hai đa thức (khác đa thức không) bằng tổng bậc của hai đa thức đó, vì hạng tử bậc cao nhất của tích là tích của hai hạng tử bậc cao nhất, không thể triệt tiêu (tích hai hệ số khác $0$ luôn khác $0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hỏi về tích chứ không phải tổng, dấu hiệu khác hẳn dạng cộng đa thức ở câu trước: bậc của tích cộng dồn chứ không thể triệt tiêu như bậc của tổng. Chọn hướng cộng trực tiếp hai bậc

3 + 2 = 5

vì hệ số tích hai số khác

0

luôn khác

0

nên không bao giờ triệt tiêu. Bẫy là nhầm quy tắc của phép cộng (có thể giảm bậc) sang cho phép nhân (bậc luôn cộng đúng, không giảm).

1Cách 1. Cộng trực tiếp bậc của hai đa thức thành phần

Bậc của tích hai đa thức bằng tổng bậc của chúng, vì hệ số của hạng tử bậc cao nhất trong tích là tích hai hệ số khác $0$ , không thể bằng $0$ .

bậc của tích

= 3 + 2 = 5

Vậy tích của đa thức bậc $3$ với đa thức bậc $2$ luôn là đa thức bậc $5$ , đáp án A.

2Cách 2. Kiểm chứng bằng ví dụ đa thức một biến cụ thể

Lấy một đa thức bậc $3$ và một đa thức bậc $2$ cụ thể, nhân ra rồi đọc bậc của tích.

A = x^{3} + 1

(bậc

3

B = x^{2} + x

(bậc

2

)

A \cdot B = (x^{3} + 1) (x^{2} + x) = x^{5} + x^{4} + x^{2} + x

Tích thu được có hạng tử cao nhất $x^{5}$ , đúng bậc $5$ , khớp Cách 1, đáp án A.

3Cách 3. Lập luận bằng phản chứng để loại các phương án còn lại

Giả sử bậc của tích khác $5$ rồi chỉ ra mâu thuẫn, qua đó loại các phương án sai.

nếu bậc của tích nhỏ hơn

5

(phương án C) thì hạng tử bậc

5

(tích của hai hạng tử bậc cao nhất) phải triệt tiêu, nhưng tích hai hệ số khác

0

không bao giờ bằng

0

, mâu thuẫn nên loại C

bậc

6

(phương án B) hay lớn hơn

6

(phương án D) đòi hỏi có hạng tử với tổng số mũ vượt quá

3 + 2 = 5

, mà mọi hạng tử của tích đều là tích một hạng tử của

A

(số mũ không quá

3

) với một hạng tử của

B

(số mũ không quá

2

), tổng số mũ không thể vượt quá

5

, nên loại B và D

Chỉ còn bậc $5$ thoả mãn, đáp án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cộng thẳng hai bậc là ra ngay đáp số, không cần nhân đa thức cụ thể.

Đáp số. Đáp án A, tích của đa thức bậc

3

với đa thức bậc

2

là đa thức bậc

5

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm quy tắc của phép cộng đa thức (bậc có thể giảm do triệt tiêu) sang áp dụng cho phép nhân, tưởng bậc của tích cũng \"không lớn hơn\" nên chọn đáp án C; thực ra với phép nhân, bậc luôn cộng đúng vì hạng tử bậc cao nhất của tích không bao giờ triệt tiêu.

🚀 Mở rộng. Quy tắc cộng bậc khi nhân áp dụng được cho nhiều thừa số: tích của ba đa thức bậc

2

, bậc

3

, bậc

1

luôn là đa thức bậc

2 + 3 + 1 = 6

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu 8★★★Trang 17— Nhân đa thức, nhận ra dạng lập phương ẩn dưới nhân tử chung

Thu gọn tích

A = (x^{2} y + x y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2})

và

B = (x - y) (x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3})

, ta được: A.

A = x^{4} y - x y^{4}

B = x^{4} y + x y^{4}

; B.

A = x^{4} y + x y^{4}

B = x^{4} y - x y^{4}

; C.

A = x y^{4} - x^{4} y

B = x^{4} y + x y^{4}

; D.

A = x^{4} y + x y^{4}

B = x y^{4} - x^{4} y

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung trước khi nhân giúp lộ ra hằng đẳng thức $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , tính nhanh hơn nhân trực tiếp từng hạng tử.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai đa thức

A, B

đều có một nhân tử chung ẩn bên trong (A có

x y

chung ở thừa số thứ nhất, B có

x y

chung ở thừa số thứ hai), dấu hiệu của dạng cần đặt nhân tử chung trước khi nhân trực tiếp toàn bộ. Chọn hướng đặt nhân tử chung vì sau khi đặt, phần còn lại đúng dạng hằng đẳng thức tổng hoặc hiệu hai lập phương, tính rất gọn. Bẫy nằm ở việc nhầm dấu giữa hai hằng đẳng thức lập phương khi thay

a = x, b = y

1Cách 1. Đặt nhân tử chung để lộ hằng đẳng thức lập phương

Đặt nhân tử chung $x y$ ra ngoài thừa số thứ nhất của A và thừa số thứ hai của B, đưa về đúng dạng $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ hoặc $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

A = (x^{2} y + x y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2}) = x y (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

= x y (x^{3} + y^{3}) = x^{4} y + x y^{4}

B = (x - y) (x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}) = (x - y) \cdot x y (x^{2} + x y + y^{2})

= x y (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = x y (x^{3} - y^{3}) = x^{4} y - x y^{4}

Vậy $A = x^{4} y + x y^{4}$ và $B = x^{4} y - x y^{4}$ , đáp án B.

2Cách 2. Nhân trực tiếp từng hạng tử rồi rút gọn

Nhân trực tiếp hai đa thức theo từng hạng tử, không đặt nhân tử chung, để đối chiếu lại kết quả.

A = x^{2} y \cdot x^{2} - x^{2} y \cdot x y + x^{2} y \cdot y^{2} + x y^{2} \cdot x^{2} - x y^{2} \cdot x y + x y^{2} \cdot y^{2}

= x^{4} y - x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3} + x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + x y^{4}

= x^{4} y + (- x^{3} y^{2} + x^{3} y^{2}) + (x^{2} y^{3} - x^{2} y^{3}) + x y^{4} = x^{4} y + x y^{4}

tương tự,

B = x^{4} y + x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3} - x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} - x y^{4} = x^{4} y - x y^{4}

Nhân trực tiếp cũng cho $A = x^{4} y + x y^{4}$ , $B = x^{4} y - x y^{4}$ , khớp Cách 1, đáp án B.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng

Thay $x = 2, y = 1$ vào cả biểu thức gốc và kết quả rút gọn để kiểm tra.

