Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 19 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★★Trang 74— Đo chiều cao gián tiếp bằng hai vị trí ngắm

Mở đầu (trang 74). Để đo chiều cao của một toà lâu đài (H.4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm

M

. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh

P^{'}

của toà lâu đài dưới góc nhọn

α

. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm

N

N M = 20

m, thì nhìn thấy đỉnh

P^{'}

dưới góc nhọn

β

(

β < α

). Biết chiều cao giác kế là

1, 6

m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.
Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Hai vị trí ngắm cùng nhìn một đỉnh thì hai tam giác vuông tạo thành có chung cạnh chiều cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc ngắm cùng nhìn về một đỉnh từ hai điểm thẳng hàng với chân công trình — dấu hiệu của dạng đo chiều cao gián tiếp bằng hai vị trí. Mô hình hoá:

P^{'}

là đỉnh lâu đài,

H

là điểm trên thân lâu đài ngang tầm ống ngắm,

M^{'}

và

N^{'}

là hai vị trí ống ngắm, còn

1, 6

m là đoạn

H P

nằm dưới tầm ngắm nên phải cộng thêm ở cuối. Bẫy lớn nhất là quên

1, 6

m và là nhầm

N M = 20

m thành khoảng cách từ lâu đài tới giác kế.

1Cách 1. Đặt ẩn là chiều cao rồi dùng côtang của hai góc ngắm

Định hướng. Hai tam giác vuông $M^{'} H P^{'}$ và $N^{'} H P^{'}$ dùng chung cạnh $P^{'} H$ , nên viết hai hình chiếu $M^{'} H$ , $N^{'} H$ theo $P^{'} H$ thì hiệu của chúng đúng bằng $20$ m.

Gọi

P^{'} H = h

(m),

h > 0

M^{'} H = P^{'} H \cdot cot α = h cot α

N^{'} H = P^{'} H \cdot cot β = h cot β

N^{'} H - M^{'} H = N^{'} M^{'} = N M = 20

h cot β - h cot α = 20

h (cot β - cot α) = 20

h = \frac{20}{cot β - cot α}

P^{'} P = P^{'} H + H P

P^{'} P = \frac{20}{cot β - cot α} + 1, 6

Vậy chiều cao của toà lâu đài là $\frac{20}{cot β - cot α} + 1, 6 (m)$ .

2Cách 2. Đặt ẩn là khoảng cách ngang rồi lập hệ hai phương trình với tang

Định hướng. Chọn ẩn là đoạn ngang $M^{'} H$ thì chiều cao được viết hai lần theo hai góc ngắm, cho ngay một phương trình bậc nhất.

Gọi

M^{'} H = x

(m),

x > 0

N^{'} H = M^{'} H + N^{'} M^{'} = x + 20

P^{'} H = M^{'} H \cdot tan α = x tan α (1)

P^{'} H = N^{'} H \cdot tan β = (x + 20) tan β (2)

Từ

(1)

và

(2)

x tan α = (x + 20) tan β

x tan α - x tan β = 20 tan β

x (tan α - tan β) = 20 tan β

x = \frac{20 tan β}{tan α - tan β}

P^{'} H = x tan α = \frac{20 tan α tan β}{tan α - tan β}

P^{'} P = \frac{20 tan α tan β}{tan α - tan β} + 1, 6

Vậy chiều cao của toà lâu đài là $\frac{20 tan α tan β}{tan α - tan β} + 1, 6 (m)$ .

3Cách 3. Dựng đường vuông góc phụ để dùng góc chênh lệch

α - β

Định hướng. $N^{'} M^{'} P^{'}$ là góc ngoài của tam giác $M^{'} N^{'} P^{'}$ tại $M^{'}$ , nên góc ở đỉnh $P^{'}$ đúng bằng $α - β$ ; kẻ thêm $M^{'} K ⊥ N^{'} P^{'}$ thì hai tam giác vuông liên tiếp cho ngay $M^{'} P^{'}$ .

Kẻ

M^{'} K ⊥ N^{'} P^{'}

tại

K

N^{'} M^{'} P^{'} = 18 0^{\circ} - α

M^{'} P^{'} N^{'} = 18 0^{\circ} - β - (18 0^{\circ} - α)

M^{'} P^{'} N^{'} = α - β

M^{'} K = M^{'} N^{'} \cdot sin β = 20 sin β

M^{'} P^{'} = \frac{M ^{'} K}{sin ( α - β )} = \frac{20 sin β}{sin ( α - β )}

P^{'} H = M^{'} P^{'} \cdot sin α = \frac{20 sin α sin β}{sin ( α - β )}

P^{'} P = \frac{20 sin α sin β}{sin ( α - β )} + 1, 6

Vậy chiều cao của toà lâu đài là $\frac{20 sin α sin β}{sin ( α - β )} + 1, 6 (m)$ .

Nhận xét. Ba biểu thức trên bằng nhau vì $cot β - cot α = \frac{sin ( α - β )}{sin α sin β}$ ; Cách 3 cho thấy vì sao phải có điều kiện $β < α$ — nếu $α = β$ thì mẫu bằng $0$ , hai tia ngắm song song và bài toán vô nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì chỉ đặt một ẩn là chính đại lượng cần tìm, mạch biến đổi ba dòng là ra; Cách 3 hay nhưng phải kẻ thêm hình phụ nên dễ mất thời gian.

Đáp số. Chiều cao toà lâu đài bằng

\frac{20}{cot β - cot α} + 1, 6

(m), cũng bằng

\frac{20 sin α sin β}{sin ( α - β )} + 1, 6

(m).

Sai lầm thường gặp. Quên cộng chiều cao giác kế

1, 6

m nên chỉ trả lời

P^{'} H

— đây là lỗi mất điểm phổ biến nhất của bài này. Lỗi thứ hai là viết

M^{'} H = h tan α

(đúng phải là

h cot α

vì

h

là cạnh đối của

α

, còn

M^{'} H

là cạnh kề).

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi

N M = 20

m thành

N M = d

thì chiều cao là

\frac{d}{cot β - cot α} + 1, 6

; thử xem khi

α

càng gần

β

thì kết quả thay đổi thế nào và giải thích ý nghĩa thực tế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 74— Thiết lập hệ thức

b = a sin B = a cos C

HĐ1 (trang 74). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

, cạnh huyền

a

và các cạnh góc vuông

b

c

(H.4.12).
a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin của góc

B

và góc

C

theo độ dài các cạnh của tam giác

A B C

.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông

b

và

c

theo cạnh huyền

a

và các tỉ số lượng giác trên của góc

B

và góc

C

Kiến thức cần nhớ

Với góc nhọn trong tam giác vuông: $sin = \frac{doi}{huyen}$ , $cos = \frac{ke}{huyen}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia.
Định lí Pythagore: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu viết tỉ số lượng giác rồi rút cạnh ra — đây là bước xây dựng công thức, nên chỉ cần đọc đúng cạnh nào là đối, cạnh nào là kề với từng góc. Với góc

B

thì

b = A C

là cạnh đối còn

c = A B

là cạnh kề; đổi vai trò khi xét góc

C

. Bẫy duy nhất là lẫn cạnh đối với cạnh kề, dẫn tới viết nhầm

sin B = \frac{c}{a}

1Cách 1. Đọc thẳng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định hướng. Trong tam giác vuông tại $A$ , cạnh huyền là $a$ ; với góc $B$ thì cạnh đối là $b$ và cạnh kề là $c$ , còn với góc $C$ thì ngược lại.

sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a}

;

cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{c}{a}

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{c}{a}

;

cos C = \frac{A C}{B C} = \frac{b}{a}

b) Từ

sin B = \frac{b}{a}

suy ra

b = a sin B

Từ

cos C = \frac{b}{a}

suy ra

b = a cos C

Từ

sin C = \frac{c}{a}

suy ra

c = a sin C

Từ

cos B = \frac{c}{a}

suy ra

c = a cos B

Vậy $b = a sin B = a cos C$ và $c = a sin C = a cos B$ .

2Cách 2. Chỉ dùng góc

B

rồi chuyển sang góc

C

bằng quan hệ phụ nhau

Định hướng. Chỉ cần viết hai tỉ số của riêng góc $B$ , rồi dùng $B + C = 9 0^{\circ}$ để suy ra hai tỉ số của góc $C$ mà không phải đọc lại hình.

B + C = 9 0^{\circ}

sin B = \frac{b}{a}

;

cos B = \frac{c}{a}

sin C = sin (9 0^{\circ} - B) = cos B = \frac{c}{a}

cos C = cos (9 0^{\circ} - B) = sin B = \frac{b}{a}

b = a sin B

và

a cos C = a sin B = b

c = a cos B

và

a sin C = a cos B = c

Vậy $b = a sin B = a cos C$ và $c = a sin C = a cos B$ .

3Cách 3. Kiểm chứng công thức bằng định lí Pythagore và một tam giác cụ thể

Định hướng. Công thức vừa lập phải tương thích với $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ; thử lại trên bộ ba $3 - 4 - 5$ để chắc chắn không lẫn cạnh đối với cạnh kề.

b^{2} + c^{2} = (a sin B)^{2} + (a cos B)^{2}

b^{2} + c^{2} = a^{2} (sin^{2} B + cos^{2} B)

b^{2} + c^{2} = a^{2} \cdot 1 = a^{2}

Với

a = 5

b = 4

c = 3

sin B = \frac{4}{5} = 0, 8

;

cos B = \frac{3}{5} = 0, 6

a sin B = 5 \cdot 0, 8 = 4 = b

a cos B = 5 \cdot 0, 6 = 3 = c

Vậy hệ thức $b = a sin B = a cos C$ , $c = a sin C = a cos B$ đúng và phù hợp với định lí Pythagore.

Nhận xét. Cách 3 chính là lí do phát biểu Định lí 1 gọn thành một câu: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc côsin góc kề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì đọc thẳng từ hình, không cần nhớ thêm quan hệ nào; Cách 2 chỉ tiện khi đề đã cho sẵn một góc và hỏi góc còn lại.

Đáp số.

sin B = cos C = \frac{b}{a}

cos B = sin C = \frac{c}{a}

; do đó

b = a sin B = a cos C

và

c = a sin C = a cos B

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

sin B = \frac{c}{a}

vì tưởng cạnh

A B

kề với

B

là cạnh đối. Kiểm nhanh bằng tam giác

a = 5

b = 4

c = 3

: nếu

sin B = \frac{3}{5} = 0, 6

thì

B \approx 3 7^{\circ}

, trong khi cạnh lớn hơn (

b = 4

) phải đối diện góc lớn hơn, nên phải là

sin B = 0, 8

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: vì

a

là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nên hệ thức

b = a sin B

chính là trường hợp riêng của công thức

\frac{b}{sin B} = 2 R

sẽ gặp ở lớp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 1★★Trang 75— Ứng dụng Định lí 1 vào bài toán chuyển động

Ví dụ 1 (trang 75). Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc

500

km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc

3 0^{\circ}

(H.4.13). Hỏi sau

1, 2

phút, máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian: $s = v \cdot t$ .
$1$ phút $= \frac{1}{60}$ giờ.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối.
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc theo đường bay xiên và góc nghiêng, hỏi độ cao — dấu hiệu của dạng lấy hình chiếu thẳng đứng của một đoạn xiên. Mô hình hoá:

A

là vị trí máy bay lúc đầu,

B

là vị trí sau

1, 2

phút,

H

là hình chiếu của

B

trên phương ngang qua

A

, khi đó

A B

là quãng đường bay còn

B H

là độ cao cần tìm. Bẫy nằm ở đơn vị: vận tốc tính theo giờ mà thời gian cho theo phút.

