Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.21★★Trang 38— Tính giá trị biểu thức chứa nhiều căn bậc ba bằng định nghĩa

Bài 3.21 (trang 38). Sử dụng định nghĩa căn bậc ba của một số thực, tính giá trị của các biểu thức sau: a)

3 - 27 + 2 3 \frac{1}{8} + 5 3 - 0, 008

; b)

3 0, 001 - 3 3 \frac{8}{125} + 2 3 - 64

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ .
$3 \frac{a}{b} = \frac{3 a}{3 b}$ ; $3 - a = - 3 a$ .
Thứ tự thực hiện: khai căn trước, nhân hệ số, rồi mới cộng trừ.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi số hạng đều chứa một căn bậc ba của một lập phương đúng — dấu hiệu chỉ cần khai từng căn theo định nghĩa rồi cộng trừ như số thông thường. Nên khai hết các căn trước, biến biểu thức về một dãy phép cộng trừ số hữu tỉ đơn giản. Bẫy là thứ tự thực hiện phép tính: phải nhân hệ số với căn đã khai xong rồi mới cộng trừ, không được cộng trước khi khai căn.

1Cách 1. Khai từng căn theo định nghĩa rồi tính tuần tự

Định hướng. Khai từng căn bậc ba bằng cách nhận diện lập phương đúng, sau đó nhân hệ số và cộng trừ theo đúng thứ tự.

3 - 27 = - 3

;

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

;

3 - 0, 008 = - 0, 2

- 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (- 0, 2)

= - 3 + 1 - 1

= - 3

3 0, 001 = 0, 1

;

3 \frac{8}{125} = \frac{2}{5}

;

3 - 64 = - 4

0, 1 - 3 \cdot 0, 4 + 2 \cdot (- 4)

= 0, 1 - 1, 2 - 8

= - 9, 1

Vậy a) $= - 3$ ; b) $= - 9, 1$ .

2Cách 2. Đưa toàn bộ số hạng về dạng phân số rồi khai từng phần

Định hướng. Giữ nguyên dạng phân số/luỹ thừa để khai căn chính xác tuyệt đối, tránh sai số làm tròn.

- 27 = (- 3)^{3}

;

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

;

- 0, 008 = - \frac{8}{1000} = (\frac{- 1}{5})^{3}

- 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (\frac{- 1}{5})

= - 3 + 1 - 1 = - 3

0, 001 = (\frac{1}{10})^{3}

;

\frac{8}{125} = (\frac{2}{5})^{3}

;

- 64 = (- 4)^{3}

\frac{1}{10} - 3 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot (- 4)

= \frac{1}{10} - \frac{6}{5} - 8

= \frac{1}{10} - \frac{12}{10} - \frac{80}{10}

= \frac{- 91}{10} = - 9, 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $- 3$ ; b) $- 9, 1$ .

3Cách 3. Nhóm các số hạng đã khai căn rồi cộng dồn

Định hướng. Đặt tên các căn đã khai thành các số cụ thể, tính cộng trừ dồn từ trái sang phải để giảm sai sót.

a) Đặt

u = 3 - 27 = - 3

v = 3 1/8 = 0, 5

w = 3 - 0, 008 = - 0, 2

Tổng

= u + 2 v + 5 w = - 3 + 1 + (- 1) = - 3

b) Đặt

p = 3 0, 001 = 0, 1

q = 3 8/125 = 0, 4

r = 3 - 64 = - 4

Tổng

= p - 3 q + 2 r = 0, 1 - 1, 2 - 8 = - 9, 1

Vậy a) $= - 3$ ; b) $= - 9, 1$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 2 (giữ phân số) an toàn tuyệt đối vì không làm tròn; Cách 1, 3 nhanh hơn khi đã quen nhẩm số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn từng số hạng bằng số thập phân quen thuộc rồi cộng trừ trực tiếp, nhanh nhất khi các số đã quen mặt (

- 0, 2

0, 4

…).

