Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang29–30 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 29— Nhận biết hằng đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến

Chọn một phương án đúng. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức? A.

a (a + 1) = a + 1

; B.

a^{2} - 1 = a

; C.

(a + b) (a - b) = a^{2} + b^{2}

; D.

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 3 a + 2

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến.
Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ .
Quy tắc nhân đa thức với đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn đẳng thức chứa biến, hỏi cái nào đúng với MỌI giá trị của biến — dấu hiệu của dạng nhận biết hằng đẳng thức, khác với phương trình chỉ đúng tại một vài giá trị riêng. Hướng an toàn nhất là khai triển vế phức tạp hơn của mỗi phương án rồi so trực tiếp với vế còn lại. Bẫy ở phương án C:

(a + b) (a - b)

rất giống hằng đẳng thức hiệu hai bình phương đã học nhưng vế phải bị đổi dấu thành

a^{2} + b^{2}

, dễ chọn nhầm nếu chỉ nhớ mang máng công thức.

1Khai triển từng vế phải rồi so với vế trái

Định hướng. Khai triển vế có tích hoặc luỹ thừa của mỗi phương án bằng quy tắc nhân đa thức, rồi so trực tiếp với vế còn lại; vế nào khớp với mọi biến thì đó là hằng đẳng thức.

a (a + 1) = a^{2} + a \neq = a + 1

(thiếu số hạng

a^{2}

)

a^{2} - 1 \neq = a

(hai vế khác bậc)

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} \neq = a^{2} + b^{2}

(sai dấu số hạng

b^{2}

)

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 2 a + a + 2 = a^{2} + 3 a + 2

— đúng với vế phải

Vậy chỉ phương án D là hằng đẳng thức, đáp án D.

2Thay giá trị cụ thể để loại các phương án sai (phản ví dụ)

Định hướng. Với các đẳng thức chứa biến, chỉ cần một bộ giá trị làm hai vế khác nhau là đủ để loại; hằng đẳng thức thật thì phải đúng ở mọi bộ giá trị thử.

tại

a = 2

: A) trái

= 2 \cdot 3 = 6

, phải

= 3

, khác nhau — loại A

tại

a = 2

: B) trái

= 4 - 1 = 3

, phải

= 2

, khác nhau — loại B

tại

a = 2, b = 1

: C) trái

= 3 \cdot 1 = 3

, phải

= 4 + 1 = 5

, khác nhau — loại C

tại

a = 2

: D) trái

= 3 \cdot 4 = 12

, phải

= 4 + 6 + 2 = 12

, khớp; thử thêm

a = - 1

: trái

= 0 \cdot 1 = 0

, phải

= 1 - 3 + 2 = 0

, vẫn khớp

Chỉ D không bị loại ở mọi lần thử, đáp án D.

3Nhận diện qua hằng đẳng thức đáng nhớ đã học

Định hướng. Đối chiếu hình dạng từng phương án với các hằng đẳng thức chuẩn để nhận ra ngay chỗ đúng và bẫy sai dấu, không cần khai triển toàn bộ.

Phương án C có dạng

(a + b) (a - b)

giống hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)

, nhưng vế phải bị viết SAI dấu thành

a^{2} + b^{2}

— đây là bẫy cố ý

Phương án D có dạng tích hai nhị thức

(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + mn

với

m = 1, n = 2

; kiểm tra

m + n = 3

và

mn = 2

khớp đúng

a^{2} + 3 a + 2

D là hằng đẳng thức đúng; C là bẫy đổi dấu của hiệu hai bình phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển trực tiếp cho kết quả chắc chắn ngay trong một dòng cho mỗi phương án, nhanh hơn thử nhiều bộ số như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D:

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 3 a + 2

là hằng đẳng thức.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn nhầm C vì thấy dạng

(a + b) (a - b)

quen mắt với hiệu hai bình phương rồi vội suy ra vế phải là

a^{2} + b^{2}

; đúng ra hiệu hai bình phương cho

a^{2} - b^{2}

(dấu trừ), không phải dấu cộng.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu bài, kiểm tra đẳng thức

(a - b)^{2} + 4 ab = (a + b)^{2}

cũng là một hằng đẳng thức đúng — nhận ra qua khai triển vế trái.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 29— Phân tích đa thức dạng hiệu hai lập phương thành nhân tử

Chọn một phương án đúng. Đa thức

x^{3} - 8

được phân tích thành tích của hai đa thức là: A.

x - 2

và

x^{2} - 2 x - 4

; B.

x - 2

và

x^{2} + 2 x - 4

; C.

x - 2

và

x^{2} + 2 x + 4

; D.

x - 2

và

x^{2} - 2 x + 4

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .
Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Phép chia đa thức cho đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}

đúng dạng hiệu hai lập phương — dấu hiệu nhận ngay công thức

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

với

A = x, B = 2

. Bốn phương án đều có sẵn thừa số

x - 2

giống nhau, chỉ khác nhân tử bậc hai còn lại nên chỉ cần xác định đúng dấu của hai hạng tử giữa. Bẫy ở chỗ dễ nhớ nhầm dấu

A B

thành trừ (giống công thức tổng hai lập phương) trong khi hiệu hai lập phương lại có dấu cộng ở giữa.

