Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.18★★Trang 48— Chứng minh hệ thức lượng bằng tỉ số lượng giác

Bài 4.18 (trang 48). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

với đường cao

A H

. Hãy tính

cos C

theo hai cách và suy ra

A C^{2} = B C \cdot H C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, côsin của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin của góc nhọn kề nó: $A C = B C cos C$ .
Hai tam giác vuông có chung một góc nhọn thì đồng dạng với nhau (g.g).
Định lí Pythagore: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt tính cùng một đại lượng

cos C

theo hai cách, đó chính là gợi ý tạo ra một đẳng thức bắc cầu giữa hai tỉ số. Góc

C

vừa là góc nhọn của tam giác

A B C

vuông tại

A

, vừa là góc nhọn của tam giác

A H C

vuông tại

H

, nên mỗi tam giác cho một biểu thức của

cos C

. Bẫy thường gặp là lấy nhầm cạnh kề: trong tam giác

A H C

cạnh kề góc

C

là

H C

chứ không phải

A H

1Cách 1. Tính

cos C

trong hai tam giác vuông rồi bắc cầu

Định hướng. Góc $C$ nằm trong hai tam giác vuông $A B C$ và $A H C$ , mỗi tam giác cho một biểu thức của $cos C$ .

cos C = \frac{A C}{B C}

(tam giác

A B C

vuông tại

A

)

cos C = \frac{H C}{A C}

(tam giác

A H C

vuông tại

H

)

\frac{A C}{B C} = \frac{H C}{A C}

A C \cdot A C = B C \cdot H C

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng

H A C

và

A B C

Định hướng. Hai tam giác $H A C$ và $A B C$ cùng vuông và chung góc nhọn $C$ nên đồng dạng, tỉ lệ cạnh cho ngay hệ thức.

A H C = B A C = 9 0^{\circ}

C

chung

△ H A C ∽ △ A B C

(g.g)

\frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C}

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

3Cách 3. Dùng định lí Pythagore cho ba tam giác vuông

Định hướng. Trừ hai đẳng thức Pythagore của hai tam giác $A H C$ , $A H B$ để khử $A H$ , rồi thay $B H = B C - H C$ .

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}

A C^{2} - A B^{2} = H C^{2} - B H^{2}

A C^{2} - A B^{2} = (H C - B H) (H C + B H)

A C^{2} - A B^{2} = (H C - B H) \cdot B C

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}

2 A C^{2} - B C^{2} = (H C - B H) \cdot B C

H C - B H = H C - (B C - H C) = 2 H C - B C

2 A C^{2} - B C^{2} = (2 H C - B C) \cdot B C

2 A C^{2} - B C^{2} = 2 B C \cdot H C - B C^{2}

2 A C^{2} = 2 B C \cdot H C

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng định lí Pythagore nên áp dụng được cả khi chưa học tỉ số lượng giác, đổi lại dài hơn hẳn hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng, chỉ cần đọc đúng cạnh kề và cạnh huyền của góc

C

trong hai tam giác vuông, không phải dựng thêm hình cũng không phải biến đổi dài.

Đáp số.

A C^{2} = B C \cdot H C

, tức bình phương một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

cos C = \frac{A H}{A C}

trong tam giác

A H C

, trong khi đó mới là

sin C

vì

A H

là cạnh đối của góc

C

; lấy nhầm như vậy sẽ dẫn tới hệ thức sai

A C^{2} = B C \cdot A H

. Một lỗi khác là viết

A C^{2} = B C \cdot B H

, tức lấy hình chiếu của cạnh

A B

thay cho hình chiếu của

A C

🚀 Mở rộng. Làm y hệt với góc

B

ta được

A B^{2} = B C \cdot B H

; cộng hai hệ thức lại cho

A B^{2} + A C^{2} = B C (B H + H C) = B C^{2}

, đúng bằng định lí Pythagore.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.19★★Trang 48— Chứng minh hệ thức đường cao bằng tỉ số tang

Bài 4.19 (trang 48). Gọi

A H

là đường cao của tam giác

A B C

vuông tại

A

. Tính

tan A B H

và

tan C A H

, suy ra

A H^{2} = B H \cdot C H

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, tang của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau.
Định lí Pythagore áp dụng cho ba tam giác vuông $A B C$ , $A H B$ và $A H C$ .
Hai tam giác vuông đồng dạng khi có một cặp góc nhọn bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ đích danh hai góc

A B H

và

C A H

, dấu hiệu cho thấy hai góc này bằng nhau nên hai tang của chúng cũng bằng nhau. Cả hai góc đều cùng phụ với

B A H

, vì vậy chỉ cần viết tang của chúng trong hai tam giác vuông

A H B

và

A H C

rồi cho bằng nhau. Bẫy nằm ở chỗ

A H

đứng ở tử của tỉ số này nhưng lại ở mẫu của tỉ số kia, đảo nhầm là ra hệ thức ngược.

1Cách 1. Viết hai tang rồi dùng hai góc cùng phụ với

B A H

Định hướng. Hai góc $A B H$ và $C A H$ cùng phụ với $B A H$ nên bằng nhau, kéo theo hai tang bằng nhau.

tan A B H = \frac{A H}{B H}

(tam giác

A H B

vuông tại

H

)

tan C A H = \frac{C H}{A H}

(tam giác

A H C

vuông tại

H

)

A B H + B A H = 9 0^{\circ}

C A H + B A H = 9 0^{\circ}

A B H = C A H

\frac{A H}{B H} = \frac{C H}{A H}

A H \cdot A H = B H \cdot C H

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $tan A B H = \frac{A H}{B H}$ , $tan C A H = \frac{C H}{A H}$ và $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng

H B A

và

H A C

Định hướng. Đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng với nhau, tỉ lệ cạnh cho ngay hệ thức.

