Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Rút $y$ theo $x$ một lần, sau đó thay lần lượt từng giá trị $x$ đã chọn để tính $y$.

Vậy năm nghiệm của phương trình là $(-1;-5)$, $(0;-3)$, $(1;-1)$, $(2;1)$, $(3;3)$.

Đưa phương trình về dạng $y$ theo $x$ để chỉ ra với mỗi $x\in \mathbb{R}$ luôn có đúng một $y$ tương ứng.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là $(x;2x-3)$ với $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý; vì $x$ nhận vô số giá trị nên phương trình có vô số nghiệm.

Có thể rút ẩn còn lại là $x$ theo $y$; vì hệ số của $x$ khác $0$ nên với mỗi $y$ luôn tìm được đúng một $x$, khẳng định lại theo chiều ngược lại rằng phương trình có vô số nghiệm.

Vậy nghiệm tổng quát cũng viết được là $\left(\frac{3+y}{2};y\right)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý — khớp với 5 nghiệm đã tìm ở Cách 1.

Nhận xét. Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ với $a\ne 0$ và $b\ne 0$ luôn có vô số nghiệm, biểu diễn được theo cả hai chiều $y$ theo $x$ lẫn $x$ theo $y$.

Xét từng phương trình: hệ số nào bằng $0$ thì ẩn kia nhận giá trị cố định, còn phương trình đủ hai hệ số thì rút $y$ theo $x$.

Vậy tập nghiệm của a) là đường thẳng $y=\frac{3x-5}{2}$, của b) là đường thẳng $y=2$ song song trục hoành, của c) là đường thẳng $x=-\frac{3}{2}$ song song trục tung.

Muốn vẽ mỗi đường thẳng chỉ cần xác định hai điểm phân biệt cùng thoả mãn phương trình, không cần viết công thức nghiệm tổng quát trước.

Vậy vẽ ba đường thẳng qua các cặp điểm trên là được hình biểu diễn đầy đủ nghiệm của ba phương trình (xem hình vẽ).

Hai phương trình b) và c) thực chất chỉ chứa một ẩn (ẩn kia có hệ số $0$), nên giải như phương trình bậc nhất một ẩn quen thuộc rồi mới bổ sung ẩn còn lại là tuỳ ý.

Vậy ba kết quả trùng khớp với Cách 1 và Cách 2, khẳng định lại nghiệm của b), c) không phụ thuộc vào ẩn có hệ số $0$.

Nhận xét. Phương trình khuyết một ẩn ($a=0$ hoặc $b=0$) luôn cho đường biểu diễn nghiệm song song với một trục toạ độ, còn phương trình đủ hai hệ số cho đường thẳng xiên.

Vì $(1;-2)$ là nghiệm nên thay $x=1,y=-2$ vào phương trình để được một phương trình bậc nhất một ẩn theo $m$.

Vậy $m=0$.

Nhận xét $y=-2$ đúng bằng vế phải của phương trình, nên số hạng $mx$ phải bằng $0$ mà không cần biến đổi từng bước.

Vậy $m=0$, trùng với kết quả ở Cách 1.

Thay ngược giá trị $m$ vào phương trình gốc để kiểm tra, rồi viết nghiệm tổng quát của phương trình cụ thể vừa có.

Vậy với $m=0$, phương trình trở thành $y=-2$ và có nghiệm tổng quát $(x;-2)$, $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Nhận xét. Đây chính là dạng phương trình khuyết $x$ giống câu b) của Bài 1.2, nên đường biểu diễn nghiệm là đường thẳng ngang $y=-2$.

Mỗi tờ $2$ nghìn góp $2x$ nghìn đồng, mỗi tờ $5$ nghìn góp $5y$ nghìn đồng, tổng hai khoản đó đúng bằng $25$ nghìn đồng.

Vậy phương trình lập được là $2x+5y=25$ với $x,y\in \mathbb{N}$.

Từ phương trình $2x+5y=25$, chọn trước $y$ rồi tính ngược $x=\frac{25-5y}{2}$; chỉ nhận $y$ sao cho $x$ ra số tự nhiên.

Vậy có thể chọn phương án $(x;y)=(5;3)$: trả $5$ tờ $2$ nghìn và $3$ tờ $5$ nghìn, kiểm tra $2\cdot 5+5\cdot 3=25$.

Vì $25$ là số lẻ và $2x$ luôn chẵn, để $2x+5y$ lẻ thì $5y$ phải lẻ, tức $y$ phải lẻ; chọn $y$ lẻ nhỏ để $x$ ra số tự nhiên đẹp.

Vậy $(x;y)=(5;3)$ là một phương án hợp lệ, trùng với Cách 2.

Nhận xét. Phương trình $2x+5y=25$ có nhiều nghiệm tự nhiên khác nhau như $(10;1)$, $(5;3)$, $(0;5)$, ứng với nhiều phương án trả tiền khác nhau của bác Hương.

