Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 29— Nhận biết hằng đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến

Chọn một phương án đúng. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức? A.

a (a + 1) = a + 1

; B.

a^{2} - 1 = a

; C.

(a + b) (a - b) = a^{2} + b^{2}

; D.

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 3 a + 2

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến.
Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $(A - B) (A + B) = A^{2} - B^{2}$ .
Quy tắc nhân đa thức với đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn đẳng thức chứa biến, hỏi cái nào đúng với MỌI giá trị của biến — dấu hiệu của dạng nhận biết hằng đẳng thức, khác với phương trình chỉ đúng tại một vài giá trị riêng. Hướng an toàn nhất là khai triển vế phức tạp hơn của mỗi phương án rồi so trực tiếp với vế còn lại. Bẫy ở phương án C:

(a + b) (a - b)

rất giống hằng đẳng thức hiệu hai bình phương đã học nhưng vế phải bị đổi dấu thành

a^{2} + b^{2}

, dễ chọn nhầm nếu chỉ nhớ mang máng công thức.

1Khai triển từng vế phải rồi so với vế trái

Định hướng. Khai triển vế có tích hoặc luỹ thừa của mỗi phương án bằng quy tắc nhân đa thức, rồi so trực tiếp với vế còn lại; vế nào khớp với mọi biến thì đó là hằng đẳng thức.

a (a + 1) = a^{2} + a \neq = a + 1

(thiếu số hạng

a^{2}

)

a^{2} - 1 \neq = a

(hai vế khác bậc)

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} \neq = a^{2} + b^{2}

(sai dấu số hạng

b^{2}

)

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 2 a + a + 2 = a^{2} + 3 a + 2

— đúng với vế phải

Vậy chỉ phương án D là hằng đẳng thức, đáp án D.

2Thay giá trị cụ thể để loại các phương án sai (phản ví dụ)

Định hướng. Với các đẳng thức chứa biến, chỉ cần một bộ giá trị làm hai vế khác nhau là đủ để loại; hằng đẳng thức thật thì phải đúng ở mọi bộ giá trị thử.

tại

a = 2

: A) trái

= 2 \cdot 3 = 6

, phải

= 3

, khác nhau — loại A

tại

a = 2

: B) trái

= 4 - 1 = 3

, phải

= 2

, khác nhau — loại B

tại

a = 2, b = 1

: C) trái

= 3 \cdot 1 = 3

, phải

= 4 + 1 = 5

, khác nhau — loại C

tại

a = 2

: D) trái

= 3 \cdot 4 = 12

, phải

= 4 + 6 + 2 = 12

, khớp; thử thêm

a = - 1

: trái

= 0 \cdot 1 = 0

, phải

= 1 - 3 + 2 = 0

, vẫn khớp

Chỉ D không bị loại ở mọi lần thử, đáp án D.

3Nhận diện qua hằng đẳng thức đáng nhớ đã học

Định hướng. Đối chiếu hình dạng từng phương án với các hằng đẳng thức chuẩn để nhận ra ngay chỗ đúng và bẫy sai dấu, không cần khai triển toàn bộ.

Phương án C có dạng

(a + b) (a - b)

giống hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)

, nhưng vế phải bị viết SAI dấu thành

a^{2} + b^{2}

— đây là bẫy cố ý

Phương án D có dạng tích hai nhị thức

(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + mn

với

m = 1, n = 2

; kiểm tra

m + n = 3

và

mn = 2

khớp đúng

a^{2} + 3 a + 2

D là hằng đẳng thức đúng; C là bẫy đổi dấu của hiệu hai bình phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển trực tiếp cho kết quả chắc chắn ngay trong một dòng cho mỗi phương án, nhanh hơn thử nhiều bộ số như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D:

(a + 1) (a + 2) = a^{2} + 3 a + 2

là hằng đẳng thức.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn nhầm C vì thấy dạng

(a + b) (a - b)

quen mắt với hiệu hai bình phương rồi vội suy ra vế phải là

a^{2} + b^{2}

; đúng ra hiệu hai bình phương cho

a^{2} - b^{2}

(dấu trừ), không phải dấu cộng.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu bài, kiểm tra đẳng thức

(a - b)^{2} + 4 ab = (a + b)^{2}

cũng là một hằng đẳng thức đúng — nhận ra qua khai triển vế trái.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 29— Phân tích đa thức dạng hiệu hai lập phương thành nhân tử

Chọn một phương án đúng. Đa thức

x^{3} - 8

được phân tích thành tích của hai đa thức là: A.

x - 2

và

x^{2} - 2 x - 4

; B.

x - 2

và

x^{2} + 2 x - 4

; C.

x - 2

và

x^{2} + 2 x + 4

; D.

x - 2

và

x^{2} - 2 x + 4

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .
Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Phép chia đa thức cho đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}

đúng dạng hiệu hai lập phương — dấu hiệu nhận ngay công thức

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

với

A = x, B = 2

. Bốn phương án đều có sẵn thừa số

x - 2

giống nhau, chỉ khác nhân tử bậc hai còn lại nên chỉ cần xác định đúng dấu của hai hạng tử giữa. Bẫy ở chỗ dễ nhớ nhầm dấu

A B

thành trừ (giống công thức tổng hai lập phương) trong khi hiệu hai lập phương lại có dấu cộng ở giữa.