A

tại

x = 2, y = 1

(4 \cdot 1 + 2 \cdot 1) (4 - 2 + 1) = 6 \cdot 3 = 18

; kết quả rút gọn

x^{4} y + x y^{4} = 16 + 2 = 18

B

tại

x = 2, y = 1

(2 - 1) (8 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1) = 1 \cdot 14 = 14

; kết quả rút gọn

x^{4} y - x y^{4} = 16 - 2 = 14

Cả hai giá trị đều khớp, xác nhận $A = x^{4} y + x y^{4}$ và $B = x^{4} y - x y^{4}$ , đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhận ra hằng đẳng thức lập phương giúp tính chỉ trong hai dòng, tránh nhân sáu hạng tử dễ sai dấu như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B,

A = x^{4} y + x y^{4}

và

B = x^{4} y - x y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm dấu của hằng đẳng thức, viết

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} + x y + y^{2})

(sai dấu hạng tử giữa) nên tính ra kết quả lệch dấu; đúng phải là

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu bài, nếu đổi thừa số thứ hai của A thành

x^{2} + x y + y^{2}

(không phải

x^{2} - x y + y^{2}

) thì không còn đúng hằng đẳng thức lập phương nữa, phải nhân trực tiếp từng hạng tử như Cách 2.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Câu 9★Trang 17— Chia đơn thức cho đơn thức, trừ số mũ từng biến

Chia đơn thức

2, 5 x^{3} y^{4} z^{2}

cho

- 5 x^{2} y^{4} z

, kết quả là: A.

- 0, 5 x z^{2}

; B.

0, 5 x z

; C.

- 0, 5 x^{2} z

; D.

- 0, 5 x z

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (A chia hết cho B), ta chia hệ số của A cho hệ số của B, chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến trong B rồi nhân các kết quả với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phép chia hai đơn thức có đủ ba biến

x, y, z

với số mũ khác nhau, dấu hiệu của dạng chia đơn thức cơ bản. Chọn hướng chia riêng hệ số rồi trừ số mũ từng biến vì đơn thức bị chia chia hết cho đơn thức chia (số mũ của mỗi biến ở trên đều không nhỏ hơn ở dưới). Bẫy là số mũ của

y

bằng nhau ở cả hai đơn thức nên biến

y

biến mất hoàn toàn khỏi kết quả, dễ bị bỏ sót khi ghi đáp số.

1Cách 1. Chia riêng hệ số rồi trừ số mũ từng biến

Chia hệ số cho hệ số, trừ số mũ của từng biến cùng tên ở đơn thức bị chia và đơn thức chia.

2, 5 x^{3} y^{4} z^{2} : (- 5 x^{2} y^{4} z) = (2, 5 : (- 5)) \cdot (x^{3} : x^{2}) \cdot (y^{4} : y^{4}) \cdot (z^{2} : z)

= - 0, 5 \cdot x \cdot 1 \cdot z = - 0, 5 x z

Vậy $2, 5 x^{3} y^{4} z^{2} : (- 5 x^{2} y^{4} z) = - 0, 5 x z$ , đáp án D.

2Cách 2. Rút gọn dưới dạng phân số trước khi tách biến

Viết phép chia thành một phân số rồi rút gọn từng biến như rút gọn phân thức thông thường.

\frac{2 , 5 x ^{3} y ^{4} z ^{2}}{- 5 x ^{2} y ^{4} z} = \frac{2 , 5}{- 5} \cdot \frac{x ^{3}}{x ^{2}} \cdot \frac{y ^{4}}{y ^{4}} \cdot \frac{z ^{2}}{z}

= - 0, 5 \cdot x \cdot 1 \cdot z = - 0, 5 x z

Rút gọn theo phân thức cũng cho $- 0, 5 x z$ , khớp Cách 1, đáp án D.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng phép nhân ngược thương với số chia

Nhân kết quả tìm được với đơn thức chia, xem có trả lại đúng đơn thức bị chia ban đầu hay không.

(- 0, 5 x z) \cdot (- 5 x^{2} y^{4} z) = (- 0, 5) \cdot (- 5) \cdot x^{1 + 2} \cdot y^{4} \cdot z^{1 + 1}

= 2, 5 x^{3} y^{4} z^{2}

, đúng bằng đơn thức bị chia ban đầu

Nhân ngược khớp đề bài, xác nhận thương đúng là $- 0, 5 x z$ , đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chia thẳng hệ số và trừ số mũ từng biến chỉ mất một dòng, không cần viết phân số trung gian.

Đáp số. Đáp án D,

2, 5 x^{3} y^{4} z^{2} : (- 5 x^{2} y^{4} z) = - 0, 5 x z

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên biến

y

có cùng số mũ ở cả hai đơn thức nên viết sai kết quả cuối; thực ra

y^{4} : y^{4} = 1

nên

y

biến mất hoàn toàn khỏi thương.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số mũ của

y

ở đơn thức bị chia thành

y^{5}

(khác với

y^{4}

ở đơn thức chia) thì biến

y

sẽ còn lại trong thương với số mũ

5 - 4 = 1

, kết quả trở thành

- 0, 5 x y z

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Câu 10★★Trang 18— Chia đa thức ba hạng tử cho đơn thức

Kết quả phép chia

5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2}

cho

- 5 x^{2} y^{2}

là: A.

- x y + 2 y - 3

; B.

- x + 2 y - 3 x y

; C.

- x + 2 y - 3

; D.

- x + 2 x y - 3

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đa thức ba hạng tử chia cho một đơn thức, dấu hiệu của quy tắc chia đa thức cho đơn thức: chia riêng từng hạng tử rồi cộng lại. Chọn hướng chia lần lượt vì mọi hạng tử của đa thức bị chia đều chứa nhân tử

x^{2} y^{2}

hoặc bội của nó nên chia hết từng phần. Bẫy là hạng tử thứ ba

15 x^{2} y^{2}

có cùng phần biến

x^{2} y^{2}

với đơn thức chia nên phần biến biến mất hoàn toàn, chỉ còn lại hệ số, rất dễ bị viết nhầm thành còn biến.

1Cách 1. Chia trực tiếp từng hạng tử theo quy tắc

Chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia rồi cộng các kết quả lại theo đúng dấu.

(5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2}) : (- 5 x^{2} y^{2}) = 5 x^{3} y^{2} : (- 5 x^{2} y^{2}) - 10 x^{2} y^{3} : (- 5 x^{2} y^{2}) + 15 x^{2} y^{2} : (- 5 x^{2} y^{2})

= - x + 2 y + (- 3)

= - x + 2 y - 3

Vậy $(5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2}) : (- 5 x^{2} y^{2}) = - x + 2 y - 3$ , đáp án C.

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

5 x^{2} y^{2}

rồi chia nguyên khối

Đặt nhân tử chung $5 x^{2} y^{2}$ ra ngoài đa thức bị chia trước, đưa phép chia về một bước duy nhất.

5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} = 5 x^{2} y^{2} (x - 2 y + 3)

5 x^{2} y^{2} (x - 2 y + 3) : (- 5 x^{2} y^{2}) = - (x - 2 y + 3)

= - x + 2 y - 3

Đặt nhân tử chung trước khi chia cũng cho $- x + 2 y - 3$ , khớp Cách 1, đáp án C.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng phép nhân ngược thương với số chia

Nhân kết quả chia được với đơn thức chia ban đầu, xem có trả lại đúng đa thức bị chia hay không.