1Cách 1. Tính quãng đường bay rồi lấy sin của góc nghiêng

Định hướng. Tìm cạnh huyền $A B$ trước bằng công thức quãng đường, sau đó dùng Định lí 1 để lấy cạnh góc vuông $B H$ đối diện góc $3 0^{\circ}$ .

1, 2

phút

= \frac{1 , 2}{60}

giờ

= \frac{1}{50}

giờ

A B = 500 \cdot \frac{1}{50}

A B = 10

(km)

B H = A B \cdot sin A

B H = 10 \cdot sin 3 0^{\circ}

B H = 10 \cdot \frac{1}{2}

B H = 5

(km)

Vậy sau $1, 2$ phút máy bay lên cao được $5 km$ .

2Cách 2. Tách vận tốc thành thành phần thẳng đứng

Định hướng. Hình chiếu thẳng đứng của vectơ vận tốc cũng là một vận tốc không đổi, nên tính riêng vận tốc lên cao rồi nhân với thời gian.

Vận tốc theo phương thẳng đứng:

v_{1} = 500 \cdot sin 3 0^{\circ}

v_{1} = 500 \cdot \frac{1}{2}

v_{1} = 250

(km/h)

1, 2

phút

= \frac{1}{50}

giờ

B H = v_{1} \cdot t = 250 \cdot \frac{1}{50}

B H = 5

(km)

Vậy sau $1, 2$ phút máy bay lên cao được $5 km$ .

3Cách 3. Dùng tính chất cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

trong tam giác vuông

Định hướng. Tam giác $A B H$ vuông tại $H$ có $A = 3 0^{\circ}$ nên $B H$ bằng đúng nửa cạnh huyền $A B$ , khỏi cần tới tỉ số lượng giác.

1, 2

phút

= \frac{1}{50}

giờ

A B = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10

(km)
Tam giác

A B H

vuông tại

H

A = 3 0^{\circ}

B H = \frac{A B}{2}

B H = \frac{10}{2}

B H = 5

(km)

Vậy sau $1, 2$ phút máy bay lên cao được $5 km$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả $5$ km; Cách 2 tiện khi đề hỏi thêm quãng đường đi được theo phương ngang, còn Cách 3 chỉ dùng được đúng với các góc đặc biệt $3 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì bám đúng Định lí 1 vừa học và dùng được với mọi số đo góc, không phụ thuộc vào việc góc có đặc biệt hay không.

Đáp số. Sau

1, 2

phút máy bay lên cao được

5

km.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

1, 2

phút ra giờ mà lấy luôn

A B = 500 \cdot 1, 2 = 600

km rồi ra độ cao

300

km — vô lí vì đó đã là độ cao quỹ đạo vệ tinh. Lỗi thứ hai là lấy

B H = A B \cdot cos 3 0^{\circ}

do nhầm

B H

là cạnh kề của góc

A

🚀 Mở rộng. Thử bài cùng dạng ở mức khó hơn: vẫn vận tốc

500

km/h nhưng góc nghiêng

2 3^{\circ}

và hỏi sau bao lâu máy bay đạt độ cao

10

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 75— Tìm cạnh và tìm góc trong tam giác vuông thực tế

Luyện tập 1 (trang 75).
1. Một chiếc thang dài

3

m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn”

6 5^{\circ}

(tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?
2. Một khúc sông rộng khoảng

250

m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng

320

m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc

α

bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).

Kiến thức cần nhớ

Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin góc kề: $c = a cos B$ .
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối: $b = a sin B$ .
Định lí Pythagore trong tam giác vuông: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ .
$1^{\circ} = 6 0^{'}$ nên phần lẻ của số đo độ nhân $60$ được số phút.

🧠 Phân tích tư duy

Ý 1 cho cạnh huyền và một góc nhọn, hỏi cạnh kề của góc đó — dạng tìm cạnh. Ý 2 cho hai cạnh (bề rộng sông là cạnh kề, quãng đường chèo là cạnh huyền), hỏi góc — dạng tìm góc, và côsin là tỉ số ghép đúng hai cạnh đó. Bẫy của ý 2 là nhầm

250

m thành cạnh đối của

α

mà dùng sin; bẫy của ý 1 là dùng sin

6 5^{\circ}

nên ra chiều cao chứ không phải khoảng cách tới chân tường.

1Cách 1. Dùng thẳng tỉ số lượng giác của góc đã cho

Định hướng. Cả hai ý đều nối cạnh huyền với một cạnh góc vuông kề góc đang xét, nên côsin là tỉ số cần dùng.

1) Gọi

A B = 3

m là chiếc thang,

B

ở chân tường,

A

là chân thang,

A = 6 5^{\circ}

Khoảng cách từ chân thang tới chân tường:

A H = A B \cdot cos A

A H = 3 \cdot cos 6 5^{\circ}

A H \approx 3 \cdot 0, 422618

A H \approx 1, 2679 \approx 1, 27

(m)
2) Gọi

S Q = 250

m là bề rộng sông,

S E = 320

m là đường đò chèo,

α = QS E

cos α = \frac{S Q}{S E} = \frac{250}{320} = 0, 78125

α \approx 38, 624 8^{\circ}

0, 624 8^{\circ} \approx 37, 5^{'}

α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}

Vậy chân thang cách chân tường khoảng $1, 27 m$ và dòng nước đẩy con đò lệch một góc $α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}$ .

2Cách 2. Tính cạnh còn lại bằng định lí Pythagore rồi dùng tang

Định hướng. Tìm trước cạnh góc vuông thứ hai của mỗi tam giác, khi đó bài toán chỉ còn là một phép Pythagore và một phép tang.

1) Chiều cao thang chạm tường:

B H = A B \cdot sin 6 5^{\circ}

B H \approx 3 \cdot 0, 906308 \approx 2, 7189

(m)

A H = A B^{2} - B H^{2}

A H \approx 3^{2} - 2, 718 9^{2}

A H \approx 1, 6075 \approx 1, 27

(m)
2) Độ lệch ngang của con đò:

QE = S E^{2} - S Q^{2}

QE = 32 0^{2} - 25 0^{2} = 39900

QE \approx 199, 75

(m)

tan α = \frac{QE}{S Q} \approx \frac{199 , 75}{250} = 0, 799

α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}

Vậy chân thang cách chân tường khoảng $1, 27 m$ và góc lệch là $α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc phụ để chỉ phải dùng sin

Định hướng. Góc còn lại của mỗi tam giác vuông phụ với góc đã cho, nên đổi sang góc đó thì côsin biến thành sin.

1) Góc giữa thang và tường:

9 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 2 5^{\circ}

A H = A B \cdot sin 2 5^{\circ}

A H \approx 3 \cdot 0, 422618

A H \approx 1, 27

(m)
2) Gọi

γ = S E Q

là góc giữa đường chèo và bờ sông

sin γ = \frac{S Q}{S E} = \frac{250}{320} = 0, 78125

γ \approx 51, 375 2^{\circ} \approx 5 1^{\circ} 2 3^{'}

α = 9 0^{\circ} - γ

α \approx 9 0^{\circ} - 5 1^{\circ} 2 3^{'} = 3 8^{\circ} 3 7^{'}

Vậy chân thang cách chân tường khoảng $1, 27 m$ và góc lệch là $α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng đáp số; Cách 2 tuy dài nhưng lại cho thêm số liệu có ích trong thực tế là chiều cao thang chạm tường $\approx 2, 72$ m và độ lệch ngang của con đò $\approx 200$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì chỉ một dòng cho mỗi ý, không phải bình phương và khai căn nên hầu như không sai số làm tròn tích luỹ.

Đáp số. 1) Chân thang cách chân tường khoảng

1, 27

m (làm tròn đến số thập phân thứ hai). 2) Dòng nước đẩy con đò lệch một góc

α \approx 3 8^{\circ} 3 7^{'}

(làm tròn đến phút).

Sai lầm thường gặp. Ý 1: dùng

3 \cdot sin 6 5^{\circ} \approx 2, 72

m rồi trả lời đó là khoảng cách tới chân tường — thực ra đó là chiều cao thang chạm tường. Ý 2: viết

sin α = \frac{250}{320}

nên ra

α \approx 5 1^{\circ} 2 3^{'}

, tức là lấy nhầm góc giữa đường chèo và bờ sông. Ngoài ra nhiều bạn dừng ở

38, 6 2^{\circ}

mà quên đổi phần lẻ ra phút.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: vẫn khúc sông rộng

250

m, hỏi con đò phải chèo ít nhất bao nhiêu mét để góc lệch không vượt quá

3 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ2★★Trang 75— Thiết lập hệ thức

b = c tan B = c cot C

HĐ2 (trang 75). Xét tam giác

A B C

trong Hình 4.16.
a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc

B

và góc

C

theo

b

c

.
b) Tính mỗi cạnh góc vuông

b

và

c

theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác trên của góc

B

và góc

C

Kiến thức cần nhớ

Với góc nhọn trong tam giác vuông: $tan = \frac{doi}{ke}$ , $cot = \frac{ke}{doi}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $tan B = cot C$ và $cot B = tan C$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ với $α$ là góc nhọn.
Định lí 1: $b = a sin B = a cos C$ và $c = a sin C = a cos B$ .

🧠 Phân tích tư duy

So với HĐ1, lần này hai cạnh được ghép với nhau là hai cạnh góc vuông chứ không có cạnh huyền — dấu hiệu bắt buộc phải dùng tang và côtang. Với góc

B

thì

b

là cạnh đối,

c

là cạnh kề nên

tan B = \frac{b}{c}

; đổi vai trò khi xét góc

C

. Bẫy là viết ngược thành

tan B = \frac{c}{b}

, khi đó công thức rút ra sẽ sai hoàn toàn.

1Cách 1. Đọc thẳng định nghĩa tang và côtang rồi rút cạnh

Định hướng. Tam giác vuông tại $A$ có hai cạnh góc vuông $b$ , $c$ ; chỉ cần xác định với mỗi góc thì cạnh nào là đối, cạnh nào là kề.

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}

;

cot B = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b}

tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b}

;

cot C = \frac{A C}{A B} = \frac{b}{c}

b) Từ

tan B = \frac{b}{c}

suy ra

b = c tan B

Từ

cot C = \frac{b}{c}

suy ra

b = c cot C

Từ

tan C = \frac{c}{b}

suy ra

c = b tan C

Từ

cot B = \frac{c}{b}

suy ra

c = b cot B

Vậy $b = c tan B = c cot C$ và $c = b tan C = b cot B$ .

2Cách 2. Suy ra từ Định lí 1 nhờ công thức

tan = \frac{sin}{cos}

Định hướng. Hai hệ thức của Định lí 1 đã cho $b$ và $c$ theo cùng một cạnh huyền $a$ , nên chia chúng cho nhau thì $a$ triệt tiêu và xuất hiện ngay tang.

b = a sin B

và

c = a cos B

\frac{b}{c} = \frac{a sin B}{a cos B} = \frac{sin B}{cos B} = tan B

b = c tan B

\frac{c}{b} = \frac{cos B}{sin B} = cot B

c = b cot B

b = a cos C

và

c = a sin C

nên

\frac{b}{c} = \frac{cos C}{sin C} = cot C

b = c cot C

và

c = b tan C

Vậy $b = c tan B = c cot C$ và $c = b tan C = b cot B$ .

3Cách 3. Dùng quan hệ hai góc phụ nhau rồi thử lại bằng tam giác cụ thể

Định hướng. Chỉ viết hai tỉ số của góc $B$ , chuyển sang góc $C$ nhờ $B + C = 9 0^{\circ}$ , cuối cùng kiểm lại trên tam giác vuông cân cho chắc.

