Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.1★Trang 45— Tính sin và côsin của góc nhọn trong tam giác vuông

Bài 4.1 (trang 45). a) Vẽ tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 3

cm,

A C = 4

cm. Tính

B C

sin B

cos B

.
b) Vẽ tam giác

M N P

vuông tại

M

M N = 6

cm,

M P = 8

cm. Hỏi hai tam giác

A B C

M N P

có đồng dạng không? Tính

sin N

cos N

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
$sin$ của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh huyền; $cos$ bằng cạnh kề chia cạnh huyền.
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ thì đồng dạng, các góc tương ứng bằng nhau nên tỉ số lượng giác của chúng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cạnh góc vuông mà lại hỏi tỉ số có cạnh huyền, nên phải tìm cạnh huyền bằng định lí Pythagore trước rồi mới lắp vào định nghĩa. Hai bộ số

3

4

5

và

6

8

10

là bộ ba Pythagore quen thuộc, nhận ra ngay thì khỏi phải khai căn. Bẫy nằm ở ý b): nhiều bạn tính lại từ đầu trong khi hai tam giác đồng dạng nên

N

bằng

B

, tỉ số lượng giác giữ nguyên.

1Cách 1. Pythagore tìm cạnh huyền rồi đọc thẳng định nghĩa

Định hướng. Cạnh huyền là mảnh còn thiếu duy nhất; có nó rồi thì $sin$ là đối trên huyền, $cos$ là kề trên huyền.

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 3^{2} + 4^{2}

B C^{2} = 9 + 16

B C^{2} = 25

B C = 5

(cm)

sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{5}

cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}

N P^{2} = M N^{2} + M P^{2}

N P^{2} = 6^{2} + 8^{2}

N P^{2} = 36 + 64

N P^{2} = 100

N P = 10

(cm)

\frac{A B}{M N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

\frac{A C}{M P} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

sin N = \frac{M P}{N P} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

cos N = \frac{M N}{N P} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Vậy $B C = 5$ cm và $sin B = \frac{4}{5}; cos B = \frac{3}{5}$ ; hai tam giác $A B C$ và $M N P$ đồng dạng, $sin N = \frac{4}{5}; cos N = \frac{3}{5}$ .

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng để khỏi tính lại ý b)

Định hướng. Hai cặp cạnh góc vuông cùng tỉ lệ $1 : 2$ nên hai tam giác đồng dạng; tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc độ lớn của góc nên chép lại được.

\frac{A B}{M N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

\frac{A C}{M P} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

A = M = 9 0^{\circ}

B = N

N P = 2 \cdot B C = 2 \cdot 5 = 10

(cm)

sin N = sin B = \frac{4}{5}

cos N = cos B = \frac{3}{5}

Vậy $N P = 10$ cm và $sin N = \frac{4}{5}; cos N = \frac{3}{5}$ .

3Cách 3. Đi vòng qua góc phụ nhau

Định hướng. Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau, nên tính tỉ số của góc $C$ rồi đổi vai trò $sin$ với $cos$ là ra góc $B$ .

B C = 5

(cm)

B + C = 9 0^{\circ}

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}

cos C = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{5}

sin B = cos C = \frac{4}{5}

cos B = sin C = \frac{3}{5}

N P = 10

(cm)

sin P = \frac{M N}{N P} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

cos P = \frac{M P}{N P} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

sin N = cos P = \frac{4}{5}

cos N = sin P = \frac{3}{5}

Vậy $sin B = sin N = \frac{4}{5}; cos B = cos N = \frac{3}{5}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả, và điều đó làm rõ một ý cốt lõi của bài học: tỉ số lượng giác không đổi khi tam giác vuông phóng to thu nhỏ, nó chỉ phụ thuộc số đo góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a) rồi chuyển sang Cách 2 cho ý b): chỉ mất hai dòng tỉ lệ là kết luận được đồng dạng và mượn luôn kết quả của ý a), không phải khai căn lần hai.

Đáp số. a)

B C = 5

cm;

sin B = \frac{4}{5}

;

cos B = \frac{3}{5}

· b) hai tam giác đồng dạng với tỉ số

\frac{1}{2}

;

N P = 10

cm;

sin N = \frac{4}{5}

;

cos N = \frac{3}{5}

Sai lầm thường gặp. Lẫn cạnh đối với cạnh kề nên viết

sin B = \frac{3}{5}

: cạnh đối của

B

là

A C = 4

cm chứ không phải

A B = 3

cm. Một lỗi nữa là tưởng tam giác

M N P

to gấp đôi thì

sin N

cũng gấp đôi

sin B

, ra

\frac{8}{5} > 1

, vô lí vì

sin

của góc nhọn luôn nhỏ hơn

1

🚀 Mở rộng. Với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

3 k

và

4 k

(

k > 0

) thì cạnh huyền luôn là

5 k

, nên

sin

và

cos

của hai góc nhọn không đổi theo

k

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.2★★Trang 45— Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Bài 4.2 (trang 45). a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn

α < 4 5^{\circ}

, ta có

sin (4 5^{\circ} - α) = cos (4 5^{\circ} + α)

và

cos (4 5^{\circ} - α) = sin (4 5^{\circ} + α)

.
b) Không dùng MTCT, tính

sin 2 5^{\circ} + sin 3 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ} - cos 4 5^{\circ} - cos 5 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $α + β = 9 0^{\circ}$ thì $sin α = cos β$ và $cos α = sin β$ .
Với mọi góc nhọn $α$ thì $sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ .
Hai góc nhọn của một tam giác vuông luôn phụ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu lộ ra ngay ở tổng hai góc:

(4 5^{\circ} - α) + (4 5^{\circ} + α) = 9 0^{\circ}

, đúng điều kiện của định lí hai góc phụ nhau. Ý b) cũng là cái bẫy ngược: sáu số hạng trông rời rạc nhưng

2 5^{\circ} + 6 5^{\circ}

3 5^{\circ} + 5 5^{\circ}

và

4 5^{\circ} + 4 5^{\circ}

đều bằng

9 0^{\circ}

. Chỉ cần ghép cặp đúng thì không phải tính một giá trị lượng giác nào.

1Cách 1. Kiểm tra tổng hai góc rồi dùng định lí góc phụ nhau

Định hướng. Cộng hai góc lại xem có bằng $9 0^{\circ}$ không, nếu có thì định lí hai góc phụ nhau cho ngay kết luận.

(4 5^{\circ} - α) + (4 5^{\circ} + α) = 9 0^{\circ}

sin (4 5^{\circ} - α) = cos (4 5^{\circ} + α)

cos (4 5^{\circ} - α) = sin (4 5^{\circ} + α)

cos 6 5^{\circ} = sin 2 5^{\circ}

cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}

cos 4 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ}

S = sin 2 5^{\circ} + sin 3 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ} - sin 4 5^{\circ} - sin 3 5^{\circ} - sin 2 5^{\circ}

S = (sin 2 5^{\circ} - sin 2 5^{\circ}) + (sin 3 5^{\circ} - sin 3 5^{\circ}) + (sin 4 5^{\circ} - sin 4 5^{\circ})

S = 0 + 0 + 0

S = 0

Vậy hai đẳng thức ở ý a) đúng và $S = 0$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ đưa về dạng

sin (9 0^{\circ} - β)

Định hướng. Gọi $β = 4 5^{\circ} + α$ thì $4 5^{\circ} - α$ chính là $9 0^{\circ} - β$ , bài toán quay về công thức gốc.

β = 4 5^{\circ} + α

9 0^{\circ} - β = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - α

9 0^{\circ} - β = 4 5^{\circ} - α

sin (4 5^{\circ} - α) = sin (9 0^{\circ} - β) = cos β = cos (4 5^{\circ} + α)

cos (4 5^{\circ} - α) = cos (9 0^{\circ} - β) = sin β = sin (4 5^{\circ} + α)

sin 2 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 2 0^{\circ}) = cos (4 5^{\circ} + 2 0^{\circ}) = cos 6 5^{\circ}

sin 3 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 1 0^{\circ}) = cos (4 5^{\circ} + 1 0^{\circ}) = cos 5 5^{\circ}

S = cos 6 5^{\circ} + cos 5 5^{\circ} + sin 4 5^{\circ} - cos 4 5^{\circ} - cos 5 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ}

S = sin 4 5^{\circ} - cos 4 5^{\circ}

S = \frac{2}{2} - \frac{2}{2}

S = 0

Vậy $S = 0$ .

3Cách 3. Đọc trực tiếp trên một tam giác vuông

Định hướng. Dựng tam giác vuông có hai góc nhọn đúng bằng $4 5^{\circ} - α$ và $4 5^{\circ} + α$ rồi đọc tỉ số cạnh, khỏi cần định lí.

a) Tam giác

A B C

vuông tại

A

B = 4 5^{\circ} - α

C = 9 0^{\circ} - B = 4 5^{\circ} + α

sin (4 5^{\circ} - α) = sin B = \frac{A C}{B C}

cos (4 5^{\circ} + α) = cos C = \frac{A C}{B C}

sin (4 5^{\circ} - α) = cos (4 5^{\circ} + α)

cos (4 5^{\circ} - α) = cos B = \frac{A B}{B C} = sin C = sin (4 5^{\circ} + α)

α = 2 0^{\circ}

cho

sin 2 5^{\circ} - cos 6 5^{\circ} = 0

α = 1 0^{\circ}

cho

sin 3 5^{\circ} - cos 5 5^{\circ} = 0

α = 0^{\circ}

cho

sin 4 5^{\circ} - cos 4 5^{\circ} = 0

S = 0

Vậy $S = 0$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy định lí hai góc phụ nhau thực ra chỉ là một câu nói khác của việc đổi vai trò cạnh đối và cạnh kề khi nhìn sang góc nhọn còn lại của cùng một tam giác vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng kiểm tra tổng bằng

9 0^{\circ}

là xong ý a), còn ý b) ghép cặp xong thì các số hạng tự triệt tiêu, không cần nhớ giá trị của

sin 4 5^{\circ}

Đáp số. a) Hai đẳng thức đều đúng vì hai góc phụ nhau · b)

S = 0

Sai lầm thường gặp. Hiểu nhầm

sin (4 5^{\circ} - α)

thành

sin 4 5^{\circ} - sin α

: thử

α = 1 5^{\circ}

thì vế trái là

sin 3 0^{\circ} = 0, 5

còn vế phải khoảng

0, 448

, hai số khác nhau. Ở ý b) thì hay ghép nhầm

sin 2 5^{\circ}

với

cos 5 5^{\circ}

vì tổng

2 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 8 0^{\circ}

chứ không phải

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cũng bằng cách ghép cặp phụ nhau, tổng

sin 1^{\circ} + sin 2^{\circ} + \dots + sin 8 9^{\circ} - cos 1^{\circ} - cos 2^{\circ} - \dots - cos 8 9^{\circ}

bằng bao nhiêu?