Đáp số. a)

- 3

; b)

- 9, 1

Sai lầm thường gặp. Cộng hệ số trước khi khai căn, ví dụ viết nhầm

2 3 1/8 + 5 3 - 0, 008 = 7 3 1/8 - 0, 008

(sai hoàn toàn quy tắc căn); hoặc quên nhân hệ số

2

5

3

trước dấu căn.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng này, tính

3 - 1 + 4 3 0, 125 - 3 - 27

để luyện thêm việc gộp nhiều căn bậc ba trong một biểu thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.22★★Trang 38— Tính giá trị biểu thức có căn bậc ba kết hợp phép nhân, chia, cộng, trừ

Bài 3.22 (trang 38). Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau: a)

(364 - 327) \cdot 3 \frac{125}{8}

; b)

\frac{5 3 - 8 - 10 3 0 , 008 + 3 3 343}{3 0 , 064 + 3 0 , 125}

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ .
Khai căn bậc ba xong rồi mới thực hiện phép nhân, chia, cộng, trừ theo đúng thứ tự và dấu ngoặc.
$343 = 7^{3}$ ; $0, 064 = 0, 4^{3}$ ; $0, 125 = 0, 5^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nhấn mạnh "không dùng MTCT" — dấu hiệu mọi số dưới căn đều là lập phương đúng, chỉ cần nhận diện rồi tính như số hữu tỉ. Câu a) nên khai hết ba căn trước rồi mới nhân; câu b) nên khai tử và mẫu riêng biệt trước khi chia, tránh vướng phân thức chứa căn. Bẫy ở câu a) là quên dấu ngoặc, nhân sai thứ tự trước khi trừ.

1Cách 1. Khai từng căn rồi tính theo đúng thứ tự phép toán

Định hướng. Khai tất cả các căn bậc ba trước, giữ nguyên dấu ngoặc và thứ tự phép tính rồi tính ra kết quả.

364 = 4

;

327 = 3

;

3 \frac{125}{8} = \frac{5}{2}

(4 - 3) \cdot \frac{5}{2}

= 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}

3 - 8 = - 2

;

3 0, 008 = 0, 2

;

3343 = 7

;

3 0, 064 = 0, 4

;

3 0, 125 = 0, 5

\frac{5 \cdot ( - 2 ) - 10 \cdot 0 , 2 + 3 \cdot 7}{0 , 4 + 0 , 5}

= \frac{- 10 - 2 + 21}{0 , 9}

= \frac{9}{0 , 9} = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ .

2Cách 2. Tính riêng tử số và mẫu số (hoặc từng thừa số) trước khi ghép lại

Định hướng. Gom các số hạng của tử và mẫu (câu b) hoặc từng thừa số của tích (câu a) thành một khối tính riêng, giảm sai sót khi ghép lại phép tính cuối.

a) Tử của hiệu:

364 - 327 = 4 - 3 = 1

; Thừa số còn lại:

3 125/8 = 5/2

; Kết quả:

1 \cdot 5/2 = 5/2

b) Tử số:

5 \cdot (- 2) - 10 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 7 = - 10 - 2 + 21 = 9

; Mẫu số:

0, 4 + 0, 5 = 0, 9

; Kết quả:

9 \div 0, 9 = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Đổi hết về phân số rồi khai căn

Định hướng. Chuyển toàn bộ số thập phân dưới căn về phân số trước khi khai, đảm bảo kết quả chính xác tuyệt đối không làm tròn.

\frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^{3} \Rightarrow 3 125/8 = 5/2

; giữ nguyên như trên, kết quả

= 5/2

0, 008 = \frac{8}{1000} = (\frac{1}{5})^{3}

;

0, 064 = \frac{64}{1000} = (\frac{2}{5})^{3}

;

0, 125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

Tử:

5 \cdot (- 2) - 10 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 7 = - 10 - 2 + 21 = 9

Mẫu:

\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}

Kết quả:

9 \div \frac{9}{10} = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ , khớp hoàn toàn ba cách.

Nhận xét. Cách 3 chắc chắn tuyệt đối vì giữ dạng phân số; Cách 1 nhanh nhất khi các số thập phân đã quen thuộc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn trực tiếp bằng số thập phân quen thuộc, ít bước biến đổi trung gian nhất.

