Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 25 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 66— Xác định góc nhọn của tam giác vuông khi biết hai cạnh

Mở đầu (trang 66). Ta có thể xác định "góc dốc"

α

của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là

a

và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là

h

không? (H.4.1). (Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn

6^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của một góc nhọn $α$ gọi là $sin α$ .
Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc nhọn $α$ gọi là $tan α$ .
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng, nên các tỉ số hai cạnh tương ứng của chúng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho độ dài mặt dốc

a

và độ cao

h

của đỉnh dốc — trong tam giác vuông dựng bởi mặt dốc, đường nằm ngang và đường thẳng đứng thì

h

là cạnh đối còn

a

là cạnh huyền của góc dốc, đúng bộ đôi làm nên sin. Vì hai tam giác vuông có cùng một góc nhọn thì đồng dạng, tỉ số

h : a

chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc dốc chứ không phụ thuộc đoạn dốc dài hay ngắn, nên biết tỉ số đó là biết góc. Bẫy nằm ở chỗ nhầm

a

với cạnh nằm ngang:

a

là quãng đường đi trên mặt dốc, còn hình chiếu của nó xuống đường nằm ngang bé hơn

a

1Cách 1. Lập tỉ số sin ngay từ hai dữ kiện có sẵn

Định hướng. Gọi $A B C$ là tam giác vuông tại $C$ với $A B$ là mặt dốc, $B C$ là đường nằm ngang và $A C$ là độ cao của đỉnh dốc, khi đó góc dốc là $B = α$ có cạnh đối $A C = h$ và cạnh huyền $A B = a$ .

sin α = \frac{A C}{A B}

sin α = \frac{h}{a}

a = 4

h = 0, 4

sin α = \frac{0 , 4}{4}

sin α = 0, 1

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

Vậy xác định được góc dốc, với $sin α = \frac{h}{a}$ .

2Cách 2. Tính cạnh nằm ngang bằng định lí Pythagore rồi dùng tang

Định hướng. Khi đã có cạnh nằm ngang thì góc dốc có đủ cạnh đối và cạnh kề, tức là tính được tang của nó.

B C^{2} = A B^{2} - A C^{2}

B C^{2} = a^{2} - h^{2}

B C = a^{2} - h^{2}

tan α = \frac{A C}{B C}

tan α = \frac{h}{a ^{2} - h ^{2}}

a = 4

h = 0, 4

B C = 16 - 0, 16

B C \approx 3, 98

tan α \approx \frac{0 , 4}{3 , 98}

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

Vậy xác định được góc dốc, với $tan α = \frac{h}{a ^{2} - h ^{2}}$ .

3Cách 3. Lập luận bằng tam giác đồng dạng, không cần tính

Định hướng. Chỉ cần chỉ ra rằng tỉ số $h : a$ đặc trưng cho độ lớn của góc dốc là đã trả lời được câu hỏi, khỏi phải tính ra số đo.

Xét hai đoạn dốc có cùng góc dốc

α

, cho hai tam giác vuông

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

vuông tại

C

và

C^{'}

B = B^{'} = α

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

(g.g)

\frac{A C}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}}

\frac{h}{a} = \frac{h ^{'}}{a ^{'}}

Vậy mỗi góc dốc $α$ ứng với đúng một tỉ số $\frac{h}{a} = sin α$ , nên biết $h$ và $a$ là xác định được $α$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao bài toán có lời giải, còn Cách 1 và Cách 2 cho cách tìm số đo cụ thể; riêng Cách 2 phải qua một phép căn nên dễ sai số hơn Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một dòng lập tỉ số rồi bấm máy, không phải khai căn như Cách 2 nên vừa nhanh vừa không tích luỹ sai số.

Đáp số. Xác định được góc dốc:

sin α = \frac{h}{a}

, từ đó dùng máy tính cầm tay tìm

α

. Với

a = 4

m và

h = 0, 4

m thì

sin α = 0, 1

nên

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

Sai lầm thường gặp. Lẫn mặt dốc với đường nằm ngang, viết

tan α = \frac{h}{a} = \frac{0 , 4}{4}

rồi ra

α \approx 5^{\circ} 4 3^{'}

— sai vì

a

là cạnh huyền chứ không phải cạnh kề. Một lỗi nữa là kết luận "không xác định được vì thiếu cạnh thứ ba", trong khi định lí Pythagore cho ngay cạnh còn lại.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu quy định góc dốc không vượt quá

6^{\circ}

thì đoạn dốc dài

a

chỉ được nâng cao tối đa

h = a \cdot sin 6^{\circ} \approx 0, 1045 a

— hãy thử tìm chiều dài dốc tối thiểu để nâng sàn lên

0, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi★Trang 67— Nhận biết cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền của một góc nhọn trong tam giác vuông

Câu hỏi (trang 67). Xét góc

C

của tam giác

A B C

vuông tại

A

(H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc

C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông là cạnh huyền.
Với một góc nhọn của tam giác vuông, cạnh góc vuông không chứa đỉnh của góc đó là cạnh đối, cạnh góc vuông chứa đỉnh của góc đó là cạnh kề.
Hai góc nhọn của một tam giác vuông là hai góc phụ nhau nên vai trò đối, kề của hai cạnh góc vuông đổi chỗ cho nhau khi đổi góc.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi chỉ yêu cầu đọc hình nên mấu chốt là bám sát định nghĩa: cạnh huyền luôn là cạnh đối diện góc vuông, hai cạnh góc vuông còn lại mới chia nhau vai trò đối và kề. Xuất phát từ đỉnh

C

mà đi, cạnh nào chứa

C

thì kề, cạnh nào không chứa

C

thì đối. Bẫy của bài là chép máy móc kết quả của góc

B

ở hình trước: đổi góc thì vai trò của

A B

và

A C

đổi chỗ cho nhau.

1Cách 1. Đọc thẳng theo định nghĩa cạnh đối và cạnh kề

Định hướng. Xét xem trong hai cạnh góc vuông $A B$ và $A C$ , cạnh nào chứa đỉnh $C$ và cạnh nào không chứa đỉnh $C$ .

Tam giác

A B C

vuông tại

A

Hai cạnh góc vuông là

A B

và

A C

; cạnh huyền là

B C

Cạnh

A B

không chứa đỉnh

C

Cạnh

A C

chứa đỉnh

C

Vậy $A B$ là cạnh đối và $A C$ là cạnh kề của góc $C$ .

2Cách 2. Loại trừ cạnh huyền rồi xét cạnh nhìn thấy góc

Định hướng. Gạt cạnh huyền ra trước, hai cạnh còn lại chỉ có thể là đối hoặc kề, mà cạnh đối phải nằm đối diện góc $C$ .

A = 9 0^{\circ}

B C

đối diện

A

nên

B C

là cạnh huyền
Còn lại hai cạnh góc vuông

A B

và

A C

A B

nằm đối diện đỉnh

C

A C

có một đầu mút là

C

Vậy cạnh đối của góc $C$ là $A B$ , cạnh kề của góc $C$ là $A C$ .

3Cách 3. So sánh với góc B vì hai góc nhọn phụ nhau

Định hướng. Hình 4.2 đã chỉ rõ vai trò của hai cạnh đối với góc $B$ ; đổi sang góc nhọn còn lại thì hai vai trò ấy hoán đổi cho nhau.

Với góc

B

: cạnh đối là

A C

, cạnh kề là

A B

B + C = 9 0^{\circ}

nên

B

và

C

là hai góc nhọn của cùng tam giác vuông

A B C

Đỉnh của góc đổi từ

B

sang

C

nên cạnh chứa đỉnh đổi từ

A B

sang

A C

Cạnh đối và cạnh kề của góc

C

đổi chỗ so với góc

B

Vậy với góc $C$ thì cạnh đối là $A B$ , cạnh kề là $A C$ , cạnh huyền vẫn là $B C$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 3 đáng nhớ nhất vì cho thấy quy luật "đổi góc thì đối và kề đổi chỗ", còn cạnh huyền thì không bao giờ đổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhìn xem cạnh có chứa đỉnh của góc hay không là trả lời ngay, không phải lập luận vòng qua góc còn lại như Cách 3.

Đáp số. Cạnh đối của góc

C

là

A B

; cạnh kề của góc

C

là

A C

(cạnh huyền là

B C

Sai lầm thường gặp. Trả lời cạnh đối của góc

C

là

A C

và cạnh kề là

A B

vì bê nguyên kết quả của góc

B

ở Hình 4.2. Một lỗi nữa là gọi

B C

là cạnh kề của góc

C

chỉ vì

B C

có chứa đỉnh

C

, trong khi

B C

là cạnh huyền nên không mang vai trò đối hay kề.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong tam giác vuông tại

A

, cạnh đối của một góc nhọn luôn là cạnh góc vuông mang tên đỉnh còn lại, nên

sin B = cos C

và

tan B = cot C

— hãy kiểm lại nhận xét này sau khi học Mục 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ1★★Trang 67— Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng và suy ra các tỉ số cạnh bằng nhau

HĐ1 (trang 67). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

và tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

vuông tại

A^{'}

có

B = B^{'} = α

. Chứng minh rằng:
a)

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

;
b)

\frac{A C}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A C}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}}

\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng (trường hợp góc – góc).
Hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ: $\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}$ .
Tính chất trung tỉ: từ $\frac{m}{m ^{'}} = \frac{n}{n ^{'}}$ suy ra $\frac{m}{n} = \frac{m ^{'}}{n ^{'}}$ .
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác đều vuông và lại có thêm một cặp góc nhọn bằng nhau — dấu hiệu quá rõ của trường hợp đồng dạng góc – góc, nên câu a) chỉ cần nêu đúng hai cặp góc. Câu b) không phải chứng minh lại từ đầu: bốn đẳng thức đó đều rút ra từ dãy tỉ số đồng dạng bằng phép đổi chỗ trung tỉ, nên viết dãy tỉ số ra trước rồi lấy từng cặp. Bẫy của bài là ghép sai cặp đỉnh tương ứng: phải cho

A

ứng

A^{'}

(hai góc vuông) và

B

ứng

B^{'}

(hai góc

α

), nếu ghép lệch thì mọi tỉ số phía sau đều hỏng.

1Cách 1. Dùng cặp góc vuông và cặp góc nhọn alpha (g.g)

Định hướng. Chỉ ra hai cặp góc bằng nhau để có đồng dạng, rồi từ dãy tỉ số đồng dạng đổi chỗ trung tỉ để lấy ra bốn đẳng thức của câu b).

A = A^{'} = 9 0^{\circ}

B = B^{'} = α

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

(g.g)
b)

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

nên

\frac{A C}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

nên

\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{A B}{A ^{'} B ^{'}}

nên

\frac{A C}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}}

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}}

nên

\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

Vậy $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ và bốn đẳng thức ở câu b) đều đúng.

2Cách 2. Dùng cặp góc nhọn còn lại vì hai góc nhọn phụ nhau

Định hướng. Thay vì dùng cặp góc vuông, tính luôn hai góc $C$ và $C^{'}$ qua $α$ để có cặp góc nhọn thứ hai bằng nhau, vẫn đủ điều kiện góc – góc.

B + C = 9 0^{\circ}

nên

C = 9 0^{\circ} - α

B^{'} + C^{'} = 9 0^{\circ}

nên

C^{'} = 9 0^{\circ} - α

C = C^{'}

B = B^{'} = α

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

(g.g)
b) Đặt

k = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

A C = k \cdot A^{'} C^{'}

;

A B = k \cdot A^{'} B^{'}

;

B C = k \cdot B^{'} C^{'}

\frac{A C}{B C} = \frac{k \cdot A ^{'} C ^{'}}{k \cdot B ^{'} C ^{'}} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A B}{B C} = \frac{k \cdot A ^{'} B ^{'}}{k \cdot B ^{'} C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A C}{A B} = \frac{k \cdot A ^{'} C ^{'}}{k \cdot A ^{'} B ^{'}} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}}

\frac{A B}{A C} = \frac{k \cdot A ^{'} B ^{'}}{k \cdot A ^{'} C ^{'}} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

Vậy $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ và bốn tỉ số ở câu b) bằng nhau từng cặp.

3Cách 3. Dựng hình đặt tam giác nhỏ vào tam giác lớn rồi dùng định lí Thalès

Định hướng. Đặt tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ lên tam giác $A B C$ sao cho hai góc $α$ chồng khít nhau, khi đó hai cạnh góc vuông đối diện song song và định lí Thalès cho ngay dãy tỉ số.

Dựng trên tia

B A

điểm

M

với

B M = B^{'} A^{'}

, trên tia

B C

điểm

N

với

B N = B^{'} C^{'}

Δ M B N

và

Δ A^{'} B^{'} C^{'}

có

B M = B^{'} A^{'}

B = B^{'}

B N = B^{'} C^{'}

nên

Δ M B N = Δ A^{'} B^{'} C^{'}

(c.g.c)

B M N = B^{'} A^{'} C^{'} = 9 0^{\circ} = B A C

M N ∥ A C

(cùng vuông góc với

A B

)

\frac{B M}{B A} = \frac{B N}{B C} = \frac{M N}{A C}

(định lí Thalès)

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}

\frac{A C}{B C} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

;

\frac{A B}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{B ^{'} C ^{'}}

\frac{A C}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A ^{'} B ^{'}}

;

\frac{A B}{A C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

Vậy $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ và bốn đẳng thức tỉ số đều được nghiệm đúng.

Nhận xét. Kết quả này chính là lí do bốn tỉ số $\frac{A C}{B C}$ , $\frac{A B}{B C}$ , $\frac{A C}{A B}$ , $\frac{A B}{A C}$ chỉ phụ thuộc vào $α$ mà không phụ thuộc tam giác vuông cụ thể nào — nền móng để định nghĩa sin, côsin, tang, côtang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng góc là xong câu a), câu b) chỉ là đổi chỗ trung tỉ; Cách 3 tuy hay nhưng phải dựng thêm hình nên dài gấp ba.

Đáp số. a)

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

(g.g). b) Bốn đẳng thức đều đúng, đều suy ra từ dãy tỉ số

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{A C}{A ^{'} C ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}

Sai lầm thường gặp. Viết

Δ A B C ∽ Δ B^{'} A^{'} C^{'}

vì ghép

A

với

B^{'}

, dẫn tới

\frac{A C}{B C} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{A ^{'} C ^{'}}

ngược phân số. Một lỗi nữa là ở câu b) chứng minh lại từng đẳng thức bằng đồng dạng riêng, trong khi chỉ cần một lần đổi chỗ trung tỉ từ dãy tỉ số đã có.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: cứ hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì SÁU tỉ số hai cạnh của tam giác này bằng sáu tỉ số tương ứng của tam giác kia — thử liệt kê đủ sáu tỉ số và chỉ ra chúng đôi một nghịch đảo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 1★Trang 68— Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn khi biết hai cạnh góc vuông

Ví dụ 1 (trang 68). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

, có

A B = 3

cm,

A C = 4

cm (H.4.6). Hãy tính các tỉ số lượng giác

sin α

cos α

tan α

với

α = B

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ .
$sin α$ bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền; $cos α$ bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
$tan α$ bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề; $cot α$ bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối.
Bộ ba $3$ , $4$ , $5$ là bộ ba Pythagore quen thuộc: $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cạnh góc vuông mà ba tỉ số cần tìm lại dính tới cạnh huyền, nên việc đầu tiên là dùng định lí Pythagore lấy

B C

. Có đủ ba cạnh rồi thì chỉ còn thay vào định nghĩa, chú ý

α = B

nên cạnh đối là

A C

và cạnh kề là

A B

. Bẫy nằm ở chỗ nhìn hình thấy

A B

nằm ngang, dài trông giống "đáy" nên dễ lấy nhầm

A B

làm cạnh đối của

α

1Cách 1. Dùng định lí Pythagore tìm cạnh huyền rồi thay vào định nghĩa

Định hướng. Thiếu cạnh huyền thì tính cạnh huyền trước, sau đó với $α = B$ lấy cạnh đối là $A C$ , cạnh kề là $A B$ .

B C^{2} = A C^{2} + A B^{2}

B C^{2} = 4^{2} + 3^{2}

B C^{2} = 16 + 9

B C^{2} = 25

B C = 5

(cm)

sin α = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{5}

cos α = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}

tan α = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3}

Vậy $sin α = \frac{4}{5}; cos α = \frac{3}{5}; tan α = \frac{4}{3}$ .