(- x + 2 y - 3) \cdot (- 5 x^{2} y^{2}) = (- x) (- 5 x^{2} y^{2}) + 2 y \cdot (- 5 x^{2} y^{2}) + (- 3) \cdot (- 5 x^{2} y^{2})

= 5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2}

, đúng bằng đa thức bị chia ban đầu

Nhân ngược khớp đề, xác nhận thương đúng là $- x + 2 y - 3$ , đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đặt nhân tử chung rồi chia nguyên khối chỉ còn một bước, nhanh hơn chia từng hạng tử của Cách 1.

Đáp số. Đáp án C,

(5 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2}) : (- 5 x^{2} y^{2}) = - x + 2 y - 3

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chia hạng tử thứ ba

15 x^{2} y^{2} : (- 5 x^{2} y^{2})

còn sót biến, viết thành

- 3 x y

hoặc

- 3 x

thay vì đúng phải triệt tiêu hết biến chỉ còn số

- 3

(vì phần biến giống hệt đơn thức chia).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn thức chia thành

5 x^{2} y^{2}

(bỏ dấu trừ) thì mọi hạng tử của thương đổi dấu so với hiện tại, cho kết quả

x - 2 y + 3

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.27★★Trang 18— Toán thực tế — diện tích toàn phần lăng trụ đứng đáy tam giác vuông

Một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là

3 x

và

4 x

, cạnh huyền có độ dài

5 x

; chiều cao của lăng trụ là

y

. Viết đa thức biểu thị diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó và xác định bậc của đa thức này.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích đáy cộng diện tích xung quanh; diện tích xung quanh bằng chu vi đáy nhân chiều cao.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ ba cạnh của tam giác đáy và chiều cao lăng trụ, dấu hiệu của dạng tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng bằng công thức quen thuộc. Nên tính riêng diện tích đáy và diện tích xung quanh trước khi cộng lại, vì tam giác đáy đã cho sẵn hai cạnh góc vuông nên tính diện tích đáy rất trực tiếp. Bẫy là dễ quên nhân đôi diện tích đáy (vì lăng trụ có hai đáy) hoặc quên cộng đủ ba cạnh khi tính chu vi đáy.

1Cách 1. Tính riêng diện tích hai đáy và diện tích xung quanh rồi cộng lại

Diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích đáy cộng diện tích xung quanh (chu vi đáy nhân chiều cao).

diện tích một đáy:

S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 3 x \cdot 4 x = 6 x^{2}

chu vi đáy:

3 x + 4 x + 5 x = 12 x

, diện tích xung quanh:

S_{2} = 12 x \cdot y = 12 x y

diện tích toàn phần:

S_{tp} = 2 \cdot 6 x^{2} + 12 x y

S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y

Vậy đa thức diện tích toàn phần là $S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y$ , có bậc $2$ (mỗi hạng tử $12 x^{2}$ và $12 x y$ đều có bậc $2$ ).

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

12

trước khi cộng hai phần diện tích

Nhận ra cả diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều có nhân tử chung $12$ sau khi rút gọn, đặt ra ngoài cho gọn.

hai lần diện tích đáy:

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 x \cdot 4 x = 12 x^{2}

diện tích xung quanh:

(3 x + 4 x + 5 x) y = 12 x y

S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y = 12 x (x + y)

Đặt nhân tử chung cũng cho $S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y$ (viết gọn $12 x (x + y)$ ), khớp Cách 1, bậc của đa thức vẫn là $2$ .

3Cách 3. Thử một bộ giá trị cụ thể để kiểm chứng công thức

Thay $x = 1, y = 2$ vào cả cách tính hình học trực tiếp và vào đa thức đã lập để đối chiếu.

với

x = 1

: đáy là tam giác vuông cạnh

3, 4, 5

, diện tích đáy

= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6

; chu vi đáy

= 12

; với

y = 2

S_{tp} = 2 \cdot 6 + 12 \cdot 2 = 12 + 24 = 36

thay

x = 1, y = 2

vào đa thức

12 x^{2} + 12 x y

12 \cdot 1 + 12 \cdot 1 \cdot 2 = 12 + 24 = 36

Hai cách tính cho cùng kết quả $36$ , xác nhận đa thức $S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y$ lập đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì tính tuần tự diện tích đáy rồi diện tích xung quanh rồi cộng lại là quy trình chuẩn, không sợ nhầm bước nào.

Đáp số.

S_{tp} = 12 x^{2} + 12 x y

, đa thức bậc

2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên nhân đôi diện tích đáy (vì lăng trụ có hai mặt đáy bằng nhau), viết nhầm

S_{tp} = 6 x^{2} + 12 x y

; công thức đúng phải nhân đôi diện tích một đáy, cho

12 x^{2} + 12 x y

🚀 Mở rộng. Nếu đáy vẫn là tam giác vuông cạnh

3 x, 4 x, 5 x

nhưng lăng trụ có chiều dài là

2 y

thay vì

y

, diện tích xung quanh sẽ nhân đôi thành

24 x y

, còn diện tích hai đáy không đổi.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.28★★Trang 18— Thu gọn đa thức nhiều biến, xác định bậc của đa thức và của tổng/hiệu hai đa thức

Cho hai đa thức

P = 4 x^{3} y z^{2} - 3 x^{2} y - 2 x^{3} y z^{2} + x^{2} y - 2 x y + y + 5

và

Q = - x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + 3 + 3 x^{3} y z^{2} + x y - y + 2

. a) Thu gọn và xác định bậc của mỗi đa thức

P

và

Q

. b) Xác định bậc của các đa thức

P + Q

và

P - Q

Kiến thức cần nhớ

Muốn thu gọn đa thức, cộng các đơn thức đồng dạng lại với nhau; bậc của đa thức là bậc lớn nhất trong các hạng tử của dạng đã thu gọn.
Cộng (trừ) hai đa thức bằng cách cộng (trừ) các hạng tử đồng dạng tương ứng của hai đa thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Cả P và Q đều chứa các cặp hạng tử đồng dạng lộn xộn thứ tự (như

4 x^{3} y z^{2}

và

- 2 x^{3} y z^{2}

), dấu hiệu bắt buộc phải thu gọn từng đa thức trước khi làm gì tiếp. Nên thu gọn P, Q xong mới cộng trừ, vì cộng trừ hai đa thức đã thu gọn sẽ nhanh và ít nhầm hơn hẳn so với cộng trừ trực tiếp hai đa thức còn rối. Bẫy lớn nhất là khi tính

P - Q

, hạng tử bậc cao nhất

2 x^{3} y z^{2}

ở cả hai đa thức bằng nhau nên triệt tiêu hoàn toàn, làm bậc của hiệu giảm rất mạnh so với bậc của P và Q.

1Cách 1. Thu gọn từng đa thức trước, rồi cộng trừ các đa thức đã thu gọn

Gộp các hạng tử đồng dạng trong P và trong Q lại với nhau, sau đó cộng (trừ) hai đa thức đã thu gọn theo từng loại hạng tử tương ứng.

