Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 60— Tìm cạnh hình lập phương khi biết thể tích — mở đầu khái niệm căn bậc ba

HĐ1 (trang 60). Kí hiệu

V

là thể tích của hình lập phương với cạnh

x

. Hãy thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp: hàng

1

có

x = 2

thì

V = x^{3} = 8

; hàng

2

có

x = ?

thì

V = x^{3} = 27

; hàng

3

có

x = ?

thì

V = x^{3} = 64

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình lập phương cạnh $x$ là $V = x^{3}$ .
Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực $x$ thoả mãn $x^{3} = a$ , kí hiệu $3 a$ .
Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc ba.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức

V = x^{3}

rồi hỏi ngược lại

x

khi biết

V

, đúng dấu hiệu của phép khai căn bậc ba. Với các số thể tích đẹp như

27

64

, nên thử ngay các số nguyên nhỏ

2, 3, 4, 5, \dots

thay vì tính toán phức tạp. Bẫy duy nhất là nhầm

x^{3}

với

3 x

hoặc

x \cdot 3

1Cách 1. Thử trực tiếp — liệt kê lập phương các số nguyên nhỏ

Định hướng. Thể tích $27$ , $64$ không lớn nên thử lần lượt lập phương của các số nguyên nhỏ là nhanh nhất.

1^{3} = 1

2^{3} = 8

3^{3} = 27

4^{3} = 64

5^{3} = 125

Vậy hàng thứ hai có $x = 3$ (vì $3^{3} = 27$ ), hàng thứ ba có $x = 4$ (vì $4^{3} = 64$ ).

2Cách 2. Dùng định nghĩa căn bậc ba

Định hướng. Từ $V = x^{3}$ suy ra $x$ chính là căn bậc ba của $V$ , nên tính trực tiếp bằng kí hiệu $3$ .

x^{3} = 27

nên

x = 327

x^{3} = 64

nên

x = 364

3^{3} = 27

nên

327 = 3

4^{3} = 64

nên

364 = 4

Vậy $x = 3$ khi $V = 27$ và $x = 4$ khi $V = 64$ .

3Cách 3. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định hướng. Phân tích $V$ ra thừa số nguyên tố rồi nhóm theo bộ ba giống nhau, mỗi bộ ba cho một thừa số của cạnh $x$ .

27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3}

64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (2 \cdot 2)^{3} = 4^{3}

Vậy $x = 3$ và $x = 4$ .

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một phép khai căn bậc ba; Cách 1 nhanh cho số nhỏ, Cách 3 hữu ích khi số lớn không đoán ngay được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: với thể tích là số quen thuộc, nhẩm lập phương vài số nguyên nhỏ nhanh hơn viết kí hiệu căn bậc ba.

Đáp số.

x = 3

khi

V = 27

;

x = 4

khi

V = 64

Sai lầm thường gặp. Nhầm

V = x^{3}

với

V = 3 x

rồi giải ra

x = 27/3 = 9

(sai) thay vì

x = 327 = 3

; cũng có bạn nhầm

x^{3}

với

x^{2}

nên thử

x = 27

không ra số nguyên rồi bỏ cuộc.

🚀 Mở rộng. Từ bảng này SGK định nghĩa căn bậc ba: với thể tích bất kì

V = 1000

, cạnh sẽ là

31000 = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 61— Tính căn bậc ba của số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ âm

Luyện tập 1 (trang 61). Tính: a)

3125

; b)

3 0, 008

; c)

3 \frac{- 8}{27}

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ .
$3 - a = - 3 a$ với mọi số thực $a$ (căn bậc ba của số âm là số âm).
$3 \frac{a}{b} = \frac{3 a}{3 b}$ với $b \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba số dưới căn đều là luỹ thừa bậc ba của một số hữu tỉ quen thuộc — dấu hiệu chỉ cần nhận diện đúng cơ số. Với số thập phân và phân số nên đưa về dạng luỹ thừa bậc ba trước khi khai căn. Bẫy ở câu c) là dấu trừ: phải nhớ

3 - a = - 3 a

chứ không được bỏ dấu.

1Cách 1. Nhận diện trực tiếp cơ số quen thuộc

Định hướng. Mỗi số dưới căn đều là lập phương của một số hữu tỉ quen thuộc, nhận ra ngay không cần biến đổi.

5^{3} = 125

nên

3125 = 5

0, 2^{3} = 0, 008

nên

3 0, 008 = 0, 2

(\frac{- 2}{3})^{3} = \frac{- 8}{27}

nên

3 \frac{- 8}{27} = \frac{- 2}{3}

Vậy $3125 = 5$ ; $3 0, 008 = 0, 2$ ; $3 \frac{- 8}{27} = - \frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Phân tích ra thừa số nguyên tố / luỹ thừa

Định hướng. Phân tích số dưới căn ra tích các thừa số giống nhau theo nhóm ba để lộ rõ cơ số.