2Cách 2. Lấy tang trước rồi suy ra sin và côsin

Định hướng. Tang chỉ cần hai cạnh góc vuông nên có ngay; đặt $A C = 4 k$ , $A B = 3 k$ theo tỉ lệ đó rồi tính cạnh huyền theo $k$ , hai tỉ số còn lại rút gọn hết $k$ .

tan α = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3}

Đặt

A C = 4 k

A B = 3 k

với

k > 0

B C^{2} = (4 k)^{2} + (3 k)^{2}

B C^{2} = 25 k^{2}

B C = 5 k

sin α = \frac{4 k}{5 k} = \frac{4}{5}

cos α = \frac{3 k}{5 k} = \frac{3}{5}

Vậy $sin α = \frac{4}{5}; cos α = \frac{3}{5}; tan α = \frac{4}{3}$ .

3Cách 3. Kẻ đường cao AH để đọc tỉ số trên một tam giác vuông khác

Định hướng. Tam giác $A H B$ cũng vuông và cũng chứa góc $α$ , nên tỉ số lượng giác đọc trên tam giác đó phải cho cùng kết quả; đường cao $A H$ lấy từ hai cách tính diện tích tam giác $A B C$ .

B C = 5

cm (theo định lí Pythagore)

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H

3 \cdot 4 = 5 \cdot A H

A H = \frac{12}{5}

(cm)

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 9 - \frac{144}{25} = \frac{81}{25}

B H = \frac{9}{5}

(cm)
Tam giác

A H B

vuông tại

H

có

A B H = α

sin α = \frac{A H}{A B} = \frac{12}{5} : 3 = \frac{4}{5}

cos α = \frac{B H}{A B} = \frac{9}{5} : 3 = \frac{3}{5}

tan α = \frac{A H}{B H} = \frac{12}{5} : \frac{9}{5} = \frac{4}{3}

Vậy $sin α = \frac{4}{5}; cos α = \frac{3}{5}; tan α = \frac{4}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 dài nhất nhưng chứng thực điều quan trọng nhất của bài học: đọc tỉ số trên tam giác vuông nào chứa góc $α$ cũng cho cùng một kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng Pythagore rồi ba dòng thay số, ngắn nhất và không phải đặt thêm chữ như Cách 2.

Đáp số.

B C = 5

cm;

sin α = \frac{4}{5}

cos α = \frac{3}{5}

tan α = \frac{4}{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm

A B

làm cạnh đối vì thấy

A B

nằm ngang, dẫn tới

sin α = \frac{3}{5}

và

tan α = \frac{3}{4}

— đó là các tỉ số của góc

C

chứ không phải của

α = B

. Một lỗi nữa là viết

B C^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25

rồi kết luận luôn

B C = 25

vì quên khai căn.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, với

A B = 3 k

và

A C = 4 k

thì ba tỉ số vẫn là

\frac{4}{5}

\frac{3}{5}

\frac{4}{3}

— hãy thử tìm tất cả các tam giác vuông có ba cạnh nguyên và

sin α = \frac{4}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★Trang 68— Tính đủ bốn tỉ số lượng giác của một góc nhọn từ hai cạnh góc vuông

Luyện tập 1 (trang 68). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 5

cm,

A C = 12

cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc

B

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore cho cạnh huyền: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Với góc $B$ trong tam giác vuông tại $A$ : cạnh đối là $A C$ , cạnh kề là $A B$ , cạnh huyền là $B C$ .
$sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ , $cot B = \frac{A B}{A C}$ .
$cot α = \frac{1}{tan α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài cho hai cạnh góc vuông

5

và

12

, gợi ngay bộ ba Pythagore

5

–

12

–

13

nên cạnh huyền chắc chắn là số nguyên. Đề đòi "các tỉ số lượng giác" nghĩa là đủ bốn giá trị sin, côsin, tang, côtang chứ không phải ba như ví dụ mẫu. Bẫy là quên côtang, hoặc tính côtang bằng cách lật ngược sin thay vì lật ngược tang.

1Cách 1. Tìm cạnh huyền rồi thay thẳng vào bốn định nghĩa

Định hướng. Tính $B C$ bằng định lí Pythagore, sau đó với góc $B$ thì cạnh đối là $A C$ , cạnh kề là $A B$ .

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}

B C^{2} = 25 + 144

B C^{2} = 169

B C = 13

(cm)

sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13}

cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5}

cot B = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{12}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}; cos B = \frac{5}{13}; tan B = \frac{12}{5}; cot B = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Tính tang trước rồi lấy nghịch đảo và dùng tỉ lệ cạnh

Định hướng. Hai cạnh góc vuông đã có nên tang và côtang lấy được ngay, sau đó đặt $A C = 12 k$ , $A B = 5 k$ để cạnh huyền rút gọn hết chữ $k$ .

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5}

cot B = \frac{1}{tan B} = \frac{5}{12}

Đặt

A C = 12 k

A B = 5 k

với

k > 0

B C^{2} = (12 k)^{2} + (5 k)^{2}

B C^{2} = 169 k^{2}

B C = 13 k

sin B = \frac{12 k}{13 k} = \frac{12}{13}

cos B = \frac{5 k}{13 k} = \frac{5}{13}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}; cos B = \frac{5}{13}; tan B = \frac{12}{5}; cot B = \frac{5}{12}$ .

3Cách 3. Tính tỉ số lượng giác của góc C rồi chuyển sang góc B

Định hướng. Với góc $C$ thì $A B$ là cạnh đối, $A C$ là cạnh kề nên các tỉ số dễ viết; $B$ và $C$ phụ nhau nên chỉ việc đổi sin thành côsin, tang thành côtang.

B C^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 169

nên

B C = 13

(cm)

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{13}

cos C = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13}

tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{12}

cot C = \frac{A C}{A B} = \frac{12}{5}

B + C = 9 0^{\circ}

sin B = cos C = \frac{12}{13}

cos B = sin C = \frac{5}{13}

tan B = cot C = \frac{12}{5}

cot B = tan C = \frac{5}{12}

Vậy $sin B = \frac{12}{13}; cos B = \frac{5}{13}; tan B = \frac{12}{5}; cot B = \frac{5}{12}$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng trước kết quả của Mục 2 nên thích hợp khi ôn tập cả bài; ba cách đều cho $sin B \cdot cot B = cos B$ , một phép thử nhanh để tự kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay bộ ba

5

–

12

–

13

nên cạnh huyền có sau một dòng, bốn tỉ số viết thẳng theo định nghĩa, không cần đặt ẩn phụ

k

như Cách 2.

Đáp số.

B C = 13

cm;

sin B = \frac{12}{13}

cos B = \frac{5}{13}

tan B = \frac{12}{5}

cot B = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Viết

cot B = \frac{1}{sin B} = \frac{13}{12}

vì tưởng côtang là nghịch đảo của sin; thực ra

cot B

là nghịch đảo của

tan B

nên bằng

\frac{5}{12}

. Một lỗi nữa là chỉ ghi ba tỉ số như Ví dụ 1 mà bỏ quên

cot B

, trong khi đề yêu cầu "các tỉ số lượng giác".

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với hai cạnh góc vuông

m

và

n

thì

sin B = \frac{n}{m ^{2} + n ^{2}}

và

tan B = \frac{n}{m}

— hãy thử tìm

m

n

nguyên để cả bốn tỉ số lượng giác đều là số hữu tỉ có mẫu bé hơn

20

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ2★★Trang 69— Tìm giá trị lượng giác của góc

4 5^{\circ}

từ tam giác vuông cân

HĐ2 (trang 69). Cho tam giác

A B C

vuông cân tại

A

và

A B = A C = a

(H.4.7a).
a) Hãy tính

B C

và các tỉ số

\frac{A B}{B C}

\frac{A C}{B C}

. Từ đó suy ra

sin 4 5^{\circ}

cos 4 5^{\circ}

.
b) Hãy tính các tỉ số

\frac{A B}{A C}

và

\frac{A C}{A B}

. Từ đó suy ra

tan 4 5^{\circ}

cot 4 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng nhau và cùng bằng $4 5^{\circ}$ .
Định lí Pythagore: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
$sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ; $tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác vuông cân tại

A

nên hai góc đáy bằng nhau và cùng bằng

4 5^{\circ}

, tức là mọi tỉ số đọc ở góc

B

đều là giá trị lượng giác của

4 5^{\circ}

. Cạnh huyền chưa cho nên phải lấy bằng định lí Pythagore, và vì

A B = A C = a

nên kết quả có dạng

a 2

— mọi tỉ số sau đó sẽ triệt tiêu

a

. Bẫy của bài là để nguyên

\frac{1}{2}

mà không trục căn thức, khiến kết quả lệch so với bảng giá trị trong sách.

1Cách 1. Tính cạnh huyền bằng định lí Pythagore rồi lập tỉ số

Định hướng. Có hai cạnh góc vuông cùng bằng $a$ , tính $B C$ rồi thay vào định nghĩa với góc $B = 4 5^{\circ}$ .

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = a^{2} + a^{2}

B C^{2} = 2 a^{2}

B C = a 2

\frac{A B}{B C} = \frac{a}{a 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

\frac{A C}{B C} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}

B = 4 5^{\circ}

nên

sin 4 5^{\circ} = \frac{A C}{B C} = \frac{2}{2}

cos 4 5^{\circ} = \frac{A B}{B C} = \frac{2}{2}

\frac{A B}{A C} = \frac{a}{a} = 1

\frac{A C}{A B} = \frac{a}{a} = 1

tan 4 5^{\circ} = \frac{A C}{A B} = 1

cot 4 5^{\circ} = \frac{A B}{A C} = 1

Vậy $B C = a 2$ và $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}; tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1$ .

2Cách 2. Chọn tam giác vuông cân cụ thể có cạnh huyền bằng 1

Định hướng. Tỉ số lượng giác không phụ thuộc kích thước tam giác, nên chọn tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $1$ thì sin và côsin chính là độ dài hai cạnh góc vuông.

Chọn tam giác vuông cân tại

A

có

B C = 1

, đặt

A B = A C = x

với

x > 0

x^{2} + x^{2} = 1^{2}

2 x^{2} = 1

x^{2} = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

sin 4 5^{\circ} = \frac{A C}{B C} = \frac{2}{2} : 1 = \frac{2}{2}

cos 4 5^{\circ} = \frac{A B}{B C} = \frac{2}{2}

tan 4 5^{\circ} = \frac{A C}{A B} = \frac{2}{2} : \frac{2}{2} = 1

cot 4 5^{\circ} = \frac{A B}{A C} = 1

Vậy $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}; tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1$ .

3Cách 3. Dùng nửa hình vuông và tính chất hai góc phụ nhau

Định hướng. Tam giác vuông cân chính là nửa hình vuông cạnh $a$ cắt theo đường chéo, nên $B C$ là đường chéo hình vuông; thêm nữa $4 5^{\circ}$ phụ với chính nó nên sin và côsin buộc phải bằng nhau.

Dựng hình vuông

A B D C

cạnh

a

, đường chéo

B C

chia nó thành hai tam giác vuông cân bằng nhau

B C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

nên

B C = a 2

4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ}

và

tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ}

tan 4 5^{\circ} \cdot cot 4 5^{\circ} = 1

và

tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ}

nên

tan 4 5^{\circ} = 1

sin 4 5^{\circ} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}

cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

Vậy $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}; tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy $tan 4 5^{\circ} = 1$ mà không cần đo đạc gì: chỉ vì $4 5^{\circ}$ là góc duy nhất phụ với chính nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám đúng dữ kiện

A B = A C = a

của đề, chỉ một dòng Pythagore là ra

B C = a 2

, không phải dựng thêm hình vuông như Cách 3.

Đáp số.

B C = a 2

;

\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{B C} = \frac{2}{2}

nên

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A B} = 1

nên

tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1

Sai lầm thường gặp. Dừng lại ở

sin 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}

mà không trục căn thức nên không khớp bảng giá trị

\frac{2}{2}

của sách. Một lỗi nữa là viết

B C = 2 a

do tính

2 a^{2} = 2 a

, trong khi

2 a^{2} = a 2

với

a > 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: trong hình vuông cạnh

a

, đường chéo luôn bằng

a 2

và tạo với mỗi cạnh một góc

4 5^{\circ}

— hãy dùng điều đó để tính ngay đường chéo của một nền nhà hình vuông cạnh

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 69— Tìm giá trị lượng giác của các góc

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

từ nửa tam giác đều

HĐ3 (trang 69). Xét tam giác đều

A B C

có cạnh bằng

2 a

.
a) Tính đường cao

A H

của tam giác

A B C

(H.4.7b).
b) Tính

sin 3 0^{\circ}

cos 3 0^{\circ}

sin 6 0^{\circ}

và

cos 6 0^{\circ}

.
c) Tính

tan 3 0^{\circ}

cot 3 0^{\circ}

tan 6 0^{\circ}

và

cot 6 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác đều, đường cao xuất phát từ một đỉnh cũng là trung tuyến và là phân giác của góc ở đỉnh đó.
Mỗi góc của tam giác đều bằng $6 0^{\circ}$ .
$sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
$tan 3 0^{\circ} = cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ ; $tan 6 0^{\circ} = cot 3 0^{\circ} = 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là trung tuyến nên

H B = H C = a

— đó là chìa khoá biến tam giác đều thành một tam giác vuông có đủ ba cạnh

a

a 3

2 a

. Tam giác vuông

A B H

chứa cùng lúc góc

6 0^{\circ}

ở

B

và góc

3 0^{\circ}

ở

A

, nên một hình cho luôn tám giá trị mà đề hỏi. Bẫy là gán nhầm cạnh đối: với góc

3 0^{\circ}

ở đỉnh

A

thì cạnh đối là

B H = a

chứ không phải

A H

1Cách 1. Dùng nửa tam giác đều và định lí Pythagore

Định hướng. Đường cao $A H$ chia tam giác đều thành hai tam giác vuông bằng nhau; tam giác $A B H$ có $B = 6 0^{\circ}$ , $B A H = 3 0^{\circ}$ nên đọc được cả hai nhóm giá trị.

A H

là đường cao nên cũng là trung tuyến

H B = H C = \frac{B C}{2} = a

A H^{2} = A B^{2} - H B^{2}

A H^{2} = (2 a)^{2} - a^{2}

A H^{2} = 3 a^{2}

A H = a 3

b) Tam giác

A B H

vuông tại

H

có

B A H = 3 0^{\circ}

B = 6 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

cos 3 0^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{a 3}{2 a} = \frac{3}{2}

sin 6 0^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{3}{2}

cos 6 0^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2}

tan 3 0^{\circ} = \frac{B H}{A H} = \frac{a}{a 3} = \frac{3}{3}

cot 3 0^{\circ} = \frac{A H}{B H} = \frac{a 3}{a} = 3

tan 6 0^{\circ} = \frac{A H}{B H} = 3

cot 6 0^{\circ} = \frac{B H}{A H} = \frac{3}{3}

Vậy $A H = a 3$ và $sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}; sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}; tan 3 0^{\circ} = cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}; tan 6 0^{\circ} = cot 3 0^{\circ} = 3$ .

2Cách 2. Dùng công thức diện tích tam giác đều để lấy đường cao

Định hướng. Lấy $A H$ từ diện tích tam giác đều rồi mới lập tỉ số, khỏi phải lí luận đường cao là trung tuyến ở bước đầu.

a) Tam giác đều cạnh

2 a

có

S = \frac{( 2 a ) ^{2} 3}{4} = a^{2} 3

S = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A H = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot A H = a \cdot A H

a \cdot A H = a^{2} 3

A H = a 3

B H^{2} = A B^{2} - A H^{2} = 4 a^{2} - 3 a^{2} = a^{2}

nên

B H = a

sin 6 0^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{a 3}{2 a} = \frac{3}{2}

cos 6 0^{\circ} = \frac{B H}{A B} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

B A H = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cos 3 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

tan 6 0^{\circ} = \frac{A H}{B H} = 3

cot 6 0^{\circ} = \frac{1}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{3}{3}

tan 3 0^{\circ} = cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}

cot 3 0^{\circ} = tan 6 0^{\circ} = 3

3Cách 3. Chuẩn hoá tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1 rồi dùng góc phụ

Định hướng. Chọn nửa tam giác đều có cạnh huyền bằng $1$ thì sin và côsin đọc thẳng ra độ dài hai cạnh góc vuông; quan hệ phụ nhau giữa $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ cho nốt nửa còn lại.

