Chương VI. Phân thức đại số

Bài tập cuối chương VI

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 6.36★★Trang 25— Trắc nghiệm — nhận biết hai phân thức bằng nhau nhờ tính chất cơ bản (nhân/chia hoặc đổi dấu đồng thời cả tử và mẫu)

Bài 6.36 (trang 25). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2} = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2 - x}

.
B.

\frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x}{( x - 2 ) ^{2}}

.
C.

\frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{- 3 x}{( x - 2 ) ^{2}}

.
D.

\frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x}{( - x - 2 ) ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: với đa thức $C \neq = 0$ , $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ .
Đổi dấu cả tử và mẫu thì phân thức không đổi: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .
Với mọi đa thức $M$ : $(- M)^{2} = M^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều đổi mẫu bằng cách đổi dấu — dấu hiệu của tính chất cơ bản phân thức: phân thức chỉ giữ nguyên giá trị khi tử và mẫu CÙNG đổi dấu, hoặc khi mẫu chỉ đổi hình thức chứ không đổi giá trị (luỹ thừa bậc chẵn của một đa thức đối). Ở phương án D có

(- x - 2)^{2}

— bình phương của đa thức đối

(x + 2)

— nên mẫu không hề đổi giá trị, đây là hướng kiểm tra nhanh nhất. Bẫy nằm ở A và C: tử đổi dấu theo kiểu bình phương (luôn dương) trong khi mẫu chỉ đổi dấu bậc một, hai vế không thể tương đương.

1Cách 1. Xét từng phương án theo đúng quy tắc đổi dấu

Định hướng. Không quy đồng cả bốn phương án — chỉ cần đối chiếu tử và mẫu của hai vế theo quy tắc: cùng đổi dấu hoặc mẫu bậc chẵn của đa thức đối thì bằng nhau.

A) Tử:

(1 - x)^{2} = (x - 1)^{2}

(bình phương, không đổi dấu). Mẫu:

2 - x = - (x - 2)

(đổi dấu). Tử không đổi mà mẫu đổi

\Rightarrow

hai phân thức đối nhau, A sai.
B)

(x + 2)^{2}

và

(x - 2)^{2}

không phải hai đa thức đối nhau (không cùng bằng

- 1

nhân nhau)

\Rightarrow

B sai.
C) Tử đổi dấu (

- 3 x

so với

3 x

) nhưng mẫu

(x + 2)^{2}

(x - 2)^{2}

không đổi dấu tương ứng

\Rightarrow

C sai.
D)

- x - 2 = - (x + 2)

nên

(- x - 2)^{2} = (x + 2)^{2}

— mẫu giữ nguyên giá trị, tử giữ nguyên

3 x

\Rightarrow

hai vế bằng nhau, D đúng.

Vậy khẳng định đúng là đáp án D.

2Cách 2. Thay một giá trị cụ thể của

x

để loại nhanh ba phương án

Định hướng. Một đẳng thức đúng với mọi $x$ (trừ giá trị làm mẫu bằng $0$ ) thì phải đúng tại $x = 1$ ; giá trị này khiến ba phương án sai lộ ngay số liệu, còn phương án đúng thì vẫn phải kiểm chứng lại tổng quát.

Tại

x = 1

:
A: vế trái

= \frac{0}{- 1} = 0

, vế phải

= \frac{0}{1} = 0

— trùng ngẫu nhiên, chưa kết luận được.
B: vế trái

= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

, vế phải

= \frac{3}{1} = 3

— khác nhau, loại B.
C: vế trái

= \frac{1}{3}

, vế phải

= \frac{- 3}{1} = - 3

— khác nhau, loại C.
D: vế trái

= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

, vế phải

= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

— trùng nhau.
A còn nghi vấn nên thử tiếp

x = 3

: vế trái

= \frac{4}{1} = 4

, vế phải

= \frac{4}{- 1} = - 4

— khác nhau, loại A.

Vậy chỉ còn đáp án D thoả mãn.

Nhận xét. Thay số chỉ dùng để LOẠI phương án sai; khẳng định D đúng với mọi $x$ vẫn phải chứng minh bằng Cách 1 vì hai đa thức khác nhau có thể trùng giá trị tại một điểm lẻ.

3Cách 3. Quy đồng hai vế của riêng phương án D về cùng một mẫu rồi so tử

Định hướng. Với phương án nghi đúng (D), quy đồng hẳn hai vế về một mẫu chung để thấy rõ vì sao chúng bằng nhau, thay vì chỉ nhận xét bằng lời.

\frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x}{( - x - 2 ) ^{2}}

\Leftrightarrow \frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x \cdot 1}{[ - ( x + 2 ) ] ^{2} \cdot 1}

\Leftrightarrow \frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 x}{( x + 2 ) ^{2}}

(vì

[- (x + 2)]^{2} = (x + 2)^{2}

)

Vậy hai vế của D là MỘT phân thức duy nhất viết dưới hai hình thức khác nhau — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng nhận xét

(- x - 2)^{2} = (x + 2)^{2}

là chọn được D ngay, không mất thời gian thay số hay quy đồng.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Thấy mẫu có dấu trừ ở đáp án A, C là vội cho là "đổi dấu nên bằng nhau" mà quên rằng phải xét luỹ thừa của cả biểu thức đổi dấu: ở A, C chỉ mẫu (hoặc tử) đổi dấu bậc một chứ không phải bình phương của đa thức đối, nên hai phân thức KHÔNG bằng nhau — phản ví dụ ở Cách 2 (B, C) đã chỉ rõ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{A}{B ^{2}} = \frac{A}{( - B ) ^{2}}

đúng với MỌI đa thức

A

B

vì luỹ thừa chẵn luôn triệt tiêu dấu — đây là mẹo rút gọn nhanh khi mẫu là bình phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.37★★Trang 25— Trắc nghiệm — phát hiện đẳng thức phân thức sai bằng cách rút gọn hoặc nhân chéo kiểm tra

Bài 6.37 (trang 25). Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

\frac{- 6 x}{- 4 x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{2 x ( x + 2 ) ^{2}}

.
B.

\frac{- 5}{- 2} = \frac{10 x}{4 x}

.
C.

\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - x + 1}

.
D.

\frac{- 6 x}{- 4 ( - x ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3}{2 x ( - x + 2 ) ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Hai phân thức $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ (với $B, D \neq = 0$ ) khi và chỉ khi $A \cdot D = B \cdot C$ .

🧠 Phân tích tư duy

A, B, D đều rút gọn được về đúng vế phải nhờ tính chất cơ bản của phân thức (chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử, hoặc nhận ra

(- x)^{2} = x^{2}

). Riêng C có dạng lạ mắt — tử và mẫu hai vế gợi nhớ hằng đẳng thức tổng và hiệu hai lập phương

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})

— đây chính là bẫy: nhân chéo ra

x^{3} + 1

ở một vế và

x^{3} - 1

ở vế kia, hai kết quả khác nhau nên C là khẳng định sai, không phải một biến thể đúng của hằng đẳng thức.

