Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Định hướng. Thể tích $27$, $64$ không lớn nên thử lần lượt lập phương của các số nguyên nhỏ là nhanh nhất.

Vậy hàng thứ hai có $x=3$ (vì $3^3=27$), hàng thứ ba có $x=4$ (vì $4^3=64$).

Định hướng. Từ $V=x^3$ suy ra $x$ chính là căn bậc ba của $V$, nên tính trực tiếp bằng kí hiệu $\sqrt[3]{}$.

Vậy $x=3$ khi $V=27$ và $x=4$ khi $V=64$.

Định hướng. Phân tích $V$ ra thừa số nguyên tố rồi nhóm theo bộ ba giống nhau, mỗi bộ ba cho một thừa số của cạnh $x$.

Vậy $x=3$ và $x=4$.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một phép khai căn bậc ba; Cách 1 nhanh cho số nhỏ, Cách 3 hữu ích khi số lớn không đoán ngay được.

Định hướng. Mỗi số dưới căn đều là lập phương của một số hữu tỉ quen thuộc, nhận ra ngay không cần biến đổi.

Vậy $\sqrt[3]{125}=5$; $\sqrt[3]{0,008}=0,2$; $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=-\frac{2}{3}$.

Định hướng. Phân tích số dưới căn ra tích các thừa số giống nhau theo nhóm ba để lộ rõ cơ số.

Vậy kết quả không đổi: $5$; $0,2$; $-\frac{2}{3}$.

Định hướng. Dùng tính chất $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$ và $\sqrt[3]{a/b}=\sqrt[3]{a}/\sqrt[3]{b}$ để đưa về căn của số dương rồi khai từng phần, tiện nhất cho câu c).

Vậy $\sqrt[3]{125}=5$; $\sqrt[3]{0,008}=0,2$; $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=-\frac{2}{3}$.

Nhận xét. Cách 3 tách dấu và tách phân số trước, an toàn nhất khi số dưới căn có dấu âm và ở dạng phân số.

Định hướng. Đây là cách chuẩn SGK yêu cầu: bấm thẳng tổ hợp phím căn bậc ba trên máy tính.

Vậy $\sqrt[3]{45}\approx 3,557$ (đã đạt độ chính xác $0,005$).

Định hướng. Không có máy tính vẫn ước lượng được bằng cách kẹp $45$ giữa hai lập phương liền kề rồi nội suy theo tỉ lệ.

Vậy ước lượng $\sqrt[3]{45}\approx 3,5$, đúng khoảng với kết quả MTCT.

Nhận xét. Nội suy tuyến tính chỉ cho kết quả gần đúng thô ($3,49$ so với $3,557$ thật), nên chỉ dùng để kiểm tra máy bấm có đúng khoảng hay không, không thay được Cách 1 khi cần độ chính xác $0,005$.

Định hướng. Dùng phép lặp $x_{n+1}=\frac{2x_n+45/x_n^2}{3}$ xuất phát từ ước lượng $x_0=3,5$ để tính chính xác dần mà không cần bấm phím căn bậc ba trực tiếp.

Vậy sau hai bước lặp, $\sqrt[3]{45}\approx 3,557$, đúng đến độ chính xác $0,005$ yêu cầu.

Định hướng. Thử xem $125$ có bằng lập phương của một số nguyên nào không bằng cách nhân trực tiếp.

Vậy $125=5^3$ nên xếp được thành khối lập phương lớn cạnh $5$ cm.

Định hướng. Nếu xếp được, cạnh khối lớn $n$ (cm) phải thoả $n^3=125$, tức $n=\sqrt[3]{125}$; chỉ cần $n$ là số nguyên dương thì xếp được.

Vậy $n=5$ là số nguyên dương nên xếp được, khối lớn có cạnh $5$ cm.

Định hướng. Phân tích $125$ ra thừa số nguyên tố; xếp được thành khối lập phương khi số mũ của mỗi thừa số chia hết cho $3$.

Vậy $125$ là lập phương đúng nên xếp được thành khối lập phương cạnh $5$ cm.

Nhận xét. Nếu số khối đổi thành $100$ (không phải lập phương đúng) thì không thể xếp thành khối lập phương lớn nào.

Định hướng. Với a) thay lần lượt từng giá trị của $x$ vào biểu thức trong căn rồi khai căn bậc ba; với b) nhận ra biểu thức dưới căn đúng là khai triển của $(x-1{)}^3$.

Vậy tại $x=0$ căn thức bằng $-1$, tại $x=-1,4$ căn thức bằng $-2$; biểu thức rút gọn được $x-1$.

Định hướng. Với a) coi $\sqrt[3]{5x-1}$ là hàm theo $x$; với b) kiểm chứng hằng đẳng thức bằng cách nhân trực tiếp $(x-1)(x-1)(x-1)$ thay vì nhớ công thức có sẵn.

Vậy kết quả không đổi: $-1$; $-2$; và biểu thức rút gọn là $x-1$.

Định hướng. Với a) kiểm lại bằng cách nâng lập phương giá trị vừa tìm được; với b) thử vài giá trị cụ thể của $x$ để kiểm tra công thức rút gọn $x-1$.