1Áp dụng trực tiếp công thức hiệu hai lập phương

Định hướng. Nhận $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3}$ , áp công thức $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ với $A = x, B = 2$ .

x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Vậy đáp án C.

2Nhân ngược lại từng phương án để kiểm tra

Định hướng. Nhân $(x - 2)$ với nhân tử bậc hai của mỗi phương án, phương án nào cho đúng $x^{3} - 8$ thì chọn.

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8 = x^{3} - 8

— khớp đề

(x - 2) (x^{2} - 2 x + 4) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} + 4 x - 8 = x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - 8

— không khớp

Chỉ C cho đúng $x^{3} - 8$ , đáp án C.

3Chia đa thức

x^{3} - 8

cho

x - 2

bằng phép chia đa thức

Định hướng. Thực hiện phép chia đa thức $x^{3} - 8$ cho $x - 2$ , thương chính là nhân tử bậc hai còn thiếu.

x^{3} \div x = x^{2}

;

x^{2} (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}

; dư

2 x^{2} - 8

2 x^{2} \div x = 2 x

;

2 x (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x

; dư

4 x - 8

4 x \div x = 4

;

4 (x - 2) = 4 x - 8

; dư

0

Thương là $x^{2} + 2 x + 4$ , vậy $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp công thức có sẵn chỉ một dòng, nhanh hơn hẳn nhân ngược hay chia đa thức.

Đáp số. Đáp án C:

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ nhầm dấu, chọn D vì viết

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)

, lẫn với công thức tổng hai lập phương có dấu trừ ở giữa; hiệu hai lập phương

A^{3} - B^{3}

luôn có dấu cộng ở hạng tử

A B

trong nhân tử bậc hai.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức,

8 x^{3} - 27 = (2 x)^{3} - 3^{3} = (2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★Trang 29— Nhận diện tam thức bậc hai là bình phương của một tổng

Chọn một phương án đúng. Biểu thức

x^{2} + x + \frac{1}{4}

viết được dưới dạng bình phương của một tổng là: A.

(x - \frac{1}{2})^{2}

; B.

(x + \frac{1}{2})^{2}

; C.

(2 x + \frac{1}{2})^{2}

; D.

(\frac{1}{2} x + 1)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam thức bậc hai với hệ số bậc cao nhất bằng

1

, hạng tử tự do là số chính phương

\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

— dấu hiệu của dạng bình phương một tổng

A^{2} + 2 A B + B^{2}

. Hướng nhanh nhất là tách hạng tử giữa

x = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}

để nhận ra

A = x, B = \frac{1}{2}

. Bẫy ở phương án A cùng có đúng các số

x, \frac{1}{2}

nhưng đổi dấu thành hiệu, trong khi đề cho hạng tử giữa dương (

+ x

) nên phải là tổng chứ không phải hiệu.

1Tách hạng tử giữa theo đúng dạng

2 A B

Định hướng. Viết $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ và hạng tử giữa $x = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}$ để nhận diện $A = x, B = \frac{1}{2}$ .

x^{2} + x + \frac{1}{4} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} = (x + \frac{1}{2})^{2}

Vậy đáp án B.

2Khai triển từng phương án rồi so với đề

Định hướng. Khai triển bốn phương án bằng hằng đẳng thức bình phương một tổng/hiệu, phương án nào cho đúng đề thì chọn.

(x - \frac{1}{2})^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}

— sai dấu hạng tử giữa

(x + \frac{1}{2})^{2} = x^{2} + x + \frac{1}{4}

— khớp đề

(2 x + \frac{1}{2})^{2} = 4 x^{2} + 2 x + \frac{1}{4}

— sai hệ số

x^{2}

Chỉ B khớp, đáp án B.

3Thay giá trị cụ thể

x = 1

kiểm tra số

Định hướng. Thay $x = 1$ vào đề và vào từng phương án, phương án nào cho cùng một số mới có khả năng đúng, thử thêm một giá trị nữa để chắc chắn.

tại

x = 1

: đề

= 1 + 1 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}

; A cho

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(loại); B cho

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

(khớp); C cho

(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}

(loại)

thử thêm

x = 0

: đề

= \frac{1}{4}

; B cho

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

, vẫn khớp

B khớp ở cả hai lần thử, đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách hạng tử giữa theo đúng dạng

2 A B

chỉ mất một dòng, không cần khai triển bốn phương án như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B:

x^{2} + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn nhầm A vì chỉ để ý đúng hai số

x

và

\frac{1}{2}

mà quên kiểm tra dấu của hạng tử giữa; đề có

+ x

(dương) nên phải là bình phương của TỔNG, không phải hiệu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = (x - \frac{3}{2})^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 29— Nhận biết đúng công thức tổng và hiệu hai lập phương

Chọn một phương án đúng. Khẳng định nào sau đây là đúng? A.

(A - B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}

; B.

(A + B) (A^{2} + A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

; C.

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} - B^{3}

; D.

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều ghép tích một nhị thức với một tam thức bậc hai, đúng dạng khai triển của tổng hoặc hiệu hai lập phương — cần nhớ chính xác hai công thức

A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})

và

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

rồi đối chiếu từng phương án. Bẫy nằm ở chỗ bốn phương án cố tình hoán đổi dấu giữa

A B

và dấu ở vế phải để gây nhầm lẫn — phải kiểm tra đủ cả nhân tử thứ nhất, dấu ở giữa nhân tử bậc hai, lẫn dấu ở vế phải cùng lúc.

1Nhớ đúng hai công thức rồi đối chiếu từng phương án

Định hướng. Viết lại chính xác hai hằng đẳng thức tổng và hiệu hai lập phương, so từng phương án với đúng công thức gốc.

công thức gốc:

A^{3} + B^{3} = (A + B) (A^{2} - A B + B^{2})

và

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

(A - B) (A^{2} - A B + B^{2})

— dấu

A B

sai so với công thức hiệu — sai

(A + B) (A^{2} + A B + B^{2})

— dấu

A B

sai so với công thức tổng — sai

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

chứ không phải

A^{3} - B^{3}

— sai vế phải

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

— đúng công thức tổng hai lập phương

Vậy đáp án D.

2Khai triển trực tiếp vế trái của phương án D để kiểm chứng

Định hướng. Nhân đa thức $(A + B) (A^{2} - A B + B^{2})$ theo quy tắc nhân đa thức với đa thức, rút gọn xem có bằng $A^{3} + B^{3}$ không.

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} - A^{2} B + A B^{2} + A^{2} B - A B^{2} + B^{3} = A^{3} + B^{3}

Khớp đúng vế phải của D, xác nhận đáp án D.

3Thay số cụ thể

A = 2, B = 1

kiểm tra cả bốn phương án

Định hướng. Thay cùng một cặp số vào vế trái và vế phải của từng phương án, phương án nào cho hai vế bằng nhau là đáp án đúng.

A = 2, B = 1

A^{3} + B^{3} = 9

A^{3} - B^{3} = 7

A) trái

= (1) (4 - 2 + 1) = 3 \neq = 7

— sai; B) trái

= (3) (4 + 2 + 1) = 21 \neq = 9

— sai

C) trái

= (3) (4 - 2 + 1) = 9 \neq = 7

— sai vì vế phải của C ghi

A^{3} - B^{3} = 7

; D) trái

= (3) (4 - 2 + 1) = 9 = A^{3} + B^{3}

— khớp

Chỉ D đúng, đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuộc chắc hai công thức rồi đối chiếu trực tiếp là nhanh nhất; Cách 3 chỉ nên dùng khi quên công thức.

Đáp số. Đáp án D:

(A + B) (A^{2} - A B + B^{2}) = A^{3} + B^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chọn nhầm C vì khai triển đúng vế trái ra

A^{3} + B^{3}

nhưng không để ý vế phải của C lại ghi

A^{3} - B^{3}

(sai dấu); phải đối chiếu cả hai vế cùng lúc, không chỉ khai triển một vế rồi chọn theo cảm giác quen mắt.

🚀 Mở rộng. Cùng hai công thức này, có thể kiểm tra nhanh khẳng định

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1

đúng hay sai bằng cách đối chiếu với công thức hiệu hai lập phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★Trang 29— Rút gọn biểu thức chứa hiệu hai bình phương

Chọn một phương án đúng. Rút gọn biểu thức

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 2)

ta được: A.

5

; B.

4

; C.

3

; D.

- 3

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
Quy tắc dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hiệu của hai tích, mỗi tích đều đúng dạng

(A + B) (A - B)

— dấu hiệu áp dụng ngay hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho từng tích rồi trừ hai kết quả, thay vì nhân đa thức thông thường dài hơn. Bẫy ở chỗ dấu trừ đứng trước cả ngoặc

(x + 2) (x - 2)

, phải đổi dấu toàn bộ khai triển

x^{2} - 4

thành

- x^{2} + 4

khi bỏ ngoặc, không chỉ đổi dấu số hạng đầu.

1Áp dụng hiệu hai bình phương cho từng tích rồi trừ

Định hướng. Đưa mỗi tích về hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi bỏ ngoặc đúng dấu.

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 2) = (x^{2} - 1) - (x^{2} - 4)

= x^{2} - 1 - x^{2} + 4 = 3

Vậy đáp án C.

2Khai triển trực tiếp từng tích bằng quy tắc nhân đa thức

Định hướng. Nhân từng cặp nhị thức theo quy tắc nhân đa thức với đa thức (không dùng hằng đẳng thức) rồi rút gọn, dùng để đối chiếu lại Cách 1.

(x + 1) (x - 1) = x^{2} - x + x - 1 = x^{2} - 1

(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 = x^{2} - 4

(x^{2} - 1) - (x^{2} - 4) = x^{2} - 1 - x^{2} + 4 = 3

Kết quả trùng Cách 1, đáp án C.

3Thay giá trị cụ thể của

x

để tính nhanh

Định hướng. Vì kết quả rút gọn chỉ còn số (không còn $x$ ), thay bất kì giá trị $x$ nào vào biểu thức gốc cũng phải ra cùng một số; chọn $x = 0$ cho phép tính đơn giản nhất.

tại

x = 0

(0 + 1) (0 - 1) - (0 + 2) (0 - 2) = (1) (- 1) - (2) (- 2) = - 1 + 4 = 3

thử thêm

x = 5

(6) (4) - (7) (3) = 24 - 21 = 3

Cả hai lần thử đều ra $3$ , xác nhận đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp hằng đẳng thức hiệu hai bình phương chỉ hai dòng, nhanh hơn nhân đa thức đầy đủ ở Cách 2.

Đáp số. Đáp án C:

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 2) = 3

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đổi dấu toàn bộ

(x^{2} - 4)

khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước, viết nhầm thành

x^{2} - 1 - x^{2} - 4 = - 5

thay vì

x^{2} - 1 - x^{2} + 4 = 3

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, rút gọn

(x + 3) (x - 3) - (x + 1) (x - 1)

cũng cho một hằng số không phụ thuộc

x

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.19★★Trang 29— Tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ

Tính nhanh giá trị của các biểu thức: a)

x^{2} + 12 x + 36

tại

x = - 1006

; b)

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Lập phương của một hiệu: $A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3} = (A - B)^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tính nhanh với giá trị

x

rất lớn (âm nghìn, hoặc trăm) — dấu hiệu không được thay trực tiếp vì số sẽ cồng kềnh, phải nhận diện biểu thức là khai triển của một hằng đẳng thức (bình phương một tổng ở câu a, lập phương một hiệu ở câu b) rồi đưa về dạng luỹ thừa gọn trước khi thay số. Bẫy ở câu b) dễ nhận nhầm thành lập phương một tổng vì thấy toàn số dương

9, 27, 27

, trong khi các hạng tử bậc lẻ mang dấu âm mới đúng là dấu hiệu của lập phương một hiệu.

1Đưa về hằng đẳng thức rồi thay số

Định hướng. Nhận diện mỗi biểu thức đúng dạng khai triển của một hằng đẳng thức, viết gọn thành luỹ thừa của một nhị thức rồi mới thay giá trị $x$ .

x^{2} + 12 x + 36 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} = (x + 6)^{2}

; tại

x = - 1006

(- 1006 + 6)^{2} = (- 1000)^{2} = 1000000

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} - 3^{3} = (x - 3)^{3}

; tại

x = 103

(103 - 3)^{3} = 10 0^{3} = 1000000

Vậy a) $1000000$ ; b) $1000000$ .

2Đặt ẩn phụ theo đúng nhị thức của hằng đẳng thức

Định hướng. Đặt $t$ bằng đúng nhị thức xuất hiện trong hằng đẳng thức, tính giá trị của $t$ trước rồi mới nâng luỹ thừa, tránh phải nhân số lớn nhiều lần.

a) đặt

t = x + 6

; tại

x = - 1006

thì

t = - 1006 + 6 = - 1000

; biểu thức

= t^{2} = (- 1000)^{2} = 1000000

b) đặt

t = x - 3

; tại

x = 103

thì

t = 103 - 3 = 100

; biểu thức

= t^{3} = 10 0^{3} = 1000000

Cùng kết quả với Cách 1: a) $1000000$ ; b) $1000000$ .

3Thay trực tiếp vào biểu thức gốc để đối chiếu

Định hướng. Thay thẳng giá trị $x$ vào từng hạng tử của biểu thức gốc rồi cộng trừ tuần tự, dùng để kiểm chứng lại kết quả của Cách 1, Cách 2.

a) tại

x = - 1006

(- 1006)^{2} + 12 \cdot (- 1006) + 36 = 1012036 - 12072 + 36 = 1000000

b) tại

x = 103

10 3^{3} - 9 \cdot 10 3^{2} + 27 \cdot 103 - 27 = 1092727 - 95481 + 2781 - 27 = 1000000

Khớp đúng kết quả Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa về hằng đẳng thức rồi thay số một lần, không phải tính các luỹ thừa số lớn như Cách 3.

Đáp số. a)

x^{2} + 12 x + 36 = 1000000

tại

x = - 1006

; b)

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = 1000000

tại

x = 103

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn nhận nhầm thành lập phương của một TỔNG

(x + 3)^{3}

vì thấy toàn số dương

9, 27, 27

mà quên các hạng tử bậc lẻ mang dấu âm (

- 9 x^{2}

và

- 27

); dấu âm xen kẽ đúng là dấu hiệu của lập phương một HIỆU

(x - 3)^{3}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, tính nhanh

x^{2} - 20 x + 100

tại

x = 1998

bằng cách đưa về

(x - 10)^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.20★★★Trang 30— Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách khai triển và rút gọn về hằng số

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

x

: a)

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 x^{2}

; b)

(2 x - 3)^{2} + (2 x + 3)^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3)

; c)

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(A - B)^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .
Bình phương của một tổng, một hiệu: $(A \pm B)^{2} = A^{2} \pm 2 A B + B^{2}$ .
Tổng và hiệu hai lập phương: $A^{3} \pm B^{3} = (A \pm B) (A^{2} \mp A B + B^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh biểu thức luôn cho cùng một giá trị dù

x

thay đổi — dấu hiệu phải khai triển đầy đủ rồi rút gọn cho tới khi mọi số hạng chứa

x

triệt tiêu hết, chỉ còn lại một hằng số. Ba câu đều là tổ hợp của các hằng đẳng thức đã học (lập phương của tổng/hiệu ở câu a, bình phương của tổng/hiệu ở câu b, tổng/hiệu hai lập phương ở câu c) nên dùng đúng hằng đẳng thức để rút gọn nhanh thay vì nhân đa thức tay từng số hạng. Bẫy ở câu a) dễ quên đổi dấu khi bỏ ngoặc trừ trước

(x - 1)^{3}

đã khai triển, làm sai cả dấu ba số hạng bên trong.