B + C = 9 0^{\circ}

tan C = tan (9 0^{\circ} - B) = cot B = \frac{c}{b}

cot C = cot (9 0^{\circ} - B) = tan B = \frac{b}{c}

c cot C = c tan B = b

và

b tan C = b cot B = c

Thử với

b = c = 1

B = C = 4 5^{\circ}

tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1

c tan B = 1 \cdot 1 = 1 = b

Vậy $b = c tan B = c cot C$ và $c = b tan C = b cot B$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy Định lí 2 không phải là một công thức mới cần học thuộc riêng, mà chỉ là hệ quả của Định lí 1 sau khi chia hai hệ thức cho nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì đọc trực tiếp từ hình chỉ mất hai dòng; Cách 2 nên nhớ để khi quên công thức vẫn dựng lại được từ Định lí 1.

Đáp số.

tan B = cot C = \frac{b}{c}

cot B = tan C = \frac{c}{b}

; do đó

b = c tan B = c cot C

và

c = b tan C = b cot B

Sai lầm thường gặp. Viết

b = c cot B

do nhầm côtang với tang. Kiểm nhanh bằng tam giác có

b = 1

c = 3

: khi đó

B = 3 0^{\circ}

cot B = 3

nên

c cot B = 3 \neq = 1 = b

, còn

c tan B = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 = b

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: ghép Định lí 1 và Định lí 2 lại thì trong tam giác vuông chỉ cần biết hai yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) là tính được tất cả các yếu tố còn lại — đó chính là bài toán giải tam giác vuông ở mục tiếp theo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Ví dụ 2★★Trang 76— Ứng dụng Định lí 2 tính chiều cao theo bóng nắng

Ví dụ 2 (trang 76). Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng

3 4^{\circ}

và bóng của một toà tháp trên mặt đất dài

8, 6

m (H.4.17). Tính chiều cao của toà tháp đó (làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối: $h = d tan α$ .
Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với côtang góc kề: $h = d cot β$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $α + β = 9 0^{\circ}$ .
$cot α = \frac{1}{tan α}$ với $α$ là góc nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh góc vuông (bóng trên mặt đất) và góc nhọn kề nó, hỏi cạnh góc vuông còn lại — đúng khuôn của Định lí 2, không có cạnh huyền nào xuất hiện nên tang là tỉ số cần dùng. Mô hình hoá:

A

là đầu bóng,

B

là chân tháp,

C

là đỉnh tháp, khi đó

A B = 8, 6

m là bóng,

A = 3 4^{\circ}

và

B C

là chiều cao. Bẫy là dùng

sin 3 4^{\circ}

vì tưởng

8, 6

m là cạnh huyền.

1Cách 1. Dùng thẳng tang của góc tia nắng

Định hướng. Chiều cao tháp là cạnh góc vuông đối diện góc $3 4^{\circ}$ , còn bóng là cạnh kề, nên nhân bóng với tang góc đó.

Tam giác

A B C

vuông tại

B

A = 3 4^{\circ}

A B = 8, 6

B C = A B \cdot tan A

B C = 8, 6 \cdot tan 3 4^{\circ}

B C \approx 8, 6 \cdot 0, 674509

B C \approx 5, 8008 \approx 6

(m)

Vậy chiều cao của toà tháp khoảng $6 m$ .

2Cách 2. Tính độ dài tia nắng rồi dùng sin

Định hướng. Tìm cạnh huyền $A C$ trước bằng côsin, sau đó dùng Định lí 1 cho cạnh góc vuông $B C$ .

cos A = \frac{A B}{A C}

A C = \frac{A B}{cos 3 4 ^{\circ}} = \frac{8 , 6}{cos 3 4 ^{\circ}}

A C \approx \frac{8 , 6}{0 , 829038} \approx 10, 3735

(m)

B C = A C \cdot sin 3 4^{\circ}

B C \approx 10, 3735 \cdot 0, 559193

B C \approx 5, 8008 \approx 6

(m)

Vậy chiều cao của toà tháp khoảng $6 m$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc ở đỉnh tháp và dùng côtang

Định hướng. Góc ở đỉnh tháp phụ với góc tia nắng; với góc đó thì bóng là cạnh đối và chiều cao là cạnh kề nên dùng côtang.

C = 9 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 5 6^{\circ}

B C = A B \cdot cot C

B C = 8, 6 \cdot cot 5 6^{\circ}

B C = \frac{8 , 6}{tan 5 6 ^{\circ}}

B C \approx \frac{8 , 6}{1 , 482561}

B C \approx 5, 8008 \approx 6

(m)

Vậy chiều cao của toà tháp khoảng $6 m$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $B C \approx 5, 80$ m; Cách 1 ngắn nhất, Cách 2 chỉ nên dùng khi đề hỏi thêm độ dài tia nắng từ đỉnh tháp tới đầu bóng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì chỉ một dòng nhân, không phải tính qua cạnh huyền nên không tích luỹ sai số làm tròn.

Đáp số. Chiều cao của toà tháp là

B C = 8, 6 \cdot tan 3 4^{\circ} \approx 5, 80

m, làm tròn đến mét được khoảng

6

Sai lầm thường gặp. Lấy

B C = 8, 6 \cdot sin 3 4^{\circ} \approx 4, 81

m vì tưởng

8, 6

m là tia nắng (cạnh huyền); thực ra

8, 6

m là bóng trên mặt đất, tức cạnh góc vuông. Lỗi thứ hai là để máy tính ở chế độ rađian, khi đó

tan 34 \approx - 0, 62

và ra kết quả âm.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: cùng lúc đó, bóng của một cột điện dài

4, 3

m thì cột điện cao bao nhiêu, và hãy giải thích vì sao tỉ số chiều cao trên bóng của mọi vật đều bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 76— Tính chiều cao theo bóng nắng, làm tròn đến đêximét

Luyện tập 2 (trang 76). Bóng trên mặt đất của một cây dài

25

m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc

4 0^{\circ}

(H.4.18).

Kiến thức cần nhớ

Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.
Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với côtang góc kề.
Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối.
$1$ m $= 10$ dm nên làm tròn đến dm là giữ một chữ số thập phân của số đo tính bằng mét.

🧠 Phân tích tư duy

Cũng là cặp bóng và chiều cao như Ví dụ 2 nên tang là tỉ số ghép đúng hai cạnh góc vuông. Điểm khác duy nhất là yêu cầu làm tròn đến đêximét, nghĩa là phải giữ đủ chữ số trong quá trình tính rồi mới làm tròn ở dòng cuối. Bẫy là làm tròn

tan 4 0^{\circ}

quá sớm thành

0, 84

rồi kết luận, khi đó kết quả lệch tới cả đêximét.

1Cách 1. Dùng thẳng tang của góc tia nắng

Định hướng. Bóng cây là cạnh kề của góc $4 0^{\circ}$ , chiều cao cây là cạnh đối, nên nhân bóng với tang góc đó.

Tam giác

A B C

vuông tại

B

A = 4 0^{\circ}

A B = 25

B C = A B \cdot tan A

B C = 25 \cdot tan 4 0^{\circ}

B C \approx 25 \cdot 0, 8390996

B C \approx 20, 9775

(m)

B C \approx 21, 0

(m)

Vậy cây cao khoảng $21, 0 m$ (tức khoảng $210$ dm).

2Cách 2. Tính độ dài tia nắng rồi dùng sin

Định hướng. Tìm cạnh huyền $A C$ bằng côsin trước, rồi lấy cạnh góc vuông $B C$ theo Định lí 1.

A C = \frac{A B}{cos 4 0 ^{\circ}} = \frac{25}{cos 4 0 ^{\circ}}

A C \approx \frac{25}{0 , 7660444} \approx 32, 6352

(m)

B C = A C \cdot sin 4 0^{\circ}

B C \approx 32, 6352 \cdot 0, 6427876

B C \approx 20, 9775

(m)

B C \approx 21, 0

(m)

Vậy cây cao khoảng $21, 0 m$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc ở ngọn cây và dùng côtang

Định hướng. Góc ở ngọn cây phụ với góc tia nắng; với góc đó bóng là cạnh đối còn chiều cao là cạnh kề nên dùng côtang.

C = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

B C = A B \cdot cot C

B C = 25 \cdot cot 5 0^{\circ} = \frac{25}{tan 5 0 ^{\circ}}

B C \approx \frac{25}{1 , 1917536}

B C \approx 20, 9775

(m)

B C \approx 21, 0

(m)

Vậy cây cao khoảng $21, 0 m$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng $20, 9775$ m; nếu làm tròn $tan 4 0^{\circ}$ thành $0, 84$ ngay từ đầu thì được $21$ m đúng bằng may mắn, còn với $0, 8$ thì ra $20$ m, sai tới $10$ dm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì một dòng nhân là xong và giữ được trọn số chữ số của máy tính cho tới lúc làm tròn.

Đáp số. Chiều cao của cây là

25 \cdot tan 4 0^{\circ} \approx 20, 9775

m, làm tròn đến dm được khoảng

21, 0

Sai lầm thường gặp. Dùng

B C = 25 \cdot sin 4 0^{\circ} \approx 16, 07

m vì coi

25

m là tia nắng. Lỗi thứ hai là hiểu “làm tròn đến dm” thành làm tròn đến mét rồi ghi

21

m mà không có chữ số thập phân, trong khi yêu cầu là

21, 0

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: nếu sau hai giờ bóng cây chỉ còn dài

15

m thì lúc đó tia nắng tạo với mặt đất góc bao nhiêu độ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Ví dụ 3★★Trang 76— Giải tam giác vuông khi biết hai cạnh góc vuông

Ví dụ 3 (trang 76). Cho tam giác vuông

A B C

với các cạnh góc vuông

A B = 5

A C = 8

(H.4.19). Hãy tính cạnh

B C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các góc

B

C

(làm tròn đến độ).

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
$tan C = \frac{A B}{A C}$ và $tan B = \frac{A C}{A B}$ trong tam giác vuông tại $A$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: $A B \cdot A C = A H \cdot B C$ với $A H$ là đường cao.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cạnh góc vuông và hỏi cả cạnh huyền lẫn hai góc nhọn — đây là bài toán giải tam giác vuông ở trường hợp biết hai cạnh. Hai cạnh đã cho là hai cạnh góc vuông nên tang là tỉ số nối chúng lại, còn cạnh huyền lấy được ngay bằng Pythagore. Bẫy là dùng số đo góc đã làm tròn để tính tiếp cạnh, khiến kết quả lệch ở chữ số cuối.

1Cách 1. Định lí Pythagore tìm cạnh huyền rồi tang tìm góc

Định hướng. Hai cạnh góc vuông đã biết nên cạnh huyền có ngay bằng Pythagore, và tỉ số hai cạnh góc vuông chính là tang của góc nhọn.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

B C = A B^{2} + A C^{2}

B C = 5^{2} + 8^{2} = 89

B C \approx 9, 4340 \approx 9, 4

tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{8} = 0, 625

C \approx 32, 005 4^{\circ} \approx 3 2^{\circ}

B = 9 0^{\circ} - C \approx 9 0^{\circ} - 3 2^{\circ} = 5 8^{\circ}

Vậy $B C \approx 9, 4$ , $C \approx 3 2^{\circ}$ và $B \approx 5 8^{\circ}$ .

2Cách 2. Tìm góc trước rồi lấy cạnh huyền bằng sin, không dùng Pythagore

Định hướng. Chỉ cần một tỉ số tang là có góc $C$ ; khi đã có góc thì cạnh huyền lấy được từ Định lí 1 mà không cần khai căn.

tan C = \frac{A B}{A C} = \frac{5}{8} = 0, 625

C \approx 3 2^{\circ}

;

B \approx 5 8^{\circ}

A B = B C \cdot sin C

B C = \frac{A B}{sin C} \approx \frac{5}{sin 3 2 ^{\circ}}

B C \approx \frac{5}{0 , 529919}

B C \approx 9, 4354 \approx 9, 4

Vậy $B C \approx 9, 4$ , $C \approx 3 2^{\circ}$ và $B \approx 5 8^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng đường cao

A H

và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định hướng. Kẻ đường cao $A H$ thì hai hệ thức $A B^{2} = B H \cdot B C$ , $A C^{2} = C H \cdot B C$ cộng lại cho ngay $B C$ , còn $A H$ cho sin của góc $B$ .