A H B = A H C = 9 0^{\circ}

H B A = H A C

(cùng phụ với

B A H

)

△ H B A ∽ △ H A C

(g.g)

\frac{H B}{H A} = \frac{H A}{H C}

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

3Cách 3. Cộng hai lần định lí Pythagore rồi khai triển

B C^{2}

Định hướng. Viết $A H^{2}$ theo hai cách rồi cộng lại, phần thừa được gom nhờ hằng đẳng thức của $B C = B H + C H$ .

A H^{2} = A B^{2} - B H^{2}

A H^{2} = A C^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = A B^{2} + A C^{2} - B H^{2} - C H^{2}

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

B C = B H + C H

2 A H^{2} = (B H + C H)^{2} - B H^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = B H^{2} + 2 B H \cdot C H + C H^{2} - B H^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = 2 B H \cdot C H

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

Nhận xét. Cách 3 không động tới tỉ số lượng giác nên vẫn dùng được khi mới chỉ học định lí Pythagore, đổi lại phải khai triển thêm một hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đó đúng là con đường đề đã chỉ: viết hai tang, chỉ ra hai góc cùng phụ với

B A H

rồi nhân chéo, tất cả gọn trong bốn dòng.

Đáp số.

tan A B H = \frac{A H}{B H}

tan C A H = \frac{C H}{A H}

và

A H^{2} = B H \cdot C H

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

tan C A H = \frac{A H}{C H}

: trong tam giác

A H C

vuông tại

H

, cạnh đối của góc

C A H

là

C H

còn cạnh kề mới là

A H

. Viết ngược sẽ cho

\frac{A H}{B H} = \frac{A H}{C H}

, dẫn tới kết luận vô lí

B H = C H

với mọi tam giác vuông.

🚀 Mở rộng. Ghép

A B^{2} = B C \cdot B H

với

A C^{2} = B C \cdot C H

rồi dùng

A H^{2} = B H \cdot C H

ta được

A B \cdot A C = B C \cdot A H

, chính là hai lần diện tích tam giác tính theo hai cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.20★★★Trang 48— Chứng minh hệ thức nghịch đảo bình phương đường cao

Bài 4.20 (trang 48). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A H

là đường cao. Chứng minh rằng

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi góc nhọn $α$ ta có $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $cos B = sin C$ .
Diện tích tam giác tính theo hai cách cho $A H \cdot B C = A B \cdot A C$ .
Ba hệ thức hình chiếu: $A B^{2} = B C \cdot B H$ , $A C^{2} = B C \cdot C H$ và $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải là tổng hai nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông, còn

A H

lại là cạnh chung của hai tam giác vuông

A H B

và

A H C

, dấu hiệu nên biểu diễn

A H

qua

A B

và

A C

trước rồi mới nghịch đảo. Hướng ngắn nhất đi từ diện tích, vì

A H \cdot B C = A B \cdot A C

cho ngay

A H

theo ba cạnh. Bẫy của đề là tưởng có thể nghịch đảo từng vế của

A H^{2} = B H \cdot C H

, trong khi

B H

và

C H

chưa liên hệ trực tiếp với

A B

A C

1Cách 1. Dùng

sin^{2} B + cos^{2} B = 1

đúng theo gợi ý của sách

Định hướng. Viết $sin B$ và $cos B$ cùng theo $A H$ nhờ hai tam giác vuông $A H B$ , $A H C$ rồi đưa vào hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.

sin B = \frac{A H}{A B}

(tam giác

A H B

vuông tại

H

)

sin C = \frac{A H}{A C}

(tam giác

A H C

vuông tại

H

)

cos B = sin C = \frac{A H}{A C}

sin^{2} B + cos^{2} B = 1

\frac{A H ^{2}}{A B ^{2}} + \frac{A H ^{2}}{A C ^{2}} = 1

A H^{2} (\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}) = 1

\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{1}{A H ^{2}}

Vậy $\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$ .

2Cách 2. Đi từ diện tích tam giác và định lí Pythagore

Định hướng. Diện tích tính hai cách cho $A H$ theo ba cạnh, còn Pythagore biến $B C^{2}$ thành $A B^{2} + A C^{2}$ để tách được tổng hai phân thức.

A H \cdot B C = A B \cdot A C

A H = \frac{A B \cdot A C}{B C}

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{B C ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}}

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{A B ^{2} + A C ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}}

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{A B ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}} + \frac{A C ^{2}}{A B ^{2} \cdot A C ^{2}}

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A C ^{2}} + \frac{1}{A B ^{2}}

Vậy $\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$ .

3Cách 3. Ghép ba hệ thức về hình chiếu

B H

và

C H

Định hướng. Quy cả hai phân thức ở vế phải về cùng thừa số $B C$ , tử số cộng lại đúng bằng $B H + C H = B C$ nên rút gọn được ngay.

A B^{2} = B C \cdot B H

A C^{2} = B C \cdot C H

A H^{2} = B H \cdot C H

\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{1}{B C \cdot B H} + \frac{1}{B C \cdot C H}

\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{C H + B H}{B C \cdot B H \cdot C H}

C H + B H = B C

\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{B C}{B C \cdot A H ^{2}}

\frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}} = \frac{1}{A H ^{2}}

Vậy $\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}$ .

Nhận xét. Cách 3 tái sử dụng đúng hai kết quả của Bài 4.18 và Bài 4.19 nên rất nhanh nếu vừa làm xong hai bài đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần công thức diện tích và định lí Pythagore, ba dòng biến đổi là xong, lại không phụ thuộc vào việc trước đó đã chứng minh các hệ thức hình chiếu hay chưa.

Đáp số.

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}

, tương đương

A H = \frac{A B \cdot A C}{A B ^{2} + A C ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nghịch đảo hai vế của

A H^{2} = B H \cdot C H

rồi viết

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{B H} + \frac{1}{C H}

, trong khi nghịch đảo của một tích là tích các nghịch đảo chứ không phải tổng. Một lỗi khác là dùng

cos B = sin B

thay cho

cos B = sin C

, khi đó vế trái biến thành

\frac{2 A H ^{2}}{A B ^{2}}

và bài toán bế tắc.

