Bài 1 · Câu 1★★Trang 43— Nhận biết đúng/sai các mệnh đề về dấu hiệu hình thoi
Câu 1 (trang 43). Trong các câu sau, câu nào đúng? A. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình thoi. B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. C. Hình thang có các đường chéo bằng nhau là hình thoi. D. Hình bình hành có các đường chéo vuông góc là hình thoi.
Kiến thức cần nhớ
Dấu hiệu nhận biết hình thoi: hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Dấu hiệu nhận biết hình thoi: hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.
Hình thang có các đường chéo bằng nhau là hình thang cân, không phải hình thoi.
🧠 Phân tích tư duy
Cả bốn phương án đều gán một điều kiện cho tứ giác rồi kết luận là hình thoi — dấu hiệu để so trực tiếp với bốn dấu hiệu nhận biết hình thoi đã học. Chỉ phương án khớp đúng dấu hiệu gốc (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc) mới đúng; ba phương án còn lại thiếu điều kiện 'là hình bình hành' nên chỉ cần một phản ví dụ (hình thang cân, hình diều) là bác bỏ được.
1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với dấu hiệu nhận biết hình thoi
Định hướng. So từng phương án với đúng dấu hiệu nhận biết hình thoi; phương án thiếu điều kiện 'hình bình hành' thì tìm phản ví dụ bác bỏ.
A: tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau chỉ là hình bình hành (dấu hiệu 4 của hình bình hành), chưa chắc có bốn cạnh bằng nhau — A sai B: tứ giác có hai đường chéo vuông góc mà không phải hình bình hành (chẳng hạn hình diều với hai đường chéo vuông góc nhưng bốn cạnh không bằng nhau từng đôi) chưa chắc là hình thoi — B sai C: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, không phải hình thoi (trừ trường hợp đặc biệt suy biến) — C sai D: đúng dấu hiệu 4 của hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi) — D đúng
Vậy câu đúng là D.
2Cách 2. Dựng phản ví dụ toạ độ cho A, B, C
Định hướng. Thay vì chỉ gọi tên hình phản ví dụ, dựng toạ độ cụ thể để kiểm chứng bằng số cho A, B, C; còn D kiểm bằng chính định nghĩa hình thoi.
A: hình chữ nhật A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2) có bốn góc bằng 90° (các góc đối bằng nhau) nhưng AB=4=AD=2, không phải hình thoi — A sai B: hình diều A(0;3), B(−2;0), C(0;−1), D(2;0) có hai đường chéo AC (trên trục tung) và BD (trên trục hoành) vuông góc, nhưng AB=13=BC=5, không phải hình thoi — B sai C: hình thang cân A(0;0), B(4;0), C(3;2), D(1;2) có AC=BD=13 (hai đường chéo bằng nhau) nhưng chỉ là hình thang cân, không phải hình thoi — C sai D: hình bình hành có hai đường chéo vuông góc luôn có bốn cạnh bằng nhau (vì đường chéo vừa là trung trực vừa là trục đối xứng của mỗi cạnh) nên đúng là hình thoi — D đúng
Vậy câu đúng là D.
3Cách 3. Loại trừ bằng cách đếm điều kiện còn thiếu
Định hướng. Nhận xét chung: muốn khẳng định một tứ giác là hình thoi, bắt buộc trước tiên nó phải là hình bình hành — kiểm tra xem mỗi phương án có đủ giả thiết này không.
A chỉ cho góc đối bằng nhau (mới đủ để là hình bình hành, chưa nói gì về cạnh) — thiếu điều kiện cạnh, sai B chỉ cho hai đường chéo vuông góc mà không nói chúng có cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không (tức chưa chắc là hình bình hành) — sai C cho hình thang (chỉ một cặp cạnh song song) với đường chéo bằng nhau — đây là dấu hiệu của hình thang CÂN chứ không phải hình bình hành — sai D cho sẵn 'hình bình hành' (đã đủ điều kiện nền) cộng thêm 'hai đường chéo vuông góc' — đúng nguyên văn dấu hiệu nhận biết hình thoi — đúng
Vậy câu đúng là D.