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.3★Trang 45— Dùng máy tính cầm tay tìm sin của một góc nhọn cho trước

Bài 4.3 (trang 45). Khi góc

α

lần lượt bằng

1 0^{\circ}

2 0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 0^{\circ}

, hãy dùng MTCT tính

sin α

trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

Trước khi bấm phải chuyển máy sang chế độ đo góc theo độ.
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ là giá trị đúng, suy ra từ nửa tam giác đều.
Với góc nhọn $α$ thì $0 < sin α < 1$ , và góc càng lớn thì $sin$ càng lớn.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài rèn thao tác máy, điều quan trọng nhất là đưa máy về đơn vị độ trước khi bấm, vì để ở radian thì mọi kết quả đều sai. Bốn góc tăng dần nên bốn giá trị

sin

cũng phải tăng dần, đó là cách tự kiểm tra nhanh nhất. Riêng

sin 3 0^{\circ}

có giá trị đúng bằng

\frac{1}{2}

nên dùng nó làm mốc để biết máy đã đúng chế độ hay chưa.

1Cách 1. Bấm trực tiếp phím sin sau khi đặt máy ở chế độ độ

Định hướng. Đặt máy ở chế độ độ, bấm lần lượt bốn góc rồi làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

sin 1 0^{\circ} = 0, 17364817 \dots \approx 0, 174

sin 2 0^{\circ} = 0, 34202014 \dots \approx 0, 342

sin 3 0^{\circ} = 0, 5

sin 4 0^{\circ} = 0, 64278760 \dots \approx 0, 643

Vậy $sin 1 0^{\circ} \approx 0, 174; sin 2 0^{\circ} \approx 0, 342; sin 3 0^{\circ} = 0, 5; sin 4 0^{\circ} \approx 0, 643$ .

2Cách 2. Bấm côsin của góc phụ để đối chiếu chéo

Định hướng. Mỗi giá trị $sin α$ phải trùng khít với $cos (9 0^{\circ} - α)$ ; hai lần bấm khác phím mà ra cùng số thì kết quả chắc chắn đúng.

sin 1 0^{\circ} = cos 8 0^{\circ} = 0, 17364817 \dots \approx 0, 174

sin 2 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ} = 0, 34202014 \dots \approx 0, 342

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = 0, 5

sin 4 0^{\circ} = cos 5 0^{\circ} = 0, 64278760 \dots \approx 0, 643

Vậy bốn giá trị lần lượt là $0, 174; 0, 342; 0, 5; 0, 643$ .

3Cách 3. Lấy giá trị đúng của góc đặc biệt làm mốc kiểm tra

Định hướng. Nửa tam giác đều cho $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ mà không cần máy; lấy mốc đó cùng tính đơn điệu của $sin$ để chặn ba giá trị còn lại.

Tam giác đều cạnh

a

, đường cao chia thành nửa tam giác vuông có cạnh huyền

a

và cạnh đối góc

3 0^{\circ}

bằng

\frac{a}{2}

sin 3 0^{\circ} = \frac{a}{2} : a = \frac{1}{2} = 0, 5

1 0^{\circ} < 2 0^{\circ} < 3 0^{\circ} < 4 0^{\circ}

sin 1 0^{\circ} < sin 2 0^{\circ} < 0, 5 < sin 4 0^{\circ}

0, 174 < 0, 342 < 0, 5 < 0, 643

Vậy bốn kết quả bấm máy $0, 174; 0, 342; 0, 5; 0, 643$ thoả đúng thứ tự tăng dần nên đáng tin.

Nhận xét. Khoảng cách giữa các giá trị không đều nhau: từ $1 0^{\circ}$ lên $2 0^{\circ}$ tăng $0, 168$ còn từ $3 0^{\circ}$ lên $4 0^{\circ}$ chỉ tăng $0, 143$ , cho thấy $sin$ tăng chậm dần khi góc tiến về $9 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho nhanh, rồi lướt Cách 3 trong đầu để soát: nếu máy trả về

sin 3 0^{\circ}

khác

0, 5

thì chắc chắn máy đang ở chế độ radian.

Đáp số.

sin 1 0^{\circ} \approx 0, 174

sin 2 0^{\circ} \approx 0, 342

sin 3 0^{\circ} = 0, 5

sin 4 0^{\circ} \approx 0, 643

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

Sai lầm thường gặp. Để máy ở chế độ radian nên bấm

sin 30

- 0, 988

, một số âm, trong khi

sin

của góc nhọn luôn dương. Lỗi thứ hai là làm tròn sai:

0, 64278 \dots

phải thành

0, 643

chứ không phải

0, 642

🚀 Mở rộng. Với cùng bốn góc đó, hãy tính thêm

sin 5 0^{\circ}

sin 6 0^{\circ}

sin 7 0^{\circ}

sin 8 0^{\circ}

rồi nhận xét xem hiệu hai giá trị liên tiếp thay đổi thế nào khi góc tiến dần tới

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.4★Trang 45— Tìm số đo góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác

Bài 4.4 (trang 45). Hãy dùng MTCT, tìm số đo góc nhọn

α

(làm tròn đến độ) trong mỗi trường hợp:
a) Khi

sin α

lần lượt bằng

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

;
b) Khi

cos α

lần lượt bằng

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

Kiến thức cần nhớ

Phím ngược của $sin$ trả về số đo góc nhọn khi biết $sin α$ ; phím ngược của $cos$ làm tương tự.
Nếu $sin α = cos β$ với $α$ , $β$ nhọn thì $α + β = 9 0^{\circ}$ .
Góc nhọn có $sin$ càng lớn thì góc càng lớn, còn có $cos$ càng lớn thì góc càng nhỏ.

🧠 Phân tích tư duy

Bài này đi ngược chiều bài trước: biết tỉ số, tìm góc, nên phím cần dùng là phím ngược của

sin

và của

cos

. Chỗ đáng để ý là hai ý dùng chung bốn phân số, mà tổng của góc ở ý a) và góc tương ứng ở ý b) luôn bằng

9 0^{\circ}

. Nhận ra điều đó thì chỉ phải bấm máy một lần cho mỗi phân số.

1Cách 1. Bấm phím ngược của sin và của côsin

Định hướng. Nhập trực tiếp từng phân số vào phím ngược tương ứng rồi làm tròn đến độ.

sin α = \frac{1}{4}

cho

α \approx 14, 4 8^{\circ} \approx 1 4^{\circ}

sin α = \frac{1}{3}

cho

α \approx 19, 4 7^{\circ} \approx 1 9^{\circ}

sin α = \frac{1}{2}

cho

α = 3 0^{\circ}

sin α = \frac{2}{3}

cho

α \approx 41, 8 1^{\circ} \approx 4 2^{\circ}

cos α = \frac{1}{4}

cho

α \approx 75, 5 2^{\circ} \approx 7 6^{\circ}

cos α = \frac{1}{3}

cho

α \approx 70, 5 3^{\circ} \approx 7 1^{\circ}

cos α = \frac{1}{2}

cho

α = 6 0^{\circ}

cos α = \frac{2}{3}

cho

α \approx 48, 1 9^{\circ} \approx 4 8^{\circ}

Vậy $1 4^{\circ}; 1 9^{\circ}; 3 0^{\circ}; 4 2^{\circ}$ cho ý a) và $7 6^{\circ}; 7 1^{\circ}; 6 0^{\circ}; 4 8^{\circ}$ cho ý b).

2Cách 2. Lấy ý b) từ ý a) nhờ hai góc phụ nhau

Định hướng. Góc có $cos$ bằng một số thì phụ với góc có $sin$ bằng đúng số đó, nên ý b) chỉ là lấy $9 0^{\circ}$ trừ đi kết quả ý a).

cos α = sin (9 0^{\circ} - α)

cos α = \frac{1}{4}

cho

9 0^{\circ} - α \approx 14, 4 8^{\circ}

, tức

α \approx 75, 5 2^{\circ} \approx 7 6^{\circ}

cos α = \frac{1}{3}

cho

9 0^{\circ} - α \approx 19, 4 7^{\circ}

, tức

α \approx 70, 5 3^{\circ} \approx 7 1^{\circ}

cos α = \frac{1}{2}

cho

9 0^{\circ} - α = 3 0^{\circ}

, tức

α = 6 0^{\circ}

cos α = \frac{2}{3}

cho

9 0^{\circ} - α \approx 41, 8 1^{\circ}

, tức

α \approx 48, 1 9^{\circ} \approx 4 8^{\circ}

Vậy ý b) cho $7 6^{\circ}; 7 1^{\circ}; 6 0^{\circ}; 4 8^{\circ}$ , đúng bằng $9 0^{\circ}$ trừ đi các góc của ý a).