P = 4 x^{3} y z^{2} - 3 x^{2} y - 2 x^{3} y z^{2} + x^{2} y - 2 x y + y + 5 = (4 - 2) x^{3} y z^{2} + (- 3 + 1) x^{2} y - 2 x y + y + 5

P = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y - 2 x y + y + 5

, bậc của

P

là

6

(hạng tử

2 x^{3} y z^{2}

có bậc

3 + 1 + 2 = 6

)

Q = - x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + 3 + 3 x^{3} y z^{2} + x y - y + 2 = (- 1 + 3) x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + x y - y + (3 + 2)

Q = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + x y - y + 5

, bậc của

Q

là

6

P + Q = (2 x^{3} y z^{2} + 2 x^{3} y z^{2}) + (- 2 x^{2} y - 2 x^{2} y) + (- 2 x y + x y) + (y - y) + (5 + 5) = 4 x^{3} y z^{2} - 4 x^{2} y - x y + 10

, bậc

6

P - Q = (2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{3} y z^{2}) + (- 2 x^{2} y + 2 x^{2} y) + (- 2 x y - x y) + (y + y) + (5 - 5) = - 3 x y + 2 y

, bậc

2

Vậy $P = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y - 2 x y + y + 5$ bậc $6$ , $Q = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + x y - y + 5$ bậc $6$ ; $P + Q = 4 x^{3} y z^{2} - 4 x^{2} y - x y + 10$ bậc $6$ ; $P - Q = - 3 x y + 2 y$ bậc $2$ .

2Cách 2. Cộng, trừ trực tiếp trên P, Q chưa thu gọn rồi mới rút gọn kết quả

Viết thẳng $P + Q$ và $P - Q$ bằng cách gộp tất cả các hạng tử của cả hai đa thức gốc lại, rồi mới thu gọn một lần duy nhất.

P + Q = (4 x^{3} y z^{2} - 3 x^{2} y - 2 x^{3} y z^{2} + x^{2} y - 2 x y + y + 5) + (- x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + 3 + 3 x^{3} y z^{2} + x y - y + 2)

= (4 - 2 - 1 + 3) x^{3} y z^{2} + (- 3 + 1 - 2) x^{2} y + (- 2 + 1) x y + (1 - 1) y + (5 + 3 + 2)

= 4 x^{3} y z^{2} - 4 x^{2} y - x y + 10

P - Q = (4 - 2 + 1 - 3) x^{3} y z^{2} + (- 3 + 1 + 2) x^{2} y + (- 2 - 1) x y + (1 + 1) y + (5 - 3 - 2) = 0 \cdot x^{3} y z^{2} + 0 \cdot x^{2} y - 3 x y + 2 y + 0

P - Q = - 3 x y + 2 y

Gộp trực tiếp rồi thu gọn một lần cũng cho $P + Q = 4 x^{3} y z^{2} - 4 x^{2} y - x y + 10$ (bậc $6$ ) và $P - Q = - 3 x y + 2 y$ (bậc $2$ ), khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng cách thay giá trị cụ thể vào các biến

Thay cùng một bộ giá trị $x = 1, y = 1, z = 1$ vào cả hai đa thức gốc và vào các kết quả đã thu gọn để đối chiếu.

tại

x = y = z = 1

P = 4 - 3 - 2 + 1 - 2 + 1 + 5 = 4

; theo dạng thu gọn

2 - 2 - 2 + 1 + 5 = 4

, khớp

Q

tại

x = y = z = 1

- 1 - 2 + 3 + 3 + 1 - 1 + 2 = 5

; theo dạng thu gọn

2 - 2 + 1 - 1 + 5 = 5

, khớp

P + Q

tại

x = y = z = 1

4 + 5 = 9

; theo kết quả

4 - 4 - 1 + 10 = 9

, khớp

P - Q

tại

x = y = z = 1

4 - 5 = - 1

; theo kết quả

- 3 + 2 = - 1

, khớp

Cả bốn giá trị đều khớp, xác nhận các kết quả thu gọn ở Cách 1 là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì thu gọn P, Q trước giúp mỗi đa thức chỉ còn bốn, năm hạng tử gọn gàng, cộng trừ tiếp theo gần như không thể sai.

Đáp số.

P = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y - 2 x y + y + 5

(bậc

6

);

Q = 2 x^{3} y z^{2} - 2 x^{2} y + x y - y + 5

(bậc

6

);

P + Q = 4 x^{3} y z^{2} - 4 x^{2} y - x y + 10

(bậc

6

);

P - Q = - 3 x y + 2 y

(bậc

2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính

P - Q

xong quên rằng hạng tử bậc cao nhất

2 x^{3} y z^{2}

triệt tiêu hoàn toàn giữa hai đa thức, vẫn ghi bậc của

P - Q

là

6

giống P và Q; phải thu gọn hết mới thấy hiệu chỉ còn

- 3 x y + 2 y

, bậc đúng là

2

🚀 Mở rộng. Bài cho thấy bậc của tổng/hiệu hai đa thức có thể nhỏ hơn hẳn bậc của từng đa thức thành phần khi các hạng tử bậc cao nhất đối nhau; nếu đổi hệ số của

x^{3} y z^{2}

trong

Q

thành

- 2

thay vì

3

thì

P + Q

mới triệt tiêu hạng tử bậc

6

, còn

P - Q

lại giữ nguyên bậc

6

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.29★★★Trang 18— Tìm đa thức chưa biết từ đẳng thức tổng hoặc hiệu với đa thức đã cho

Cho đa thức

P = 5 x^{2} y - 2 x y^{2} + x y - x + y - 2

. a) Tìm đa thức

Q

biết

P + Q = (x + y) (2 x y + 2 y^{2} - 1)

. b) Tìm đa thức

R

biết

P - R = - x y (x - y)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $P + Q = M$ (đã biết) thì $Q = M - P$ ; nếu $P - R = N$ (đã biết) thì $R = P - N$ .
Cộng, trừ đa thức bằng cách cộng, trừ các hạng tử đồng dạng tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đẳng thức chứa đa thức chưa biết ở dạng tổng (câu a) và ở dạng hiệu (câu b), dấu hiệu của dạng tìm thành phần chưa biết trong phép cộng/trừ đa thức, hoàn toàn giống cách tìm số hạng chưa biết ở số học nhưng làm trên đa thức. Nên khai triển vế phải đã cho thành đa thức thu gọn trước, rồi mới trừ hoặc cộng với P theo đúng quan hệ ngược của phép tính. Bẫy nằm ở câu b: từ

P - R = N

phải suy ra

R = P - N

(giống tìm số trừ), không phải

R = N - P

1Cách 1. Khai triển vế đã cho rồi dùng quan hệ tổng/hiệu để suy ra đa thức cần tìm

Khai triển và thu gọn vế phải trước, sau đó dùng $Q = M - P$ cho câu a và $R = P - N$ cho câu b.