1Cách 1. Rút gọn từng vế trái rồi so với vế phải

Định hướng. Với A, B, D chỉ cần rút gọn nhân tử chung; với C thì nhân chéo hai vế vì tử và mẫu không có nhân tử chung hiển nhiên.

\frac{- 6 x}{- 4 x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{6 x}{4 x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{2 x ( x + 2 ) ^{2}}

— đúng như vế phải.
B)

\frac{- 5}{- 2} = \frac{5}{2}

và

\frac{10 x}{4 x} = \frac{5}{2}

(với

x \neq = 0

) — đúng.
C) Nhân chéo:

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1

, còn

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1

. Vì

x^{3} + 1 \neq = x^{3} - 1

nên hai tích chéo không bằng nhau — C sai.
D)

(- x)^{2} = x^{2}

và

(- x + 2)^{2} = (x - 2)^{2}

nên

\frac{- 6 x}{- 4 x ^{2} ( x - 2 ) ^{2}} = \frac{6 x}{4 x ^{2} ( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3}{2 x ( x - 2 ) ^{2}} = \frac{3}{2 x ( - x + 2 ) ^{2}}

— đúng.

Vậy khẳng định sai là đáp án C.

2Cách 2. Kiểm tra riêng C bằng cách thay một giá trị cụ thể

Định hướng. Nếu nghi ngờ một phương án sai, thay một giá trị $x$ hợp lệ (khác $1$ ) vào cả hai vế rồi so sánh số — cách kiểm chứng nhanh không cần nhân đa thức.

Tại

x = 2

(khác các giá trị làm mẫu bằng

0

):
Vế trái C

= \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3

.
Vế phải C

= \frac{4 + 2 + 1}{4 - 2 + 1} = \frac{7}{3}

3 \neq = \frac{7}{3}

nên hai vế của C không bằng nhau tại

x = 2

Vậy C là khẳng định sai — đáp án C.

Nhận xét. Một phản ví dụ số đã đủ để khẳng định C SAI (khác với chứng minh một khẳng định ĐÚNG thì phải làm với $x$ tổng quát như Cách 1).

3Cách 3. Quy đồng hai vế của C về cùng một mẫu để lộ chỗ sai

Định hướng. Đưa cả hai vế của C về mẫu chung $(x - 1) (x^{2} - x + 1)$ để nhìn thấy tử hai bên khác nhau ngay, không cần nhớ hằng đẳng thức lập phương.

\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} - x + 1}

\Leftrightarrow \dfrac{(x+1)\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x^{2}-x+1)}}{(x-1)\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x^{2}-x+1)}}=\dfrac{(x^{2}+x+1)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x-1)}}{(x^{2}-x+1)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x-1)}}

\Leftrightarrow \frac{x ^{3} + 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{x ^{3} - 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}

\Rightarrow x^{3} + 1 = x^{3} - 1

(vô lí, vì

1 \neq = - 1

)

Vậy hai vế của C không thể bằng nhau — đáp án C sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

x = 2

chỉ mất một dòng tính số mà loại được C ngay, khỏi phải nhớ hằng đẳng thức lập phương của Cách 1 và Cách 3.

Đáp số. Khẳng định sai là C.

Sai lầm thường gặp. Thấy hai vế của C đều có dạng "tổng bình phương cộng/trừ tích" liền nghĩ đây là hằng đẳng thức lập phương đúng, quên kiểm tra dấu:

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1

khác hẳn

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1

, không thể rút gọn chéo cho nhau.

🚀 Mở rộng. Ghi nhớ cặp phân thức ĐÚNG rút ra từ bài này:

\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - x + 1} = x + 1

và

\frac{x ^{3} - 1}{x ^{2} + x + 1} = x - 1

— không được ghép chéo hai cặp này với nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.38★★Trang 25— Trắc nghiệm — tìm đa thức nhân thêm để hai phân thức bằng nhau (tính chất cơ bản của phân thức)

Bài 6.38 (trang 25). Trong đẳng thức

\frac{2 x ^{2} + 1}{4 x - 1} = \frac{8 x ^{3} + 4 x}{Q}

Q

là đa thức
A.

4 x

.
B.

4 x^{2}

.
C.

16 x - 4

.
D.

16 x^{2} - 4 x

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với đa thức $M \neq = 0$ .
Muốn tìm $M$ : lấy tử phải chia cho tử trái (hoặc mẫu phải chia cho mẫu trái).

🧠 Phân tích tư duy

Tử phải của đẳng thức

8 x^{3} + 4 x

chính là tử trái

2 x^{2} + 1

đã được nhân với

4 x

(vì

4 x (2 x^{2} + 1) = 8 x^{3} + 4 x

) — dấu hiệu để nhận ra đa thức nhân thêm ngay từ việc so sánh hai tử, khỏi cần thử cả bốn phương án. Mẫu

Q

do đó cũng phải được nhân đúng

4 x

ấy vào mẫu trái

4 x - 1

. Bẫy của đề là đáp án C (

16 x - 4

) — đúng bằng

4 (4 x - 1)

nhưng lại quên nhân theo hệ số

4 x

đã tìm được ở tử, mà nhân theo hằng số

4

1Cách 1. Tìm đa thức nhân thêm từ cặp tử rồi áp dụng cho mẫu

Định hướng. Phân tích tử phải thành tích của tử trái với một đơn thức, đơn thức đó chính là lượng cả tử và mẫu cùng được nhân thêm.

8 x^{3} + 4 x = 4 x (2 x^{2} + 1)

\frac{2 x ^{2} + 1}{4 x - 1} = \frac{( 2 x ^{2} + 1 ) \cdot 4x}{( 4 x - 1 ) \cdot 4x} = \frac{8 x ^{3} + 4 x}{4 x ( 4 x - 1 )}

Q = 4 x (4 x - 1) = 16 x^{2} - 4 x

Vậy $Q = 16 x^{2} - 4 x$ — chọn đáp án D.

2Cách 2. Nhân chéo để lập phương trình tìm

Q

Định hướng. Hai phân thức bằng nhau thì tích chéo bằng nhau; từ đó suy ra $Q$ theo phép chia đa thức, không cần đoán trước đơn thức nhân thêm.

(2 x^{2} + 1) \cdot Q = (4 x - 1) (8 x^{3} + 4 x)

Q = \frac{( 4 x - 1 ) \cdot 4 x ( 2 x ^{2} + 1 )}{2 x ^{2} + 1} = 4 x (4 x - 1)

Q = 16 x^{2} - 4 x

Vậy $Q = 16 x^{2} - 4 x$ — chọn đáp án D.

3Cách 3. Thử trực tiếp bốn phương án bằng phép nhân chéo

Định hướng. Với trắc nghiệm, thay lần lượt từng $Q$ vào rồi kiểm tra tích chéo $(2 x^{2} + 1) Q$ có bằng $(4 x - 1) (8 x^{3} + 4 x)$ hay không.

