Chương VI. Phân thức đại số

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 14— Trắc nghiệm — nhận biết định nghĩa phân thức đại số (tử và mẫu phải là ĐA THỨC)

Câu 1 (trang 14). Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
A.

2 x + 1

.
B.

5

.
C.

π

.
D.

\frac{x}{x}

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là biểu thức gồm các đơn thức cộng/trừ nhau, mỗi biến trong đơn thức mang số mũ nguyên không âm.
Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức, $B$ khác đa thức $0$ .
Một số thực bất kì (kể cả số vô tỉ như $5$ , $π$ ) là một đa thức bậc $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phân thức đại số có dạng

\frac{A}{B}

với

A, B

là đa thức — nghĩa là biến chỉ được xuất hiện với số mũ nguyên không âm. Ba phương án A, B, C tuy trông khác nhau (một đa thức bậc một, một số vô tỉ, một hằng số) nhưng đều là đa thức bậc

0

hoặc bậc

1

hợp lệ. Bẫy nằm ở D:

x

có biến

x

nằm dưới dấu căn, tức là

x

mang số mũ

\frac{1}{2}

— không nguyên — nên tử của D không phải là đa thức.

1Cách 1. Đối chiếu từng phương án với định nghĩa đa thức

Định hướng. Kiểm tra xem tử và mẫu của mỗi biểu thức có phải đa thức hay không, chú ý số mũ của biến phải nguyên không âm.

2 x + 1

là đa thức bậc một, mẫu ngầm định là

1

— là phân thức đại số.
B)

5

là một số thực (không chứa biến) — là đa thức bậc

0

, nên là phân thức đại số.
C)

π

cũng là một số thực — là đa thức bậc

0

, nên là phân thức đại số.
D)

\frac{x}{x}

có tử

x = x^{\frac{1}{2}}

— số mũ của

x

không nguyên, nên

x

không phải là đa thức, do đó

\frac{x}{x}

không phải là phân thức đại số.

Vậy biểu thức không phải phân thức đại số là đáp án D.

2Cách 2. Loại trừ theo dấu hiệu "biến dưới căn"

Định hướng. Thay vì xét đủ bốn phương án, chỉ cần rà soát xem phương án nào có biến $x$ nằm dưới dấu căn — đó chính là dấu hiệu vi phạm định nghĩa đa thức nhanh nhất.

Trong bốn phương án, chỉ D chứa

x

— căn của một BIẾN. Các số

5

π

ở B, C tuy có dấu căn hoặc là số vô tỉ nhưng KHÔNG chứa biến, nên vẫn là hằng số hợp lệ.

Vậy chỉ có D vi phạm — đáp án D.

Nhận xét. Dễ nhầm B, C là "sai" vì thấy có căn hoặc số lạ; phải phân biệt RÕ giữa "căn của một HẰNG SỐ" (vẫn là đa thức bậc $0$ ) và "căn của một BIẾN" (không phải đa thức).

3Cách 3. Thử đưa mỗi biểu thức về đúng khuôn

\frac{A}{B}

với

A, B

là đa thức

Định hướng. Viết lại từng biểu thức dưới dạng phân thức $\frac{A}{B}$ tường minh để kiểm tra trực tiếp $A$ có phải đa thức hay không.

2 x + 1 = \frac{2 x + 1}{1}

A = 2 x + 1

là đa thức — hợp lệ.
B)

5 = \frac{5}{1}

A = 5

là đa thức bậc

0

— hợp lệ.
C)

π = \frac{π}{1}

A = π

là đa thức bậc

0

— hợp lệ.
D)

\frac{x}{x}

đã đúng khuôn

\frac{A}{B}

với

B = x

là đa thức, nhưng

A = x

không viết được thành tổng các đơn thức với số mũ nguyên — không phải đa thức.

Vậy chỉ D không đưa được $A$ về đúng dạng đa thức — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần soi "biến có nằm dưới căn không" là loại được D ngay, khỏi phải xét kỹ cả bốn phương án như Cách 1, Cách 3.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Thấy

5

và

π

đều là số "lạ", vô tỉ, nên tưởng nhầm chúng không phải đa thức và chọn sai đáp án B hoặc C; thực ra một số thực bất kì — dù hữu tỉ hay vô tỉ — luôn là đa thức bậc

0

, vì đa thức không đòi hỏi hệ số phải là số hữu tỉ.

🚀 Mở rộng. Theo đúng lí do này,

\frac{1}{x + 1}

cũng KHÔNG phải phân thức đại số (vì

x + 1

không phải đa thức), trong khi

\frac{1}{x + 2}

VẪN là phân thức đại số (vì

2

chỉ là hệ số hằng, không phải biến dưới căn).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★★Trang 14— Trắc nghiệm — rút gọn phân thức để nhận ra phân thức bằng nhau (phân tích nhân tử tử và mẫu)

Câu 2 (trang 14). Phân thức nào sau đây bằng phân thức

\frac{16 x ^{4} - 1}{12 x ^{3} - 3 x}

?
A.

\frac{4 x ^{2} - 1}{3 x}

.
B.

\frac{4 x ^{2} + 1}{3 x}

.
C.

\frac{4 x ^{2} - 1}{4 x - 3}

.
D.

\frac{4 x ^{2} + 1}{4 - 3 x}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng với $a = 4 x^{2}, b = 1$ .
Rút gọn phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Cả tử

16 x^{4} - 1

và mẫu

12 x^{3} - 3 x

đều phân tích được thành tích chứa nhân tử chung

4 x^{2} + 1

— dấu hiệu để rút gọn trực tiếp thay vì so khớp từng phương án. Tử là hiệu hai bình phương

(4 x^{2})^{2} - 1^{2}

, mẫu có nhân tử chung

3 x

. Bẫy ở B, D: đổi dấu

- 1

thành

+ 1

trong tử làm sai hẳn hằng đẳng thức, không rút gọn được nữa.

1Cách 1. Phân tích nhân tử tử và mẫu rồi rút gọn có tô màu nhân tử chung

Định hướng. Đưa tử về hiệu hai bình phương, mẫu về nhân tử chung $3 x$ , rồi rút gọn nhân tử chung $(4 x^{2} + 1)$ ở cả tử và mẫu.

16 x^{4} - 1 = (4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 1)

12 x^{3} - 3 x = 3 x (4 x^{2} - 1)

\dfrac{16x^{4}-1}{12x^{3}-3x}=\dfrac{\colorbox{#FFB067}{(4x^{2}-1)}(4x^{2}+1)}{3x\cdot\colorbox{#FFB067}{(4x^{2}-1)}}=\dfrac{4x^{2}+1}{3x}

Vậy phân thức bằng phân thức đã cho là đáp án B.

2Cách 2. Nhân chéo kiểm tra trực tiếp từng phương án

Định hướng. Hai phân thức $\frac{16 x ^{4} - 1}{12 x ^{3} - 3 x}$ và một phương án bằng nhau khi tích chéo bằng nhau; thử ngay phương án B (nghi đúng nhất theo hình thức).

(16 x^{4} - 1) \cdot 3 x = 48 x^{5} - 3 x

(12 x^{3} - 3 x) (4 x^{2} + 1) = 48 x^{5} + 12 x^{3} - 12 x^{3} - 3 x = 48 x^{5} - 3 x

Hai tích chéo bằng nhau

\Rightarrow

B đúng.

Vậy đáp án B.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để loại nhanh ba phương án

Định hướng. Thay $x = 1$ (giá trị hợp lệ, khác các giá trị làm mẫu bằng $0$ ) vào phân thức gốc và bốn phương án, so sánh số.

Tại

x = 1

: phân thức gốc

= \frac{16 - 1}{12 - 3} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

\frac{3}{3} = 1

— loại.
B:

\frac{5}{3}

— khớp.
C:

\frac{3}{1} = 3

— loại.
D:

\frac{5}{1} = 5

— loại.

Vậy chỉ B khớp — đáp án B.

Nhận xét. Thử số nhanh nhưng chỉ mang tính KIỂM TRA; Cách 1 mới là lời giải chuẩn cần trình bày vì chứng minh đúng với MỌI $x$ hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử chung rồi rút gọn cho ra thẳng kết quả, không cần thử số hay nhân chéo từng phương án.

Đáp số. Chọn B:

\frac{4 x ^{2} + 1}{3 x}

Sai lầm thường gặp. Rút gọn hiệu hai bình phương

16 x^{4} - 1 = (4 x^{2} - 1) (4 x^{2} + 1)

nhưng lại chép nhầm dấu, viết thành

(4 x^{2} - 1) (4 x^{2} - 1)

rồi rút gọn ra đáp án A

\frac{4 x ^{2} - 1}{3 x}

— sai vì bỏ mất một nhân tử đúng của hằng đẳng thức.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, rút gọn

\frac{81 x ^{4} - 1}{27 x ^{3} - 3 x}

: tử

= (9 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1)

, mẫu

= 3 x (9 x^{2} - 1)

, kết quả

\frac{9 x ^{2} + 1}{3 x}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★★Trang 14— Trắc nghiệm — tìm mẫu thức chung của hai phân thức bằng cách phân tích mọi mẫu thành nhân tử

Câu 3 (trang 14). Đa thức nào sau đây không thể chọn làm mẫu thức chung của hai phân thức

\frac{x ^{3}}{( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 )}

và

\frac{x ^{3} - x + 1}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{3} + 1 )}

?
A.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} - x + 1)

.
B.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{3} + 1)

.
C.

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + x + 1)

.
D.

3 (x^{4} - 1) (x^{6} - 1) (x^{6} - 64)

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung phải chứa mọi nhân tử của TỪNG mẫu, mỗi nhân tử lấy số mũ cao nhất.
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai mẫu đều phân tích được:

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

và

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

(hiệu hai bình phương), còn

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

(tổng hai lập phương) — dấu hiệu bắt buộc phải phân tích nhân tử TRƯỚC khi kết luận một đa thức có phải là bội chung hay không. Bẫy ở C:

(x^{2} + x + 1)

rất giống nhân tử

(x^{2} - x + 1)

của

x^{3} + 1

nhưng SAI DẤU — không xuất hiện trong khai triển của

x^{3} + 1

1Cách 1. Phân tích trọn vẹn hai mẫu rồi dựng mẫu thức chung nhỏ nhất, đối chiếu bốn phương án

Định hướng. Phân tích $(x^{2} - 1) (x + 2)$ và $(x^{2} - 4) (x^{3} + 1)$ thành tích các nhân tử bất khả quy, dựng mẫu thức chung đúng chuẩn rồi so từng phương án.