🚀 Mở rộng. Với

A B = 6

và

A C = 8

thì

B C = 10

và

A H = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8

; tổng quát, hệ thức này chính là công thức tính khoảng cách từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền theo hai cạnh góc vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.21★★★Trang 49— Tính đường cao của tam giác thường bằng tỉ số lượng giác

Bài 4.21 (trang 49). Cho tam giác

A B C

có

B C = 11

cm,

A B C = 3 8^{\circ}

A C B = 3 0^{\circ}

. Gọi

H

là chân của đường vuông góc kẻ từ

A

đến

B C

. Hãy tính

A H

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối nhân với côtang của góc: $B H = A H \cdot cot B$ .
$cot α = \frac{1}{tan α}$ và $cot 3 0^{\circ} = 3$ .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Nếu góc $A$ tù thì chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống đường thẳng $A C$ nằm ngoài đoạn $A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác

A B C

không vuông nhưng đường cao

A H

cắt nó thành hai tam giác vuông

A H B

và

A H C

có chung cạnh

A H

, dấu hiệu của dạng đặt ẩn là chính đoạn cần tìm. Hai góc

3 8^{\circ}

và

3 0^{\circ}

đều nhọn nên

H

nằm giữa

B

và

C

, do đó

B H + H C = B C = 11

và ta có ngay một phương trình bậc nhất theo

A H

. Bẫy là dùng nhầm

tan

thay cho

cot

khi biểu diễn

B H

và

H C

theo

A H

1Cách 1. Đặt

A H

làm ẩn, cộng hai hình chiếu

B H

và

H C

Định hướng. Biểu diễn $B H$ và $H C$ cùng theo $A H$ rồi dùng $B H + H C = B C = 11$ .

B H = A H \cdot cot 3 8^{\circ}

H C = A H \cdot cot 3 0^{\circ}

A H \cdot cot 3 8^{\circ} + A H \cdot cot 3 0^{\circ} = 11

A H (cot 3 8^{\circ} + cot 3 0^{\circ}) = 11

A H = \frac{11}{cot 3 8 ^{\circ} + cot 3 0 ^{\circ}}

A H \approx \frac{11}{1 , 2799 + 1 , 7321}

A H \approx \frac{11}{3 , 0120}

A H \approx 3, 652

Vậy $A H \approx 3, 652$ cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

2Cách 2. Đặt

B H

làm ẩn, viết

A H

hai lần bằng tang

Định hướng. Cùng một đoạn $A H$ được tính từ tam giác $A H B$ và từ tam giác $A H C$ , cho một phương trình bậc nhất theo $B H$ .

A H = B H \cdot tan 3 8^{\circ}

A H = (11 - B H) \cdot tan 3 0^{\circ}

B H \cdot tan 3 8^{\circ} = (11 - B H) \cdot tan 3 0^{\circ}

B H (tan 3 8^{\circ} + tan 3 0^{\circ}) = 11 tan 3 0^{\circ}

B H = \frac{11 tan 3 0 ^{\circ}}{tan 3 8 ^{\circ} + tan 3 0 ^{\circ}}

B H \approx \frac{11 \cdot 0 , 5774}{0 , 7813 + 0 , 5774}

B H \approx \frac{6 , 3514}{1 , 3587}

B H \approx 4, 674

A H \approx 4, 674 \cdot 0, 7813

A H \approx 3, 652

Vậy $A H \approx 3, 652$ cm.

3Cách 3. Hạ thêm đường cao

B K

xuống

A C

để tính

A C

Định hướng. Kẻ $B K ⊥ A C$ tại $K$ ; vì $B A C$ tù nên $K$ nằm ngoài đoạn $A C$ về phía $A$ , do đó $A C = C K - A K$ .

B A C = 18 0^{\circ} - 3 8^{\circ} - 3 0^{\circ} = 11 2^{\circ}

B K = B C \cdot sin 3 0^{\circ} = 11 \cdot 0, 5 = 5, 5

C K = B C \cdot cos 3 0^{\circ} \approx 11 \cdot 0, 8660 \approx 9, 526

B A K = 18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}

A K = \frac{B K}{tan 6 8 ^{\circ}} \approx \frac{5 , 5}{2 , 4751} \approx 2, 222

A C = C K - A K \approx 9, 526 - 2, 222

A C \approx 7, 304

A H = A C \cdot sin 3 0^{\circ} \approx 7, 304 \cdot 0, 5

A H \approx 3, 652

Vậy $A H \approx 3, 652$ cm.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm $A C \approx 7, 304$ cm nên tiện khi đề hỏi cả cạnh, nhưng phải xét kĩ vị trí chân đường vuông góc $K$ nằm ngoài đoạn $A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phương trình bậc nhất theo

A H

, hai lần bấm côtang là ra kết quả, không phải dựng thêm đường phụ nào.

Đáp số.

A H \approx 3, 652

cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba); nếu chỉ lấy hai chữ số thập phân thì

A H \approx 3, 65

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

B H = A H \cdot tan 3 8^{\circ}

: trong tam giác

A H B

vuông tại

H

A H

là cạnh đối còn

B H

là cạnh kề của góc

3 8^{\circ}

nên phải nhân với

cot 3 8^{\circ}

; nhầm như vậy cho

A H \approx 8, 10

cm, dài hơn cả nửa cạnh

B C

. Một lỗi khác là làm tròn

cot 3 8^{\circ}

và

cot 3 0^{\circ}

về hai chữ số thập phân rồi mới chia, khiến kết quả lệch ngay ở chữ số thập phân thứ ba.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, với

B C = a

B = β

và

C = γ

đều nhọn ta luôn có

A H = \frac{a}{cot β + cot γ}

, công thức tính nhanh đường cao khi biết một cạnh và hai góc kề nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.22★★Trang 49— Giải tam giác vuông khi biết một cạnh và một góc nhọn

