Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang38–39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.21★★Trang 38— Tính giá trị biểu thức chứa nhiều căn bậc ba bằng định nghĩa

Bài 3.21 (trang 38). Sử dụng định nghĩa căn bậc ba của một số thực, tính giá trị của các biểu thức sau: a)

3 - 27 + 2 3 \frac{1}{8} + 5 3 - 0, 008

; b)

3 0, 001 - 3 3 \frac{8}{125} + 2 3 - 64

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ .
$3 \frac{a}{b} = \frac{3 a}{3 b}$ ; $3 - a = - 3 a$ .
Thứ tự thực hiện: khai căn trước, nhân hệ số, rồi mới cộng trừ.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi số hạng đều chứa một căn bậc ba của một lập phương đúng — dấu hiệu chỉ cần khai từng căn theo định nghĩa rồi cộng trừ như số thông thường. Nên khai hết các căn trước, biến biểu thức về một dãy phép cộng trừ số hữu tỉ đơn giản. Bẫy là thứ tự thực hiện phép tính: phải nhân hệ số với căn đã khai xong rồi mới cộng trừ, không được cộng trước khi khai căn.

1Cách 1. Khai từng căn theo định nghĩa rồi tính tuần tự

Định hướng. Khai từng căn bậc ba bằng cách nhận diện lập phương đúng, sau đó nhân hệ số và cộng trừ theo đúng thứ tự.

3 - 27 = - 3

;

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

;

3 - 0, 008 = - 0, 2

- 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (- 0, 2)

= - 3 + 1 - 1

= - 3

3 0, 001 = 0, 1

;

3 \frac{8}{125} = \frac{2}{5}

;

3 - 64 = - 4

0, 1 - 3 \cdot 0, 4 + 2 \cdot (- 4)

= 0, 1 - 1, 2 - 8

= - 9, 1

Vậy a) $= - 3$ ; b) $= - 9, 1$ .

2Cách 2. Đưa toàn bộ số hạng về dạng phân số rồi khai từng phần

Định hướng. Giữ nguyên dạng phân số/luỹ thừa để khai căn chính xác tuyệt đối, tránh sai số làm tròn.

- 27 = (- 3)^{3}

;

\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

;

- 0, 008 = - \frac{8}{1000} = (\frac{- 1}{5})^{3}

- 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot (\frac{- 1}{5})

= - 3 + 1 - 1 = - 3

0, 001 = (\frac{1}{10})^{3}

;

\frac{8}{125} = (\frac{2}{5})^{3}

;

- 64 = (- 4)^{3}

\frac{1}{10} - 3 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot (- 4)

= \frac{1}{10} - \frac{6}{5} - 8

= \frac{1}{10} - \frac{12}{10} - \frac{80}{10}

= \frac{- 91}{10} = - 9, 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $- 3$ ; b) $- 9, 1$ .

3Cách 3. Nhóm các số hạng đã khai căn rồi cộng dồn

Định hướng. Đặt tên các căn đã khai thành các số cụ thể, tính cộng trừ dồn từ trái sang phải để giảm sai sót.

a) Đặt

u = 3 - 27 = - 3

v = 3 1/8 = 0, 5

w = 3 - 0, 008 = - 0, 2

Tổng

= u + 2 v + 5 w = - 3 + 1 + (- 1) = - 3

b) Đặt

p = 3 0, 001 = 0, 1

q = 3 8/125 = 0, 4

r = 3 - 64 = - 4

Tổng

= p - 3 q + 2 r = 0, 1 - 1, 2 - 8 = - 9, 1

Vậy a) $= - 3$ ; b) $= - 9, 1$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 2 (giữ phân số) an toàn tuyệt đối vì không làm tròn; Cách 1, 3 nhanh hơn khi đã quen nhẩm số thập phân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn từng số hạng bằng số thập phân quen thuộc rồi cộng trừ trực tiếp, nhanh nhất khi các số đã quen mặt (

- 0, 2

0, 4

…).