Vế phải cố định:

(4 x - 1) (8 x^{3} + 4 x) = 32 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x

(2 x^{2} + 1) \cdot 4 x = 8 x^{3} + 4 x

— không khớp.
B)

(2 x^{2} + 1) \cdot 4 x^{2} = 8 x^{4} + 4 x^{2}

— không khớp.
C)

(2 x^{2} + 1) (16 x - 4) = 32 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 4

— không khớp.
D)

(2 x^{2} + 1) (16 x^{2} - 4 x) = 32 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x

— khớp đúng vế phải.

Vậy $Q = 16 x^{2} - 4 x$ — chọn đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ngay

8 x^{3} + 4 x = 4 x (2 x^{2} + 1)

để suy ra

Q = 4 x (4 x - 1)

trong hai dòng, nhanh hơn hẳn nhân chéo cả bốn phương án của Cách 3.

Đáp số. Chọn D:

Q = 16 x^{2} - 4 x

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân mẫu với hằng số

4

(lấy hệ số của

8 x^{3} + 4 x

so với

2 x^{2} + 1

một cách hời hợt) để ra đáp án C

= 16 x - 4

, quên rằng đa thức nhân thêm phải là

4 x

(cả biến

x

) chứ không phải riêng hệ số

4

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu biết

\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{Q}

thì luôn suy ra

M = \frac{A \cdot M}{A}

trước, rồi mới nhân với

B

để có

Q

— quy trình này dùng lại được cho mọi bài quy đồng có đơn thức nhân thêm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.39★★Trang 25— Trừ hai phân thức CÙNG mẫu rồi đồng nhất hệ số để tìm

b, c

Bài 6.39 (trang 25). Nếu

\frac{- 5 x + 5}{2 x y} - \frac{- 9 x - 7}{2 x y} = \frac{b x + c}{x y}

thì

b + c

bằng
A.

- 4

.
B.

8

.
C.

4

.
D.

- 10

Kiến thức cần nhớ

Trừ hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ .
Quy tắc bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước: $- (a + b) = - a - b$ .
Hai phân thức bằng nhau (tối giản, cùng mẫu) thì hai tử bằng nhau — đồng nhất hệ số của $x$ và hệ số tự do.

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân thức vế trái đã CÙNG một mẫu

2 x y

nên chỉ cần trừ tử, không phải quy đồng — dấu hiệu để làm thẳng một bước. Bẫy lớn nhất nằm ở dấu: trừ đi một tử có hai số hạng âm

(- 9 x - 7)

nghĩa là đổi dấu CẢ HAI số hạng khi bỏ ngoặc, rất dễ chỉ đổi dấu một số hạng rồi ra sai. Sau khi có mẫu

2 x y

ở vế trái mà vế phải lại là

x y

, còn phải rút gọn thêm bước cuối mới so hệ số được.

1Cách 1. Trừ trực tiếp hai phân thức cùng mẫu rồi rút gọn

Định hướng. Trừ tử theo đúng quy tắc dấu, rồi rút gọn phân thức về mẫu $x y$ để so trực tiếp với vế phải.

\frac{- 5 x + 5}{2 x y} - \frac{- 9 x - 7}{2 x y} = \frac{( - 5 x + 5 ) - ( - 9 x - 7 )}{2 x y}

= \frac{- 5 x + 5 + 9 x + 7}{2 x y} = \frac{4 x + 12}{2 x y}

= \frac{2 ( 2 x + 6 )}{2 \cdot x y} = \frac{2 x + 6}{x y}

Vậy $b = 2$ , $c = 6$ nên $b + c = 8$ — chọn đáp án B.

2Cách 2. Quy đồng vế phải về mẫu

2 x y

rồi đồng nhất hệ số ngay trên mẫu chung

Định hướng. Thay vì rút gọn vế trái, nhân vế phải với $2$ ở cả tử và mẫu để hai vế cùng mẫu $2 x y$ , so hai tử ngay không cần rút gọn phân số.

\frac{b x + c}{x y} = \frac{( b x + c ) \cdot 2}{x y \cdot 2} = \frac{2 b x + 2 c}{2 x y}

Vế trái đã có tử

= (- 5 x + 5) - (- 9 x - 7) = 4 x + 12

2 b x + 2 c = 4 x + 12 \Rightarrow 2 b = 4, 2 c = 12 \Rightarrow b = 2, c = 6

Vậy $b + c = 2 + 6 = 8$ — chọn đáp án B.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x, y

để tính ngược

b + c

Định hướng. Vì đẳng thức đúng với mọi $x, y$ hợp lệ, chọn $x = 1, y = 1$ để hai vế trở thành số, từ đó tính $b x + c$ tại $x = 1$ chính là $b + c$ .

Tại

x = 1, y = 1

: vế trái

= \frac{- 5 + 5}{2} - \frac{- 9 - 7}{2} = \frac{0}{2} - \frac{- 16}{2} = 0 + 8 = 8

Vế phải tại

x = 1, y = 1

\frac{b + c}{1} = b + c

Vậy $b + c = 8$ — chọn đáp án B.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất khi đề chỉ hỏi $b + c$ (không cần tách riêng $b$ và $c$ ), vì $b x + c$ tại $x = 1$ luôn bằng đúng $b + c$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: thay

x = 1, y = 1

chỉ mất một dòng tính số là ra thẳng

b + c = 8

, khỏi cần tách riêng từng hệ số như Cách 1, Cách 2.

Đáp số.

b + c = 8

— chọn đáp án B.

Sai lầm thường gặp. Bỏ ngoặc

- (- 9 x - 7)

thành

- 9 x - 7

(quên đổi dấu số hạng

- 7

), dẫn tới tử sai

- 5 x + 5 - 9 x - 7 = - 14 x - 2

, mất hẳn dấu hiệu bài toán; phải nhớ đổi dấu CẢ HAI số hạng trong ngoặc khi có dấu trừ đằng trước.

🚀 Mở rộng. Kĩ năng thay

x = 1

để tính nhanh tổng các hệ số của một đa thức

P (x)

chính là giá trị

P (1)

— áp dụng được cho mọi đa thức, không riêng bài phân thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.40★★Trang 25— Lập phân thức biểu diễn đại lượng thực tế (bài toán lãi suất ngân hàng)

Bài 6.40 (trang 25). Một ngân hàng huy động vốn với mức lãi suất một năm là

x %

. Để sau một năm, người gửi được lãi

a

đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là
A.

\frac{100 a}{x}

(đồng).
B.

\frac{a}{x + 100}

(đồng).
C.

\frac{a}{x + 1}

(đồng).
D.

\frac{100 a}{x + 100}

(đồng).

Kiến thức cần nhớ

Công thức lãi đơn một kì: tiền lãi $=$ tiền gửi $\times$ lãi suất.
Đổi phần trăm sang phân số: $x % = \frac{x}{100}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho lãi suất

x %

một năm và số tiền lãi

a

— dấu hiệu của công thức lãi đơn: tiền lãi bằng số tiền gửi nhân với lãi suất. Vì lãi suất cho theo phần trăm nên phải đổi

x % = \frac{x}{100}

trước khi lập phương trình, đây chính là bẫy hay bị bỏ sót (dẫn tới đáp án B, C thiếu hệ số

100

). Đặt ẩn là số tiền gửi rồi giải phương trình bậc nhất là hướng ngắn và chắc nhất.