(x^{2} - 1) (x + 2) = (x - 1) (x + 1) (x + 2)

(x^{2} - 4) (x^{3} + 1) = (x - 2) (x + 2) (x + 1) (x^{2} - x + 1)

Mẫu thức chung nhỏ nhất:

3 (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) (x^{2} - x + 1) = 3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} - x + 1)

A) đúng bằng mẫu thức chung nhỏ nhất — CHỌN ĐƯỢC.
B)

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{3} + 1) = 3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x + 1) (x^{2} - x + 1)

— chứa đủ mọi nhân tử của A, chỉ dư thêm

(x + 1)

— CHỌN ĐƯỢC.
D)

3 (x^{4} - 1) (x^{6} - 1) (x^{6} - 64)

— mỗi thừa số đều là bội của các nhân tử cần thiết (có thể phân tích ra đủ) — CHỌN ĐƯỢC.
C)

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + x + 1)

— nhân tử

(x^{2} + x + 1)

SAI DẤU so với

(x^{2} - x + 1)

cần có, không phải bội của mẫu thứ hai — KHÔNG CHỌN ĐƯỢC.

Vậy đa thức không thể chọn làm mẫu thức chung là đáp án C.

2Cách 2. Kiểm tra riêng phương án C bằng phép chia đa thức cho mẫu thứ hai

Định hướng. Một đa thức là mẫu thức chung hợp lệ thì phải CHIA HẾT cho cả hai mẫu ban đầu; kiểm tra trực tiếp phép chia của C cho $(x^{2} - 4) (x^{3} + 1)$ .

(x^{2} - 4) (x^{3} + 1) = (x - 2) (x + 2) (x + 1) (x^{2} - x + 1)

3 (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + x + 1) = 3 (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2) (x^{2} + x + 1)

Để chia hết cho

(x^{2} - 4) (x^{3} + 1)

, cần có nhân tử

(x^{2} - x + 1)

, nhưng C chỉ có

(x^{2} + x + 1)

— hai đa thức bậc hai này KHÁC NHAU (không phải nhân của nhau vì

(x^{2} - x + 1) \neq = (x^{2} + x + 1)

)

\Rightarrow

C KHÔNG chia hết cho

(x^{2} - 4) (x^{3} + 1)

Vậy C không thể là mẫu thức chung — đáp án C.

Nhận xét. Chỉ cần chỉ ra MỘT mẫu gốc mà C không chia hết là đủ kết luận, không cần dựng lại toàn bộ mẫu thức chung nhỏ nhất như Cách 1.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể để so sánh nghiệm của C với nghiệm của

x^{3} + 1

Định hướng. Nếu C là bội của $x^{3} + 1$ thì mọi nghiệm của $x^{3} + 1 = 0$ cũng phải là nghiệm của C; kiểm tra bằng nghiệm phức đơn giản hoặc so hệ số qua một giá trị số.

Xét

x = 0

x^{2} - x + 1 = 1 \neq = 0

và

x^{2} + x + 1 = 1 \neq = 0

— chưa phân biệt được, thử tiếp

x = 1

x^{2} - x + 1 = 1

;

x^{2} + x + 1 = 3

— hai giá trị khác nhau tại

x = 1

, chứng tỏ

(x^{2} - x + 1)

và

(x^{2} + x + 1)

là hai đa thức khác nhau, không thể thay thế cho nhau trong mẫu thức chung.

Vậy C dùng sai nhân tử — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích trọn vẹn cả hai mẫu một lần rồi so sánh cả bốn phương án cùng lúc, đỡ phải lặp lại phép chia cho từng phương án như Cách 2.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm hằng đẳng thức tổng hai lập phương

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

thành

(a + b) (a^{2} + ab + b^{2})

(nhầm dấu số hạng giữa), khiến nhân tử của

x^{3} + 1

bị viết sai thành

(x^{2} + x + 1)

— đúng bằng "bẫy" của đáp án C.

🚀 Mở rộng. Phân biệt hai hằng đẳng thức dễ nhầm:

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

và

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

— dấu của số hạng giữa LUÔN ngược với dấu của hằng đẳng thức gốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 14— Trắc nghiệm — tính giá trị phân thức tại một giá trị cụ thể của biến

Câu 4 (trang 14). Giá trị của phân thức

\frac{8 x - 4}{8 x ^{3} - 1}

tại

x = - 0, 5

là
A.

4

.
B.

- 4

.
C.

0, 25

.
D.

- 0, 25

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ , áp dụng với $a = 2 x, b = 1$ .
Giá trị phân thức tại $x = x_{0}$ : thay trực tiếp $x_{0}$ vào biểu thức rồi rút gọn số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu thay số trực tiếp — dấu hiệu của dạng tính giá trị đơn giản. Cạm bẫy nằm ở dấu:

x = - 0, 5

là số âm nên khi tính

x^{3}

và các phép nhân phải cẩn thận dấu trừ, dễ nhầm dẫn tới sai cả tử lẫn mẫu. Có thể rút gọn phân thức trước bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để phép tính gọn nhẹ hơn hẳn so với thay số trực tiếp vào phân thức gốc.

1Cách 1. Thay trực tiếp

x = - 0, 5

vào phân thức gốc

Định hướng. Tính lần lượt tử và mẫu tại $x = - 0, 5$ rồi chia, chú ý dấu của $x^{3}$ khi $x$ âm.

8 x - 4 = 8 \cdot (- 0, 5) - 4 = - 4 - 4 = - 8

8 x^{3} - 1 = 8 \cdot (- 0, 5)^{3} - 1 = 8 \cdot (- 0, 125) - 1 = - 1 - 1 = - 2

\frac{8 x - 4}{8 x ^{3} - 1} = \frac{- 8}{- 2} = 4

Vậy giá trị của phân thức tại $x = - 0, 5$ là $4$ — chọn đáp án A.

2Cách 2. Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức lập phương rồi mới thay số

Định hướng. Phân tích $8 x^{3} - 1$ theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để rút gọn với $4 (2 x - 1)$ ở tử, khi đó phép tính chỉ còn số nhỏ.

8 x - 4 = 4 (2 x - 1)

8 x^{3} - 1 = (2 x)^{3} - 1^{3} = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)

\frac{8 x - 4}{8 x ^{3} - 1} = \frac{4 (2x-1)}{(2x-1) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )} = \frac{4}{4 x ^{2} + 2 x + 1}

Tại

x = - 0, 5

4 x^{2} + 2 x + 1 = 4 \cdot 0, 25 + 2 \cdot (- 0, 5) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1

\frac{4}{1} = 4

Vậy giá trị của phân thức là $4$ — chọn đáp án A, trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Sau khi rút gọn, mẫu $4 x^{2} + 2 x + 1$ luôn dương (vì bằng $(2 x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$ ), nên phân thức xác định với mọi $x \neq = \frac{1}{2}$ , không riêng gì $x = - 0, 5$ .

3Cách 3. Đổi

x = - 0, 5

sang phân số

- \frac{1}{2}

để tính chính xác, tránh sai số thập phân

Định hướng. Thay $- 0, 5 = - \frac{1}{2}$ và tính bằng phân số thay vì số thập phân, tránh nhầm dấu khi lấy luỹ thừa bậc ba của số âm.

8 x - 4 = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) - 4 = - 4 - 4 = - 8

8 x^{3} - 1 = 8 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - 1 = 8 \cdot (- \frac{1}{8}) - 1 = - 1 - 1 = - 2

\frac{- 8}{- 2} = 4

Vậy giá trị phân thức là $4$ — chọn đáp án A, trùng khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đổi

- 0, 5

thành

- \frac{1}{2}

trước khi lấy luỹ thừa bậc ba giúp tránh sai dấu do số thập phân, mà vẫn nhanh như Cách 1.

Đáp số. Chọn A: giá trị bằng

4

Sai lầm thường gặp. Tính

(- 0, 5)^{3}

nhầm thành

0, 125

(quên luỹ thừa bậc lẻ của số âm vẫn âm), dẫn tới mẫu tính sai thành

8 \cdot 0, 125 - 1 = 0

rồi kết luận phân thức không xác định — sai vì

x = - 0, 5

hoàn toàn thoả điều kiện

x \neq = \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Với dạng phân thức

\frac{4 ( 2 x - 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )}

đã rút gọn ở Cách 2, có thể tính nhanh giá trị tại BẤT KÌ

x \neq = \frac{1}{2}

nào chỉ bằng

\frac{4}{4 x ^{2} + 2 x + 1}

, không cần quay lại phân thức gốc phức tạp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★★Trang 14— Trắc nghiệm — rút gọn tổng nhiều phân thức bằng cách nhóm theo mẫu (mẫu đối nhau và mẫu giống nhau)

Câu 5 (trang 14). Rút gọn biểu thức

\frac{x - 1}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - 2 x}{x - 1} - \frac{3 x + 2}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - x}{x ^{3} + 1} + \frac{3 x}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - 2 x}{1 - x}

, ta được kết quả là
A.

\frac{2}{x - 1}

.
B.

\frac{- 2}{x ^{3} + 1}

.
C.

\frac{2}{x ^{3} + 1}

.
D.

\frac{2}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Đổi dấu cả tử và mẫu: $\frac{A}{- B} = \frac{- A}{B}$ , đặc biệt $1 - x = - (x - 1)$ .
Cộng trừ phân thức cùng mẫu: cộng trừ trực tiếp các tử, giữ nguyên mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Sáu phân thức có hai loại mẫu: bốn phân thức mẫu

x^{3} + 1

và hai phân thức mẫu

x - 1

1 - x

(đối nhau) — dấu hiệu để NHÓM riêng hai loại trước khi cộng trừ, thay vì quy đồng cả sáu phân thức cùng lúc. Nhóm mẫu đối nhau (

x - 1

và

1 - x

) triệt tiêu gọn ngay vì cùng tử

1 - 2 x

. Bẫy của đề là số lượng phân thức nhiều dễ gây rối mắt, phải nhóm đúng cặp trước khi cộng trừ trong từng nhóm.