Chọn tam giác đều cạnh

1

, đường cao chia đôi cạnh đáy
Nửa tam giác đều là tam giác vuông có cạnh huyền

1

, cạnh góc vuông bé

\frac{1}{2}

Cạnh góc vuông lớn

= 1^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} : 1 = \frac{1}{2}

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} : 1 = \frac{3}{2}

3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

và

cos 6 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

cot 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = 3

tan 6 0^{\circ} = cot 3 0^{\circ} = 3

cot 6 0^{\circ} = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

Với tam giác đều cạnh

2 a

, mọi cạnh gấp

2 a

lần nên các tỉ số giữ nguyên và

A H = 2 a \cdot \frac{3}{2} = a 3

Nhận xét. Kết hợp với HĐ2, ta có trọn bảng giá trị lượng giác của $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ ; để ý cột sin đi lên $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ còn cột côsin đi xuống theo thứ tự ngược lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám thẳng dữ kiện cạnh

2 a

của đề, chỉ một dòng Pythagore là có

A H = a 3

rồi đọc liền tám giá trị trên cùng một tam giác vuông.

Đáp số. a)

A H = a 3

. b)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

. c)

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

cot 3 0^{\circ} = 3

tan 6 0^{\circ} = 3

cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy

H B = 2 a

vì tưởng

H

chia

B C

thành hai đoạn bằng chính cạnh tam giác, dẫn tới

A H^{2} = 4 a^{2} - 4 a^{2} = 0

vô lí. Một lỗi khác là đổi chỗ

3 0^{\circ}

với

6 0^{\circ}

, ghi

sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

; nhớ mẹo "góc bé thì sin bé" là tránh được, vì

\frac{1}{2} < \frac{3}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: tam giác đều cạnh

m

luôn có đường cao

\frac{m 3}{2}

và diện tích

\frac{m ^{2} 3}{4}

— hãy dùng ngay kết quả đó để tính chiều cao của một biển báo giao thông hình tam giác đều cạnh

70

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Ví dụ 2★★Trang 69— Tính cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và một góc nhọn

Ví dụ 2 (trang 69). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

C = 3 0^{\circ}

và

B C = a

(H.4.8). Tính các cạnh

A B

A C

theo

a

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối diện nó.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin của góc kề nó.
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ và $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cạnh huyền và một góc nhọn — đúng bộ dữ kiện để dùng sin và côsin, vì hai tỉ số này đều lấy cạnh huyền làm mẫu. Góc

3 0^{\circ}

nằm trong bảng giá trị đặc biệt nên kết quả ra được dạng chính xác chứ không phải số gần đúng. Bẫy là gán nhầm vai trò: đối với góc

C

thì

A B

mới là cạnh đối, còn

A C

là cạnh kề, đảo lại sẽ ra

A B = \frac{a 3}{2}

sai.

1Cách 1. Dùng sin và côsin của góc C cho sẵn

Định hướng. Với góc $C$ thì $A B$ là cạnh đối và $A C$ là cạnh kề, cạnh huyền $B C = a$ đã biết nên sin cho $A B$ , côsin cho $A C$ .

sin C = \frac{A B}{B C}

A B = B C \cdot sin C = a \cdot sin 3 0^{\circ}

A B = a \cdot \frac{1}{2}

A B = \frac{a}{2}

cos C = \frac{A C}{B C}

A C = B C \cdot cos C = a \cdot cos 3 0^{\circ}

A C = a \cdot \frac{3}{2}

A C = \frac{a 3}{2}

Vậy $A B = \frac{a}{2}; A C = \frac{a 3}{2}$ .

2Cách 2. Dùng góc B rồi kiểm lại bằng định lí Pythagore

Định hướng. Chuyển sang góc nhọn còn lại để $A C$ trở thành cạnh đối, sau đó lấy $A B$ từ định lí Pythagore thay vì lập thêm một tỉ số.

B = 9 0^{\circ} - C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

sin B = \frac{A C}{B C}

A C = a \cdot sin 6 0^{\circ} = a \cdot \frac{3}{2} = \frac{a 3}{2}

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}

A B^{2} = a^{2} - \frac{3 a ^{2}}{4}

A B^{2} = \frac{a ^{2}}{4}

A B = \frac{a}{2}

Vậy $A B = \frac{a}{2}; A C = \frac{a 3}{2}$ .

3Cách 3. Ghép thành tam giác đều để dùng tính chất nửa tam giác đều

Định hướng. Tam giác vuông có góc $3 0^{\circ}$ chính là nửa tam giác đều; lấy điểm đối xứng của $C$ qua $A$ sẽ dựng lại tam giác đều đó và đọc ngay hai cạnh.

Gọi

D

là điểm đối xứng với

C

qua

A

B A

vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác

B C D

nên tam giác

B C D

cân tại

B

C = 3 0^{\circ}

và

D = 3 0^{\circ}

nên

C B D = 12 0^{\circ}

, do đó

A B C = 6 0^{\circ}

A B C + C = 9 0^{\circ}

và

A B C = 2 C

nên

A B C = 6 0^{\circ}

, tam giác

A B C

là nửa tam giác đều cạnh

B C = a

A B

là cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

nên

A B = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}

A C

là đường cao của tam giác đều cạnh

a

nên

A C = \frac{a 3}{2}

Vậy $A B = \frac{a}{2}; A C = \frac{a 3}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích bản chất của quy tắc "cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền", còn khi đi thi thì Cách 1 gọn hơn nhiều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi cạnh chỉ một dòng nhân với giá trị lượng giác trong bảng, không phải tính góc phụ hay dựng thêm điểm như hai cách sau.

Đáp số.

A B = \frac{a}{2}

;

A C = \frac{a 3}{2}

Sai lầm thường gặp. Đổi chỗ vai trò hai cạnh, viết

A B = a \cdot cos 3 0^{\circ} = \frac{a 3}{2}

vì thấy

A B

nằm sát góc

C

trên hình — thực ra

A B

đối diện góc

C

nên phải nhân với sin. Một lỗi nữa là viết

A C = a \cdot cos 3 0^{\circ} = \frac{a \cdot 3}{2}

do nhầm

3

thành

3

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: trong tam giác vuông có cạnh huyền

a

và một góc nhọn

α

, hai cạnh góc vuông luôn là

a sin α

và

a cos α

— hãy thử tìm

α

để hai cạnh góc vuông đó bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 2★★Trang 70— Tính cạnh huyền và cạnh góc vuông khi biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn

Luyện tập 2 (trang 70). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

C = 4 5^{\circ}

và

A B = c

. Tính

B C

và

A C

theo

c

Kiến thức cần nhớ

$sin C = \frac{A B}{B C}$ nên $B C = \frac{A B}{sin C}$ .
$tan C = \frac{A B}{A C}$ nên $A C = \frac{A B}{tan C}$ .
$sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ và $tan 4 5^{\circ} = 1$ .
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $4 5^{\circ}$ là tam giác vuông cân.

🧠 Phân tích tư duy

Lần này cái đã biết là một cạnh GÓC VUÔNG chứ không phải cạnh huyền, nên

B C

nằm ở mẫu của tỉ số và phải chuyển vế chia chứ không nhân. Góc

4 5^{\circ}

báo hiệu tam giác vuông cân, nên trước khi tính đã đoán được

A C = A B = c

. Bẫy là viết

B C = c \cdot sin 4 5^{\circ}

theo quán tính của Ví dụ 2, trong khi ở đó cạnh huyền mới là cái đã cho.

1Cách 1. Dùng sin và tang của góc C rồi chuyển vế

Định hướng. Với góc $C$ thì $A B$ là cạnh đối, nên $A B$ đứng ở tử của cả $sin C$ lẫn $tan C$ ; chuyển vế để đưa $B C$ và $A C$ ra khỏi mẫu.

sin C = \frac{A B}{B C}

B C = \frac{A B}{sin C} = \frac{c}{sin 4 5 ^{\circ}}

B C = c : \frac{2}{2}

B C = c \cdot \frac{2}{2}

B C = c 2

tan C = \frac{A B}{A C}

A C = \frac{A B}{tan C} = \frac{c}{tan 4 5 ^{\circ}}

A C = \frac{c}{1}

A C = c

Vậy $B C = c 2; A C = c$ .

2Cách 2. Dùng tam giác vuông cân rồi lấy cạnh huyền bằng Pythagore

Định hướng. Góc $C$ bằng $4 5^{\circ}$ kéo theo góc $B$ cũng bằng $4 5^{\circ}$ , tam giác vuông cân tại $A$ nên $A C = A B$ ngay, sau đó Pythagore cho cạnh huyền.

B = 9 0^{\circ} - C = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

B = C

nên tam giác

A B C

cân tại

A

A C = A B = c

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = c^{2} + c^{2}

B C^{2} = 2 c^{2}

B C = c 2

Vậy $B C = c 2; A C = c$ .

3Cách 3. Dùng góc B với côsin và côtang

Định hướng. Chuyển sang góc $B$ thì $A B$ trở thành cạnh kề, nên côsin cho $B C$ và côtang cho $A C$ — vẫn chỉ dùng dữ kiện $A B = c$ .

B = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

cos B = \frac{A B}{B C}

B C = \frac{c}{cos 4 5 ^{\circ}} = c : \frac{2}{2} = c 2

cot B = \frac{A B}{A C}

A C = \frac{A B}{cot B} = \frac{c}{cot 4 5 ^{\circ}}

A C = \frac{c}{1}

A C = c

Vậy $B C = c 2; A C = c$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $B C = c 2 \approx 1, 41 c$ , phù hợp với việc cạnh huyền phải dài hơn mỗi cạnh góc vuông — một phép thử nhanh để loại ngay kết quả sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra tam giác vuông cân là có ngay

A C = c

mà không cần chia cho một căn thức, phần cạnh huyền chỉ còn một dòng Pythagore.

Đáp số.

B C = c 2

;

A C = c

Sai lầm thường gặp. Viết

B C = c \cdot sin 4 5^{\circ} = \frac{c 2}{2}

vì bê nguyên công thức của Ví dụ 2, ra cạnh huyền NGẮN hơn cạnh góc vuông — vô lí. Một lỗi nữa là rút gọn hỏng

c : \frac{2}{2}

thành

\frac{c}{2 2}

do nhân thay vì chia cho phân số.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi

4 5^{\circ}

thành

α

bất kì thì

B C = \frac{c}{sin α}

và

A C = \frac{c}{tan α}

— hãy xem khi

α

càng bé thì

A C

thay đổi thế nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ4★★Trang 70— Phát hiện quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ4 (trang 70). Cho tam giác

A B C

vuông tại

C

, có

A = α

B = β

(H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc

α

β

theo độ dài các cạnh của tam giác

A B C

. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của một tam giác vuông là hai góc phụ nhau: $α + β = 9 0^{\circ}$ .
Với góc $α$ tại $A$ : cạnh đối là $B C$ , cạnh kề là $A C$ , cạnh huyền là $A B$ .
Với góc $β$ tại $B$ : cạnh đối là $A C$ , cạnh kề là $B C$ , cạnh huyền là $A B$ .
Định lí: nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc

α

và

β

là hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông nên chúng phụ nhau, và điều quyết định là: đổi từ góc này sang góc kia thì cạnh đối và cạnh kề hoán đổi cho nhau còn cạnh huyền giữ nguyên. Vì thế chỉ cần viết tám tỉ số theo đúng ba cạnh

A C

B C

A B

rồi ghép những phân số giống hệt nhau. Bẫy là ghép theo tên gọi (sin với sin) thay vì ghép theo phân số thực sự bằng nhau.

1Cách 1. Viết đủ tám tỉ số rồi ghép các phân số trùng nhau

Định hướng. Liệt kê bốn tỉ số của $α$ và bốn tỉ số của $β$ theo ba cạnh $A C$ , $B C$ , $A B$ , sau đó đối chiếu từng phân số.

sin α = \frac{B C}{A B}

;

cos α = \frac{A C}{A B}

;

tan α = \frac{B C}{A C}

;

cot α = \frac{A C}{B C}

sin β = \frac{A C}{A B}

;

cos β = \frac{B C}{A B}

;

tan β = \frac{A C}{B C}

;

cot β = \frac{B C}{A C}

sin α

và

cos β

cùng bằng

\frac{B C}{A B}

cos α

và

sin β

cùng bằng

\frac{A C}{A B}

tan α

và

cot β

cùng bằng

\frac{B C}{A C}

cot α

và

tan β

cùng bằng

\frac{A C}{B C}

Vậy $sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β$ .

2Cách 2. Lập luận bằng sự hoán đổi vai trò cạnh đối và cạnh kề

Định hướng. Không cần viết hết tám tỉ số: chỉ cần thấy khi đổi góc thì cạnh đối và cạnh kề đổi chỗ, còn cạnh huyền giữ nguyên, là suy ra ngay bốn đẳng thức.

Cạnh huyền của cả hai góc đều là

A B

Cạnh đối của

α

là

B C

, cũng chính là cạnh kề của

β

Cạnh kề của

α

là

A C

, cũng chính là cạnh đối của

β

sin α = \frac{B C}{A B} = cos β

cos α = \frac{A C}{A B} = sin β

tan α = \frac{B C}{A C} = cot β

cot α = \frac{A C}{B C} = tan β

Vậy $sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β$ .

3Cách 3. Kiểm chứng trên một tam giác vuông cụ thể rồi tổng quát

Định hướng. Lấy một tam giác vuông có ba cạnh cụ thể để thấy rõ bốn cặp số bằng nhau, sau đó thay các số bởi $A C$ , $B C$ , $A B$ thì lập luận vẫn nguyên vẹn.

Chọn tam giác vuông tại

C

có

A C = 4

B C = 3

A B = 5

sin α = \frac{3}{5}

;

cos α = \frac{4}{5}

;

tan α = \frac{3}{4}

;

cot α = \frac{4}{3}

sin β = \frac{4}{5}

;

cos β = \frac{3}{5}

;

tan β = \frac{4}{3}

;

cot β = \frac{3}{4}

sin α = cos β = \frac{3}{5}

;

cos α = sin β = \frac{4}{5}

tan α = cot β = \frac{3}{4}

;

cot α = tan β = \frac{4}{3}

Thay

3

bởi

B C

4

bởi

A C

5

bởi

A B

thì bốn đẳng thức vẫn giữ nguyên

Vậy $sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β$ với $α + β = 9 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Chính bốn đẳng thức này là nội dung định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau; tiếp đầu ngữ "cô" trong côsin, côtang chính là dấu vết của chữ "góc phụ".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một câu "đối và kề đổi chỗ, huyền giữ nguyên" là viết được cả bốn đẳng thức, không phải kẻ bảng tám tỉ số như Cách 1.