3Cách 3. Dò ngược bằng tính đơn điệu, dùng góc đặc biệt làm mốc

Định hướng. Kẹp giá trị đã cho giữa hai giá trị của góc đặc biệt để biết góc nằm trong khoảng nào, rồi mới tinh chỉnh bằng máy.

sin 0^{\circ} = 0 < \frac{1}{4} = 0, 25 < 0, 5 = sin 3 0^{\circ}

nên

0^{\circ} < α < 3 0^{\circ}

, máy cho

1 4^{\circ}

0, 25 < \frac{1}{3} \approx 0, 333 < 0, 5

nên

1 4^{\circ} < α < 3 0^{\circ}

, máy cho

1 9^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

nên

α = 3 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = 0, 5 < \frac{2}{3} \approx 0, 667 < 0, 707 = sin 4 5^{\circ}

nên

3 0^{\circ} < α < 4 5^{\circ}

, máy cho

4 2^{\circ}

cos 6 0^{\circ} = 0, 5 > \frac{1}{4}

nên góc ở ý b) đầu tiên lớn hơn

6 0^{\circ}

, máy cho

7 6^{\circ}

Vậy mọi kết quả đều rơi đúng khoảng đã chặn, khẳng định lại $1 4^{\circ}; 1 9^{\circ}; 3 0^{\circ}; 4 2^{\circ}$ và $7 6^{\circ}; 7 1^{\circ}; 6 0^{\circ}; 4 8^{\circ}$ .

Nhận xét. Cùng một dãy phân số tăng dần mà góc ở ý a) tăng còn góc ở ý b) giảm, đó chính là hai chiều biến thiên ngược nhau của $sin$ và $cos$ sẽ được chứng minh ở bài $4.17$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bấm máy bốn lần cho ý a) rồi lấy

9 0^{\circ}

trừ đi là xong ý b), vừa nhanh gấp đôi vừa tự kiểm tra được kết quả.

Đáp số. a)

1 4^{\circ}

;

1 9^{\circ}

;

3 0^{\circ}

;

4 2^{\circ}

· b)

7 6^{\circ}

;

7 1^{\circ}

;

6 0^{\circ}

;

4 8^{\circ}

(làm tròn đến độ)

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

75, 5 2^{\circ}

thành

7 5^{\circ}

vì chỉ nhìn phần nguyên: phần lẻ

0, 52

đã quá nửa độ nên phải lên

7 6^{\circ}

. Lỗi khác là bấm nhầm phím

sin

thay cho phím ngược của nó, ra

0, 004

thay vì

1 4^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu

sin α = \frac{1}{n}

với

n

nguyên dương tăng dần thì góc

α

tiến dần về giá trị nào?

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.5★★Trang 45— Rút gọn tổng bình phương tỉ số lượng giác bằng cách ghép cặp phụ nhau

Bài 4.5 (trang 45). Biết rằng với mỗi góc nhọn

α

ta có

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

, không dùng MTCT, hãy tính

sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 3 5^{\circ} + sin^{2} 4 5^{\circ} + sin^{2} 5 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi góc nhọn $α$ thì $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Nếu hai góc phụ nhau thì $sin$ của góc này bằng $cos$ của góc kia.
$sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ nên $sin^{2} 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã tặng sẵn hằng đẳng thức

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

, nên nhiệm vụ chỉ còn là tạo ra được các cặp

sin^{2}

cộng

cos^{2}

của cùng một góc. Nhìn dãy góc thấy ngay

2 5^{\circ}

với

6 5^{\circ}

và

3 5^{\circ}

với

5 5^{\circ}

là hai cặp phụ nhau, còn

4 5^{\circ}

đứng lẻ ở giữa. Bẫy là đếm thiếu: có năm số hạng nên sau khi ghép hai cặp vẫn còn một số hạng lẻ phải tính riêng.

1Cách 1. Ghép cặp phụ nhau rồi dùng hằng đẳng thức

Định hướng. Đổi $sin 5 5^{\circ}$ và $sin 6 5^{\circ}$ sang $cos$ để hai cặp phụ nhau ghép được vào hằng đẳng thức, số hạng giữa tính riêng.

S = sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 3 5^{\circ} + sin^{2} 4 5^{\circ} + sin^{2} 5 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ}

S = sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 3 5^{\circ} + sin^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 3 5^{\circ} + cos^{2} 2 5^{\circ}

S = (sin^{2} 2 5^{\circ} + cos^{2} 2 5^{\circ}) + (sin^{2} 3 5^{\circ} + cos^{2} 3 5^{\circ}) + sin^{2} 4 5^{\circ}

S = 1 + 1 + (\frac{2}{2})^{2}

S = 1 + 1 + \frac{1}{2}

S = \frac{5}{2}

Vậy $S = \frac{5}{2} = 2, 5$ .

2Cách 2. Quy hết về côsin rồi mới ghép

Định hướng. Đổi chiều ngược lại, viết mọi số hạng theo $cos$ của góc phụ, tổng vẫn tách thành hai cặp và một số hạng lẻ.

S = cos^{2} 6 5^{\circ} + cos^{2} 5 5^{\circ} + cos^{2} 4 5^{\circ} + sin^{2} 5 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ}

S = (cos^{2} 6 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ}) + (cos^{2} 5 5^{\circ} + sin^{2} 5 5^{\circ}) + cos^{2} 4 5^{\circ}

S = 1 + 1 + (\frac{2}{2})^{2}

S = 2 + \frac{1}{2}

S = \frac{5}{2}

Vậy $S = \frac{5}{2}$ .

3Cách 3. Đọc mỗi cặp trên một tam giác vuông cụ thể

Định hướng. Mỗi cặp góc phụ nhau ứng với hai góc nhọn của một tam giác vuông, nên tổng hai bình phương chính là định lí Pythagore viết dưới dạng tỉ số.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có

B = 2 5^{\circ}

C = 6 5^{\circ}

A B = c

A C = b

B C = a

sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}} + \frac{c ^{2}}{a ^{2}}

sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{a ^{2}} = \frac{a ^{2}}{a ^{2}} = 1

sin^{2} 3 5^{\circ} + sin^{2} 5 5^{\circ} = 1

sin^{2} 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}

S = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Vậy $S = \frac{5}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích luôn gốc gác của hằng đẳng thức đề cho: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ chỉ là định lí Pythagore sau khi chia hai vế cho bình phương cạnh huyền.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ phải đổi hai số hạng cuối sang

cos

, ba dòng là ra kết quả và không cần vẽ thêm hình nào.

Đáp số.

S = \frac{5}{2} = 2, 5

Sai lầm thường gặp. Ghép

sin^{2} 2 5^{\circ}

với

sin^{2} 6 5^{\circ}

rồi viết ngay bằng

1

mà quên đổi một trong hai sang

cos

: hằng đẳng thức chỉ đúng cho

sin^{2}

cộng

cos^{2}

của CÙNG một góc. Lỗi thứ hai là bỏ sót

sin^{2} 4 5^{\circ}

nên ra

2

thay vì

2, 5

🚀 Mở rộng. Cũng ghép cặp như thế, hãy tính

sin^{2} 1^{\circ} + sin^{2} 2^{\circ} + \dots + sin^{2} 8 9^{\circ}

và cho biết kết quả là bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.6★★Trang 45— Xác định góc nhọn nhỏ nhất và tính sin của nó

Bài 4.6 (trang 45). Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được

5

cm,

12

cm. Hỏi

sin

góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Trong một tam giác, cạnh nhỏ hơn đối diện với góc nhỏ hơn.
$sin$ của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh huyền.
Bộ ba $5$ , $12$ , $13$ là một bộ ba Pythagore.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho tên góc nên việc đầu tiên là xác định xem góc nhọn nhỏ nhất nằm ở đâu, dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác. Cạnh nhỏ nhất trong hai cạnh góc vuông là

5

cm nên góc đối diện nó là góc nhỏ nhất. Bẫy của bài là lấy ngay tỉ số

\frac{5}{12}

của hai cạnh góc vuông, trong khi

sin

đòi mẫu số phải là cạnh huyền.

1Cách 1. Tìm cạnh huyền rồi lấy cạnh đối chia cạnh huyền

Định hướng. Góc nhọn nhỏ nhất đối diện cạnh góc vuông ngắn hơn, nên chỉ cần cạnh huyền là đủ dữ kiện.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 5

cm,

A C = 12

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}

B C^{2} = 25 + 144

B C^{2} = 169

B C = 13

(cm)

A B < A C

nên

C < B

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

Vậy $sin C = \frac{5}{13}$ .

2Cách 2. Tính cả hai tỉ số rồi chọn số nhỏ hơn

Định hướng. Góc nhọn càng nhỏ thì $sin$ càng nhỏ, nên tính cả hai rồi so sánh là khỏi phải lí luận về cạnh và góc đối diện.

B C = 13

(cm)

sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13}

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

\frac{5}{13} < \frac{12}{13}

sin C < sin B

C < B

Vậy góc nhọn nhỏ nhất là $C$ và $sin C = \frac{5}{13}$ .

3Cách 3. Lấy côsin của góc lớn rồi đổi sang sin của góc phụ

Định hướng. Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau, nên $sin$ của góc nhỏ chính là $cos$ của góc lớn.

B C = 13

(cm)

B + C = 9 0^{\circ}

cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

sin C = cos B = \frac{5}{13}

\frac{5}{13} \approx 0, 385

ứng với góc khoảng

22, 6 2^{\circ}

Vậy $sin C = \frac{5}{13} \approx 0, 385$ , ứng với góc xấp xỉ $2 3^{\circ}$ .

Nhận xét. Kết quả $\frac{5}{13}$ nhỏ hơn $\frac{5}{12}$ , đúng như dự đoán vì cạnh huyền luôn dài hơn mọi cạnh góc vuông nên mẫu số lớn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra bộ ba

5

12

13

là ghi được cạnh huyền ngay, thêm một dòng so sánh cạnh là kết luận, tổng cộng chưa tới bốn dòng.

Đáp số.

sin

của góc nhọn nhỏ nhất bằng

\frac{5}{13} \approx 0, 385

Sai lầm thường gặp. Viết

sin = \frac{5}{12}

vì lấy cạnh góc vuông làm mẫu: mẫu của

sin

bắt buộc là cạnh huyền

13

cm. Lỗi thứ hai là chọn nhầm góc, lấy góc đối diện cạnh

12

cm và trả lời

\frac{12}{13}

, tức là

sin

của góc nhọn LỚN nhất.