Bài 4.22 (trang 49). Giải tam giác

A B C

vuông tại

A

, với

A B = c

B C = a

C A = b

trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a)

a = 5

B = 5 0^{\circ}

;
b)

b = 5

B = 4 0^{\circ}

;
c)

b = 5

C = 5 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề: $b = a sin B = a cos C$ .
Cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân côtang góc kề: $b = c tan B = c cot C$ .
Định lí Pythagore: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ý chỉ cho một cạnh và một góc nhọn, mà tam giác vuông đã sẵn góc

9 0^{\circ}

nên dữ kiện vừa đủ để tìm ba yếu tố còn lại. Việc đầu tiên luôn là lấy góc nhọn kia bằng

9 0^{\circ}

trừ đi góc đã cho, sau đó chọn hệ thức có chứa đúng cạnh đã biết. Bẫy nằm ở chỗ

b

đối diện

B

còn

c

đối diện

C

: ở ý b) và ý c) cạnh đã cho là cạnh góc vuông chứ không phải cạnh huyền nên phải chia chứ không được nhân.

1Cách 1. Đi qua cạnh huyền bằng hệ thức sin và côsin

Định hướng. Quy cả ba ý về một hệ thức duy nhất nối cạnh huyền với cạnh góc vuông đối diện góc đã biết.

C = 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

b = a sin B = 5 sin 5 0^{\circ}

b \approx 5 \cdot 0, 766044

b \approx 3, 830

c = a sin C = 5 sin 4 0^{\circ}

c \approx 5 \cdot 0, 642788

c \approx 3, 214

C = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

a = \frac{b}{sin B} = \frac{5}{sin 4 0 ^{\circ}}

a \approx \frac{5}{0 , 642788}

a \approx 7, 779

c = a sin C \approx 7, 779 \cdot 0, 766044

c \approx 5, 959

B = 9 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

a = \frac{b}{sin B} = \frac{5}{sin 3 5 ^{\circ}}

a \approx \frac{5}{0 , 573576}

a \approx 8, 717

c = a sin C \approx 8, 717 \cdot 0, 819152

c \approx 7, 141

Vậy a) $C = 4 0^{\circ}$ , $b \approx 3, 830$ , $c \approx 3, 214$ ; b) $C = 5 0^{\circ}$ , $a \approx 7, 779$ , $c \approx 5, 959$ ; c) $B = 3 5^{\circ}$ , $a \approx 8, 717$ , $c \approx 7, 141$ .

2Cách 2. Nối hai cạnh góc vuông bằng tang rồi mới tìm cạnh huyền

Định hướng. Tang nối trực tiếp hai cạnh góc vuông, nhờ đó ý b) và ý c) không phải đi vòng qua cạnh huyền ngay từ đầu.

C = 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

b = a cos C = 5 cos 4 0^{\circ} \approx 3, 830

c = \frac{b}{tan B} = \frac{3 , 830}{tan 5 0 ^{\circ}}

c \approx \frac{3 , 830}{1 , 191754}

c \approx 3, 214

C = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

c = \frac{b}{tan B} = \frac{5}{tan 4 0 ^{\circ}}

c \approx \frac{5}{0 , 839100}

c \approx 5, 959

a = \frac{c}{cos B} = \frac{5 , 959}{cos 4 0 ^{\circ}}

a \approx \frac{5 , 959}{0 , 766044}

a \approx 7, 779

B = 9 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 3 5^{\circ}

c = b tan C = 5 tan 5 5^{\circ}

c \approx 5 \cdot 1, 428148

c \approx 7, 141

a = \frac{c}{sin C} = \frac{7 , 141}{sin 5 5 ^{\circ}}

a \approx \frac{7 , 141}{0 , 819152}

a \approx 8, 717

Vậy a) $C = 4 0^{\circ}$ , $b \approx 3, 830$ , $c \approx 3, 214$ ; b) $C = 5 0^{\circ}$ , $c \approx 5, 959$ , $a \approx 7, 779$ ; c) $B = 3 5^{\circ}$ , $c \approx 7, 141$ , $a \approx 8, 717$ .

3Cách 3. Tìm một cạnh bằng lượng giác, cạnh còn lại bằng Pythagore

Định hướng. Chỉ bấm máy đúng một lần cho mỗi ý, phần còn lại để định lí Pythagore lo.

C = 4 0^{\circ}

c = a cos B = 5 cos 5 0^{\circ} \approx 3, 214

b = a^{2} - c^{2} = 25 - 3, 21 4^{2}

b \approx 25 - 10, 330

b \approx 14, 670

b \approx 3, 830

C = 5 0^{\circ}

c = \frac{b}{tan B} = \frac{5}{tan 4 0 ^{\circ}} \approx 5, 959

a = b^{2} + c^{2} = 25 + 35, 507

a \approx 60, 507

a \approx 7, 779

B = 3 5^{\circ}

c = b tan C = 5 tan 5 5^{\circ} \approx 7, 141

a = b^{2} + c^{2} = 25 + 50, 990

a \approx 75, 990

a \approx 8, 717

Vậy a) $C = 4 0^{\circ}$ , $c \approx 3, 214$ , $b \approx 3, 830$ ; b) $C = 5 0^{\circ}$ , $c \approx 5, 959$ , $a \approx 7, 779$ ; c) $B = 3 5^{\circ}$ , $c \approx 7, 141$ , $a \approx 8, 717$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần một tỉ số lượng giác nên hạn chế được số lần bấm máy, đổi lại phải bình phương một số đã làm tròn nên chữ số cuối dễ lệch một đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cả ba ý đều quy về một hệ thức duy nhất giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông, chỉ cần nhớ cạnh nào đối diện góc nào là không thể sai.