Nhận xét. Mẹo nhanh cho dạng bài này: kiểm tra trước xem giả thiết có nói tứ giác là hình bình hành hay không, ba phương án sai trong bài đều thiếu đúng điều kiện nền đó.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần một câu hỏi 'giả thiết có cho hình bình hành không?' là loại được ngay ba phương án sai mà không cần dựng phản ví dụ cụ thể như Cách 2.
Đáp số.Câu đúng là D.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhầm 'hai đường chéo vuông góc' (phương án B) là đủ để kết luận hình thoi mà quên tứ giác đó phải là hình bình hành trước; hình diều là phản ví dụ kinh điển có đường chéo vuông góc nhưng không phải hình thoi.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi phương án D thành 'hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc' thì kết luận sẽ là hình vuông (vì hình chữ nhật vốn đã có hai đường chéo bằng nhau, thêm vuông góc nữa thì vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi).
Bài 2 · Câu 2★Trang 43— Nhận biết đúng/sai tính chất đường chéo của hình thoi và hình thang
Câu 2 (trang 43). Trong các câu sau, câu nào đúng? A. Trong hình thoi, hai đường chéo bằng nhau. B. Trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc. C. Trong hình thang, hai đường chéo bằng nhau. D. Trong hình thang, hai đường chéo song song.
Kiến thức cần nhớ
Tính chất hình thoi: hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc.
Tính chất hình chữ nhật: hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang bất kì không có tính chất cố định về độ dài hay phương của hai đường chéo (trừ trường hợp cân).
🧠 Phân tích tư duy
Bài hỏi về TÍNH CHẤT (chiều ngược của dấu hiệu nhận biết) nên cần nhớ đúng tính chất đường chéo của hình thoi (vuông góc, là phân giác) và của hình thang (không có tính chất chung về đường chéo, trừ hình thang cân). Bẫy ở việc nhầm hình thoi với hình chữ nhật (đường chéo bằng nhau là của hình chữ nhật, không phải hình thoi).
1Cách 1. Nhắc lại đúng tính chất đã học
Định hướng. Đối chiếu trực tiếp bốn phương án với đúng bảng tính chất hình thoi, hình thang đã học ở Bài 11, Bài 14.
A: hai đường chéo hình thoi vuông góc nhưng không bằng nhau (trừ hình vuông) — A sai B: đúng tính chất hình thoi — B đúng C: hình thang thường có hai đường chéo không bằng nhau (chỉ hình thang cân mới có) — C sai D: hai đường chéo của hình thang luôn cắt nhau (không song song, vì chúng nối các đỉnh không kề của một tứ giác lồi) — D sai
Vậy câu đúng là B.
2Cách 2. Kiểm bằng hình vuông (trường hợp riêng của hình thoi)
Định hướng. Dùng hình vuông — một hình thoi đặc biệt — để kiểm nhanh xem tính chất nào ĐÚNG CHO MỌI hình thoi hay chỉ đúng cho hình vuông.
Hình vuông A(2;0), B(0;2), C(−2;0), D(0;−2) có hai đường chéo AC=BD=4 (bằng nhau) và vuông góc (một đường nằm ngang, một đường thẳng đứng) Đổi bán đường chéo cho lệch nhau: hình thoi A(3;0), B(0;1), C(−3;0), D(0;−1) có bốn cạnh bằng nhau (AB=BC=CD=DA=9+1=10, vì mỗi cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 và 1) nên vẫn là hình thoi Hai đường chéo của hình thoi này là AC=6 và BD=2, KHÔNG bằng nhau, nhưng vẫn vuông góc với nhau (một đường nằm ngang, một đường thẳng đứng) Vậy 'vuông góc' đúng cho MỌI hình thoi, còn 'bằng nhau' chỉ đúng riêng cho hình vuông (trường hợp đặc biệt)
Vậy câu đúng là B.