🚀 Mở rộng. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

m

và

n

với

m < n

thì

sin

của góc nhọn nhỏ nhất luôn bằng

\frac{m}{m ^{2} + n ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.7★★★★Trang 45— Chứng minh hệ thức độ dài nhờ tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 4.7 (trang 45). Xét tam giác

A B C

vuông tại

B

, có

A = 3 0^{\circ}

. Tia

B t

sao cho

C B t = 3 0^{\circ}

cắt tia

A C

ở

D

D

nằm giữa

A

và

C

. Chứng minh rằng khoảng cách từ

D

đến đường thẳng

B C

bằng

\frac{A B}{4}

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân $sin$ góc đối hoặc nhân $cos$ góc kề.
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc, nên phải dựng

D H

vuông góc

B C

rồi tìm

D H

theo

A B

. Dữ kiện

A = 3 0^{\circ}

kéo theo

C = 6 0^{\circ}

, cộng với

C B t = 3 0^{\circ}

thì tam giác

B D C

có tổng hai góc bằng

9 0^{\circ}

, tức

B D

vuông góc

A C

. Từ đó mọi độ dài đều quy về

A B

chỉ bằng hai lần nhân với tỉ số lượng giác của góc

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

1Cách 1. Chuyển dần qua tam giác vuông BDC rồi tam giác vuông BHD

Định hướng. Chỉ ra tam giác $B D C$ vuông tại $D$ , tính $B D$ theo $A B$ , rồi hạ $D H$ vuông góc $B C$ và đọc $D H$ trong tam giác vuông $B H D$ .

C = 9 0^{\circ} - A = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

D B C + C = 3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

B D C = 9 0^{\circ}

B C = A B \cdot tan 3 0^{\circ} = A B \cdot \frac{3}{3}

B D = B C \cdot cos 3 0^{\circ} = A B \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{2}

B D = A B \cdot \frac{3}{6} = \frac{A B}{2}

Hạ

D H ⊥ B C

tại

H

D H = B D \cdot sin D B H = B D \cdot sin 3 0^{\circ}

D H = \frac{A B}{2} \cdot \frac{1}{2}

D H = \frac{A B}{4}

Vậy khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $B C$ bằng $D H = \frac{A B}{4}$ (đpcm).

2Cách 2. Đi qua tam giác vuông DHC và góc C

Định hướng. Vẫn đoạn $D H$ đó nhưng đọc nó trong tam giác vuông $D H C$ , nơi góc đã biết là $C = 6 0^{\circ}$ .

C = 6 0^{\circ}

và

B D C = 9 0^{\circ}

B C = A B \cdot tan 3 0^{\circ} = \frac{A B 3}{3}

D C = B C \cdot sin D B C = \frac{A B 3}{3} \cdot \frac{1}{2}

D C = \frac{A B 3}{6}

D H = D C \cdot sin C = \frac{A B 3}{6} \cdot \frac{3}{2}

D H = \frac{3 A B}{12}

D H = \frac{A B}{4}

Vậy $D H = \frac{A B}{4}$ (đpcm).

3Cách 3. Dùng diện tích tam giác BDC tính hai kiểu

Định hướng. Diện tích tam giác vuông $B D C$ tính được theo hai cạnh góc vuông, cũng tính được theo cạnh huyền $B C$ và đường cao $D H$ ; cho hai biểu thức bằng nhau là ra $D H$ .

Đặt

A B = c

B C = \frac{c 3}{3}

B D C = 9 0^{\circ}

B D = B C \cdot cos 3 0^{\circ} = \frac{c}{2}

D C = B C \cdot sin 3 0^{\circ} = \frac{c 3}{6}

S_{B D C} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot D C = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot D H

B D \cdot D C = B C \cdot D H

D H = \frac{B D \cdot D C}{B C}

D H = \frac{\frac{c}{2} \cdot \frac{c 3}{6}}{\frac{c 3}{3}}

D H = \frac{c ^{2} 3}{12} \cdot \frac{3}{c 3}

D H = \frac{c}{4} = \frac{A B}{4}

Vậy $D H = \frac{A B}{4}$ (đpcm).

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc độ dài $A B$ mà chỉ phụ thuộc hai góc $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ , nên mọi hình vẽ đúng dữ kiện đều cho tỉ số $D H : A B = 1 : 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó đi theo đúng mạch suy nghĩ tự nhiên là tính

B D

trước rồi chiếu xuống

B C

, mỗi phép chỉ nhân với một tỉ số lượng giác quen thuộc nên khó nhầm.

Đáp số. Khoảng cách từ

D

đến

B C

bằng

D H = \frac{A B}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhầm khoảng cách từ

D

đến đường thẳng

B C

với độ dài

D C

D C = \frac{A B 3}{6} \approx 0, 289 \cdot A B

trong khi

D H = 0, 25 \cdot A B

, hai số khác nhau. Lỗi thứ hai là bỏ qua việc chứng minh

B D C = 9 0^{\circ}

mà dùng luôn, làm mất hẳn mấu chốt của bài.

🚀 Mở rộng. Thay

A = 3 0^{\circ}

bởi

A = α

và giữ

C B t = α

thì

D H = A B \cdot tan α \cdot cos α \cdot sin α

, hãy kiểm lại xem với

α = 3 0^{\circ}

có ra

\frac{A B}{4}

không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.8★★Trang 45— Dựng góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác

Bài 4.8 (trang 45). Vẽ góc

α

trong mỗi trường hợp:
a)

cos α = 0, 4

;
b)

tan α = \frac{2}{3}

;
c)

cot α = \frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

$cos α$ bằng cạnh kề chia cạnh huyền, $tan α$ bằng cạnh đối chia cạnh kề, $cot α$ bằng cạnh kề chia cạnh đối.
Hai tam giác vuông có cùng tỉ lệ cạnh thì đồng dạng nên góc nhọn tương ứng bằng nhau; có thể chọn đơn vị dài tuỳ ý.
Từ một tỉ số lượng giác, phím ngược trên MTCT cho ngay số đo góc để vẽ bằng thước đo độ.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tỉ số lượng giác là một thương của hai cạnh, nên dựng góc thực chất là dựng một tam giác vuông có hai cạnh đúng tỉ lệ đó. Điều cần đọc kĩ là mỗi tỉ số ứng với cặp cạnh nào:

cos

dùng cạnh kề với cạnh huyền, còn

tan

và

cot

dùng hai cạnh góc vuông. Bẫy ở ý c) là

cot

lấy kề chia đối, ngược với

tan

, nên dễ dựng nhầm thành góc phụ của góc cần tìm.

1Cách 1. Dựng tam giác vuông có đúng tỉ lệ cạnh bằng thước và compa

Định hướng. Chọn một đơn vị dài, dựng góc vuông rồi đặt hai cạnh theo đúng cặp số của tỉ số đã cho, góc cần tìm hiện ra ngay ở đỉnh $O$ .

cos α = 0, 4 = \frac{2}{5}

Trên tia

O x

lấy

A

với

O A = 2

, dựng

d ⊥ O x

tại

A

, cung tròn tâm

O

bán kính

5

cắt

d

tại

B

cos A O B = \frac{O A}{O B} = \frac{2}{5} = 0, 4

tan α = \frac{2}{3}

Trên tia

O x

lấy

A

với

O A = 3

, dựng

A B ⊥ O x

tại

A

với

A B = 2

tan A O B = \frac{A B}{O A} = \frac{2}{3}

cot α = \frac{3}{4}

Trên tia

O x

lấy

A

với

O A = 3

, dựng

A B ⊥ O x

tại

A

với

A B = 4

cot A O B = \frac{O A}{A B} = \frac{3}{4}

Vậy góc $A O B$ dựng được ở mỗi ý chính là góc $α$ phải tìm, với $\frac{O A}{O B} = \frac{2}{5}; \frac{A B}{O A} = \frac{2}{3}; \frac{O A}{A B} = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Tính số đo góc bằng MTCT rồi vẽ bằng thước đo độ

Định hướng. Đổi mỗi tỉ số thành số đo góc bằng phím ngược, rồi đặt thước đo độ vẽ đúng số đo ấy.

cos α = 0, 4

cho

α = 66, 4 2^{\circ} \approx 6 6^{\circ}

tan α = \frac{2}{3} \approx 0, 667

cho

α = 33, 6 9^{\circ} \approx 3 4^{\circ}

cot α = \frac{3}{4}

cho

tan α = \frac{4}{3} \approx 1, 333

α = 53, 1 3^{\circ} \approx 5 3^{\circ}

Vậy ba góc cần vẽ có số đo xấp xỉ $6 6^{\circ}; 3 4^{\circ}; 5 3^{\circ}$ .

3Cách 3. Dựng trên giấy kẻ ô vuông, đếm ô thay cho đo

Định hướng. Lấy cạnh ô vuông làm đơn vị, mỗi tỉ số trở thành số ô đi ngang và số ô đi lên, không cần compa lẫn thước đo độ.

tan α = \frac{2}{3}

: từ

O

đi

3

ô sang phải, rồi

2

ô lên trên, được điểm

B

tan x O B = \frac{2}{3}

cot α = \frac{3}{4}

: từ

O

đi

3

ô sang phải, rồi

4

ô lên trên

cot x O B = \frac{3}{4}

cos α = \frac{2}{5}

: lấy

O A = 2

ô trên tia

O x

, dựng đường vuông góc với

O x

tại

A

, quay cung tâm

O

bán kính

5

ô cắt đường đó tại

B

cos A O B = \frac{2}{5}

Vậy ba góc $x O B$ dựng bằng cách đếm ô chính là ba góc phải tìm, ứng với $cos α = \frac{2}{5}; tan α = \frac{2}{3}; cot α = \frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Với $tan$ và $cot$ chỉ cần đếm ô là xong vì cả hai cạnh đều là cạnh góc vuông; riêng $cos$ có cạnh huyền nên bắt buộc phải quay một cung tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó cho hình dựng chính xác tuyệt đối và trình bày được bằng lời ngắn gọn; Cách 2 chỉ nên dùng khi đề cho phép vẽ gần đúng.