125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3} \Rightarrow 3125 = 5

0, 008 = \frac{8}{1000} = \frac{2 ^{3}}{1 0 ^{3}} = 0, 2^{3} \Rightarrow 3 0, 008 = 0, 2

\frac{- 8}{27} = \frac{- 2 ^{3}}{3 ^{3}} = (\frac{- 2}{3})^{3} \Rightarrow 3 \frac{- 8}{27} = \frac{- 2}{3}

Vậy kết quả không đổi: $5$ ; $0, 2$ ; $- \frac{2}{3}$ .

3Cách 3. Tách dấu và tách phân số bằng tính chất căn bậc ba

Định hướng. Dùng tính chất $3 - a = - 3 a$ và $3 a / b = 3 a / 3 b$ để đưa về căn của số dương rồi khai từng phần, tiện nhất cho câu c).

3125 = 3 5^{3} = 5

3 0, 008 = 3 \frac{8}{1000} = \frac{3 8}{3 1000} = \frac{2}{10} = 0, 2

3 \frac{- 8}{27} = - 3 \frac{8}{27} = - \frac{3 8}{3 27} = - \frac{2}{3}

Vậy $3125 = 5$ ; $3 0, 008 = 0, 2$ ; $3 \frac{- 8}{27} = - \frac{2}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 tách dấu và tách phân số trước, an toàn nhất khi số dưới căn có dấu âm và ở dạng phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ vài lập phương quen thuộc (

5^{3} = 125

0, 2^{3} = 0, 008

(2/3)^{3} = 8/27

) là ra kết quả ngay, không cần viết bước phân tích.

Đáp số. a)

5

; b)

0, 2

; c)

- \frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) nhiều bạn quên dấu trừ, viết

3 - 8/27 = 2/3

thay vì

- 2/3

; hoặc nhầm với căn bậc hai nên đòi điều kiện không âm cho số dưới căn (căn bậc ba nhận cả số âm).

🚀 Mở rộng. Cùng cách này,

3 - 1000 = - 10

và

3 0, 064 = 0, 4

— luyện nhận diện lập phương của số thập phân có một chữ số sau dấu phẩy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★Trang 61— Tính gần đúng căn bậc ba bằng máy tính cầm tay

Luyện tập 2 (trang 61). Sử dụng MTCT, tính

345

và làm tròn kết quả với độ chính xác

0, 005

Kiến thức cần nhớ

$3 a$ là số thực $x$ duy nhất thoả $x^{3} = a$ .
Kẹp giữa hai luỹ thừa bậc ba liên tiếp: $a^{3} < N < b^{3}$ thì $a < 3 N < b$ .
MTCT tính $3 N$ bằng tổ hợp phím SHIFT, $3$ , nhập $N$ , dấu bằng.

🧠 Phân tích tư duy

45

không phải lập phương của số nguyên nào (

3^{3} = 27

4^{3} = 64

) nên kết quả là số vô tỉ, phải dùng MTCT hoặc ước lượng. Độ chính xác

0, 005

nghĩa là chỉ cần giữ đến chữ số thập phân thứ ba là đủ tin cậy. Bẫy là làm tròn quá thô (chỉ lấy một chữ số thập phân) khiến sai số vượt quá

0, 005

cho phép.

1Cách 1. Bấm MTCT trực tiếp

Định hướng. Đây là cách chuẩn SGK yêu cầu: bấm thẳng tổ hợp phím căn bậc ba trên máy tính.

Bấm SHIFT

3

4

5

=
Màn hình hiện

3, 556893304 \dots

Vậy $345 \approx 3, 557$ (đã đạt độ chính xác $0, 005$ ).

2Cách 2. Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp rồi nội suy

Định hướng. Không có máy tính vẫn ước lượng được bằng cách kẹp $45$ giữa hai lập phương liền kề rồi nội suy theo tỉ lệ.

3^{3} = 27

;

4^{3} = 64

27 < 45 < 64

nên

3 < 345 < 4

\frac{45 - 27}{64 - 27} = \frac{18}{37} \approx 0, 486

345 \approx 3 + 0, 486 \approx 3, 49

Vậy ước lượng $345 \approx 3, 5$ , đúng khoảng với kết quả MTCT.

Nhận xét. Nội suy tuyến tính chỉ cho kết quả gần đúng thô ( $3, 49$ so với $3, 557$ thật), nên chỉ dùng để kiểm tra máy bấm có đúng khoảng hay không, không thay được Cách 1 khi cần độ chính xác $0, 005$ .