Vậy hai giá trị ở câu a) được xác nhận đúng, và công thức rút gọn $x-1$ ở câu b) khớp với cả hai phép thử.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra lại kết quả, không thay được lời giải chính (Cách 1) khi trình bày bài làm.

Định hướng. Bốn số đều là lập phương của số hữu tỉ quen thuộc, nhận ra ngay bằng phép nhân nhẩm.

Vậy $\sqrt[3]{216}=6$; $\sqrt[3]{-512}=-8$; $\sqrt[3]{-0,001}=-0,1$; $\sqrt[3]{1,331}=1,1$.

Định hướng. Với số lớn như $216$, $512$ nên phân tích ra thừa số nguyên tố để chắc chắn không đoán nhầm cơ số.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: $6$; $-8$; $-0,1$; $1,1$.

Định hướng. Với các số âm ở câu b), c), tách riêng dấu trừ ra ngoài rồi khai căn số dương bên trong, tránh nhầm dấu.

Vậy bốn kết quả đều thống nhất: $6$; $-8$; $-0,1$; $1,1$.

Nhận xét. Cách 3 đặc biệt an toàn khi số dưới căn âm, vì tách dấu trước giúp không quên dấu trừ ở kết quả cuối.

Định hướng. Bấm thẳng tổ hợp phím căn bậc ba cho từng số rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

Vậy $\sqrt[3]{2,1}\approx 1,28$; $\sqrt[3]{-18}\approx -2,62$; $\sqrt[3]{-28}\approx -3,04$; $\sqrt[3]{0,35}\approx 0,70$.

Định hướng. Trước khi tin kết quả máy bấm, kẹp mỗi số giữa hai lập phương nguyên liên tiếp để chắc chắn đáp số nằm đúng khoảng.

Vậy kết quả bấm máy ở Cách 1 đều nằm đúng trong các khoảng vừa kẹp, xác nhận không bấm nhầm phím.

Định hướng. Với loại MTCT không cho nhập trực tiếp số âm dưới căn bậc ba, tách dấu trừ ra ngoài trước rồi mới bấm căn của số dương.

Vậy kết quả trùng khớp: $-2,62$ và $-3,04$; cách này chỉ khác thao tác bấm máy, không khác kết quả.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi loại máy tính đang dùng không cho nhập số âm trực tiếp dưới dấu căn bậc ba.

Định hướng. So $730$ với lập phương của các số nguyên lân cận để chọn số gần nhất.

Vậy cạnh thùng ước lượng khoảng $9$ dm.

Định hướng. Tính $\sqrt[3]{730}$ bằng MTCT rồi làm tròn đến số nguyên gần nhất để có ước lượng.

Vậy cạnh thùng khoảng $9$ dm, đúng như ước lượng ở Cách 1.

Định hướng. Không cần máy tính, chỉ cần kẹp $730$ giữa hai lập phương liên tiếp để xác định cạnh nằm trong khoảng nào rồi chọn số gần hơn.

Vậy cạnh thùng ước lượng khoảng $9$ dm.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả ước lượng $9$ dm; thực tế người thợ sẽ làm tròn lên một chút để chắc chắn chứa đủ $730$ dm${}^3$ nước.

Định hướng. Cả ba biểu thức đúng dạng công thức $\sqrt[3]{A^3}=A$ hoặc ${\left(\sqrt[3]{A}\right)}^3=A$, áp dụng thẳng không cần biến đổi thêm.

Vậy a) rút gọn còn $1-\sqrt{2}$; b) còn $2\sqrt{2}+1$; c) còn $\sqrt{2}+1$.

Định hướng. Đặt $A$ là biểu thức bên trong, viết lại bài toán thành $\sqrt[3]{A^3}$ tổng quát trước, tránh nhìn trực tiếp dấu căn lồng nhau dễ gây nhầm lẫn.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $1-\sqrt{2}$; $2\sqrt{2}+1$; $\sqrt{2}+1$.

Định hướng. Tính giá trị thập phân gần đúng của vế trái và vế phải để kiểm chứng phép rút gọn, đặc biệt hữu ích cho câu a) có dấu âm dễ nhầm.

Vậy cả ba kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng bằng số gần đúng.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra, không thay được lời giải đại số (Cách 1) khi trình bày.

Định hướng. Nhận ra $27x^3-27x^2+9x-1$ đúng là khai triển của $(3x-1{)}^3$ với $a=3x$, $b=1$, rút gọn trước rồi mới thay $x=7$.

Vậy biểu thức rút gọn còn $3x-1$, và tại $x=7$ giá trị bằng $20$.

Định hướng. Kiểm chứng lại hằng đẳng thức bằng cách nhân trực tiếp $(3x-1)(3x-1)(3x-1)$ thay vì áp công thức có sẵn.

Vậy kết quả trùng Cách 1: biểu thức rút gọn $3x-1$, giá trị tại $x=7$ là $20$.

Định hướng. Thay thẳng $x=7$ vào biểu thức dưới căn rồi khai căn bậc ba số cụ thể, dùng để kiểm tra kết quả của Cách 1.

Vậy giá trị biểu thức tại $x=7$ bằng $20$, khớp với kết quả rút gọn ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 tuy ra đúng đáp số nhưng phải tính với số rất lớn ($9261$, $1323$); rút gọn trước như Cách 1 luôn an toàn và nhanh hơn khi $x$ lớn.