1Áp dụng trực tiếp công thức hiệu hai lập phương

Định hướng. Nhận $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ , áp công thức $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ với $A = x, B = 2$ .

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Vậy đáp án C.

2Nhân ngược lại từng phương án để kiểm tra

Định hướng. Nhân $(x - 2)$ với nhân tử bậc hai của mỗi phương án, phương án nào cho đúng $x^{3} - 8$ thì chọn.

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8

— khớp đề

(x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + 4 x - 8 = x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - 8

— không khớp

Chỉ C cho đúng $x^{3} - 8$ , đáp án C.

3Chia đa thức

x^{3} - 8

cho

x - 2

bằng phép chia đa thức

Định hướng. Thực hiện phép chia đa thức $x^{3} - 8$ cho $x - 2$ , thương chính là nhân tử bậc hai còn thiếu.

x^{3} \div x = x^{2}

;

x^{2} (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}

; dư

2 x^{2} - 8

2 x^{2} \div x = 2 x

;

2 x (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x

; dư

4 x - 8

4 x \div x = 4

;

4 (x - 2) = 4 x - 8

; dư

0

Thương là $x^{2} + 2 x + 4$ , vậy $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp công thức có sẵn chỉ một dòng, nhanh hơn hẳn nhân ngược hay chia đa thức.

Đáp số. Đáp án C:

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm dấu, chọn D vì viết

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)

, lẫn với công thức tổng hai lập phương có dấu trừ ở giữa; hiệu hai lập phương

A^{3} - B^{3}

luôn có dấu cộng ở hạng tử

A B

trong nhân tử bậc hai.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức,

8 x^{3} - 27 = (2 x)^{3} - 3^{3} = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★Trang 29— Nhận diện tam thức bậc hai là bình phương của một tổng

Chọn một phương án đúng. Biểu thức

x^{2} + x + \frac{1}{4}

viết được dưới dạng bình phương của một tổng là: A.

(x - \frac{1}{2})^{2}

; B.

(x + \frac{1}{2})^{2}

; C.

(2 x + \frac{1}{2})^{2}

; D.

(\frac{1}{2} x + 1)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 29— Nhận biết đúng công thức tổng và hiệu hai lập phương

Chọn một phương án đúng. Khẳng định nào sau đây là đúng? A.

(A - B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}

; B.

(A + B) (A^{2} + A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

; C.

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}

; D.

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★Trang 29— Rút gọn biểu thức chứa hiệu hai bình phương

Chọn một phương án đúng. Rút gọn biểu thức

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 2)

ta được: A.

5

; B.

4

; C.

3

; D.

- 3

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
Quy tắc dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.19★★Trang 29— Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ

Tính nhanh giá trị của các biểu thức: a)

x^{2} + 12 x + 36

tại

x = - 1006

; b)

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Lập phương của một hiệu: $A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3} = (A - B)^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.20★★★Trang 30— Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách khai triển và rút gọn về hằng số

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

x

: a)

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 x^{2}

; b)

(2 x - 3)^{2} + (2 x + 3)^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3)

; c)

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
Bình phương của một tổng, một hiệu: $(A \pm B)^{2} = A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ .
Tổng và hiệu hai lập phương: $A^{3} \pm B^{3} = (A \pm B) (A^{2} \mp A B + B^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.21★★Trang 30— So sánh tích hai số cách đều một số trung tâm với bình phương của số trung tâm đó

Không cần tính, hãy so sánh số

A

với số

B

trong các trường hợp sau: a)

A = 2021 \cdot 2023

và

B = 202 2^{2}

; b)

A = 2021 \cdot 2025

và

B = 202 3^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(n - k) (n + k) = n^{2} - k^{2}$ .
Với $k > 0$ thì $n^{2} - k^{2} < n^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.22★★Trang 30— Phân tích đa thức nhiều biến thành nhân tử bằng nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{3} - y^{3} + 2 x - 2 y

; b)

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} - 4 z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .
Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kĩ thuật nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.23★★Trang 30— Phân tích tam thức bậc hai một biến có nghiệm nguyên thành tích hai nhị thức bậc nhất

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} - 3 x + 2

; b)

x^{2} + 7 x + 6

Kiến thức cần nhớ

Với $x^{2} + b x + c$ , nếu tìm được $m, n$ thoả $m + n = b$ và $mn = c$ thì $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kĩ thuật hoàn thành bình phương của một nhị thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.24★★Trang 30— Ứng dụng hiệu hai bình phương tính diện tích hình vành khuyên

Từ một miếng bìa có dạng hình tròn (H.2.4) với bán kính

R

(cm), người ta khoét một hình tròn ở giữa có bán kính

r

(cm),

r < R

. a) Viết công thức tính diện tích phần còn lại của miếng bìa. b) Tính diện tích phần còn lại của miếng bìa biết tổng hai bán kính là

10

cm và hiệu hai bán kính là

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình tròn bán kính $ρ$ : $S = π ρ^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử Bài tiếp theo ›Bài 10. Tứ giác

📚 Cùng chương: Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài tập cuối chương II

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS