Bài tập cuối chương III

Định hướng. So từng phương án với đúng dấu hiệu nhận biết hình thoi; phương án thiếu điều kiện 'hình bình hành' thì tìm phản ví dụ bác bỏ.

Vậy câu đúng là D.

Định hướng. Thay vì chỉ gọi tên hình phản ví dụ, dựng toạ độ cụ thể để kiểm chứng bằng số cho A, B, C; còn D kiểm bằng chính định nghĩa hình thoi.

Vậy câu đúng là D.

Định hướng. Nhận xét chung: muốn khẳng định một tứ giác là hình thoi, bắt buộc trước tiên nó phải là hình bình hành — kiểm tra xem mỗi phương án có đủ giả thiết này không.

Vậy câu đúng là D.

Nhận xét. Mẹo nhanh cho dạng bài này: kiểm tra trước xem giả thiết có nói tứ giác là hình bình hành hay không, ba phương án sai trong bài đều thiếu đúng điều kiện nền đó.

Định hướng. Đối chiếu trực tiếp bốn phương án với đúng bảng tính chất hình thoi, hình thang đã học ở Bài 11, Bài 14.

Vậy câu đúng là B.

Định hướng. Dùng hình vuông — một hình thoi đặc biệt — để kiểm nhanh xem tính chất nào ĐÚNG CHO MỌI hình thoi hay chỉ đúng cho hình vuông.

Vậy câu đúng là B.

Định hướng. Hình thoi có hai trục đối xứng là chính hai đường chéo của nó — từ tính chất đối xứng suy ra ngay quan hệ vuông góc mà không cần đo đạc.

Vậy câu đúng là B.

Nhận xét. Cách 3 giải thích được TẠI SAO hai đường chéo hình thoi vuông góc (chứ không chỉ thừa nhận), sâu sắc hơn việc chỉ nhắc lại tính chất.

Định hướng. So từng phương án với ba dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình chữ nhật đã học; phương án nào không thêm điều kiện gì mới thì đó là câu sai.

Vậy câu sai là D.

Định hướng. Dựng một hình chữ nhật cụ thể không phải hình vuông để bác bỏ D bằng số liệu, đồng thời kiểm A, B, C bằng chính hình vuông mẫu.

Vậy câu sai là D.

Định hướng. Một hình chữ nhật có hai kích thước độc lập là chiều dài và chiều rộng; muốn thành hình vuông cần thêm ĐÚNG MỘT hệ thức ràng buộc hai kích thước đó bằng nhau — kiểm xem mỗi phương án có tạo ra hệ thức ràng buộc thật sự hay không.

Vậy câu sai là D.

Nhận xét. Cách đếm 'số hệ thức ràng buộc' là một mẹo nhanh áp dụng được cho nhiều bài trắc nghiệm dạng 'hình X có thêm điều kiện gì thì thành hình Y'.

Định hướng. Gọi bốn góc của tứ giác $ABCD$ là $\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$; viết bốn phương trình ứng với bốn cạnh $AB,BC,CD,DA$ rồi giải để tìm quan hệ giữa các góc.

Vậy cả ba câu a), b), c) đều đúng nên số câu sai là 0.

Định hướng. Với mỗi mệnh đề, thử một tứ giác cụ thể thoả mãn giả thiết rồi kiểm tra kết luận đúng hay sai bằng số đo góc thật — cách kiểm chứng ngược, khác lối suy luận đại số ở Cách 1.

Vậy cả ba câu đều đúng, số câu sai là 0.

Định hướng. Nhận ra a), b) chính là hai cách phát biểu khác của các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật đã học trong chương, còn c) liên hệ trực tiếp tới Bài 3.42 (hình thang cân) — dùng lại kết quả đã có thay vì chứng minh từ đầu.

Vậy cả ba câu đều đúng, số câu sai là 0.

Nhận xét. Bài này thực chất kiểm tra xem học sinh có nhận ra ba mệnh đề chỉ là ba cách phát biểu khác của các dấu hiệu đã học hay không.

Định hướng. Từ hai đường song song suy ra $ANMP$ là hình bình hành; dùng định lí Thalès tính $AN$, $AP$ theo tỉ số $\frac{BM}{BC}$, $\frac{CM}{CB}$ để tìm điều kiện $AN=AP$ (hình thoi).

Vậy a) hình bình hành; b) $M$ là chân đường phân giác của $\hat{A}$ trên $BC$; c) tam giác vuông tại $A$; d) $M$ là chân đường cao từ $A$; e) tam giác vuông tại $A$ và $M$ là chân đường phân giác của góc vuông đó.

Định hướng. Dùng trực tiếp tính chất đường chéo $AM$ của hình bình hành $ANMP$: hình bình hành là hình thoi khi và chỉ khi một đường chéo là phân giác của góc ở đỉnh — áp dụng ngay cho góc $A$ mà không cần tính tỉ số Thalès.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Đặt toạ độ tổng quát cho tam giác $ABC$, tham số hoá $M$ trên $BC$, tính trực tiếp $N$, $P$ rồi lập điều kiện đại số cho từng câu — thay lập luận hình học bằng tính toán.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Toạ độ hoá cho thấy rõ $N$, $P$ luôn xác định bởi cùng một tham số $t=\frac{BM}{BC}$, giải thích trực quan vì sao $ANMP$ luôn là hình bình hành với mọi vị trí $M$.

Định hướng. Viết mỗi tỉ số $\frac{HI}{AI}$ dưới dạng tỉ số diện tích hai tam giác chung đáy, rồi cộng ba tỉ số lại bằng cách gộp diện tích.