3Cách 3. Lặp gần đúng kiểu Newton

Định hướng. Dùng phép lặp $x_{n + 1} = \frac{2 x _{n} + 45/ x _{n}^{2}}{3}$ xuất phát từ ước lượng $x_{0} = 3, 5$ để tính chính xác dần mà không cần bấm phím căn bậc ba trực tiếp.

Chọn

x_{0} = 3, 5

x_{1} = \frac{2 \cdot 3 , 5 + 45/3 , 5 ^{2}}{3} = \frac{7 + 3 , 6735}{3} \approx 3, 5578

x_{2} = \frac{2 \cdot 3 , 5578 + 45/3 , 557 8 ^{2}}{3} \approx 3, 5567

Vậy sau hai bước lặp, $345 \approx 3, 557$ , đúng đến độ chính xác $0, 005$ yêu cầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (hoặc làm bài có MTCT) dùng Cách 1: bấm máy một lần ra ngay

3, 557

, nhanh và chắc chắn đạt độ chính xác

0, 005

; Cách 2, 3 chỉ dùng để kiểm tra lại khi nghi ngờ bấm nhầm phím.

Đáp số.

345 \approx 3, 557

Sai lầm thường gặp. Bấm nhầm thành

45

(căn bậc hai) do quên chọn chỉ số

3

trên máy, ra kết quả

6, 708

sai hẳn; hoặc làm tròn quá thô thành

3, 6

khiến sai số

0, 043

vượt xa yêu cầu

0, 005

🚀 Mở rộng. Cùng cách kẹp ở Cách 2, ước lượng nhanh

3100

: vì

4^{3} = 64 < 100 < 125 = 5^{3}

nên

3100

nằm giữa

4

và

5

, gần với

4, 64

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Thử thách nhỏ★Trang 61— Nhận biết lập phương đúng — liên hệ thể tích và cạnh khối lập phương lớn

Thử thách nhỏ (trang 61). Có thể xếp

125

khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng

1

cm) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?

Kiến thức cần nhớ

Khối lập phương cạnh $n$ (đơn vị) chứa đúng $n^{3}$ khối lập phương đơn vị.
$125 = 5^{3}$ nên $3125 = 5$ .
Số khối đơn vị xếp thành khối lớn phải là một lập phương đúng.

🧠 Phân tích tư duy

Xếp được thành một khối lập phương lớn khi và chỉ khi tổng số khối nhỏ là một lập phương đúng

n^{3}

, vì khối lớn cạnh

n

chứa đúng

n^{3}

khối đơn vị. Vậy chỉ cần kiểm tra

125

có phải là lập phương của một số nguyên hay không. Bẫy là nhầm sang xét căn bậc hai của

125

thay vì căn bậc ba.

1Cách 1. Kiểm tra trực tiếp bằng phép nhân

Định hướng. Thử xem $125$ có bằng lập phương của một số nguyên nào không bằng cách nhân trực tiếp.

5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125

Vậy $125 = 5^{3}$ nên xếp được thành khối lập phương lớn cạnh $5$ cm.

2Cách 2. Dùng căn bậc ba

Định hướng. Nếu xếp được, cạnh khối lớn $n$ (cm) phải thoả $n^{3} = 125$ , tức $n = 3125$ ; chỉ cần $n$ là số nguyên dương thì xếp được.

n^{3} = 125

n = 3125

5^{3} = 125

nên

n = 5

Vậy $n = 5$ là số nguyên dương nên xếp được, khối lớn có cạnh $5$ cm.

3Cách 3. Phân tích thừa số nguyên tố

Định hướng. Phân tích $125$ ra thừa số nguyên tố; xếp được thành khối lập phương khi số mũ của mỗi thừa số chia hết cho $3$ .

125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^{3}

Số mũ của

5

là

3

, chia hết cho

3

Vậy $125$ là lập phương đúng nên xếp được thành khối lập phương cạnh $5$ cm.

Nhận xét. Nếu số khối đổi thành $100$ (không phải lập phương đúng) thì không thể xếp thành khối lập phương lớn nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân nhẩm

5 \times 5 \times 5 = 125

nhanh gọn, khỏi cần viết kí hiệu căn bậc ba.

Đáp số. Xếp được, khối lập phương lớn có cạnh

5

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhầm sang tính

125

(căn bậc hai) ra số không nguyên rồi kết luận sai là không xếp được; thực chất phải xét căn bậc ba vì đang xếp khối theo ba chiều.

