Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang48–50 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.18★★Trang 48— Chứng minh hệ thức lượng bằng tỉ số lượng giác

Bài 4.18 (trang 48). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

với đường cao

A H

. Hãy tính

cos C

theo hai cách và suy ra

A C^{2} = B C \cdot H C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, côsin của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin của góc nhọn kề nó: $A C = B C cos C$ .
Hai tam giác vuông có chung một góc nhọn thì đồng dạng với nhau (g.g).
Định lí Pythagore: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề bắt tính cùng một đại lượng

cos C

theo hai cách, đó chính là gợi ý tạo ra một đẳng thức bắc cầu giữa hai tỉ số. Góc

C

vừa là góc nhọn của tam giác

A B C

vuông tại

A

, vừa là góc nhọn của tam giác

A H C

vuông tại

H

, nên mỗi tam giác cho một biểu thức của

cos C

. Bẫy thường gặp là lấy nhầm cạnh kề: trong tam giác

A H C

cạnh kề góc

C

là

H C

chứ không phải

A H

1Cách 1. Tính

cos C

trong hai tam giác vuông rồi bắc cầu

Định hướng. Góc $C$ nằm trong hai tam giác vuông $A B C$ và $A H C$ , mỗi tam giác cho một biểu thức của $cos C$ .

cos C = \frac{A C}{B C}

(tam giác

A B C

vuông tại

A

)

cos C = \frac{H C}{A C}

(tam giác

A H C

vuông tại

H

)

\frac{A C}{B C} = \frac{H C}{A C}

A C \cdot A C = B C \cdot H C

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng

H A C

và

A B C

Định hướng. Hai tam giác $H A C$ và $A B C$ cùng vuông và chung góc nhọn $C$ nên đồng dạng, tỉ lệ cạnh cho ngay hệ thức.

A H C = B A C = 9 0^{\circ}

C

chung

△ H A C ∽ △ A B C

(g.g)

\frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C}

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

3Cách 3. Dùng định lí Pythagore cho ba tam giác vuông

Định hướng. Trừ hai đẳng thức Pythagore của hai tam giác $A H C$ , $A H B$ để khử $A H$ , rồi thay $B H = B C - H C$ .

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}

A C^{2} - A B^{2} = H C^{2} - B H^{2}

A C^{2} - A B^{2} = (H C - B H) (H C + B H)

A C^{2} - A B^{2} = (H C - B H) \cdot B C

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}

2 A C^{2} - B C^{2} = (H C - B H) \cdot B C

H C - B H = H C - (B C - H C) = 2 H C - B C

2 A C^{2} - B C^{2} = (2 H C - B C) \cdot B C

2 A C^{2} - B C^{2} = 2 B C \cdot H C - B C^{2}

2 A C^{2} = 2 B C \cdot H C

A C^{2} = B C \cdot H C

Vậy $A C^{2} = B C \cdot H C$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng định lí Pythagore nên áp dụng được cả khi chưa học tỉ số lượng giác, đổi lại dài hơn hẳn hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng, chỉ cần đọc đúng cạnh kề và cạnh huyền của góc

C

trong hai tam giác vuông, không phải dựng thêm hình cũng không phải biến đổi dài.

Đáp số.

A C^{2} = B C \cdot H C

, tức bình phương một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

cos C = \frac{A H}{A C}

trong tam giác

A H C

, trong khi đó mới là

sin C

vì

A H

là cạnh đối của góc

C

; lấy nhầm như vậy sẽ dẫn tới hệ thức sai

A C^{2} = B C \cdot A H

. Một lỗi khác là viết

A C^{2} = B C \cdot B H

, tức lấy hình chiếu của cạnh

A B

thay cho hình chiếu của

A C

🚀 Mở rộng. Làm y hệt với góc

B

ta được

A B^{2} = B C \cdot B H

; cộng hai hệ thức lại cho

A B^{2} + A C^{2} = B C (B H + H C) = B C^{2}

, đúng bằng định lí Pythagore.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.19★★Trang 48— Chứng minh hệ thức đường cao bằng tỉ số tang