Đáp số. a) Tam giác vuông có cạnh kề

2

, cạnh huyền

5

, góc

α \approx 6 6^{\circ}

· b) hai cạnh góc vuông

3

và

2

α \approx 3 4^{\circ}

· c) hai cạnh góc vuông

3

và

4

α \approx 5 3^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) dựng cạnh kề bằng

4

và cạnh đối bằng

3

nên ra góc

36, 8 7^{\circ}

, đó là góc phụ của góc cần tìm chứ không phải

α

. Ở ý a) thì hay đặt cạnh huyền bằng

4

và cạnh kề bằng

10

, tức mẫu nhỏ hơn tử, hình không dựng được vì cạnh huyền phải là cạnh dài nhất.

🚀 Mở rộng. Muốn dựng góc

α

với

sin α = 0, 4

thì cặp cạnh phải đặt khác đi thế nào so với ý a), và góc thu được có bằng

6 6^{\circ}

nữa không?

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.9★Trang 45— Ứng dụng tỉ số lượng giác vào bài toán thực tế có tam giác vuông

Bài 4.9 (trang 45). Một cái thang dài

3, 2

m đặt tựa bức tường, đầu thang đạt đến độ cao

3

m thì thang tạo với mặt đất góc

α

xấp xỉ bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

$sin α$ bằng cạnh đối chia cạnh huyền.
Phím ngược của $sin$ trên MTCT cho số đo góc khi biết $sin α$ .
Trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn dài hơn mỗi cạnh góc vuông nên tỉ số phải nhỏ hơn $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bức tường thẳng đứng và mặt đất nằm ngang tạo thành góc vuông, nên thang, tường và mặt đất khép lại thành một tam giác vuông. Trong tam giác đó chiều cao

3

m là cạnh đối của góc

α

còn thang

3, 2

m là cạnh huyền, tức cặp dữ kiện đúng kiểu của

sin

. Bẫy là lấy

3

chia

3, 2

rồi trả lời luôn con số

0, 9375

mà quên đề hỏi số đo góc.

1Cách 1. Dùng sin vì đề cho cạnh đối và cạnh huyền

Định hướng. Chiều cao là cạnh đối, thang là cạnh huyền, ghép đúng vào định nghĩa $sin$ rồi bấm phím ngược.

sin α = \frac{3}{3 , 2}

sin α = \frac{30}{32}

sin α = \frac{15}{16} = 0, 9375

α \approx 69, 6 4^{\circ}

α \approx 7 0^{\circ}

Vậy thang tạo với mặt đất góc $α \approx 7 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tìm khoảng cách chân thang tới tường rồi dùng côsin

Định hướng. Pythagore cho cạnh góc vuông nằm ngang, khi đó $α$ đọc được qua $cos$ và kết quả phải trùng với Cách 1.

Gọi

a

là khoảng cách từ chân thang đến chân tường

a^{2} = 3, 2^{2} - 3^{2}

a^{2} = 10, 24 - 9

a^{2} = 1, 24

a = 1, 24 \approx 1, 114

(m)

cos α = \frac{a}{3 , 2} \approx \frac{1 , 114}{3 , 2}

cos α \approx 0, 348

α \approx 69, 6 4^{\circ} \approx 7 0^{\circ}

Vậy $α \approx 7 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tính góc giữa thang và tường rồi lấy phần bù tới 90 độ

Định hướng. Góc $β$ giữa thang và tường phụ với $α$ , mà $β$ lại tính được ngay bằng $cos$ từ hai số liệu đề cho.

Gọi

β

là góc giữa thang và bức tường

α + β = 9 0^{\circ}

cos β = \frac{3}{3 , 2} = 0, 9375

β \approx 20, 3 6^{\circ}

α \approx 9 0^{\circ} - 20, 3 6^{\circ}

α \approx 69, 6 4^{\circ} \approx 7 0^{\circ}

Vậy $α \approx 7 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Thang tạo với đất góc gần $7 0^{\circ}$ , dốc hơn mức an toàn thường khuyến cáo là $7 5^{\circ}$ một chút; muốn đúng $7 5^{\circ}$ thì đầu thang phải đạt độ cao khoảng $3, 09$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đề cho sẵn cạnh đối và cạnh huyền nên chỉ một phép chia và một lần bấm phím ngược, không phải khai căn như Cách 2 nên không sợ sai số làm tròn.

Đáp số.

sin α = \frac{15}{16} = 0, 9375

nên

α \approx 7 0^{\circ}

(làm tròn đến độ)

Sai lầm thường gặp. Lấy

tan α = \frac{3}{3 , 2}

vì tưởng

3, 2

m là khoảng cách nằm ngang:

3, 2

m là chiều dài thang, tức cạnh huyền, nên phải dùng

sin

. Lỗi thứ hai là làm tròn

69, 6 4^{\circ}

thành

6 9^{\circ}

trong khi phần lẻ

0, 64

đã vượt quá nửa độ.

🚀 Mở rộng. Vẫn chiếc thang

3, 2

m ấy, muốn góc với mặt đất đúng bằng

6 0^{\circ}

thì đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu mét?

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.10★Trang 46— Tìm góc nghiêng của dây căng trong bài toán thực tế

Bài 4.10 (trang 46). Một cái diều có dây diều dài

8

m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao

6

m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn

α

xấp xỉ bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Dây diều căng là một đoạn thẳng, độ cao của diều là đoạn vuông góc với mặt đất.
$sin α$ bằng cạnh đối chia cạnh huyền; muốn tìm góc thì dùng phím ngược của $sin$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên tính được một góc là suy ra góc kia.

🧠 Phân tích tư duy

Độ cao của diều đo theo phương thẳng đứng nên nó vuông góc với phương ngang, cho ta một tam giác vuông với dây diều là cạnh huyền. Tỉ số

\frac{6}{8}

rút gọn thành

\frac{3}{4}

nên con số đẹp, chỉ còn việc chọn đúng tỉ số lượng giác ứng với cặp cạnh đối và huyền. Chỗ dễ sai là coi

8

m là khoảng cách nằm ngang từ người thả tới điểm dưới chân diều.

1Cách 1. Lắp thẳng vào định nghĩa sin

Định hướng. Độ cao là cạnh đối của $α$ , dây diều là cạnh huyền, đúng khuôn của $sin$ .

sin α = \frac{6}{8}

sin α = \frac{3}{4} = 0, 75

α \approx 48, 5 9^{\circ}

α \approx 4 9^{\circ}

Vậy dây diều tạo với phương ngang góc $α \approx 4 9^{\circ}$ .

2Cách 2. Tìm hình chiếu ngang rồi dùng tang

Định hướng. Pythagore cho khoảng cách nằm ngang, lúc đó hai cạnh góc vuông đã đủ nên dùng được $tan$ .

Gọi

b

là khoảng cách ngang từ người thả tới điểm ngay dưới diều

b^{2} = 8^{2} - 6^{2}

b^{2} = 64 - 36

b^{2} = 28

b = 27 \approx 5, 292

(m)

tan α = \frac{6}{2 7} = \frac{3}{7}

tan α \approx 1, 134

α \approx 48, 5 9^{\circ} \approx 4 9^{\circ}

Vậy $α \approx 4 9^{\circ}$ .

3Cách 3. Tính góc giữa dây diều và phương thẳng đứng

Định hướng. Góc $β$ mà dây diều tạo với phương thẳng đứng phụ với $α$ , và $β$ có ngay $cos$ bằng $\frac{6}{8}$ .

α + β = 9 0^{\circ}

cos β = \frac{6}{8} = 0, 75

β \approx 41, 4 1^{\circ}

α \approx 9 0^{\circ} - 41, 4 1^{\circ}

α \approx 48, 5 9^{\circ} \approx 4 9^{\circ}

Vậy $α \approx 4 9^{\circ}$ .

Nhận xét. Góc $4 9^{\circ}$ chỉ hơn $4 5^{\circ}$ một chút, phù hợp với việc độ cao $6$ m lớn hơn khoảng cách ngang $27 \approx 5, 3$ m nhưng không hơn nhiều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cả hai số liệu đề cho đều dùng được ngay, không phải khai căn nên giữ nguyên độ chính xác cho tới lúc làm tròn.

Đáp số.

sin α = \frac{3}{4} = 0, 75

nên

α \approx 4 9^{\circ}

(làm tròn đến độ)

Sai lầm thường gặp. Viết

tan α = \frac{6}{8}

vì nghĩ

8

m là cạnh nằm ngang, ra

36, 8 7^{\circ}

, lệch gần

12

độ. Lỗi thứ hai là để máy ở chế độ radian nên phím ngược trả về

0, 848

rồi tưởng đó là số đo góc.

🚀 Mở rộng. Nếu người thả nhả dây cho dài

12

m mà diều vẫn giữ nguyên góc

4 9^{\circ}

thì độ cao của diều tăng lên bao nhiêu mét?

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 4.11★★Trang 46— Chứng minh tam giác vuông cân từ điều kiện về tang

Bài 4.11 (trang 46). Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng

1

là tam giác vuông cân.

Kiến thức cần nhớ

$tan$ của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân; tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân.
$tan 4 5^{\circ} = 1$ và $cot α = \frac{1}{tan α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Kết luận cần đạt là hai cạnh góc vuông bằng nhau, mà

tan

lại chính là thương của hai cạnh ấy, nên đường ngắn nhất là mở định nghĩa ra. Giả thiết

tan α = 1

nghĩa là thương bằng

1

, tức tử bằng mẫu. Bẫy duy nhất là quên nói rõ góc vuông ở đỉnh nào nên viết nhầm

tan

thành thương của một cạnh góc vuông với cạnh huyền.