Kẻ

A H ⊥ B C

tại

H

A B^{2} = B H \cdot B C

và

A C^{2} = C H \cdot B C

A B^{2} + A C^{2} = (B H + C H) \cdot B C = B C^{2}

B C^{2} = 25 + 64 = 89

B C = 89 \approx 9, 4

A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{5 \cdot 8}{89}

A H \approx \frac{40}{9 , 4340} \approx 4, 2400

sin B = \frac{A H}{A B} \approx \frac{4 , 2400}{5} = 0, 8480

B \approx 57, 994 6^{\circ} \approx 5 8^{\circ}

;

C \approx 3 2^{\circ}

Vậy $B C \approx 9, 4$ , $B \approx 5 8^{\circ}$ và $C \approx 3 2^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 2 ra $9, 4354$ còn Cách 1 ra $9, 4340$ vì Cách 2 đã dùng số đo góc làm tròn tới độ; sau khi làm tròn tới một chữ số thập phân cả hai đều cho $9, 4$ , nhưng nguyên tắc là ưu tiên giá trị tính từ dữ kiện gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì cạnh huyền tính từ dữ kiện gốc nên chính xác nhất, lại chỉ mất hai dòng; Cách 3 để dành cho các bài có hỏi thêm đường cao.

Đáp số.

B C = 89 \approx 9, 4

;

C \approx 3 2^{\circ}

;

B \approx 5 8^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Viết

tan C = \frac{8}{5} = 1, 6

nên ra

C \approx 5 8^{\circ}

— nhầm cạnh đối với cạnh kề của góc

C

. Nhận ra ngay vì

A C = 8

lớn hơn

A B = 5

nên góc

B

đối diện

A C

mới là góc lớn hơn, tức

B \approx 5 8^{\circ}

chứ không phải

C

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: với hai cạnh góc vuông

b

và

c

bất kì thì

a = b^{2} + c^{2}

và

tan B = \frac{b}{c}

— chỉ hai công thức này là giải xong mọi tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★Trang 77— Giải tam giác vuông khi biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền

Luyện tập 3 (trang 77). Cho tam giác vuông

A B C

có cạnh góc vuông

A B = 4

, cạnh huyền

B C = 8

. Tính cạnh

A C

(làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc

B

C

(làm tròn đến độ).

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ .
$sin C = \frac{A B}{B C}$ trong tam giác vuông tại $A$ .
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện cạnh đó bằng $3 0^{\circ}$ .
Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với côtang góc kề: $A C = A B \cdot cot C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lần này hai cạnh đã cho gồm một cạnh góc vuông và cạnh huyền — sin là tỉ số ghép đúng cặp cạnh đó, còn cạnh góc vuông thứ hai lấy được bằng Pythagore. Chú ý

A B = 4

đúng bằng nửa của

B C = 8

, đây là dấu hiệu của tam giác nửa đều nên các góc sẽ là số đo đẹp. Bẫy là ghi

sin B = \frac{4}{8}

trong khi

A B

là cạnh kề chứ không phải cạnh đối của góc

B

1Cách 1. Định lí Pythagore tìm cạnh còn lại rồi sin tìm góc

Định hướng. Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông thì cạnh góc vuông kia có ngay bằng Pythagore, còn tỉ số cạnh góc vuông trên cạnh huyền chính là sin góc đối.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

A C = B C^{2} - A B^{2}

A C = 8^{2} - 4^{2} = 48 = 43

A C \approx 6, 928

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

C = 3 0^{\circ}

B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy $A C = 43 \approx 6, 928$ , $C = 3 0^{\circ}$ và $B = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tìm góc trước rồi lấy cạnh bằng côsin, không dùng Pythagore

Định hướng. Sin của góc $C$ tính được ngay từ dữ kiện, có góc rồi thì cạnh $A C$ lấy theo Định lí 1 với côsin góc kề.

sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

C = 3 0^{\circ}

;

B = 6 0^{\circ}

A C = B C \cdot cos C

A C = 8 \cdot cos 3 0^{\circ}

A C = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43

A C \approx 6, 928

Vậy $A C = 43 \approx 6, 928$ , $C = 3 0^{\circ}$ và $B = 6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Nhận ra tam giác nửa đều rồi dùng côtang

Định hướng. Cạnh góc vuông $A B$ bằng đúng nửa cạnh huyền $B C$ nên góc đối diện nó bằng $3 0^{\circ}$ — kết luận hình học này cho ngay hai góc mà không cần tỉ số lượng giác.

A B = 4

và

B C = 8

nên

A B = \frac{B C}{2}

C = 3 0^{\circ}

(góc đối diện cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền)

B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A C = A B \cdot cot C

A C = 4 \cdot cot 3 0^{\circ} = 43

A C \approx 6, 928

Vậy $A C = 43 \approx 6, 928$ , $C = 3 0^{\circ}$ và $B = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng giá trị đúng $43$ chứ không phải một số gần đúng; nên giữ dạng căn tới dòng cuối rồi mới bấm máy, như vậy chữ số thập phân thứ ba mới chắc chắn đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì giá trị

43

được tính thẳng từ dữ kiện gốc nên không phụ thuộc việc làm tròn góc, mà vẫn chỉ hai dòng.

Đáp số.

A C = 43 \approx 6, 928

;

C = 3 0^{\circ}

;

B = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Viết

sin B = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

rồi kết luận

B = 3 0^{\circ}

— sai vì

A B

là cạnh kề của góc

B

. Nhận ra ngay nhờ so sánh cạnh:

A C \approx 6, 93

lớn hơn

A B = 4

nên góc

B

(đối diện

A C

) phải lớn hơn góc

C

, tức

B = 6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: giữ

B C = 8

nhưng đổi

A B = 4

thành

A B = 5

, khi đó góc không còn đẹp nữa — hãy tính

C

chính xác đến phút.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Ví dụ 4★★Trang 77— Giải tam giác vuông khi biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn

Ví dụ 4 (trang 77). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 3

B = 4 2^{\circ}

(H.4.20). Tính góc

C

và các cạnh

A C

B C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Định lí 2: $A C = A B \cdot tan B$ .
Định lí 1: $A B = B C \cdot cos B$ , suy ra $B C = \frac{A B}{cos B}$ .
Định lí 2 dạng côtang: $A C = A B \cdot cot C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó — trường hợp giải tam giác vuông biết một cạnh và một góc. Góc còn lại có ngay nhờ quan hệ phụ nhau; cạnh góc vuông thứ hai đi cùng

A B

nên dùng tang, còn cạnh huyền đi cùng

A B

qua góc

B

nên dùng côsin. Bẫy là lấy

B C = A B \cdot cos 4 2^{\circ}

, tức nhân thay vì chia, khiến cạnh huyền lại nhỏ hơn cạnh góc vuông.

1Cách 1. Dùng tang cho cạnh góc vuông và côsin cho cạnh huyền

Định hướng. Với góc $B$ thì $A B$ là cạnh kề, $A C$ là cạnh đối và $B C$ là cạnh huyền, nên tang cho $A C$ còn côsin cho $B C$ .

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

C = 9 0^{\circ} - B = 9 0^{\circ} - 4 2^{\circ} = 4 8^{\circ}

A C = A B \cdot tan B = 3 \cdot tan 4 2^{\circ}

A C \approx 3 \cdot 0, 900404 \approx 2, 701

cos B = \frac{A B}{B C}

B C = \frac{A B}{cos B} = \frac{3}{cos 4 2 ^{\circ}}

B C \approx \frac{3}{0 , 743145} \approx 4, 037

Vậy $C = 4 8^{\circ}$ , $A C \approx 2, 701$ và $B C \approx 4, 037$ .

2Cách 2. Tính cạnh huyền trước rồi suy ra cạnh góc vuông

Định hướng. Lấy cạnh huyền $B C$ từ Định lí 1, sau đó cạnh góc vuông $A C$ chỉ là cạnh huyền nhân sin góc đối.

C = 9 0^{\circ} - 4 2^{\circ} = 4 8^{\circ}

A B = B C \cdot cos B

B C = \frac{3}{cos 4 2 ^{\circ}} \approx 4, 036898

A C = B C \cdot sin B

A C \approx 4, 036898 \cdot sin 4 2^{\circ}

A C \approx 4, 036898 \cdot 0, 669131 \approx 2, 701

Vậy $C = 4 8^{\circ}$ , $A C \approx 2, 701$ và $B C \approx 4, 037$ .

3Cách 3. Dùng côtang của góc

C

rồi khép lại bằng định lí Pythagore

Định hướng. Sau khi có $C = 4 8^{\circ}$ thì $A C$ là cạnh kề của $C$ còn $A B$ là cạnh đối, nên côtang cho ngay $A C$ ; cạnh huyền lấy bằng Pythagore để khỏi phụ thuộc bảng giá trị côsin.

C = 9 0^{\circ} - 4 2^{\circ} = 4 8^{\circ}

A C = A B \cdot cot C = \frac{3}{tan 4 8 ^{\circ}}

A C \approx \frac{3}{1 , 110613} \approx 2, 701

B C = A B^{2} + A C^{2}

B C \approx 3^{2} + 2, 70121 2^{2}

B C \approx 16, 296545 \approx 4, 037

Vậy $C = 4 8^{\circ}$ , $A C \approx 2, 701$ và $B C \approx 4, 037$ .

Nhận xét. Ba cách trùng khớp tới chữ số thập phân thứ ba; Cách 3 tiện khi máy tính chỉ còn phím tang, vì cả hai cạnh đều tính được mà không cần tới sin hay côsin.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì mỗi cạnh được tính thẳng từ dữ kiện gốc

A B = 3

và

B = 4 2^{\circ}

, không cạnh nào phải dựa vào kết quả gần đúng của cạnh kia.

Đáp số.

C = 4 8^{\circ}

;

A C = 3 tan 4 2^{\circ} \approx 2, 701

;

B C = \frac{3}{cos 4 2 ^{\circ}} \approx 4, 037

Sai lầm thường gặp. Lấy

B C = 3 \cdot cos 4 2^{\circ} \approx 2, 229

vì quen tay nhân thay vì chia; kết quả này vô lí ngay vì cạnh huyền

B C

phải lớn hơn cạnh góc vuông

A B = 3

. Lỗi thứ hai là dùng

A C = 3 \cdot tan 4 8^{\circ} \approx 3, 332

do lẫn góc

B

với góc

C

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: giữ

B = 4 2^{\circ}

nhưng đổi dữ kiện thành đường cao

A H = 3

và tính lại cả ba cạnh của tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Câu hỏi★★★Trang 77— Lập quy trình giải tam giác vuông trong từng trường hợp

Câu hỏi (trang 77).
1. Hãy nêu cách giải tam giác

A B C

vuông tại

A

khi biết hai cạnh

A B = c

A C = b

hoặc

A B = c

B C = a

và không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21).
2. Hãy nêu cách giải tam giác

A B C

vuông tại

A

khi biết cạnh góc vuông

A B

(hoặc cạnh huyền

B C

) và góc

B

Kiến thức cần nhớ

Định lí 1: $b = a sin B = a cos C$ ; $c = a sin C = a cos B$ .
Định lí 2: $b = c tan B = c cot C$ ; $c = b tan C = b cot B$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn thì tra bảng hoặc dùng máy tính tìm được số đo góc đó.