Đáp số.

sin α = \frac{B C}{A B}

cos α = \frac{A C}{A B}

tan α = \frac{B C}{A C}

cot α = \frac{A C}{B C}

;

sin β = \frac{A C}{A B}

cos β = \frac{B C}{A B}

tan β = \frac{A C}{B C}

cot β = \frac{B C}{A C}

. Các cặp bằng nhau:

sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cot β

cot α = tan β

Sai lầm thường gặp. Ghi

sin α = sin β

vì ghép theo tên gọi giống nhau; thực ra

\frac{B C}{A B}

và

\frac{A C}{A B}

chỉ bằng nhau khi

A C = B C

, tức khi tam giác vuông cân. Một lỗi nữa là lấy

A C

làm cạnh huyền vì

A C

trông dài nhất trên hình, trong khi tam giác vuông tại

C

nên cạnh huyền phải là

A B

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với mọi góc nhọn

α

ta có

sin α = cos (9 0^{\circ} - α)

và

tan α = cot (9 0^{\circ} - α)

— hãy dùng nó để rút gọn

sin^{2} 4 0^{\circ} + sin^{2} 5 0^{\circ}

về một biểu thức chỉ chứa góc

4 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Ví dụ 3★Trang 70— Đổi tỉ số lượng giác của góc lớn hơn

4 5^{\circ}

về góc nhỏ hơn

4 5^{\circ}

Ví dụ 3 (trang 70). Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn

4 5^{\circ}

sin 6 0^{\circ}

cos 7 5^{\circ}

sin 5 2^{\circ} 3 0^{'}

tan 8 0^{\circ}

cot 8 2^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $α + β = 9 0^{\circ}$ thì $sin α = cos β$ và $tan α = cot β$ .
Với mọi góc nhọn $α$ : $sin α = cos (9 0^{\circ} - α)$ , $cos α = sin (9 0^{\circ} - α)$ , $tan α = cot (9 0^{\circ} - α)$ , $cot α = tan (9 0^{\circ} - α)$ .
Đơn vị đo góc: $1^{\circ} = 6 0^{'}$ và $1^{'} = 6 0^{''}$ .
Góc $α$ lớn hơn $4 5^{\circ}$ thì góc phụ $9 0^{\circ} - α$ nhỏ hơn $4 5^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả năm góc đều lớn hơn

4 5^{\circ}

, mà góc phụ của một góc lớn hơn

4 5^{\circ}

luôn nhỏ hơn

4 5^{\circ}

— đó chính là lí do đề chọn mốc

4 5^{\circ}

. Việc cần làm chỉ là lấy

9 0^{\circ}

trừ đi số đo rồi đổi tên tỉ số theo đúng cặp sin – côsin, tang – côtang. Bẫy nằm ở góc có phút: phải mượn

1^{\circ} = 6 0^{'}

mới trừ được

9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} 3 0^{'}

1Cách 1. Lấy góc phụ rồi đổi tên tỉ số lượng giác

Định hướng. Mỗi tỉ số thay bằng tỉ số "đồng hành" của góc phụ: sin đổi côsin, tang đổi côtang.

sin 6 0^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = cos 3 0^{\circ}

cos 7 5^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 7 5^{\circ}) = sin 1 5^{\circ}

sin 5 2^{\circ} 3 0^{'} = cos (9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} 3 0^{'}) = cos (8 9^{\circ} 6 0^{'} - 5 2^{\circ} 3 0^{'}) = cos 3 7^{\circ} 3 0^{'}

tan 8 0^{\circ} = cot (9 0^{\circ} - 8 0^{\circ}) = cot 1 0^{\circ}

cot 8 2^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 8 2^{\circ}) = tan 8^{\circ}

Vậy $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}; cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}; sin 5 2^{\circ} 3 0^{'} = cos 3 7^{\circ} 3 0^{'}; tan 8 0^{\circ} = cot 1 0^{\circ}; cot 8 2^{\circ} = tan 8^{\circ}$ .

2Cách 2. Đặt góc vào một tam giác vuông rồi đọc ở góc nhọn còn lại

Định hướng. Dựng tam giác vuông có một góc nhọn đúng bằng góc đã cho; góc nhọn còn lại chính là góc phụ, và tỉ số cần tìm đọc trên cùng hai cạnh nhưng đổi vai trò.

Xét tam giác

M N P

vuông tại

P

có

M = 6 0^{\circ}

, khi đó

N = 3 0^{\circ}

sin 6 0^{\circ} = sin M = \frac{N P}{M N}

và

cos 3 0^{\circ} = cos N = \frac{N P}{M N}

nên

sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}

Với

M = 7 5^{\circ}

thì

N = 1 5^{\circ}

cos 7 5^{\circ} = \frac{M P}{M N} = sin 1 5^{\circ}

Với

M = 5 2^{\circ} 3 0^{'}

thì

N = 3 7^{\circ} 3 0^{'}

sin 5 2^{\circ} 3 0^{'} = \frac{N P}{M N} = cos 3 7^{\circ} 3 0^{'}

Với

M = 8 0^{\circ}

thì

N = 1 0^{\circ}

tan 8 0^{\circ} = \frac{N P}{M P} = cot 1 0^{\circ}

Với

M = 8 2^{\circ}

thì

N = 8^{\circ}

cot 8 2^{\circ} = \frac{M P}{N P} = tan 8^{\circ}

3Cách 3. Đổi hết ra phút rồi kiểm chứng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Quy $9 0^{\circ}$ về $540 0^{'}$ để phép trừ không phải mượn, rồi bấm máy đối chiếu hai vế nhằm chắc chắn không nhầm cặp tên.

9 0^{\circ} = 540 0^{'}

540 0^{'} - 360 0^{'} = 180 0^{'}

nên

9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

, do đó

sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}

540 0^{'} - 450 0^{'} = 90 0^{'}

nên

cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}

540 0^{'} - 315 0^{'} = 225 0^{'} = 3 7^{\circ} 3 0^{'}

nên

sin 5 2^{\circ} 3 0^{'} = cos 3 7^{\circ} 3 0^{'}

540 0^{'} - 480 0^{'} = 60 0^{'}

nên

tan 8 0^{\circ} = cot 1 0^{\circ}

540 0^{'} - 492 0^{'} = 48 0^{'}

nên

cot 8 2^{\circ} = tan 8^{\circ}

Bấm máy:

sin 6 0^{\circ} \approx 0, 866

và

cos 3 0^{\circ} \approx 0, 866

;

tan 8 0^{\circ} \approx 5, 671

và

cot 1 0^{\circ} \approx 5, 671

Nhận xét. Nhờ phép đổi này mà ngày trước bảng lượng giác chỉ cần in giá trị cho các góc từ $0^{\circ}$ đến $4 5^{\circ}$ , phần còn lại tra ngược từ dưới lên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi dòng chỉ một phép trừ và một lần đổi tên; Cách 3 tuy an toàn nhưng phải quy đổi ra phút nên dài hơn hẳn.

Đáp số.

sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ}

;

cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}

;

sin 5 2^{\circ} 3 0^{'} = cos 3 7^{\circ} 3 0^{'}

;

tan 8 0^{\circ} = cot 1 0^{\circ}

;

cot 8 2^{\circ} = tan 8^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên tên tỉ số, viết

sin 6 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ}

— sai vì

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

còn

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

. Một lỗi nữa là tính

9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} 3 0^{'} = 3 8^{\circ} 3 0^{'}

do trừ phút mà quên mượn

1^{\circ} = 6 0^{'}

; kết quả đúng là

3 7^{\circ} 3 0^{'}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: mọi tỉ số lượng giác của góc nhọn đều đưa được về góc không quá

4 5^{\circ}

— hãy thử viết

cos 8 9^{\circ} 5 9^{'}

và cho biết giá trị đó gần

0

hay gần

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 3★Trang 70— Giải thích đẳng thức giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Luyện tập 3 (trang 70). Hãy giải thích tại sao

sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}

tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng $9 0^{\circ}$ .
Định lí: nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau.
Với hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông, cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi "tại sao" nên phải chỉ ra căn nguyên chứ không được chỉ viết lại kết quả, mà căn nguyên nằm ở phép cộng

3 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

. Khi đã có hai góc phụ nhau thì định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau áp dụng trực tiếp. Bẫy của bài là "giải thích" bằng cách bấm máy ra hai số gần bằng nhau — đó là kiểm chứng chứ chưa phải chứng minh.

1Cách 1. Kiểm tra tổng hai góc rồi áp dụng định lí

Định hướng. Cộng hai số đo để khẳng định chúng phụ nhau, rồi gọi thẳng định lí đã học.

3 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

3 5^{\circ}

và

5 5^{\circ}

là hai góc phụ nhau
Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia

sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}

Hai góc phụ nhau thì tang góc này bằng côtang góc kia

tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}

Vậy $sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}$ và $tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}$ vì $3 5^{\circ}$ và $5 5^{\circ}$ phụ nhau.

2Cách 2. Dựng tam giác vuông có hai góc nhọn 35 độ và 55 độ

Định hướng. Đưa hai góc vào cùng một tam giác vuông rồi viết hai vế theo cùng bộ ba cạnh, sẽ thấy chúng là cùng một phân số.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

có

B = 3 5^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

sin 3 5^{\circ} = sin B = \frac{A C}{B C}

cos 5 5^{\circ} = cos C = \frac{A C}{B C}

tan 3 5^{\circ} = tan B = \frac{A C}{A B}

cot 5 5^{\circ} = cot C = \frac{A C}{A B}

Vậy hai vế của mỗi đẳng thức là cùng một tỉ số, nên $sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}$ và $tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng công thức góc phụ rồi kiểm chứng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Viết $cos 5 5^{\circ}$ và $cot 5 5^{\circ}$ về góc phụ của chúng để hai vế trùng nhau về hình thức, sau đó bấm máy đối chiếu số.

cos 5 5^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 5 5^{\circ}) = sin 3 5^{\circ}

cot 5 5^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 5 5^{\circ}) = tan 3 5^{\circ}

Bấm máy:

sin 3 5^{\circ} \approx 0, 574

và

cos 5 5^{\circ} \approx 0, 574

Bấm máy:

tan 3 5^{\circ} \approx 0, 700

và

cot 5 5^{\circ} \approx 0, 700

Vậy $sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}$ và $tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}$ , kết quả bấm máy phù hợp với lập luận.

Nhận xét. Kết quả bấm máy chỉ là kiểm chứng; phần giải thích đúng nghĩa nằm ở Cách 1 và Cách 2, trong đó Cách 2 chỉ rõ hai vế là cùng một phân số của cùng một tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cộng góc rồi gọi tên định lí là đủ lời giải; Cách 2 chỉ nên dùng khi đề yêu cầu chứng minh lại định lí.

Đáp số. Vì

3 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

3 5^{\circ}

và

5 5^{\circ}

là hai góc phụ nhau, do đó

sin 3 5^{\circ} = cos 5 5^{\circ}

và

tan 3 5^{\circ} = cot 5 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Chỉ bấm máy ra hai số gần bằng nhau rồi kết luận, trong khi đề hỏi "tại sao" nên phải nêu được lí do hai góc phụ nhau. Một lỗi nữa là giải thích rằng "

3 5^{\circ}

và

5 5^{\circ}

hơn kém nhau

2 0^{\circ}

nên bằng nhau", một lí do không liên quan gì tới định lí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với mọi

α

nhọn thì

sin α = cos (9 0^{\circ} - α)

— hãy dùng nó để rút gọn

\frac{sin 3 5 ^{\circ}}{cos 5 5 ^{\circ}} + \frac{tan 3 5 ^{\circ}}{cot 5 5 ^{\circ}}

mà không cần máy tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Ví dụ 4★Trang 71— Dùng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ví dụ 4 (trang 71). Dùng MTCT, tính

sin 2 7^{\circ}

cos 3 2^{\circ} 1 5^{'}

tan 5 2^{\circ} 1 2^{'}

và

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'}

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

Máy tính cầm tay có các phím sin, cos, tan để tính trực tiếp ba tỉ số lượng giác của góc nhọn.
$cot α = \frac{1}{tan α}$ , nên côtang được tính qua tang rồi lấy nghịch đảo.
Số đo góc có phút phải nhập bằng phím độ – phút – giây; $1^{\circ} = 6 0^{'}$ .
$cot α = tan (9 0^{\circ} - α)$ cho một cách tính côtang khác.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tỉ số đầu có phím riêng trên máy nên bấm thẳng, riêng côtang không có phím nên phải đi vòng qua tang. Số đo có phút thì bắt buộc dùng phím độ – phút – giây, nếu gõ

32, 15

máy sẽ hiểu là

32, 1 5^{\circ}

chứ không phải

3 2^{\circ} 1 5^{'}

. Bẫy lớn nhất là quên đưa máy về chế độ độ, khi máy đang ở chế độ rađian thì mọi kết quả đều sai mà không có dấu hiệu báo lỗi.

1Cách 1. Bấm thẳng các phím sin, cos, tan và lấy nghịch đảo cho côtang

Định hướng. Đưa máy về chế độ độ, nhập số đo bằng phím độ – phút – giây, riêng côtang thì bấm tang rồi lấy nghịch đảo.

sin 2 7^{\circ} = 0, 4539904997

sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454

cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} = 0, 8457278217

cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846

tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} = 1, 289192232

tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} = \frac{1}{tan 3 5 ^{\circ} 2 3 ^{'}} = 1, 408003909

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408

Vậy $sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454; cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846; tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289; cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408$ .

2Cách 2. Đổi côtang sang tang của góc phụ rồi bấm máy

Định hướng. Tránh phép lấy nghịch đảo bằng cách thay $cot 3 5^{\circ} 2 3^{'}$ bởi tang của góc phụ, ba tỉ số còn lại vẫn bấm như cũ.

9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} 2 3^{'} = 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 3 5^{\circ} 2 3^{'} = 5 4^{\circ} 3 7^{'}

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} = tan 5 4^{\circ} 3 7^{'}

tan 5 4^{\circ} 3 7^{'} = 1, 408003909

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408

sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454

cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846

tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289

Vậy $sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454; cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846; tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289; cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408$ .

3Cách 3. Đổi số đo ra độ thập phân rồi ước lượng để kiểm tra

Định hướng. Quy phút về phần thập phân của độ để nhập cho gọn, rồi kẹp mỗi kết quả giữa hai giá trị đặc biệt đã biết nhằm phát hiện sai sót.

3 2^{\circ} 1 5^{'} = 3 2^{\circ} + \frac{15}{60}^{\circ} = 32, 2 5^{\circ}

5 2^{\circ} 1 2^{'} = 52, 2^{\circ}

;

3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 35, 383 3^{\circ}

sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454

và

0 < 0, 454 < sin 3 0^{\circ} = 0, 5

cos 32, 2 5^{\circ} \approx 0, 846

và

cos 4 5^{\circ} \approx 0, 707 < 0, 846 < 1

tan 52, 2^{\circ} \approx 1, 289

và

tan 4 5^{\circ} = 1 < 1, 289 < tan 6 0^{\circ} \approx 1, 732

cot 35, 383 3^{\circ} \approx 1, 408

và

cot 4 5^{\circ} = 1 < 1, 408 < cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

Vậy $sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454; cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846; tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289; cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408$ , mọi giá trị đều nằm đúng khoảng dự đoán.

Nhận xét. Phép kẹp giữa hai góc đặc biệt ở Cách 3 là cách phát hiện nhanh lỗi để máy ở chế độ rađian: khi đó $sin 27$ cho $0, 956$ , rơi hẳn ra ngoài khoảng dự đoán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhập đúng phím độ – phút – giây rồi đọc kết quả, nhanh nhất; chỉ khi máy bị kẹt phím nghịch đảo mới cần tới Cách 2.

Đáp số.

sin 2 7^{\circ} \approx 0, 454

;

cos 3 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 846

;

tan 5 2^{\circ} 1 2^{'} \approx 1, 289

;

cot 3 5^{\circ} 2 3^{'} \approx 1, 408

Sai lầm thường gặp. Nhập

32, 15

thay cho

3 2^{\circ} 1 5^{'}

nên máy hiểu là

32, 1 5^{\circ}

và trả về

0, 8467

, sai ở chữ số thập phân thứ ba. Một lỗi nữa là để máy ở chế độ rađian: khi đó

sin 27

cho

0, 956

, lớn hơn cả

sin 3 0^{\circ}

dù

27 < 30

, một kết quả vô lí.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tính

sin 2 7^{\circ}

rồi

cos 6 3^{\circ}

và giải thích vì sao hai kết quả trùng nhau tới từng chữ số trên màn hình máy tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Luyện tập 4★Trang 71— Tính bốn tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay và làm tròn đến ba chữ số thập phân

Luyện tập 4 (trang 71). Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:
a)

sin 4 0^{\circ} 5 4^{'}

;
b)

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'}

;
c)

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'}

;
d)

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'}

Kiến thức cần nhớ

Nhập số đo có phút bằng phím độ – phút – giây trên máy tính cầm tay.
$cot α = \frac{1}{tan α} = tan (9 0^{\circ} - α)$ .
Quy tắc làm tròn: chữ số ngay sau hàng cần giữ từ $5$ trở lên thì tăng hàng giữ thêm một đơn vị.
Với góc nhọn: $sin α$ và $cos α$ luôn dương và bé hơn $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn số đo đều có phần phút nên khâu dễ sai nhất là nhập số chứ không phải tính toán. Ý d) là côtang, không có phím riêng, buộc phải đi qua tang rồi nghịch đảo hoặc qua góc phụ. Bẫy ở khâu làm tròn: phải giữ đủ chữ số trên màn hình rồi mới làm tròn một lần, làm tròn giữa chừng sẽ lệch ở chữ số thứ ba.

1Cách 1. Bấm trực tiếp từng tỉ số rồi làm tròn một lần

Định hướng. Nhập số đo bằng phím độ – phút – giây, giữ nguyên dãy số trên màn hình rồi mới làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} = 0, 6547408137

sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} = 0, 61221728

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} = 2, 688918967

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} = \frac{1}{tan 2 5 ^{\circ} 1 8 ^{'}} = 2, 115516356

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Vậy $sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655; cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612; tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ .

2Cách 2. Đưa mọi tỉ số về sin và tang của góc phụ

Định hướng. Chỉ dùng hai phím sin và tan bằng cách thay côsin bởi sin góc phụ, côtang bởi tang góc phụ.

sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655

9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} 1 5^{'} = 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 5 2^{\circ} 1 5^{'} = 3 7^{\circ} 4 5^{'}

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} = sin 3 7^{\circ} 4 5^{'} = 0, 61221728

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689

9 0^{\circ} - 2 5^{\circ} 1 8^{'} = 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 2 5^{\circ} 1 8^{'} = 6 4^{\circ} 4 2^{'}

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} = tan 6 4^{\circ} 4 2^{'} = 2, 115516356

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Vậy $sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655; cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612; tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ .

3Cách 3. Đổi ra độ thập phân rồi kẹp giữa hai góc đặc biệt

Định hướng. Quy phút thành phần thập phân của độ để nhập nhanh, rồi so mỗi kết quả với các mốc đã thuộc lòng nhằm tự kiểm tra.

4 0^{\circ} 5 4^{'} = 40, 9^{\circ}

và

3 0^{\circ} < 40, 9^{\circ} < 4 5^{\circ}

sin 40, 9^{\circ} \approx 0, 655

nằm giữa

sin 3 0^{\circ} = 0, 5

và

sin 4 5^{\circ} \approx 0, 707

5 2^{\circ} 1 5^{'} = 52, 2 5^{\circ}

và

4 5^{\circ} < 52, 2 5^{\circ} < 6 0^{\circ}

cos 52, 2 5^{\circ} \approx 0, 612

nằm giữa

cos 6 0^{\circ} = 0, 5

và

cos 4 5^{\circ} \approx 0, 707

6 9^{\circ} 3 6^{'} = 69, 6^{\circ}

và

69, 6^{\circ} > 6 0^{\circ}

tan 69, 6^{\circ} \approx 2, 689

lớn hơn

tan 6 0^{\circ} \approx 1, 732

2 5^{\circ} 1 8^{'} = 25, 3^{\circ}

và

25, 3^{\circ} < 3 0^{\circ}

cot 25, 3^{\circ} \approx 2, 116

lớn hơn

cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

Vậy $sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655; cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612; tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ , mọi kết quả đều nằm đúng vùng dự đoán.

Nhận xét. Hai kết quả ở ý a) và b) đều bé hơn $1$ đúng như tính chất của sin và côsin góc nhọn; còn tang, côtang thì không bị chặn nên có thể lớn hơn $1$ tuỳ ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn phép bấm, mỗi phép một dòng; Cách 2 chỉ có lợi khi phím nghịch đảo hỏng, còn Cách 3 nên dùng để soát lại sau khi đã có đáp số.

Đáp số. a)

sin 4 0^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 655

; b)

cos 5 2^{\circ} 1 5^{'} \approx 0, 612

; c)

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 689

; d)

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Sai lầm thường gặp. Ở ý d) bấm luôn phím tan rồi ghi

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 0, 473

, tức là quên lấy nghịch đảo — đó mới là

tan 2 5^{\circ} 1 8^{'}

. Một lỗi nữa là làm tròn

2, 1155

thành

2, 115

do cắt bỏ chữ số thay vì làm tròn; chữ số thứ tư là

5

nên kết quả đúng là

2, 116

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tính

tan 6 9^{\circ} 3 6^{'}

và

cot 2 0^{\circ} 2 4^{'}

rồi giải thích vì sao hai kết quả bằng nhau mà không cần bấm máy lần thứ hai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Ví dụ 5★★Trang 71— Tìm số đo góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của nó

Ví dụ 5 (trang 71). Dùng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết

sin α_{1} = 0, 3214

cos α_{2} = 0, 4321

tan α_{3} = 1, 2742

và

cot α_{4} = 1, 5384

Kiến thức cần nhớ

Tổ hợp phím SHIFT kèm sin, cos, tan cho phép tìm góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của nó.
Không có phím ngược cho côtang: từ $cot α = m$ suy ra $tan α = \frac{1}{m}$ rồi tìm $α$ .
Phím độ – phút – giây đổi kết quả dạng độ thập phân sang dạng độ – phút – giây.
Làm tròn đến phút: số giây từ $3 0^{''}$ trở lên thì tăng phút thêm một đơn vị.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán ngược của Ví dụ 4 nên phải dùng các phím ngược, tức là tổ hợp phím SHIFT với sin, cos, tan. Riêng côtang không có phím ngược: phải chuyển

cot α_{4} = 1, 5384

thành

tan α_{4} = \frac{1}{1 , 5384}

rồi mới tìm góc. Bẫy ở khâu làm tròn đến phút: kết quả máy trả về dạng độ thập phân, phải đổi sang độ – phút – giây rồi mới nhìn giây để quyết định làm tròn.

1Cách 1. Dùng các phím ngược rồi đổi sang độ phút giây

Định hướng. Với ba tỉ số đầu bấm phím ngược tương ứng; với côtang thì lấy nghịch đảo trước rồi mới bấm phím ngược của tang.

sin α_{1} = 0, 3214

nên

α_{1} = 18, 7476120 9^{\circ} = 1 8^{\circ} 4 4^{'} 51, 4^{''}

α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}

cos α_{2} = 0, 4321

nên

α_{2} = 64, 3990945 8^{\circ} = 6 4^{\circ} 2 3^{'} 56, 7 4^{''}

α_{2} \approx 6 4^{\circ} 2 4^{'}

tan α_{3} = 1, 2742

nên

α_{3} = 51, 8749589 2^{\circ} = 5 1^{\circ} 5 2^{'} 29, 8 5^{''}

α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}

cot α_{4} = 1, 5384

nên

tan α_{4} = \frac{1}{1 , 5384}

α_{4} = 33, 0249148 2^{\circ} = 3 3^{\circ} 1^{'} 29, 6 9^{''}

α_{4} \approx 3 3^{\circ} 1^{'}

Vậy $α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}; α_{2} \approx 6 4^{\circ} 2 4^{'}; α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}; α_{4} \approx 3 3^{\circ} 1^{'}$ .

2Cách 2. Chuyển hết về sin và tang nhờ quan hệ hai góc phụ nhau

Định hướng. Thay $cos α_{2}$ bởi sin của góc phụ và $cot α_{4}$ bởi tang của góc phụ, tìm góc phụ trước rồi trừ ngược lại.

cos α_{2} = 0, 4321

nên

sin (9 0^{\circ} - α_{2}) = 0, 4321

9 0^{\circ} - α_{2} = 25, 6009054 2^{\circ} = 2 5^{\circ} 3 6^{'} 3, 2 6^{''}

9 0^{\circ} - α_{2} \approx 2 5^{\circ} 3 6^{'}

α_{2} \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 2 5^{\circ} 3 6^{'} = 6 4^{\circ} 2 4^{'}

cot α_{4} = 1, 5384

nên

tan (9 0^{\circ} - α_{4}) = 1, 5384

9 0^{\circ} - α_{4} = 56, 9750851 8^{\circ} = 5 6^{\circ} 5 8^{'} 30, 3 1^{''}

9 0^{\circ} - α_{4} \approx 5 6^{\circ} 5 9^{'}

α_{4} \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 5 6^{\circ} 5 9^{'} = 3 3^{\circ} 1^{'}

α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}

và

α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}

(bấm phím ngược của sin và tan)

Vậy $α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}; α_{2} \approx 6 4^{\circ} 2 4^{'}; α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}; α_{4} \approx 3 3^{\circ} 1^{'}$ .

3Cách 3. Thử ngược từ đáp số để kiểm tra kết quả

Định hướng. Sau khi có bốn góc, bấm xuôi lại các tỉ số lượng giác của chúng và so với dữ kiện ban đầu; sai lệch chỉ được phép ở hàng phần chục nghìn do đã làm tròn đến phút.

sin 1 8^{\circ} 4 5^{'} = 0, 3214394653

và dữ kiện là

0, 3214

cos 6 4^{\circ} 2 4^{'} = 0, 4320857 \dots

và dữ kiện là

0, 4321

tan 5 1^{\circ} 5 2^{'} = 1, 273820 \dots

và dữ kiện là

1, 2742

cot 3 3^{\circ} 1^{'} = \frac{1}{tan 3 3 ^{\circ} 1 ^{'}} = 1, 538885 \dots

và dữ kiện là

1, 5384

Bốn sai lệch đều bé hơn

0, 0005

, phù hợp với việc làm tròn đến phút

Vậy $α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}; α_{2} \approx 6 4^{\circ} 2 4^{'}; α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}; α_{4} \approx 3 3^{\circ} 1^{'}$ , kết quả đã được kiểm chứng.

Nhận xét. Phép thử ngược ở Cách 3 là cách chắc chắn nhất để phát hiện lỗi bấm nhầm phím sin thành côsin, vì khi đó sai lệch sẽ lớn tới hàng phần trăm chứ không phải phần chục nghìn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi góc chỉ một lần bấm phím ngược rồi một lần đổi độ – phút – giây; Cách 2 phải trừ góc thêm một lần nên dễ sai ở chỗ mượn

1^{\circ} = 6 0^{'}

Đáp số.

α_{1} \approx 1 8^{\circ} 4 5^{'}

;

α_{2} \approx 6 4^{\circ} 2 4^{'}

;

α_{3} \approx 5 1^{\circ} 5 2^{'}

;

α_{4} \approx 3 3^{\circ} 1^{'}

Sai lầm thường gặp. Bấm phím ngược của tang ngay với số

1, 5384

rồi ghi

α_{4} \approx 5 6^{\circ} 5 9^{'}

— đó là góc phụ chứ không phải

α_{4}

, vì

1, 5384

là côtang chứ không phải tang. Một lỗi nữa là đọc

18, 74 7^{\circ}

thành

1 8^{\circ} 7 4^{'}

, trong khi phần thập phân phải nhân

60

mới ra phút.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm góc nhọn

α

biết

tan α = 1

rồi biết

tan α = 1000

, từ đó nhận xét tang của góc nhọn có thể lớn tuỳ ý còn góc thì luôn bé hơn

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Luyện tập 5★★Trang 72— Tìm góc nhọn từ tỉ số lượng giác cho trước, làm tròn đến phút

Luyện tập 5 (trang 72). Dùng MTCT, tìm các góc

α

(làm tròn đến phút), biết:
a)

sin α = 0, 3782

;
b)

cos α = 0, 6251

;
c)

tan α = 2, 154

;
d)

cot α = 3, 253

Kiến thức cần nhớ

Dùng tổ hợp SHIFT với sin, cos, tan để tìm góc nhọn từ tỉ số lượng giác.
Từ $cot α = m$ suy ra $tan α = \frac{1}{m}$ , hoặc $tan (9 0^{\circ} - α) = m$ .
Với góc nhọn: $tan α > 1$ khi và chỉ khi $α > 4 5^{\circ}$ ; $cot α > 1$ khi và chỉ khi $α < 4 5^{\circ}$ .
Làm tròn đến phút: số giây từ $3 0^{''}$ trở lên thì tăng phút thêm một đơn vị.

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý đầu dùng thẳng phím ngược tương ứng, ý d) phải qua một bước trung gian vì máy không có phím ngược cho côtang. Giá trị

tan α = 2, 154 > 1

báo trước

α > 4 5^{\circ}

, còn

cot α = 3, 253 > 1

báo trước

α < 4 5^{\circ}

— hai dự đoán này giúp phát hiện ngay nếu bấm nhầm. Bẫy là ở ý b) số giây bằng

37, 7^{''}

nên phải tăng phút lên, nhiều em bỏ đuôi và ghi

5 1^{\circ} 1 8^{'}

1Cách 1. Bấm phím ngược cho từng tỉ số rồi làm tròn đến phút

Định hướng. Ba ý đầu bấm thẳng phím ngược; ý d) lấy nghịch đảo của $3, 253$ trước rồi mới dùng phím ngược của tang.

sin α = 0, 3782

nên

α = 22, 22223 1^{\circ} = 2 2^{\circ} 1 3^{'} 20, 0 3^{''}

α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}

cos α = 0, 6251

nên

α = 51, 3104724 4^{\circ} = 5 1^{\circ} 1 8^{'} 37, 7^{''}

α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}

tan α = 2, 154

nên

α = 65, 0967942 6^{\circ} = 6 5^{\circ} 5^{'} 48, 4 6^{''}

α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

cot α = 3, 253

nên

tan α = \frac{1}{3 , 253}

α = 17, 0878755 6^{\circ} = 1 7^{\circ} 5^{'} 16, 3 5^{''}

α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}

Vậy $a) α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}; b) α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}; c) α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}; d) α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}$ .

2Cách 2. Đi qua góc phụ để chỉ dùng hai phím sin và tan

Định hướng. Đổi côsin thành sin của góc phụ, côtang thành tang của góc phụ; tìm góc phụ trước rồi lấy $9 0^{\circ}$ trừ đi.

sin α = 0, 3782

nên

α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}

cos α = 0, 6251

nên

sin (9 0^{\circ} - α) = 0, 6251

9 0^{\circ} - α = 38, 6895275 6^{\circ} = 3 8^{\circ} 4 1^{'} 22, 3^{''}

9 0^{\circ} - α \approx 3 8^{\circ} 4 1^{'}

α \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 3 8^{\circ} 4 1^{'} = 5 1^{\circ} 1 9^{'}

tan α = 2, 154

nên

α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

cot α = 3, 253

nên

tan (9 0^{\circ} - α) = 3, 253

9 0^{\circ} - α = 72, 9121244 4^{\circ} = 7 2^{\circ} 5 4^{'} 43, 6 5^{''}

9 0^{\circ} - α \approx 7 2^{\circ} 5 5^{'}

α \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 7 2^{\circ} 5 5^{'} = 1 7^{\circ} 5^{'}

Vậy $a) α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}; b) α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}; c) α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}; d) α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}$ .

3Cách 3. Dự đoán vị trí góc bằng mốc 45 độ rồi thử lại

Định hướng. Dựa vào các mốc $sin 4 5^{\circ} \approx 0, 707$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ , $cot 4 5^{\circ} = 1$ để khoanh vùng góc trước khi bấm, sau đó bấm xuôi lại để kiểm chứng.

0, 3782 < sin 3 0^{\circ} = 0, 5

nên

α < 3 0^{\circ}

; bấm máy được

α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}

Thử lại:

sin 2 2^{\circ} 1 3^{'} = 0, 3781101 \dots

0, 5 < 0, 6251 < 0, 707

nên

4 5^{\circ} < α < 6 0^{\circ}

; bấm máy được

α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}

Thử lại:

cos 5 1^{\circ} 1 9^{'} = 0, 6250156 \dots

2, 154 > 1

nên

α > 4 5^{\circ}

; bấm máy được

α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

Thử lại:

tan 6 5^{\circ} 6^{'} = 2, 1543156 \dots

3, 253 > 1

nên

α < 4 5^{\circ}

; bấm máy được

α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}

Thử lại:

cot 1 7^{\circ} 5^{'} = 3, 2539184 \dots

Vậy $a) α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}; b) α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}; c) α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}; d) α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}$ , mọi kết quả đều khớp dự đoán.

Nhận xét. Hai ý c) và d) cho hai góc phụ nhau cộng lại đúng $8 2^{\circ} 1 1^{'}$ chứ không phải $9 0^{\circ}$ — đừng nhầm, vì $2, 154$ và $3, 253$ không phải nghịch đảo của nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý một lần bấm phím ngược, riêng ý d) thêm một lần nghịch đảo; Cách 2 phải trừ góc nên mất thêm một bước dễ sai.