3Cách 3. Suy từ tính chất đối xứng trục của hình thoi
Định hướng. Hình thoi có hai trục đối xứng là chính hai đường chéo của nó — từ tính chất đối xứng suy ra ngay quan hệ vuông góc mà không cần đo đạc.
Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên mỗi đường chéo chia hình thoi thành hai tam giác cân bằng nhau, khiến đường chéo kia trở thành trục đối xứng Trục đối xứng của một đoạn thẳng (ở đây là đường chéo kia) luôn vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm — suy ra hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau — B đúng Tính đối xứng trục này không đòi hỏi hai đường chéo phải bằng nhau — A sai; hình thang không có tính chất đối xứng như vậy nên C, D đều sai
Vậy câu đúng là B.
Nhận xét. Cách 3 giải thích được TẠI SAO hai đường chéo hình thoi vuông góc (chứ không chỉ thừa nhận), sâu sắc hơn việc chỉ nhắc lại tính chất.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần thuộc đúng bảng tính chất hình thoi và hình thang, không cần dựng toạ độ kiểm chứng như Cách 2.
Đáp số.Câu đúng là B.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhầm tính chất 'hai đường chéo bằng nhau' của hình chữ nhật sang cho hình thoi; hình thoi và hình chữ nhật là hai hình đặc biệt khác nhau của hình bình hành, chỉ hình vuông mới có cả hai tính chất.
🚀 Mở rộng.Một tứ giác vừa có hai đường chéo vuông góc VỪA bằng nhau (và là hình bình hành) thì chắc chắn là hình vuông — đây chính là giao của tính chất hình thoi (vuông góc) và hình chữ nhật (bằng nhau).
Bài 3 · Câu 3★★Trang 43— Nhận biết câu sai trong các dấu hiệu nhận biết hình vuông từ hình chữ nhật
Câu 3 (trang 43). Tìm câu sai trong các câu sau: A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. B. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông. C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. D. Hình chữ nhật có bốn góc vuông là hình vuông.
Kiến thức cần nhớ
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
Hình chữ nhật vốn đã được định nghĩa là tứ giác có bốn góc vuông — nói lại điều này không thêm thông tin gì mới.
Bài 4 · Câu 4★★★★Trang 43— Xác định số mệnh đề sai trong các mệnh đề tổng quát về góc kề cạnh của tứ giác
Câu 4 (trang 43). Cho các câu sau: a) Tứ giác mà hai góc kề một cạnh tuỳ ý của nó là hai góc bù nhau là một hình bình hành. b) Tứ giác mà hai góc kề một cạnh tuỳ ý của nó là hai góc bằng nhau là một hình chữ nhật. c) Tứ giác có một cặp cạnh đối mà mỗi cạnh có hai góc kề nó bằng nhau là một hình thang cân. Số các câu sai là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Kiến thức cần nhớ
Tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: các góc đối bằng nhau.
Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông (hay bốn góc bằng nhau, mỗi góc 90°).
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Bài 5 · Bài 3.28★★★★Trang 44— Nhận biết hình bình hành đặc biệt từ hai đường thẳng song song hai cạnh của tam giác
Bài 3.28 (trang 44). Cho tam giác ABC. Với mỗi điểm M nằm giữa B và C, lấy điểm N thuộc cạnh AB, điểm P thuộc cạnh AC sao cho MN∥AC, MP∥AB. a) Hỏi tứ giác ANMP là hình gì? b) Hỏi M ở vị trí nào để tứ giác ANMP là một hình thoi? c) Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để tứ giác ANMP là một hình chữ nhật? d) Khi tam giác ABC thoả mãn điều kiện nói trong câu c, tìm vị trí của M để NP ngắn nhất. e) Tam giác ABC thoả mãn điều kiện gì và M ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác ANMP là một hình vuông?