🧠 Phân tích tư duy

Yêu cầu ở đây là nêu quy trình chứ không phải tính một con số, nên phải chỉ rõ dùng tỉ số nào cho bước nào. Điều kiện “không dùng định lí Pythagore” buộc ta phải tìm góc trước rồi mới tìm cạnh, vì chỉ khi có góc thì Định lí 1 và Định lí 2 mới cho được cạnh còn lại. Bẫy là quên rằng luôn phải bắt đầu từ cặp cạnh đã cho để chọn đúng tỉ số lượng giác.

1Cách 1. Quy trình chuẩn — tìm góc bằng tỉ số của hai cạnh đã cho, rồi tìm cạnh

Định hướng. Hai cạnh đã cho quyết định tỉ số lượng giác phải dùng: hai cạnh góc vuông thì dùng tang, một cạnh góc vuông với cạnh huyền thì dùng sin hoặc côsin.

1a) Biết

A B = c

A C = b

tan B = \frac{b}{c}

nên tìm được

B

C = 9 0^{\circ} - B

a = B C = \frac{b}{sin B}

1b) Biết

A B = c

B C = a

cos B = \frac{c}{a}

nên tìm được

B

C = 9 0^{\circ} - B

b = A C = a sin B

2a) Biết

A B = c

và

B

C = 9 0^{\circ} - B

b = c tan B

;

a = \frac{c}{cos B}

2b) Biết

B C = a

và

B

C = 9 0^{\circ} - B

b = a sin B

;

c = a cos B

Vậy trong mọi trường hợp chỉ cần hai bước: tìm góc nhọn từ hai cạnh đã cho (hoặc từ góc đã cho), rồi dùng Định lí 1 và Định lí 2 để tìm các cạnh còn lại.

2Cách 2. Quy trình thay thế — đi qua góc

C

và dùng côtang

Định hướng. Vẫn hai bước như trên nhưng xuất phát từ góc $C$ , khi đó tang đổi thành côtang và sin đổi thành côsin; kết quả phải trùng với Cách 1.

1a)

cot C = \frac{b}{c}

nên tìm được

C

, rồi

B = 9 0^{\circ} - C

a = \frac{c}{sin C}

1b)

sin C = \frac{c}{a}

nên tìm được

C

, rồi

B = 9 0^{\circ} - C

b = a cos C

2a)

C = 9 0^{\circ} - B

;

b = c cot C

;

a = \frac{c}{sin C}

2b)

C = 9 0^{\circ} - B

;

b = a cos C

;

c = a sin C

Vậy quy trình đi qua góc $C$ cho cùng kết quả, chỉ khác ở chỗ đổi mỗi tỉ số sang tỉ số của góc phụ.

3Cách 3. Kiểm chứng quy trình trên hai tam giác cụ thể

Định hướng. Chạy thử quy trình với $b = 3$ , $c = 4$ (trường hợp 1a) và với $c = 5$ , $B = 3 0^{\circ}$ (trường hợp 2a) rồi đối chiếu với Pythagore để chắc chắn không sót bước nào.

Với

b = 3

c = 4

tan B = \frac{3}{4} = 0, 75

B \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}

;

C \approx 5 3^{\circ} 8^{'}

a = \frac{3}{sin 3 6 ^{\circ} 5 2 ^{'}} \approx \frac{3}{0 , 6} = 5

Đối chiếu Pythagore:

3^{2} + 4^{2} = 5

Với

c = 5

B = 3 0^{\circ}

C = 6 0^{\circ}

b = 5 tan 3 0^{\circ} = \frac{5 3}{3} \approx 2, 887

a = \frac{5}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774

Đối chiếu Pythagore:

5^{2} + 2, 88 7^{2} \approx 5, 774

Vậy quy trình hai bước nêu trên cho kết quả trùng khớp với định lí Pythagore, tức là đúng và đủ.

Nhận xét. Điểm mấu chốt của cả ba cách: trong tam giác vuông chỉ cần biết hai yếu tố, trong đó ít nhất một yếu tố là cạnh, thì tính được toàn bộ các yếu tố còn lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì nó chọn tỉ số lượng giác ngay từ hai cạnh mà đề cho, không phải đổi sang góc phụ nên ít nhầm nhất.

Đáp số. 1) Biết hai cạnh thì tìm góc nhọn bằng tang (hai cạnh góc vuông) hoặc bằng sin, côsin (một cạnh góc vuông và cạnh huyền), rồi tìm cạnh còn lại theo Định lí 1 hoặc Định lí 2. 2) Biết một cạnh và góc

B

thì lấy

C = 9 0^{\circ} - B

, sau đó

b = c tan B

a = \frac{c}{cos B}

(nếu biết

A B = c

) hoặc

b = a sin B

c = a cos B

(nếu biết

B C = a

Sai lầm thường gặp. Dùng ngay Định lí 1 để tìm cạnh khi trong tay chưa có góc nào — chẳng hạn biết

b

c

mà viết ngay

a = \frac{b}{sin B}

trong khi

B

chưa được tính. Lỗi thứ hai là ở trường hợp 2a lấy

a = c cos B

, ra cạnh huyền nhỏ hơn cạnh góc vuông.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: tam giác thường cũng giải được theo tinh thần này nếu biết ba yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh) — đó là bài toán giải tam giác sẽ học ở lớp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 4★★Trang 77— Giải tam giác vuông khi biết cạnh huyền và một góc nhọn

Luyện tập 4 (trang 77). Giải tam giác

A B C

vuông tại

A

, biết

B C = 9

C = 5 3^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Định lí 1: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc côsin góc kề.
Định lí Pythagore: $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}$ .
$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ với $α$ là góc nhọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cạnh huyền và một góc nhọn — trường hợp gọn nhất của bài toán giải tam giác vuông vì cả hai cạnh góc vuông đều lấy được trực tiếp từ Định lí 1. Góc còn lại có ngay nhờ quan hệ phụ nhau. Bẫy là lẫn cạnh đối với cạnh kề:

A B

đối diện góc

C

nên đi với

sin C

, còn

A C

đối diện góc

B

nên đi với

sin B

1Cách 1. Dùng sin của góc đối cho từng cạnh góc vuông

Định hướng. Cạnh huyền đã biết nên mỗi cạnh góc vuông chỉ việc nhân cạnh huyền với sin của góc đối diện nó.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

B = 9 0^{\circ} - C = 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 3 7^{\circ}

A B = B C \cdot sin C = 9 \cdot sin 5 3^{\circ}

A B \approx 9 \cdot 0, 798636 \approx 7, 188

A C = B C \cdot sin B = 9 \cdot sin 3 7^{\circ}

A C \approx 9 \cdot 0, 601815 \approx 5, 416

Vậy $B = 3 7^{\circ}$ , $A B \approx 7, 188$ và $A C \approx 5, 416$ .

2Cách 2. Dùng côsin của góc kề cho từng cạnh góc vuông

Định hướng. Mỗi cạnh góc vuông cũng bằng cạnh huyền nhân côsin của góc kề nó, nên chỉ cần đọc lại hình mà không phải tính góc đối.

B = 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 3 7^{\circ}

A B = B C \cdot cos B = 9 \cdot cos 3 7^{\circ}

A B \approx 9 \cdot 0, 798636 \approx 7, 188

A C = B C \cdot cos C = 9 \cdot cos 5 3^{\circ}

A C \approx 9 \cdot 0, 601815 \approx 5, 416

Vậy $B = 3 7^{\circ}$ , $A B \approx 7, 188$ và $A C \approx 5, 416$ .

3Cách 3. Tính một cạnh bằng tỉ số lượng giác rồi khép lại bằng định lí Pythagore

Định hướng. Chỉ cần một phép sin cho $A B$ , cạnh còn lại lấy bằng Pythagore nên không phụ thuộc vào giá trị lượng giác thứ hai.

B = 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} = 3 7^{\circ}

A B = 9 \cdot sin 5 3^{\circ} \approx 7, 18772

A C = B C^{2} - A B^{2}

A C \approx 9^{2} - 7, 1877 2^{2}

A C \approx 81 - 51, 66332

A C \approx 29, 33668 \approx 5, 416

Vậy $B = 3 7^{\circ}$ , $A B \approx 7, 188$ và $A C \approx 5, 416$ .

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng con số vì $sin 5 3^{\circ} = cos 3 7^{\circ}$ — đó là quan hệ hai góc phụ nhau; Cách 3 là phép thử lại tốt vì nó dùng một con đường khác hẳn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì chỉ hai dòng nhân và cả hai cạnh đều tính thẳng từ cạnh huyền gốc

B C = 9

, không cạnh nào dựa vào kết quả gần đúng của cạnh kia.

Đáp số.

B = 3 7^{\circ}

;

A B = 9 sin 5 3^{\circ} \approx 7, 188

;

A C = 9 sin 3 7^{\circ} \approx 5, 416

Sai lầm thường gặp. Lấy

A B = 9 \cdot sin 3 7^{\circ} \approx 5, 416

vì nhầm

A B

đối diện góc

B

; thực ra

A B

đối diện góc

C

. Kiểm nhanh:

C = 5 3^{\circ}

lớn hơn

B = 3 7^{\circ}

nên cạnh đối diện

C

phải là cạnh lớn hơn, tức

A B \approx 7, 19

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: vẫn tam giác đó nhưng tính thêm độ dài đường cao

A H

và hai đoạn

B H

C H

mà cạnh huyền bị chia ra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Vận dụng★★★★Trang 77— Đo chiều cao công trình bằng hai góc ngắm cho trước

Vận dụng (trang 77). Giải bài toán ở tình huống mở đầu với

α = 2 7^{\circ}

và

β = 1 9^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Định lí 2 dạng côtang: cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân côtang góc kề.
$cot α = \frac{1}{tan α}$ với $α$ là góc nhọn.
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Chiều cao công trình bằng chiều cao tính từ tầm ngắm cộng thêm chiều cao của giác kế.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là tình huống mở đầu với số đo cụ thể, nên chỉ việc thay

α = 2 7^{\circ}

β = 1 9^{\circ}

vào mô hình đã dựng. Mô hình hoá:

P^{'}

là đỉnh lâu đài,

H

là điểm trên thân lâu đài ngang tầm ống ngắm,

M^{'}

và

N^{'}

là hai vị trí ống ngắm cách nhau

20

m, còn

H P = 1, 6

m là phần thân lâu đài nằm dưới tầm ngắm. Bẫy là làm tròn

cot 1 9^{\circ}

và

cot 2 7^{\circ}

quá sớm, vì hiệu của chúng chỉ khoảng

0, 94

nên sai số bị khuếch đại gấp hơn hai mươi lần.

1Cách 1. Đặt ẩn là chiều cao rồi dùng côtang của hai góc ngắm

Định hướng. Hai tam giác vuông $M^{'} H P^{'}$ và $N^{'} H P^{'}$ chung cạnh $P^{'} H$ , nên hiệu hai hình chiếu ngang đúng bằng $20$ m và cho ngay phương trình một ẩn.

Gọi

P^{'} H = h

(m),

h > 0

M^{'} H = h \cdot cot 2 7^{\circ}

;

N^{'} H = h \cdot cot 1 9^{\circ}

N^{'} H - M^{'} H = N^{'} M^{'} = 20

h (cot 1 9^{\circ} - cot 2 7^{\circ}) = 20

h = \frac{20}{cot 1 9 ^{\circ} - cot 2 7 ^{\circ}}

h \approx \frac{20}{2 , 904211 - 1 , 962611}

h \approx \frac{20}{0 , 941600} \approx 21, 2404

(m)

P^{'} P = h + 1, 6 \approx 21, 2404 + 1, 6

P^{'} P \approx 22, 84

(m)

Vậy toà lâu đài cao khoảng $22, 84 m$ .