1Cách 1. Nhóm theo mẫu giống nhau rồi rút gọn từng nhóm

Định hướng. Tách biểu thức thành nhóm bốn phân thức mẫu $x^{3} + 1$ và nhóm hai phân thức mẫu $x - 1$ , $1 - x$ ; xử lí riêng từng nhóm rồi cộng kết quả.

Nhóm 1 (mẫu

x^{3} + 1

\frac{x - 1}{x ^{3} + 1} - \frac{3 x + 2}{x ^{3} + 1} + \frac{1 - x}{x ^{3} + 1} + \frac{3 x}{x ^{3} + 1}

= \frac{( x - 1 ) - ( 3 x + 2 ) + ( 1 - x ) + 3 x}{x ^{3} + 1} = \frac{- 2}{x ^{3} + 1}

Nhóm 2 (mẫu đối nhau):

\frac{1 - 2 x}{x - 1} + \frac{1 - 2 x}{1 - x} = \frac{1 - 2 x}{x - 1} + \frac{- ( 1 - 2 x )}{x - 1} = 0

Tổng cả biểu thức

= \frac{- 2}{x ^{3} + 1} + 0 = \frac{- 2}{x ^{3} + 1}

Vậy kết quả rút gọn là $\frac{- 2}{x ^{3} + 1}$ — chọn đáp án B.

2Cách 2. Quy đồng thẳng cả sáu phân thức về một mẫu chung duy nhất

Định hướng. Đổi $1 - x = - (x - 1)$ ngay từ đầu để cả sáu phân thức về đúng hai loại mẫu $x^{3} + 1$ và $x - 1$ , rồi quy đồng chung một mẫu $(x - 1) (x^{2} - x + 1)$ .

\frac{1 - 2 x}{1 - x} = \frac{1 - 2 x}{- ( x - 1 )} = \frac{2 x - 1}{x - 1}

Bốn phân thức mẫu

x^{3} + 1

cộng trừ trước:

\frac{( x - 1 ) - ( 3 x + 2 ) + ( 1 - x ) + 3 x}{x ^{3} + 1} = \frac{- 2}{x ^{3} + 1}

Hai phân thức còn lại:

\frac{1 - 2 x}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{( 1 - 2 x ) + ( 2 x - 1 )}{x - 1} = \frac{0}{x - 1} = 0

Tổng:

\frac{- 2}{x ^{3} + 1} + 0 = \frac{- 2}{x ^{3} + 1}

Vậy kết quả rút gọn là $\frac{- 2}{x ^{3} + 1}$ — chọn đáp án B, trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để loại ba phương án còn lại

Định hướng. Thay $x = 0$ (giá trị hợp lệ, khác $1$ và $- 1$ ) vào biểu thức gốc và vào bốn phương án để đối chiếu.

Tại

x = 0

: biểu thức gốc

= \frac{- 1}{1} + \frac{1}{- 1} - \frac{2}{1} + \frac{1}{1} + \frac{0}{1} + \frac{1}{1}

= - 1 - 1 - 2 + 1 + 0 + 1 = - 2

\frac{2}{- 1} = - 2

— khớp (cần thử thêm điểm khác để phân biệt).
B:

\frac{- 2}{1} = - 2

— khớp.
C:

\frac{2}{1} = 2

— loại.
D:

\frac{2}{1} = 2

— loại.
Thử tiếp

x = 1,

vì A, B đều khớp tại

x = 0

: cần thay

x = 2

để phân biệt.
Tại

x = 2

: gốc

= \frac{1}{9} + \frac{- 3}{1} - \frac{8}{9} + \frac{- 1}{9} + \frac{6}{9} + \frac{- 3}{- 1} = \frac{1 - 8 - 1 + 6}{9} + (- 3) + 3 = \frac{- 2}{9}

A tại

x = 2

\frac{2}{1} = 2

— loại. B tại

x = 2

\frac{- 2}{9}

— khớp.

Vậy chỉ B khớp ở cả hai lần thử — đáp án B.

Nhận xét. Với biểu thức nhiều số hạng như bài này, thử số CẦN ít nhất hai giá trị $x$ khác nhau mới loại hết các phương án trùng ngẫu nhiên ở một điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm bốn phân thức cùng mẫu

x^{3} + 1

riêng và hai phân thức mẫu đối nhau riêng — nhóm mẫu đối nhau triệt tiêu ngay thành

0

, giảm hẳn khối lượng tính so với quy đồng toàn bộ như Cách 2.

Đáp số. Chọn B:

\frac{- 2}{x ^{3} + 1}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi gộp

\frac{1 - 2 x}{x - 1} + \frac{1 - 2 x}{1 - x}

, cộng thẳng hai tử mà không nhận ra hai mẫu đối nhau, dẫn tới kết quả KHÔNG triệt tiêu về

0

và làm sai toàn bộ đáp số cuối.

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật "nhóm mẫu đối nhau cho triệt tiêu trước, nhóm mẫu giống nhau cộng trừ sau" dùng lại được cho mọi tổng nhiều phân thức có từ hai loại mẫu trở lên — luôn nhóm trước khi quy đồng toàn bộ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.34★★★Trang 14— ĐKXĐ, rút gọn phân thức bậc hai và tìm

x

nguyên để phân thức nguyên

Bài 6.34 (trang 14). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 9}

.
a) Viết điều kiện xác định của phân thức. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

x

không thoả mãn điều kiện xác định.
b) Rút gọn phân thức đã cho.
c) Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

x

để phân thức

P

nhận giá trị là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

ĐKXĐ của phân thức $\frac{A}{B}$ là $B \neq = 0$ .
Tách hạng tử giữa: $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ (hai số có tích $3$ , tổng $4$ là $1$ và $3$ ).
$\frac{b}{x + 3}$ (với $b$ nguyên, $x$ nguyên) là số nguyên khi và chỉ khi $(x + 3)$ là ước của $b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

x^{2} - 9

phân tích được ngay theo hiệu hai bình phương — dấu hiệu để tìm ĐKXĐ bằng cách giải

(x - 3) (x + 3) \neq = 0

. Tử

x^{2} - 4 x + 3

có tổng hai nghiệm bằng

4

, tích bằng

3

nên tách được thành

(x - 1) (x - 3)

, xuất hiện đúng nhân tử chung

(x - 3)

với mẫu — đây là chìa khoá để rút gọn ở câu b). Từ kết quả rút gọn

\frac{x - 1}{x + 3}

, câu c) trở về dạng quen thuộc: tách phần nguyên rồi xét ước.

1Cách 1. Phân tích nhân tử tử và mẫu, rút gọn có tô màu, rồi tách phần nguyên để xét ước

Định hướng. Giải $x^{2} - 9 \neq = 0$ để có ĐKXĐ; phân tích cả tử và mẫu để rút gọn nhân tử chung $(x - 3)$ ; cuối cùng chia đa thức để đưa $P$ về dạng số nguyên cộng phân thức có tử hằng số.

x^{2} - 9 \neq = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (x + 3) \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 3

và

x \neq = - 3

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

;

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

P = \frac{( x - 1 ) \cdot (x-3)}{(x-3) ( x + 3 )} = \frac{x - 1}{x + 3}

x - 1 = (x + 3) - 4

P = \frac{( x + 3 ) - 4}{x + 3} = 1 - \frac{4}{x + 3}

P

nguyên

\Leftrightarrow \frac{4}{x + 3}

nguyên

\Leftrightarrow (x + 3) \in {\pm 1; \pm 2; \pm 4}

x + 3 = 1 \Rightarrow x = - 2

;

x + 3 = - 1 \Rightarrow x = - 4

;

x + 3 = 2 \Rightarrow x = - 1

;

x + 3 = - 2 \Rightarrow x = - 5

;

x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1

;

x + 3 = - 4 \Rightarrow x = - 7

Vậy a) $x \neq = 3, x \neq = - 3$ , tập giá trị không thoả ĐKXĐ là ${3; - 3}$ ; b) $P = \frac{x - 1}{x + 3}$ ; c) $x \in {- 7; - 5; - 4; - 2; - 1; 1}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại kết quả rút gọn và các giá trị

x

nguyên bằng cách thay số

Định hướng. Thay một giá trị $x$ hợp lệ vào phân thức GỐC và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu; đồng thời thử trực tiếp $P$ tại các giá trị $x$ vừa tìm được ở câu c).

Tại

x = 0

: gốc

= \frac{3}{- 9} = - \frac{1}{3}

; rút gọn

= \frac{- 1}{3}

, khớp.
Tại

x = - 2

P = \frac{- 3}{1} = - 3

— nguyên, đúng như dự đoán.
Tại

x = 1

P = \frac{0}{4} = 0

— nguyên, đúng.
Tại

x = - 4

P = \frac{- 5}{- 1} = 5

— nguyên, đúng.
Tại

x = 2

(không thuộc tập vừa tìm):

P = \frac{1}{5}

— không nguyên, đúng như dự đoán.

Vậy các kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép thử số.

3Cách 3. Xét dấu và chặn khoảng để chứng minh đã tìm đủ nghiệm nguyên

Định hướng. Từ $P = 1 - \frac{4}{x + 3}$ , lập luận bằng bất đẳng thức để khẳng định ngoài các giá trị $x + 3 \in {\pm 1; \pm 2; \pm 4}$ thì không còn giá trị nguyên nào khác thoả mãn.

Với

x

nguyên,

x + 3

cũng là số nguyên khác

0

(do

x \neq = - 3

\frac{4}{x + 3}

nguyên

\Leftrightarrow (x + 3)

là ước nguyên của

4

(4) = {\pm 1; \pm 2; \pm 4}

— chỉ có đúng

6

giá trị, không còn giá trị nào khác vì mọi ước của

4

đã liệt kê đủ.

Vậy c) $x \in {- 7; - 5; - 4; - 2; - 1; 1}$ — đúng $6$ giá trị, không sót không thừa.

Nhận xét. Cách liệt kê Ư $(4)$ chắc chắn đủ vì $4$ chỉ có hữu hạn ước nguyên — khác với các bài chặn bằng bất đẳng thức $∣ x + 3∣ \geq k$ khi ước là $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tách

x - 1 = (x + 3) - 4

ngay khi vừa rút gọn xong, khỏi phải chia đa thức lại từ đầu như một bài riêng.