Bài 4.19 (trang 48). Gọi

A H

là đường cao của tam giác

A B C

vuông tại

A

. Tính

tan A B H

và

tan C A H

, suy ra

A H^{2} = B H \cdot C H

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, tang của một góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau.
Định lí Pythagore áp dụng cho ba tam giác vuông $A B C$ , $A H B$ và $A H C$ .
Hai tam giác vuông đồng dạng khi có một cặp góc nhọn bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ đích danh hai góc

A B H

và

C A H

, dấu hiệu cho thấy hai góc này bằng nhau nên hai tang của chúng cũng bằng nhau. Cả hai góc đều cùng phụ với

B A H

, vì vậy chỉ cần viết tang của chúng trong hai tam giác vuông

A H B

và

A H C

rồi cho bằng nhau. Bẫy nằm ở chỗ

A H

đứng ở tử của tỉ số này nhưng lại ở mẫu của tỉ số kia, đảo nhầm là ra hệ thức ngược.

1Cách 1. Viết hai tang rồi dùng hai góc cùng phụ với

B A H

Định hướng. Hai góc $A B H$ và $C A H$ cùng phụ với $B A H$ nên bằng nhau, kéo theo hai tang bằng nhau.

tan A B H = \frac{A H}{B H}

(tam giác

A H B

vuông tại

H

)

tan C A H = \frac{C H}{A H}

(tam giác

A H C

vuông tại

H

)

A B H + B A H = 9 0^{\circ}

C A H + B A H = 9 0^{\circ}

A B H = C A H

\frac{A H}{B H} = \frac{C H}{A H}

A H \cdot A H = B H \cdot C H

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $tan A B H = \frac{A H}{B H}$ , $tan C A H = \frac{C H}{A H}$ và $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng

H B A

và

H A C

Định hướng. Đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng với nhau, tỉ lệ cạnh cho ngay hệ thức.

A H B = A H C = 9 0^{\circ}

H B A = H A C

(cùng phụ với

B A H

)

△ H B A ∽ △ H A C

(g.g)

\frac{H B}{H A} = \frac{H A}{H C}

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

3Cách 3. Cộng hai lần định lí Pythagore rồi khai triển

B C^{2}

Định hướng. Viết $A H^{2}$ theo hai cách rồi cộng lại, phần thừa được gom nhờ hằng đẳng thức của $B C = B H + C H$ .

A H^{2} = A B^{2} - B H^{2}

A H^{2} = A C^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = A B^{2} + A C^{2} - B H^{2} - C H^{2}

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

B C = B H + C H

2 A H^{2} = (B H + C H)^{2} - B H^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = B H^{2} + 2 B H \cdot C H + C H^{2} - B H^{2} - C H^{2}

2 A H^{2} = 2 B H \cdot C H

A H^{2} = B H \cdot C H

Vậy $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

Nhận xét. Cách 3 không động tới tỉ số lượng giác nên vẫn dùng được khi mới chỉ học định lí Pythagore, đổi lại phải khai triển thêm một hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đó đúng là con đường đề đã chỉ: viết hai tang, chỉ ra hai góc cùng phụ với

B A H

rồi nhân chéo, tất cả gọn trong bốn dòng.

Đáp số.

tan A B H = \frac{A H}{B H}

tan C A H = \frac{C H}{A H}

và

A H^{2} = B H \cdot C H

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

tan C A H = \frac{A H}{C H}

: trong tam giác

A H C

vuông tại

H

, cạnh đối của góc

C A H

là

C H

còn cạnh kề mới là

A H

. Viết ngược sẽ cho

\frac{A H}{B H} = \frac{A H}{C H}

, dẫn tới kết luận vô lí

B H = C H

với mọi tam giác vuông.

🚀 Mở rộng. Ghép

A B^{2} = B C \cdot B H

với

A C^{2} = B C \cdot C H

rồi dùng

A H^{2} = B H \cdot C H

ta được

A B \cdot A C = B C \cdot A H

, chính là hai lần diện tích tam giác tính theo hai cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.20★★★Trang 48— Chứng minh hệ thức nghịch đảo bình phương đường cao

