Chương V. Đường tròn

Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 5.6★★★Trang 59— Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn nhờ hai góc vuông cùng nhìn một đoạn; so sánh dây với đường kính

Bài 5.6 (trang 59). Cho tam giác nhọn

A B C

, hai đường cao

B D

và

C E

cắt nhau tại

H

. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm

A, E, H, D

cùng thuộc một đường tròn. b)

A H > D E

Kiến thức cần nhớ

Nếu hai điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông thì cả hai điểm đó, cùng hai đầu đoạn thẳng, nằm trên đường tròn đường kính là đoạn thẳng ấy.
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường cao

B D ⊥ A C

và

C E ⊥ A B

cho ngay hai góc vuông

A E H = A D H = 90°

, cả hai đều nhìn đoạn

A H

— đúng dấu hiệu của Ví dụ 1 (Bài 14): điểm nhìn một đoạn dưới góc vuông thì thuộc đường tròn đường kính đoạn đó. Khi đã có bốn điểm

A, E, H, D

cùng thuộc đường tròn đường kính

A H

, đoạn

D E

chỉ là một dây (không đi qua tâm vì

D, E, H

không thẳng hàng với

A

), nên

D E < A H

theo đúng định lí đường kính là dây lớn nhất. Bẫy là quên chứng minh

D E

không phải đường kính trước khi áp dụng định lí.

1Cách 1. Dùng đường tròn đường kính AH (như Ví dụ 1, Bài 14)

Định hướng. Nhận ra $E, D$ cùng nhìn $A H$ dưới góc vuông để đưa cả bốn điểm về một đường tròn đường kính $A H$ , rồi so sánh dây $D E$ với đường kính đó.

Vì

C E ⊥ A B

tại

E

nên

A E H = 90°

; vì

B D ⊥ A C

tại

D

nên

A D H = 90°

.
Gọi

I

là trung điểm

A H

. Trong tam giác vuông

A E H

I E = \frac{A H}{2}

; trong tam giác vuông

A D H

I D = \frac{A H}{2}

.
Do đó

I A = I E = I H = I D = \frac{A H}{2}

, tức bốn điểm

A, E, H, D

cùng thuộc đường tròn tâm

I

đường kính

A H

D E

là một dây của đường tròn này; vì

D, E, H

không thẳng hàng với

A

(tam giác nhọn nên

D \neq = E

và không suy biến) nên

D E

không đi qua

I

, tức

D E

không phải đường kính.
Theo định lí đường kính là dây cung lớn nhất:

D E < A H

Vậy a) $A, E, H, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $A H$ ; b) $A H > D E$ .

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Kiểm tra bốn điểm cách đều trung điểm $A H$ bằng công thức khoảng cách, không cần vẽ thêm đường tròn phụ.

Đặt hệ trục sao cho

A (0; 0)

H (0; h)

với

h = A H > 0

(chọn trục tung theo phương

A H

).
Vì

A E H = 90°

nên

E

nằm trên đường tròn đường kính

A H

: gọi

I (0; \frac{h}{2})

là trung điểm

A H

, ta có

I E = \frac{h}{2}

(tam giác

A E H

vuông tại

E

có trung tuyến ứng cạnh huyền).
Tương tự từ

A D H = 90°

suy ra

I D = \frac{h}{2}

.
Vậy

I A = I E = I H = I D = \frac{h}{2} = \frac{A H}{2}

: bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm

I

bán kính

\frac{A H}{2}

.
Vì

D E

không đi qua

I

(do

D, E

không đối xứng nhau qua

I

khi tam giác không cân) nên

D E

không là đường kính, suy ra

D E < A H

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $A, E, H, D$ đồng viên và $A H > D E$ .

3Cách 3. Dùng lượng giác với bán kính đường tròn ngoại tiếp

Định hướng. Biểu diễn cả $A H$ và $D E$ theo bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp và góc $A$ , rồi so sánh hai biểu thức.

Gọi

R

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

. Theo một hệ thức quen thuộc, khoảng cách từ đỉnh

A

đến trực tâm

H

là

A H = 2 R cos A

.
Xét tam giác

A D E

và tam giác

A B C

: vì

A, E, H, D

thuộc đường tròn đường kính

A H

(đã chứng minh ở câu a) nên

A D E = A B C

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

A E

trong đường tròn đó, và góc ngoài của tứ giác nội tiếp

B D E C

), dẫn tới tam giác

A D E

đồng dạng tam giác

A B C

theo tỉ số

cos A

, nên

D E = B C \cdot cos A

.
Theo định lí sin trong tam giác

A B C

B C = 2 R sin A

, suy ra

D E = 2 R sin A cos A

.
So sánh:

\frac{D E}{A H} = \frac{2 R sin A cos A}{2 R cos A} = sin A

.
Vì tam giác

A B C

nhọn nên

0° < A < 90°

, do đó

0 < sin A < 1

, tức

D E < A H

Vậy $A H > D E$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 cho công thức tường minh $D E = A H \cdot sin A$ , mạnh hơn hẳn hai cách trên vì tính được đúng tỉ lệ giữa hai đoạn, không chỉ so sánh lớn bé.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhận ra ngay

E, D

cùng nhìn

A H

dưới góc vuông (đúng mẫu Ví dụ 1 của Bài 14) rồi áp dụng thẳng định lí đường kính là dây lớn nhất, không cần toạ độ hay đường tròn phụ thứ hai.