1Cách 1. Đặt ẩn là số tiền gửi rồi lập phương trình

Định hướng. Gọi số tiền gửi là $P$ (đồng, $P > 0$ ), biểu diễn tiền lãi theo $P$ và $x %$ rồi cho bằng $a$ , sau đó giải phương trình tìm $P$ .

Gọi số tiền gửi là

P

đồng.
Tiền lãi sau một năm:

P \cdot x % = P \cdot \frac{x}{100}

Theo đề:

P \cdot \frac{x}{100} = a

\Rightarrow P = a : \frac{x}{100} = a \cdot \frac{100}{x} = \frac{100 a}{x}

Vậy số tiền phải gửi là $\frac{100 a}{x}$ (đồng) — chọn đáp án A.

2Cách 2. Suy luận theo tỉ lệ (quy tắc tam suất) không cần đặt ẩn

Định hướng. Gửi $100$ đồng thì lãi $x$ đồng (đúng nghĩa của $x %$ ); từ đó dùng tỉ lệ thuận suy ra số tiền phải gửi để lãi đúng $a$ đồng.

Gửi

100

đồng

\to

lãi

x

đồng.
Gửi

P

đồng

\to

lãi

a

đồng.
Vì lãi tỉ lệ thuận với số tiền gửi:

\frac{P}{100} = \frac{a}{x}

\Rightarrow P = \frac{100 a}{x}

Vậy số tiền phải gửi là $\frac{100 a}{x}$ (đồng) — chọn đáp án A.

3Cách 3. Thử số cụ thể để loại ba phương án còn lại

Định hướng. Chọn lãi suất và số tiền gửi dễ tính (ví dụ $x = 10$ , gửi $1000$ đồng thì lãi $a = 100$ đồng), rồi thay vào bốn phương án xem đáp án nào cho lại đúng $1000$ .

Chọn

x = 10

: gửi

1000

đồng thì lãi

= 1000 \cdot 10% = 100

đồng, tức

a = 100

.
A:

\frac{100 \cdot 100}{10} = 1000

— khớp.
B:

\frac{100}{110} \approx 0, 91

— sai lệch hoàn toàn.
C:

\frac{100}{11} \approx 9, 09

— sai.
D:

\frac{100 \cdot 100}{110} \approx 90, 9

— sai.

Vậy chỉ đáp án A cho lại đúng số tiền gửi ban đầu.

Nhận xét. Thử số giúp loại nhanh khi đi thi, nhưng Cách 1 mới là lời giải chuẩn cần trình bày vì nó chứng minh đúng với mọi $x, a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: suy luận tỉ lệ trực tiếp "gửi 100 lãi x" cho ra công thức chỉ sau một dòng, không cần đặt ẩn và giải phương trình như Cách 1.

Đáp số. Chọn A:

\frac{100 a}{x}

(đồng).

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

x %

thành

\frac{x}{100}

, viết thẳng phương trình

P \cdot x = a

rồi ra

P = \frac{a}{x}

— thiếu hệ số

100

, không khớp với bất kì đáp án chuẩn nào và sai hẳn về bản chất phần trăm.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức này, nếu đề đổi thành lãi suất theo tháng và hỏi lãi sau

n

tháng thì số tiền gửi trở thành

P = \frac{100 a}{n x}

— chỉ cần thêm một nhân tử

n

ở mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.41★★★Trang 26— Tìm đa thức

P

chưa biết trong một phép cộng/trừ/nhân/chia phân thức — đưa

P

về một vế rồi thực hiện phép toán ngược

Bài 6.41 (trang 26). Tìm đa thức

P

trong các đẳng thức sau:
a)

P + \frac{1}{x + 2} = \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4}

;
b)

P - \frac{4 ( x - 2 )}{x + 2} = \frac{16}{x - 2}

;
c)

P \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 9}

;
d)

P : \frac{x ^{2} - 9}{2 x + 4} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x}

Kiến thức cần nhớ

Từ $P + A = B$ suy ra $P = B - A$ ; từ $P - A = B$ suy ra $P = B + A$ .
Từ $P \cdot A = B$ suy ra $P = B : A$ (với $A \neq = 0$ ); từ $P : A = B$ suy ra $P = B \cdot A$ .
Hằng đẳng thức: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ ; $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý cho bốn phép toán khác nhau (cộng, trừ, nhân, chia) nên

P

được cô lập bằng đúng phép toán NGƯỢC: chuyển vế với cộng/trừ, chia ngược với nhân, nhân ngược với chia — giống hệt quy tắc tìm

x

đã học, chỉ khác đối tượng là phân thức. Dấu hiệu nhận dạng bài toán nằm ở mẫu

x^{2} - 2 x + 4

của ý a) và

x^{2} - 9

x^{2} + 3 x

của ý c), d): đây đều là các nhân tử quen thuộc của hằng đẳng thức tổng/hiệu lập phương và hiệu hai bình phương, phải nhận ra để rút gọn được sau khi quy đồng hoặc nhân chéo. Bẫy ở ý b): trừ đi một phân thức có dấu ngoặc

4 (x - 2)

nên khi chuyển vế phải giữ nguyên cả cụm.

1Cách 1. Chuyển

P

về một vế rồi quy đồng — rút gọn từng bước theo LUẬT PHÂN THỨC

Định hướng. Cô lập $P$ bằng đúng phép toán ngược của từng ý, sau đó quy đồng mẫu và rút gọn có tô màu lượng nhân thêm / nhân tử chung, giữ đủ bước như quy đồng cộng trừ thông thường.

P = \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4} - \frac{1}{x + 2}

=\dfrac{x\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x+2)}}{(x^{2}-2x+4)\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x+2)}}-\dfrac{1\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x^{2}-2x+4)}}{(x+2)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x^{2}-2x+4)}}

= \frac{x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} - \frac{x ^{2} - 2 x + 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

= \frac{x ^{2} + 2 x - x ^{2} + 2 x - 4}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{4 x - 4}{x ^{3} + 8}

P = \frac{16}{x - 2} + \frac{4 ( x - 2 )}{x + 2}

= \frac{16 \cdot (x+2)}{( x - 2 ) \cdot (x+2)} + \frac{4 ( x - 2 ) \cdot (x-2)}{( x + 2 ) \cdot (x-2)}

= \frac{16 x + 32}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{4 ( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{16 x + 32 + 4 x ^{2} - 16 x + 16}{x ^{2} - 4}

= \frac{4 x ^{2} + 48}{x ^{2} - 4}

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 9} : \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{x + 3}{x - 2}

= \frac{( x - 2 ) \cdot (x-2) \cdot (x+3)}{( x - 3 ) \cdot (x+3) \cdot (x-2)} = \frac{x - 2}{x - 3}

P = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} \cdot \frac{x ^{2} - 9}{2 x + 4} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 ) \cdot 2 ( x + 2 )}

= \frac{( x - 2 ) ( x - 3 ) \cdot (x+2) \cdot (x+3)}{2 x \cdot (x+3) \cdot (x+2)} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{2 x}

Vậy a) $P = \frac{4 x - 4}{x ^{3} + 8}$ ; b) $P = \frac{4 x ^{2} + 48}{x ^{2} - 4}$ ; c) $P = \frac{x - 2}{x - 3}$ ; d) $P = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{2 x}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại cả bốn kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể

Định hướng. Thay một giá trị $x$ hợp lệ (khác các giá trị làm mẫu bằng $0$ ) vào đẳng thức GỐC và vào $P$ vừa tìm để đối chiếu hai vế.

a) Tại

x = 1

P = \frac{4 - 4}{9} = 0

; kiểm gốc

\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0

, khớp.
b) Tại

x = 0

P = \frac{48}{- 4} = - 12

; kiểm gốc

\frac{16}{- 2} + \frac{4 ( - 2 )}{2} = - 8 - 4 = - 12

, khớp.
c) Tại

x = 1

P = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}

; kiểm gốc

\frac{1}{- 2} \cdot Q = \frac{1 - 4 + 4}{1 - 9} = \frac{1}{- 8}

, mà

\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{4} = \frac{- 1}{8}

, khớp.
d) Tại

x = 1

P = \frac{( - 1 ) ( - 2 )}{2} = 1

; kiểm gốc

1 : \frac{- 8}{6} = 1 \cdot \frac{6}{- 8} = \frac{- 3}{4}

, mà

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} = \frac{- 3}{4}

, khớp.

Vậy cả bốn kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép thử số.

3Cách 3. Cân bằng hệ số bằng cách nhân chéo trực tiếp lên hai vế của phép toán gốc

Định hướng. Thay vì chuyển vế trước, nhân chéo (với ý cộng/trừ là quy đồng cả đẳng thức, với ý nhân/chia là nhân chéo tỉ lệ thức) rồi giải ra $P$ ở dạng phân thức một lần.

P \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

\Rightarrow P \cdot (x - 2) (x - 3) (x + 3) = (x - 2)^{2} (x + 3)

\Rightarrow P = \frac{( x - 2 ) ^{2} ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{x - 3}

P : \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{2 ( x + 2 )} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 3 )}

\Rightarrow P = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 3 )} \cdot \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{2 ( x + 2 )} = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{2 x}

Vậy c) $P = \frac{x - 2}{x - 3}$ ; d) $P = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{2 x}$ — trùng khớp kết quả Cách 1.

Nhận xét. Với phép nhân/chia, nhân chéo trực tiếp (Cách 3) thường ngắn hơn đưa $P$ về một vế trước rồi mới nhân/chia (Cách 1), vì đỡ phải viết lại phép chia phân thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a), b) (cộng/trừ thì buộc phải chuyển vế trước) và Cách 3 cho ý c), d) (nhân/chia thì nhân chéo ngay từ đầu, đỡ một bước viết lại phép chia phân thức).

Đáp số. a)

P = \frac{4 x - 4}{x ^{3} + 8}

; b)

P = \frac{4 x ^{2} + 48}{x ^{2} - 4}

; c)

P = \frac{x - 2}{x - 3}

; d)

P = \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{2 x}

Sai lầm thường gặp. Ở ý c), d) hay quên đổi phép chia phân thức thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, viết nhầm

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}

(giữ nguyên chiều nhân) thay vì nhân với nghịch đảo

\frac{x + 3}{x - 2}

— dẫn tới kết quả sai hẳn bản chất phép toán.

🚀 Mở rộng. Quy trình "chuyển vế bằng phép toán ngược" ở bốn ý chính là quy tắc tìm

x

mở rộng sang phân thức đại số — thử áp dụng lại với

P + \frac{2}{x - 1} = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1}

để luyện thêm hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.42★★★Trang 26— Rút gọn biểu thức chứa nhiều phân thức — quy đồng nhiều mẫu, đổi dấu mẫu đối nhau trước khi quy đồng

Bài 6.42 (trang 26). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

\frac{2}{3 x} + \frac{x}{x - 1} + \frac{6 x ^{2} - 4}{2 x ( 1 - x )}

;
b)

\frac{x ^{3} + 1}{1 - x ^{3}} + \frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}

;
c)

(\frac{2}{x + 2} - \frac{2}{1 - x}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4 x ^{2} - 1}

;
d)

1 + \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + 1} (\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x ^{2}})

Kiến thức cần nhớ

Đổi dấu cả tử và mẫu: $\frac{A}{- B} = \frac{- A}{B}$ ; đặc biệt $1 - x = - (x - 1)$ , $1 - x^{3} = - (x^{3} - 1)$ .
Hiệu hai lập phương: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Hiệu hai bình phương: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ ; $4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ ; $1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều có ít nhất một cặp mẫu ĐỐI NHAU (

1 - x

với

x - 1

1 - x^{3}

với

x^{3} - 1

1 - x^{2}

với

x^{2} - 1

) — dấu hiệu bắt buộc phải đổi dấu một mẫu về cùng chiều với các mẫu còn lại TRƯỚC khi tìm mẫu thức chung, nếu không sẽ tưởng nhầm bốn mẫu là bốn mẫu độc lập rồi nhân tràn lan. Sau khi đổi dấu, mẫu thức chung của mỗi ý đều xuất hiện rõ nhờ phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức quen thuộc (hiệu hai bình phương, tổng/hiệu hai lập phương). Bẫy ở ý d): số

1

đứng riêng cũng phải được coi là một phân thức có mẫu

1

khi quy đồng ở bước cuối.

1Cách 1. Đổi dấu mẫu đối nhau rồi quy đồng và rút gọn theo LUẬT PHÂN THỨC

Định hướng. Đưa mọi mẫu đối nhau về cùng một chiều dấu trước, tìm mẫu thức chung, nhân lượng nhân thêm vào cả tử và mẫu (tô màu), rồi mới cộng tử và rút gọn.