2Cách 2. Đặt ẩn là khoảng cách ngang rồi lập phương trình với tang

Định hướng. Lấy ẩn là đoạn ngang $M^{'} H$ thì chiều cao được viết hai lần theo hai góc ngắm, cho một phương trình bậc nhất quen thuộc.

Gọi

M^{'} H = x

(m),

x > 0

; khi đó

N^{'} H = x + 20

x tan 2 7^{\circ} = (x + 20) tan 1 9^{\circ}

x (tan 2 7^{\circ} - tan 1 9^{\circ}) = 20 tan 1 9^{\circ}

x = \frac{20 tan 1 9 ^{\circ}}{tan 2 7 ^{\circ} - tan 1 9 ^{\circ}}

x \approx \frac{20 \cdot 0 , 344328}{0 , 509525 - 0 , 344328}

x \approx \frac{6 , 886552}{0 , 165198} \approx 41, 6867

(m)

P^{'} H = x tan 2 7^{\circ} \approx 41, 6867 \cdot 0, 509525 \approx 21, 2404

(m)

P^{'} P \approx 21, 2404 + 1, 6 \approx 22, 84

(m)

Vậy toà lâu đài cao khoảng $22, 84 m$ .

3Cách 3. Dựng đường vuông góc phụ để dùng góc chênh lệch

8^{\circ}

Định hướng. $N^{'} M^{'} P^{'}$ là góc ngoài của tam giác $M^{'} N^{'} P^{'}$ nên góc ở đỉnh $P^{'}$ bằng $2 7^{\circ} - 1 9^{\circ} = 8^{\circ}$ ; kẻ $M^{'} K ⊥ N^{'} P^{'}$ thì hai tam giác vuông liên tiếp cho ngay $M^{'} P^{'}$ .

Kẻ

M^{'} K ⊥ N^{'} P^{'}

tại

K

M^{'} P^{'} N^{'} = 2 7^{\circ} - 1 9^{\circ} = 8^{\circ}

M^{'} K = M^{'} N^{'} \cdot sin 1 9^{\circ} = 20 \cdot sin 1 9^{\circ}

M^{'} K \approx 20 \cdot 0, 325568 \approx 6, 511364

(m)

M^{'} P^{'} = \frac{M ^{'} K}{sin 8 ^{\circ}} \approx \frac{6 , 511364}{0 , 139173}

M^{'} P^{'} \approx 46, 7862

(m)

P^{'} H = M^{'} P^{'} \cdot sin 2 7^{\circ} \approx 46, 7862 \cdot 0, 453990

P^{'} H \approx 21, 2404

(m)

P^{'} P \approx 21, 2404 + 1, 6 \approx 22, 84

(m)

Vậy toà lâu đài cao khoảng $22, 84 m$ .

Nhận xét. Ba cách đều cho $P^{'} H \approx 21, 24$ m; Cách 3 giải thích rõ nhất vì sao phép đo này rất nhạy với sai số: mẫu số $sin 8^{\circ} \approx 0, 139$ rất nhỏ nên chỉ cần đọc lệch góc một chút là chiều cao lệch cả mét.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì ẩn đặt đúng vào đại lượng cần tìm, chỉ bốn dòng là ra và không phải tính qua một đại lượng trung gian rồi mới quay lại.

Đáp số. Khoảng cách từ tầm ngắm tới đỉnh là

P^{'} H = \frac{20}{cot 1 9 ^{\circ} - cot 2 7 ^{\circ}} \approx 21, 24

m; chiều cao toà lâu đài là

P^{'} P \approx 21, 24 + 1, 6 = 22, 84

Sai lầm thường gặp. Quên cộng

1, 6

m nên trả lời

21, 24

m. Lỗi nặng hơn là làm tròn sớm: lấy

cot 1 9^{\circ} \approx 2, 9

và

cot 2 7^{\circ} \approx 2, 0

thì hiệu là

0, 9

và cho

h \approx 22, 22

m, lệch gần

1

m so với giá trị đúng

21, 24

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: nếu hai góc ngắm chỉ chênh nhau

2^{\circ}

(chẳng hạn

2 1^{\circ}

và

1 9^{\circ}

) thì chiều cao đo được là bao nhiêu, và vì sao trong thực tế người ta luôn chọn hai vị trí ngắm cách xa nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 4.8★★★Trang 78— Giải tam giác vuông trong ba trường hợp dữ kiện khác nhau

Bài 4.8 (trang 78). Giải tam giác

A B C

vuông tại

A

có

B C = a

A C = b

A B = c

, trong các trường hợp:
a)

a = 21

b = 18

; b)

b = 10

C = 3 0^{\circ}

; c)

c = 5

b = 3

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .
Định lí 1: $b = a sin B = a cos C$ ; $c = a sin C = a cos B$ .
Định lí 2: $b = c tan B = c cot C$ ; $c = b tan C = b cot B$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý ứng với ba trường hợp dữ kiện khác nhau, và mỗi trường hợp quyết định tỉ số lượng giác phải dùng: ý a cho cạnh huyền với một cạnh góc vuông nên dùng sin, ý b cho một cạnh góc vuông với góc nhọn nên dùng tang và côsin, ý c cho hai cạnh góc vuông nên dùng tang. Bẫy chung là dùng lại số đo góc vừa làm tròn để tính cạnh, làm kết quả lệch ở chữ số cuối. Với ý b nên giữ dạng căn vì

3 0^{\circ}

là góc đặc biệt.

1Cách 1. Dùng định lí Pythagore cho cạnh, tỉ số lượng giác cho góc

Định hướng. Ưu tiên lấy cạnh còn thiếu bằng Pythagore từ dữ kiện gốc, sau đó mới tìm góc — như vậy cạnh không phụ thuộc vào việc làm tròn góc.

c = a^{2} - b^{2} = 2 1^{2} - 1 8^{2} = 117 = 313

c \approx 10, 817

sin B = \frac{b}{a} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}

B \approx 58, 997 3^{\circ} \approx 5 9^{\circ}

;

C \approx 3 1^{\circ}

B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

c = b tan C = 10 \cdot tan 3 0^{\circ} = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774

a = b^{2} + c^{2} = 100 + \frac{100}{3} = \frac{20 3}{3} \approx 11, 547

a = b^{2} + c^{2} = 3^{2} + 5^{2} = 34

a \approx 5, 831

tan B = \frac{b}{c} = \frac{3}{5} = 0, 6

B \approx 30, 963 8^{\circ} \approx 3 1^{\circ}

;

C \approx 5 9^{\circ}

Vậy a) $c = 313 \approx 10, 817; B \approx 5 9^{\circ}; C \approx 3 1^{\circ}$ ; b) $B = 6 0^{\circ}; c = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774; a = \frac{20 3}{3} \approx 11, 547$ ; c) $a = 34 \approx 5, 831; B \approx 3 1^{\circ}; C \approx 5 9^{\circ}$ .

2Cách 2. Tìm góc trước rồi lấy cạnh bằng Định lí 1, không dùng Pythagore

Định hướng. Đây đúng là quy trình mà mục Câu hỏi yêu cầu: mỗi trường hợp chỉ cần một tỉ số lượng giác để ra góc, sau đó Định lí 1 cho cạnh còn lại.

sin B = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}

nên

B \approx 5 9^{\circ}

C \approx 3 1^{\circ}

c = a sin C \approx 21 \cdot sin 3 1^{\circ} \approx 21 \cdot 0, 515038 \approx 10, 816

B = 6 0^{\circ}

a = \frac{b}{cos C} = \frac{10}{cos 3 0 ^{\circ}} = \frac{20 3}{3} \approx 11, 547

c = a sin C = \frac{20 3}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774

tan B = \frac{3}{5} = 0, 6

nên

B \approx 3 1^{\circ}

C \approx 5 9^{\circ}

a = \frac{c}{cos B} \approx \frac{5}{cos 3 1 ^{\circ}} \approx \frac{5}{0 , 857167} \approx 5, 833

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a) $c \approx 10, 82; B \approx 5 9^{\circ}; C \approx 3 1^{\circ}$ ; b) $B = 6 0^{\circ}; c \approx 5, 774; a \approx 11, 547$ ; c) $a \approx 5, 83; B \approx 3 1^{\circ}; C \approx 5 9^{\circ}$ .

3Cách 3. Dùng góc phụ và các hệ thức côtang để đối chiếu chéo

Định hướng. Mỗi kết quả được tính lại qua góc còn lại; hai con đường độc lập cho cùng một số là cách tự kiểm tra chắc chắn nhất.

cos C = \frac{b}{a} = \frac{6}{7}

nên

C \approx 3 1^{\circ}

B \approx 5 9^{\circ}

c = b cot B = 18 \cdot cot 5 9^{\circ} \approx \frac{18}{1 , 664280} \approx 10, 815

c = b cot B = 10 \cdot cot 6 0^{\circ} = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774

a = \frac{c}{sin C} = \frac{10 3}{3} : \frac{1}{2} = \frac{20 3}{3} \approx 11, 547

tan C = \frac{c}{b} = \frac{5}{3}

nên

C \approx 5 9^{\circ}

B \approx 3 1^{\circ}

a = \frac{b}{cos C} \approx \frac{3}{cos 5 9 ^{\circ}} \approx \frac{3}{0 , 515038} \approx 5, 825

Vậy ba đường tính đều dẫn tới cùng một bộ kết quả: a) $c \approx 10, 82$ ; b) $c \approx 5, 774; a \approx 11, 547$ ; c) $a \approx 5, 83$ .

Nhận xét. Ở ý a và ý c, ba cách cho $10, 817$ hay $10, 815$ và $5, 831$ hay $5, 825$ — chênh lệch chỉ do góc đã được làm tròn tới độ; giá trị đúng là $313$ và $34$ nên trong bài làm phải ghi dạng căn trước rồi mới ghi số gần đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì cạnh luôn tính từ dữ kiện gốc nên cho giá trị chính xác dạng căn, không bị trôi theo sai số làm tròn của góc như Cách 2 và Cách 3.

Đáp số. a)

c = 313 \approx 10, 817

;

B \approx 5 9^{\circ}

;

C \approx 3 1^{\circ}

. b)

B = 6 0^{\circ}

;

c = \frac{10 3}{3} \approx 5, 774

;

a = \frac{20 3}{3} \approx 11, 547

. c)

a = 34 \approx 5, 831

;

B \approx 3 1^{\circ}

;

C \approx 5 9^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a lấy

c = 2 1^{2} + 1 8^{2} = 765 \approx 27, 66

vì cộng thay vì trừ — sai ngay vì cạnh góc vuông

c

không thể lớn hơn cạnh huyền

a = 21

. Ở ý b lấy

c = 10 \cdot tan 6 0^{\circ} \approx 17, 32

do dùng nhầm góc

B

thay cho góc

C

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: ba trường hợp trên chính là ba kiểu dữ kiện duy nhất của bài toán giải tam giác vuông — hai cạnh góc vuông, cạnh huyền và một cạnh góc vuông, một cạnh và một góc nhọn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 4.9★★Trang 78— Tìm góc nhọn khi biết cạnh kề và cạnh huyền

Bài 4.9 (trang 78). Tính góc nghiêng

α

của thùng xe chở rác trong Hình 4.22.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, côsin của góc nhọn bằng cạnh kề chia cạnh huyền.
Định lí Pythagore: cạnh góc vuông thứ hai bằng $(huyen)^{2} - (ke)^{2}$ .
Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau nên $sin$ góc này bằng $cos$ góc kia.
$1^{\circ} = 6 0^{'}$ nên phần lẻ của số đo độ nhân $60$ được số phút.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá: gọi

P

là bản lề ở đuôi xe,

Q

là đầu trên của thùng xe khi đã nâng lên và

R

là điểm trên khung xe sao cho tam giác

P QR

vuông tại

Q

; khi đó

P Q = 4

m là thùng xe,

P R = 5

m là khoảng cách đo dọc khung xe và

α = QP R

. Hai cạnh đã cho là cạnh kề và cạnh huyền của

α

nên côsin là tỉ số ghép đúng chúng. Bẫy là dùng

tan α = \frac{4}{5}

do quên rằng

5

m là cạnh huyền chứ không phải cạnh góc vuông.

