Bài tập cuối chương III

Định hướng. Xét riêng khẳng định B bằng cách cộng ba bất đẳng thức góc nhọn; với A, C, D chỉ cần một tứ giác cụ thể làm phản ví dụ.

Vậy khẳng định đúng là phương án B.

Định hướng. Thay vì suy luận thuận, giả sử điều cần chứng minh là sai rồi chỉ ra mâu thuẫn với giả thiết tổng góc — cách lập luận khác bản chất với Cách 1.

Vậy khẳng định đúng là phương án B.

Định hướng. Nhận xét tổng quát: một tứ giác có thể có $0,1,2$ hoặc $3$ góc tù nhưng không thể có đúng $4$ góc tù — từ nhận xét này suy ra ngay cả bốn phương án cùng lúc.

Vậy khẳng định đúng là phương án B.

Nhận xét. Cách 3 cho một cái nhìn tổng quát về mọi khả năng số góc tù trong tứ giác, giúp loại cả bốn phương án chỉ bằng một bảng lập luận duy nhất.

Định hướng. So từng ý với đúng câu chữ của dấu hiệu nhận biết đã học; ý nào đúng dấu hiệu thì giữ, ý nào lệch (thiếu chữ, đổi số lượng) thì tìm phản ví dụ bác bỏ.

Vậy ý c) đúng; các ý a), b), d) sai.

Định hướng. Thay vì chỉ gọi tên hình phản ví dụ, dựng hẳn toạ độ cụ thể để kiểm chứng bằng số — cách làm trực quan, khác bản chất so với việc chỉ đối chiếu câu chữ ở Cách 1.

Vậy ý c) đúng; các ý a), b), d) sai.

Định hướng. Liệt kê đủ các dấu hiệu nhận biết gốc của từng loại hình rồi kiểm tra ý cho có nằm đúng trong danh sách đó không — cách loại suy có hệ thống, khác hai cách trên.

Vậy ý c) đúng; các ý a), b), d) sai.

Nhận xét. Cách 3 là cách an toàn nhất khi không nhớ rõ phản ví dụ cụ thể, vì chỉ cần thuộc đúng bảng dấu hiệu.

Định hướng. Với mỗi ý, xác định hình trung gian từ điều kiện thứ nhất rồi kiểm tra điều kiện thứ hai có đúng là điều kiện nâng cấp hay không.

Vậy các ý a), b), c) đúng; ý d) sai.

Định hướng. Dựng số liệu cụ thể cho từng trường hợp để kiểm chứng bằng tính toán trực tiếp, đặc biệt dùng một phản ví dụ rõ ràng để bác bỏ ý d).

Vậy các ý a), b), c) đúng; ý d) sai.

Định hướng. Ý a) thực chất là hệ quả trực tiếp của Bài 3.42 (đã chứng minh: hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau $\Rightarrow$ hình thang cân); khi hình thang cân đó có thêm cặp cạnh đối còn lại cũng bằng nhau thì trở thành hình bình hành, mà hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Vậy các ý a), b), c) đúng; ý d) sai.

Nhận xét. Việc liên hệ ngược với bài toán đã chứng minh trước đó giúp kiểm chứng chéo kết quả mà không cần suy luận lại từ đầu.

Định hướng. Ghép $\Delta ACD$ và $\Delta BDC$ (chung cạnh $CD$) để lấy góc bằng nhau ở đáy $CD$, từ đó chỉ ra $O$ (giao điểm hai đường chéo) cách đều $A,B$ và cách đều $C,D$; hai tam giác cân $OAB$, $OCD$ có góc ở đỉnh đối đỉnh nên bằng nhau, kéo theo góc đáy bằng nhau và có cặp so le trong.

Vậy tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau là hình thang cân.

Định hướng. Đặt hệ trục với $A,B$ trên trục hoành (luôn làm được với mọi đoạn thẳng $AB$), biến hai giả thiết độ dài thành hai phương trình đại số cho toạ độ của $C,D$ — khác bản chất với Cách 1 vì dùng đại số thay cho tổng hợp hình học.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thang cân.

Định hướng. Dùng định lí côsin trong hai tam giác chung cạnh $AB$ để so sánh trực tiếp hai góc $\hat{A}$, $\hat{B}$ của tứ giác, rồi suy ra $C,D$ cách đều đường thẳng $AB$ — một hướng lượng giác khác hẳn hai cách trên.

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình thang cân.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một mấu chốt: hai đỉnh $C,D$ cách đều đường thẳng $AB$ — chỉ khác công cụ chứng minh điều đó (tam giác cân, toạ độ, hay lượng giác).

Định hướng. Từ $AP=2AB$ suy ra $B$ là trung điểm $AP$, ghép với tính chất hình bình hành gốc $ABCD$ để có $BP=CD$ và $BP\parallel CD$.

