Chương VI. Phân thức đại số

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang14–15 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 14— Trắc nghiệm — nhận biết định nghĩa phân thức đại số (tử và mẫu phải là ĐA THỨC)

Câu 1 (trang 14). Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
A.

2 x + 1

.
B.

5

.
C.

π

.
D.

\frac{x}{x}

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là biểu thức gồm các đơn thức cộng/trừ nhau, mỗi biến trong đơn thức mang số mũ nguyên không âm.
Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức, $B$ khác đa thức $0$ .
Một số thực bất kì (kể cả số vô tỉ như $5$ , $π$ ) là một đa thức bậc $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phân thức đại số có dạng

\frac{A}{B}

với

A, B

là đa thức — nghĩa là biến chỉ được xuất hiện với số mũ nguyên không âm. Ba phương án A, B, C tuy trông khác nhau (một đa thức bậc một, một số vô tỉ, một hằng số) nhưng đều là đa thức bậc

0

hoặc bậc

1

hợp lệ. Bẫy nằm ở D:

x

có biến

x

nằm dưới dấu căn, tức là

x

mang số mũ

\frac{1}{2}

— không nguyên — nên tử của D không phải là đa thức.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với định nghĩa đa thức

Định hướng. Kiểm tra xem tử và mẫu của mỗi biểu thức có phải đa thức hay không, chú ý số mũ của biến phải nguyên không âm.

2 x + 1

là đa thức bậc một, mẫu ngầm định là

1

— là phân thức đại số.
B)

5

là một số thực (không chứa biến) — là đa thức bậc

0

, nên là phân thức đại số.
C)

π

cũng là một số thực — là đa thức bậc

0

, nên là phân thức đại số.
D)

\frac{x}{x}

có tử

x = x^{\frac{1}{2}}

— số mũ của

x

không nguyên, nên

x

không phải là đa thức, do đó

\frac{x}{x}

không phải là phân thức đại số.

Vậy biểu thức không phải phân thức đại số là đáp án D.

2Cách 2. Loại trừ theo dấu hiệu "biến dưới căn"

Định hướng. Thay vì xét đủ bốn phương án, chỉ cần rà soát xem phương án nào có biến $x$ nằm dưới dấu căn — đó chính là dấu hiệu vi phạm định nghĩa đa thức nhanh nhất.

Trong bốn phương án, chỉ D chứa

x

— căn của một BIẾN. Các số

5

π

ở B, C tuy có dấu căn hoặc là số vô tỉ nhưng KHÔNG chứa biến, nên vẫn là hằng số hợp lệ.

Vậy chỉ có D vi phạm — đáp án D.

Nhận xét. Dễ nhầm B, C là "sai" vì thấy có căn hoặc số lạ; phải phân biệt RÕ giữa "căn của một HẰNG SỐ" (vẫn là đa thức bậc $0$ ) và "căn của một BIẾN" (không phải đa thức).

3Cách 3. Thử đưa mỗi biểu thức về đúng khuôn

\frac{A}{B}

với

A, B

là đa thức

Định hướng. Viết lại từng biểu thức dưới dạng phân thức $\frac{A}{B}$ tường minh để kiểm tra trực tiếp $A$ có phải đa thức hay không.

2 x + 1 = \frac{2 x + 1}{1}

A = 2 x + 1

là đa thức — hợp lệ.
B)

5 = \frac{5}{1}

A = 5

là đa thức bậc

0

— hợp lệ.
C)

π = \frac{π}{1}

A = π

là đa thức bậc

0

— hợp lệ.
D)

\frac{x}{x}

đã đúng khuôn

\frac{A}{B}

với

B = x

là đa thức, nhưng

A = x

không viết được thành tổng các đơn thức với số mũ nguyên — không phải đa thức.

Vậy chỉ D không đưa được $A$ về đúng dạng đa thức — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần soi "biến có nằm dưới căn không" là loại được D ngay, khỏi phải xét kỹ cả bốn phương án như Cách 1, Cách 3.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Thấy

5

và

π

đều là số "lạ", vô tỉ, nên tưởng nhầm chúng không phải đa thức và chọn sai đáp án B hoặc C; thực ra một số thực bất kì — dù hữu tỉ hay vô tỉ — luôn là đa thức bậc

0

, vì đa thức không đòi hỏi hệ số phải là số hữu tỉ.