Đáp số. a)

x \neq = 3, x \neq = - 3

, tập không thoả ĐKXĐ

= {3; - 3}

; b)

P = \frac{x - 1}{x + 3}

; c)

x \in {- 7; - 5; - 4; - 2; - 1; 1}

Sai lầm thường gặp. Rút gọn ẩu bằng cách "gạch" trực tiếp

x^{2} - 4 x + 3

và

x^{2} - 9

mà không phân tích nhân tử trước, dẫn tới rút gọn sai (ví dụ gạch nhầm số hạng

- 4 x

với

- 9

) — phải phân tích thành tích rồi mới được rút gọn nhân tử chung.

🚀 Mở rộng. Đổi phân thức thành

P = \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{x + 3}

rồi lặp lại đúng quy trình câu c) với phần dư khác — luyện phản xạ tách phần nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.35★★★Trang 15— Kiểm tra một đa thức cho sẵn có phải là mẫu thức chung hợp lệ của hai phân thức hay không

Bài 6.35 (trang 15). Cho hai phân thức:

P = \frac{1}{2 x ^{2} + 7 x - 15}

Q = \frac{1}{x ^{2} + 3 x - 10}

. Có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là

M = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

được không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Một đa thức $M$ là mẫu thức chung hợp lệ của hai phân thức khi và chỉ khi $M$ chia hết cho CẢ HAI mẫu ban đầu.
Phân tích tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 1$ ) bằng tách hạng tử dựa trên tích $a \cdot c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không yêu cầu TỰ tìm mẫu thức chung mà cho sẵn

M

và hỏi có dùng được không — dấu hiệu của dạng kiểm tra tính chia hết. Cách chắc chắn nhất là phân tích cả hai mẫu gốc thành nhân tử rồi xem

M

có chứa đủ các nhân tử đó hay không, thay vì chia trực tiếp đa thức bậc ba

M

cho từng mẫu bậc hai (dễ sai sót hơn). Bẫy của đề là mẫu

2 x^{2} + 7 x - 15

có hệ số bậc cao là

2

chứ không phải

1

, phân tích nhân tử phải cẩn thận hệ số này.

1Cách 1. Phân tích hai mẫu gốc thành nhân tử rồi kiểm tra

M

có chứa đủ nhân tử hay không

Định hướng. Phân tích $2 x^{2} + 7 x - 15$ và $x^{2} + 3 x - 10$ thành tích nhị thức, rồi so xem $M$ có phải là bội chung của hai tích đó hay không.

2 x^{2} + 7 x - 15 = 2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15 = 2 x (x + 5) - 3 (x + 5) = (x + 5) (2 x - 3)

x^{2} + 3 x - 10 = (x + 5) (x - 2)

Mẫu thức chung nhỏ nhất của hai phân thức là

(x + 5) (2 x - 3) (x - 2)

Kiểm tra

M

(x + 5) (2 x - 3) (x - 2) = (x + 5) (2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6) = (x + 5) (2 x^{2} - 7 x + 6)

= 2 x^{3} - 7 x^{2} + 6 x + 10 x^{2} - 35 x + 30 = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

Kết quả trùng đúng với

M = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

đã cho.

Vậy $M$ chính là mẫu thức chung nhỏ nhất của $P, Q$ — CÓ THỂ dùng $M$ để quy đồng.

2Cách 2. Chia trực tiếp

M

cho từng mẫu gốc, kiểm tra dư bằng

0

Định hướng. $M$ hợp lệ khi và chỉ khi phép chia $M$ cho từng mẫu gốc có dư bằng $0$ ; thực hiện phép chia đa thức trực tiếp thay vì phân tích nhân tử.

M : (2 x^{2} + 7 x - 15)

: lấy

2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

chia

2 x^{2} + 7 x - 15

Thương bậc một dạng

x + m

(2 x^{2} + 7 x - 15) (x + m) = 2 x^{3} + 7 x^{2} - 15 x + 2 m x^{2} + 7 m x - 15 m

= 2 x^{3} + (7 + 2 m) x^{2} + (7 m - 15) x - 15 m

Đồng nhất với

M

7 + 2 m = 3 \Rightarrow m = - 2

; kiểm tra:

7 m - 15 = - 29

(đúng),

- 15 m = 30

(đúng)

\Rightarrow M = (2 x^{2} + 7 x - 15) (x - 2)

— chia hết, dư

0

M : (x^{2} + 3 x - 10)

: thương bậc một dạng

2 x + n

(x^{2} + 3 x - 10) (2 x + n) = 2 x^{3} + n x^{2} + 6 x^{2} + 3 n x - 20 x - 10 n

= 2 x^{3} + (n + 6) x^{2} + (3 n - 20) x - 10 n

; đồng nhất:

n + 6 = 3 \Rightarrow n = - 3

; kiểm tra

3 n - 20 = - 29

(đúng),

- 10 n = 30

(đúng)

\Rightarrow M = (x^{2} + 3 x - 10) (2 x - 3)

— chia hết, dư

0

Vậy $M$ chia hết cho cả hai mẫu — CÓ THỂ dùng $M$ làm mẫu thức chung, trùng kết luận Cách 1.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể để kiểm tra nhanh trước khi phân tích đầy đủ

Định hướng. Nếu $M$ chia hết cho $2 x^{2} + 7 x - 15$ và $x^{2} + 3 x - 10$ thì mọi nghiệm của hai đa thức này cũng phải là nghiệm của $M$ ; kiểm tra bằng nghiệm dễ tính $x = 2$ (nghiệm của $x^{2} + 3 x - 10$ ).

x^{2} + 3 x - 10 = 0

tại

x = 2

4 + 6 - 10 = 0

— đúng,

x = 2

là nghiệm.
Kiểm tra

M

tại

x = 2

2 \cdot 8 + 3 \cdot 4 - 29 \cdot 2 + 30 = 16 + 12 - 58 + 30 = 0

— đúng,

x = 2

cũng là nghiệm của

M

.
Tương tự

x = - 5

là nghiệm chung của cả hai mẫu gốc (vì

(x + 5)

là nhân tử chung):

M (- 5) = 2 (- 125) + 3 (25) - 29 (- 5) + 30 = - 250 + 75 + 145 + 30 = 0

— đúng.

Vậy $M$ nhận đủ các nghiệm cần thiết — phù hợp để là mẫu thức chung, khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Thử nghiệm chỉ là bước SÀNG LỌC nhanh; muốn khẳng định chắc chắn $M$ chia hết (không chỉ chung nghiệm bậc một) vẫn cần phân tích đầy đủ như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích cả hai mẫu thành nhân tử rồi nhân lại đúng một lần để đối chiếu với

M

— gọn hơn hẳn việc chia đa thức bậc ba hai lần như Cách 2.

Đáp số. Có thể dùng

M = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 30

làm mẫu thức chung, vì

M = (x + 5) (2 x - 3) (x - 2)

đúng bằng tích các nhân tử của cả hai mẫu gốc.

Sai lầm thường gặp. Thấy bậc của

M

(bậc ba) cao hơn tổng bậc hai mẫu gốc cộng lại một cách hời hợt rồi vội kết luận "không hợp lệ vì bậc quá cao" — sai vì mẫu thức chung được PHÉP có bậc cao hơn tích hai mẫu nếu nhân thêm hệ số, miễn là vẫn chia hết cho cả hai mẫu gốc.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi mẫu thứ hai thành

x^{2} + 3 x - 10

giữ nguyên nhưng đổi mẫu thứ nhất thành

2 x^{2} + 7 x - 15

nhân thêm hệ số

3

thành

6 x^{2} + 21 x - 45

, mẫu thức chung nhỏ nhất KHÔNG đổi về mặt nhân tử, chỉ nhân thêm hệ số

3

— cùng kĩ thuật phân tích nhân tử vẫn áp dụng được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.36★★★★Trang 15— Rút gọn biểu thức phối hợp cả ba phép tính cộng/trừ, nhân, chia phân thức

Bài 6.36 (trang 15). Rút gọn biểu thức

P = (x - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x + y}) \cdot (\frac{2 x}{y} + \frac{4 x}{x - y}) : \frac{1}{y}

(

y \neq = 0

y \neq = x

y \neq = - x

Kiến thức cần nhớ

Chia cho một phân thức bằng nhân với phân thức nghịch đảo: $A : \frac{1}{y} = A \cdot y$ .
Quy đồng trong từng ngoặc trước khi nhân các ngoặc với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức gồm ba khối tính theo đúng thứ tự: rút gọn ngoặc trừ trước, rút gọn ngoặc cộng, rồi mới nhân và chia — dấu hiệu bắt buộc xử lí TỪNG NGOẶC bằng quy đồng trước khi nhân/chia toàn bộ, không được nhân phân phối tràn lan. Chia cho

\frac{1}{y}

ở cuối tương đương nhân với

y

— nhiều học sinh quên quy tắc này và để nguyên phép chia gây rối biểu thức.

1Cách 1. Rút gọn từng ngoặc bằng quy đồng có tô màu, rồi nhân và chia theo đúng thứ tự

Định hướng. Quy đồng ngoặc thứ nhất (hiệu), quy đồng ngoặc thứ hai (tổng), rồi nhân hai kết quả và nhân tiếp với $y$ (vì chia cho $\frac{1}{y}$ ).

Ngoặc 1:

x - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x + y} = \frac{x \cdot (x+y)}{(x+y)} - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x + y} = \frac{x ^{2} + x y - x ^{2} - y ^{2}}{x + y} = \frac{x y - y ^{2}}{x + y} = \frac{y ( x - y )}{x + y}

Ngoặc 2:

\dfrac{2x}{y}+\dfrac{4x}{x-y}=\dfrac{2x\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x-y)}}{y\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x-y)}}+\dfrac{4x\cdot\colorbox{#7EF0D0}{

}}{(x-y)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{

}}=\dfrac{2x(x-y)+4xy}{y(x-y)}=\dfrac{2x^{2}+2xy}{y(x-y)}=\dfrac{2x(x+y)}{y(x-y)}

P = \frac{y ( x - y )}{x + y} \cdot \frac{2 x ( x + y )}{y ( x - y )} : \frac{1}{y}

=\dfrac{\colorbox{#FFB067}{

}\colorbox{#FFB067}{

(x-y)

}}{\colorbox{#FFB067}{

(x+y)

}}\cdot\dfrac{2x\colorbox{#FFB067}{

(x+y)

}}{\colorbox{#FFB067}{

}\colorbox{#FFB067}{

(x-y)

}}\cdot y=2x\cdot y=2xy

Vậy $P = 2 x y$ với $y \neq = 0, y \neq = x, y \neq = - x$ .