Đáp số. a)

α \approx 2 2^{\circ} 1 3^{'}

; b)

α \approx 5 1^{\circ} 1 9^{'}

; c)

α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

; d)

α \approx 1 7^{\circ} 5^{'}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) cắt bỏ phần giây

37, 7^{''}

rồi ghi

α \approx 5 1^{\circ} 1 8^{'}

, trong khi

37, 7^{''} > 3 0^{''}

nên phải làm tròn lên thành

5 1^{\circ} 1 9^{'}

. Ở ý d) bấm ngay phím ngược của tang với

3, 253

và ghi

α \approx 7 2^{\circ} 5 5^{'}

— đó là góc phụ, trái với dự đoán

α < 4 5^{\circ}

cot α > 1

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm

α

khi

sin α = 0, 999

rồi khi

sin α = 1, 001

và giải thích vì sao trường hợp sau máy báo lỗi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Vận dụng★★★Trang 72— Bài toán thực tế tính góc dốc và đối chiếu tiêu chuẩn

Vận dụng (trang 72). Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài

4

m, độ cao của đỉnh dốc bằng

0, 4

m.
a) Hãy tính góc dốc.
b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, $sin$ của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
Máy tính cầm tay tìm được góc nhọn khi biết sin của nó.
Định lí Pythagore dùng để tìm cạnh nằm ngang khi biết cạnh huyền và cạnh đối.
Tiêu chuẩn dốc cho người đi xe lăn trong các toà chung cư: góc dốc bé hơn $6^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chiều dài dốc

4

m là đường đi trên mặt dốc nên nó đóng vai trò cạnh huyền, còn

0, 4

m là cạnh đối của góc dốc — cặp dữ kiện này gọi thẳng tới sin. Câu b) không cần tính gì thêm, chỉ so số đo vừa tìm với mốc

6^{\circ}

nêu trong tình huống mở đầu. Bẫy là dùng tang ngay với hai số

0, 4

và

4

, tức là coi

4

m là khoảng cách nằm ngang, khiến kết quả lệch đi mấy phút.

1Cách 1. Dùng sin vì dốc là cạnh huyền

Định hướng. Xem đoạn dốc là cạnh huyền, độ cao đỉnh dốc là cạnh đối của góc dốc, rồi tìm góc bằng phím ngược của sin.

sin α = \frac{0 , 4}{4}

sin α = 0, 1

α = 5, 7391704 8^{\circ} = 5^{\circ} 4 4^{'} 21, 0 1^{''}

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

5^{\circ} 4 4^{'} < 6^{\circ}

Vậy góc dốc $α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}$ ; vì $5^{\circ} 4 4^{'} < 6^{\circ}$ nên đoạn dốc đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.

2Cách 2. Tìm khoảng cách nằm ngang rồi dùng tang

Định hướng. Lấy hình chiếu của dốc xuống mặt sân bằng định lí Pythagore, khi đó góc dốc có đủ cạnh đối và cạnh kề.

a) Gọi

b

là khoảng cách nằm ngang từ chân dốc tới chân đỉnh dốc

b^{2} = 4^{2} - 0, 4^{2}

b^{2} = 16 - 0, 16

b^{2} = 15, 84

b = 15, 84 \approx 3, 9799

(m)

tan α = \frac{0 , 4}{3 , 9799}

tan α \approx 0, 1005

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

5^{\circ} 4 4^{'} < 6^{\circ}

Vậy góc dốc $α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}$ ; vì $5^{\circ} 4 4^{'} < 6^{\circ}$ nên đoạn dốc đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.

3Cách 3. Tính góc ở đỉnh dốc rồi dùng quan hệ hai góc phụ nhau

Định hướng. Góc giữa mặt dốc và đường thẳng đứng ở đỉnh dốc có cạnh kề là độ cao và cạnh huyền là mặt dốc, nên côsin của nó tính được ngay; góc dốc là phần bù về $9 0^{\circ}$ .

a) Gọi

β

là góc giữa mặt dốc và đường thẳng đứng tại đỉnh dốc

cos β = \frac{0 , 4}{4}

cos β = 0, 1

β = 84, 2608295 2^{\circ} = 8 4^{\circ} 1 5^{'} 38, 9 9^{''}

β \approx 8 4^{\circ} 1 6^{'}

α = 9 0^{\circ} - β

α \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 8 4^{\circ} 1 6^{'}

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

b) Dốc chuẩn

6^{\circ}

ứng với độ cao tối đa

4 \cdot sin 6^{\circ} \approx 0, 418

0, 4 < 0, 418

Vậy góc dốc $α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}$ và độ cao $0, 4$ m chưa vượt mức cho phép nên đoạn dốc đúng tiêu chuẩn cho người đi xe lăn.

Nhận xét. Cách 3 còn cho một quy tắc dùng ngay tại công trường: dốc dài bao nhiêu mét thì chỉ được nâng cao khoảng một phần mười chừng ấy mét.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng lập tỉ số

0, 4 : 4

rồi bấm phím ngược của sin là xong cả hai ý, không phải khai căn như Cách 2 hay trừ góc như Cách 3.

Đáp số. a)

sin α = 0, 1

nên góc dốc

α \approx 5^{\circ} 4 4^{'}

. b) Vì

5^{\circ} 4 4^{'} < 6^{\circ}

nên góc dốc đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Sai lầm thường gặp. Dùng ngay

tan α = \frac{0 , 4}{4} = 0, 1

vì thấy hai số có sẵn, ra

α \approx 5^{\circ} 4 3^{'}

— sai vì

4

m là chiều dài mặt dốc, tức cạnh huyền, chứ không phải khoảng cách nằm ngang. Một lỗi nữa là đọc

5, 73 9^{\circ}

thành

5^{\circ} 7 3^{'}

rồi kết luận lớn hơn

6^{\circ}

, trong khi

0, 73 9^{\circ} = 44, 3^{'}

nên góc chỉ là

5^{\circ} 4 4^{'}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm chiều dài tối thiểu của đoạn dốc để nâng sảnh cao

0, 6

m mà góc dốc vẫn bé hơn

6^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Tranh luận★★★Trang 72— Vận dụng tỉ số lượng giác để đo khoảng cách không tới được

Tranh luận (trang 72). Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm

A

B

không đo trực tiếp được, chẳng hạn

A

và

B

là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm

C

về phía bờ sông có chứa

B

sao cho tam giác

A B C

vuông tại

B

. Ở bên bờ sông chứa

B

, người ta đo được

A C B = α

và

B C = a

(H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách

A B

chưa? Nếu được, hãy tính

A B

, biết

α = 5 5^{\circ}

a = 70

m. Bạn tròn nói: "Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách

A B

rồi". Bạn vuông nói: "Không thể tính được

A B

vì trong tam giác vuông

A B C

, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba". Em hãy cho biết ý kiến của mình.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối diện nó.
$tan α = \frac{A B}{B C}$ với tam giác $A B C$ vuông tại $B$ và $A C B = α$ .
Biết một cạnh và một góc nhọn của tam giác vuông thì tính được hai cạnh còn lại.
Định lí Pythagore chỉ là một trong nhiều cách tính cạnh; nó cần hai cạnh, còn tỉ số lượng giác chỉ cần một cạnh và một góc.

🧠 Phân tích tư duy

Bạn vuông chỉ nhớ định lí Pythagore nên tưởng phải có hai cạnh, nhưng bài học hôm nay cho thêm một công cụ: một cạnh cộng một góc nhọn cũng đủ xác định tam giác vuông. Dữ kiện

B C = a

là cạnh kề của góc

α

và

A B

là cạnh đối, đúng bộ đôi của tang. Bẫy nằm ở chỗ nhìn hình thấy

A C

dài nhất mà lại không đo được, nên dễ tưởng thiếu dữ kiện; thực ra

A C

cũng tính được từ

a

và

α

1Cách 1. Dùng tang của góc alpha với cạnh kề đã đo được

Định hướng. Trong tam giác $A B C$ vuông tại $B$ , cạnh $A B$ đối diện góc $α$ còn $B C$ kề với $α$ , nên tang của $α$ nối hai cạnh đó lại.

tan α = \frac{A B}{B C}

A B = B C \cdot tan α

A B = a \cdot tan α

a = 70

α = 5 5^{\circ}

A B = 70 \cdot tan 5 5^{\circ}

A B = 70 \cdot 1, 428148007

A B \approx 99, 97

(m)

Vậy bạn tròn nói đúng, tính được $A B = a \cdot tan α \approx 99, 97 m$ .

2Cách 2. Tính cạnh huyền AC trước rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Đáp lại đúng lí lẽ của bạn vuông: chỉ cần tìm thêm một cạnh nữa là $A C$ bằng côsin, khi đó định lí Pythagore dùng được ngay.

cos α = \frac{B C}{A C}

A C = \frac{B C}{cos α} = \frac{a}{cos α}

A C = \frac{70}{cos 5 5 ^{\circ}}

A C \approx 122, 04

(m)

A B^{2} = A C^{2} - B C^{2}

A B^{2} \approx 122, 0 4^{2} - 7 0^{2}

A B^{2} \approx 14893, 8 - 4900

A B \approx 9993, 8

A B \approx 99, 97

(m)

Vậy bạn tròn nói đúng: $A B \approx 99, 97 m$ , và định lí Pythagore vẫn dùng được sau khi tìm thêm $A C$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc A rồi dùng côtang

Định hướng. Góc $A$ phụ với $α$ , và với góc $A$ thì $B C$ là cạnh đối còn $A B$ là cạnh kề, nên côtang của góc $A$ cho ngay $A B$ .

A = 9 0^{\circ} - α = 9 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

cot A = \frac{A B}{B C}

A B = B C \cdot cot A

A B = 70 \cdot cot 3 5^{\circ}

A B = 70 \cdot 1, 428148007

A B \approx 99, 97

(m)

Vậy ý kiến của bạn tròn là đúng, $A B \approx 99, 97 m \approx 100 m$ .

Nhận xét. Bạn vuông không sai về định lí Pythagore, chỉ sai ở chỗ coi đó là con đường duy nhất; ba cách trên đều cho cùng một kết quả và đều xuất phát từ một cạnh cộng một góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng công thức

A B = a tan α

rồi bấm máy, không phải tính cạnh huyền rồi khai căn như Cách 2 nên vừa nhanh vừa ít sai số.

Đáp số. Tính được

A B

A B = a \cdot tan α

. Với

α = 5 5^{\circ}

và

a = 70

m thì

A B \approx 99, 97

m (khoảng

100

m). Bạn tròn nói đúng.

Sai lầm thường gặp. Đồng tình với bạn vuông và kết luận thiếu dữ kiện, quên rằng một cạnh cộng một góc nhọn đã đủ xác định tam giác vuông. Một lỗi nữa là viết

A B = 70 \cdot cot 5 5^{\circ} \approx 49, 01

m do lấy nhầm côtang, trong khi

A B

là cạnh ĐỐI của góc

5 5^{\circ}

nên phải nhân với tang.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu chỉ đo được

B C = 70

m mà góc

α

đo bị lệch

1^{\circ}

thành

5 6^{\circ}

thì

A B

sai lệch bao nhiêu mét — hãy tính để thấy phép đo góc cần chính xác tới mức nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 4.1★★Trang 73— Tính đủ tám tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong tam giác vuông

Bài 4.1 (trang 73). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn

B

và

C

khi biết:
a)

A B = 8

cm,

B C = 17

cm;
b)

A C = 0, 9

cm,

A B = 1, 2

cm.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ; suy ra $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ khi biết cạnh huyền.
Với góc $B$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ , $cot B = \frac{A B}{A C}$ .
Với góc $C$ : $sin C = \frac{A B}{B C}$ , $cos C = \frac{A C}{B C}$ , $tan C = \frac{A B}{A C}$ , $cot C = \frac{A C}{A B}$ .
$B + C = 9 0^{\circ}$ nên $sin B = cos C$ , $tan B = cot C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) cho cạnh huyền và một cạnh góc vuông, ý b) cho hai cạnh góc vuông — cả hai đều thiếu đúng một cạnh nên định lí Pythagore là bước mở màn, chỉ khác dấu cộng hay dấu trừ. Khi đã đủ ba cạnh thì tám tỉ số chỉ còn là chuyện đọc đúng vai trò đối – kề của từng góc, mà

B

và

C

phụ nhau nên bốn tỉ số của

C

là bản đảo chỗ của bốn tỉ số của

B

. Bẫy là ở ý a) cộng

8^{2} + 1 7^{2}

theo quán tính, trong khi

17

là cạnh huyền nên phải trừ.

1Cách 1. Bổ sung cạnh thiếu bằng Pythagore rồi thay vào định nghĩa

Định hướng. Tìm cạnh còn thiếu trước, sau đó với góc $B$ lấy cạnh đối $A C$ , với góc $C$ lấy cạnh đối $A B$ .

A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}

A C^{2} = 1 7^{2} - 8^{2}

A C^{2} = 289 - 64

A C^{2} = 225

A C = 15

(cm)

sin B = \frac{15}{17}

;

cos B = \frac{8}{17}

;

tan B = \frac{15}{8}

;

cot B = \frac{8}{15}

sin C = \frac{8}{17}

;

cos C = \frac{15}{17}

;

tan C = \frac{8}{15}

;

cot C = \frac{15}{8}

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 1, 2^{2} + 0, 9^{2}

B C^{2} = 1, 44 + 0, 81

B C^{2} = 2, 25

B C = 1, 5

(cm)

sin B = \frac{0 , 9}{1 , 5} = \frac{3}{5}

;

cos B = \frac{1 , 2}{1 , 5} = \frac{4}{5}

;

tan B = \frac{0 , 9}{1 , 2} = \frac{3}{4}

;

cot B = \frac{1 , 2}{0 , 9} = \frac{4}{3}

sin C = \frac{4}{5}

;

cos C = \frac{3}{5}

;

tan C = \frac{4}{3}

;

cot C = \frac{3}{4}

Vậy a) $sin B = \frac{15}{17}; cos B = \frac{8}{17}; tan B = \frac{15}{8}; cot B = \frac{8}{15}$ và $sin C = \frac{8}{17}; cos C = \frac{15}{17}; tan C = \frac{8}{15}; cot C = \frac{15}{8}$ ; b) $sin B = \frac{3}{5}; cos B = \frac{4}{5}; tan B = \frac{3}{4}; cot B = \frac{4}{3}$ và $sin C = \frac{4}{5}; cos C = \frac{3}{5}; tan C = \frac{4}{3}; cot C = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Tính đủ cho góc B rồi chuyển sang góc C bằng quan hệ phụ nhau

Định hướng. Chỉ làm việc với một góc cho gọn; bốn tỉ số của góc $C$ suy ra bằng cách đổi sin thành côsin, tang thành côtang.

A C = 1 7^{2} - 8^{2} = 225 = 15

(cm)

sin B = \frac{15}{17}

;

cos B = \frac{8}{17}

;

tan B = \frac{15}{8}

;

cot B = \frac{8}{15}

C = 9 0^{\circ} - B

sin C = cos B = \frac{8}{17}

;

cos C = sin B = \frac{15}{17}

tan C = cot B = \frac{8}{15}

;

cot C = tan B = \frac{15}{8}

B C = 1, 2^{2} + 0, 9^{2} = 2, 25 = 1, 5

(cm)

sin B = \frac{3}{5}

;

cos B = \frac{4}{5}

;

tan B = \frac{3}{4}

;

cot B = \frac{4}{3}

sin C = cos B = \frac{4}{5}

;

cos C = sin B = \frac{3}{5}

tan C = cot B = \frac{4}{3}

;

cot C = tan B = \frac{3}{4}

Vậy a) $sin B = \frac{15}{17}; cos B = \frac{8}{17}; tan B = \frac{15}{8}; cot B = \frac{8}{15}$ và bốn tỉ số của $C$ là $\frac{8}{17}$ , $\frac{15}{17}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{15}{8}$ ; b) $sin B = \frac{3}{5}; cos B = \frac{4}{5}; tan B = \frac{3}{4}; cot B = \frac{4}{3}$ và bốn tỉ số của $C$ là $\frac{4}{5}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{4}$ .

3Cách 3. Quy về tam giác đồng dạng có ba cạnh nguyên đơn giản

Định hướng. Tỉ số lượng giác không đổi khi nhân cả ba cạnh với một số dương, nên thu tam giác của ý b) về bộ ba quen thuộc $3$ – $4$ – $5$ rồi đọc tỉ số trên bộ ba đó.

