Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Rút $y$ theo $x$ một lần, sau đó thay lần lượt từng giá trị $x$ đã chọn để tính $y$.

Vậy năm nghiệm của phương trình là $(-1;-5)$, $(0;-3)$, $(1;-1)$, $(2;1)$, $(3;3)$.

Đưa phương trình về dạng $y$ theo $x$ để chỉ ra với mỗi $x\in \mathbb{R}$ luôn có đúng một $y$ tương ứng.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là $(x;2x-3)$ với $x\in \mathbb{R}$ tuỳ ý; vì $x$ nhận vô số giá trị nên phương trình có vô số nghiệm.

Có thể rút ẩn còn lại là $x$ theo $y$; vì hệ số của $x$ khác $0$ nên với mỗi $y$ luôn tìm được đúng một $x$, khẳng định lại theo chiều ngược lại rằng phương trình có vô số nghiệm.

Vậy nghiệm tổng quát cũng viết được là $\left(\frac{3+y}{2};y\right)$ với $y\in \mathbb{R}$ tuỳ ý — khớp với 5 nghiệm đã tìm ở Cách 1.

Nhận xét. Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by=c$ với $a\ne 0$ và $b\ne 0$ luôn có vô số nghiệm, biểu diễn được theo cả hai chiều $y$ theo $x$ lẫn $x$ theo $y$.

Xét từng phương trình: hệ số nào bằng $0$ thì ẩn kia nhận giá trị cố định, còn phương trình đủ hai hệ số thì rút $y$ theo $x$.

Vậy tập nghiệm của a) là đường thẳng $y=\frac{3x-5}{2}$, của b) là đường thẳng $y=2$ song song trục hoành, của c) là đường thẳng $x=-\frac{3}{2}$ song song trục tung.

Muốn vẽ mỗi đường thẳng chỉ cần xác định hai điểm phân biệt cùng thoả mãn phương trình, không cần viết công thức nghiệm tổng quát trước.

Vậy vẽ ba đường thẳng qua các cặp điểm trên là được hình biểu diễn đầy đủ nghiệm của ba phương trình (xem hình vẽ).

Hai phương trình b) và c) thực chất chỉ chứa một ẩn (ẩn kia có hệ số $0$), nên giải như phương trình bậc nhất một ẩn quen thuộc rồi mới bổ sung ẩn còn lại là tuỳ ý.

Vậy ba kết quả trùng khớp với Cách 1 và Cách 2, khẳng định lại nghiệm của b), c) không phụ thuộc vào ẩn có hệ số $0$.

Nhận xét. Phương trình khuyết một ẩn ($a=0$ hoặc $b=0$) luôn cho đường biểu diễn nghiệm song song với một trục toạ độ, còn phương trình đủ hai hệ số cho đường thẳng xiên.