\frac{6 x ^{2} - 4}{2 x ( 1 - x )} = \frac{- ( 6 x ^{2} - 4 )}{2 x ( x - 1 )} = \frac{4 - 6 x ^{2}}{2 x ( x - 1 )}

\frac{2}{3 x} + \frac{x}{x - 1} + \frac{4 - 6 x ^{2}}{2 x ( x - 1 )} = \frac{2 \cdot 2(x-1)}{3 x \cdot 2(x-1)} + \frac{x \cdot 6x}{( x - 1 ) \cdot 6x} + \frac{( 4 - 6 x ^{2} ) \cdot 3}{2 x ( x - 1 ) \cdot 3}

= \frac{4 ( x - 1 )}{6 x ( x - 1 )} + \frac{6 x ^{2}}{6 x ( x - 1 )} + \frac{12 - 18 x ^{2}}{6 x ( x - 1 )} = \frac{4 x - 4 + 6 x ^{2} + 12 - 18 x ^{2}}{6 x ( x - 1 )}

= \frac{- 12 x ^{2} + 4 x + 8}{6 x ( x - 1 )} = \frac{- 4 (3x+2)(x-1)}{6 x \cdot (x-1)} = \frac{- 2 ( 3 x + 2 )}{3 x}

\frac{x ^{3} + 1}{1 - x ^{3}} = \frac{x ^{3} + 1}{- ( x ^{3} - 1 )} = \frac{- ( x ^{3} + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

\dfrac{-(x^{3}+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}=\dfrac{-(x^{3}+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\dfrac{x\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x^{2}+x+1)}}{(x-1)\cdot\colorbox{#FFDA7B}{(x^{2}+x+1)}}-\dfrac{(x+1)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x-1)}}{(x^{2}+x+1)\cdot\colorbox{#7EF0D0}{(x-1)}}

= \frac{- ( x ^{3} + 1 ) + x ( x ^{2} + x + 1 ) - ( x + 1 ) ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

= \frac{- x ^{3} - 1 + x ^{3} + x ^{2} + x - x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x}{x ^{3} - 1}

\frac{2}{1 - x} = \frac{- 2}{x - 1}

, nhưng để giữ mẫu

(x + 2)

và tránh sinh thêm dấu, đổi theo mẫu chung

(x + 2) (1 - x)

\frac{2}{x + 2} - \frac{2}{1 - x} = \frac{2 \cdot (1-x)}{( x + 2 ) \cdot (1-x)} - \frac{2 \cdot (x+2)}{( 1 - x ) \cdot (x+2)} = \frac{2 ( 1 - x ) - 2 ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( 1 - x )} = \frac{2 - 2 x - 2 x - 4}{( x + 2 ) ( 1 - x )} = \frac{- 4 x - 2}{( x + 2 ) ( 1 - x )}

(\frac{2}{x + 2} - \frac{2}{1 - x}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4 x ^{2} - 1} = \frac{- 2 ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ( 1 - x )} \cdot \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{- 2 (2x+1) \cdot ( x - 2 ) \cdot (x+2)}{(x+2) ( 1 - x ) \cdot ( 2 x - 1 ) (2x+1)} = \frac{- 2 ( x - 2 )}{( 1 - x ) ( 2 x - 1 )} = \frac{2 ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}

\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x ^{2}} = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{1 \cdot (1+x)}{( 1 - x ) \cdot (1+x)} - \frac{1}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{1 + x - 1}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{x}{( 1 - x ) ( 1 + x )}

\frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + 1} \cdot \frac{x}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} + 1} \cdot \frac{x}{( 1 - x ) ( 1 + x )} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot x}{( x ^{2} + 1 ) \cdot (1-x) \cdot (1+x)}

Vì

(x - 1) = - (1 - x)

= \frac{- x ^{2}}{x ^{2} + 1}

1 + \frac{- x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1 - x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}

Vậy a) $\frac{- 2 ( 3 x + 2 )}{3 x}$ với $x \neq = 0, x \neq = 1$ ; b) $\frac{x}{x ^{3} - 1}$ với $x \neq = 1$ ; c) $\frac{2 ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}$ với $x \neq = - 2, 1, \pm \frac{1}{2}$ ; d) $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ với $x \neq = \pm 1$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bốn kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể

Định hướng. Thay cùng một giá trị $x$ hợp lệ vào biểu thức GỐC và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu số.

a) Tại

x = 2

: gốc

= \frac{2}{6} + \frac{2}{1} + \frac{20}{- 4} = \frac{1}{3} + 2 - 5 = - \frac{8}{3}

; kết quả

= \frac{- 2 \cdot 8}{6} = - \frac{8}{3}

, khớp.
b) Tại

x = 2

: gốc

= \frac{9}{- 7} + \frac{2}{1} - \frac{3}{7} = - \frac{9}{7} + 2 - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}

; kết quả

= \frac{2}{7}

, khớp.
c) Tại

x = 3

: gốc

= (\frac{2}{5} - \frac{2}{- 2}) \cdot \frac{5}{35} = (0, 4 + 1) \cdot \frac{1}{7} = \frac{1 , 4}{7} = 0, 2

; kết quả

= \frac{2}{2 \cdot 5} = 0, 2

, khớp.
d) Tại

x = 0

: gốc

= 1 + 0 = 1

; kết quả

= \frac{1}{1} = 1

, khớp.

Vậy cả bốn kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép thử số.

3Cách 3. Nhóm và phân tích nhân tử trước, rút gọn theo nhóm khác trước khi quy đồng toàn bộ

Định hướng. Với ý d), nhóm số $1$ vào chung một phân thức với số hạng còn lại ngay từ bước phân tích trong ngoặc, thay vì cộng $1$ ở bước cuối như Cách 1 — cho một lối trình bày khác.

1 + \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + 1} (\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x ^{2}})

= 1 + \frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} + 1} \cdot \frac{( 1 + x ) - 1}{( 1 - x ) ( 1 + x )}

= 1 + \frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} + 1} \cdot \frac{x}{( 1 - x ) ( 1 + x )}

= 1 + \frac{x ^{2} (x-1) (x+1)}{( x ^{2} + 1 ) (1-x) (1+x)} = 1 + \frac{- x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}

Vậy d) $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ với $x \neq = \pm 1$ — trùng khớp kết quả Cách 1.

Nhận xét. Gộp hai số hạng trong ngoặc thành một phân số ngay ( $\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x ^{2}} = \frac{x}{1 - x ^{2}}$ ) trước khi nhân ra ngoài giúp mạch tính ngắn hơn hẳn so với nhân phân phối từng số hạng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho những ý có ngoặc (như d): gộp phần trong ngoặc thành MỘT phân thức trước khi nhân ra ngoài luôn ngắn hơn nhân phân phối rồi mới gộp như Cách 1.

Đáp số. a)

\frac{- 2 ( 3 x + 2 )}{3 x}

; b)

\frac{x}{x ^{3} - 1}

; c)

\frac{2 ( x - 2 )}{( x - 1 ) ( 2 x - 1 )}

; d)

\frac{1}{x ^{2} + 1}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a), c) hay giữ nguyên mẫu

1 - x

mà không đổi dấu về

- (x - 1)

, dẫn tới quy đồng ra một "mẫu thức chung" sai (nhân cả

1 - x

lẫn

x - 1

làm hai nhân tử độc lập) khiến kết quả cuối lệch dấu hoàn toàn so với đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Ý b) tổng quát hoá thành

\frac{x ^{3} + 1}{1 - x ^{3}} + \frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1} = \frac{x}{x ^{3} - 1}

— thử thay

x^{3}

bởi

x^{2}

và lặp lại kĩ thuật đổi dấu mẫu đối nhau để luyện phản xạ nhận diện mẫu đối.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.43★★★Trang 26— Biến đổi phân thức về dạng số nguyên cộng phân thức đơn giản, rồi tìm

x

nguyên để giá trị phân thức nguyên

Bài 6.43 (trang 26). Cho phân thức

P = \frac{2 x + 1}{x + 1}

.
a) Viết điều kiện xác định của

P

.
b) Hãy viết

P

dưới dạng

P = a - \frac{b}{x + 1}

, trong đó

a, b

là hai số nguyên dương.
c) Với giá trị nguyên nào của

x

thì

P

có giá trị là số nguyên?