1Cách 1. Mở định nghĩa tang để so sánh hai cạnh góc vuông

Định hướng. Thương hai cạnh góc vuông bằng $1$ thì hai cạnh ấy bằng nhau, kết luận hiện ra ngay.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

tan B = 1

tan B = \frac{A C}{A B}

\frac{A C}{A B} = 1

A C = A B

Tam giác

A B C

vuông tại

A

và có

A B = A C

Vậy tam giác $A B C$ $A B = A C$ nên nó vuông cân tại $A$ (đpcm).

2Cách 2. Chỉ ra góc nhọn đó bằng 45 độ

Định hướng. Trên góc nhọn, $tan$ càng lớn thì góc càng lớn nên $tan B = 1 = tan 4 5^{\circ}$ buộc $B = 4 5^{\circ}$ ; hai góc nhọn khi đó bằng nhau.

tan 4 5^{\circ} = 1

tan B = 1 = tan 4 5^{\circ}

B = 4 5^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

B = C

Vậy tam giác có $B = C = 4 5^{\circ}$ nên nó vuông cân (đpcm).

3Cách 3. Dùng quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau

Định hướng. Từ $tan B = 1$ suy ra $cot B = 1$ , mà $cot B = tan C$ vì hai góc nhọn phụ nhau, nên hai góc có cùng $tan$ .

tan B = 1

cot B = \frac{1}{tan B} = 1

B + C = 9 0^{\circ}

tan C = cot B = 1

tan B = tan C

B = C

A B = A C

Vậy tam giác vuông đã cho có $B = C; A B = A C$ nên nó vuông cân (đpcm).

Nhận xét. Ba cách cùng chỉ ra rằng $tan α = 1$ là dấu nhận biết duy nhất của góc $4 5^{\circ}$ trong miền góc nhọn, vì $tan$ tăng nghiêm ngặt nên không có góc nhọn thứ hai nào cho giá trị $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ ba dòng là xong và không cần viện tới tính đơn điệu của

tan

, thứ mà lớp 9 mới chỉ công nhận chứ chưa chứng minh.

Đáp số. Tam giác vuông có một góc nhọn với tang bằng

1

thì hai cạnh góc vuông bằng nhau, nên nó vuông cân

Sai lầm thường gặp. Viết

tan B = \frac{A C}{B C}

tức lấy cạnh huyền làm mẫu, đó là công thức của

sin

chứ không phải

tan

. Lỗi thứ hai là kết luận tam giác đều: hai cạnh góc vuông bằng

a

thì cạnh huyền bằng

a 2

, khác

a

nên không thể đều.

🚀 Mở rộng. Tam giác vuông có một góc nhọn với

tan α = 3

thì ba góc của nó bằng bao nhiêu, và tỉ lệ ba cạnh là bao nhiêu?

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 4.12★★Trang 46— Nhận ra góc đặc biệt từ giá trị tang cho trước

Bài 4.12 (trang 46). a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng

\frac{3}{3}

.
b) Một hình chữ nhật có kích thước

3

và

3

. Tính các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.

Kiến thức cần nhớ

$tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , $tan 6 0^{\circ} = 3$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên biết một góc là suy ra góc còn lại.
Đường chéo của hình chữ nhật chia nó thành hai tam giác vuông bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị

\frac{3}{3}

chính là

\frac{1}{3}

, đúng bằng

tan 3 0^{\circ}

lấy từ nửa tam giác đều, nên nhận ra nó là xong nửa bài. Ở ý b) đường chéo cắt hình chữ nhật thành hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là

3

và

3

, thương của chúng lại rơi đúng vào giá trị ở ý a). Bẫy là chỉ trả lời một góc trong khi đường chéo tạo với hai cạnh kề hai góc khác nhau.

1Cách 1. Nhận diện giá trị tang của góc đặc biệt

Định hướng. Quy $\frac{3}{3}$ về $\frac{1}{3}$ rồi đối chiếu bảng giá trị của góc đặc biệt.

tan α = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

α = 3 0^{\circ}

Góc nhọn còn lại bằng

9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

tan C A B = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{3}

C A B = 3 0^{\circ}

A C B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy tam giác ở ý a) có ba góc $3 0^{\circ}; 6 0^{\circ}; 9 0^{\circ}$ , còn đường chéo ở ý b) tạo với hai cạnh hai góc $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dựng lại tam giác cụ thể rồi dùng sin

Định hướng. Chọn hai cạnh góc vuông đúng tỉ lệ, tính cạnh huyền, rồi đọc $sin$ để nhận ra góc mà không cần thuộc bảng $tan$ .

a) Chọn cạnh đối bằng

3

, cạnh kề bằng

3

c^{2} = (3)^{2} + 3^{2}

c^{2} = 3 + 9

c^{2} = 12

c = 23

sin α = \frac{3}{2 3} = \frac{1}{2}

α = 3 0^{\circ}

A C^{2} = 3^{2} + (3)^{2} = 12

A C = 23

sin C A B = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{2 3} = \frac{1}{2}

C A B = 3 0^{\circ}

A C B = 6 0^{\circ}

Vậy đường chéo dài $23$ và tạo với cạnh dài góc $3 0^{\circ}$ , với cạnh ngắn góc $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng côtang của góc còn lại

Định hướng. Lật ngược phân số để có $cot$ của chính góc đó, cũng là $tan$ của góc phụ, nên hai góc nhọn lộ ra cùng lúc.

tan α = \frac{3}{3}

cot α = \frac{3}{3} = 3

tan (9 0^{\circ} - α) = cot α = 3 = tan 6 0^{\circ}

9 0^{\circ} - α = 6 0^{\circ}

α = 3 0^{\circ}

b) Đường chéo

A C

tạo với

A B

góc có

cot

bằng

\frac{3}{3} = 3

, với

B C

góc có

tan

bằng

3

C A B = 3 0^{\circ}

A C B = 6 0^{\circ}

Vậy hai góc phải tìm là $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Tỉ lệ cạnh $3 : 3 : 23$ rút gọn thành $1 : 3 : 2$ , đúng bộ tỉ lệ đặc trưng của nửa tam giác đều, nên nhìn ba số đó là đoán được ngay hai góc $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nếu đã thuộc bảng giá trị góc đặc biệt, chỉ mất hai dòng; Cách 2 dành cho lúc quên bảng vì nó tự tính lại cạnh huyền.

Đáp số. a) Ba góc là

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

· b) đường chéo dài

23

, tạo với cạnh dài

3

góc

3 0^{\circ}

và với cạnh ngắn

3

góc

6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Đọc

\frac{3}{3}

thành

3

rồi trả lời

6 0^{\circ}

: hai giá trị này là nghịch đảo của nhau nên ứng với hai góc phụ nhau. Lỗi thứ hai ở ý b) là chỉ nêu một góc

3 0^{\circ}

trong khi đề hỏi các góc tạo bởi đường chéo và cạnh, phải đủ cả

6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Hình chữ nhật có kích thước

a

và

a 3

thì đường chéo luôn tạo với hai cạnh các góc

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

, không phụ thuộc

a

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.13★Trang 46— Dùng máy tính cầm tay tìm tang và côtang của góc nhọn

Bài 4.13 (trang 46). Dùng MTCT, hãy tìm tang và côtang của góc nhọn

α

khi

α

lần lượt bằng

1 0^{\circ}

2 0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 0^{\circ}

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

$cot α = \frac{1}{tan α}$ với mọi góc nhọn $α$ .
$cot α = tan (9 0^{\circ} - α)$ vì hai góc phụ nhau đổi vai trò tang và côtang.
$tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3} \approx 0, 577$ và $cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1, 732$ .

🧠 Phân tích tư duy

Máy tính thường chỉ có phím

tan

chứ không có phím

cot

, nên phải biết

cot

là nghịch đảo của

tan

để lấy được cột thứ hai. Khác với

sin

, giá trị

tan

của góc nhọn không bị chặn bởi

1

nên đừng ngạc nhiên khi

cot 1 0^{\circ}

lớn hơn

5

. Mốc kiểm tra tốt nhất là

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

và

cot 3 0^{\circ} = 3

, hai số có giá trị đúng biết trước.

1Cách 1. Bấm phím tang rồi lấy nghịch đảo

Định hướng. Một lần bấm $tan$ cho cột thứ nhất, một lần bấm nghịch đảo cho cột thứ hai.

tan 1 0^{\circ} \approx 0, 176

và

cot 1 0^{\circ} = \frac{1}{tan 1 0 ^{\circ}} \approx 5, 671

tan 2 0^{\circ} \approx 0, 364

và

cot 2 0^{\circ} \approx 2, 747

tan 3 0^{\circ} \approx 0, 577

và

cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

tan 4 0^{\circ} \approx 0, 839

và

cot 4 0^{\circ} \approx 1, 192

Vậy $tan \approx 0, 176; 0, 364; 0, 577; 0, 839$ và $cot \approx 5, 671; 2, 747; 1, 732; 1, 192$ .

2Cách 2. Lấy côtang bằng tang của góc phụ

Định hướng. Thay vì bấm nghịch đảo, bấm thẳng $tan$ của góc phụ, hai đường khác nhau mà ra cùng số thì kết quả chắc chắn đúng.

cot 1 0^{\circ} = tan 8 0^{\circ} \approx 5, 671

cot 2 0^{\circ} = tan 7 0^{\circ} \approx 2, 747

cot 3 0^{\circ} = tan 6 0^{\circ} \approx 1, 732

cot 4 0^{\circ} = tan 5 0^{\circ} \approx 1, 192

Vậy bốn giá trị côtang là $5, 671; 2, 747; 1, 732; 1, 192$ .