Đáp số. a)

\frac{5}{2}

; b)

10

Sai lầm thường gặp. Ở câu a) nhân trước khi trừ do quên dấu ngoặc, tính sai thành

364 - 327 \cdot 3 125/8 = 4 - 3 \cdot 2, 5 = - 3, 5

; ở câu b) cộng nhầm mẫu số trước khi khai căn xong.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng phân thức chứa căn bậc ba, thử tính

\frac{3 - 1 + 3 27}{3 0 , 125}

để luyện thêm kĩ năng tách tử-mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.23★★Trang 38— Giải phương trình chứa căn thức bậc ba — lập phương hai vế hoặc khai căn trực tiếp

Bài 3.23 (trang 38). Tìm

x

, biết rằng: a)

3 2 x - 1 = 1

; b)

5 x - 3 64 x^{3} = 25

Kiến thức cần nhớ

$3 A = B \Leftrightarrow A = B^{3}$ (không cần điều kiện, đúng với mọi $A$ , $B$ ).
$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ , kể cả $a$ âm.
$64 x^{3} = (4 x)^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có căn bậc ba của một biểu thức bằng một hằng số — dấu hiệu lập phương hai vế để phá căn, vì căn bậc ba không cần điều kiện xác định (khác căn bậc hai). Câu b) có

3 64 x^{3}

với

64 x^{3} = (4 x)^{3}

là lập phương đúng ngay cả khi

x

âm — nên khai được luôn thành

4 x

mà không cần xét dấu. Bẫy ở câu b) là tưởng phải xét trường hợp

x \geq 0

hay

x < 0

như căn bậc hai, thực ra không cần vì căn bậc ba giữ nguyên dấu.

1Cách 1. Lập phương hai vế / khai căn trực tiếp

Định hướng. Câu a) lập phương hai vế để phá căn; câu b) nhận diện $64 x^{3} = (4 x)^{3}$ rồi khai căn trực tiếp thành $4 x$ .

3 2 x - 1 = 1

2 x - 1 = 1^{3}

2 x - 1 = 1

2 x = 2

x = 1

3 64 x^{3} = 3 (4 x)^{3} = 4 x

5 x - 4 x = 25

x = 25

Vậy a) $x = 1$ ; b) $x = 25$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho biểu thức trong căn

Định hướng. Đặt $t = 3 2 x - 1$ (câu a) hoặc thu gọn căn về đơn thức bậc nhất (câu b) trước khi giải phương trình theo ẩn mới.

a) Đặt

t = 3 2 x - 1

, phương trình thành

t = 1

t^{3} = 2 x - 1

và

t = 1

nên

1 = 2 x - 1

2 x = 2

x = 1

3 64 x^{3} = 364 \cdot 3 x^{3} = 4 x

Phương trình

5 x - 4 x = 25

x = 25

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $x = 1$ ; b) $x = 25$ .

3Cách 3. Thử lại nghiệm bằng cách thay ngược vào phương trình gốc

Định hướng. Sau khi tìm được nghiệm, thay ngược lại phương trình ban đầu để xác nhận không có sai sót.

a) Thay

x = 1

3 2 \cdot 1 - 1 = 31 = 1

, đúng bằng vế phải
b) Thay

x = 25

5 \cdot 25 - 3 64 \cdot 2 5^{3} = 125 - 3 64 \cdot 15625

;

64 \cdot 2 5^{3} = (4 \cdot 25)^{3} = 10 0^{3}

;

125 - 100 = 25

, đúng bằng vế phải

Vậy cả hai nghiệm $x = 1$ và $x = 25$ đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Khác với phương trình chứa căn bậc hai, lập phương hai vế ở căn bậc ba không sinh nghiệm ngoại lai nên không cần đặt điều kiện hay đối chiếu loại nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập phương hai vế (câu a) và nhận diện lập phương đúng (câu b) rồi giải phương trình bậc nhất — ngắn gọn, không cần đặt ẩn phụ hay thử lại.

Đáp số. a)

x = 1

; b)

x = 25

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) tưởng phải xét điều kiện

x \geq 0

như căn bậc hai của

x^{2}

rồi lấy trị tuyệt đối, viết nhầm

3 64 x^{3} = 4∣ x ∣

; thực chất căn bậc ba giữ nguyên dấu, luôn bằng

4 x

với mọi

x

🚀 Mở rộng. Cùng cách lập phương hai vế, giải

3 3 x + 2 = - 2

được

x = - \frac{10}{3}

— luyện thêm trường hợp vế phải âm, điều không thể xảy ra với phương trình chứa căn bậc hai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.24★★Trang 38— So sánh hai số bằng tính đơn điệu của phép khai căn bậc ba

Bài 3.24 (trang 38). Tương tự căn bậc hai, căn bậc ba có tính chất sau: nếu

a < b

thì

3 a < 3 b

. Sử dụng tính chất này, so sánh: a)