1Khai triển trực tiếp từng hạng tử bằng hằng đẳng thức cơ bản rồi rút gọn

Định hướng. Khai triển từng luỹ thừa bằng đúng hằng đẳng thức lập phương/bình phương của tổng hoặc hiệu, gộp các số hạng chứa $x$ để thấy chúng triệt tiêu hết.

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 x^{2} = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) - 6 x^{2}

= x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 - 6 x^{2} = 2

(2 x - 3)^{2} + (2 x + 3)^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3) = (4 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x^{2} + 12 x + 9) - 2 (4 x^{2} - 9)

= 4 x^{2} - 12 x + 9 + 4 x^{2} + 12 x + 9 - 8 x^{2} + 18 = 36

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = (x^{3} - 27) - (x^{3} + 8) = - 35

Cả ba biểu thức đều rút gọn về hằng số: a) $2$ ; b) $36$ ; c) $- 35$ — không phụ thuộc $x$ .

2Nhóm theo hằng đẳng thức rút gọn thông minh, tránh khai triển toàn bộ

Định hướng. Dùng trực tiếp công thức $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ hoặc đưa về bình phương của một hiệu hai đại lượng để tính nhanh hơn, không cần khai triển hết mọi số hạng.

a) coi

A = x + 1, B = x - 1

, dùng

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

với

A - B = 2

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} = 2 [(x + 1)^{2} + (x + 1) (x - 1) + (x - 1)^{2}] = 2 (3 x^{2} + 1) = 6 x^{2} + 2

; biểu thức

= 6 x^{2} + 2 - 6 x^{2} = 2

b) coi

M = 2 x - 3, N = 2 x + 3

: biểu thức

= M^{2} + N^{2} - 2 M N = (M - N)^{2} = (2 x - 3 - 2 x - 3)^{2} = (- 6)^{2} = 36

c) áp trực tiếp

A^{3} - B^{3} = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = x^{3} - 27

và

A^{3} + B^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = x^{3} + 8

; biểu thức

= x^{3} - 27 - (x^{3} + 8) = - 35

Cùng kết quả với Cách 1, tính gọn hơn: a) $2$ ; b) $36$ ; c) $- 35$ .

3Thay ít nhất hai giá trị

x

khác nhau để kiểm chứng hằng số

Định hướng. Sau khi đã chứng minh bằng đại số ở Cách 1, Cách 2, thay hai giá trị $x$ khác nhau vào biểu thức gốc để kiểm chứng lại kết quả (bước kiểm tra thêm, không thay cho chứng minh đại số).

a) tại

x = 0

1 - (- 1) - 0 = 2

; tại

x = 2

27 - 1 - 24 = 2

— cả hai đều ra

2

b) tại

x = 0

9 + 9 - 2 (- 3) (3) = 18 + 18 = 36

; tại

x = 1

1 + 25 - 2 (- 1) (5) = 26 + 10 = 36

— cả hai đều ra

36

c) tại

x = 0

(- 3) (9) - (2) (4) = - 27 - 8 = - 35

; tại

x = 1

(- 2) (13) - (3) (3) = - 26 - 9 = - 35

— cả hai đều ra

- 35

Mọi lần thử đều khớp đúng hằng số đã chứng minh ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhóm theo hằng đẳng thức rút gọn cho lời giải ngắn nhất, đặc biệt câu c) chỉ cần áp thẳng công thức tổng/hiệu hai lập phương là ra ngay kết quả mà không cần khai triển từng số hạng bậc ba.

Đáp số. a)

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 x^{2} = 2

; b)

(2 x - 3)^{2} + (2 x + 3)^{2} - 2 (2 x - 3) (2 x + 3) = 36

; c)

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = - 35

. Cả ba giá trị đều là hằng số, không phụ thuộc

x

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), nhiều bạn quên đổi dấu cả ba số hạng bên trong khi bỏ ngoặc trừ trước

(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)

, viết nhầm thành

- x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1

thay vì

- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1

, dẫn đến kết quả sai.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng bài, chứng minh

(x + 2)^{3} - (x - 2)^{3} - 12 x^{2}

cũng cho một hằng số không phụ thuộc

x

— thử tính xem hằng số đó bằng bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 2.21★★Trang 30— So sánh tích hai số cách đều một số trung tâm với bình phương của số trung tâm đó

Không cần tính, hãy so sánh số

A

với số

B

trong các trường hợp sau: a)

A = 2021 \cdot 2023

và

B = 202 2^{2}

; b)

A = 2021 \cdot 2025

và

B = 202 3^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(n - k) (n + k) = n^{2} - k^{2}$ .
Với $k > 0$ thì $n^{2} - k^{2} < n^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ở cả hai câu, hai thừa số của

A

đều cách đều số bị bình phương ở

B

(một số nhỏ hơn, một số lớn hơn cùng một lượng) — dấu hiệu áp dụng hằng đẳng thức

(n - k) (n + k) = n^{2} - k^{2}

để đưa

A

về cùng dạng

n^{2}

trừ đi một số dương, so sánh ngay với

B = n^{2}

mà không cần nhân số lớn. Bẫy là phải xác định đúng số trung tâm

n

và độ lệch

k

của từng câu: câu a)

n = 2022, k = 1

; câu b)

n = 2023, k = 2

(không phải

k = 1

vì

2021

và

2025

cách

2023

tới

2

đơn vị).