Đáp số. a)

C = 4 0^{\circ}

b \approx 3, 830

c \approx 3, 214

; b)

C = 5 0^{\circ}

a \approx 7, 779

c \approx 5, 959

; c)

B = 3 5^{\circ}

a \approx 8, 717

c \approx 7, 141

(các cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở ý b) và ý c) là coi cạnh

b = 5

là cạnh huyền rồi viết

a = 5 sin 4 0^{\circ} \approx 3, 214

; cạnh huyền phải lớn nhất nên ra kết quả nhỏ hơn cạnh góc vuông đã cho là biết sai ngay. Một lỗi khác là lấy

C = 18 0^{\circ} - B

thay cho

C = 9 0^{\circ} - B

, khi đó tổng ba góc của tam giác vượt quá

18 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi sang cho hai cạnh, chẳng hạn

b = 5

và

c = 7

, thì phải đi ngược lại: tính

a = 74 \approx 8, 602

rồi tìm góc từ

tan B = \frac{5}{7}

, đó là dạng giải tam giác vuông thứ hai của bài học.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.23★★★★Trang 49— Ứng dụng tỉ số lượng giác đo khoảng cách qua sông

Bài 4.23 (trang 49). Cho

A

B

là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết

A N

và

P M

cùng vuông góc với

M N

M N = n

(mét),

M P = p

(mét),

p > n

và

M P A = α

(H.4.12). Chứng minh rằng

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song và một cát tuyến thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đó và bằng cạnh kề nhân tang góc đó.
Định lí Thales: nếu $A N$ song song $P M$ thì $\frac{B N}{B M} = \frac{A N}{P M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đại lượng phải tìm là

A B

nằm xiên, còn hai dữ kiện

n

và

p

lại nằm trên hai phương vuông góc với nhau, dấu hiệu phải chiếu mọi thứ xuống đường thẳng

M N

. Vì

A N

song song

P M

nên góc

α

ở đỉnh

P

chuyển được xuống thành góc

B A N

, nhờ đó hai tam giác vuông

B N A

và

B M P

cùng chứa góc

α

. Bẫy là quên rằng theo hình, thứ tự ba điểm trên đường thẳng là

B

N

M

nên

B M - B N = M N = n

chứ không phải

B M + B N

1Cách 1. Chiếu xuống

M N

, hiệu hai hình chiếu đúng bằng

n

Định hướng. Hình chiếu của $A$ và của $P$ trên đường thẳng $M N$ lần lượt là $N$ và $M$ , mà $B M - B N = M N = n$ .

A N ⊥ M N

và

P M ⊥ M N

A N ∥ P M

B A N = B P M = α

(hai góc đồng vị)

B M = P M \cdot tan B P M = p tan α

B N = A B \cdot sin B A N = A B sin α

B M - B N = M N = n

p tan α - A B sin α = n

A B sin α = p tan α - n

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

Vậy $A B = \frac{p tan α - n}{sin α}$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng định lí Thales cho hai đường song song

A N

và

P M

Định hướng. Thales nối bốn đoạn $B N$ , $B M$ , $A N$ , $P M$ vào một tỉ lệ thức, trong đó $B N$ và $A N$ đều viết được theo $A B$ .

A N ∥ P M

\frac{B N}{B M} = \frac{A N}{P M}

B N = A B sin α

và

A N = A B cos α

B M = B N + n = A B sin α + n

\frac{A B sin α}{A B sin α + n} = \frac{A B cos α}{p}

p \cdot A B sin α = A B cos α (A B sin α + n)

p sin α = cos α (A B sin α + n)

A B sin α cos α = p sin α - n cos α

A B = \frac{p sin α - n cos α}{sin α cos α}

A B = \frac{p}{cos α} - \frac{n}{sin α}

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

Vậy $A B = \frac{p tan α - n}{sin α}$ (đpcm).

3Cách 3. Tính

P B

và

P A

rồi lấy hiệu

Định hướng. Hạ $A K ⊥ P M$ tại $K$ thì $A N M K$ là hình chữ nhật nên $A K = M N = n$ ; hai tam giác vuông $A K P$ và $B M P$ cùng có góc $α$ tại $P$ , còn $A B = P B - P A$ .

A K ⊥ P M

A N ⊥ M N

P M ⊥ M N

A N M K

là hình chữ nhật

A K = M N = n

A P K = M P B = α

P A = \frac{A K}{sin A P K} = \frac{n}{sin α}

P B = \frac{P M}{cos M P B} = \frac{p}{cos α}

A B = P B - P A

A B = \frac{p}{cos α} - \frac{n}{sin α}

A B = \frac{p sin α - n cos α}{sin α cos α}

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

Vậy $A B = \frac{p tan α - n}{sin α}$ (đpcm).

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng hai tam giác vuông cùng có góc $α$ tại đỉnh $P$ nên viết được ngay hai dòng đầu; điều kiện để $A B$ dương là $p tan α > n$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ hai dòng

P A = \frac{n}{sin α}

và

P B = \frac{p}{cos α}

rồi trừ nhau, không phải đặt ẩn cũng không phải giải phương trình như hai cách kia.

Đáp số.