5

và

3123

; b)

3 0, 009

và

0, 2

Kiến thức cần nhớ

Với mọi $a < b$ : $3 a < 3 b$ (hàm căn bậc ba đồng biến trên toàn bộ $R$ , không cần điều kiện dấu).
Muốn so sánh một số thường $c$ với một căn bậc ba, viết $c$ thành $3 c^{3}$ .
$5^{3} = 125$ ; $0, 2^{3} = 0, 008$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều so sánh một số thường với một căn bậc ba — dấu hiệu phải đưa số thường về dạng căn bậc ba (bằng cách lập phương nó lên) để so sánh hai biểu thức cùng dạng

3

. Với

5

và

0, 2

đều lập phương ra số đẹp (

125

và

0, 008

), so với

123

và

0, 009

là dễ dàng. Bẫy là so sánh trực tiếp

5

với

123

(sai đơn vị so sánh) mà quên đưa cả hai về cùng dạng căn bậc ba.

1Cách 1. Đưa số thường về dạng căn bậc ba rồi so sánh số dưới căn

Định hướng. Viết $5 = 3 5^{3}$ và $0, 2 = 3 0, 2^{3}$ , rồi so sánh trực tiếp hai số dưới dấu căn.

5 = 3 5^{3} = 3125

125 > 123

3125 > 3123

0, 2 = 3 0, 2^{3} = 3 0, 008

0, 009 > 0, 008

3 0, 009 > 3 0, 008

Vậy a) $5 > 3123$ ; b) $3 0, 009 > 0, 2$ .

2Cách 2. Lập phương cả hai vế của bất đẳng thức cần so sánh

Định hướng. Lập phương cả hai vế để kiểm tra (lập phương giữ nguyên chiều bất đẳng thức với mọi số thực, không riêng số dương).

a) So sánh

5

và

3123

, lập phương hai vế:

5^{3} = 125

;

(3123)^{3} = 123

;

125 > 123

b) So sánh

3 0, 009

và

0, 2

, lập phương hai vế:

(3 0, 009)^{3} = 0, 009

;

0, 2^{3} = 0, 008

;

0, 009 > 0, 008

Vậy a) $5 > 3123$ ; b) $3 0, 009 > 0, 2$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng bằng MTCT rồi so sánh số gần đúng

Định hướng. Tính gần đúng cả hai vế bằng MTCT rồi so sánh trực tiếp hai số thập phân, dùng để kiểm tra lại kết quả suy luận ở Cách 1, 2.

3123 \approx 4, 9732

5 > 4, 9732

3 0, 009 \approx 0, 2080

0, 2080 > 0, 2

Vậy hai kết luận đều được xác nhận: a) $5 > 3123$ ; b) $3 0, 009 > 0, 2$ .

Nhận xét. Cách 1, 2 là lời giải chuẩn không cần máy tính; Cách 3 chỉ để kiểm tra nhanh khi có MTCT trong tay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa số thường về dạng căn bậc ba của lập phương của chính nó rồi so sánh số dưới căn — đúng đề bài yêu cầu "sử dụng tính chất", không cần bấm máy.

Đáp số. a)

5 > 3123

; b)

3 0, 009 > 0, 2

Sai lầm thường gặp. So sánh nhầm

5

với

123

trực tiếp (khác đơn vị so sánh, một bên có căn một bên không) rồi kết luận vội mà không lập phương

5

lên trước; hoặc quên rằng tính đơn điệu của căn bậc ba đúng với MỌI số thực, kể cả khi vế nào đó âm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách này, so sánh

3 - 10

và

- 2

: vì

(- 2)^{3} = - 8 > - 10

nên

- 2 > 3 - 10

— luyện thêm trường hợp so sánh với số âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.25★★★Trang 38— Bài toán thực tế: tính diện tích toàn phần (trừ nắp) của hình lập phương từ thể tích cho trước

Bài 3.25 (trang 38). Tính diện tích tôn cần dùng để làm một cái thùng không nắp hình lập phương chứa được

215

lít nước (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

$1$ lít $= 1$ dm $^{3}$ .
Hình lập phương cạnh $a$ có thể tích $V = a^{3}$ , diện tích một mặt là $a^{2}$ .
Thùng không nắp chỉ có $5$ mặt (thiếu mặt trên): diện tích tôn $S = 5 a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thùng không nắp hình lập phương chỉ có