Kiến thức cần nhớ
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi; có một góc vuông là hình chữ nhật.
Định lí Thalès: đường thẳng song song một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Tính chất đường phân giác: đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
Bài 6 · Bài 3.29★★★★Trang 44— Chứng minh hệ thức tỉ số đoạn thẳng liên quan trực tâm bằng công thức diện tích tam giác
Bài 3.29 (trang 44). Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh: AIHI+BJHJ+CKHK=1. Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?
Kiến thức cần nhớ
Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng.
Hai tam giác chung đáy thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao tương ứng.
Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác; trực tâm của tam giác có một góc tù nằm ngoài tam giác.
Bài 7 · Bài 3.30★★★Trang 44— Đếm số đường chéo của đa giác bằng lí luận tổ hợp
Bài 3.30 (trang 44). Khái niệm tam giác, tứ giác có thể mở rộng thành khái niệm n-giác (n là số tự nhiên lớn hơn 2) như sau: n-giác là hình tạo bởi n đoạn thẳng (gọi là cạnh của n-giác) A0A1, A1A2, …, An−1An, AnA0 (các điểm A0,A1,…,An gọi là đỉnh của n-giác), trong đó không có ba đỉnh nào cùng nằm trên một đường thẳng và hình nằm về một phía đối với mỗi đường thẳng chứa một cạnh. Khi n=3,4,5,6,7,8, n-giác còn được gọi lần lượt là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, thất giác, bát giác. Hai đỉnh của n-giác gọi là kề nhau nếu chúng là hai đỉnh của một cạnh của n-giác. Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của n-giác gọi là một đường chéo của n-giác. a) Chứng minh qua mỗi đỉnh của n-giác, có n−3 đường chéo của n-giác. Từ đó suy ra n-giác có 2n(n−3) đường chéo. b) Hãy vẽ tất cả các đường chéo của một ngũ giác (n=5).
Kiến thức cần nhớ
Từ một đỉnh của n-giác có thể nối được n−1 đoạn thẳng tới n−1 đỉnh còn lại.
Mỗi đường chéo có hai đầu mút nên bị đếm hai lần nếu đếm riêng theo từng đỉnh.
Số cách chọn 2 phần tử từ n phần tử là tổ hợp chập 2 của n.
Bài 8 · Bài 3.31★★★Trang 44— Tính tổng các góc trong và tổng các góc ngoài của một đa giác n cạnh
Bài 3.31 (trang 44). Hai cạnh kề nhau của một n-giác là hai cạnh có cùng chung một đỉnh của n-giác đó; chúng xác định hai tia của một góc gọi là góc tại đỉnh đó của n-giác. Mỗi n-giác có n góc. a) Kẻ n−3 đường chéo của n-giác cùng đi qua đỉnh A0, thì n-giác được chia thành bao nhiêu tam giác, từ đó suy ra tổng các góc của n-giác bằng (n−2)⋅180°. b) Góc kề bù với một góc tại một đỉnh của n-giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của n-giác. Với mỗi đỉnh của một n-giác, xét một góc ngoài tại đỉnh đó của n-giác thì hỏi tổng n góc ngoài đó bằng bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
n−3 đường chéo qua một đỉnh chia n-giác thành n−2 tam giác không chồng lấn.
Bài 9 · Bài 3.32★★Trang 44— Tính số đo góc của đa giác đều và nhận diện tứ giác đều
Bài 3.32 (trang 44).n-giác gọi là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau. a) Tính số đo mỗi góc của một n-giác đều. b) Tứ giác đều là hình gì?
Kiến thức cần nhớ
Tổng các góc trong của n-giác bằng (n−2)·180° (kết quả Bài 3.31).
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi; tứ giác có bốn góc bằng nhau (đều vuông) là hình chữ nhật.
Hình vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật là hình vuông.