🚀 Mở rộng. Cùng cách kiểm tra này,

1000

khối lập phương đơn vị xếp được thành khối lớn cạnh

10

cm (vì

1000 = 1 0^{3}

), còn

100

khối thì không xếp được thành khối lập phương nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 3★★Trang 62— Tính giá trị căn thức bậc ba tại một điểm; rút gọn căn thức bậc ba bằng hằng đẳng thức lập phương

Luyện tập 3 (trang 62). a) Tính giá trị của căn thức

3 5 x - 1

tại

x = 0

và tại

x = - 1, 4

.
b) Rút gọn biểu thức

3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $a$ : $3 a^{3} = a$ (không cần điều kiện dấu của $a$ ).
Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
Thay giá trị biến vào căn thức rồi tính bình thường như một biểu thức số.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) chỉ là thay số vào biểu thức trong căn rồi khai căn bậc ba, không cần điều kiện gì (khác căn bậc hai). Ý b) có dấu hiệu của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

với

b = 1

— nhận ra dạng này thì rút gọn ngay không cần khai triển ngược. Bẫy ở ý b) là nhầm dấu, tưởng đó là lập phương của tổng

(x + 1)^{3}

thay vì hiệu

(x - 1)^{3}

1Cách 1. Thay số trực tiếp; nhận diện hằng đẳng thức

Định hướng. Với a) thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào biểu thức trong căn rồi khai căn bậc ba; với b) nhận ra biểu thức dưới căn đúng là khai triển của $(x - 1)^{3}$ .

x = 0

5 \cdot 0 - 1 = - 1

;

3 - 1 = - 1

x = - 1, 4

5 \cdot (- 1, 4) - 1 = - 8

;

3 - 8 = - 2

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = (x - 1)^{3}

3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 3 (x - 1)^{3} = x - 1

Vậy tại $x = 0$ căn thức bằng $- 1$ , tại $x = - 1, 4$ căn thức bằng $- 2$ ; biểu thức rút gọn được $x - 1$ .

2Cách 2. Khai triển đa thức trực tiếp để kiểm chứng

Định hướng. Với a) coi $3 5 x - 1$ là hàm theo $x$ ; với b) kiểm chứng hằng đẳng thức bằng cách nhân trực tiếp $(x - 1) (x - 1) (x - 1)$ thay vì nhớ công thức có sẵn.

x = 0 \Rightarrow 5 x - 1 = - 1 \Rightarrow 3 - 1 = - 1

x = - 1, 4 \Rightarrow 5 x - 1 = - 8 \Rightarrow 3 - 8 = - 2

(x - 1) (x - 1) = x^{2} - 2 x + 1

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 3 (x - 1)^{3} = x - 1

Vậy kết quả không đổi: $- 1$ ; $- 2$ ; và biểu thức rút gọn là $x - 1$ .

3Cách 3. Kiểm tra ngược bằng phép nâng luỹ thừa và thử giá trị

Định hướng. Với a) kiểm lại bằng cách nâng lập phương giá trị vừa tìm được; với b) thử vài giá trị cụ thể của $x$ để kiểm tra công thức rút gọn $x - 1$ .

(- 1)^{3} = - 1

đúng với

5 \cdot 0 - 1 = - 1

(- 2)^{3} = - 8

đúng với

5 \cdot (- 1, 4) - 1 = - 8

b) thử

x = 2

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1

;

31 = 1 = 2 - 1

thử

x = - 1

- 1 - 3 - 3 - 1 = - 8

;

3 - 8 = - 2 = - 1 - 1

Vậy hai giá trị ở câu a) được xác nhận đúng, và công thức rút gọn $x - 1$ ở câu b) khớp với cả hai phép thử.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra lại kết quả, không thay được lời giải chính (Cách 1) khi trình bày bài làm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số một lần rồi khai căn cho câu a), nhận diện hằng đẳng thức lập phương ngay cho câu b) — ngắn và chắc chắn nhất.

Đáp số. a)

- 1

tại

x = 0

;

- 2

tại

x = - 1, 4

. b)

3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x - 1

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) nhầm dấu, viết nhanh thành

(x + 1)^{3}

nên rút gọn sai ra

x + 1

; kiểm tra thử

x = 0

: biểu thức gốc

= - 1

mà

x + 1 = 1 \neq = - 1

, lộ ngay chỗ sai.

🚀 Mở rộng. Đổi hằng đẳng thức sang lập phương của tổng:

3 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = x + 1

— đúng như Ví dụ 4 trong SGK đã minh hoạ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.23★Trang 62— Tính căn bậc ba của số nguyên và số thập phân

Bài 3.23 (trang 62). Tính: a)

3216

; b)

3 - 512

; c)

3 - 0, 001

; d)

3 1, 331

Kiến thức cần nhớ

$3 a^{3} = a$ với mọi số thực $a$ (kể cả $a$ âm).
Muốn nhận ra lập phương đúng, phân tích số ra thừa số nguyên tố rồi nhóm theo bộ ba.
$1, 1^{3} = 1, 331$ ; các luỹ thừa bậc ba quen thuộc của $6$ , $8$ là $216$ , $512$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn số đều là lập phương đúng của một số hữu tỉ, nên chỉ cần nhận diện đúng cơ số. Với số càng lớn (như

216

512

) nên phân tích ra thừa số nguyên tố để tránh đoán sai; với số thập phân nên đưa về phân số thập phân trước. Bẫy ở câu b), c) là dấu âm — phải giữ nguyên dấu trừ ở kết quả.