🚀 Mở rộng. Theo đúng lí do này,

\frac{1}{x + 1}

cũng KHÔNG phải phân thức đại số (vì

x + 1

không phải đa thức), trong khi

\frac{1}{x + 2}

VẪN là phân thức đại số (vì

2

chỉ là hệ số hằng, không phải biến dưới căn).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★★Trang 14— Trắc nghiệm — rút gọn phân thức để nhận ra phân thức bằng nhau (phân tích nhân tử tử và mẫu)

Câu 2 (trang 14). Phân thức nào sau đây bằng phân thức

\frac{16 x ^{4} - 1}{12 x ^{3} - 3 x}

?
A.

\frac{4 x ^{2} - 1}{3 x}

.
B.

\frac{4 x ^{2} + 1}{3 x}

.
C.

\frac{4 x ^{2} - 1}{4 x - 3}

.
D.

\frac{4 x ^{2} + 1}{4 - 3 x}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng với $a = 4 x^{2}, b = 1$ .
Rút gọn phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Cả tử

16 x^{4} - 1

và mẫu

12 x^{3} - 3 x

đều phân tích được thành tích chứa nhân tử chung

4 x^{2} + 1

— dấu hiệu để rút gọn trực tiếp thay vì so khớp từng phương án. Tử là hiệu hai bình phương

(4 x^{2})^{2} - 1^{2}

, mẫu có nhân tử chung

3 x

. Bẫy ở B, D: đổi dấu

- 1

thành

+ 1

trong tử làm sai hẳn hằng đẳng thức, không rút gọn được nữa.

1Cách 1. Phân tích nhân tử tử và mẫu rồi rút gọn có tô màu nhân tử chung

Định hướng. Đưa tử về hiệu hai bình phương, mẫu về nhân tử chung $3 x$ , rồi rút gọn nhân tử chung $(4 x^{2} + 1)$ ở cả tử và mẫu.

16 x^{4} - 1 = (4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 1)

12 x^{3} - 3 x = 3 x (4 x^{2} - 1)

\dfrac{16x^{4}-1}{12x^{3}-3x}=\dfrac{\colorbox{#FFB067}{(4x^{2}-1)}(4x^{2}+1)}{3x\cdot\colorbox{#FFB067}{(4x^{2}-1)}}=\dfrac{4x^{2}+1}{3x}

Vậy phân thức bằng phân thức đã cho là đáp án B.

2Cách 2. Nhân chéo kiểm tra trực tiếp từng phương án

Định hướng. Hai phân thức $\frac{16 x ^{4} - 1}{12 x ^{3} - 3 x}$ và một phương án bằng nhau khi tích chéo bằng nhau; thử ngay phương án B (nghi đúng nhất theo hình thức).

(16 x^{4} - 1) \cdot 3 x = 48 x^{5} - 3 x

(12 x^{3} - 3 x) (4 x^{2} + 1) = 48 x^{5} + 12 x^{3} - 12 x^{3} - 3 x = 48 x^{5} - 3 x

Hai tích chéo bằng nhau

\Rightarrow

B đúng.

Vậy đáp án B.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để loại nhanh ba phương án

Định hướng. Thay $x = 1$ (giá trị hợp lệ, khác các giá trị làm mẫu bằng $0$ ) vào phân thức gốc và bốn phương án, so sánh số.

Tại

x = 1

: phân thức gốc

= \frac{16 - 1}{12 - 3} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

\frac{3}{3} = 1

— loại.
B:

\frac{5}{3}

— khớp.
C:

\frac{3}{1} = 3

— loại.
D:

\frac{5}{1} = 5

— loại.

Vậy chỉ B khớp — đáp án B.

Nhận xét. Thử số nhanh nhưng chỉ mang tính KIỂM TRA; Cách 1 mới là lời giải chuẩn cần trình bày vì chứng minh đúng với MỌI $x$ hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử chung rồi rút gọn cho ra thẳng kết quả, không cần thử số hay nhân chéo từng phương án.

Đáp số. Chọn B:

\frac{4 x ^{2} + 1}{3 x}

Sai lầm thường gặp. Rút gọn hiệu hai bình phương

16 x^{4} - 1 = (4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 1)

nhưng lại chép nhầm dấu, viết thành

(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)

rồi rút gọn ra đáp án A

\frac{4 x ^{2} - 1}{3 x}

— sai vì bỏ mất một nhân tử đúng của hằng đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, rút gọn

\frac{81 x ^{4} - 1}{27 x ^{3} - 3 x}

: tử

= (9 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1)

, mẫu

= 3 x (9 x^{2} - 1)

, kết quả

\frac{9 x ^{2} + 1}{3 x}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★★Trang 14— Trắc nghiệm — tìm mẫu thức chung của hai phân thức bằng cách phân tích mọi mẫu thành nhân tử

Câu 3 (trang 14). Đa thức nào sau đây không thể chọn làm mẫu thức chung của hai phân thức

\frac{x ^{3}}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )}

và

\frac{x ^{3} - x + 1}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{3} + 1 )}

?
A.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} - x + 1)

.
B.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{3} + 1)

.
C.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + x + 1)

.
D.