1Đưa

A

về dạng hiệu hai bình phương rồi so với

B

Định hướng. Viết hai thừa số của $A$ dưới dạng $n - k$ và $n + k$ với $n$ là số trung tâm, áp dụng $(n - k) (n + k) = n^{2} - k^{2}$ rồi so trực tiếp với $B = n^{2}$ .

A = 2021 \cdot 2023 = (2022 - 1) (2022 + 1) = 202 2^{2} - 1

; vì

202 2^{2} - 1 < 202 2^{2} = B

nên

A < B

A = 2021 \cdot 2025 = (2023 - 2) (2023 + 2) = 202 3^{2} - 4

; vì

202 3^{2} - 4 < 202 3^{2} = B

nên

A < B

Cả hai trường hợp đều có $A < B$ .

2Tổng quát hoá bằng biến, chứng minh cho mọi

n, k

dương

Định hướng. Đặt $n$ là số trung tâm, $k$ là độ lệch chung của hai thừa số, chứng minh tổng quát $(n - k) (n + k) < n^{2}$ với mọi $k > 0$ rồi áp dụng cho từng câu.

với mọi

n, k

thực và

k > 0

(n - k) (n + k) = n^{2} - k^{2}

, mà

k^{2} > 0

nên

n^{2} - k^{2} < n^{2}

, tức

(n - k) (n + k) < n^{2}

luôn đúng

a) áp dụng

n = 2022, k = 1 > 0

A = 202 2^{2} - 1 < 202 2^{2} = B

b) áp dụng

n = 2023, k = 2 > 0

A = 202 3^{2} - 4 < 202 3^{2} = B

Theo kết quả tổng quát, cả hai câu đều có $A < B$ .

3Tính giá trị số cụ thể để kiểm tra lại

Định hướng. Tính trực tiếp giá trị của $A$ và $B$ bằng số, so sánh hai số để đối chiếu lại kết luận đã suy luận ở Cách 1.

A = 2021 \cdot 2023 = 4088483

;

B = 202 2^{2} = 4088484

; rõ ràng

A = B - 1 < B

A = 2021 \cdot 2025 = 4092525

;

B = 202 3^{2} = 4092529

; rõ ràng

A = B - 4 < B

Khớp đúng kết luận $A < B$ ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa về hiệu hai bình phương so ngay trong hai dòng, không cần tính số lớn như Cách 3, và không cần phát biểu tổng quát dài dòng như Cách 2.

Đáp số. a)

A < B

(vì

A = 202 2^{2} - 1

); b)

A < B

(vì

A = 202 3^{2} - 4

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn lấy nhầm độ lệch

k = 1

giống câu a) vì thấy dạng bài giống nhau, trong khi

2021

và

2025

thực ra cách số trung tâm

2023

tới

2

đơn vị chứ không phải

1

; phải tính lại đúng

k = 2023 - 2021 = 2

cho từng câu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, so sánh

C = 99 \cdot 101

với

D = 10 0^{2}

mà không cần nhân số lớn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 2.22★★Trang 30— Phân tích đa thức nhiều biến thành nhân tử bằng nhóm hạng tử kết hợp hằng đẳng thức

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{3} - y^{3} + 2 x - 2 y

; b)

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} - 4 z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ .
Bình phương của một tổng: $A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kĩ thuật nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Hai biểu thức đều có từ bốn hạng tử trở lên và không có nhân tử chung ngay — dấu hiệu của dạng nhóm hạng tử: câu a) nhóm hai hạng tử đầu cho hiệu hai lập phương, hai hạng tử sau cho đúng nhân tử chung vừa xuất hiện; câu b) ba hạng tử đầu cho bình phương của một tổng, kết hợp hạng tử còn lại cho hiệu hai bình phương. Bẫy ở câu b) phải nhận ra

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} = (x + 4 y)^{2}

trước khi nhóm với

- 4 z^{2} = - (2 z)^{2}

, nhóm nhầm cặp sẽ không lộ ra hằng đẳng thức.

1Nhóm hạng tử rồi đặt nhân tử chung

Định hướng. Nhóm các hạng tử tạo thành hằng đẳng thức quen thuộc, rồi đặt nhân tử chung xuất hiện ở các nhóm.

x^{3} - y^{3} + 2 x - 2 y = (x^{3} - y^{3}) + (2 x - 2 y) = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) + 2 (x - y) = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 2)

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} - 4 z^{2} = (x^{2} + 8 x y + 16 y^{2}) - 4 z^{2} = (x + 4 y)^{2} - (2 z)^{2} = (x + 4 y - 2 z) (x + 4 y + 2 z)

Vậy a) $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 2)$ ; b) $(x + 4 y - 2 z) (x + 4 y + 2 z)$ .

2Đặt ẩn phụ bằng biểu thức lặp lại

Định hướng. Đặt ẩn phụ đúng bằng phần biểu thức xuất hiện lặp lại (hiệu hai biến ở câu a, tổng hai biến ở câu b), đưa về đa thức một biến rồi phân tích gọn.

a) đặt

s = x - y

x^{3} - y^{3} + 2 x - 2 y = s (x^{2} + x y + y^{2}) + 2 s = s (x^{2} + x y + y^{2} + 2) = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 2)

b) đặt

s = x + 4 y

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} - 4 z^{2} = s^{2} - (2 z)^{2} = (s - 2 z) (s + 2 z) = (x + 4 y - 2 z) (x + 4 y + 2 z)

Cả hai kết quả trùng Cách 1.