(x + y) (2 x y + 2 y^{2} - 1) = 2 x^{2} y + 2 x y^{2} - x + 2 x y^{2} + 2 y^{3} - y = 2 x^{2} y + 4 x y^{2} + 2 y^{3} - x - y

Q = (2 x^{2} y + 4 x y^{2} + 2 y^{3} - x - y) - (5 x^{2} y - 2 x y^{2} + x y - x + y - 2)

Q = (2 - 5) x^{2} y + (4 + 2) x y^{2} + 2 y^{3} - x y + (- x + x) + (- y - y) + 2

Q = - 3 x^{2} y + 6 x y^{2} + 2 y^{3} - x y - 2 y + 2

- x y (x - y) = - x^{2} y + x y^{2}

R = P - (- x^{2} y + x y^{2}) = (5 x^{2} y - 2 x y^{2} + x y - x + y - 2) + x^{2} y - x y^{2}

R = (5 + 1) x^{2} y + (- 2 - 1) x y^{2} + x y - x + y - 2

R = 6 x^{2} y - 3 x y^{2} + x y - x + y - 2

Vậy $Q = - 3 x^{2} y + 6 x y^{2} + 2 y^{3} - x y - 2 y + 2$ và $R = 6 x^{2} y - 3 x y^{2} + x y - x + y - 2$ .

2Cách 2. Kiểm chứng bằng phép cộng/trừ ngược lại đúng định nghĩa

Cộng $P$ với $Q$ vừa tìm, và lấy $P$ trừ $R$ vừa tìm, xem có đúng trả lại vế phải của đề bài hay không.

P + Q = (5 x^{2} y - 2 x y^{2} + x y - x + y - 2) + (- 3 x^{2} y + 6 x y^{2} + 2 y^{3} - x y - 2 y + 2)

= (5 - 3) x^{2} y + (- 2 + 6) x y^{2} + 2 y^{3} + (1 - 1) x y - x + (1 - 2) y + (- 2 + 2) = 2 x^{2} y + 4 x y^{2} + 2 y^{3} - x - y

đúng bằng

(x + y) (2 x y + 2 y^{2} - 1)

đã khai triển ở Cách 1

P - R = (5 x^{2} y - 2 x y^{2} + x y - x + y - 2) - (6 x^{2} y - 3 x y^{2} + x y - x + y - 2) = (5 - 6) x^{2} y + (- 2 + 3) x y^{2} = - x^{2} y + x y^{2}

đúng bằng

- x y (x - y) = - x^{2} y + x y^{2}

Cả hai phép kiểm tra ngược đều khớp đề bài, xác nhận $Q, R$ tìm được ở Cách 1 chính xác.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể vào cả đề bài lẫn đa thức tìm được

Thay $x = 1, y = 1$ vào cả đẳng thức gốc và vào các đa thức đã tìm để đối chiếu số.

tại

x = y = 1

P = 5 - 2 + 1 - 1 + 1 - 2 = 2

; vế phải câu a

(1 + 1) (2 + 2 - 1) = 2 \cdot 3 = 6

nên

Q = 6 - 2 = 4

Q

theo công thức tại

x = y = 1

- 3 + 6 + 2 - 1 - 2 + 2 = 4

, khớp

vế phải câu b tại

x = y = 1

- 1 \cdot 1 \cdot (1 - 1) = 0

nên

R = P - 0 = 2

R

theo công thức tại

x = y = 1

6 - 3 + 1 - 1 + 1 - 2 = 2

, khớp

Cả hai giá trị thử đều khớp, xác nhận $Q, R$ đã tìm đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát đúng công thức

Q = M - P

R = P - N

, chỉ cần khai triển vế phải một lần rồi trừ trực tiếp.

Đáp số.

Q = - 3 x^{2} y + 6 x y^{2} + 2 y^{3} - x y - 2 y + 2

;

R = 6 x^{2} y - 3 x y^{2} + x y - x + y - 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu b viết nhầm

R = N - P

(giống công thức tìm

Q

ở câu a) thay vì đúng phải là

R = P - N

vì

R

đóng vai trò số trừ trong đẳng thức

P - R = N

; nhầm công thức sẽ ra

R

ngược dấu hoàn toàn so với đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu b thành tìm

R

biết

R - P = - x y (x - y)

(đổi vai trò số bị trừ) thì công thức đúng lại là

R = P + N

, khác hẳn với

R = P - N

của đề gốc.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.30★★Trang 18— Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

Thực hiện phép nhân: a)

\frac{2}{5} x^{2} y (5 x^{2} y - 10 x y^{2} + 2 y^{3})

; b)

(x^{2} - 2 x y) (x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} - y^{3})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các kết quả.
Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả, cuối cùng cộng các hạng tử đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là nhân đơn thức với đa thức ba hạng tử, câu b là nhân hai đa thức với nhau, dấu hiệu rõ ràng của hai mức độ khác nhau trong cùng một quy tắc phân phối. Nên nhân lần lượt từng cặp hạng tử theo đúng thứ tự để không bỏ sót, đặc biệt ở câu b có tám tích thành phần cần cộng gộp cẩn thận. Bẫy của câu b là dễ bỏ sót một trong tám tích hoặc cộng nhầm dấu khi có nhiều hạng tử ở mỗi đa thức.

1Cách 1. Nhân phân phối từng hạng tử theo đúng thứ tự

Nhân đơn thức (câu a) hoặc từng hạng tử của đa thức thứ nhất (câu b) với từng hạng tử của đa thức còn lại, rồi cộng gộp các hạng tử đồng dạng.

\frac{2}{5} x^{2} y (5 x^{2} y - 10 x y^{2} + 2 y^{3}) = \frac{2}{5} x^{2} y \cdot 5 x^{2} y - \frac{2}{5} x^{2} y \cdot 10 x y^{2} + \frac{2}{5} x^{2} y \cdot 2 y^{3}

= 2 x^{4} y^{2} - 4 x^{3} y^{3} + \frac{4}{5} x^{2} y^{4}

(x^{2} - 2 x y) (x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} - y^{3}) = x^{2} \cdot x^{3} + x^{2} \cdot 3 x^{2} y + x^{2} \cdot (- 5 x y^{2}) + x^{2} \cdot (- y^{3}) - 2 x y \cdot x^{3} - 2 x y \cdot 3 x^{2} y - 2 x y \cdot (- 5 x y^{2}) - 2 x y \cdot (- y^{3})

= x^{5} + 3 x^{4} y - 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} - 2 x^{4} y - 6 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}

= x^{5} + (3 - 2) x^{4} y + (- 5 - 6) x^{3} y^{2} + (- 1 + 10) x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}

= x^{5} + x^{4} y - 11 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}

Vậy $\frac{2}{5} x^{2} y (5 x^{2} y - 10 x y^{2} + 2 y^{3}) = 2 x^{4} y^{2} - 4 x^{3} y^{3} + \frac{4}{5} x^{2} y^{4}$ và $(x^{2} - 2 x y) (x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} - y^{3}) = x^{5} + x^{4} y - 11 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}$ .

2Cách 2. Tách nhân tử chung ở câu b để giảm số tích cần cộng

Đặt nhân tử chung $x$ ra từ đa thức thứ nhất của câu b, nhân với đa thức còn lại trước, sau đó mới nhân với $x$ .

x^{2} - 2 x y = x (x - 2 y)

(x - 2 y) (x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} - y^{3}) = x^{4} + 3 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} - x y^{3} - 2 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 10 x y^{3} + 2 y^{4}

= x^{4} + (3 - 2) x^{3} y + (- 5 - 6) x^{2} y^{2} + (- 1 + 10) x y^{3} + 2 y^{4} = x^{4} + x^{3} y - 11 x^{2} y^{2} + 9 x y^{3} + 2 y^{4}

nhân tiếp với

x

x (x^{4} + x^{3} y - 11 x^{2} y^{2} + 9 x y^{3} + 2 y^{4}) = x^{5} + x^{4} y - 11 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}

Tách nhân tử chung trước cũng cho kết quả câu b là $x^{5} + x^{4} y - 11 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng cả hai câu

Thay $x = 1, y = 1$ vào biểu thức gốc và vào kết quả đã nhân để đối chiếu.

a) gốc:

\frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 1 \cdot (5 - 10 + 2) = \frac{2}{5} \cdot (- 3) = - \frac{6}{5}

; kết quả:

2 - 4 + \frac{4}{5} = - 2 + \frac{4}{5} = - \frac{6}{5}

b) gốc:

(1 - 2) (1 + 3 - 5 - 1) = (- 1) \cdot (- 2) = 2

; kết quả:

1 + 1 - 11 + 9 + 2 = 2

Cả hai giá trị thử đều khớp, xác nhận kết quả nhân ở Cách 1 chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhân phân phối trực tiếp theo đúng thứ tự là cách an toàn nhất, tránh việc đặt nhân tử chung rồi quên nhân lại ở bước cuối như Cách 2.

Đáp số. a)

2 x^{4} y^{2} - 4 x^{3} y^{3} + \frac{4}{5} x^{2} y^{4}

; b)

x^{5} + x^{4} y - 11 x^{3} y^{2} + 9 x^{2} y^{3} + 2 x y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu b cộng nhầm

- 5 x^{3} y^{2} - 6 x^{3} y^{2}

thành

- 1 x^{3} y^{2}

(cộng sai như phép trừ) thay vì đúng phải cộng

- 5 + (- 6) = - 11

; kết quả đúng của hạng tử này là

- 11 x^{3} y^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu b thành nhân ba đa thức

(x^{2} - 2 x y) (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

thì nên nhân hai đa thức cuối trước bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, rồi mới nhân với đa thức đầu, thay vì nhân trực tiếp cả ba lần lượt.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.31★★Trang 18— Rút gọn biểu thức chứa tích đa thức rồi tính giá trị

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

A = (5 x y - 4 y^{2}) (3 x^{2} + 4 x y) - 15 x y (x + y) (x - y)

khi

x = 1

và

y = 8

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức bằng cách nhân từng hạng tử rồi cộng lại; hằng đẳng thức $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ giúp khai triển nhanh $(x + y) (x - y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai cụm tích đa thức nối bằng dấu trừ, dấu hiệu của dạng phải rút gọn hết về một đa thức đơn giản trước khi thay số, không nên thay số ngay từ đầu vì các con số sẽ cồng kềnh. Nên dùng hằng đẳng thức

(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

cho cụm thứ hai để khai triển nhanh hơn nhân trực tiếp. Bẫy là sau khi rút gọn, biểu thức triệt tiêu gần hết chỉ còn hai hạng tử, nếu tính nhầm dấu ở bước trừ sẽ ra sai lệch hẳn giá trị cuối.

1Cách 1. Khai triển từng cụm rồi rút gọn trước khi thay số

Khai triển cụm thứ nhất bằng nhân phân phối, khai triển cụm thứ hai bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi trừ hai kết quả.

(5 x y - 4 y^{2}) (3 x^{2} + 4 x y) = 15 x^{3} y + 20 x^{2} y^{2} - 12 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3} = 15 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3}

15 x y (x + y) (x - y) = 15 x y (x^{2} - y^{2}) = 15 x^{3} y - 15 x y^{3}

A = (15 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} - 16 x y^{3}) - (15 x^{3} y - 15 x y^{3}) = (15 - 15) x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + (- 16 + 15) x y^{3}

A = 8 x^{2} y^{2} - x y^{3}

thay

x = 1, y = 8

A = 8 \cdot 1^{2} \cdot 8^{2} - 1 \cdot 8^{3} = 8 \cdot 64 - 512

A = 512 - 512 = 0

Vậy $A = 8 x^{2} y^{2} - x y^{3}$ và tại $x = 1, y = 8$ thì $A = 0$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

x y

trước khi thay số

Sau khi rút gọn được $A = 8 x^{2} y^{2} - x y^{3}$ , đặt nhân tử chung $x y$ ra ngoài để tính giá trị gọn hơn.

A = 8 x^{2} y^{2} - x y^{3} = x y (8 x y - y^{2})

thay

x = 1, y = 8

x y = 1 \cdot 8 = 8

;

8 x y - y^{2} = 8 \cdot 8 - 64 = 64 - 64 = 0

A = 8 \cdot 0 = 0

Đặt nhân tử chung trước khi thay số cũng cho $A = 0$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc để đối chiếu

Không rút gọn, thay thẳng $x = 1, y = 8$ vào biểu thức ban đầu để kiểm chứng lại kết quả bằng một đường tính khác.

(5 \cdot 1 \cdot 8 - 4 \cdot 8^{2}) (3 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 8) = (40 - 256) (3 + 32) = (- 216) \cdot 35 = - 7560

15 \cdot 1 \cdot 8 \cdot (1 + 8) \cdot (1 - 8) = 120 \cdot 9 \cdot (- 7) = - 7560

A = - 7560 - (- 7560) = 0

Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc cũng cho $A = 0$ , khớp hai cách rút gọn trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì rút gọn trước giúp biểu thức chỉ còn hai hạng tử, thay số nhẹ nhàng hơn hẳn so với tính trực tiếp các số lớn như Cách 3.

Đáp số. Rút gọn được

A = 8 x^{2} y^{2} - x y^{3}

; tại

x = 1, y = 8

thì

A = 0

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đổi dấu khi trừ cụm thứ hai, cộng luôn

- 15 x y^{3}

thay vì trừ, rồi ra kết quả sai; đúng phải là trừ cả cụm

(15 x^{3} y - 15 x y^{3})

nên hạng tử

- 15 x y^{3}

đổi thành

+ 15 x y^{3}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giá trị thành

x = 2, y = 1

thì

A = 8 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 32 - 2 = 30

, khác hẳn

0

, cho thấy giá trị

A = 0

ở đề gốc chỉ là một trường hợp đặc biệt khi

8 x y = y^{2}

tức

8 x = y

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.32★★Trang 18— Chia đa thức cho đơn thức, hệ số nguyên và phân số

Thực hiện phép chia: a)

(4 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3} - 2 x^{2} y^{4}) : (- 2 x^{2} y^{2})

; b)

(5 x^{4} y^{3} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} - x y^{6}) : \frac{5}{6} x y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả.
Chia cho một phân số bằng cách nhân với phân số nghịch đảo của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có hệ số nguyên nên chia trực tiếp là thuận lợi nhất; câu b hệ số toàn là phân số, dấu hiệu phải đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo để tránh chia phân số cho phân số nhiều lần. Nên xử lý riêng phần hệ số và phần biến (trừ số mũ) một cách tách bạch để không lẫn lộn. Bẫy của câu b là hệ số chia

\frac{5}{6}

dễ bị nghịch đảo nhầm hoặc nhân sai với các hệ số phân số khác của từng hạng tử.

1Cách 1. Chia trực tiếp từng hạng tử theo quy tắc

Chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia rồi cộng các kết quả lại theo đúng dấu.

(4 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3} - 2 x^{2} y^{4}) : (- 2 x^{2} y^{2}) = 4 x^{4} y^{2} : (- 2 x^{2} y^{2}) - 6 x^{3} y^{3} : (- 2 x^{2} y^{2}) - 2 x^{2} y^{4} : (- 2 x^{2} y^{2})

= - 2 x^{2} + 3 x y + y^{2}

(5 x^{4} y^{3} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} - x y^{6}) : \frac{5}{6} x y^{2} = 5 x^{4} y^{3} : \frac{5}{6} x y^{2} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} : \frac{5}{6} x y^{2} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} : \frac{5}{6} x y^{2} - x y^{6} : \frac{5}{6} x y^{2}

= 5 \cdot \frac{6}{5} x^{3} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} x^{2} y^{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}

= 6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}

Vậy $(4 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3} - 2 x^{2} y^{4}) : (- 2 x^{2} y^{2}) = - 2 x^{2} + 3 x y + y^{2}$ và $(5 x^{4} y^{3} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} - x y^{6}) : \frac{5}{6} x y^{2} = 6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}$ .

2Cách 2. Đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo trước khi phân phối

Đổi chia cho $\frac{5}{6} x y^{2}$ thành nhân với $\frac{6}{5 x y ^{2}}$ , rồi nhân phân phối từng hạng tử một lần.

(5 x^{4} y^{3} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} - x y^{6}) \cdot \frac{6}{5 x y ^{2}}

= 5 x^{4} y^{3} \cdot \frac{6}{5 x y ^{2}} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} \cdot \frac{6}{5 x y ^{2}} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} \cdot \frac{6}{5 x y ^{2}} - x y^{6} \cdot \frac{6}{5 x y ^{2}}

= 6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}

Nhân với nghịch đảo cũng cho kết quả câu b là $6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng phép nhân ngược thương với số chia

Nhân kết quả chia được với đơn thức chia ban đầu, xem có trả lại đúng đa thức bị chia hay không.

(- 2 x^{2} + 3 x y + y^{2}) \cdot (- 2 x^{2} y^{2}) = 4 x^{4} y^{2} - 6 x^{3} y^{3} - 2 x^{2} y^{4}

, đúng bằng đa thức bị chia

(6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}) \cdot \frac{5}{6} x y^{2} = 5 x^{4} y^{3} + \frac{1}{2} x^{3} y^{4} - \frac{2}{3} x^{2} y^{5} - x y^{6}

, đúng bằng đa thức bị chia

Nhân ngược ở cả hai câu đều khớp đề bài, xác nhận hai thương ở Cách 1 chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a (hệ số nguyên, chia trực tiếp rất nhanh) và Cách 2 cho câu b (hệ số phân số, nhân với nghịch đảo tránh phải chia phân số nhiều lần).

Đáp số. a)

- 2 x^{2} + 3 x y + y^{2}

; b)

6 x^{3} y + \frac{3}{5} x^{2} y^{2} - \frac{4}{5} x y^{3} - \frac{6}{5} y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu b quên nghịch đảo cả tử và mẫu của

\frac{5}{6}

khi chia, viết nhầm hệ số dẫn đến kết quả sai hoàn toàn; phải nhân đúng với nghịch đảo

\frac{6}{5 x y ^{2}}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn thức chia câu b thành

\frac{5}{6} x^{2} y^{2}

(tăng số mũ của

x

) thì mọi hạng tử phải trừ thêm một số mũ của

x

nữa, một số hạng tử có thể không còn chia hết cho đơn thức mới.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 1.33★★★★Trang 18— Rút gọn biểu thức tổng hợp nhân đa thức, chia đa thức cho đơn thức, nhận ra hằng đẳng thức lập phương

Rút gọn: a)

A = (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} + 1) (3 x + 2 y) - (3 x^{5} y + \frac{8}{9} x^{2} y^{4} - x^{3} y) : \frac{1}{9} x^{2} y

; b)

B = (5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} + (3 x^{4} y + 6 x y^{2}) : 3 x y - x (x^{2} - 0, 5)

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Muốn chia đa thức cho đơn thức, chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có cụm

9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}

đúng dạng

a^{2} - ab + b^{2}

với

a = 3 x, b = 2 y

, dấu hiệu ẩn của hằng đẳng thức tổng hai lập phương chứ không phải nhân trực tiếp bốn hạng tử với hai hạng tử. Nên tách riêng phần

(3 x + 2 y)

nhân với cụm ba hạng tử đó để dùng hằng đẳng thức, còn phần

+ 1

thì nhân riêng, rồi mới trừ tiếp phép chia phía sau. Bẫy của cả hai câu là dấu trừ đứng trước cả một cụm chia dài, rất dễ quên đổi dấu đúng số hạng tử bên trong khi hai đại lượng

27 x^{3}

hoặc

x^{3}

ở hai cụm triệt tiêu nhau.

1Cách 1. Nhận ra hằng đẳng thức lập phương rồi rút gọn từng cụm

Tách $(9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} + 1) (3 x + 2 y)$ thành $(9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}) (3 x + 2 y) + 1 \cdot (3 x + 2 y)$ , dùng hằng đẳng thức tổng hai lập phương cho cụm đầu; chia riêng cụm thứ hai của đề.

(9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}) (3 x + 2 y) = 27 x^{3} + 8 y^{3}

(đúng dạng

a^{2} - ab + b^{2}

với

a = 3 x, b = 2 y

)

nên

A = 27 x^{3} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y - (3 x^{5} y + \frac{8}{9} x^{2} y^{4} - x^{3} y) : \frac{1}{9} x^{2} y

(3 x^{5} y + \frac{8}{9} x^{2} y^{4} - x^{3} y) : \frac{1}{9} x^{2} y = 3 x^{5} y : \frac{1}{9} x^{2} y + \frac{8}{9} x^{2} y^{4} : \frac{1}{9} x^{2} y - x^{3} y : \frac{1}{9} x^{2} y = 27 x^{3} + 8 y^{3} - 9 x

A = (27 x^{3} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y) - (27 x^{3} + 8 y^{3} - 9 x)

A = (27 x^{3} - 27 x^{3}) + (8 y^{3} - 8 y^{3}) + (3 x + 9 x) + 2 y = 12 x + 2 y

(5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} = 2, 5 x - 2 y

;

(3 x^{4} y + 6 x y^{2}) : 3 x y = x^{3} + 2 y

;

- x (x^{2} - 0, 5) = - x^{3} + 0, 5 x

B = (2, 5 x - 2 y) + (x^{3} + 2 y) + (- x^{3} + 0, 5 x) = (2, 5 x + 0, 5 x) + (- 2 y + 2 y) + (x^{3} - x^{3})

B = 3 x

Vậy $A = 12 x + 2 y$ và $B = 3 x$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp toàn bộ các hạng tử ở câu a (không dùng hằng đẳng thức)

Nhân trực tiếp từng hạng tử của $(9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} + 1)$ với từng hạng tử của $(3 x + 2 y)$ , không tách riêng hằng đẳng thức, để đối chiếu lại kết quả.