Vậy tứ giác $BPCD$ là hình bình hành.

Định hướng. Dùng dấu hiệu 5 (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) thay vì dấu hiệu cạnh đối ở Cách 1 — chọn $A$ làm gốc vectơ vị trí để tính nhanh trung điểm hai đường chéo $PD$, $BC$ của tứ giác $BPCD$.

Vậy tứ giác $BPCD$ là hình bình hành, khớp kết quả Cách 1.

Định hướng. Đặt toạ độ cho hình bình hành $ABCD$ rồi tính trực tiếp toạ độ $P$, kiểm tra $BPCD$ là hình bình hành bằng cách so sánh hai vectơ cạnh đối — cách làm đại số, khác hẳn hai cách trên.

Vậy tứ giác $BPCD$ là hình bình hành.

Nhận xét. Cách 3 cho lời giải ngắn gọn nhất vì chỉ cần một phép trừ vectơ, không cần lập luận trung gian như hai cách trên.

Định hướng. Chứng minh $\Delta CMP=\Delta MBN$ trước bằng trường hợp cạnh huyền – góc nhọn (không cần biết $N$, $P$ có là trung điểm hay chưa); tứ giác $APMN$ là hình chữ nhật vì có sẵn ba góc vuông; ghép hai kết quả đó mới suy ra $N$, $P$ là trung điểm — thứ tự lập luận ngược hẳn với Cách 2.

Vậy a) $\Delta CMP=\Delta MBN$; b) $APMN$ là hình chữ nhật với $N$, $P$ là trung điểm $AB$, $AC$; c) $AMCQ$ là hình thoi; d) khi $AB=AC$ thì $AMCQ$ là hình vuông — khớp kết quả sẽ tính lại ở Cách 2.

Định hướng. Nhận ra ngay $MN$, $MP$ là hai đường trung bình của $\Delta ABC$ (vì đi qua trung điểm $M$ của $BC$ và vuông góc với một cạnh góc vuông, nên song song với cạnh góc vuông kia) — từ đó suy ra toàn bộ bốn ý chỉ bằng tính chất đường trung bình và hình chữ nhật, hình thoi.

Vậy a) $\Delta CMP=\Delta MBN$; b) $APMN$ là hình chữ nhật với $N$, $P$ là trung điểm $AB$, $AC$; c) $AMCQ$ là hình thoi; d) khi $AB=AC$ thì $AMCQ$ là hình vuông.

Định hướng. Đặt hệ trục vuông góc tại đỉnh $A$ (hợp lí vì $\hat{A}=90°$), tính trực tiếp toạ độ mọi điểm rồi kiểm tra từng kết luận bằng độ dài và tích vô hướng — thay lập luận hình học tổng hợp bằng tính toán đại số.

Vậy khi $AB=AC$ ($b=c$) thì $AC=MQ$, hình thoi $AMCQ$ trở thành hình vuông — khớp kết quả Cách 2.

Nhận xét. Toạ độ hoá cho một phép kiểm tra độc lập rất nhanh cho cả bốn ý, đặc biệt tiện ở ý d) vì chỉ cần so sánh hai số $b$ và $c$.

Định hướng. Đếm đủ ba góc vuông của tứ giác $BKEN$ để kết luận hình chữ nhật; sau đó tách diện tích $\Delta AMC$ thành $\Delta AMB$ và $\Delta ABC$ để lập một đẳng thức liên hệ $ME$, $MF$ ($F$ là chân đường vuông góc từ $M$ xuống $AB$) và $BK$.

Vậy $BKEN$ là hình chữ nhật và $BK=NE=$ hiệu khoảng cách từ $M$ đến $AC$ và $AB$.

Định hướng. Đặt toạ độ cụ thể cho tam giác cân $ABC$ và điểm $M$, tính trực tiếp $E$, $K$, $N$ rồi kiểm tra bằng số — một phép kiểm chứng độc lập bằng đại số.

Vậy với số liệu cụ thể, $BK=NE\approx 3,578=ME-MF$, khớp kết quả tổng quát ở Cách 1.

Định hướng. Chứng minh $BKEN$ là hình chữ nhật như Cách 1; riêng ý b) thay diện tích bằng một cặp tam giác vuông bằng nhau có chung cạnh huyền $BM$ để suy ra $MN=MF$, từ đó $NE=ME-MN=ME-MF$.

Vậy $BK=NE=ME-MF$, đúng bằng hiệu khoảng cách từ $M$ đến $AC$ và đến $AB$.

Nhận xét. Cách 3 và Cách 1 cùng quy về một điểm mấu chốt là $MN=MF$ (hay tương đương diện tích), chỉ khác công cụ: tam giác bằng nhau hay diện tích.