5

mặt bằng nhau (thiếu mặt nắp trên) — dấu hiệu phải tính diện tích

5

mặt chứ không phải

6

mặt như hình lập phương kín. Đổi đơn vị

215

lít

= 215

^{3}

rồi khai căn bậc ba ra cạnh trước khi tính diện tích. Bẫy lớn nhất là quên trừ mặt nắp, tính nhầm diện tích toàn phần

6 a^{2}

thay vì

5 a^{2}

1Cách 1. Đổi đơn vị, tìm cạnh bằng căn bậc ba rồi tính diện tích 5 mặt

Định hướng. Đổi lít sang dm $^{3}$ , tìm cạnh $a = 3 V$ , rồi tính diện tích $5$ mặt vì thùng không có nắp.

215

lít

= 215

^{3}

a^{3} = 215

a = 3215

a \approx 5, 9907

(dm)

S = 5 a^{2}

S \approx 5 \cdot 5, 990 7^{2}

S \approx 5 \cdot 35, 8886

S \approx 179, 44

(dm

^{2}

)

Vậy diện tích tôn cần dùng khoảng $179, 44$ dm $^{2}$ .

2Cách 2. Rút công thức tổng quát

S

theo

V

trước, rồi mới thay số

Định hướng. Biểu diễn $S$ trực tiếp theo $V$ bằng một công thức duy nhất, tiện áp dụng lại nếu đổi thể tích khác.

a = 3 V

S = 5 a^{2} = 5 (3 V)^{2} = 5 3 V^{2}

S = 5 3 21 5^{2}

S = 5346225

S \approx 5 \cdot 35, 8886

S \approx 179, 44

(dm

^{2}

)

Vậy $S \approx 179, 44$ dm $^{2}$ , trùng kết quả Cách 1.

3Cách 3. Ước lượng cạnh bằng kẹp lập phương liên tiếp

Định hướng. Kẹp $215$ giữa hai lập phương liên tiếp để ước lượng cạnh, rồi tính khoảng của diện tích để kiểm tra kết quả Cách 1.

5^{3} = 125

;

6^{3} = 216

125 < 215 < 216

nên

5 < a < 6

, và

a

rất gần

6

(vì

215

chỉ kém

216

đúng

1

đơn vị)
Ước lượng

a \approx 5, 99

S = 5 a^{2} \approx 5 \cdot 5, 9 9^{2} \approx 5 \cdot 35, 88 \approx 179, 4

(dm

^{2}

)

Vậy ước lượng $S \approx 179, 4$ dm $^{2}$ , khớp với kết quả chính xác hơn ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $a$ rất gần $6$ dm nên có thể ước lượng nhanh diện tích khoảng $5 \cdot 6^{2} = 180$ dm $^{2}$ khi cần con số áng chừng tức thì.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi đơn vị, khai căn bậc ba ra cạnh bằng MTCT, rồi nhân

5 a^{2}

— đủ nhanh và chính xác đến hai chữ số thập phân như đề yêu cầu.

Đáp số. Diện tích tôn cần dùng khoảng

179, 44

^{2}

(tương đương

1, 7944

^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên thùng KHÔNG NẮP nên tính nhầm cả

6

mặt, ra

S = 6 a^{2} \approx 215, 33

^{2}

, thừa đúng một mặt nắp không có thật; hoặc quên đổi lít sang dm

^{3}

trước khi khai căn.

🚀 Mở rộng. Nếu thùng có cả nắp (kín

6

mặt) với cùng thể tích

215

lít, diện tích tôn cần dùng sẽ là

6 a^{2} \approx 215, 33

^{2}

, nhiều hơn thùng không nắp một mặt đúng

a^{2} \approx 35, 89

^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.26★★Trang 39— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc ba tại một điểm bằng MTCT

Bài 3.26 (trang 39). Sử dụng MTCT, tính giá trị biểu thức (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba): a)

P = 2 3 x^{2} - 1

tại

x = 5

; b)

P = 3 2 x - 1 - 3 x + 1

tại

x = 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị biến vào biểu thức trong căn trước, rút gọn thành số cụ thể rồi mới khai căn.
$30 = 0$ ; căn bậc ba luôn xác định với mọi số thực (kể cả $0$ và số âm).
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba nghĩa là giữ ba chữ số sau dấu phẩy.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều yêu cầu thay số rồi bấm máy — dấu hiệu chỉ cần thế giá trị

x

vào đúng vị trí trước khi khai căn. Nên rút gọn biểu thức số bên trong căn trước (tính

x^{2} - 1

2 x - 1

x + 1

) rồi mới bấm căn bậc ba, tránh nhập sai vào máy tính. Bẫy ở câu b) là

2 x - 1 = 0

tại

x = 0, 5

, dễ bấm nhầm hoặc quên rằng

30 = 0

chứ không phải biểu thức không xác định.