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

(mét), cũng viết được gọn dưới dạng

A B = \frac{p}{cos α} - \frac{n}{sin α}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

B M + B N = M N

vì tưởng

N

nằm ngoài đoạn

B M

; theo hình, thứ tự trên đường thẳng là

B

N

M

nên phải lấy hiệu

B M - B N = n

, lấy tổng sẽ cho

A B = \frac{n - p tan α}{sin α}

là một số âm. Một lỗi khác là viết

B N = A B cos α

do nhầm

α

là góc tại đỉnh

B

chứ không phải tại đỉnh

A

🚀 Mở rộng. Với

n = 20

p = 50

m và

α = 6 0^{\circ}

thì

A B = \frac{50 3 - 20}{sin 6 0 ^{\circ}} \approx 76, 9

m; đây chính là cách đo bề rộng sông mà người đo không cần sang bờ bên kia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.24★★Trang 49— Ứng dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao toà nhà

Bài 4.24 (trang 49). Một người đứng xa toà nhà

100

m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn

1 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là

1, 7

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối: $H D = A H tan H A D$ .
Cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho côsin của góc kề nó.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $A D H = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .
$tan 1 5^{\circ} \approx 0, 267949$ và $tan 7 5^{\circ} \approx 3, 732051$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá:

A

là mắt ngắm ở đỉnh giác kế,

C D

là toà nhà với

C

ở chân và

D

ở nóc, còn

H

là chân đường vuông góc hạ từ

A

xuống

C D

. Khi đó

A H = 100

m là khoảng cách ngang,

C H = 1, 7

m đúng bằng chiều cao giác kế và góc nhìn

1 5^{\circ}

chính là

H A D

, nên chiều cao cần tìm tách thành

C D = C H + H D

. Bẫy của đề là quên cộng

1, 7

m, tức lấy luôn

H D

làm chiều cao toà nhà.

1Cách 1. Dùng tang của góc ngắm

1 5^{\circ}

Định hướng. Chiều cao toà nhà tách thành phần dưới bằng đúng chiều cao giác kế và phần trên nằm trong tam giác vuông $A H D$ .

H D = A H \cdot tan H A D

H D = 100 \cdot tan 1 5^{\circ}

H D \approx 100 \cdot 0, 267949

H D \approx 26, 79

C D = C H + H D

C D \approx 1, 7 + 26, 79

C D \approx 28, 5

Vậy toà nhà cao khoảng $28, 5$ m.

2Cách 2. Đi vòng qua cạnh huyền

A D

của tia ngắm

Định hướng. Tia ngắm $A D$ là cạnh huyền, tính nó trước rồi chiếu xuống phương thẳng đứng để được $H D$ .

A D = \frac{A H}{cos H A D} = \frac{100}{cos 1 5 ^{\circ}}

A D \approx \frac{100}{0 , 965926}

A D \approx 103, 528

H D = A D \cdot sin 1 5^{\circ}

H D \approx 103, 528 \cdot 0, 258819

H D \approx 26, 79

C D = C H + H D \approx 1, 7 + 26, 79

C D \approx 28, 5

Vậy toà nhà cao khoảng $28, 5$ m.

3Cách 3. Dùng góc

7 5^{\circ}

ở đỉnh nóc nhà

Định hướng. Trong tam giác $A H D$ vuông tại $H$ , góc tại $D$ phụ với góc ngắm nên $A D H = 7 5^{\circ}$ và $H D$ là cạnh kề của nó.

A D H = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

tan A D H = \frac{A H}{H D}

H D = \frac{A H}{tan 7 5 ^{\circ}} = \frac{100}{tan 7 5 ^{\circ}}

H D \approx \frac{100}{3 , 732051}

H D \approx 26, 79

C D = C H + H D \approx 1, 7 + 26, 79

C D \approx 28, 5

Vậy toà nhà cao khoảng $28, 5$ m.

Nhận xét. Ba cách đều cho $H D \approx 26, 79$ m; Cách 3 còn cho một phép thử nhanh là $tan 1 5^{\circ} \cdot tan 7 5^{\circ} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân

100

với

tan 1 5^{\circ}

rồi cộng

1, 7

là xong, ít thao tác nhất nên cũng ít sai số làm tròn nhất.

Đáp số.

C D \approx 28, 5

m (phần trên giác kế

H D \approx 26, 8

m cộng thêm

1, 7

m chiều cao giác kế).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là trả lời

26, 8

m vì quên cộng chiều cao

1, 7

m của giác kế, trong khi điểm ngắm nằm ở đỉnh giác kế chứ không nằm trên mặt đất. Một lỗi khác là viết

H D = \frac{100}{tan 1 5 ^{\circ}} \approx 373, 2

m, tức lấy

100

m làm cạnh đối của góc

1 5^{\circ}

trong khi nó là cạnh kề.

🚀 Mở rộng. Nếu người ấy lùi ra xa thành

150

m mà góc nhìn vẫn giữ

1 5^{\circ}

thì toà nhà phải cao

1, 7 + 150 tan 1 5^{\circ} \approx 41, 9

m, tức phần trên giác kế tăng tỉ lệ thuận với khoảng cách đứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.25★★★Trang 50— Tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng qua hai góc ngắm

Bài 4.25 (trang 50). Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi

A

và

B

cách nhau

2

km, nhìn thấy chiếc tàu

C

ở phía xa với

C A B = 5 0^{\circ}

C B A = 4 5^{\circ}

. Hỏi tàu còn cách đường thẳng

A B

bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.
Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối nhân côtang của góc: $A H = C H cot 5 0^{\circ}$ .
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $4 5^{\circ}$ thì vuông cân.
$1$ km bằng $1000$ m.

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách từ tàu tới đường thẳng

A B

chính là đoạn

C H

với

H

là chân đường vuông góc hạ từ

C

, dấu hiệu quen thuộc của dạng một đường cao chia hình thành hai tam giác vuông. Hai góc

5 0^{\circ}

và

4 5^{\circ}

đều nhọn nên

H

nằm giữa

A

và

B

, cho ngay

A H + H B = A B = 2

km. Bẫy là quên đổi đơn vị vì đề cho số đo theo ki-lô-mét nhưng lại hỏi bao nhiêu mét.

1Cách 1. Đặt

A H

làm ẩn rồi viết

C H

hai lần

Định hướng. Đoạn $C H$ vừa là cạnh đối của góc $5 0^{\circ}$ trong tam giác $A H C$ , vừa là cạnh đối của góc $4 5^{\circ}$ trong tam giác $B H C$ (đơn vị ki-lô-mét).