2Cách 2. Đổi phép chia thành phép nhân với

y

ngay từ đầu, gộp cả biểu thức vào một mạch nhân duy nhất

Định hướng. Viết lại $P = [(x - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x + y}) \cdot (\frac{2 x}{y} + \frac{4 x}{x - y})] \cdot y$ ngay từ dòng đầu, tránh phải xử lí phép chia riêng ở bước cuối.

P = [\frac{y ( x - y )}{x + y} \cdot \frac{2 x ( x + y )}{y ( x - y )}] \cdot y

= [2 x] \cdot y

(rút gọn ngay trong ngoặc vuông vì

\frac{y ( x - y )}{x + y} \cdot \frac{2 x ( x + y )}{y ( x - y )} = 2 x

)

= 2 x y

Vậy $P = 2 x y$ — trùng khớp kết quả Cách 1.

Nhận xét. Đổi phép chia cuối cùng thành phép nhân NGAY từ dòng đầu giúp cả mạch tính gọn hơn, tránh phải viết lại phân thức nghịch đảo $\frac{1}{( \frac{1}{y} )}$ ở bước cuối.

3Cách 3. Kiểm tra kết quả bằng cách thay một cặp giá trị cụ thể của

x, y

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ (thoả các điều kiện $y \neq = 0, y \neq = x, y \neq = - x$ ) vào biểu thức GỐC và vào kết quả $2 x y$ để đối chiếu.

Tại

x = 2, y = 1

: ngoặc 1

= 2 - \frac{4 + 1}{3} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}

ngoặc 2

= \frac{4}{1} + \frac{8}{1} = 12

P = \frac{1}{3} \cdot 12 : \frac{1}{1} = 4 : 1 = 4

Kết quả

2 x y = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4

— khớp.

Vậy $P = 2 x y$ được xác nhận đúng qua phép thử số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi phép chia cuối thành nhân với

y

ngay từ dòng đầu, gộp cả biểu thức vào một mạch nhân ba phân thức duy nhất, rút gọn một lần là xong.

Đáp số.

P = 2 x y

Sai lầm thường gặp. Quên đổi phép chia

: \frac{1}{y}

thành nhân với

y

, để nguyên phân thức

\frac{1}{y}

ở mẫu rồi rút gọn sai, ra kết quả

\frac{2 x}{y}

thay vì

2 x y

— thiếu hẳn một bước nghịch đảo phân thức khi chia.

🚀 Mở rộng. Với biểu thức tương tự nhưng đổi thành

: \frac{1}{x}

ở cuối thay vì

: \frac{1}{y}

, kết quả sẽ nhân thêm

x

thay vì

y

, cho

P = 2 x^{2}

— luyện phản xạ đổi chia thành nhân đúng biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.37★★★Trang 15— Chứng minh giá trị phân thức không đổi (chỉ phụ thuộc tham số

a

) bằng cách rút gọn triệt để

Bài 6.37 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x + y ) ( a y - a x )}

(

a \neq = 0

y \neq = x

y \neq = - x

). Chứng minh rằng

P

có giá trị không phụ thuộc vào

x, y

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ .
Đổi dấu: $y - x = - (x - y)$ .
"Giá trị không phụ thuộc $x, y$ " nghĩa là sau khi rút gọn, biểu thức chỉ còn hằng số hoặc biểu thức theo tham số khác (ở đây là $a$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh

P

"không phụ thuộc

x, y

" — dấu hiệu bắt buộc phải rút gọn cho đến khi biến

x, y

biến mất hoàn toàn khỏi biểu thức, chỉ còn lại

a

. Tử

x^{2} - y^{2}

là hiệu hai bình phương, còn mẫu có nhân tử chung

a

và phần

(y - x)

đối dấu với

(x - y)

— hai dấu hiệu để rút gọn cùng lúc nhân tử

(x + y)

và xử lí dấu đối của

(x - y)

(y - x)

1Cách 1. Phân tích nhân tử tử và mẫu, đổi dấu rồi rút gọn có tô màu

Định hướng. Phân tích $x^{2} - y^{2}$ theo hiệu hai bình phương, đặt nhân tử chung $a$ ở mẫu, đổi dấu $(a y - a x)$ về cùng chiều với tử rồi rút gọn.

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

a y - a x = a (y - x) = - a (x - y)

P=\dfrac{(x-y)(x+y)}{(x+y)\cdot[-a(x-y)]}=\dfrac{\colorbox{#FFB067}{

(x-y)

}\colorbox{#FFB067}{

(x+y)

}}{\colorbox{#FFB067}{

(x+y)

}\cdot[-a\colorbox{#FFB067}{

(x-y)

}]}=\dfrac{1}{-a}=-\dfrac{1}{a}

Vậy $P = - \frac{1}{a}$ — không còn chứa $x, y$ , chỉ phụ thuộc $a$ , nên $P$ có giá trị không phụ thuộc vào $x, y$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Kiểm tra kết luận bằng cách thay hai cặp giá trị

(x, y)

khác nhau, cùng một

a

Định hướng. Nếu $P$ thực sự không phụ thuộc $x, y$ thì với cùng một $a$ , thay hai cặp $(x, y)$ khác nhau phải cho cùng một giá trị $P$ .

Chọn

a = 2

.
Tại

(x, y) = (3, 1)

P = \frac{9 - 1}{( 3 + 1 ) ( 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 )} = \frac{8}{4 \cdot ( - 4 )} = \frac{8}{- 16} = - \frac{1}{2}

Tại

(x, y) = (5, 2)

P = \frac{25 - 4}{( 5 + 2 ) ( 2 \cdot 2 - 2 \cdot 5 )} = \frac{21}{7 \cdot ( - 6 )} = \frac{21}{- 42} = - \frac{1}{2}

Cả hai đều cho

- \frac{1}{2} = - \frac{1}{a}

(vì

a = 2

Vậy hai cặp $(x, y)$ khác nhau cùng cho một giá trị $P = - \frac{1}{a}$ , xác nhận $P$ không phụ thuộc $x, y$ .

Nhận xét. Thử số chỉ xác nhận thêm niềm tin; Cách 1 (rút gọn tổng quát) mới là lời giải chứng minh THẬT SỰ vì đúng với MỌI $x, y$ hợp lệ, không chỉ hai cặp đã thử.

3Cách 3. Đặt nhân tử chung

(x + y)

ở mẫu trước, xử lí phần còn lại sau

Định hướng. Thay vì đổi dấu $(a y - a x)$ trước, đặt $(x + y)$ làm nhân tử chung ở mẫu ngay từ đầu để thấy rõ nó khớp với nhân tử $(x + y)$ của tử.

Mẫu:

(x + y) (a y - a x) = (x + y) \cdot a (y - x)

P = \frac{( x - y ) ( x + y )}{a ( x + y ) ( y - x )}

Rút gọn

(x + y)

ở cả tử và mẫu trước:

P = \frac{x - y}{a ( y - x )}

Đổi dấu mẫu:

y - x = - (x - y)

P = \frac{x - y}{- a ( x - y )} = - \frac{1}{a}

Vậy $P = - \frac{1}{a}$ — trùng khớp Cách 1, không phụ thuộc $x, y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xử lí dấu của

(a y - a x)

ngay từ dòng đầu (đưa về

- a (x - y)

) rồi rút gọn một lần hai nhân tử cùng lúc, gọn hơn việc tách hai bước như Cách 3.

Đáp số.

P = - \frac{1}{a}

— chỉ phụ thuộc

a

, không phụ thuộc

x, y

(điều phải chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Đổi dấu mẫu

a y - a x = a (y - x)

nhưng quên đặt tiếp

y - x = - (x - y)

, để nguyên

\frac{x - y}{a ( y - x )}

rồi kết luận "không rút gọn được nữa" — bỏ sót bước đổi dấu cuối cùng khiến không chứng minh được điều đề yêu cầu.

🚀 Mở rộng. Đổi mẫu thành

(x + y) (a x - a y)

(không đổi dấu so với đề gốc) thì kết quả sẽ là

P = \frac{1}{a}

thay vì

- \frac{1}{a}

— chỉ khác đúng một dấu, minh hoạ tầm quan trọng của bước đổi dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.38★★★Trang 15— Dùng điều kiện

x + y + z = 0

để thế biến, rút gọn phân thức về một hằng số

Bài 6.38 (trang 15). Biết

x + y + z = 0

và

x, y \neq = 0

. Chứng minh phân thức

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}}

có giá trị không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Từ $x + y + z = 0$ suy ra $z = - (x + y)$ , nên $z^{2} = (x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .
Hằng đẳng thức bình phương của một tổng: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

x + y + z = 0

cho phép rút

z = - x - y

— dấu hiệu để THẾ biến

z

vào mẫu, biến mẫu từ ba biến thành chỉ còn

x, y

, sau đó khai triển

z^{2} = (x + y)^{2}

sẽ xuất hiện các số hạng triệt tiêu với

x^{2} + y^{2}

có sẵn. Bẫy của đề là dấu trừ trước

z^{2}

: phải khai triển đúng

- (x + y)^{2}

chứ không phải

- (x^{2} + y^{2})

1Cách 1. Thế

z = - x - y

vào mẫu rồi rút gọn trực tiếp

Định hướng. Từ giả thiết suy ra $z = - (x + y)$ , thay vào mẫu để mẫu chỉ còn $x, y$ , khai triển bình phương rồi rút gọn với tử.

x + y + z = 0 \Rightarrow z = - (x + y)

z^{2} = (x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

x^{2} + y^{2} - z^{2} = x^{2} + y^{2} - (x^{2} + 2 x y + y^{2}) = - 2 x y

\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}=\dfrac{\colorbox{#FFB067}{

}}{-2\colorbox{#FFB067}{

}}=-\dfrac{1}{2}

Vậy $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}$ với mọi $x, y \neq = 0$ thoả $x + y + z = 0$ — giá trị không đổi (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Kiểm tra bằng cách thay hai bộ số

(x, y, z)

khác nhau cùng thoả

x + y + z = 0

Định hướng. Chọn hai bộ số khác nhau đều thoả $x + y + z = 0$ , tính giá trị phân thức ở mỗi bộ để xác nhận luôn ra cùng một số.