1Cách 1. Dùng côsin của cạnh kề trên cạnh huyền

Định hướng. Trong tam giác vuông tại $Q$ , cạnh $P Q = 4$ kề với $α$ còn $P R = 5$ là cạnh huyền, nên côsin cho ngay góc cần tìm.

Tam giác

P QR

vuông tại

Q

P Q = 4

P R = 5

cos α = \frac{P Q}{P R} = \frac{4}{5} = 0, 8

α \approx 36, 869 9^{\circ}

0, 869 9^{\circ} \approx 52, 1 9^{'}

α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}

Vậy góc nghiêng của thùng xe là $α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}$ .

2Cách 2. Tìm cạnh góc vuông còn lại bằng Pythagore rồi dùng tang

Định hướng. Bộ ba $3$ , $4$ , $5$ cho cạnh góc vuông thứ hai là số nguyên, khi đó tang của $α$ là một phân số đẹp.

QR = P R^{2} - P Q^{2}

QR = 5^{2} - 4^{2} = 9 = 3

(m)

tan α = \frac{QR}{P Q} = \frac{3}{4} = 0, 75

α \approx 36, 869 9^{\circ}

α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}

Vậy góc nghiêng của thùng xe là $α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}$ .

3Cách 3. Tính góc còn lại của tam giác rồi lấy phần bù tới

9 0^{\circ}

Định hướng. Với góc $P R Q$ thì $P Q = 4$ trở thành cạnh đối, nên sin cho góc đó; hai góc nhọn phụ nhau sẽ trả về $α$ .

sin P R Q = \frac{P Q}{P R} = \frac{4}{5} = 0, 8

P R Q \approx 53, 130 1^{\circ} \approx 5 3^{\circ} 8^{'}

α = 9 0^{\circ} - P R Q

α \approx 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} 8^{'}

α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}

Vậy góc nghiêng của thùng xe là $α \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng $36, 8 7^{\circ}$ ; đây là góc nhọn của tam giác vuông $3$ – $4$ – $5$ quen thuộc nên nếu gặp lại bộ ba này có thể nhận ra ngay đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì chỉ hai dòng và dùng thẳng hai số liệu đề cho, không phải khai căn cũng không phải tính thêm góc phụ.

Đáp số.

cos α = \frac{4}{5} = 0, 8

nên

α \approx 36, 8 7^{\circ} \approx 3 6^{\circ} 5 2^{'}

(làm tròn đến phút).

Sai lầm thường gặp. Viết

sin α = \frac{4}{5}

nên ra

α \approx 5 3^{\circ} 8^{'}

— đó là góc ở đỉnh

R

chứ không phải góc nghiêng ở bản lề. Lỗi thứ hai là ghi

tan α = \frac{4}{5}

rồi ra

3 8^{\circ} 4 0^{'}

, do coi

5

m là cạnh góc vuông trong khi nó là cạnh huyền.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: xe cùng loại nhưng thùng dài

4, 5

m, hỏi phải nâng thùng lên tới độ cao bao nhiêu để góc nghiêng đạt

4 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 4.10★★★Trang 78— Tìm góc nghiêng và cạnh huyền của mái dốc

Bài 4.10 (trang 78). Tìm góc nghiêng

α

và chiều rộng

A B

của mái nhà kho trong Hình 4.23.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, tang của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho côsin góc kề: $A B = \frac{K B}{cos α}$ .
Định lí Pythagore: $A B^{2} = A K^{2} + K B^{2}$ .
$1^{\circ} = 6 0^{'}$ nên phần lẻ của số đo độ nhân $60$ được số phút.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá: gọi

K

là chân đường vuông góc hạ từ

A

xuống đường nằm ngang đi qua

B

, khi đó

A K = 0, 9

m là độ hạ thấp của mái,

K B = 15

m là chiều ngang và

A B

là chiều rộng mái cần tìm. Hai cạnh đã biết là hai cạnh góc vuông nên tang cho góc

α

, còn cạnh huyền

A B

lấy được bằng Pythagore hoặc bằng côsin. Bẫy là kết luận

A B = 15

m vì thấy

0, 9

m quá nhỏ so với

15

1Cách 1. Dùng tang tìm góc rồi côsin tìm cạnh huyền

Định hướng. Hai cạnh góc vuông đã cho nên tang là tỉ số ghép đúng chúng; có góc rồi thì chiều ngang chia cho côsin là ra chiều rộng mái.

Tam giác

A B K

vuông tại

K

A K = 0, 9

K B = 15

tan α = \frac{A K}{K B} = \frac{0 , 9}{15} = 0, 06

α \approx 3, 433 6^{\circ}

0, 433 6^{\circ} \approx 26, 0 2^{'}

nên

α \approx 3^{\circ} 2 6^{'}

A B = \frac{K B}{cos α} \approx \frac{15}{cos 3 , 433 6 ^{\circ}}

A B \approx \frac{15}{0 , 998205} \approx 15, 027

(m)

Vậy góc nghiêng $α \approx 3^{\circ} 2 6^{'}$ và chiều rộng mái $A B \approx 15, 03 m$ .

2Cách 2. Dùng tang tìm góc rồi sin tìm cạnh huyền

Định hướng. Cũng lấy góc từ tang, nhưng cạnh huyền tính qua cạnh đối $A K$ để kiểm tra chéo với Cách 1.

tan α = \frac{0 , 9}{15} = 0, 06

nên

α \approx 3, 433 6^{\circ} \approx 3^{\circ} 2 6^{'}

sin α = \frac{A K}{A B}

A B = \frac{A K}{sin α} \approx \frac{0 , 9}{sin 3 , 433 6 ^{\circ}}

A B \approx \frac{0 , 9}{0 , 0598923}

A B \approx 15, 027

(m)

Vậy góc nghiêng $α \approx 3^{\circ} 2 6^{'}$ và chiều rộng mái $A B \approx 15, 03 m$ .

3Cách 3. Dùng định lí Pythagore tìm cạnh huyền trước rồi mới tìm góc

Định hướng. Hai cạnh góc vuông đã biết nên cạnh huyền lấy được ngay mà không cần góc; khi đó sin của $α$ tính từ chính giá trị vừa tìm.

A B = A K^{2} + K B^{2}

A B = 0, 9^{2} + 1 5^{2} = 0, 81 + 225

A B = 225, 81 \approx 15, 027

(m)

sin α = \frac{A K}{A B} \approx \frac{0 , 9}{15 , 027}

sin α \approx 0, 0598923

α \approx 3, 433 6^{\circ} \approx 3^{\circ} 2 6^{'}

Vậy góc nghiêng $α \approx 3^{\circ} 2 6^{'}$ và chiều rộng mái $A B \approx 15, 03 m$ .

Nhận xét. Chiều rộng mái chỉ hơn chiều ngang $15$ m đúng $2, 7$ cm — vì góc nghiêng rất nhỏ nên $cos α$ gần bằng $1$ ; đó cũng là lí do phải giữ nhiều chữ số khi tính, nếu làm tròn sớm sẽ mất luôn phần chênh lệch này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3 vì cạnh huyền tính thẳng bằng Pythagore từ số liệu gốc, không phụ thuộc vào việc làm tròn góc, mà vẫn chỉ ba dòng.

Đáp số.

tan α = \frac{0 , 9}{15} = 0, 06

nên

α \approx 3^{\circ} 2 6^{'}

;

A B = 1 5^{2} + 0, 9^{2} = 225, 81 \approx 15, 03

Sai lầm thường gặp. Lấy

α

từ

sin α = \frac{0 , 9}{15} = 0, 06

nên ra

3^{\circ} 2 6^{'}

gần đúng một cách tình cờ, nhưng cách viết sai vì

15

m là cạnh góc vuông chứ không phải cạnh huyền. Lỗi nặng hơn là làm tròn

A B

thành

15

m, khi đó mái nhà lại đúng bằng chiều ngang, tức là mái phẳng.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: nhà kho dài

30

m, tính diện tích toàn bộ mái và cho biết nếu muốn góc nghiêng đạt

1 0^{\circ}

thì phải nâng đầu

A

lên thêm bao nhiêu mét.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 4.11★★★Trang 78— Tính góc của hình thoi khi biết hai đường chéo

Bài 4.11 (trang 78). Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài

23

và

2

Kiến thức cần nhớ

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mỗi đường chéo của hình thoi là tia phân giác của hai góc ở hai đỉnh nó đi qua.
Trong tam giác vuông, tang của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện nó bằng $3 0^{\circ}$ .
Hai góc kề một cạnh của hình thoi bù nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm, nên chúng cắt hình thoi thành bốn tam giác vuông bằng nhau có hai cạnh góc vuông là

3

và

1

— dấu hiệu quen thuộc của dạng tính góc hình thoi. Mỗi đường chéo lại là phân giác của góc ở đỉnh, nên góc tìm được trong tam giác vuông phải nhân đôi. Bẫy lớn nhất là quên nhân đôi và trả lời luôn

3 0^{\circ}

với

6 0^{\circ}

1Cách 1. Dùng tang của nửa góc trong tam giác vuông tạo bởi hai nửa đường chéo

Định hướng. Gọi $O$ là giao hai đường chéo thì tam giác $A O B$ vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông là hai nửa đường chéo, và $O A B$ đúng bằng nửa góc $A$ của hình thoi.

Hình thoi

A B C D

có

A C = 23

B D = 2

, hai đường chéo cắt nhau tại

O

O A = \frac{A C}{2} = 3

;

O B = \frac{B D}{2} = 1

;

A O B = 9 0^{\circ}

tan O A B = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{3}

O A B = 3 0^{\circ}

B A D = 2 O A B = 6 0^{\circ}

A B C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy hình thoi có hai góc bằng $6 0^{\circ}$ (tại $A$ và $C$ ) và hai góc bằng $12 0^{\circ}$ (tại $B$ và $D$ ).

2Cách 2. Tính cạnh hình thoi rồi nhận ra tam giác đều

Định hướng. Nếu cạnh hình thoi bằng đúng đường chéo ngắn thì tam giác tạo bởi hai cạnh và đường chéo ngắn là tam giác đều, cho ngay góc $6 0^{\circ}$ .

A B = O A^{2} + O B^{2}

A B = (3)^{2} + 1^{2} = 4 = 2

A B = A D = 2

và

B D = 2

Tam giác

A B D

có

A B = A D = B D = 2

nên là tam giác đều

B A D = 6 0^{\circ}

A B C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy hình thoi có hai góc bằng $6 0^{\circ}$ và hai góc bằng $12 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tính cạnh rồi dùng tính chất cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền

Định hướng. Trong tam giác vuông $A O B$ , cạnh góc vuông $O B$ bằng đúng nửa cạnh huyền $A B$ nên góc đối diện nó bằng $3 0^{\circ}$ — một kết luận hình học thuần tuý, không cần tỉ số lượng giác.

A B = (3)^{2} + 1^{2} = 2

O B = 1 = \frac{A B}{2}

O A B = 3 0^{\circ}

B A D = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A B O = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A B C = 2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

Vậy hình thoi có hai góc bằng $6 0^{\circ}$ và hai góc bằng $12 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều phải nhân đôi góc tìm được trong tam giác vuông, vì mỗi đường chéo của hình thoi là phân giác của góc ở đỉnh; đây chính là chỗ mất điểm nhiều nhất của bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì không cần tính cạnh hình thoi, chỉ một phép tang trên hai nửa đường chéo là ra nửa góc, rồi nhân đôi.