Vậy với tam giác nhọn: $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=1$; khi góc $A$ tù: $\frac{HI}{AI}-\frac{HJ}{BJ}-\frac{HK}{CK}=1$.

Định hướng. Đặt toạ độ với $BC$ trên trục hoành, tính trực tiếp $H$, $I$, $J$, $K$ theo toạ độ đỉnh $A$ rồi cộng ba tỉ số bằng đại số — một phép kiểm tra độc lập không dùng diện tích.

Vậy kết quả khớp Cách 1 cho cả hai trường hợp nhọn và tù.

Định hướng. Dùng kết quả đã biết: trực tâm $H$ có toạ độ tỉ cự (không chuẩn hoá) là $(\tan A:\tan B:\tan C)$ đối với tam giác $ABC$ — toạ độ tỉ cự thành phần ứng với đỉnh $A$ chính là tỉ số $\frac{HI}{AI}$ (tỉ số diện tích $\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}$).

Vậy $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ và tính chất toạ độ tỉ cự cho một cách giải thích khác vì sao tổng luôn chuẩn hoá về $1$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 cho một cái nhìn đại số sâu hơn (qua công thức lượng giác $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ của tam giác) nhưng đòi hỏi biết trước toạ độ tỉ cự của trực tâm.

Định hướng. Từ một đỉnh, loại bỏ chính nó và hai đỉnh kề để đếm số đường chéo xuất phát từ đỉnh đó; nhân với $n$ đỉnh rồi chia đôi vì mỗi đường chéo có hai đầu.

Vậy $n$-giác có $\frac{n(n-3)}{2}$ đường chéo.

Định hướng. Đếm tổng số đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kì (không phân biệt cạnh hay đường chéo) bằng tổ hợp chập 2, rồi trừ đi đúng $n$ cạnh — một hướng đếm hoàn toàn khác Cách 1 (đếm gộp rồi trừ, thay vì đếm riêng từng đỉnh).

Vậy số đường chéo là $\frac{n(n-3)}{2}$, khớp kết quả Cách 1.

Định hướng. Kiểm chứng công thức đúng với $n=3$ (tam giác không có đường chéo), rồi chứng minh khi thêm một đỉnh (từ $n$-giác thành $(n+1)$-giác) thì số đường chéo tăng thêm đúng $n-1$, khớp với hiệu của công thức tại $n+1$ và tại $n$.

Vậy quy nạp cũng xác nhận công thức $\frac{n(n-3)}{2}$.

Nhận xét. Cách 2 (tổ hợp) là cách gọn và chắc chắn nhất; quy nạp tuy đúng nhưng dễ sai sót khi đếm số đường chéo mới sinh ra, nên chỉ dùng để kiểm chứng chéo.

Định hướng. Đếm số tam giác tạo ra khi kẻ $n-3$ đường chéo qua $A_0$, nhân với $180°$ được tổng góc trong; với góc ngoài, cộng tổng ($180°$ mỗi đỉnh) rồi trừ tổng góc trong.

Vậy a) $n$-giác chia thành $n-2$ tam giác, tổng góc trong $=(n-2)\cdot 180°$; b) tổng $n$ góc ngoài luôn bằng $360°$.

Định hướng. Kiểm chứng công thức đúng khi $n=3$ rồi chứng minh khi thêm một đỉnh (từ $n$-giác lên $(n+1)$-giác), tổng góc trong tăng thêm đúng $180°$.

Vậy quy nạp xác nhận tổng góc trong $(n-2)\cdot 180°$ và tổng góc ngoài luôn bằng $360°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Hình dung một người đi bộ dọc theo các cạnh của $n$-giác lồi, tại mỗi đỉnh người đó quay một góc đúng bằng góc ngoài của đỉnh ấy; đi hết một vòng thì hướng đi quay đủ đúng một vòng tròn $360°$ — từ đó suy ra tổng góc ngoài trước, rồi suy ngược ra tổng góc trong.

Vậy tổng góc ngoài luôn bằng $360°$ (suy ra trước), từ đó tổng góc trong $=(n-2)\cdot 180°$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 đi theo chiều ngược với đề (suy tổng góc ngoài trước) nhưng cho một cách hiểu trực quan bằng hình ảnh 'đi một vòng quay đủ 360°', không cần chia tam giác.

Định hướng. Dùng ngay kết quả tổng góc trong $(n-2)\cdot 180°$ từ Bài 3.31, chia đều cho $n$ góc bằng nhau; với ý b), thay trực tiếp $n=4$ rồi đối chiếu dấu hiệu.

Vậy a) mỗi góc của n-giác đều bằng $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$; b) tứ giác đều là hình vuông.

Định hướng. Dùng kết quả tổng góc ngoài luôn bằng $360°$ (Bài 3.31b) thay vì tổng góc trong; vì $n$-giác đều có $n$ góc ngoài bằng nhau nên chia đều $360°$ rồi suy ngược ra góc trong.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn Cách 1.

Định hướng. Tính trực tiếp góc của tam giác đều ($n=3$) và lục giác đều ($n=6$) bằng kiến thức đã biết, so sánh với công thức để kiểm tra tính đúng đắn trước khi áp dụng cho tứ giác đều ở ý b).

Vậy công thức đã được kiểm chứng qua hai trường hợp riêng, và tứ giác đều là hình vuông.

Nhận xét. Việc kiểm qua tam giác đều và lục giác đều (hai đa giác đều quen thuộc) là cách tự kiểm tra công thức trước khi tin dùng cho trường hợp cần tính (tứ giác đều).