Bộ 1:

x = 1, y = 2, z = - 3

\frac{1 \cdot 2}{1 + 4 - 9} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}

Bộ 2:

x = 3, y = - 1, z = - 2

\frac{3 \cdot ( - 1 )}{9 + 1 - 4} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}

Vậy cả hai bộ số đều cho $- \frac{1}{2}$ — xác nhận kết quả Cách 1.

Nhận xét. Thử số chỉ xác nhận thêm niềm tin; muốn CHỨNG MINH đúng với MỌI $x, y, z$ thoả điều kiện thì bắt buộc trình bày như Cách 1.

3Cách 3. Biến đổi mẫu theo hướng nhân liên hợp

x^{2} + y^{2} - z^{2} = (x + y - z) (x + y + z) - 2 x y \cdot

…, rút gọn bằng hằng đẳng thức khác

Định hướng. Nhận xét $x^{2} + y^{2} - z^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y - z^{2} = [(x + y) - z] [(x + y) + z] - 2 x y$ , dùng đúng giả thiết $x + y + z = 0$ để triệt tiêu số hạng chứa tích hai nhân tử.

x^{2} + y^{2} - z^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} - 2 x y = [(x + y) - z] [(x + y) + z] - 2 x y

Vì

x + y + z = 0

nên

(x + y) + z = 0

, do đó

[(x + y) - z] [(x + y) + z] = [(x + y) - z] \cdot 0 = 0

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0 - 2 x y = - 2 x y

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = \frac{x y}{- 2 x y} = - \frac{1}{2}

Vậy $P = - \frac{1}{2}$ — trùng khớp Cách 1, không đổi với mọi $x, y \neq = 0$ thoả giả thiết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế thẳng

z = - (x + y)

vào mẫu rồi khai triển là ra ngay kết quả trong ba dòng, không cần tách nhân tử liên hợp như Cách 3.

Đáp số.

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}

với mọi

x, y \neq = 0

thoả

x + y + z = 0

Sai lầm thường gặp. Khai triển

z^{2} = (x + y)^{2}

nhưng quên số hạng giữa, viết nhầm thành

z^{2} = x^{2} + y^{2}

(bỏ sót

2 x y

), dẫn tới mẫu tính sai thành

0

và kết luận sai "phân thức không xác định".

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật thế biến, nếu giả thiết đổi thành

x + y + z = 1

(khác

0

) thì phân thức KHÔNG còn là hằng số nữa — điều kiện

= 0

chính là mấu chốt khiến số hạng

[(x + y) + z]

triệt tiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.39★★★★Trang 15— Rút gọn tổng ba phân thức đối xứng vòng quanh, tái sử dụng kết quả của bài chứng minh trước

Bài 6.39 (trang 15). Cho

x + y + z = 0

và

x, y, z \neq = 0

. Rút gọn biểu thức

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} + \frac{y z}{y ^{2} + z ^{2} - x ^{2}} + \frac{z x}{z ^{2} + x ^{2} - y ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Tính đối xứng vòng quanh (hoán vị $x \to y \to z \to x$ ) giữ nguyên dạng của giả thiết $x + y + z = 0$ .
Kết quả bài 6.38: $\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}$ khi $x + y + z = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số hạng có cấu trúc HOÀN TOÀN GIỐNG bài 6.38 (chỉ hoán vị vòng quanh

x \to y \to z \to x

) với cùng giả thiết

x + y + z = 0

— dấu hiệu để áp dụng lại đúng kết quả

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}

cho cả ba số hạng thay vì tính lại từ đầu. Bẫy của đề là phải kiểm tra chắc chắn tính đối xứng vòng quanh giữ nguyên giả thiết cho MỌI hoán vị, không chỉ đúng cho số hạng đầu.

1Cách 1. Tái sử dụng kết quả bài 6.38 cho cả ba số hạng nhờ tính đối xứng vòng quanh

Định hướng. Ba số hạng chỉ khác nhau ở việc hoán vị vòng quanh $x, y, z$ ; vì giả thiết $x + y + z = 0$ cũng đối xứng vòng quanh nên kết quả của bài 6.38 áp dụng được cho cả ba.

Từ bài 6.38, với

x + y + z = 0

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}

Hoán vị

x \to y, y \to z, z \to x

(giả thiết

y + z + x = 0

vẫn đúng):

\frac{y z}{y ^{2} + z ^{2} - x ^{2}} = - \frac{1}{2}

Hoán vị tiếp

x \to z, y \to x, z \to y

(giả thiết

z + x + y = 0

vẫn đúng):

\frac{z x}{z ^{2} + x ^{2} - y ^{2}} = - \frac{1}{2}

Tổng:

- \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}

Vậy tổng ba phân thức bằng $- \frac{3}{2}$ với mọi $x, y, z \neq = 0$ thoả $x + y + z = 0$ .

2Cách 2. Thế

z = - x - y

trực tiếp vào cả ba mẫu rồi cộng

Định hướng. Không dùng lại kết quả bài trước mà thế thẳng $z = - (x + y)$ vào cả ba mẫu để tính độc lập, kiểm chứng bằng con đường khác.

Như bài 6.38:

x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 2 x y

Tương tự:

y^{2} + z^{2} - x^{2} = - 2 y z

và

z^{2} + x^{2} - y^{2} = - 2 z x

(chứng minh hệt như 6.38, chỉ đổi vai trò biến)
Tổng

= \frac{x y}{- 2 x y} + \frac{y z}{- 2 y z} + \frac{z x}{- 2 z x} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Vậy tổng bằng $- \frac{3}{2}$ — trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tính lại từ đầu, dài hơn; Cách 1 tận dụng đúng cấu trúc đối xứng để KHỎI PHẢI tính lại — đây là điểm mấu chốt khi làm bài nối tiếp bài trước.

3Cách 3. Kiểm tra kết quả bằng một bộ số cụ thể thoả

x + y + z = 0

Định hướng. Thay một bộ số cụ thể vào biểu thức gốc để xác nhận tổng đúng bằng $- \frac{3}{2}$ .

Chọn

x = 1, y = 2, z = - 3

(thoả

x + y + z = 0

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = \frac{2}{1 + 4 - 9} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2}

\frac{y z}{y ^{2} + z ^{2} - x ^{2}} = \frac{- 6}{4 + 9 - 1} = \frac{- 6}{12} = - \frac{1}{2}

\frac{z x}{z ^{2} + x ^{2} - y ^{2}} = \frac{- 3}{9 + 1 - 4} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}

Tổng

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}

Vậy tổng bằng $- \frac{3}{2}$ — khớp cả Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay cấu trúc đối xứng vòng quanh trùng với bài 6.38 vừa làm, chỉ cần nhân kết quả

- \frac{1}{2}

lên ba lần thay vì tính lại từ đầu như Cách 2.

Đáp số. Tổng

= - \frac{3}{2}

với mọi

x, y, z \neq = 0

thoả

x + y + z = 0

Sai lầm thường gặp. Chỉ tính đúng số hạng đầu

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - z ^{2}} = - \frac{1}{2}

rồi nhân nhầm với

3

theo kiểu "nhân số hạng" mà không kiểm tra kĩ hai số hạng còn lại có thực sự cùng giá trị hay không — may mắn ra đúng đáp số ở bài này nhưng tư duy "nhân đại" không phải lập luận chặt chẽ, phải chứng minh từng số hạng như Cách 1.

🚀 Mở rộng. Bài toán tổng quát hơn: chứng minh tổng

\sum \frac{x ^{2}}{y ^{2} + z ^{2} - x ^{2}}

(đổi tử) khi

x + y + z = 0

cũng cho một hằng số cố định — thử tính bằng đúng kĩ thuật thế

z = - (x + y)

của Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.40★★★Trang 15— Chia đa thức để tách phần nguyên, rồi tìm

x

nguyên để phân thức nhận giá trị nguyên

Bài 6.40 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{4 x ^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1}

(

x \neq = - \frac{1}{2}

).
a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức

4 x^{2} + 2 x + 3

cho đa thức

2 x + 1

.
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết

P

dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức có tử là hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của

x

để giá trị của phân thức đã cho cũng là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Phép chia đa thức có dư: $A = B \cdot Q + R$ với $de g R < de g B$ .
$\frac{R}{2 x + 1}$ ( $R$ là hằng số, $x$ nguyên) nguyên khi và chỉ khi $(2 x + 1)$ là ước nguyên của $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bậc của tử (

2

) cao hơn bậc của mẫu (

1

) — dấu hiệu chuẩn để thực hiện phép chia đa thức có dư, tách

P

thành đa thức cộng phân thức có tử là hằng số. Từ dạng

P = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}

, việc tìm

x

nguyên để

P

nguyên trở thành bài toán quen thuộc:

(2 x + 1)

phải là ước của

3

. Bẫy của đề là mẫu

2 x + 1

(hệ số

2

x

) khiến việc giải phương trình

2 x + 1 =

ước không cho toàn giá trị nguyên, phải loại bớt.

1Cách 1. Chia đa thức trực tiếp rồi xét ước để tìm

x

nguyên

Định hướng. Thực hiện phép chia $4 x^{2} + 2 x + 3$ cho $2 x + 1$ theo đúng thuật toán chia đa thức, sau đó dùng thương và dư để viết lại $P$ rồi xét ước.