Bài 4.20 (trang 48). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A H

là đường cao. Chứng minh rằng

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{A B ^{2}} + \frac{1}{A C ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi góc nhọn $α$ ta có $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $cos B = sin C$ .
Diện tích tam giác tính theo hai cách cho $A H \cdot B C = A B \cdot A C$ .
Ba hệ thức hình chiếu: $A B^{2} = B C \cdot B H$ , $A C^{2} = B C \cdot C H$ và $A H^{2} = B H \cdot C H$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.21★★★Trang 49— Tính đường cao của tam giác thường bằng tỉ số lượng giác

Bài 4.21 (trang 49). Cho tam giác

A B C

có

B C = 11

cm,

A B C = 3 8^{\circ}

A C B = 3 0^{\circ}

. Gọi

H

là chân của đường vuông góc kẻ từ

A

đến

B C

. Hãy tính

A H

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối nhân với côtang của góc: $B H = A H \cdot cot B$ .
$cot α = \frac{1}{tan α}$ và $cot 3 0^{\circ} = 3$ .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Nếu góc $A$ tù thì chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống đường thẳng $A C$ nằm ngoài đoạn $A C$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.22★★Trang 49— Giải tam giác vuông khi biết một cạnh và một góc nhọn

Bài 4.22 (trang 49). Giải tam giác

A B C

vuông tại

A

, với

A B = c

B C = a

C A = b

trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a)

a = 5

B = 5 0^{\circ}

;
b)

b = 5

B = 4 0^{\circ}

;
c)

b = 5

C = 5 5^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân côsin góc kề: $b = a sin B = a cos C$ .
Cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân côtang góc kề: $b = c tan B = c cot C$ .
Định lí Pythagore: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.23★★★★Trang 49— Ứng dụng tỉ số lượng giác đo khoảng cách qua sông

Bài 4.23 (trang 49). Cho

A

B

là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết

A N

và

P M

cùng vuông góc với

M N

M N = n

(mét),

M P = p

(mét),

p > n

và

M P A = α

(H.4.12). Chứng minh rằng

A B = \frac{p tan α - n}{sin α}

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song và một cát tuyến thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đó và bằng cạnh kề nhân tang góc đó.
Định lí Thales: nếu $A N$ song song $P M$ thì $\frac{B N}{B M} = \frac{A N}{P M}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.24★★Trang 49— Ứng dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao toà nhà

Bài 4.24 (trang 49). Một người đứng xa toà nhà

100

m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn

1 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là

1, 7

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối: $H D = A H tan H A D$ .
Cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho côsin của góc kề nó.
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $A D H = 9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .
$tan 1 5^{\circ} \approx 0, 267949$ và $tan 7 5^{\circ} \approx 3, 732051$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.25★★★Trang 50— Tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng qua hai góc ngắm

Bài 4.25 (trang 50). Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi

A

và

B

cách nhau

2

km, nhìn thấy chiếc tàu

C

ở phía xa với

C A B = 5 0^{\circ}

C B A = 4 5^{\circ}

. Hỏi tàu còn cách đường thẳng

A B

bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng.
Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối nhân côtang của góc: $A H = C H cot 5 0^{\circ}$ .
Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $4 5^{\circ}$ thì vuông cân.
$1$ km bằng $1000$ m.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.26★★Trang 50— Ứng dụng tỉ số lượng giác tính khoảng cách tới máy bay

Bài 4.26 (trang 50). Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao

1800

m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc

3 5^{\circ}

so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh đối bằng cạnh huyền nhân sin góc đó: $A H = A B sin A B H$ .
Cạnh huyền luôn lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
Định lí Pythagore: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $B A H = 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ và $cos 5 5^{\circ} = sin 3 5^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.27★★Trang 50— Ứng dụng góc nhìn tính khoảng cách từ tàu tới đài quan sát

Bài 4.27 (trang 50). Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao

300

m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc

2 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang của mực nước biển). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Góc nhìn xuống tại $A$ và góc $A B H$ là hai góc so le trong nên bằng nhau.
Trong tam giác vuông, cạnh kề bằng cạnh đối chia cho tang của góc: $B H = \frac{A H}{tan 2 5 ^{\circ}}$ .
Cạnh huyền bằng cạnh đối chia cho sin của góc: $A B = \frac{A H}{sin 2 5 ^{\circ}}$ .
$tan 2 5^{\circ} \approx 0, 466308$ và $tan 6 5^{\circ} \approx 2, 144507$ .