1Cách 1. Rút gọn biểu thức trong căn trước, bấm MTCT sau

Định hướng. Tính giá trị bên trong mỗi căn trước bằng số, rồi bấm MTCT khai căn bậc ba và làm tròn.

a) Tại

x = 5

x^{2} - 1 = 25 - 1 = 24

P = 2324

324 \approx 2, 884499

P \approx 2 \cdot 2, 884499 \approx 5, 768998

b) Tại

x = 0, 5

2 x - 1 = 0

;

x + 1 = 1, 5

P = 30 - 3 1, 5

3 1, 5 \approx 1, 144714

P \approx 0 - 1, 144714 \approx - 1, 144714

Vậy a) $P \approx 5, 769$ ; b) $P \approx - 1, 145$ .

2Cách 2. Bấm MTCT theo một dãy phím liên tục

Định hướng. Nhập luôn cả biểu thức lồng $x = 5$ , $x = 0, 5$ vào máy tính bằng một dãy phím liên tục, hạn chế sai số làm tròn trung gian.

a) Bấm

2 \times

SHIFT

3

(5^{2} - 1)

=

; kết quả hiện

5, 768998 \dots

b) Bấm SHIFT

3

(2 \times 0, 5 - 1)

-

SHIFT

3

(0, 5 + 1)

=

; kết quả hiện

- 1, 144714 \dots

Vậy a) $P \approx 5, 769$ ; b) $P \approx - 1, 145$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp để kiểm tra khoảng giá trị

Định hướng. Kẹp số dưới mỗi căn giữa hai lập phương nguyên liên tiếp để chắc chắn kết quả bấm máy nằm đúng khoảng hợp lý.

2^{3} = 8 < 24 < 27 = 3^{3}

nên

2 < 324 < 3

, suy ra

4 < P < 6

, khớp với

P \approx 5, 769

1^{3} = 1 < 1, 5 < 8 = 2^{3}

nên

1 < 3 1, 5 < 2

, suy ra

- 2 < P < - 1

, khớp với

P \approx - 1, 145

Vậy cả hai kết quả bấm máy đều nằm đúng khoảng vừa kẹp, xác nhận không bấm nhầm.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra nhanh, không thay được thao tác bấm máy chính (Cách 1, 2) khi cần độ chính xác ba chữ số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính gọn biểu thức trong căn bằng số trước, bấm máy sau — dễ kiểm soát lỗi nhập liệu hơn bấm nguyên một dãy phím dài như Cách 2.

Đáp số. a)

P \approx 5, 769

; b)

P \approx - 1, 145

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) quên rằng

30 = 0

(không phải biểu thức lỗi), hoặc nhập nhầm thứ tự phép trừ thành

3 x + 1 - 3 2 x - 1

khiến kết quả đổi dấu thành

1, 145

🚀 Mở rộng. Với

x = 1

, tính lại

P = 2 3 x^{2} - 1 = 230 = 0

— trường hợp đặc biệt cho kết quả nguyên, tiện dùng để kiểm tra máy tính bấm đúng công thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.27★★★Trang 39— Bài toán thực tế: thay số vào công thức căn thức bậc ba rồi đổi đơn vị

Bài 3.27 (trang 39). Khoảng cách trung bình

d

(tính bằng mét) giữa một hành tinh và Mặt Trời được tính theo công thức

d = 3 \frac{1 0 ^{19} T ^{2}}{2 , 97}

, trong đó

T

(tính bằng giây) là thời gian hành tinh quay một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời trong khoảng

365

ngày. Hãy tính khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là bao nhiêu triệu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

$1$ ngày $= 24 \cdot 3600 = 86400$ giây.
$1$ triệu ki-lô-mét $= 1 0^{6} \cdot 1000 = 1 0^{9}$ mét.
Thay số vào công thức cho sẵn rồi khai căn bậc ba như một phép tính bình thường.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức sẵn và cho

T

theo đơn vị ngày — dấu hiệu phải đổi

T

sang giây (đúng đơn vị công thức yêu cầu) trước khi thay vào căn. Sau khi tính được

d

theo mét, phải đổi tiếp sang triệu ki-lô-mét theo đúng yêu cầu đề. Bẫy lớn nhất là quên đổi đơn vị thời gian (ngày → giây) hoặc quên đổi đơn vị khoảng cách (mét → triệu km) ở bước cuối.