1Cách 1. Nhận diện trực tiếp

Định hướng. Bốn số đều là lập phương của số hữu tỉ quen thuộc, nhận ra ngay bằng phép nhân nhẩm.

6^{3} = 216

nên

3216 = 6

8^{3} = 512

nên

3 - 512 = - 8

0, 1^{3} = 0, 001

nên

3 - 0, 001 = - 0, 1

1, 1^{3} = 1, 331

nên

3 1, 331 = 1, 1

Vậy $3216 = 6$ ; $3 - 512 = - 8$ ; $3 - 0, 001 = - 0, 1$ ; $3 1, 331 = 1, 1$ .

2Cách 2. Phân tích thừa số nguyên tố

Định hướng. Với số lớn như $216$ , $512$ nên phân tích ra thừa số nguyên tố để chắc chắn không đoán nhầm cơ số.

216 = 2^{3} \cdot 3^{3} = (2 \cdot 3)^{3} = 6^{3} \Rightarrow 3216 = 6

512 = 2^{9} = (2^{3})^{3} = 8^{3} \Rightarrow 3 - 512 = - 8

- 0, 001 = - \frac{1}{1000} = - (\frac{1}{10})^{3} \Rightarrow 3 - 0, 001 = - 0, 1

1, 331 = \frac{1331}{1000} = \frac{1 1 ^{3}}{1 0 ^{3}} = (\frac{11}{10})^{3} \Rightarrow 3 1, 331 = 1, 1

Vậy kết quả khớp với Cách 1: $6$ ; $- 8$ ; $- 0, 1$ ; $1, 1$ .

3Cách 3. Tách dấu rồi khai căn số dương

Định hướng. Với các số âm ở câu b), c), tách riêng dấu trừ ra ngoài rồi khai căn số dương bên trong, tránh nhầm dấu.

3216 = 3 6^{3} = 6

3 - 512 = - 3512 = - 3 8^{3} = - 8

3 - 0, 001 = - 3 0, 001 = - 3 0, 1^{3} = - 0, 1

3 1, 331 = 3 1, 1^{3} = 1, 1

Vậy bốn kết quả đều thống nhất: $6$ ; $- 8$ ; $- 0, 1$ ; $1, 1$ .

Nhận xét. Cách 3 đặc biệt an toàn khi số dưới căn âm, vì tách dấu trước giúp không quên dấu trừ ở kết quả cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ sẵn vài lập phương quen thuộc (

6^{3} = 216

8^{3} = 512

1, 1^{3} = 1, 331

) rồi đọc kết quả ngay, nhanh hơn hẳn phân tích thừa số nguyên tố.

Đáp số. a)

6

; b)

- 8

; c)

- 0, 1

; d)

1, 1

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), c) hay bị mất dấu trừ, viết

3 - 512 = 8

thay vì

- 8

; cũng có bạn tưởng căn bậc ba của số âm không tồn tại (nhầm với căn bậc hai) nên bỏ trống câu b), c).

🚀 Mở rộng. Cùng cách phân tích ở Cách 2, có thể mở rộng tính nhanh

31728

1728 = 1 2^{3}

nên bằng

12

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.24★Trang 62— Tính gần đúng căn bậc ba bằng MTCT và làm tròn

Bài 3.24 (trang 62). Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai): a)

3 2, 1

; b)

3 - 18

; c)

3 - 28

; d)

3 0, 35

Kiến thức cần nhớ

MTCT tính $3 N$ bằng SHIFT, $3$ , nhập $N$ , dấu bằng, nhận cả $N$ âm.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai nghĩa là giữ hai chữ số sau dấu phẩy.
Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp giúp kiểm tra nhanh khoảng giá trị trước khi tin kết quả máy bấm.

🧠 Phân tích tư duy

Không số nào trong bốn số là lập phương đúng nên buộc phải dùng MTCT hoặc ước lượng gần đúng. Với số âm, MTCT căn bậc ba vẫn nhận và trả về kết quả âm — khác hẳn máy tính căn bậc hai. Bẫy là làm tròn sai vị trí (làm tròn đến hàng phần mười thay vì phần trăm như đề yêu cầu).