4 x^{2} + 2 x + 3 = 2 x (2 x + 1) + 3

Thương

= 2 x

, dư

= 3

.
b)

P = \frac{2 x ( 2 x + 1 ) + 3}{2 x + 1} = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}

P

nguyên

\Leftrightarrow \frac{3}{2 x + 1}

nguyên

\Leftrightarrow (2 x + 1) \in {\pm 1; \pm 3}

2 x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0

;

2 x + 1 = - 1 \Rightarrow x = - 1

;

2 x + 1 = 3 \Rightarrow x = 1

;

2 x + 1 = - 3 \Rightarrow x = - 2

Vậy a) thương $2 x$ , dư $3$ ; b) $P = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}$ và $P$ nguyên khi $x \in {- 2; - 1; 0; 1}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại các giá trị

x

tìm được bằng cách thay số trực tiếp vào

P

gốc

Định hướng. Thay từng giá trị $x$ đã tìm ở Cách 1 vào phân thức GỐC (chưa tách) để xác nhận $P$ thực sự nhận giá trị nguyên.

x = 0

P = \frac{3}{1} = 3

— nguyên.

x = 1

P = \frac{4 + 2 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3

— nguyên.

x = - 1

P = \frac{4 - 2 + 3}{- 1} = \frac{5}{- 1} = - 5

— nguyên.

x = - 2

P = \frac{16 - 4 + 3}{- 3} = \frac{15}{- 3} = - 5

— nguyên.
Thử

x = 2

(không thuộc tập vừa tìm):

P = \frac{16 + 4 + 3}{5} = \frac{23}{5}

— không nguyên, đúng như dự đoán.

Vậy cả bốn giá trị $x \in {- 2; - 1; 0; 1}$ đều cho $P$ nguyên — xác nhận Cách 1.

3Cách 3. Lập luận chặn khoảng để chứng minh đã liệt kê đủ giá trị nguyên

Định hướng. Từ $P = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}$ , lí giải bằng tính chất ước số để khẳng định chắc chắn không sót giá trị nào của $x$ .

Với

x

nguyên thì

2 x + 1

luôn là số NGUYÊN LẺ khác

0

\frac{3}{2 x + 1}

nguyên

\Leftrightarrow (2 x + 1)

là ước nguyên của

3

(3) = {\pm 1; \pm 3}

— đúng

4

ước, mà cả bốn số này đều LẺ nên chắc chắn cho

x

nguyên (không có ước chẵn nào của

3

để phải loại bỏ).

Vậy đúng $4$ giá trị $x \in {- 2; - 1; 0; 1}$ , không sót không thừa.

Nhận xét. Với mẫu dạng $2 x + 1$ , LUÔN LUÔN chỉ ước LẺ của hằng số mới cho $x$ nguyên — dấu hiệu để loại nhanh các ước chẵn (nếu có) mà không cần thử từng giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia đa thức một lần rồi xét ước là ra hết đáp số, khỏi cần thử lại từng giá trị như Cách 2.

Đáp số. a) Thương

2 x

, dư

3

(tức

4 x^{2} + 2 x + 3 = 2 x (2 x + 1) + 3

); b)

P = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}

;

P

nguyên khi

x \in {- 2; - 1; 0; 1}

Sai lầm thường gặp. Sau khi tách

P = 2 x + \frac{3}{2 x + 1}

, xét ước của

3

đối với

x

(thay vì đối với

2 x + 1

), tức là giải nhầm

x \in {\pm 1; \pm 3}

— bỏ sót việc

2 x + 1

mới là đại lượng cần chia hết cho

3

, không phải

x

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, với

P = \frac{9 x ^{2} + 3 x + 5}{3 x + 1}

: chia đa thức cho

9 x^{2} + 3 x + 5 = 3 x (3 x + 1) + 5

, tách

P = 3 x + \frac{5}{3 x + 1}

rồi xét ước của

5

đối với

(3 x + 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.41★★★★Trang 15— Rút gọn biểu thức phân thức nhiều bước rồi tìm GTLN bằng cách đưa về dạng

- [(x + a)^{2} + b]

Bài 6.41 (trang 15). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x} \cdot (1 - \frac{x ^{2}}{x + 2}) - \frac{x ^{2} + 6 x + 4}{x}

(

x \neq = 0

x \neq = - 2

).
b) Tìm giá trị lớn nhất của

P

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng trong ngoặc trước khi nhân/chia với biểu thức bên ngoài.
Với $x^{2}$ có hệ số âm, GTLN đạt tại đỉnh: đưa $- x^{2} + b x + c$ về dạng $- [(x - h)^{2}] + k$ , GTLN là $k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là dạng rút gọn quen thuộc: quy đồng ngoặc tròn trước, nhân với

(x + 2)^{2} / x

, rồi trừ tiếp phân thức cuối — phải làm ĐÚNG THỨ TỰ, không gộp ẩu. Sau khi rút gọn ra một ĐA THỨC bậc hai (mẫu bị triệt tiêu hoàn toàn), câu b) trở thành bài tìm GTLN của tam thức bậc hai có hệ số

x^{2}

âm — đưa về dạng bình phương đủ để chỉ ra giá trị lớn nhất, dấu hiệu chuẩn cho bài GTLN đại số lớp 8.

1Cách 1. Quy đồng ngoặc trước, nhân, rồi trừ theo đúng thứ tự — rút gọn có tô màu

Định hướng. Quy đồng $1 - \frac{x ^{2}}{x + 2}$ thành một phân thức, nhân với $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x}$ , rút gọn nhân tử chung $(x + 2)$ , rồi mới trừ tiếp phân thức cuối.

1-\dfrac{x^{2}}{x+2}=\dfrac{\colorbox{#FFDA7B}{

(x+2)

}-x^{2}}{x+2}=\dfrac{-x^{2}+x+2}{x+2}

\dfrac{(x+2)^{2}}{x}\cdot\dfrac{-x^{2}+x+2}{x+2}=\dfrac{(x+2)\colorbox{#FFB067}{

(x+2)

}\cdot(-x^{2}+x+2)}{x\cdot\colorbox{#FFB067}{

(x+2)

}}=\dfrac{(x+2)(-x^{2}+x+2)}{x}

(x + 2) (- x^{2} + x + 2) = - x^{3} + x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4 = - x^{3} - x^{2} + 4 x + 4

P = \frac{- x ^{3} - x ^{2} + 4 x + 4}{x} - \frac{x ^{2} + 6 x + 4}{x} = \frac{- x ^{3} - x ^{2} + 4 x + 4 - x ^{2} - 6 x - 4}{x}

= \frac{- x ^{3} - 2 x ^{2} - 2 x}{x} = \frac{x \cdot ( - x ^{2} - 2 x - 2 )}{x} = - x^{2} - 2 x - 2

Vậy a) $P = - x^{2} - 2 x - 2$ (với $x \neq = 0, x \neq = - 2$ ).

2Cách 2. Đưa kết quả câu a) về dạng bình phương đủ để tìm GTLN

Định hướng. Từ $P = - x^{2} - 2 x - 2$ , tách thành $- [(x + 1)^{2} + 1]$ để thấy ngay giá trị lớn nhất của $P$ đạt được khi $(x + 1)^{2} = 0$ .

P = - x^{2} - 2 x - 2 = - (x^{2} + 2 x + 2) = - (x^{2} + 2 x + 1 + 1) = - [(x + 1)^{2} + 1]

Vì

(x + 1)^{2} \geq 0

với mọi

x

, nên

(x + 1)^{2} + 1 \geq 1

\Rightarrow P = - [(x + 1)^{2} + 1] \leq - 1

Dấu "

=

" xảy ra khi

(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

(thoả

x \neq = 0, x \neq = - 2

)

Vậy b) $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $- 1$ khi $x = - 1$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng cách khảo sát giá trị của

P

tại vài điểm quanh

x = - 1

Định hướng. Tính $P = - x^{2} - 2 x - 2$ tại $x = - 1$ và tại hai điểm lân cận để xác nhận $x = - 1$ thực sự cho giá trị lớn nhất, không phải giá trị nhỏ nhất hay yên ngựa.

Tại

x = - 1

P = - 1 + 2 - 2 = - 1

Tại

x = - 2

: bị loại vì ĐKXĐ

x \neq = - 2

.
Tại

x = - 0, 5

P = - 0, 25 + 1 - 2 = - 1, 25

Tại

x = - 1, 5

P = - 2, 25 + 3 - 2 = - 1, 25

Cả hai điểm lân cận

- 0, 5

và

- 1, 5

đều cho

P = - 1, 25

, mà

- 1, 25 < - 1

Vậy $P$ tại $x = - 1$ lớn hơn $P$ ở hai điểm lân cận — xác nhận $x = - 1$ cho GTLN $= - 1$ , khớp Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi có

P = - x^{2} - 2 x - 2

, thêm bớt

1

để tách bình phương đủ là ra GTLN ngay, không cần khảo sát nhiều điểm như Cách 3.

Đáp số. a)

P = - x^{2} - 2 x - 2

; b)

P_{m a x} = - 1

tại

x = - 1

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), quên nhân

(x + 2)

dư ra sau khi rút gọn nhân tử chung

(x + 2)

ở tử của phép nhân, chỉ giữ lại

- x^{2} + x + 2

mà bỏ mất thừa số

(x + 2)

còn lại — làm bậc của đa thức kết quả sai hẳn (bậc hai thay vì bậc ba trước khi rút gọn với mẫu

x

🚀 Mở rộng. Với biểu thức tương tự nhưng đổi dấu trừ cuối cùng thành dấu cộng,

P = - x^{2} - 2 x - 2 + 2 (x^{2} + 6 x + 4) / x \cdot x

dạng khác sẽ đổi hẳn hệ số bậc hai — luyện phản xạ kiểm tra kĩ dấu trước khi tìm GTLN/GTNN.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.42★★★Trang 15— Đổi biến để đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đủ, chứng minh phân thức luôn dương

Bài 6.42 (trang 15). Cho phân thức

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 12}{x ^{2} - 4 x + 10}

. Đặt

t = x - 2

, hãy biểu diễn

P

dưới dạng một phân thức của biến

t

. Từ đó suy ra

P

luôn nhận giá trị dương.

Kiến thức cần nhớ

Hoàn thành bình phương: $x^{2} - 4 x = x^{2} - 4 x + 4 - 4 = (x - 2)^{2} - 4$ .
$t^{2} \geq 0$ với mọi số thực $t$ , nên $t^{2} + k > 0$ với mọi $k > 0$ .
Thương của hai số dương luôn là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Cả tử và mẫu đều có chung phần

x^{2} - 4 x

— dấu hiệu rõ ràng để hoàn thành bình phương

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

, biến

x^{2} - 4 x + 12

thành

(x - 2)^{2} + 8

và

x^{2} - 4 x + 10

thành

(x - 2)^{2} + 6

. Phép đặt

t = x - 2

mà đề gợi ý chính là bước hoàn thành bình phương này, sau đó cả tử và mẫu đều có dạng

t^{2} +

hằng số dương — luôn dương với mọi

t

, nên thương của chúng cũng luôn dương.

