Bài 13. Mở đầu về đường tròn

Định hướng. Định nghĩa đường tròn chính là công cụ trực tiếp: mọi điểm trên vành bánh xe cách đều tâm (trục), nên khoảng cách từ trục đến mặt đường không đổi khi bánh xe lăn.

Vậy trục bánh xe luôn cách mặt đường một khoảng không đổi bằng bán kính $R$, giúp xe di chuyển êm, không bị xóc lên xuống — đó là lí do bánh xe có dạng hình tròn.

Định hướng. Giả sử bánh xe có dạng khác (không phải đường tròn), khi đó khoảng cách từ tâm đến các điểm trên vành không còn bằng nhau, dẫn tới hệ quả vô lí (xe bị xóc).

Vậy chỉ có đường tròn (nơi mọi điểm trên vành cách đều tâm) mới giữ trục ở độ cao không đổi; đây chính là lí do bánh xe phải có dạng hình tròn.

Định hướng. Nhớ lại cách compa vẽ đường tròn (giữ khoảng cách không đổi từ đầu kim tới đầu chì) để thấy đó chính là nguyên lí cần cho một vật quay tròn êm.

Vậy dạng hình tròn của bánh xe là ứng dụng trực tiếp của tính chất 'cách đều tâm' — cùng nguyên lí với việc compa vẽ ra một đường tròn.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về đúng một tính chất cốt lõi: mọi điểm của đường tròn cách đều tâm.

Định hướng. $Ox\perp Oy$ nên tam giác $OAB$ vuông tại $O$; áp dụng ngay tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền cho $M$.

Vậy $OM=2,5$ cm đúng bằng bán kính đường tròn $(O)$, nên $M$ nằm trên $(O)$.

Định hướng. Dựng thêm điểm $D$ để có hình chữ nhật nhận $OA$, $OB$ làm hai cạnh kề, rồi dùng tính chất hai đường chéo hình chữ nhật.

Vậy $OM=2,5$ cm bằng bán kính, nên $M\in (O)$.

Định hướng. Đặt $O$ làm gốc, $Ox$, $Oy$ làm hai trục toạ độ để tính trực tiếp toạ độ $M$ và khoảng cách $OM$.

Vậy $OM=2,5$ cm bằng bán kính, nên $M$ nằm trên đường tròn $(O)$.

Nhận xét. Cả ba cách đều cho cùng kết quả $OM=2,5$ cm, khớp đúng bán kính đề đã cho.

Định hướng. Đổi dấu cả hai toạ độ để tìm $C$, $D$, rồi tính khoảng cách từng điểm đến $O$ và so với $R=3$.

Vậy $C(0;3)$, $D(-2;0)$; $A$ và $C$ nằm trên, $B$ và $D$ nằm trong đường tròn $(O;3)$.

Định hướng. Không cần tính lại khoảng cách cho $C$, $D$: phép đối xứng tâm $O$ giữ nguyên khoảng cách đến $O$, nên chỉ cần xét $A$, $B$ rồi suy ra ngay cho $C$, $D$.

Vậy $A,C$ nằm trên; $B,D$ nằm trong đường tròn $(O;3)$ — chỉ cần xét hai điểm $A$, $B$ là suy ra ngay vị trí của $C$, $D$.

Định hướng. Cả bốn điểm đều nằm trên một trong hai trục, nên khoảng cách đến $O$ chính là trị tuyệt đối của toạ độ khác $0$, không cần công thức căn bậc hai tổng quát.

Vậy $A$, $C$ nằm trên; $B$, $D$ nằm trong đường tròn $(O;3)$.

Nhận xét. Cách 2 là nhanh nhất khi đã xác định vị trí của $A$, $B$: không cần tính toạ độ hay khoảng cách của $C$, $D$ một lần nữa.

Định hướng. Áp dụng lần lượt ba công thức đối xứng để tìm toạ độ, rồi tính khoảng cách từng điểm đến $O$.

Vậy $OA=OB=OC=OD=\sqrt{10}$ nên có đường tròn tâm $O$ bán kính $\sqrt{10}$ đi qua cả bốn điểm $A,B,C,D$.

Định hướng. Không cần tính lại từng khoảng cách: mọi phép đối xứng dùng ở đề đều nhận $O$ làm điểm bất động nên giữ nguyên khoảng cách đến $O$.

Vậy cả bốn điểm cách đều $O$ một khoảng $\sqrt{10}$, nên có đường tròn tâm $O$ bán kính $\sqrt{10}$ đi qua cả bốn điểm.

Định hướng. Bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một hình chữ nhật nhận hai trục toạ độ làm trục đối xứng; tâm hình chữ nhật đó chính là $O$.

Vậy có đường tròn tâm $O$ đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$, bán kính $R=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

Nhận xét. Cách 3 cho một cách nhìn hình học trực quan, giải thích vì sao cả bốn điểm cách đều $O$ mà không cần tính riêng từng khoảng cách.

Định hướng. Bốn đoạn $OA,OB,OM,ON$ đều là bán kính nên bằng nhau; cùng với $AM=BN$, hai tam giác $OAM$ và $OBN$ có đủ ba cặp cạnh bằng nhau — từ đó suy ra hai góc ở đỉnh $O$ bằng nhau, rồi ghép với tính chất $A,O,B$ thẳng hàng để chứng minh $M,O,N$ thẳng hàng.

Vậy $\widehat{MON}=180^{\circ }$ nên $M$, $O$, $N$ thẳng hàng; mà $OM=ON=R$ nên $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Định hướng. Xét ảnh của $A$ và $M$ qua phép đối xứng tâm $O$: vì $O$ là trung điểm $AB$ nên ảnh của $A$ chính là $B$; gọi $M^{\prime }$ là ảnh của $M$, ta sẽ chỉ ra $M^{\prime }$ chính là $N$.

Vậy $N$ chính là điểm đối xứng với $M$ qua $O$, tức $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là gốc, $AB$ trùng trục hoành, biểu diễn $M$, $N$ theo góc ở tâm để tính trực tiếp $AM$, $BN$ và kiểm tra $N$ đối diện $M$ qua $O$.

Vậy $N=N^{\prime }$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$, tức $O$ là trung điểm $MN$.

Nhận xét. Cách 3 xác nhận bằng công thức lượng giác đúng kết quả đã có ở hai cách hình học.