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là $B \neq = 0$ .
$\frac{b}{x + 1}$ (với $b$ nguyên, $x$ nguyên) là số nguyên khi và chỉ khi $(x + 1)$ là ước của $b$ .
Ước của $1$ trong tập số nguyên: $1$ và $- 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bậc của tử

(2 x + 1)

bằng bậc của mẫu

(x + 1)

— dấu hiệu để tách

P

thành một số nguyên cộng với một phân thức có tử là hằng số, bằng cách lấy

2 x + 1

chia cho

x + 1

(phép chia đa thức có dư). Từ dạng

P = a - \frac{b}{x + 1}

ở ý b), ý c) trở thành bài quen thuộc: phân thức

\frac{b}{x + 1}

nguyên khi và chỉ khi

(x + 1)

là ước của

b

— không cần xét trực tiếp phân thức gốc phức tạp hơn.

1Cách 1. Chia đa thức tử cho mẫu rồi xét ước để tìm

x

Định hướng. Mẫu bằng $0$ khi $x = - 1$ nên đó là điều kiện xác định; tách tử bằng phép chia có dư theo đúng mẫu $x + 1$ ; cuối cùng đưa điều kiện " $P$ nguyên" về " $(x + 1)$ là ước của $1$ ".

x + 1 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = - 1

2 x + 1 = 2 (x + 1) - 1

P = \frac{2 ( x + 1 ) - 1}{x + 1} = \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}

P = 2 - \frac{1}{x + 1}

nguyên

\Leftrightarrow \frac{1}{x + 1}

nguyên

\Leftrightarrow (x + 1) \in {1; - 1}

x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0

x + 1 = - 1 \Rightarrow x = - 2

Vậy a) ĐKXĐ: $x \neq = - 1$ ; b) $P = 2 - \frac{1}{x + 1}$ ( $a = 2, b = 1$ ); c) $P$ nguyên khi $x \in {- 2; 0}$ .

2Cách 2. Đặt

t = x + 1

để đưa về phân thức đơn giản hơn

Định hướng. Đổi biến $t = x + 1$ (khi đó $x = t - 1$ ) để tử chỉ còn phụ thuộc $t$ , việc tách số nguyên và xét ước trở nên trực quan hơn.

Đặt

t = x + 1

(

t \neq = 0

), suy ra

x = t - 1

2 x + 1 = 2 (t - 1) + 1 = 2 t - 1

P = \frac{2 t - 1}{t} = \frac{2 t}{t} - \frac{1}{t} = 2 - \frac{1}{t} = 2 - \frac{1}{x + 1}

P

nguyên

\Leftrightarrow \frac{1}{t}

nguyên

\Leftrightarrow t \in {1; - 1}

t = 1 \Rightarrow x = 0

;

t = - 1 \Rightarrow x = - 2

Vậy b) $P = 2 - \frac{1}{x + 1}$ ; c) $x \in {- 2; 0}$ — trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp các giá trị nguyên nhỏ rồi chặn khoảng để khỏi bỏ sót

Định hướng. Tính $P$ tại một số giá trị nguyên nhỏ để tìm quy luật, sau đó lí giải vì sao ngoài khoảng đã thử thì $P$ không còn là số nguyên (chặn bằng bất đẳng thức).

x = - 3

P = \frac{- 5}{- 2} = 2, 5

— không nguyên.

x = - 2

P = \frac{- 3}{- 1} = 3

— nguyên.

x = 0

P = \frac{1}{1} = 1

— nguyên.

x = 1

P = \frac{3}{2} = 1, 5

— không nguyên.
Với

∣ x + 1∣ \geq 2

thì

\frac{1}{x + 1} \leq \frac{1}{2}

, không thể là số nguyên khác

0

, nên

P = 2 - \frac{1}{x + 1}

chỉ nguyên khi

∣ x + 1∣ = 1

Vậy c) $P$ nguyên khi $x \in {- 2; 0}$ — không còn giá trị nguyên nào khác.

Nhận xét. Việc chặn $∣ x + 1∣ \geq 2$ là bước BẮT BUỘC của Cách 3 để chứng minh đã tìm ĐỦ nghiệm, không chỉ liệt kê vài giá trị rồi dừng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phép chia

2 x + 1 = 2 (x + 1) - 1

cho ngay dạng

P = 2 - \frac{1}{x + 1}

trong một dòng, dùng luôn cho cả ý b) và ý c).

Đáp số. a)

x \neq = - 1

; b)

P = 2 - \frac{1}{x + 1}

; c)

x \in {- 2; 0}

Sai lầm thường gặp. Xét ý c) bằng cách nhìn thẳng vào

P = \frac{2 x + 1}{x + 1}

rồi thử vài giá trị

x

mà không tách dạng

a - \frac{b}{x + 1}

trước, dễ thử thiếu hoặc thừa giá trị vì không có căn cứ "

(x + 1)

là ước của

1

" để dừng đúng lúc, có thể bỏ sót

x = - 2

🚀 Mở rộng. Đổi phân thức thành

P = \frac{3 x + 2}{x + 1}

rồi lặp lại đúng quy trình:

3 x + 2 = 3 (x + 1) - 1

nên

P = 3 - \frac{1}{x + 1}

, kết quả tìm

x

nguyên KHÔNG đổi vì phần dư vẫn là

- 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.44★★★★Trang 26— Bài toán thực tế lập phân thức theo vận tốc — quãng đường không đổi, thời gian là hàm phân thức của vận tốc tăng thêm

x

Bài 6.44 (trang 26). Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh với vận tốc

60

km/h và dự kiến sẽ đến Vinh sau

5

giờ xe chạy. Tuy nhiên, sau

2 \frac{2}{3}

giờ chạy với vận tốc

60

km/h, xe dừng nghỉ

20

phút. Sau khi dừng nghỉ, để đến Vinh đúng thời gian dự kiến, xe phải tăng vận tốc so với chặng đầu.
a) Tính độ dài quãng đường Hà Nội – Vinh.
b) Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ.
c) Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm

x

(km/h). Hãy viết biểu thức

P

biểu thị thời gian (tính bằng giờ) thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội – Vinh.
d) Tính giá trị của

P

lần lượt tại

x = 5

;

x = 10

;

x = 15

, từ đó cho biết ở chặng thứ hai (sau khi xe dừng nghỉ):
– Nếu tăng vận tốc thêm

5

km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?
– Nếu tăng vận tốc thêm

10

km/h thì xe đến Vinh có đúng thời gian dự kiến không?
– Nếu tăng vận tốc thêm

15

km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?