3Cách 3. Tính từ sin và côsin rồi đối chiếu góc đặc biệt

Định hướng. Dùng $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và lấy giá trị đúng của góc $3 0^{\circ}$ làm mốc soát máy.

tan 1 0^{\circ} = \frac{sin 1 0 ^{\circ}}{cos 1 0 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 174}{0 , 985} \approx 0, 176

tan 2 0^{\circ} \approx \frac{0 , 342}{0 , 940} \approx 0, 364

tan 3 0^{\circ} = \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{3}{3} \approx 0, 577

cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1, 732

tan 4 0^{\circ} \approx \frac{0 , 643}{0 , 766} \approx 0, 839

Vậy kết quả trùng khít Cách 1, riêng góc $3 0^{\circ}$ có giá trị đúng $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}; cot 3 0^{\circ} = 3$ .

Nhận xét. Tích $tan α \cdot cot α$ luôn bằng $1$ : thử với $1 0^{\circ}$ được $0, 176 \cdot 5, 671 \approx 0, 998$ , lệch khỏi $1$ chỉ vì đã làm tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho gọn, nhưng nếu máy không có phím nghịch đảo thì Cách 2 tiện hơn hẳn vì chỉ dùng đúng một phím

tan

Đáp số.

tan 1 0^{\circ} \approx 0, 176

;

tan 2 0^{\circ} \approx 0, 364

;

tan 3 0^{\circ} \approx 0, 577

;

tan 4 0^{\circ} \approx 0, 839

cot 1 0^{\circ} \approx 5, 671

;

cot 2 0^{\circ} \approx 2, 747

;

cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

;

cot 4 0^{\circ} \approx 1, 192

Sai lầm thường gặp. Tưởng

cot α = 1 - tan α

nên với

1 0^{\circ}

0, 824

thay vì

5, 671

;

cot

là nghịch đảo chứ không phải phần bù. Lỗi thứ hai là lấy

cot 1 0^{\circ} = \frac{1}{0 , 176} \approx 5, 682

, tức lấy nghịch đảo của số đã làm tròn nên sai ở chữ số thập phân thứ hai.

🚀 Mở rộng. Khi góc nhọn tiến dần về

9 0^{\circ}

thì

tan

tăng vô hạn còn

cot

giảm về

0

; hãy bấm thử

tan 8 9^{\circ}

và

cot 8 9^{\circ}

để thấy rõ điều đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 4.14★★Trang 46— Tính tang và côtang nhờ tính chất đường cao trong tam giác cân

Bài 4.14 (trang 46). Tính tang, côtang của góc kề đáy của tam giác cân biết cạnh đáy dài

8

cm, đường cao ứng với đáy dài

5

cm.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến.
$tan$ bằng cạnh đối chia cạnh kề, $cot$ bằng cạnh kề chia cạnh đối.
$tan α \cdot cot α = 1$ nên có một tỉ số là suy ra tỉ số kia.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác cân chưa phải tam giác vuông, nên chìa khoá là đường cao ứng với đáy vì nó đồng thời là trung tuyến, cắt tam giác thành hai tam giác vuông bằng nhau. Khi đó góc kề đáy nằm gọn trong một tam giác vuông có cạnh kề là nửa đáy và cạnh đối là đường cao. Bẫy là lấy nguyên cạnh đáy

8

cm làm cạnh kề, phải nhớ chia đôi thành

4

cm.

1Cách 1. Dùng đường cao chia đôi cạnh đáy

Định hướng. Đường cao ứng với đáy chia đáy thành hai nửa bằng nhau, tạo ra tam giác vuông chứa đúng góc kề đáy.

Tam giác

A B C

cân tại

A

B C = 8

cm,

A H ⊥ B C

tại

H

A H = 5

H B = H C = \frac{B C}{2} = \frac{8}{2} = 4

(cm)

tan B = \frac{A H}{H B} = \frac{5}{4}

cot B = \frac{H B}{A H} = \frac{4}{5}

Vậy góc kề đáy có $tan B = \frac{5}{4}; cot B = \frac{4}{5}$ .

2Cách 2. Tính cạnh bên rồi đi qua sin và côsin

Định hướng. Có cạnh bên thì đọc được $sin$ và $cos$ của góc kề đáy, và $tan$ chính là thương của hai số đó.

A B^{2} = A H^{2} + H B^{2}

A B^{2} = 5^{2} + 4^{2}

A B^{2} = 25 + 16

A B^{2} = 41

A B = 41

(cm)

sin B = \frac{A H}{A B} = \frac{5}{41}

cos B = \frac{H B}{A B} = \frac{4}{41}

tan B = \frac{sin B}{cos B} = \frac{5}{41} : \frac{4}{41}

tan B = \frac{5}{4}

cot B = \frac{cos B}{sin B} = \frac{4}{5}

Vậy $tan B = \frac{5}{4}; cot B = \frac{4}{5}$ , với cạnh bên $A B = 41$ cm.

3Cách 3. Lấy côtang từ tang của góc phụ ở đỉnh

Định hướng. Trong tam giác vuông $A B H$ , góc $B A H$ phụ với góc kề đáy, nên $tan$ của nó chính là $cot$ cần tìm.

B A H + B = 9 0^{\circ}

tan B A H = \frac{H B}{A H} = \frac{4}{5}

cot B = tan B A H = \frac{4}{5}

tan B = \frac{1}{cot B} = \frac{5}{4}

\frac{5}{4} = 1, 25

ứng với góc kề đáy xấp xỉ

51, 3 4^{\circ}

Vậy $tan B = \frac{5}{4} = 1, 25; cot B = \frac{4}{5} = 0, 8$ , góc kề đáy xấp xỉ $5 1^{\circ}$ .

Nhận xét. Cả hai góc kề đáy đều cho cùng kết quả vì tam giác cân, và tích $\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1$ đúng như quan hệ nghịch đảo giữa tang và côtang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một dòng chia đôi cạnh đáy là đọc được cả hai tỉ số, không phải khai căn nên giữ được kết quả dạng phân số gọn.

Đáp số.

tan B = \frac{5}{4} = 1, 25

và

cot B = \frac{4}{5} = 0, 8

Sai lầm thường gặp. Lấy

tan = \frac{5}{8}

vì giữ nguyên cả cạnh đáy làm cạnh kề: cạnh kề của góc kề đáy chỉ là nửa đáy, tức

4

cm. Lỗi thứ hai là đảo vai trò hai tỉ số, ghi

tan = \frac{4}{5}

, trong khi

tan

phải lớn hơn

1

vì đường cao dài hơn nửa đáy.

🚀 Mở rộng. Tam giác cân có cạnh đáy

2 m

và đường cao ứng với đáy bằng

h

thì góc kề đáy luôn có

tan = \frac{h}{m}

; thử xem đáy phải bằng bao nhiêu để góc kề đáy đúng bằng

6 0^{\circ}

khi

h = 5

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 4.15★★★Trang 46— Chứng minh các hệ thức lượng giác cơ bản từ định nghĩa

Bài 4.15 (trang 46). Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác

sin α

cos α

tan α

cot α

, hãy chứng minh rằng:
a)

tan α = \frac{sin α}{cos α}

cot α = \frac{cos α}{sin α}

;
b)

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Kiến thức cần nhớ

Với tam giác vuông có cạnh huyền $a$ , cạnh đối $b$ và cạnh kề $c$ của góc $α$ thì $sin α = \frac{b}{a}$ , $cos α = \frac{c}{a}$ , $tan α = \frac{b}{c}$ , $cot α = \frac{c}{b}$ .
Định lí Pythagore cho $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ .
Hệ quả hay dùng: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ và $tan α \cdot cot α = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt buộc xuất phát từ định nghĩa, nên việc đầu tiên là gọi tên ba cạnh của một tam giác vuông rồi viết cả bốn tỉ số theo ba chữ đó. Khi mọi thứ đã là phân số của cùng ba đại lượng thì hai vế chỉ còn là phép rút gọn thuần tuý. Ý b) cần thêm định lí Pythagore, đó là chỗ duy nhất mang thông tin hình học thật sự.

1Cách 1. Viết cả bốn tỉ số theo ba cạnh rồi rút gọn

Định hướng. Đặt tên ba cạnh, thay vào hai vế và rút gọn; cạnh huyền sẽ tự triệt tiêu.

Tam giác vuông có góc nhọn

α

, cạnh đối

b

, cạnh kề

c

, cạnh huyền

a

\frac{sin α}{cos α} = \frac{b}{a} : \frac{c}{a}

\frac{sin α}{cos α} = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c}

\frac{sin α}{cos α} = \frac{b}{c} = tan α

\frac{cos α}{sin α} = \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = \frac{c}{b} = cot α

1 + tan^{2} α = 1 + \frac{b ^{2}}{c ^{2}}

1 + tan^{2} α = \frac{c ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}

1 + tan^{2} α = \frac{a ^{2}}{c ^{2}}

1 + tan^{2} α = \frac{1}{\frac{c ^{2}}{a ^{2}}} = \frac{1}{cos ^{2} α}

Vậy $tan α = \frac{sin α}{cos α}; cot α = \frac{cos α}{sin α}; 1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ (đpcm).

2Cách 2. Lấy ý b) từ ý a) và hằng đẳng thức lượng giác

Định hướng. Dùng luôn kết quả ý a) để đưa $tan^{2} α$ về $sin$ và $cos$ , rồi quy đồng và dùng $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

1 + tan^{2} α = 1 + (\frac{sin α}{cos α})^{2}

1 + tan^{2} α = 1 + \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α}

1 + tan^{2} α = \frac{cos ^{2} α}{cos ^{2} α} + \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α}

1 + tan^{2} α = \frac{sin ^{2} α + cos ^{2} α}{cos ^{2} α}

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Vậy $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ (đpcm).

3Cách 3. Xuất phát từ vế phải đi ngược về vế trái

Định hướng. Biến đổi $\frac{1}{cos ^{2} α}$ theo cạnh, tách $a^{2}$ bằng Pythagore rồi đọc ngược lại thành $1 + tan^{2} α$ .

\frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{a ^{2}}{c ^{2}}

\frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{c ^{2}}

\frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{b ^{2}}{c ^{2}} + \frac{c ^{2}}{c ^{2}}

\frac{1}{cos ^{2} α} = tan^{2} α + 1

\frac{1}{sin ^{2} α} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b ^{2}} = 1 + cot^{2} α

Vậy ngoài đẳng thức phải chứng minh còn thu thêm $1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}$ (đpcm).

