Bài 1 · Bài 5.6★★★Trang 59— Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn nhờ hai góc vuông cùng nhìn một đoạn; so sánh dây với đường kính
Bài 5.6 (trang 59). Cho tam giác nhọn , hai đường cao và cắt nhau tại . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. b) .
Kiến thức cần nhớ
- Nếu hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông thì cả hai điểm đó, cùng hai đầu đoạn thẳng, nằm trên đường tròn đường kính là đoạn thẳng ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
🧠 Phân tích tư duy
Hai đường cao và cho ngay hai góc vuông , cả hai đều nhìn đoạn — đúng dấu hiệu của Ví dụ 1 (Bài 14): điểm nhìn một đoạn dưới góc vuông thì thuộc đường tròn đường kính đoạn đó. Khi đã có bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính , đoạn chỉ là một dây (không đi qua tâm vì không thẳng hàng với ), nên theo đúng định lí đường kính là dây lớn nhất. Bẫy là quên chứng minh không phải đường kính trước khi áp dụng định lí.
1Cách 1. Dùng đường tròn đường kính AH (như Ví dụ 1, Bài 14)
Định hướng. Nhận ra cùng nhìn dưới góc vuông để đưa cả bốn điểm về một đường tròn đường kính , rồi so sánh dây với đường kính đó.
Vì tại nên ; vì tại nên .
Gọi là trung điểm . Trong tam giác vuông : ; trong tam giác vuông : .
Do đó , tức bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính .
là một dây của đường tròn này; vì không thẳng hàng với (tam giác nhọn nên và không suy biến) nên không đi qua , tức không phải đường kính.
Theo định lí đường kính là dây cung lớn nhất: .
Gọi là trung điểm . Trong tam giác vuông : ; trong tam giác vuông : .
Do đó , tức bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính .
là một dây của đường tròn này; vì không thẳng hàng với (tam giác nhọn nên và không suy biến) nên không đi qua , tức không phải đường kính.
Theo định lí đường kính là dây cung lớn nhất: .
Vậy a) cùng thuộc đường tròn đường kính ; b) .
2Cách 2. Dùng toạ độ
Định hướng. Kiểm tra bốn điểm cách đều trung điểm bằng công thức khoảng cách, không cần vẽ thêm đường tròn phụ.
Đặt hệ trục sao cho , với (chọn trục tung theo phương ).
Vì nên nằm trên đường tròn đường kính : gọi là trung điểm , ta có (tam giác vuông tại có trung tuyến ứng cạnh huyền).
Tương tự từ suy ra .
Vậy : bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm bán kính .
Vì không đi qua (do không đối xứng nhau qua khi tam giác không cân) nên không là đường kính, suy ra .
Vì nên nằm trên đường tròn đường kính : gọi là trung điểm , ta có (tam giác vuông tại có trung tuyến ứng cạnh huyền).
Tương tự từ suy ra .
Vậy : bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm bán kính .
Vì không đi qua (do không đối xứng nhau qua khi tam giác không cân) nên không là đường kính, suy ra .
Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: đồng viên và .
3Cách 3. Dùng lượng giác với bán kính đường tròn ngoại tiếp
Định hướng. Biểu diễn cả và theo bán kính của đường tròn ngoại tiếp và góc , rồi so sánh hai biểu thức.
Gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Theo một hệ thức quen thuộc, khoảng cách từ đỉnh đến trực tâm là .
Xét tam giác và tam giác : vì thuộc đường tròn đường kính (đã chứng minh ở câu a) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung trong đường tròn đó, và góc ngoài của tứ giác nội tiếp ), dẫn tới tam giác đồng dạng tam giác theo tỉ số , nên .
Theo định lí sin trong tam giác : , suy ra .
So sánh: .
Vì tam giác nhọn nên , do đó , tức .
Xét tam giác và tam giác : vì thuộc đường tròn đường kính (đã chứng minh ở câu a) nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung trong đường tròn đó, và góc ngoài của tứ giác nội tiếp ), dẫn tới tam giác đồng dạng tam giác theo tỉ số , nên .
Theo định lí sin trong tam giác : , suy ra .
So sánh: .
Vì tam giác nhọn nên , do đó , tức .
Vậy , khớp hai cách trên.
Nhận xét. Cách 3 cho công thức tường minh , mạnh hơn hẳn hai cách trên vì tính được đúng tỉ lệ giữa hai đoạn, không chỉ so sánh lớn bé.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhận ra ngay cùng nhìn dưới góc vuông (đúng mẫu Ví dụ 1 của Bài 14) rồi áp dụng thẳng định lí đường kính là dây lớn nhất, không cần toạ độ hay đường tròn phụ thứ hai.
Đáp số. a) Bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính . b) .
Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chứng minh xong câu a rồi kết luận ngay mà không giải thích vì sao không thể là đường kính — cần chỉ rõ không thẳng hàng với để khẳng định chỉ là dây thường.
🚀 Mở rộng. Đường tròn đường kính trong bài này (đi qua ) chính là một phần của "đường tròn Euler" (đường tròn chín điểm) quen thuộc ở chương trình nâng cao — nó còn đi qua trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn nối trực tâm với đỉnh.