Đáp số. a)

- 3

; b)

- 9, 1

Sai lầm thường gặp. Cộng hệ số trước khi khai căn, ví dụ viết nhầm

2 3 1/8 + 5 3 - 0, 008 = 7 3 1/8 - 0, 008

(sai hoàn toàn quy tắc căn); hoặc quên nhân hệ số

2

5

3

trước dấu căn.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng này, tính

3 - 1 + 4 3 0, 125 - 3 - 27

để luyện thêm việc gộp nhiều căn bậc ba trong một biểu thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.22★★Trang 38— Tính giá trị biểu thức có căn bậc ba kết hợp phép nhân, chia, cộng, trừ

Bài 3.22 (trang 38). Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau: a)

(364 - 327) \cdot 3 \frac{125}{8}

; b)

\frac{5 3 - 8 - 10 3 0 , 008 + 3 3 343}{3 0 , 064 + 3 0 , 125}

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ .
Khai căn bậc ba xong rồi mới thực hiện phép nhân, chia, cộng, trừ theo đúng thứ tự và dấu ngoặc.
$343 = 7^{3}$ ; $0, 064 = 0, 4^{3}$ ; $0, 125 = 0, 5^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nhấn mạnh "không dùng MTCT" — dấu hiệu mọi số dưới căn đều là lập phương đúng, chỉ cần nhận diện rồi tính như số hữu tỉ. Câu a) nên khai hết ba căn trước rồi mới nhân; câu b) nên khai tử và mẫu riêng biệt trước khi chia, tránh vướng phân thức chứa căn. Bẫy ở câu a) là quên dấu ngoặc, nhân sai thứ tự trước khi trừ.

1Cách 1. Khai từng căn rồi tính theo đúng thứ tự phép toán

Định hướng. Khai tất cả các căn bậc ba trước, giữ nguyên dấu ngoặc và thứ tự phép tính rồi tính ra kết quả.

364 = 4

;

327 = 3

;

3 \frac{125}{8} = \frac{5}{2}

(4 - 3) \cdot \frac{5}{2}

= 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}

3 - 8 = - 2

;

3 0, 008 = 0, 2

;

3343 = 7

;

3 0, 064 = 0, 4

;

3 0, 125 = 0, 5

\frac{5 \cdot ( - 2 ) - 10 \cdot 0 , 2 + 3 \cdot 7}{0 , 4 + 0 , 5}

= \frac{- 10 - 2 + 21}{0 , 9}

= \frac{9}{0 , 9} = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ .

2Cách 2. Tính riêng tử số và mẫu số (hoặc từng thừa số) trước khi ghép lại

Định hướng. Gom các số hạng của tử và mẫu (câu b) hoặc từng thừa số của tích (câu a) thành một khối tính riêng, giảm sai sót khi ghép lại phép tính cuối.

a) Tử của hiệu:

364 - 327 = 4 - 3 = 1

; Thừa số còn lại:

3 125/8 = 5/2

; Kết quả:

1 \cdot 5/2 = 5/2

b) Tử số:

5 \cdot (- 2) - 10 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 7 = - 10 - 2 + 21 = 9

; Mẫu số:

0, 4 + 0, 5 = 0, 9

; Kết quả:

9 \div 0, 9 = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Đổi hết về phân số rồi khai căn

Định hướng. Chuyển toàn bộ số thập phân dưới căn về phân số trước khi khai, đảm bảo kết quả chính xác tuyệt đối không làm tròn.

\frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^{3} \Rightarrow 3 125/8 = 5/2

; giữ nguyên như trên, kết quả

= 5/2

0, 008 = \frac{8}{1000} = (\frac{1}{5})^{3}

;

0, 064 = \frac{64}{1000} = (\frac{2}{5})^{3}

;

0, 125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}

Tử:

5 \cdot (- 2) - 10 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 7 = - 10 - 2 + 21 = 9

Mẫu:

\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}

Kết quả:

9 \div \frac{9}{10} = 10

Vậy a) $= \frac{5}{2}$ ; b) $= 10$ , khớp hoàn toàn ba cách.