Đáp số. Hai góc bằng

6 0^{\circ}

(ở hai đỉnh nằm trên đường chéo dài) và hai góc bằng

12 0^{\circ}

(ở hai đỉnh nằm trên đường chéo ngắn).

Sai lầm thường gặp. Trả lời

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

vì quên rằng

O A B

mới chỉ là nửa góc

A

. Lỗi thứ hai là lấy

tan O A B = \frac{2}{2 3}

— tuy tình cờ vẫn ra

\frac{1}{3}

nhưng cách viết sai vì đã dùng cả đường chéo thay cho nửa đường chéo; với hai đường chéo

6

và

2

thì lỗi này cho kết quả sai hẳn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: hình thoi có hai đường chéo

m

và

n

thì góc ở đỉnh nằm trên đường chéo

m

bằng

2 arctan \frac{n}{m}

; thử tìm điều kiện của

m

n

để hình thoi trở thành hình vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 4.12★★★★Trang 78— Chứng minh hệ thức và tính cạnh, góc trong hình thang vuông

Bài 4.12 (trang 78). Cho hình thang

A B C D

(

A D ∥ B C

) có

A D = 16

cm,

B C = 4

cm và

A = B = A C D = 9 0^{\circ}

.
a) Kẻ đường cao

C E

của tam giác

A C D

. Chứng minh

A D C = A C E

. Tính sin của các góc

A D C

A C E

và suy ra

A C^{2} = A E \cdot A D

. Từ đó tính

A C

.
b) Tính góc

D

của hình thang.

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, hai cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau.
Hai góc nhọn của một tam giác vuông phụ nhau.
Hai góc nhọn có cùng sin thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông, sin của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh huyền.
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã gợi ý đường đi: hạ đường cao

C E

để tạo ra tam giác vuông

A C E

có cùng một góc nhọn với tam giác vuông

A C D

, từ đó hai sin bằng nhau cho hệ thức

A C^{2} = A E \cdot A D

. Mấu chốt là nhận ra

A B C E

là hình chữ nhật nên

A E = B C = 4

cm, đó là dữ kiện còn thiếu để tính

A C

. Bẫy là quên rằng

E

nằm trên

A D

nên tia

A E

và tia

A D

trùng nhau, do đó

C A E = C A D

1Cách 1. Theo gợi ý của đề — hai góc phụ cùng một góc thì bằng nhau

Định hướng. Tam giác $A C D$ vuông tại $C$ và tam giác $A C E$ vuông tại $E$ dùng chung góc $A$ , nên hai góc còn lại của chúng bằng nhau; viết sin của hai góc ấy là ra hệ thức cần chứng minh.

A = B = 9 0^{\circ}

và

C E ⊥ A D

nên tứ giác

A B C E

có ba góc vuông

A B C E

là hình chữ nhật, do đó

A E = B C = 4

E

thuộc

A D

nên

C A E = C A D

Tam giác

A C D

vuông tại

C

A D C = 9 0^{\circ} - C A D

Tam giác

A C E

vuông tại

E

A C E = 9 0^{\circ} - C A E

A D C = A C E

sin A D C = \frac{A C}{A D}

và

sin A C E = \frac{A E}{A C}

\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}

A C^{2} = A E \cdot A D

A C^{2} = 4 \cdot 16 = 64

A C = 8

(cm)
b)

sin A D C = \frac{A C}{A D} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

A D C = 3 0^{\circ}

Vậy $A D C = A C E$ , $sin A D C = sin A C E = \frac{1}{2}$ , $A C^{2} = A E \cdot A D$ nên $A C = 8 cm$ và $D = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng hệ thức lượng về đường cao trong tam giác vuông

Định hướng. Tam giác $A C D$ vuông tại $C$ có $C E$ là đường cao ứng với cạnh huyền $A D$ , nên hệ thức $A C^{2} = A E \cdot A D$ dùng được ngay; góc $D$ lấy từ côsin của góc $A$ .

A B C E

là hình chữ nhật (ba góc vuông) nên

A E = B C = 4

cm
Tam giác

A C D

vuông tại

C

, đường cao

C E

ứng với cạnh huyền

A D

A C^{2} = A E \cdot A D

A C^{2} = 4 \cdot 16 = 64

A C = 8

(cm)
b)

cos C A D = \frac{A C}{A D} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

C A D = 6 0^{\circ}

A D C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Vậy $A C = 8 cm$ và $D = 3 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn là cạnh bên rồi dùng định lí Pythagore hai lần

Định hướng. Gọi $A B = h$ thì cả $A C$ và $C D$ đều viết được theo $h$ ; ghép vào tam giác vuông $A C D$ sẽ có một phương trình một ẩn.

Đặt

A B = h

(cm),

h > 0

; khi đó

C E = A B = h

và

A E = B C = 4

E D = 16 - 4 = 12

Tam giác

A B C

vuông tại

B

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = h^{2} + 16

Tam giác

C E D

vuông tại

E

C D^{2} = C E^{2} + E D^{2} = h^{2} + 144

Tam giác

A C D

vuông tại

C

A C^{2} + C D^{2} = A D^{2}

(h^{2} + 16) + (h^{2} + 144) = 1 6^{2}

2 h^{2} + 160 = 256

2 h^{2} = 96

h^{2} = 48

h = 43

A C^{2} = 48 + 16 = 64

nên

A C = 8

(cm)
b)

sin A D C = \frac{A C}{A D} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

nên

A D C = 3 0^{\circ}

Vậy $A C = 8 cm$ , $A B = C E = 43$ cm và $D = 3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm $A B = C E = 43$ cm và $C D = 83$ cm, nên kiểm lại được toàn bộ hình: $8^{2} + (83)^{2} = 64 + 192 = 256 = 1 6^{2}$ , đúng định lí Pythagore trong tam giác $A C D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 vì chỉ ba dòng: nhận ra hình chữ nhật để có

A E = 4

, áp hệ thức đường cao, rồi lấy côsin — ngắn hơn hẳn Cách 1 và Cách 3.

Đáp số. a)

A D C = A C E

sin A D C = sin A C E = \frac{1}{2}

và

A C^{2} = A E \cdot A D = 4 \cdot 16 = 64

nên

A C = 8

cm. b)

D = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy

A E = A D - B C = 12

cm vì tưởng

E

là hình chiếu của

D

chứ không phải của

C

; khi đó

A C^{2} = 12 \cdot 16 = 192

và

A C = 83

, kéo theo

sin D = \frac{3}{2}

và

D = 6 0^{\circ}

— sai cả hai ý. Lỗi thứ hai là dùng

A C^{2} = A E \cdot E D

thay cho

A C^{2} = A E \cdot A D

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: giữ nguyên

A = B = A C D = 9 0^{\circ}

nhưng đổi

A D = 16

cm,

B C = 9

cm — hãy tính

A C

D

và diện tích hình thang.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 4.13★★★Trang 78— Ứng dụng phản xạ qua gương để đo chiều cao

Bài 4.13 (trang 78). Một người đứng tại điểm

A

, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm

B

là

1, 2

m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương

B

của ngọn cây (cây có gốc ở tại điểm

C

cách

B

là

4, 8

B

nằm giữa

A

và

C

). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là

1, 65

m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).

Kiến thức cần nhớ

Tia phản xạ và tia tới tạo với mặt gương hai góc bằng nhau.
Trong tam giác vuông, tang của góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.
Trong hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình hoá:

D

là mắt người (cao

1, 65

m trên

A

E

là ngọn cây (trên gốc

C

), tia sáng đi từ

E

tới gương ở

B

rồi phản xạ tới mắt

D

. Định luật phản xạ cho

D B A = E B C

, đây chính là dấu hiệu để ghép hai tam giác vuông

A B D

và

C B E

lại với nhau. Bẫy là lấy khoảng cách từ người tới gốc cây là

4, 8

m, trong khi

4, 8

m là khoảng cách từ gương tới gốc cây.

1Cách 1. Dùng tang của góc tới và góc phản xạ

Định hướng. Hai góc mà tia sáng tạo với mặt đất bằng nhau, nên tang của chúng bằng nhau; tang đó tính được từ tam giác vuông bên phía người đứng.

Tam giác

A B D

vuông tại

A

A D = 1, 65

A B = 1, 2

tan A B D = \frac{A D}{A B} = \frac{1 , 65}{1 , 2} = 1, 375

Theo định luật phản xạ:

C B E = A B D

Tam giác

C B E

vuông tại

C

C E = C B \cdot tan C B E

C E = 4, 8 \cdot 1, 375

C E = 6, 6

(m)

Vậy cây cao $6, 6 m$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông đồng dạng

Định hướng. Hai tam giác vuông $A B D$ và $C B E$ có một cặp góc nhọn bằng nhau nên đồng dạng; tỉ số đồng dạng cho ngay chiều cao cây.

D A B = E C B = 9 0^{\circ}

và

A B D = C B E

Tam giác

A B D

đồng dạng với tam giác

C B E

\frac{C E}{A D} = \frac{C B}{A B}

C E = \frac{A D \cdot C B}{A B}

C E = \frac{1 , 65 \cdot 4 , 8}{1 , 2}

C E = \frac{7 , 92}{1 , 2}

C E = 6, 6

(m)

Vậy cây cao $6, 6 m$ .

3Cách 3. Dùng ảnh của mắt qua gương và ba điểm thẳng hàng

Định hướng. Ảnh $D^{'}$ của mắt qua mặt gương nằm đối xứng với $D$ qua mặt đất; khi đó tia phản xạ được duỗi thẳng thành đường thẳng đi qua $D^{'}$ , $B$ và ngọn cây $E$ .

Gọi

D^{'}

là điểm đối xứng của

D

qua mặt đất, khi đó

A D^{'} = A D = 1, 65

m
Theo định luật phản xạ, ba điểm

D^{'}

B

E

thẳng hàng
Hai tam giác vuông

A B D^{'}

và

C B E

có

A B D^{'} = C B E

(hai góc đối đỉnh)

\frac{C E}{A D ^{'}} = \frac{C B}{A B}

C E = 1, 65 \cdot \frac{4 , 8}{1 , 2}

C E = 1, 65 \cdot 4

C E = 6, 6

(m)

Vậy cây cao $6, 6 m$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao đáp số đẹp: khoảng cách $4, 8$ m gấp đúng $4$ lần $1, 2$ m nên chiều cao cây gấp $4$ lần chiều cao tầm mắt; nếu đứng xa gấp đôi thì chỉ cần lùi gương lại cho đúng tỉ lệ là đo được cây cao gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 vì lập luận đồng dạng ngắn gọn và không cần bấm máy tính tỉ số lượng giác nào, trong khi Cách 1 phải qua một số thập phân trung gian.

Đáp số. Chiều cao của cây là

C E = \frac{1 , 65 \cdot 4 , 8}{1 , 2} = 6, 6

Sai lầm thường gặp. Lấy

C E = \frac{1 , 65 \cdot 4 , 8}{1 , 2 + 4 , 8} = 1, 32

m vì dùng khoảng cách từ người tới gốc cây (

6

m) thay cho khoảng cách từ gương tới gốc cây. Lỗi thứ hai là lập tỉ số ngược

\frac{C E}{A D} = \frac{A B}{C B}

nên ra

0, 4125

m — cây thấp hơn cả người, vô lí.

🚀 Mở rộng. Bài cùng dạng khó hơn: vẫn người cao

1, 65

m tới tầm mắt, muốn đo một cây cao

12

m thì phải đặt gương cách gốc cây bao xa nếu người đứng cách gương

1, 5

Mở bài này trong app ↗