1Cách 1. Bấm MTCT trực tiếp

Định hướng. Bấm thẳng tổ hợp phím căn bậc ba cho từng số rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

3 2, 1 \approx 1, 280579

3 - 18 \approx - 2, 620741

3 - 28 \approx - 3, 036589

3 0, 35 \approx 0, 704730

Vậy $3 2, 1 \approx 1, 28$ ; $3 - 18 \approx - 2, 62$ ; $3 - 28 \approx - 3, 04$ ; $3 0, 35 \approx 0, 70$ .

2Cách 2. Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp để kiểm tra khoảng

Định hướng. Trước khi tin kết quả máy bấm, kẹp mỗi số giữa hai lập phương nguyên liên tiếp để chắc chắn đáp số nằm đúng khoảng.

1^{3} = 1 < 2, 1 < 8 = 2^{3}

nên

1 < 3 2, 1 < 2

(- 3)^{3} = - 27 < - 18 < - 8 = (- 2)^{3}

nên

- 3 < 3 - 18 < - 2

(- 4)^{3} = - 64 < - 28 < - 27 = (- 3)^{3}

nên

- 4 < 3 - 28 < - 3

0, 5^{3} = 0, 125 < 0, 35 < 1 = 1^{3}

nên

0, 5 < 3 0, 35 < 1

Vậy kết quả bấm máy ở Cách 1 đều nằm đúng trong các khoảng vừa kẹp, xác nhận không bấm nhầm phím.

3Cách 3. Tách dấu trước khi bấm máy

Định hướng. Với loại MTCT không cho nhập trực tiếp số âm dưới căn bậc ba, tách dấu trừ ra ngoài trước rồi mới bấm căn của số dương.

3 - 18 = - 318 \approx - 2, 620741

3 - 28 = - 328 \approx - 3, 036589

a), d) là số dương nên bấm trực tiếp như Cách 1

Vậy kết quả trùng khớp: $- 2, 62$ và $- 3, 04$ ; cách này chỉ khác thao tác bấm máy, không khác kết quả.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi loại máy tính đang dùng không cho nhập số âm trực tiếp dưới dấu căn bậc ba.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bấm máy trực tiếp cho cả bốn ý, nhanh và chính xác; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh khi nghi ngờ bấm nhầm.

Đáp số. a)

\approx 1, 28

; b)

\approx - 2, 62

; c)

\approx - 3, 04

; d)

\approx 0, 70

Sai lầm thường gặp. Làm tròn nhầm đến hàng phần mười (ví dụ ghi

1, 3

thay vì

1, 28

), sai yêu cầu đề bài; hoặc quên giữ số

0

ở cuối (viết

0, 7

thay vì

0, 70

theo đúng hai chữ số thập phân).

🚀 Mở rộng. Với những số dưới căn cực lớn như

31000000

, có thể ước lượng nhanh không cần máy vì

10 0^{3} = 1000000

, kết quả đúng bằng

100

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 3.25★★Trang 62— Ước lượng cạnh hình lập phương từ thể tích cho trước — bài toán thực tế

Bài 3.25 (trang 62). Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng

730

^{3}

. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu dm?

Kiến thức cần nhớ

Thể tích hình lập phương cạnh $a$ là $V = a^{3}$ , suy ra $a = 3 V$ .
Muốn ước lượng căn bậc ba, tìm số nguyên $n$ có $n^{3}$ gần với số dưới căn nhất.
$9^{3} = 729$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu ƯỚC LƯỢNG (không đòi số chính xác tuyệt đối), và

730

không phải lập phương đúng — dấu hiệu phải tìm số nguyên gần nhất có lập phương gần

730

nhất. Nhận ra

9^{3} = 729

rất gần

730

là chìa khoá để trả lời nhanh mà không cần MTCT. Bẫy là cố tính chính xác tuyệt đối

3730

rồi mất công làm tròn không cần thiết.

1Cách 1. Nhận diện số lập phương gần đúng

Định hướng. So $730$ với lập phương của các số nguyên lân cận để chọn số gần nhất.

8^{3} = 512

9^{3} = 729

1 0^{3} = 1000

729

gần

730

nhất trong ba lập phương này (chỉ lệch

1

)

Vậy cạnh thùng ước lượng khoảng $9$ dm.

2Cách 2. Dùng MTCT tính chính xác rồi làm tròn

Định hướng. Tính $3730$ bằng MTCT rồi làm tròn đến số nguyên gần nhất để có ước lượng.

a = 3730

Bấm SHIFT

3

7

3

0

=
Màn hình hiện

a \approx 9, 0041

Vậy cạnh thùng khoảng $9$ dm, đúng như ước lượng ở Cách 1.

3Cách 3. Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp

Định hướng. Không cần máy tính, chỉ cần kẹp $730$ giữa hai lập phương liên tiếp để xác định cạnh nằm trong khoảng nào rồi chọn số gần hơn.