C H = A H \cdot tan 5 0^{\circ}

C H = (2 - A H) \cdot tan 4 5^{\circ}

A H \cdot tan 5 0^{\circ} = (2 - A H) \cdot tan 4 5^{\circ}

A H (tan 5 0^{\circ} + 1) = 2

A H = \frac{2}{tan 5 0 ^{\circ} + 1}

A H \approx \frac{2}{2 , 191754}

A H \approx 0, 91251

C H = 2 - A H

C H \approx 2 - 0, 91251

C H \approx 1, 08749

Vậy tàu cách đường thẳng $A B$ khoảng $1, 08749$ km, tức khoảng $1087$ m.

2Cách 2. Đặt

C H

làm ẩn, cộng hai hình chiếu

A H

và

B H

Định hướng. Viết cả $A H$ lẫn $B H$ theo $C H$ bằng côtang rồi dùng $A H + B H = A B = 2$ .

A H = C H \cdot cot 5 0^{\circ}

B H = C H \cdot cot 4 5^{\circ} = C H

A H + B H = A B = 2

C H \cdot cot 5 0^{\circ} + C H = 2

C H (cot 5 0^{\circ} + 1) = 2

C H = \frac{2}{cot 5 0 ^{\circ} + 1}

C H \approx \frac{2}{1 , 839100}

C H \approx 1, 08749

Vậy tàu cách đường thẳng $A B$ khoảng $1087$ m.

3Cách 3. Nhận ra tam giác

B H C

vuông cân nên chỉ còn một ẩn

Định hướng. Góc $C B A = 4 5^{\circ}$ cho tam giác $B H C$ vuông cân tại $H$ , kéo theo $B H = C H$ và $A H = 2 - C H$ , chỉ còn phải bấm máy với $tan 5 0^{\circ}$ .

C B H = 4 5^{\circ}

B H = C H

A H = A B - B H = 2 - C H

tan 5 0^{\circ} = \frac{C H}{A H} = \frac{C H}{2 - C H}

C H = (2 - C H) tan 5 0^{\circ}

C H (1 + tan 5 0^{\circ}) = 2 tan 5 0^{\circ}

C H = \frac{2 tan 5 0 ^{\circ}}{1 + tan 5 0 ^{\circ}}

C H \approx \frac{2 , 383507}{2 , 191754}

C H \approx 1, 08749

Vậy tàu cách đường thẳng $A B$ khoảng $1087$ m.

Nhận xét. Cách 3 khai thác ngay dữ kiện đẹp $4 5^{\circ}$ nên chỉ phải bấm máy một lần duy nhất, hai cách kia còn phải thao tác thêm với côtang.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì góc

4 5^{\circ}

cho ngay

B H = C H

, đưa bài về một phương trình bậc nhất chỉ chứa

tan 5 0^{\circ}

, bấm máy đúng một lần nên khó tích luỹ sai số.

Đáp số.

C H \approx 1, 08749

km, tức tàu cách đường thẳng

A B

khoảng

1087

m (làm tròn đến mét).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là trả lời

1, 087

mà quên đổi đơn vị, trong khi đề hỏi bao nhiêu mét. Một lỗi khác là lấy

A H = C H tan 5 0^{\circ}

thay cho

A H = C H cot 5 0^{\circ}

, khi đó ra

C H \approx 0, 912

km, tức đổi chỗ hai đoạn

A H

và

C H

cho nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu hai góc ngắm cùng bằng

4 5^{\circ}

thì

H

là trung điểm

A B

và

C H = 1

km; tổng quát

C H = \frac{A B}{cot α + cot β}

với

α

β

là hai góc ngắm từ

A

và từ

B

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.26★★Trang 50— Ứng dụng tỉ số lượng giác tính khoảng cách tới máy bay

Bài 4.26 (trang 50). Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao

1800

m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc

3 5^{\circ}

so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đó: $A H = A B sin A B H$ .
Cạnh huyền luôn lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Định lí Pythagore: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $B A H = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ và $cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá:

B

là vị trí khẩu pháo trên mặt đất,

A

là máy bay,

H

là hình chiếu của máy bay xuống mặt đất, khi đó

A H = 1800

m và

A B H = 3 5^{\circ}

. Khoảng cách cần tìm là cạnh huyền

A B

, còn độ cao

1800

m là cạnh đối của góc

3 5^{\circ}

, dấu hiệu dùng ngay hệ thức cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin. Bẫy là lấy

A B = 1800 \cdot sin 3 5^{\circ}

, tức nhân thay vì chia, cho kết quả nhỏ hơn cả độ cao.

1Cách 1. Dùng sin của góc ngắm

3 5^{\circ}

Định hướng. Độ cao là cạnh đối, khoảng cách cần tìm là cạnh huyền, hai đại lượng ấy nối với nhau bằng đúng một phép chia cho sin.

A H = A B \cdot sin A B H

A B = \frac{A H}{sin 3 5 ^{\circ}}

A B = \frac{1800}{sin 3 5 ^{\circ}}

A B \approx \frac{1800}{0 , 573576}

A B \approx 3138, 2

A B \approx 3138

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay khoảng $3138$ m.

2Cách 2. Tính khoảng cách ngang

B H

rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Tìm hình chiếu $B H$ trên mặt đất trước, khi đó $A B$ là cạnh huyền của tam giác vuông đã biết hai cạnh góc vuông.

B H = \frac{A H}{tan 3 5 ^{\circ}} = \frac{1800}{tan 3 5 ^{\circ}}

B H \approx \frac{1800}{0 , 700208}

B H \approx 2570, 7

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}

A B^{2} \approx 180 0^{2} + 2570, 7^{2}

A B^{2} \approx 3240000 + 6608499

A B^{2} \approx 9848499

A B \approx 9848499

A B \approx 3138

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay khoảng $3138$ m.

3Cách 3. Dùng góc

5 5^{\circ}

ở đỉnh máy bay

Định hướng. Trong tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , góc tại $A$ phụ với góc ngắm nên $B A H = 5 5^{\circ}$ và $A H$ là cạnh kề của nó.