1Cách 1. Đổi đơn vị thời gian trước, thay vào công thức, rồi đổi đơn vị khoảng cách

Định hướng. Đổi $365$ ngày ra giây, thay vào công thức tính $d$ theo mét, cuối cùng đổi sang triệu ki-lô-mét.

T = 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 31536000

(giây)

d = 3 \frac{1 0 ^{19} \cdot T ^{2}}{2 , 97}

T^{2} = 3153600 0^{2} \approx 9, 9452 \times 1 0^{14}

d = 3 \frac{1 0 ^{19} \cdot 9 , 9452 \times 1 0 ^{14}}{2 , 97}

d \approx 3 3, 3485 \times 1 0^{33}

d \approx 1, 496 \times 1 0^{11}

(mét)

d \approx 149, 6

(triệu km)

Vậy khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời khoảng $149, 6$ triệu ki-lô-mét.

2Cách 2. Rút gọn biểu thức luỹ thừa của 10 trước khi bấm máy

Định hướng. Tách riêng phần luỹ thừa của $10$ ra khỏi phần số thập phân để bấm máy với số nhỏ hơn, giảm sai số làm tròn.

T = 31536000 = 3, 1536 \times 1 0^{7}

(giây)

T^{2} = 3, 153 6^{2} \times 1 0^{14} \approx 9, 9452 \times 1 0^{14}

\frac{1 0 ^{19} \cdot T ^{2}}{2 , 97} \approx \frac{9 , 9452}{2 , 97} \times 1 0^{33} \approx 3, 3485 \times 1 0^{33}

d \approx 3 3, 3485 \times 1 0^{11} \approx 1, 4957 \times 1 0^{11}

(mét)
Đổi sang triệu km:

d \approx 149, 6

(triệu km)

Vậy $d \approx 149, 6$ triệu km, trùng Cách 1.

3Cách 3. Đổi đơn vị khoảng cách ngay từ đầu công thức

Định hướng. Biến đổi công thức gốc sang đơn vị đề bài yêu cầu (triệu km) ngay từ đầu, tránh phải đổi đơn vị số lớn ở bước cuối.

Đặt

d^{'}

(triệu km)

= \frac{d}{1 0 ^{9}}

d^{'} = \frac{1}{1 0 ^{9}} 3 \frac{1 0 ^{19} T ^{2}}{2 , 97}

T = 31536000

giây (đổi từ

365

ngày)
Thay số:

d^{'} \approx \frac{1 , 496 \times 1 0 ^{11}}{1 0 ^{9}} \approx 149, 6

Vậy $d \approx 149, 6$ triệu km, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở thời điểm đổi đơn vị; kết quả $149, 6$ triệu km rất gần khoảng cách Trái Đất – Mặt Trời thực tế khoảng $150$ triệu km (một đơn vị thiên văn), cho thấy công thức trong bài là hợp lí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách luỹ thừa của

10

ra trước rồi mới khai căn bậc ba số nhỏ gọn (khoảng

3, 35

) — hạn chế bấm nhầm phím khi số quá nhiều chữ số như

3, 3485 \times 1 0^{33}

Đáp số. Khoảng cách trung bình Trái Đất – Mặt Trời khoảng

149, 6

triệu ki-lô-mét.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

365

ngày ra giây, thay thẳng

T = 365

vào công thức khiến kết quả sai lệch hoàn toàn; hoặc tính đúng

d

theo mét nhưng quên đổi sang triệu ki-lô-mét ở bước cuối theo đúng yêu cầu đề.

🚀 Mở rộng. Sao Hoả quay quanh Mặt Trời khoảng

687

ngày; áp đúng công thức này (đổi

687

ngày ra giây) sẽ tính được khoảng cách trung bình Sao Hoả – Mặt Trời, so sánh xem gấp bao nhiêu lần khoảng cách Trái Đất – Mặt Trời.

Mở bài này trong app ↗