Kiến thức cần nhớ

Công thức chuyển động đều: quãng đường $S = v \cdot t$ , suy ra $t = \frac{S}{v}$ .
Đổi phút ra giờ: $20$ phút $= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ giờ.
Tổng thời gian thực tế $=$ thời gian đã đi $+$ thời gian nghỉ $+$ thời gian đi tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc và thời gian dự kiến ban đầu — dấu hiệu quen thuộc để tính quãng đường bằng công thức

S = v \cdot t

ở ý a). Ý c) là trọng tâm: tổng thời gian thực tế gồm BA phần cộng lại (thời gian chặng một đã đi, thời gian nghỉ, thời gian chặng hai với vận tốc mới

60 + x

) — phải đổi

20

phút ra giờ (

\frac{1}{3}

giờ) trước khi cộng, đây là bẫy hay quên. Ý d) chỉ là thay số vào phân thức

P

vừa lập ở ý c) rồi so với mốc

5

giờ dự kiến, không cần lập lại phương trình mới.

1Cách 1. Tính trực tiếp theo từng chặng rồi lập phân thức

P

theo

x

Định hướng. Dùng $S = v \cdot t$ cho quãng đường dự kiến và quãng đường đã đi trong $2 \frac{2}{3}$ giờ đầu, trừ đi để ra quãng đường còn lại; từ đó lập $P$ là tổng ba khoảng thời gian.

S = 60 \cdot 5 = 300

(km)
b) Quãng đường đã đi trong

2 \frac{2}{3}

giờ đầu:

60 \cdot \frac{8}{3} = 160

(km)
Quãng đường còn lại:

300 - 160 = 140

(km)
c) Vận tốc chặng hai:

60 + x

(km/h); thời gian chặng hai:

\frac{140}{60 + x}

(giờ)
Thời gian nghỉ:

20

phút

= \frac{1}{3}

giờ

P = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + \frac{140}{60 + x} = 3 + \frac{140}{60 + x}

x = 5

P = 3 + \frac{140}{65} = 3 + \frac{28}{13} = \frac{67}{13}

(giờ), so với

5

giờ dự kiến:

\frac{67}{13} - 5 = \frac{2}{13}

giờ — muộn hơn

\frac{2}{13}

giờ.

x = 10

P = 3 + \frac{140}{70} = 3 + 2 = 5

(giờ) — đúng bằng thời gian dự kiến.

x = 15

P = 3 + \frac{140}{75} = 3 + \frac{28}{15} = \frac{73}{15}

(giờ), so với

5

giờ dự kiến:

5 - \frac{73}{15} = \frac{2}{15}

giờ — sớm hơn

\frac{2}{15}

giờ.

Vậy a) $300$ km; b) $140$ km; c) $P = 3 + \frac{140}{60 + x}$ (giờ); d) tăng $5$ km/h thì muộn $\frac{2}{13}$ giờ, tăng $10$ km/h thì đúng giờ dự kiến, tăng $15$ km/h thì sớm $\frac{2}{15}$ giờ.

2Cách 2. Đặt ẩn quãng đường bằng phương trình rồi lập bảng vận tốc – thời gian

Định hướng. Gọi quãng đường Hà Nội – Vinh là $S$ (km), lập phương trình theo thời gian dự kiến để tìm $S$ , sau đó trình bày các đại lượng còn lại bằng bảng vận tốc – quãng đường – thời gian.

Gọi quãng đường Hà Nội – Vinh là

S

(km,

S > 0

).
Thời gian dự kiến:

\frac{S}{60} = 5 \Rightarrow S = 300

Quãng đường chặng một:

S_{1} = 60 \cdot \frac{8}{3} = 160

(km)
Quãng đường còn lại:

S_{2} = S - S_{1} = 300 - 160 = 140

(km)
Thời gian chặng hai với vận tốc

(60 + x)

km/h:

\frac{S _{2}}{60 + x} = \frac{140}{60 + x}

(giờ)

P = (2 \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{140}{60 + x} = 3 + \frac{140}{60 + x}

Vậy a) $S = 300$ km; b) $S_{2} = 140$ km; c) $P = 3 + \frac{140}{60 + x}$ (giờ) — trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Đối chiếu bằng tỉ lệ thời gian chênh lệch, không tính lại

P

từ đầu cho từng giá trị

Định hướng. Ở ý d), thay vì tính $P$ rồi trừ với $5$ cho từng trường hợp, lập một phân thức CHUNG cho độ lệch thời gian $\L = P - 5$ theo $x$ , rồi mới thay số — thấy ngay vì sao $x = 10$ cho $\L = 0$ .

\L = P - 5 = 3 + \frac{140}{60 + x} - 5 = \frac{140}{60 + x} - 2 = \frac{140 - 2 ( 60 + x )}{60 + x} = \frac{20 - 2 x}{60 + x}

x = 5

\L = \frac{20 - 10}{65} = \frac{10}{65} = \frac{2}{13}

(giờ,

P

lớn hơn

5

— muộn).

x = 10

\L = \frac{20 - 20}{70} = 0

— đúng giờ dự kiến.

x = 15

\L = \frac{20 - 30}{75} = \frac{- 10}{75} = \frac{- 2}{15}

(giờ,

P

nhỏ hơn

5

— sớm

\frac{2}{15}

giờ).

Vậy $x = 5$ muộn $\frac{2}{13}$ giờ; $x = 10$ đúng giờ; $x = 15$ sớm $\frac{2}{15}$ giờ — trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Phân thức $\L = \frac{20 - 2 x}{60 + x}$ cho thấy ngay $x = 10$ là mốc "vừa đúng giờ" duy nhất (tử bằng $0$ ), khỏi phải thử nhiều giá trị $x$ để đoán mốc này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a), b), c) (tính trực tiếp, ít kí hiệu trung gian); riêng ý d) nên làm thêm bước của Cách 3 (

\L = \frac{20 - 2 x}{60 + x}

) vì nhìn ra ngay dấu của độ lệch mà không cần tính

P

đủ ba lần.

Đáp số. a)

300

km; b)

140

km; c)

P = 3 + \frac{140}{60 + x}

(giờ); d) muộn

\frac{2}{13}

giờ khi

x = 5

, đúng giờ khi

x = 10

, sớm

\frac{2}{15}

giờ khi

x = 15

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

20

phút ra giờ trước khi cộng vào

P

, cộng thẳng số

20

với các số đo bằng giờ (

P = 2 \frac{2}{3} + 20 + \frac{140}{60 + x}

) khiến đơn vị lẫn lộn và kết quả sai gấp nhiều lần; phải đổi

20

phút

= \frac{1}{3}

giờ trước khi cộng, như ở bước lập

P

của Cách 1.

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi thời gian nghỉ thành

m

phút và quãng đường còn lại là

S_{2}

bất kì, công thức tổng quát trở thành

P = 2 \frac{2}{3} + \frac{m}{60} + \frac{S _{2}}{60 + x}

— cùng một kĩ thuật lập phân thức thời gian, chỉ thay số liệu.

Mở bài này trong app ↗