Gọi $x$ là số ống dài $3\text{ m}$, $y$ là số ống dài $5\text{ m}$ ($x,y\in \mathbb{N}$), tổng chiều dài các ống bằng $65\text{ m}$.

Vậy có thể lắp $13$ ống loại $5\text{ m}$ (không dùng ống $3\text{ m}$), hoặc $5$ ống $3\text{ m}$ cùng $10$ ống $5\text{ m}$, hoặc $10$ ống $3\text{ m}$ cùng $7$ ống $5\text{ m}$.

Vì hệ số của $y$ là $5$, muốn $y$ nguyên thì $65-3x$ phải chia hết cho $5$; nhận xét $65$ chia hết cho $5$ nên $3x$ cũng phải chia hết cho $5$, tức $x$ là bội của $5$.

Vậy thêm hai phương án nữa: $15$ ống $3\text{ m}$ với $4$ ống $5\text{ m}$, hoặc $20$ ống $3\text{ m}$ với $1$ ống $5\text{ m}$.

Nhận xét $3\times 5=5\times 3=15$, nên cứ cộng $5$ ống $3\text{ m}$ và bớt $3$ ống $5\text{ m}$ thì tổng chiều dài không đổi, từ một phương án suy ra vô số phương án khác.

Vậy cả năm phương án $(0;13),(5;10),(10;7),(15;4),(20;1)$ đều hợp lệ, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Vì $\gcd (3,5)=1$ nên phương trình $3x+5y=65$ có nhiều nghiệm tự nhiên cách đều nhau theo quy luật cộng $5$ vào $x$ và bớt $3$ ở $y$.

Thay toạ độ mỗi cặp số vào vế trái của phương trình (1), so sánh với vế phải $4$ để lọc nghiệm của (1).

Vậy hai cặp số $(-2;2)$ và $(1;1)$ là nghiệm của phương trình (1).

Nghiệm của hệ phải thoả mãn cả hai phương trình, nên chỉ cần thử tiếp phương trình (2) trên hai cặp số vừa lọc được ở Cách 1.

Vậy trong bốn cặp số đã cho, chỉ $(1;1)$ vừa thoả mãn (1) vừa thoả mãn (2), nên $(1;1)$ là nghiệm của hệ.

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn ứng với một đường thẳng; nghiệm của hệ chính là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đó trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Vậy giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ là $(1;1)$, đúng bằng nghiệm của hệ đã tìm ở Cách 2, minh hoạ trực quan cho kết luận câu b).

Nhận xét. Điểm $(-2;2)$ tuy nằm trên $d$ nhưng không nằm trên $d^{\prime }$ nên chỉ là nghiệm riêng của phương trình (1), không phải nghiệm của hệ — đúng như hình vẽ thể hiện.

Thay $x=1,y=-2$ lần lượt vào từng phương trình đã cho, mỗi lần chỉ còn một ẩn là $a$ hoặc $b$.

Vậy $a=-3$ và $b=-1$.

Vì $a$ và $b$ độc lập nhau, lập hai phương trình một ẩn ngay từ đầu và giải cùng lúc thay vì tuần tự từng phương trình.

Vậy $a=-3,b=-1$, trùng với Cách 1.

Thay $a=-3,b=-1$ trở lại hai phương trình ban đầu cùng với $(1;-2)$ để kiểm chứng cả hai đẳng thức đều đúng.

Vậy cả hai phương trình đều thoả mãn với $a=-3,b=-1$, khẳng định kết quả chính xác.

Nhận xét. Vì $a$ và $b$ nằm ở hai phương trình tách biệt nên bài toán thực chất là hai bài tìm hệ số độc lập như Bài 1.3, chỉ khác là đề gộp chung một câu hỏi.

Vẽ hai đường thẳng của mỗi hệ trên cùng một mặt phẳng toạ độ, nghiệm của hệ là toạ độ giao điểm của chúng.

Vậy quan sát hình vẽ, hệ a) có nghiệm $(-2;-11)$ và hệ b) có nghiệm $\left(1;-\frac{3}{2}\right)$.

Phương trình khuyết ẩn cho ngay giá trị của một ẩn; thay giá trị đó vào phương trình còn lại của cùng hệ để tính nốt ẩn kia, dùng để đối chiếu lại với hình vẽ.

Vậy hệ a) có nghiệm $(-2;-11)$, hệ b) có nghiệm $\left(1;-\frac{3}{2}\right)$, khớp với Cách 1.

Thay ngược nghiệm vừa tìm vào cả hai phương trình ban đầu của từng hệ để kiểm chứng kết quả đọc từ đồ thị và tính từ đại số là thống nhất.

Vậy cả hai nghiệm đều thoả mãn đồng thời hai phương trình của từng hệ, khẳng định kết quả ở Cách 1 và Cách 2 là chính xác.

Nhận xét. Vì mỗi hệ đều có một đường thẳng song song trục toạ độ nên có thể tính đại số nhanh như Cách 2 mà không nhất thiết phải vẽ hình chính xác tuyệt đối như Cách 1.