1Cách 1. Hoàn thành bình phương cả tử và mẫu rồi đặt

t = x - 2

Định hướng. Tách $12 = 4 + 8$ và $10 = 4 + 6$ để cả tử và mẫu xuất hiện đúng $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ , sau đó thay $t = x - 2$ .

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 12}{x ^{2} - 4 x + 10} = \frac{x ^{2} - 4 x + 4 + 8}{x ^{2} - 4 x + 4 + 6} = \frac{( x - 2 ) ^{2} + 8}{( x - 2 ) ^{2} + 6}

Đặt

t = x - 2

P = \frac{t ^{2} + 8}{t ^{2} + 6}

Vì

t^{2} \geq 0

với mọi số thực

t

, nên

t^{2} + 8 \geq 8 > 0

và

t^{2} + 6 \geq 6 > 0

Thương của tử dương và mẫu dương luôn dương:

P = \frac{t ^{2} + 8}{t ^{2} + 6} > 0

Vậy $P = \frac{t ^{2} + 8}{t ^{2} + 6}$ và $P > 0$ với mọi số thực $x$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Hoàn thành bình phương trực tiếp trên tử và mẫu gốc, không đặt ẩn

t

Định hướng. Chứng minh thẳng $x^{2} - 4 x + 12 > 0$ và $x^{2} - 4 x + 10 > 0$ với mọi $x$ bằng cách đưa từng tam thức về dạng bình phương cộng một số dương, không cần thông qua biến $t$ .

x^{2} - 4 x + 12 = (x^{2} - 4 x + 4) + 8 = (x - 2)^{2} + 8

Vì

(x - 2)^{2} \geq 0

với mọi

x

, nên

(x - 2)^{2} + 8 \geq 8 > 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 12 > 0

với mọi

x

x^{2} - 4 x + 10 = (x^{2} - 4 x + 4) + 6 = (x - 2)^{2} + 6

Vì

(x - 2)^{2} \geq 0

với mọi

x

, nên

(x - 2)^{2} + 6 \geq 6 > 0 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 10 > 0

với mọi

x

.
Tử dương, mẫu dương

\Rightarrow P = \frac{x ^{2} - 4 x + 12}{x ^{2} - 4 x + 10} > 0

với mọi

x

Vậy $P > 0$ với mọi $x$ — trùng kết luận Cách 1, chỉ khác là không đặt tên ẩn phụ $t$ .

Nhận xét. Cách 2 thực chất là Cách 1 viết không qua ẩn phụ $t$ ; đặt $t = x - 2$ như đề gợi ý (Cách 1) giúp phân thức GỌN hơn để dùng tiếp cho các câu hỏi khác (nếu có).

3Cách 3. Kiểm tra bằng cách thử vài giá trị

x

để thấy

P

luôn dương

Định hướng. Thay một vài giá trị $x$ khác nhau (kể cả giá trị làm $t = 0$ ) vào $P$ để quan sát dấu, hỗ trợ trực quan cho kết luận đã chứng minh.

Tại

x = 2

(tức

t = 0

P = \frac{0 + 8}{0 + 6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} > 0

Tại

x = 0

(tức

t = - 2

P = \frac{4 + 8}{4 + 6} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} > 0

Tại

x = 10

(tức

t = 8

P = \frac{64 + 8}{64 + 6} = \frac{72}{70} = \frac{36}{35} > 0

Vậy mọi giá trị thử đều cho $P > 0$ , phù hợp với kết luận đã chứng minh ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hoàn thành bình phương theo đúng gợi ý

t = x - 2

của đề — vừa đúng chương trình lớp 8, vừa cho luôn dạng phân thức theo

t

mà đề yêu cầu, một công đôi việc so với Cách 2.

Đáp số.

P = \frac{t ^{2} + 8}{t ^{2} + 6}

(với

t = x - 2

);

P > 0

với mọi số thực

x

Sai lầm thường gặp. Tách sai hằng số khi hoàn thành bình phương, viết nhầm

x^{2} - 4 x + 12 = (x - 2)^{2} + 12

(quên trừ đi

4

đã cộng thêm), dẫn tới phân thức theo

t

sai hẳn thành

\frac{t ^{2} + 12}{t ^{2} + 10}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, phân thức

\frac{x ^{2} + 6 x + 15}{x ^{2} + 6 x + 11}

đặt

t = x + 3

sẽ cho

P = \frac{t ^{2} + 6}{t ^{2} + 2}

, cũng luôn dương với mọi

x

theo đúng lập luận này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.43★★★Trang 15— Bài toán thực tế lập phân thức theo "năng suất cộng gộp" (hai vòi cùng làm việc)

Bài 6.43 (trang 15). Một bể chứa nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là

x

(giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là

y

(giờ).
a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.
b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong

2

giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong

3

giờ.

Kiến thức cần nhớ

Năng suất (phần công việc làm trong một đơn vị thời gian) của một đối tượng hoàn thành riêng trong $x$ đơn vị thời gian là $\frac{1}{x}$ .
Hai đối tượng cùng làm: năng suất chung bằng tổng hai năng suất riêng; nếu năng suất chung là $\frac{1}{t}$ thì $t$ là thời gian hoàn thành chung.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thời gian riêng của từng vòi (

x

giờ và

y

giờ) — dấu hiệu của dạng toán "vòi nước / hai đội cùng làm chung": trong một giờ, mỗi vòi xả được một PHÂN SỐ bể (nghịch đảo của thời gian riêng), cộng hai phân số đó rồi lấy nghịch đảo để ra thời gian chung. Bẫy của đề là dễ nhầm "thời gian chung bằng trung bình cộng hai thời gian riêng" — SAI, phải cộng NĂNG SUẤT (nghịch đảo thời gian) chứ không cộng trực tiếp thời gian.

1Cách 1. Lập phân thức năng suất chung rồi nghịch đảo để ra thời gian, có quy đồng tô màu

Định hướng. Gọi $t$ là thời gian xả hết nước khi mở cả hai vòi; trong một giờ cả hai vòi cùng xả được $\frac{1}{t}$ bể, đúng bằng tổng năng suất riêng của từng vòi.

Trong một giờ, vòi thứ nhất xả được

\frac{1}{x}

(bể), vòi thứ hai xả được

\frac{1}{y}

(bể)
Mở cả hai vòi, trong một giờ xả được:

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1\cdot\colorbox{#FFDA7B}{

}}{x\cdot\colorbox{#FFDA7B}{

}}+\dfrac{1\cdot\colorbox{#7EF0D0}{

}}{y\cdot\colorbox{#7EF0D0}{

}}=\dfrac{y+x}{xy}

(bể)
Thời gian xả hết nước khi mở cả hai vòi:

t = 1 : \frac{x + y}{x y} = \frac{x y}{x + y}

(giờ)
b) Thay

x = 2, y = 3

t = \frac{2 \cdot 3}{2 + 3} = \frac{6}{5}

(giờ)

Vậy a) thời gian xả hết nước khi mở cả hai vòi là $\frac{x y}{x + y}$ (giờ); b) với $x = 2, y = 3$ , thời gian đó là $\frac{6}{5}$ giờ (tức $1$ giờ $12$ phút).

2Cách 2. Xét lượng nước cụ thể (giả sử bể có dung tích

V

) rồi tính thời gian

Định hướng. Thay vì làm việc với "một bể" trừu tượng, gán bể có dung tích cụ thể $V = x y$ (đơn vị thể tích) để năng suất mỗi vòi ra số nguyên, dễ hình dung hơn.

Giả sử bể có dung tích

V = x y

(đơn vị thể tích).
Vòi thứ nhất xả trong

x

giờ hết

V = x y

, nên năng suất vòi 1

= \frac{x y}{x} = y

(đơn vị/giờ)
Vòi thứ hai xả trong

y

giờ hết

V = x y

, nên năng suất vòi 2

= \frac{x y}{y} = x

(đơn vị/giờ)
Mở cả hai vòi, năng suất chung

= x + y

(đơn vị/giờ)
Thời gian xả hết bể dung tích

x y

t = \frac{x y}{x + y}

(giờ)
b) Thay

x = 2, y = 3

V = 6

, năng suất chung

= 5

t = \frac{6}{5}

(giờ)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $t = \frac{x y}{x + y}$ (giờ), tại $x = 2, y = 3$ thì $t = \frac{6}{5}$ giờ.

Nhận xét. Gán dung tích cụ thể $V = x y$ giúp học sinh mới học dạng "vòi nước" hình dung trực quan hơn Cách 1, dù bản chất hai cách hoàn toàn tương đương.

3Cách 3. Kiểm tra kết quả bằng cách thử ngược: tính năng suất chung từ thời gian

\frac{6}{5}

giờ

Định hướng. Lấy đúng kết quả $t = \frac{6}{5}$ giờ ở câu b), tính ngược năng suất chung rồi so với tổng năng suất riêng của hai vòi để xác nhận.

Năng suất chung theo kết quả:

\frac{1}{t} = \frac{1}{6/5} = \frac{5}{6}

(bể/giờ)
Tổng năng suất riêng:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

(bể/giờ)
Hai giá trị bằng nhau.

Vậy $t = \frac{6}{5}$ giờ được xác nhận đúng — khớp Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập trực tiếp phương trình năng suất

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t}

rồi suy ra

t = \frac{x y}{x + y}

— đây là công thức mẫu cho mọi bài toán "hai vòi/hai đội cùng làm", nên thuộc lòng công thức này dùng được cho nhiều bài khác.

Đáp số. a)

t = \frac{x y}{x + y}

(giờ); b)

t = \frac{6}{5}

giờ

= 1

giờ

12

phút.

Sai lầm thường gặp. Nhầm thời gian chung bằng trung bình cộng hai thời gian riêng, tính

t = \frac{x + y}{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5

giờ — sai hoàn toàn bản chất bài toán năng suất, vì phải cộng NĂNG SUẤT (nghịch đảo thời gian) chứ không cộng thời gian.

🚀 Mở rộng. Nếu bài cho vòi thứ hai là vòi CẤP nước (đổ vào) chứ không phải THOÁT nước, công thức đổi thành

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{t}

(hiệu năng suất) — phải xác định đúng hai vòi cùng chiều hay ngược chiều tác dụng.

Mở bài này trong app ↗