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay một bộ giá trị cụ thể vào đa thức gốc và vào kết quả đã phân tích; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin.

a) tại

x = 2, y = 1

: gốc

= 8 - 1 + 4 - 2 = 9

;

(2 - 1) (4 + 2 + 1 + 2) = 1 \cdot 9 = 9

, khớp

b) tại

x = 1, y = 1, z = 1

: gốc

= 1 + 8 + 16 - 4 = 21

;

(1 + 4 - 2) (1 + 4 + 2) = 3 \cdot 7 = 21

, khớp

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận kết quả phân tích ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm hạng tử trực tiếp không cần đặt thêm ẩn phụ nên ít bước hơn Cách 2; Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại đáp số.

Đáp số. a)

x^{3} - y^{3} + 2 x - 2 y = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 2)

; b)

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} - 4 z^{2} = (x + 4 y - 2 z) (x + 4 y + 2 z)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn nhóm nhầm

16 y^{2} - 4 z^{2}

thành hiệu hai bình phương trước vì thấy có dạng quen mắt, bỏ sót việc

x^{2} + 8 x y + 16 y^{2}

phải nhóm chung thành

(x + 4 y)^{2}

trước; nhóm sai cặp sẽ không rút ra được nhân tử chung nào.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, phân tích

x^{3} + y^{3} + 3 x + 3 y

cũng nhóm được thành

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 2.23★★Trang 30— Phân tích tam thức bậc hai một biến có nghiệm nguyên thành tích hai nhị thức bậc nhất

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

x^{2} - 3 x + 2

; b)

x^{2} + 7 x + 6

Kiến thức cần nhớ

Với $x^{2} + b x + c$ , nếu tìm được $m, n$ thoả $m + n = b$ và $mn = c$ thì $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Kĩ thuật hoàn thành bình phương của một nhị thức.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai đa thức đều là tam thức bậc hai với hệ số bậc cao nhất bằng

1

và có nghiệm nguyên — dấu hiệu tách hạng tử bậc nhất theo một cặp số nguyên có tích bằng hệ số tự do và tổng bằng hệ số bậc nhất. Câu a) hệ số bậc nhất âm nhưng hệ số tự do dương nên cả hai số cần tìm đều âm; câu b) cả hai hệ số đều dương nên cả hai số đều dương — dễ nhầm dấu nếu chỉ nhìn tích mà quên xét dấu theo tổng.

1Tách hạng tử bậc nhất theo cặp số có tổng và tích phù hợp

Định hướng. Với $x^{2} + b x + c$ , tìm hai số $m, n$ sao cho $m + n = b$ và $mn = c$ , tách hạng tử bậc nhất $b x = m x + n x$ rồi nhóm để đặt nhân tử chung.

a) tìm

m, n

m + n = - 3, mn = 2 \Rightarrow m = - 1, n = - 2

;

x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} - x - 2 x + 2 = x (x - 1) - 2 (x - 1) = (x - 1) (x - 2)

b) tìm

m, n

m + n = 7, mn = 6 \Rightarrow m = 1, n = 6

;

x^{2} + 7 x + 6 = x^{2} + x + 6 x + 6 = x (x + 1) + 6 (x + 1) = (x + 1) (x + 6)

Vậy a) $(x - 1) (x - 2)$ ; b) $(x + 1) (x + 6)$ .

2Hoàn thành bình phương rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Thêm bớt một số thích hợp để đưa tam thức về dạng bình phương của một nhị thức trừ đi một số chính phương, rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = (x - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}) (x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}) = (x - 2) (x - 1)

x^{2} + 7 x + 6 = x^{2} + 7 x + \frac{49}{4} - \frac{25}{4} = (x + \frac{7}{2})^{2} - (\frac{5}{2})^{2} = (x + \frac{7}{2} - \frac{5}{2}) (x + \frac{7}{2} + \frac{5}{2}) = (x + 1) (x + 6)

Kết quả trùng Cách 1: a) $(x - 1) (x - 2)$ ; b) $(x + 1) (x + 6)$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ vào đa thức gốc và vào tích hai nhị thức đã tìm được; hai bên trùng số thì kết quả đáng tin.

a) tại

x = 3

: gốc

= 9 - 9 + 2 = 2

;

(3 - 1) (3 - 2) = 2 \cdot 1 = 2

, khớp

b) tại

x = 2

: gốc

= 4 + 14 + 6 = 24

;

(2 + 1) (2 + 6) = 3 \cdot 8 = 24

, khớp

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận kết quả phân tích ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách hạng tử theo tổng và tích chỉ mất hai dòng, nhanh hơn Cách 2 phải làm việc với các phân số

\frac{3}{2}, \frac{7}{2}

; Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại đáp số.