Nhận xét. Cả bốn hệ thức của bài đều chỉ là định lí Pythagore $b^{2} + c^{2} = a^{2}$ nhìn dưới ba cách chia: chia cho $a^{2}$ cho hằng đẳng thức cơ bản, chia cho $c^{2}$ cho ý b), chia cho $b^{2}$ cho hệ thức với $cot$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đích danh dùng định nghĩa, và một lần đặt tên cạnh là giải được trọn cả hai ý mà không phải mượn kết quả nào khác.

Đáp số. Cả ba đẳng thức đều đúng; thêm hệ thức đồng dạng

1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) viết

1 + tan^{2} α = (1 + tan α)^{2}

rồi khai triển: thử

α = 4 5^{\circ}

thì vế trái bằng

2

còn vế phải bằng

4

. Lỗi thứ hai là quên điều kiện

cos α \neq = 0

, tuy với góc nhọn thì điều kiện này luôn thoả nên không ảnh hưởng kết quả.

🚀 Mở rộng. Từ ba hệ thức trên, hãy rút ra công thức tính

sin α

chỉ theo

tan α

, rồi kiểm lại bằng trường hợp

tan α = \frac{3}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 4.16★★Trang 46— Tính sin và côsin khi biết tang của góc nhọn

Bài 4.16 (trang 46). Cho góc

α

có

tan α = \frac{3}{4}

. Tính

sin α

cos α

Kiến thức cần nhớ

$tan α$ bằng cạnh đối chia cạnh kề nên chỉ xác định TỈ LỆ của hai cạnh góc vuông, không xác định độ dài.
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ và $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ .
$1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ (bài $4.15$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Biết

tan α

tức biết tỉ lệ hai cạnh góc vuông, còn

sin

và

cos

lại cần cạnh huyền, nên mắt xích thiếu chính là cạnh huyền. Tỉ lệ

3 : 4

gợi ngay bộ ba Pythagore

3

4

5

nên cạnh huyền là

5

và mọi tỉ số ra số đẹp. Bẫy là kết luận luôn

sin α = 3

và

cos α = 4

, trong khi

sin

và

cos

của góc nhọn luôn nhỏ hơn

1

1Cách 1. Dựng tam giác vuông cụ thể có hai cạnh góc vuông 3 và 4

Định hướng. Tỉ số lượng giác không đổi theo kích thước, nên chọn luôn cặp cạnh $3$ và $4$ rồi tính cạnh huyền.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

B = α

A C = 3

A B = 4

tan α = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{4}

B C^{2} = 3^{2} + 4^{2}

B C^{2} = 9 + 16

B C^{2} = 25

B C = 5

sin α = \frac{A C}{B C} = \frac{3}{5}

cos α = \frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}

Vậy $sin α = \frac{3}{5} = 0, 6; cos α = \frac{4}{5} = 0, 8$ .

2Cách 2. Dùng hệ thức

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

Định hướng. Hệ thức ở bài $4.15$ cho $cos α$ ngay từ $tan α$ , rồi nhân lại để có $sin α$ , hoàn toàn không cần hình.

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

1 + (\frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} α}

1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{cos ^{2} α}

\frac{25}{16} = \frac{1}{cos ^{2} α}

cos^{2} α = \frac{16}{25}

cos α = \frac{4}{5}

(vì

cos α > 0

)

sin α = tan α \cdot cos α = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}

sin α = \frac{3}{5}

Vậy $sin α = \frac{3}{5}; cos α = \frac{4}{5}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn tỉ lệ rồi dùng hằng đẳng thức lượng giác

Định hướng. Tỉ số $\frac{sin α}{cos α} = \frac{3}{4}$ cho phép đặt $sin α = 3 k$ , $cos α = 4 k$ , rồi hằng đẳng thức cơ bản khoá giá trị của $k$ .

\frac{sin α}{cos α} = \frac{3}{4}

sin α = 3 k

cos α = 4 k

với

k > 0

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

9 k^{2} + 16 k^{2} = 1

25 k^{2} = 1

k^{2} = \frac{1}{25}

k = \frac{1}{5}

sin α = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

cos α = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

Vậy $sin α = \frac{3}{5}; cos α = \frac{4}{5}$ , ứng với góc $α \approx 3 7^{\circ}$ .

Nhận xét. Kiểm lại nhanh: $(\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = \frac{9 + 16}{25} = 1$ và $\frac{3}{5} : \frac{4}{5} = \frac{3}{4}$ , cả hai điều kiện đều khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bộ ba

3

4

5

cho cạnh huyền tức khắc, chỉ ba dòng là ra đáp số mà không phải nhớ hệ thức nào.

Đáp số.

sin α = \frac{3}{5} = 0, 6

và

cos α = \frac{4}{5} = 0, 8

Sai lầm thường gặp. Trả lời

sin α = 3

cos α = 4

vì lấy thẳng tử và mẫu của

\frac{3}{4}

: với góc nhọn thì

sin

và

cos

luôn nằm giữa

0

và

1

. Lỗi thứ hai là ở Cách 2 lấy cả nghiệm âm

cos α = - \frac{4}{5}

, giá trị này bị loại vì

α

là góc nhọn.

🚀 Mở rộng. Cũng ba cách đó, nếu

tan α = \frac{m}{n}

thì

sin α = \frac{m}{m ^{2} + n ^{2}}

và

cos α = \frac{n}{m ^{2} + n ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 4.17★★★Trang 46— Chứng minh chiều biến thiên của sin và côsin trên góc nhọn

Bài 4.17 (trang 46). Với

α < β < 9 0^{\circ}

, hãy chứng minh rằng:
a)

cos α > cos β

;
b)

sin α < sin β

Kiến thức cần nhớ

Với $0 < x < y$ thì $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ , và $x^{2} < y^{2}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , mọi tỉ số lượng giác của góc nhọn đều dương.
$sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ và $cos α = sin (9 0^{\circ} - α)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài so sánh chứ không phải bài tính, nên phải dựng được một hình trong đó hai góc

α

và

β

cùng xuất hiện với một cạnh dùng chung. Giữ cố định một cạnh góc vuông rồi cho góc lớn dần, cạnh huyền sẽ dài ra, mà

cos

có cạnh đó ở tử và cạnh huyền ở mẫu nên

cos

giảm. Ý b) không cần hình mới: chỉ việc bình phương và dùng hằng đẳng thức là đảo được chiều bất đẳng thức.

1Cách 1. Dựng hai tam giác vuông chung một cạnh góc vuông

Định hướng. Cố định cạnh $O A$ , đặt hai góc $α$ và $β$ tại $O$ ; góc lớn hơn cho cạnh huyền dài hơn nên $cos$ nhỏ hơn.

Tam giác

O A B

vuông tại

A

với

A O B = α

; trên tia

A B

lấy

C

sao cho

A O C = β

α < β

nên

B

nằm giữa

A

và

C

A B < A C

O B^{2} = O A^{2} + A B^{2} < O A^{2} + A C^{2} = O C^{2}

O B < O C

cos α = \frac{O A}{O B} > \frac{O A}{O C} = cos β

0 < cos β < cos α

cos^{2} β < cos^{2} α

1 - cos^{2} β > 1 - cos^{2} α

sin^{2} β > sin^{2} α

sin β > sin α

Vậy $cos α > cos β$ và $sin α < sin β$ (đpcm).

2Cách 2. Chuyển ý b) về ý a) bằng hai góc phụ nhau

Định hướng. Lấy phần bù tới $9 0^{\circ}$ thì thứ tự hai góc đảo lại, và $sin$ biến thành $cos$ , nên ý b) là ý a) viết cho cặp góc mới.

α < β < 9 0^{\circ}

9 0^{\circ} - α > 9 0^{\circ} - β > 0^{\circ}

cos (9 0^{\circ} - β) > cos (9 0^{\circ} - α)

sin β > sin α

sin α < sin β

Vậy $sin α < sin β$ (đpcm).

3Cách 3. Đi qua tang và hệ thức của bài 4.15

Định hướng. Giữ cạnh kề cố định thì cạnh đối dài ra khi góc tăng, nên $tan$ tăng; hệ thức $1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}$ chuyển điều đó thành kết luận cho $cos$ .

Tam giác

O A B

vuông tại

A

O A

cố định,

A O B = α

A O C = β

A B < A C

tan α = \frac{A B}{O A} < \frac{A C}{O A} = tan β

1 + tan^{2} α < 1 + tan^{2} β

\frac{1}{cos ^{2} α} < \frac{1}{cos ^{2} β}

cos^{2} α > cos^{2} β

cos α > cos β

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α < 1 - cos^{2} β = sin^{2} β

sin α < sin β

Vậy $cos α > cos β; sin α < sin β$ (đpcm).

Nhận xét. Kết quả này giải thích vì sao ở bài $4.4$ dãy $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ tăng dần lại cho góc tăng khi đọc bằng $sin$ nhưng giảm dần khi đọc bằng $cos$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho ý a) rồi Cách 2 cho ý b): Cách 2 chỉ ba dòng, không phải bình phương nên tránh được lập luận về dấu của hai vế.

Đáp số. Trên khoảng góc nhọn,

cos

giảm còn

sin

tăng:

cos α > cos β

và

sin α < sin β

Sai lầm thường gặp. Từ

cos^{2} α > cos^{2} β

suy ngay

cos α > cos β

mà không nói hai số đều dương: với hai số trái dấu thì bình phương lớn hơn không kéo theo số lớn hơn. Lỗi thứ hai là dùng thử vài giá trị cụ thể rồi coi là chứng minh, trong khi đề đòi đúng cho mọi cặp góc nhọn.

🚀 Mở rộng. Cũng lập luận như thế, hãy chứng minh

tan α < tan β

và

cot α > cot β

khi

α < β < 9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