3 (x^{4} - 1) (x^{6} - 1) (x^{6} - 64)

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung phải chứa mọi nhân tử của TỪNG mẫu, mỗi nhân tử lấy số mũ cao nhất.
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 14— Trắc nghiệm — tính giá trị phân thức tại một giá trị cụ thể của biến

Câu 4 (trang 14). Giá trị của phân thức

\frac{8 x - 4}{8 x ^{3} - 1}

tại

x = - 0, 5

là
A.

4

.
B.

- 4

.
C.

0, 25

.
D.

- 0, 25

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , áp dụng với $a = 2 x, b = 1$ .
Giá trị phân thức tại $x = x_{0}$ : thay trực tiếp $x_{0}$ vào biểu thức rồi rút gọn số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★★Trang 14— Trắc nghiệm — rút gọn tổng nhiều phân thức bằng cách nhóm theo mẫu (mẫu đối nhau và mẫu giống nhau)

Câu 5 (trang 14). Rút gọn biểu thức

\frac{x - 1}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - 2 x}{x - 1} - \frac{3 x + 2}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - x}{x ^{3} + 1} + \frac{3 x}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - 2 x}{1 - x}

, ta được kết quả là
A.

\frac{2}{x - 1}

.
B.

\frac{- 2}{x ^{3} + 1}

.
C.

\frac{2}{x ^{3} + 1}

.
D.

\frac{2}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Đổi dấu cả tử và mẫu: $\frac{A}{- B} = \frac{- A}{B}$ , đặc biệt $1 - x = - (x - 1)$ .
Cộng trừ phân thức cùng mẫu: cộng trừ trực tiếp các tử, giữ nguyên mẫu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.34★★★Trang 14— ĐKXĐ, rút gọn phân thức bậc hai và tìm

x

nguyên để phân thức nguyên

Bài 6.34 (trang 14). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 9}

.
a) Viết điều kiện xác định của phân thức. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

x

không thoả mãn điều kiện xác định.
b) Rút gọn phân thức đã cho.
c) Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

x

để phân thức

P

nhận giá trị là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

ĐKXĐ của phân thức $\frac{A}{B}$ là $B \neq = 0$ .
Tách hạng tử giữa: $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ (hai số có tích $3$ , tổng $4$ là $1$ và $3$ ).
$\frac{b}{x + 3}$ (với $b$ nguyên, $x$ nguyên) là số nguyên khi và chỉ khi $(x + 3)$ là ước của $b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.35★★★Trang 15— Kiểm tra một đa thức cho sẵn có phải là mẫu thức chung hợp lệ của hai phân thức hay không

Bài 6.35 (trang 15). Cho hai phân thức:

P = \frac{1}{2 x ^{2} + 7 x - 15}

Q = \frac{1}{x ^{2} + 3 x - 10}

. Có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là

M = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

được không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Một đa thức $M$ là mẫu thức chung hợp lệ của hai phân thức khi và chỉ khi $M$ chia hết cho CẢ HAI mẫu ban đầu.
Phân tích tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 1$ ) bằng tách hạng tử dựa trên tích $a \cdot c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.36★★★★Trang 15— Rút gọn biểu thức phối hợp cả ba phép tính cộng/trừ, nhân, chia phân thức

Bài 6.36 (trang 15). Rút gọn biểu thức

P = (x - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x + y}) \cdot (\frac{2 x}{y} + \frac{4 x}{x - y}) : \frac{1}{y}

(

y \neq = 0

y \neq = x

y \neq = - x

Kiến thức cần nhớ

Chia cho một phân thức bằng nhân với phân thức nghịch đảo: $A : \frac{1}{y} = A \cdot y$ .
Quy đồng trong từng ngoặc trước khi nhân các ngoặc với nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.37★★★Trang 15— Chứng minh giá trị phân thức không đổi (chỉ phụ thuộc tham số

a

) bằng cách rút gọn triệt để

Bài 6.37 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x + y ) ( a y - a x )}