Đáp số. a)

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

; b)

x^{2} + 7 x + 6 = (x + 1) (x + 6)

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), nhiều bạn tìm cặp số có tích

2

nhưng lấy nhầm dấu dương (như

m = 1, n = 2

) vì quên hệ số bậc nhất

- 3

âm bắt buộc cả hai số cùng âm; phải xét dấu theo tổng

m + n = - 3

trước khi chốt cặp số

m = - 1, n = - 2

🚀 Mở rộng. Với tam thức tổng quát

x^{2} + b x + c

có nghiệm nguyên, luôn tìm được cặp

(m, n)

thoả

m + n = b, mn = c

để phân tích

(x + m) (x + n)

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 2.24★★Trang 30— Ứng dụng hiệu hai bình phương tính diện tích hình vành khuyên

Từ một miếng bìa có dạng hình tròn (H.2.4) với bán kính

R

(cm), người ta khoét một hình tròn ở giữa có bán kính

r

(cm),

r < R

. a) Viết công thức tính diện tích phần còn lại của miếng bìa. b) Tính diện tích phần còn lại của miếng bìa biết tổng hai bán kính là

10

cm và hiệu hai bán kính là

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình tròn bán kính $ρ$ : $S = π ρ^{2}$ .
Hiệu hai bình phương: $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần bìa còn lại là hiệu diện tích hai hình tròn đồng tâm, đúng dạng

π R^{2} - π r^{2}

— dấu hiệu đặt nhân tử chung

π

rồi áp hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để đưa về tích

π (R - r) (R + r)

, từ đó câu b) chỉ cần thay thẳng tổng và hiệu hai bán kính đã cho mà không cần tìm riêng từng giá trị

R, r

. Bẫy hay gặp là thay nhầm vị trí: phải thay đúng

(R - r) = 3

và

(R + r) = 10

vào công thức

π (R - r) (R + r)

, không được tính lại

(10 - 3) (10 + 3)

vì

10

và

3

không phải là hai bán kính mà là tổng và hiệu của chúng.

1Thay trực tiếp tổng và hiệu hai bán kính vào công thức đã rút gọn

Định hướng. Viết công thức diện tích phần còn lại bằng hiệu hai hình tròn, đưa về dạng tích nhờ hiệu hai bình phương, rồi thay thẳng $R + r = 10$ và $R - r = 3$ vào đúng vị trí của công thức.

a) diện tích miếng bìa bán kính

R

là

π R^{2}

(

cm^{2}

), diện tích phần khoét bán kính

r

là

π r^{2}

(

cm^{2}

); diện tích còn lại:

π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) = π (R - r) (R + r)

(

cm^{2}

)

R + r = 10, R - r = 3

; diện tích còn lại

= π (R - r) (R + r) = π \cdot 3 \cdot 10 = 30 π

(

cm^{2}

)

Vậy a) $S = π (R - r) (R + r)$ ( $cm^{2}$ ); b) $S = 30 π cm^{2}$ .

2Giải hệ tìm

R, r

cụ thể rồi tính trực tiếp

Định hướng. Giải hệ hai phương trình $R + r = 10$ và $R - r = 3$ để tìm từng bán kính, rồi thay ngược vào công thức diện tích gốc ở câu a) mà không cần dùng dạng tích.

cộng hai phương trình:

2 R = 13 \Rightarrow R = 6, 5

; trừ hai phương trình:

2 r = 7 \Rightarrow r = 3, 5

diện tích còn lại

= π R^{2} - π r^{2} = π (6, 5^{2} - 3, 5^{2}) = π (42, 25 - 12, 25) = 30 π

(

cm^{2}

)

Khớp đúng kết quả Cách 1, $S = 30 π cm^{2}$ .

3Tính gần đúng bằng số thập phân để đối chiếu

Định hướng. Lấy $π \approx 3, 14159$ , tính giá trị gần đúng của diện tích từ cả hai cách trên để kiểm tra chúng cho cùng một số.

S = 30 π \approx 30 \cdot 3, 14159 \approx 94, 25 cm^{2}

tính lại từ

R = 6, 5, r = 3, 5

π (6, 5^{2} - 3, 5^{2}) = π \cdot 30 \approx 94, 25 cm^{2}

, trùng khớp

Cả hai cách đều cho cùng giá trị gần đúng, xác nhận $S = 30 π cm^{2}$ là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay thẳng tổng và hiệu hai bán kính vào công thức tích đã rút gọn, không cần giải hệ tìm từng bán kính như Cách 2.

Đáp số. a) Diện tích phần còn lại:

S = π (R - r) (R + r) = π (R^{2} - r^{2})

(

cm^{2}

). b) Với

R + r = 10

cm,

R - r = 3

cm:

S = π \cdot 3 \cdot 10 = 30 π cm^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhầm lẫn thay số

10

và

3

như thể chúng là hai bán kính

R, r

rồi tính

π (10 - 3) (10 + 3) = 91 π

— SAI, vì

10

và

3

lần lượt là TỔNG và HIỆU của hai bán kính (theo đề bài), không phải chính hai bán kính; phải thay đúng

R - r = 3

và

R + r = 10

vào công thức

π (R - r) (R + r)

để được

π \cdot 3 \cdot 10 = 30 π

, không được đảo vai trò của các số đã cho.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, nếu biết tổng hai bán kính là

S_{1}

và hiệu hai bán kính là

S_{2}

thì diện tích phần còn lại luôn là

π \cdot S_{1} \cdot S_{2}

Mở bài này trong app ↗