Nhận xét. Cách 3 chắc chắn tuyệt đối vì giữ dạng phân số; Cách 1 nhanh nhất khi các số thập phân đã quen thuộc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai căn trực tiếp bằng số thập phân quen thuộc, ít bước biến đổi trung gian nhất.

Đáp số. a)

\frac{5}{2}

; b)

10

Sai lầm thường gặp. Ở câu a) nhân trước khi trừ do quên dấu ngoặc, tính sai thành

364 - 327 \cdot 3 125/8 = 4 - 3 \cdot 2, 5 = - 3, 5

; ở câu b) cộng nhầm mẫu số trước khi khai căn xong.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng phân thức chứa căn bậc ba, thử tính

\frac{3 - 1 + 3 27}{3 0 , 125}

để luyện thêm kĩ năng tách tử-mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.23★★Trang 38— Giải phương trình chứa căn thức bậc ba — lập phương hai vế hoặc khai căn trực tiếp

Bài 3.23 (trang 38). Tìm

x

, biết rằng: a)

3 2 x - 1 = 1

; b)

5 x - 3 64 x^{3} = 25

Kiến thức cần nhớ

$3 A = B \Leftrightarrow A = B^{3}$ (không cần điều kiện, đúng với mọi $A$ , $B$ ).
$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ , kể cả $a$ âm.
$64 x^{3} = (4 x)^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.24★★Trang 38— So sánh hai số bằng tính đơn điệu của phép khai căn bậc ba

Bài 3.24 (trang 38). Tương tự căn bậc hai, căn bậc ba có tính chất sau: nếu

a < b

thì

3 a < 3 b

. Sử dụng tính chất này, so sánh: a)

5

và

3123

; b)

3 0, 009

và

0, 2

Kiến thức cần nhớ

Với mọi $a < b$ : $3 a < 3 b$ (hàm căn bậc ba đồng biến trên toàn bộ $R$ , không cần điều kiện dấu).
Muốn so sánh một số thường $c$ với một căn bậc ba, viết $c$ thành $3 c^{3}$ .
$5^{3} = 125$ ; $0, 2^{3} = 0, 008$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.25★★★Trang 38— Bài toán thực tế: tính diện tích toàn phần (trừ nắp) của hình lập phương từ thể tích cho trước

Bài 3.25 (trang 38). Tính diện tích tôn cần dùng để làm một cái thùng không nắp hình lập phương chứa được

215

lít nước (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

$1$ lít $= 1$ dm $^{3}$ .
Hình lập phương cạnh $a$ có thể tích $V = a^{3}$ , diện tích một mặt là $a^{2}$ .
Thùng không nắp chỉ có $5$ mặt (thiếu mặt trên): diện tích tôn $S = 5 a^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.26★★Trang 39— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc ba tại một điểm bằng MTCT

Bài 3.26 (trang 39). Sử dụng MTCT, tính giá trị biểu thức (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba): a)

P = 2 3 x^{2} - 1

tại

x = 5

; b)

P = 3 2 x - 1 - 3 x + 1

tại

x = 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị biến vào biểu thức trong căn trước, rút gọn thành số cụ thể rồi mới khai căn.
$30 = 0$ ; căn bậc ba luôn xác định với mọi số thực (kể cả $0$ và số âm).
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba nghĩa là giữ ba chữ số sau dấu phẩy.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.27★★★Trang 39— Bài toán thực tế: thay số vào công thức căn thức bậc ba rồi đổi đơn vị

Bài 3.27 (trang 39). Khoảng cách trung bình

d

(tính bằng mét) giữa một hành tinh và Mặt Trời được tính theo công thức

d = 3 \frac{1 0 ^{19} T ^{2}}{2 , 97}

, trong đó

T

(tính bằng giây) là thời gian hành tinh quay một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời trong khoảng

365

ngày. Hãy tính khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là bao nhiêu triệu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

$1$ ngày $= 24 \cdot 3600 = 86400$ giây.
$1$ triệu ki-lô-mét $= 1 0^{6} \cdot 1000 = 1 0^{9}$ mét.
Thay số vào công thức cho sẵn rồi khai căn bậc ba như một phép tính bình thường.