(

a \neq = 0

y \neq = x

y \neq = - x

). Chứng minh rằng

P

có giá trị không phụ thuộc vào

x, y

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ .
Đổi dấu: $y - x = - (x - y)$ .
"Giá trị không phụ thuộc $x, y$ " nghĩa là sau khi rút gọn, biểu thức chỉ còn hằng số hoặc biểu thức theo tham số khác (ở đây là $a$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.38★★★Trang 15— Dùng điều kiện

x + y + z = 0

để thế biến, rút gọn phân thức về một hằng số

Bài 6.38 (trang 15). Biết

x + y + z = 0

và

x, y \neq = 0

. Chứng minh phân thức

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}}

có giá trị không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Từ $x + y + z = 0$ suy ra $z = - (x + y)$ , nên $z^{2} = (x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .
Hằng đẳng thức bình phương của một tổng: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.39★★★★Trang 15— Rút gọn tổng ba phân thức đối xứng vòng quanh, tái sử dụng kết quả của bài chứng minh trước

Bài 6.39 (trang 15). Cho

x + y + z = 0

và

x, y, z \neq = 0

. Rút gọn biểu thức

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} + \frac{y z}{y ^{2} + z ^{2} - x ^{2}} + \frac{z x}{z ^{2} + x ^{2} - y ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Tính đối xứng vòng quanh (hoán vị $x \to y \to z \to x$ ) giữ nguyên dạng của giả thiết $x + y + z = 0$ .
Kết quả bài 6.38: $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}$ khi $x + y + z = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.40★★★Trang 15— Chia đa thức để tách phần nguyên, rồi tìm

x

nguyên để phân thức nhận giá trị nguyên

Bài 6.40 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{4 x ^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1}

(

x \neq = - \frac{1}{2}

).
a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức

4 x^{2} + 2 x + 3

cho đa thức

2 x + 1

.
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết

P

dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức có tử là hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của

x

để giá trị của phân thức đã cho cũng là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Phép chia đa thức có dư: $A = B \cdot Q + R$ với $de g R < de g B$ .
$\frac{R}{2 x + 1}$ ( $R$ là hằng số, $x$ nguyên) nguyên khi và chỉ khi $(2 x + 1)$ là ước nguyên của $R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.41★★★★Trang 15— Rút gọn biểu thức phân thức nhiều bước rồi tìm GTLN bằng cách đưa về dạng

- [(x + a)^{2} + b]

Bài 6.41 (trang 15). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x} \cdot (1 - \frac{x ^{2}}{x + 2}) - \frac{x ^{2} + 6 x + 4}{x}

(

x \neq = 0

x \neq = - 2

).
b) Tìm giá trị lớn nhất của

P

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng trong ngoặc trước khi nhân/chia với biểu thức bên ngoài.
Với $x^{2}$ có hệ số âm, GTLN đạt tại đỉnh: đưa $- x^{2} + b x + c$ về dạng $- [(x - h)^{2}] + k$ , GTLN là $k$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.42★★★Trang 15— Đổi biến để đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đủ, chứng minh phân thức luôn dương

Bài 6.42 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 12}{x ^{2} - 4 x + 10}

. Đặt

t = x - 2

, hãy biểu diễn

P

dưới dạng một phân thức của biến

t

. Từ đó suy ra

P

luôn nhận giá trị dương.

Kiến thức cần nhớ

Hoàn thành bình phương: $x^{2} - 4 x = x^{2} - 4 x + 4 - 4 = (x - 2)^{2} - 4$ .
$t^{2} \geq 0$ với mọi số thực $t$ , nên $t^{2} + k > 0$ với mọi $k > 0$ .
Thương của hai số dương luôn là số dương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.43★★★Trang 15— Bài toán thực tế lập phân thức theo "năng suất cộng gộp" (hai vòi cùng làm việc)

Bài 6.43 (trang 15). Một bể chứa nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là

x

(giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là

y

(giờ).
a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.
b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong

2

giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong

3

giờ.

Kiến thức cần nhớ

Năng suất (phần công việc làm trong một đơn vị thời gian) của một đối tượng hoàn thành riêng trong $x$ đơn vị thời gian là $\frac{1}{x}$ .
Hai đối tượng cùng làm: năng suất chung bằng tổng hai năng suất riêng; nếu năng suất chung là $\frac{1}{t}$ thì $t$ là thời gian hoàn thành chung.