(9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2} + 1) (3 x + 2 y) = 27 x^{3} + 18 x^{2} y - 18 x^{2} y - 12 x y^{2} + 12 x y^{2} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y

= 27 x^{3} + (18 - 18) x^{2} y + (- 12 + 12) x y^{2} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y = 27 x^{3} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y

kết quả giống hệt cụm đã tính bằng hằng đẳng thức ở Cách 1, phần còn lại của bài giải làm y như Cách 1 và vẫn ra

A = 12 x + 2 y

Nhân trực tiếp tám tích rồi rút gọn cũng cho $27 x^{3} + 8 y^{3} + 3 x + 2 y$ giống Cách 1, xác nhận $A = 12 x + 2 y$ .

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng cả hai câu

Thay $x = 1, y = 1$ vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

a) gốc:

(9 - 6 + 4 + 1) (3 + 2) - (3 + \frac{8}{9} - 1) : \frac{1}{9} = 8 \cdot 5 - (\frac{26}{9}) \cdot 9 = 40 - 26 = 14

; kết quả:

12 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 14

b) gốc:

(5 - 4) : 2 + (3 + 6) : 3 - 1 \cdot (1 - 0, 5) = 0, 5 + 3 - 0, 5 = 3

; kết quả:

3 \cdot 1 = 3

Cả hai giá trị thử đều khớp, xác nhận $A = 12 x + 2 y$ và $B = 3 x$ là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhận ra hằng đẳng thức lập phương giúp bỏ qua bước nhân tám tích của Cách 2, còn hai đại lượng

27 x^{3}

và

8 y^{3}

triệt tiêu ngay lập tức khi trừ phần chia phía sau.

Đáp số.

A = 12 x + 2 y

;

B = 3 x

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đặt cả cụm phép chia trong dấu ngoặc trước khi trừ, không đổi dấu đủ ba hạng tử trong cụm bị trừ, khiến

8 y^{3}

không triệt tiêu và ra kết quả sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số hạng cuối của đa thức bị chia ở câu a thành

+ x^{3} y

(thay vì

- x^{3} y

) thì thương của phép chia đổi thành

27 x^{3} + 8 y^{3} + 9 x

, khiến

A

mất luôn hạng tử chứa

x

bậc nhất khi rút gọn.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 1.34★★★Trang 18— Chia đa thức cho đơn thức bằng cách đặt ẩn phụ để đơn giản hoá

Đặt

y = x^{2} - 1

. Tìm thương của phép chia

[9 x^{3} (x^{2} - 1) - 6 x^{2} (x^{2} - 1)^{2} + 12 x (x^{2} - 1)] : 3 x (x^{2} - 1)

Kiến thức cần nhớ

Đặt ẩn phụ cho một cụm lặp lại nhiều lần giúp đưa biểu thức phức tạp về dạng chia đa thức cho đơn thức quen thuộc, sau đó thay ngược ẩn phụ trở lại.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm

(x^{2} - 1)

xuất hiện lặp lại ở cả ba hạng tử của đa thức bị chia lẫn đơn thức chia, dấu hiệu rõ ràng của việc nên đặt ẩn phụ

y = x^{2} - 1

như đề đã gợi ý, đưa cả bài về đúng dạng chia đa thức cho đơn thức với hai biến

x, y

. Chọn hướng đặt ẩn phụ vì tính theo

x, y

xong chỉ cần thay

y = x^{2} - 1

trở lại là ra kết quả cuối theo

x

, thay vì phải khai triển

(x^{2} - 1)^{2}

cồng kềnh ngay từ đầu. Bẫy là dễ quên thay ngược

y

trở lại thành

x^{2} - 1

ở bước cuối, để sót kết quả ở dạng còn chứa

y

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

y = x^{2} - 1

rồi chia như đa thức hai biến

Thay $x^{2} - 1$ bằng $y$ trong cả tử và mẫu, đưa phép chia về dạng chia đa thức cho đơn thức với hai biến $x, y$ , chia xong mới thay $y$ trở lại.

đặt

y = x^{2} - 1

, biểu thức trở thành

(9 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 12 x y) : 3 x y

9 x^{3} y : 3 x y - 6 x^{2} y^{2} : 3 x y + 12 x y : 3 x y = 3 x^{2} - 2 x y + 4

thay

y = x^{2} - 1

trở lại:

3 x^{2} - 2 x (x^{2} - 1) + 4 = 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x + 4

Vậy thương của phép chia là $- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung

3 x (x^{2} - 1)

trước khi chia nguyên khối

Đặt nhân tử chung $3 x (x^{2} - 1)$ ra khỏi cả ba hạng tử của đa thức bị chia, đưa phép chia về một bước duy nhất.

9 x^{3} (x^{2} - 1) - 6 x^{2} (x^{2} - 1)^{2} + 12 x (x^{2} - 1) = 3 x (x^{2} - 1) [3 x^{2} - 2 x (x^{2} - 1) + 4]

3 x (x^{2} - 1) [3 x^{2} - 2 x (x^{2} - 1) + 4] : 3 x (x^{2} - 1) = 3 x^{2} - 2 x (x^{2} - 1) + 4

= 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x + 4

Đặt nhân tử chung trước khi chia cũng cho thương $- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Chia trực tiếp từng hạng tử không qua ẩn phụ

Chia thẳng từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia, giữ nguyên cụm $(x^{2} - 1)$ mà không đặt ẩn phụ, để đối chiếu kết quả.

9 x^{3} (x^{2} - 1) : 3 x (x^{2} - 1) = 3 x^{2}

- 6 x^{2} (x^{2} - 1)^{2} : 3 x (x^{2} - 1) = - 2 x (x^{2} - 1) = - 2 x^{3} + 2 x

12 x (x^{2} - 1) : 3 x (x^{2} - 1) = 4

cộng lại:

3 x^{2} + (- 2 x^{3} + 2 x) + 4 = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4

Chia trực tiếp không qua ẩn phụ cũng cho đúng thương $- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đặt nhân tử chung

3 x (x^{2} - 1)

đưa phép chia về đúng một bước, không cần tính riêng ba phép chia nhỏ như Cách 1 và Cách 3.

Đáp số. Thương của phép chia là

- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4

(viết theo ẩn phụ là

3 x^{2} - 2 x y + 4

với

y = x^{2} - 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính xong

3 x^{2} - 2 x y + 4

rồi quên thay

y = x^{2} - 1

trở lại, nộp bài với đáp số còn chứa

y

trong khi đề chỉ cho biến

x

; phải thay ngược để được

- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4

theo đúng biến của đề.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số mũ ở hạng tử giữa thành

(x^{2} - 1)^{3}

thay vì

(x^{2} - 1)^{2}

thì sau khi đặt

y = x^{2} - 1

và chia, kết quả sẽ còn chứa

y^{2}

, tức còn chứa

(x^{2} - 1)^{2}

khi thay ngược lại, phức tạp hơn hẳn bài gốc.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-8-kn/bai-tap-cuoi-chuong-1.jsp · https://loigiaihay.com/bai-tap-cuoi-chuong-1-sbt-toan-8-kntt-e32720.html