8

và

17

có

1 7^{2} - 8^{2} = 225 = 1 5^{2}

nên ba cạnh là bộ ba

8

–

15

–

17

, không rút gọn được nữa

sin B = \frac{15}{17}

;

cos B = \frac{8}{17}

;

tan B = \frac{15}{8}

;

cot B = \frac{8}{15}

sin C = \frac{8}{17}

;

cos C = \frac{15}{17}

;

tan C = \frac{8}{15}

;

cot C = \frac{15}{8}

A C = 0, 9 = 0, 3 \cdot 3

và

A B = 1, 2 = 0, 3 \cdot 4

Tam giác

A B C

đồng dạng với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông

3

và

4

, cạnh huyền

5

B C = 0, 3 \cdot 5 = 1, 5

(cm)

sin B = \frac{3}{5}

;

cos B = \frac{4}{5}

;

tan B = \frac{3}{4}

;

cot B = \frac{4}{3}

sin C = \frac{4}{5}

;

cos C = \frac{3}{5}

;

tan C = \frac{4}{3}

;

cot C = \frac{3}{4}

Vậy a) bốn tỉ số của $B$ là $\frac{15}{17}; \frac{8}{17}; \frac{15}{8}; \frac{8}{15}$ và của $C$ là $\frac{8}{17}$ , $\frac{15}{17}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{15}{8}$ ; b) bốn tỉ số của $B$ là $\frac{3}{5}; \frac{4}{5}; \frac{3}{4}; \frac{4}{3}$ và của $C$ là $\frac{4}{5}$ , $\frac{3}{5}$ , $\frac{4}{3}$ , $\frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Cả hai ý đều rơi vào bộ ba Pythagore đẹp ( $8$ – $15$ – $17$ và $3$ – $4$ – $5$ ) nên mọi tỉ số đều là phân số tối giản; gặp bài mà cạnh huyền ra số vô tỉ thì phải trục căn thức trước khi kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ tính bốn tỉ số cho góc

B

, bốn tỉ số của góc

C

chép lại theo quy tắc đổi chỗ nên giảm một nửa khối lượng tính và hầu như không sai.

Đáp số. a)

A C = 15

cm;

sin B = \frac{15}{17}

cos B = \frac{8}{17}

tan B = \frac{15}{8}

cot B = \frac{8}{15}

;

sin C = \frac{8}{17}

cos C = \frac{15}{17}

tan C = \frac{8}{15}

cot C = \frac{15}{8}

. b)

B C = 1, 5

cm;

sin B = \frac{3}{5}

cos B = \frac{4}{5}

tan B = \frac{3}{4}

cot B = \frac{4}{3}

;

sin C = \frac{4}{5}

cos C = \frac{3}{5}

tan C = \frac{4}{3}

cot C = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) tính

A C = 8^{2} + 1 7^{2} = 353

vì cộng thay vì trừ, quên rằng

B C = 17

cm là cạnh huyền nên phải dài nhất. Một lỗi nữa là ở ý b) để nguyên

sin B = \frac{0 , 9}{1 , 5}

mà không rút gọn, khiến kết quả không khớp đáp án

\frac{3}{5}

của sách.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu

sin B = \frac{m}{n}

thì

cos C = \frac{m}{n}

và

tan B \cdot tan C = 1

— hãy kiểm lại đẳng thức thứ hai với cả hai ý của bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 4.2★★Trang 73— Tính cạnh đối khi biết cạnh kề và một góc nhọn đặc biệt

Bài 4.2 (trang 73). Cho tam giác vuông có một góc nhọn

6 0^{\circ}

và cạnh kề với góc

6 0^{\circ}

bằng

3

cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

Kiến thức cần nhớ

Tang của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, nên cạnh đối bằng cạnh kề nhân với $tan α$ .
$tan 6 0^{\circ} = 3$ và $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $6 0^{\circ}$ là nửa tam giác đều.
Định lí Pythagore dùng để kiểm tra lại kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh GÓC VUÔNG và góc nhọn kề nó, hỏi cạnh góc vuông còn lại — đúng cặp cạnh mà tang nối với nhau, nên không cần đụng tới cạnh huyền. Góc

6 0^{\circ}

nằm trong bảng đặc biệt nên đáp số ra dạng căn thức chính xác. Bẫy là nhầm "cạnh kề" với "cạnh huyền": cạnh huyền không bao giờ được gọi là cạnh kề của một góc nhọn.

1Cách 1. Dùng tang của góc 60 độ

Định hướng. Gọi tam giác $A B C$ vuông tại $A$ với $B = 6 0^{\circ}$ , cạnh kề $A B = 3$ cm, cạnh đối là $A C$ ; tang nối đúng hai cạnh đó.

tan B = \frac{A C}{A B}

A C = A B \cdot tan B

A C = 3 \cdot tan 6 0^{\circ}

A C = 33

(cm)

A C \approx 5, 196

(cm)

Vậy cạnh đối của góc $6 0^{\circ}$ là $A C = 33 cm \approx 5, 196 cm$ .

2Cách 2. Tính cạnh huyền bằng côsin rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Côsin nối cạnh kề với cạnh huyền, có cạnh huyền rồi thì cạnh đối lấy được bằng định lí Pythagore.

cos B = \frac{A B}{B C}

B C = \frac{A B}{cos B} = \frac{3}{cos 6 0 ^{\circ}}

B C = 3 : \frac{1}{2}

B C = 6

(cm)

A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}

A C^{2} = 6^{2} - 3^{2}

A C^{2} = 27

A C = 33

(cm)

Vậy cạnh đối của góc $6 0^{\circ}$ là $A C = 33 cm \approx 5, 196 cm$ .

3Cách 3. Ghép thành tam giác đều rồi lấy đường cao

Định hướng. Tam giác vuông có góc $6 0^{\circ}$ là nửa tam giác đều; dựng lại tam giác đều đó thì cạnh đối chính là đường cao đã biết công thức.

C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Gọi

D

là điểm đối xứng với

B

qua

A

C A

vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác

B C D

nên tam giác

B C D

cân tại

C

Tam giác

B C D

cân tại

C

có

B = 6 0^{\circ}

nên là tam giác đều

B D = 2 \cdot A B = 6

(cm) là cạnh tam giác đều

A C

là đường cao của tam giác đều cạnh

6

A C = \frac{6 3}{2}

A C = 33

(cm)

Vậy cạnh đối của góc $6 0^{\circ}$ là $A C = 33 cm \approx 5, 196 cm$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $33 \approx 5, 196$ cm, dài hơn cạnh kề $3$ cm — hợp lí vì cạnh đối diện góc $6 0^{\circ}$ phải dài hơn cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép nhân

3 \cdot tan 6 0^{\circ}

, không phải đi vòng qua cạnh huyền như Cách 2 hay dựng thêm điểm như Cách 3.

Đáp số. Cạnh đối của góc

6 0^{\circ}

bằng

33

\approx 5, 196

cm.

Sai lầm thường gặp. Hiểu "cạnh kề bằng

3

cm" thành cạnh huyền bằng

3

cm rồi tính cạnh đối là

3 \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{3 3}{2} \approx 2, 598

cm — bé hơn cả cạnh kề, vô lí với góc

6 0^{\circ}

. Một lỗi nữa là dùng

tan 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}

(giá trị của

tan 3 0^{\circ}

) nên ra

3 \approx 1, 73

cm.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, với cạnh kề

m

và góc nhọn

α

thì cạnh đối luôn là

m tan α

— hãy tính chiều cao của một cây khi bóng của nó trên mặt đất dài

12

m và tia nắng nghiêng

6 0^{\circ}

so với mặt đất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 4.3★★Trang 73— Tính cạnh huyền khi biết cạnh đối và góc nhọn

3 0^{\circ}

Bài 4.3 (trang 73). Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng

3 0^{\circ}

và cạnh đối với góc này bằng

5

cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Sin của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, nên cạnh huyền bằng cạnh đối chia cho $sin α$ .
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cot 3 0^{\circ} = 3$ .
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Cạnh đối và cạnh huyền là cặp mà sin nối lại, nhưng lần này cạnh huyền nằm ở MẪU nên phải chuyển vế chia chứ không nhân. Góc

3 0^{\circ}

có

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

, chia cho

\frac{1}{2}

chính là nhân đôi, nên đáp số là số nguyên đẹp. Bẫy là viết ngay

B C = 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 2, 5

cm, cho ra cạnh huyền ngắn hơn cạnh góc vuông.

1Cách 1. Dùng sin của góc 30 độ rồi chuyển vế

Định hướng. Gọi tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B = 3 0^{\circ}$ và cạnh đối $A C = 5$ cm; sin nối $A C$ với cạnh huyền $B C$ .

sin B = \frac{A C}{B C}

B C = \frac{A C}{sin B}

B C = \frac{5}{sin 3 0 ^{\circ}}

B C = 5 : \frac{1}{2}

B C = 10

(cm)

Vậy cạnh huyền của tam giác bằng $10 cm$ .

2Cách 2. Tính cạnh kề bằng côtang rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Lấy cạnh góc vuông còn lại từ côtang của góc $3 0^{\circ}$ , khi đó cạnh huyền tính được bằng định lí Pythagore.

cot B = \frac{A B}{A C}

A B = A C \cdot cot B = 5 \cdot cot 3 0^{\circ}

A B = 53

(cm)

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = (53)^{2} + 5^{2}

B C^{2} = 75 + 25

B C^{2} = 100

B C = 10

(cm)

Vậy cạnh huyền của tam giác bằng $10 cm$ .

3Cách 3. Dùng tính chất nửa tam giác đều, không cần tính toán

Định hướng. Ghép hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh $A B$ để được tam giác đều, khi đó cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ đúng bằng nửa cạnh của tam giác đều.

C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Gọi

D

là điểm đối xứng với

C

qua

A

A B

vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác

B C D

nên tam giác

B C D

cân tại

B

Tam giác

B C D

cân tại

B

có

C = 6 0^{\circ}

nên là tam giác đều

C D = B C

và

C D = 2 \cdot A C = 10

(cm)

B C = 10

(cm)

Vậy cạnh huyền của tam giác bằng $10 cm$ , đúng gấp đôi cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Từ đây rút ra mẹo dùng được mãi: thấy góc $3 0^{\circ}$ trong tam giác vuông thì cạnh đối diện nó bằng nửa cạnh huyền, khỏi phải bấm máy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra ngay "cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

bằng nửa cạnh huyền" nên đáp số có sau một dòng, không cần đến căn thức như Cách 2.

Đáp số. Cạnh huyền của tam giác bằng

10

cm.

Sai lầm thường gặp. Viết

B C = 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 2, 5

cm vì nhân thay vì chia, cho ra cạnh huyền ngắn hơn cạnh góc vuông

5

cm — trái với tính chất cạnh huyền dài nhất. Một lỗi nữa là dùng

sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

nên ra

B C = \frac{10 3}{3} \approx 5, 77

cm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: cạnh huyền luôn bằng cạnh đối chia cho

sin

của góc đối diện, nên khi góc càng bé thì cạnh huyền càng lớn — hãy tính cạnh huyền khi góc chỉ còn

5^{\circ}

mà cạnh đối vẫn là

5

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 4.4★★Trang 73— Tìm góc nhọn từ tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật

Bài 4.4 (trang 73). Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là

3

và

3

. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật có bốn góc vuông, nên đường chéo chia nó thành hai tam giác vuông.
Tang của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề; $tan 6 0^{\circ} = 3$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{3}{3} = 3$ .
Tam giác vuông có ba cạnh tỉ lệ $1 : 3 : 2$ là nửa tam giác đều, hai góc nhọn là $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường chéo cắt hình chữ nhật thành hai tam giác vuông, trong đó chiều dài và chiều rộng là hai cạnh góc vuông còn đường chéo là cạnh huyền. Góc phải tìm kẹp giữa đường chéo và cạnh ngắn, nên cạnh ngắn đóng vai trò cạnh kề và cạnh dài là cạnh đối — tang cho ngay tỉ số

\frac{3}{3}

. Bẫy là chọn nhầm cạnh:

3 \approx 1, 73 < 3

nên cạnh ngắn là cạnh

3

, lấy nhầm sẽ ra

3 0^{\circ}

1Cách 1. Dùng tang với cạnh ngắn làm cạnh kề

Định hướng. Gọi hình chữ nhật $A B C D$ với $A B = 3$ , $B C = 3$ ; góc cần tìm là $A C B$ giữa đường chéo $C A$ và cạnh ngắn $C B$ , trong tam giác $A B C$ vuông tại $B$ .

3 \approx 1, 73 < 3

nên cạnh ngắn hơn là

B C = 3

tan A C B = \frac{A B}{B C}

tan A C B = \frac{3}{3}

tan A C B = \frac{3 3}{3}

tan A C B = 3

A C B = 6 0^{\circ}

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn bằng $6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính đường chéo rồi dùng côsin

Định hướng. Lấy độ dài đường chéo bằng định lí Pythagore, khi đó góc cần tìm có đủ cạnh kề và cạnh huyền nên côsin dùng được.

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

A C^{2} = 3^{2} + (3)^{2}

A C^{2} = 9 + 3

A C^{2} = 12

A C = 23

cos A C B = \frac{B C}{A C}

cos A C B = \frac{3}{2 3}

cos A C B = \frac{1}{2}

A C B = 6 0^{\circ}

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn bằng $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Nhận ra nửa tam giác đều nhờ tỉ lệ ba cạnh

Định hướng. So ba cạnh của tam giác vuông với bộ tỉ lệ $1 : 3 : 2$ ; trùng khớp thì hai góc nhọn buộc phải là $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ , chỉ còn việc chọn đúng góc.

A C = 9 + 3 = 23

B C : A B : A C = 3 : 3 : 23

B C : A B : A C = 1 : 3 : 2

Tam giác

A B C

là nửa tam giác đều, hai góc nhọn là

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

B C

là cạnh bé nhất nên đối diện góc bé nhất:

B A C = 3 0^{\circ}

A C B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn bằng $6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Góc giữa đường chéo và cạnh DÀI hơn là $3 0^{\circ}$ ; hai góc này luôn phụ nhau nên tính được góc này là biết ngay góc kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép chia rồi trục căn thức là ra

tan = 3

, tra bảng trang 69 được

6 0^{\circ}

ngay, không phải tính đường chéo như hai cách sau.

Đáp số. Góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật bằng

6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm cạnh dài

3

làm cạnh kề, được

tan = \frac{3}{3}

rồi kết luận

3 0^{\circ}

— đó là góc giữa đường chéo và cạnh DÀI hơn. Một lỗi nữa là để nguyên

tan = \frac{3}{3}

mà không trục căn thức nên không tra được bảng giá trị của sách.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với hình chữ nhật kích thước

m

và

n

(

m > n

), góc giữa đường chéo và cạnh ngắn có

tan = \frac{m}{n}

— hãy tìm tỉ số

m : n

để góc đó đúng bằng

4 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 4.5★★Trang 73— Dùng quan hệ hai góc phụ nhau để đổi góc và rút gọn biểu thức

Bài 4.5 (trang 73).
a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

4 5^{\circ}

sin 5 5^{\circ}

cos 6 2^{\circ}

tan 5 7^{\circ}

cot 6 4^{\circ}

.
b) Tính

\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}}

tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $α + β = 9 0^{\circ}$ thì $sin α = cos β$ , $cos α = sin β$ , $tan α = cot β$ , $cot α = tan β$ .
$cot (9 0^{\circ} - α) = tan α$ với mọi góc nhọn $α$ .
Thương của hai số bằng nhau và khác $0$ bằng $1$ ; hiệu của hai số bằng nhau bằng $0$ .
Góc lớn hơn $4 5^{\circ}$ thì góc phụ của nó nhỏ hơn $4 5^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là bài đổi góc quen thuộc: bốn góc đã cho đều lớn hơn

4 5^{\circ}

nên góc phụ của chúng chắc chắn nhỏ hơn

4 5^{\circ}

. Ý b) nhìn tưởng phải bấm máy, nhưng để ý

2 5^{\circ} + 6 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

và

3 4^{\circ} + 5 6^{\circ} = 9 0^{\circ}

thì hai biểu thức lập tức thành thương và hiệu của hai đại lượng bằng nhau. Bẫy là cắm đầu bấm máy rồi làm tròn, ra

0, 9999

và

0, 0001

thay vì đáp số chính xác

1

và

0

1Cách 1. Áp dụng thẳng công thức góc phụ

Định hướng. Ý a) thay mỗi tỉ số bằng tỉ số đồng hành của góc phụ; ý b) đưa $cot 6 5^{\circ}$ và $cot 5 6^{\circ}$ về tang của góc phụ để hai số hạng trùng nhau.

sin 5 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 5 5^{\circ}) = cos 3 5^{\circ}

cos 6 2^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 6 2^{\circ}) = sin 2 8^{\circ}

tan 5 7^{\circ} = cot (9 0^{\circ} - 5 7^{\circ}) = cot 3 3^{\circ}

cot 6 4^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 6 4^{\circ}) = tan 2 6^{\circ}

cot 6 5^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 6 5^{\circ}) = tan 2 5^{\circ}

\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = \frac{tan 2 5 ^{\circ}}{tan 2 5 ^{\circ}} = 1

cot 5 6^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 5 6^{\circ}) = tan 3 4^{\circ}

tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = tan 3 4^{\circ} - tan 3 4^{\circ} = 0

Vậy a) $sin 5 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}; cos 6 2^{\circ} = sin 2 8^{\circ}; tan 5 7^{\circ} = cot 3 3^{\circ}; cot 6 4^{\circ} = tan 2 6^{\circ}$ ; b) $\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = 1; tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = 0$ .