729 = 9^{3} < 730 < 1000 = 1 0^{3}

730

chỉ hơn

729

đúng

1

đơn vị, còn cách

1000

tới

270

đơn vị
nên

730

rất gần

9^{3}

Vậy cạnh thùng ước lượng khoảng $9$ dm.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả ước lượng $9$ dm; thực tế người thợ sẽ làm tròn lên một chút để chắc chắn chứa đủ $730$ dm $^{3}$ nước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ

9^{3} = 729

gần

730

là trả lời được ngay, không cần MTCT hay tính chính xác

3730

Đáp số. Cạnh thùng ước lượng khoảng

9

dm.

Sai lầm thường gặp. Cố tính

3730

ra số thập phân dài rồi phân vân không biết làm tròn thế nào, trong khi đề chỉ cần ƯỚC LƯỢNG dựa vào lập phương gần nhất; hoặc nhầm đơn vị thể tích (dm

^{3}

) sang lít mà không đổi lại.

🚀 Mở rộng. Nếu thể tích thùng là

1000

^{3}

thì cạnh đúng bằng

10

dm; còn nếu là

800

^{3}

, vì

9^{3} = 729 < 800 < 1000 = 1 0^{3}

nên cạnh ước lượng nằm giữa

9

và

10

dm, gần

9, 3

dm hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 3.26★★Trang 62— Rút gọn căn thức bậc ba của một luỹ thừa bậc ba, và luỹ thừa bậc ba của một căn thức bậc ba

Bài 3.26 (trang 62). Rút gọn các biểu thức sau: a)

3 (1 - 2)^{3}

; b)

3 (22 + 1)^{3}

; c)

(3 2 + 1)^{3}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $A$ : $3 A^{3} = A$ (không cần trị tuyệt đối, khác căn bậc hai $A^{2} = ∣ A ∣$ ).
Với mọi số thực $A$ : $(3 A)^{3} = A$ .
$1 - 2 < 0$ vì $2 \approx 1, 414 > 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba biểu thức đều có dạng

3 A^{3}

hoặc

(3 A)^{3}

— dấu hiệu áp dụng trực tiếp tính chất hai phép toán căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba triệt tiêu nhau với MỌI số thực, không cần điều kiện dấu. Câu a) có

1 - 2

âm nhưng không sao vì căn bậc ba nhận cả số âm — khác hẳn quy tắc

A^{2} = ∣ A ∣

của căn bậc hai. Bẫy lớn nhất là mang nhầm quy tắc trị tuyệt đối của căn bậc hai sang áp cho câu a).

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất

3 A^{3} = A

Định hướng. Cả ba biểu thức đúng dạng công thức $3 A^{3} = A$ hoặc $(3 A)^{3} = A$ , áp dụng thẳng không cần biến đổi thêm.

3 (1 - 2)^{3} = 1 - 2

3 (22 + 1)^{3} = 22 + 1

(3 2 + 1)^{3} = 2 + 1

Vậy a) rút gọn còn $1 - 2$ ; b) còn $22 + 1$ ; c) còn $2 + 1$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ để tránh nhầm với căn bậc hai

Định hướng. Đặt $A$ là biểu thức bên trong, viết lại bài toán thành $3 A^{3}$ tổng quát trước, tránh nhìn trực tiếp dấu căn lồng nhau dễ gây nhầm lẫn.

a) Đặt

A = 1 - 2

, biểu thức là

3 A^{3}

; theo tính chất

3 A^{3} = A

với mọi

A

nên biểu thức

= A = 1 - 2

b) Đặt

B = 22 + 1

, biểu thức

3 B^{3} = B = 22 + 1

c) Đặt

C = 2 + 1

, biểu thức

(3 C)^{3} = C = 2 + 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $1 - 2$ ; $22 + 1$ ; $2 + 1$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng giá trị gần đúng hai vế

Định hướng. Tính giá trị thập phân gần đúng của vế trái và vế phải để kiểm chứng phép rút gọn, đặc biệt hữu ích cho câu a) có dấu âm dễ nhầm.

1 - 2 \approx - 0, 414

;

(- 0, 414)^{3} \approx - 0, 0710

;

3 - 0, 0710 \approx - 0, 414

khớp

1 - 2

22 + 1 \approx 3, 828

;

3 3, 82 8^{3} \approx 3, 828

khớp

22 + 1

2 + 1 \approx 2, 414

;

(3 2, 414)^{3} \approx 2, 414

khớp

2 + 1

Vậy cả ba kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng số gần đúng.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra, không thay được lời giải đại số (Cách 1) khi trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức

3 A^{3} = A

, chỉ một dòng cho mỗi câu, không cần đặt ẩn phụ hay tính số gần đúng.