B A H = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}

A H = A B \cdot cos B A H

A B = \frac{A H}{cos 5 5 ^{\circ}} = \frac{1800}{cos 5 5 ^{\circ}}

A B \approx \frac{1800}{0 , 573576}

A B \approx 3138, 2

A B \approx 3138

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay khoảng $3138$ m.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả vì $cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}$ ; riêng Cách 2 cho thêm khoảng cách theo phương ngang $B H \approx 2571$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép chia

1800

cho

sin 3 5^{\circ}

, không phải bình phương cũng không phải khai căn nên vừa nhanh vừa tránh tích luỹ sai số.

Đáp số.

A B \approx 3138

m (làm tròn đến mét); ngoài ra khoảng cách theo phương ngang là

B H \approx 2571

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

A B = 1800 \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 1032

m, trong khi cạnh huyền không thể ngắn hơn cạnh góc vuông

1800

m nên thấy kết quả nhỏ hơn độ cao là biết sai ngay. Một lỗi khác là dùng

tan 3 5^{\circ}

để tính

A B

, trong khi tang chỉ nối hai cạnh góc vuông chứ không dính tới cạnh huyền.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên độ cao

1800

m, khi góc ngắm tăng dần tới

9 0^{\circ}

thì

A B

giảm dần về đúng

1800

m, ứng với lúc máy bay ở ngay trên đầu khẩu pháo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.27★★Trang 50— Ứng dụng góc nhìn tính khoảng cách từ tàu tới đài quan sát

Bài 4.27 (trang 50). Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao

300

m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc

2 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang của mực nước biển). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Góc nhìn xuống tại $A$ và góc $A B H$ là hai góc so le trong nên bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối chia cho tang của góc: $B H = \frac{A H}{tan 2 5 ^{\circ}}$ .
Cạnh huyền bằng cạnh đối chia cho sin của góc: $A B = \frac{A H}{sin 2 5 ^{\circ}}$ .
$tan 2 5^{\circ} \approx 0, 466308$ và $tan 6 5^{\circ} \approx 2, 144507$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá:

A

là đỉnh đài quan sát,

H

là chân đài trên mặt biển,

B

là con tàu; khi đó

A H = 300

m và góc nhìn

2 5^{\circ}

chính là

A B H

vì nó so le trong với góc hạ tại

A

. Đề hỏi khoảng cách đo trên mặt biển nên đại lượng cần tìm là

B H

, cạnh kề của góc

2 5^{\circ}

, còn

300

m là cạnh đối, đó là dấu hiệu dùng tang. Bẫy là nhân

300

với

tan 2 5^{\circ}

thay vì chia, cho kết quả nhỏ hơn cả chiều cao của đài.

1Cách 1. Dùng tang của góc nhìn

2 5^{\circ}

Định hướng. Chiều cao đài và khoảng cách trên mặt biển là hai cạnh góc vuông của tam giác $A B H$ , tang nối thẳng chúng với nhau.

tan A B H = \frac{A H}{B H}

B H = \frac{A H}{tan 2 5 ^{\circ}}

B H = \frac{300}{tan 2 5 ^{\circ}}

B H \approx \frac{300}{0 , 466308}

B H \approx 643, 35

B H \approx 643

Vậy tàu cách đài quan sát khoảng $643$ m.

2Cách 2. Tính cạnh huyền

A B

trước rồi chiếu xuống mặt biển

Định hướng. Tia ngắm $A B$ là cạnh huyền, tính nó trước rồi nhân với côsin của góc nhìn để được hình chiếu trên mặt biển.

A B = \frac{A H}{sin 2 5 ^{\circ}} = \frac{300}{sin 2 5 ^{\circ}}

A B \approx \frac{300}{0 , 422618}

A B \approx 709, 86

B H = A B \cdot cos 2 5^{\circ}

B H \approx 709, 86 \cdot 0, 906308

B H \approx 643, 35

B H \approx 643

Vậy tàu cách đài quan sát khoảng $643$ m.

3Cách 3. Dùng góc

6 5^{\circ}

tại đỉnh đài quan sát

Định hướng. Trong tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , góc tại $A$ phụ với góc nhìn nên $H A B = 6 5^{\circ}$ và $B H$ là cạnh đối của nó.

H A B = 9 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 6 5^{\circ}

B H = A H \cdot tan H A B

B H = 300 \cdot tan 6 5^{\circ}

B H \approx 300 \cdot 2, 144507

B H \approx 643, 35

B H \approx 643

Vậy tàu cách đài quan sát khoảng $643$ m.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm $A B \approx 710$ m, đó là độ dài đường ngắm thẳng từ đỉnh đài tới tàu, còn $643$ m mới là khoảng cách đo trên mặt biển; hai số khác nhau nên phải đọc kĩ đề hỏi khoảng cách nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì

A H

và

B H

là hai cạnh góc vuông, tang nối thẳng chúng chỉ trong một phép chia; đi vòng qua cạnh huyền như Cách 2 phải bấm máy hai lần.

Đáp số.

B H \approx 643

m, tức tàu cách chân đài quan sát khoảng

643

m đo trên mặt biển; nếu tính theo đường ngắm thẳng thì

A B \approx 710

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

B H = 300 \cdot tan 2 5^{\circ} \approx 140

m, trong khi góc nhìn nhỏ nghĩa là tàu ở rất xa nên khoảng cách phải lớn hơn chiều cao đài. Một lỗi khác dẫn tới đúng con số sai ấy là đặt nhầm góc

2 5^{\circ}

vào đỉnh

A

của tam giác

A B H

thay vì đỉnh

B

🚀 Mở rộng. Khi tàu tiến lại gần, góc nhìn tăng lên: ở

4 5^{\circ}

thì tàu chỉ còn cách chân đài đúng

300

m; tổng quát

B H = \frac{300}{tan α}

giảm dần khi góc nhìn

α

tăng.

Mở bài này trong app ↗