2Cách 2. Đặt các góc vào tam giác vuông rồi đọc theo cạnh

Định hướng. Mỗi cặp góc phụ nhau là hai góc nhọn của một tam giác vuông; viết hai vế theo cùng bộ ba cạnh sẽ thấy chúng là cùng một phân số.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

a) Với

B = 5 5^{\circ}

thì

C = 3 5^{\circ}

sin 5 5^{\circ} = \frac{A C}{B C} = cos 3 5^{\circ}

Với

B = 6 2^{\circ}

thì

C = 2 8^{\circ}

cos 6 2^{\circ} = \frac{A B}{B C} = sin 2 8^{\circ}

Với

B = 5 7^{\circ}

thì

C = 3 3^{\circ}

tan 5 7^{\circ} = \frac{A C}{A B} = cot 3 3^{\circ}

Với

B = 6 4^{\circ}

thì

C = 2 6^{\circ}

cot 6 4^{\circ} = \frac{A B}{A C} = tan 2 6^{\circ}

b) Với

B = 2 5^{\circ}

thì

C = 6 5^{\circ}

tan 2 5^{\circ} = \frac{A C}{A B}

và

cot 6 5^{\circ} = \frac{A C}{A B}

\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = 1

Với

B = 3 4^{\circ}

thì

C = 5 6^{\circ}

tan 3 4^{\circ} = \frac{A C}{A B}

và

cot 5 6^{\circ} = \frac{A C}{A B}

tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = 0

3Cách 3. Đổi ngược về côtang rồi kiểm chứng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Ở ý b) đổi $tan$ thành $cot$ của góc phụ (thay vì đổi $cot$ thành $tan$ ) để thấy cách nào cũng dẫn tới cùng một kết quả, rồi bấm máy đối chiếu.

5 5^{\circ} + 3 5^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

sin 5 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}

6 2^{\circ} + 2 8^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

cos 6 2^{\circ} = sin 2 8^{\circ}

5 7^{\circ} + 3 3^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

tan 5 7^{\circ} = cot 3 3^{\circ}

6 4^{\circ} + 2 6^{\circ} = 9 0^{\circ}

nên

cot 6 4^{\circ} = tan 2 6^{\circ}

tan 2 5^{\circ} = cot (9 0^{\circ} - 2 5^{\circ}) = cot 6 5^{\circ}

\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = \frac{cot 6 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = 1

tan 3 4^{\circ} = cot (9 0^{\circ} - 3 4^{\circ}) = cot 5 6^{\circ}

tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = cot 5 6^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = 0

Bấm máy:

tan 2 5^{\circ} = 0, 4663076582

và

cot 6 5^{\circ} = 0, 4663076582

Nhận xét. Cả hai biểu thức ở ý b) đều cho kết quả CHÍNH XÁC là $1$ và $0$ mà không cần biết giá trị cụ thể của $tan 2 5^{\circ}$ hay $tan 3 4^{\circ}$ — đó là ưu thế của lập luận so với bấm máy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý một phép trừ góc và một lần đổi tên, ý b) rút gọn được ngay thành

1

và

0

mà không cần một con số thập phân nào.

Đáp số. a)

sin 5 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}

;

cos 6 2^{\circ} = sin 2 8^{\circ}

;

tan 5 7^{\circ} = cot 3 3^{\circ}

;

cot 6 4^{\circ} = tan 2 6^{\circ}

. b)

\frac{tan 2 5 ^{\circ}}{cot 6 5 ^{\circ}} = 1

và

tan 3 4^{\circ} - cot 5 6^{\circ} = 0

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) giữ nguyên tên tỉ số, viết

sin 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}

— sai vì

sin 5 5^{\circ} \approx 0, 819

còn

sin 3 5^{\circ} \approx 0, 574

. Ở ý b) bấm máy rồi làm tròn ra

0, 999

và

0, 001

, trong khi lập luận cho kết quả chính xác

1

và

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với mọi góc nhọn

α

thì

\frac{tan α}{cot ( 9 0 ^{\circ} - α )} = 1

và

tan α - cot (9 0^{\circ} - α) = 0

— hãy dùng ý đó để rút gọn

sin^{2} 2 0^{\circ} + sin^{2} 7 0^{\circ} - cos^{2} 2 0^{\circ} - cos^{2} 7 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 4.6★Trang 73— Tính giá trị gần đúng của tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay

Bài 4.6 (trang 73). Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a)

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'}

;
b)

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'}

;
c)

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'}

;
d)

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phím độ – phút – giây dùng để nhập số đo góc dạng $4 0^{\circ} 1 2^{'}$ .
Máy tính cầm tay không có phím côtang: $cot α = \frac{1}{tan α}$ .
$cot α = tan (9 0^{\circ} - α)$ là cách tính côtang không cần phím nghịch đảo.
Với góc nhọn, giá trị sin và côsin luôn nằm giữa $0$ và $1$ , còn tang và côtang có thể lớn hơn $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý bày ra đủ bốn tỉ số, trong đó ba ý đầu có phím riêng còn ý d) thì không, đó là điểm khác biệt duy nhất về kĩ thuật bấm. Trước khi bấm nên ước lượng:

4 0^{\circ} 1 2^{'}

và

5 2^{\circ} 5 4^{'}

đều quanh mốc

4 5^{\circ}

nên sin và côsin phải xấp xỉ

0, 6

, còn

6 3^{\circ} 3 6^{'}

lớn hơn

6 0^{\circ}

nên tang phải vượt

1, 7

. Bẫy là quên dấu phẩy phần phút, gõ

40, 12

thành số độ thập phân, sai ngay ở chữ số cần làm tròn.

1Cách 1. Bấm phím tương ứng cho từng ý

Định hướng. Nhập số đo bằng phím độ – phút – giây; ý d) bấm tang trước rồi lấy nghịch đảo.

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} = 0, 6454576877

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} = 0, 6032079877

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} = 2, 014486937

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} = \frac{1}{tan 2 5 ^{\circ} 1 8 ^{'}} = 2, 115516356

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Vậy $sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645; cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603; tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ .

2Cách 2. Chỉ dùng hai phím sin và tan nhờ đổi sang góc phụ

Định hướng. Thay côsin bằng sin của góc phụ và côtang bằng tang của góc phụ, khi đó cả bài chỉ cần hai phím.

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645

9 0^{\circ} - 5 2^{\circ} 5 4^{'} = 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 5 2^{\circ} 5 4^{'} = 3 7^{\circ} 6^{'}

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} = sin 3 7^{\circ} 6^{'} = 0, 6032079877

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014

9 0^{\circ} - 2 5^{\circ} 1 8^{'} = 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 2 5^{\circ} 1 8^{'} = 6 4^{\circ} 4 2^{'}

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} = tan 6 4^{\circ} 4 2^{'} = 2, 115516356

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Vậy $sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645; cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603; tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ .

3Cách 3. Ước lượng trước bằng góc đặc biệt rồi bấm máy đối chiếu

Định hướng. Dự đoán khoảng giá trị của từng ý dựa vào các mốc $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , sau đó bấm máy xem có rơi đúng khoảng đã dự đoán hay không.

3 0^{\circ} < 4 0^{\circ} 1 2^{'} < 4 5^{\circ}

nên

0, 5 < sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} < 0, 707

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645

4 5^{\circ} < 5 2^{\circ} 5 4^{'} < 6 0^{\circ}

nên

0, 5 < cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} < 0, 707

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603

6 3^{\circ} 3 6^{'} > 6 0^{\circ}

nên

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} > tan 6 0^{\circ} \approx 1, 732

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014

2 5^{\circ} 1 8^{'} < 3 0^{\circ}

nên

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} > cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Vậy $sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645; cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603; tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014; cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116$ , tất cả đều rơi đúng khoảng đã dự đoán.

Nhận xét. Hai ý c) và d) cho hai số khác nhau dù cùng lớn hơn $1, 732$ , cho thấy tang tăng rất nhanh khi góc tiến gần $9 0^{\circ}$ còn côtang tăng nhanh khi góc tiến gần $0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bốn phép bấm liên tiếp là xong; Cách 3 chỉ nên chạy thêm một lượt để soát, vì nó phát hiện ngay lỗi nhập sai số đo.

Đáp số. a)

sin 4 0^{\circ} 1 2^{'} \approx 0, 645

; b)

cos 5 2^{\circ} 5 4^{'} \approx 0, 603

; c)

tan 6 3^{\circ} 3 6^{'} \approx 2, 014

; d)

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'} \approx 2, 116

Sai lầm thường gặp. Gõ

40, 12

thay cho

4 0^{\circ} 1 2^{'}

nên máy tính

sin 40, 1 2^{\circ} = 0, 6443

và cho đáp số

0, 644

thay vì

0, 645

. Ở ý d) ghi luôn kết quả của phím tan là

0, 473

mà quên lấy nghịch đảo, trong khi

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'}

phải lớn hơn

1

vì

2 5^{\circ} 1 8^{'} < 4 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tính

cot 2 5^{\circ} 1 8^{'}

ở ý d) rồi

tan 2 5^{\circ} 1 8^{'}

và kiểm tra tích của hai số đó có đúng bằng

1

trên màn hình máy tính hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · 4.7★★Trang 73— Tìm số đo góc nhọn từ tỉ số lượng giác, làm tròn đến phút

Bài 4.7 (trang 73). Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn

x

(làm tròn đến phút), biết rằng:
a)

sin x = 0, 2368

;
b)

cos x = 0, 6224

;
c)

tan x = 1, 236

;
d)

cot x = 2, 154

Kiến thức cần nhớ

Tổ hợp phím SHIFT với sin, cos, tan cho góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác tương ứng.
Từ $cot x = m$ suy ra $tan x = \frac{1}{m}$ rồi mới tìm $x$ .
Kết quả máy trả về dạng độ thập phân, dùng phím độ – phút – giây để đổi trước khi làm tròn.
$tan x > 1$ khi và chỉ khi $x > 4 5^{\circ}$ ; $cot x > 1$ khi và chỉ khi $x < 4 5^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài này đi ngược chiều với bài trước: từ giá trị tìm góc, nên phải dùng các phím ngược. Bốn dữ kiện đã sắp xếp sẵn một dự đoán:

sin x

rất bé nên

x

bé,

tan x

và

cot x

đều lớn hơn

1

nên một góc ở trên và một góc ở dưới mốc

4 5^{\circ}

. Bẫy ở ý d): bấm thẳng phím ngược của tang với

2, 154

sẽ cho góc phụ chứ không phải

x

1Cách 1. Dùng phím ngược tương ứng với từng tỉ số

Định hướng. Ba ý đầu bấm phím ngược của sin, côsin, tang; ý d) lấy nghịch đảo của $2, 154$ rồi mới bấm phím ngược của tang.

sin x = 0, 2368

nên

x = 13, 697750 4^{\circ} = 1 3^{\circ} 4 1^{'} 51, 9^{''}

x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}

cos x = 0, 6224

nên

x = 51, 5083922 1^{\circ} = 5 1^{\circ} 3 0^{'} 30, 2 1^{''}

x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}

tan x = 1, 236

nên

x = 51, 0250118 6^{\circ} = 5 1^{\circ} 1^{'} 30, 0 4^{''}

x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}

cot x = 2, 154

nên

tan x = \frac{1}{2 , 154}

x = 24, 9032057 4^{\circ} = 2 4^{\circ} 5 4^{'} 11, 5 4^{''}

x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}

Vậy $a) x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}; b) x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}; c) x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}; d) x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}$ .

2Cách 2. Tìm góc phụ trước rồi lấy 90 độ trừ đi

Định hướng. Đổi côsin thành sin của góc phụ, côtang thành tang của góc phụ; tìm góc phụ xong mới trừ ngược về $x$ .

sin x = 0, 2368

nên

x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}

cos x = 0, 6224

nên

sin (9 0^{\circ} - x) = 0, 6224

9 0^{\circ} - x = 38, 4916077 9^{\circ} = 3 8^{\circ} 2 9^{'} 29, 7 9^{''}

9 0^{\circ} - x \approx 3 8^{\circ} 2 9^{'}

x \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 3 8^{\circ} 2 9^{'} = 5 1^{\circ} 3 1^{'}

tan x = 1, 236

nên

x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}

cot x = 2, 154

nên

tan (9 0^{\circ} - x) = 2, 154

9 0^{\circ} - x = 65, 0967942 6^{\circ} = 6 5^{\circ} 5^{'} 48, 4 6^{''}

9 0^{\circ} - x \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

x \approx 8 9^{\circ} 6 0^{'} - 6 5^{\circ} 6^{'} = 2 4^{\circ} 5 4^{'}

Vậy $a) x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}; b) x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}; c) x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}; d) x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}$ .

3Cách 3. Khoanh vùng góc bằng mốc đặc biệt rồi thử ngược lại

Định hướng. So mỗi dữ kiện với giá trị lượng giác của $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ để biết trước góc nằm ở đâu, sau đó bấm xuôi kiểm tra đáp số.

0, 2368 < sin 3 0^{\circ} = 0, 5

nên

x < 3 0^{\circ}

; bấm máy được

x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}

Thử lại:

sin 1 3^{\circ} 4 2^{'} = 0, 2368381 \dots

0, 5 < 0, 6224 < 0, 707

nên

4 5^{\circ} < x < 6 0^{\circ}

; bấm máy được

x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}

Thử lại:

cos 5 1^{\circ} 3 1^{'} = 0, 6222870 \dots

1 < 1, 236 < 1, 732

nên

4 5^{\circ} < x < 6 0^{\circ}

; bấm máy được

x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}

Thử lại:

tan 5 1^{\circ} 2^{'} = 1, 2363672 \dots

2, 154 > cot 3 0^{\circ} \approx 1, 732

nên

x < 3 0^{\circ}

; bấm máy được

x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}

Thử lại:

cot 2 4^{\circ} 5 4^{'} = 2, 1543156 \dots

Vậy $a) x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}; b) x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}; c) x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}; d) x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}$ , bốn phép thử ngược đều khớp dữ kiện.

Nhận xét. Hai ý b) và c) cho hai góc gần bằng nhau ( $5 1^{\circ} 3 1^{'}$ và $5 1^{\circ} 2^{'}$ ) từ hai dữ kiện hoàn toàn khác nhau — một minh chứng rằng mỗi tỉ số lượng giác đều xác định góc một cách độc lập.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi ý chỉ một lần bấm phím ngược rồi một lần đổi độ – phút – giây; Cách 2 phải thêm phép trừ góc có mượn nên dễ sai hơn.

Đáp số. a)

x \approx 1 3^{\circ} 4 2^{'}

; b)

x \approx 5 1^{\circ} 3 1^{'}

; c)

x \approx 5 1^{\circ} 2^{'}

; d)

x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}

Sai lầm thường gặp. Ở ý d) bấm ngay phím ngược của tang với

2, 154

rồi ghi

x \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

— đó là góc phụ, mâu thuẫn với dự đoán

x < 4 5^{\circ}

cot x > 1

. Ở ý c) cắt bỏ phần giây, ghi

x \approx 5 1^{\circ} 1^{'}

trong khi

30, 0 4^{''} > 3 0^{''}

nên phải làm tròn lên thành

5 1^{\circ} 2^{'}

🚀 Mở rộng. Đối chiếu với Luyện tập 5: ở đó

tan α = 2, 154

cho

α \approx 6 5^{\circ} 6^{'}

, còn ở ý d)

cot x = 2, 154

cho

x \approx 2 4^{\circ} 5 4^{'}

— hãy giải thích vì sao tổng hai góc đó đúng bằng

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