Đáp số. a)

1 - 2

; b)

22 + 1

; c)

2 + 1

Sai lầm thường gặp. Câu a) hay bị đổi thành trị tuyệt đối, viết nhầm

3 (1 - 2)^{3} = 2 - 1

(mang quy tắc

A^{2} = ∣ A ∣

của căn bậc hai sang áp sai cho căn bậc ba); thực ra căn bậc ba giữ nguyên dấu của

A

nên kết quả đúng là

1 - 2

(âm).

🚀 Mở rộng. Từ tính chất này suy ra ngay

3 - 1000 = 3 (- 10)^{3} = - 10

mà không cần phân tích thừa số nguyên tố.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 3.27★★Trang 62— Rút gọn căn thức bậc ba bằng hằng đẳng thức lập phương của một hiệu, rồi tính giá trị

Bài 3.27 (trang 62). Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

3 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1

tại

x = 7

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ .
$3 A^{3} = A$ với mọi số thực $A$ .
Nên rút gọn biểu thức đại số trước khi thay số, tránh tính với số lớn.

🧠 Phân tích tư duy

Ba hệ số

27

27

9

1

đi kèm luỹ thừa giảm dần của

x

là dấu hiệu quen thuộc của hằng đẳng thức lập phương của hiệu

(a - b)^{3}

với

a = 3 x

b = 1

. Nên nhận diện và đưa về dạng

(3 x - 1)^{3}

trước, thay vì thay

x = 7

ngay vào biểu thức cồng kềnh dưới căn. Bẫy là thay số trước khi rút gọn, phải tính

27 \cdot 7^{3}

rất dễ sai số.

1Cách 1. Nhận diện hằng đẳng thức, rút gọn trước rồi thay số sau

Định hướng. Nhận ra $27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$ đúng là khai triển của $(3 x - 1)^{3}$ với $a = 3 x$ , $b = 1$ , rút gọn trước rồi mới thay $x = 7$ .

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 = (3 x)^{3} - 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 x \cdot 1^{2} - 1^{3} = (3 x - 1)^{3}

3 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 = 3 (3 x - 1)^{3} = 3 x - 1

Tại

x = 7

3 \cdot 7 - 1 = 21 - 1 = 20

Vậy biểu thức rút gọn còn $3 x - 1$ , và tại $x = 7$ giá trị bằng $20$ .

2Cách 2. Khai triển

(3 x - 1)^{3}

bằng phép nhân trực tiếp để kiểm chứng

Định hướng. Kiểm chứng lại hằng đẳng thức bằng cách nhân trực tiếp $(3 x - 1) (3 x - 1) (3 x - 1)$ thay vì áp công thức có sẵn.

(3 x - 1) (3 x - 1) = 9 x^{2} - 6 x + 1

(9 x^{2} - 6 x + 1) (3 x - 1) = 27 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x^{2} + 6 x + 3 x - 1

= 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1

trùng đúng biểu thức dưới căn

3 27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 = 3 x - 1

Tại

x = 7

3 x - 1 = 20

Vậy kết quả trùng Cách 1: biểu thức rút gọn $3 x - 1$ , giá trị tại $x = 7$ là $20$ .

3Cách 3. Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc rồi khai căn

Định hướng. Thay thẳng $x = 7$ vào biểu thức dưới căn rồi khai căn bậc ba số cụ thể, dùng để kiểm tra kết quả của Cách 1.

27 \cdot 7^{3} - 27 \cdot 7^{2} + 9 \cdot 7 - 1

= 27 \cdot 343 - 27 \cdot 49 + 63 - 1

= 9261 - 1323 + 63 - 1

= 8000

38000 = 3 2 0^{3} = 20

Vậy giá trị biểu thức tại $x = 7$ bằng $20$ , khớp với kết quả rút gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 tuy ra đúng đáp số nhưng phải tính với số rất lớn ( $9261$ , $1323$ ); rút gọn trước như Cách 1 luôn an toàn và nhanh hơn khi $x$ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện hằng đẳng thức lập phương của hiệu, rút gọn về

3 x - 1

trước rồi mới thay số — tránh hẳn việc tính luỹ thừa bậc ba của số lớn như

7^{3}

Đáp số. Biểu thức rút gọn

3 x - 1

; tại

x = 7

giá trị bằng

20

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 7

ngay vào biểu thức gốc rồi tính từng hạng tử lớn dễ sai dấu hoặc sai phép nhân (ví dụ nhầm

27 \cdot 7^{2} = 1272

thay vì

1323

); hoặc nhận nhầm hằng đẳng thức thành lập phương của tổng

(3 x + 1)^{3}

do không để ý dấu trừ ở hạng tử

- 27 x^{2}

🚀 Mở rộng. Đổi hệ số thành

3 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

(ứng với

(2 x - 1)^{3}

) rồi luyện nhận diện

a = 2 x

b = 1

theo cùng cách này.

Mở bài này trong app ↗