Đáp số. a) Bốn điểm

A, E, H, D

cùng thuộc đường tròn đường kính

A H

. b)

A H > D E

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chứng minh xong câu a rồi kết luận ngay

A H > D E

mà không giải thích vì sao

D E

không thể là đường kính — cần chỉ rõ

D, E, H

không thẳng hàng với

A

để khẳng định

D E

chỉ là dây thường.

🚀 Mở rộng. Đường tròn đường kính

A H

trong bài này (đi qua

A, E, H, D

) chính là một phần của "đường tròn Euler" (đường tròn chín điểm) quen thuộc ở chương trình nâng cao — nó còn đi qua trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn nối trực tâm với đỉnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 5.7★★★Trang 59— Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ trục đối xứng; so sánh ba đoạn thẳng bằng Pythagore và đường kính là dây lớn nhất

Bài 5.7 (trang 59). Cho tam giác cân

A B C

(

A B = A C

). Gọi

(O)

là đường tròn đi qua ba điểm

A, B, C

và

E

là điểm trên cung nhỏ

B C

sao cho cung

B E

bằng cung

E C

. a) Chứng minh rằng ba điểm

A, O, E

thẳng hàng. b) Gọi

H

là chân đường cao hạ từ

A

xuống

B C

. Chứng minh rằng

A H < A B < A E

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân có trục đối xứng là đường trung trực của cạnh đáy, đồng thời là đường phân giác, đường cao, đường trung tuyến từ đỉnh cân.
Cung bằng nhau thì dây căng cung tương ứng cũng bằng nhau, và ngược lại.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền; trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác cân tại

A

có

A B = A C

là dấu hiệu để đường thẳng

A O

(nối đỉnh cân với tâm đường tròn ngoại tiếp) chính là trục đối xứng của tam giác, tức trung trực của

B C

. Điểm

E

với cung

B E =

cung

E C

cũng nằm trên chính trục đối xứng đó (vì cung bằng nhau ứng với dây bằng nhau,

E

cách đều

B, C

), nên

A, O, E

cùng nằm trên một đường thẳng — trung trực của

B C

. Với câu b,

H

(chân đường cao từ

A

) cũng nằm trên trục này, nên bốn điểm

A, H, O, E

thẳng hàng, và việc so sánh

A H, A B, A E

quy về so sánh cạnh góc vuông với cạnh huyền (Pythagore) rồi dây với đường kính

A E

1Cách 1. Dùng trục đối xứng của tam giác cân

Định hướng. Chỉ ra $A O$ và $A E$ cùng là trung trực của $B C$ do tính đối xứng, rồi so sánh các đoạn bằng Pythagore và định lí đường kính là dây lớn nhất.

a) Vì

A B = A C

nên

A

nằm trên trung trực của

B C

. Vì

O B = O C

(bán kính) nên

O

cũng nằm trên trung trực của

B C

.
Vì cung

B E =

cung

E C

nên dây

E B = E C

, do đó

E

cũng nằm trên trung trực của

B C

.
Vậy

A, O, E

cùng nằm trên trung trực của

B C

, tức ba điểm thẳng hàng.
b) Vì

H

là chân đường cao từ

A

xuống

B C

và tam giác cân tại

A

nên

A H

cũng chính là trung trực của

B C

, tức

H

cũng nằm trên đường thẳng

A O E

.
Trong tam giác vuông

A B H

(vuông tại

H

A H < A B

(cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền).
Vì

A, O, E

thẳng hàng và

O

là tâm nên

A E

đi qua tâm, tức

A E

là một đường kính của

(O)

; mà

A B

chỉ là dây không đi qua tâm (do

B \neq = E

), nên theo định lí đường kính là dây lớn nhất:

A B < A E

Vậy a) $A, O, E$ thẳng hàng; b) $A H < A B < A E$ .

2Cách 2. Dùng góc nội tiếp và góc ở tâm bằng nhau

Định hướng. Dùng số đo cung để chỉ ra $B A E = C A E$ , tức $A E$ là phân giác góc $A$ , mà tam giác cân thì phân giác góc đỉnh trùng đường trung trực cạnh đáy.

a) Vì cung

B E =

cung

E C

nên góc nội tiếp chắn hai cung đó bằng nhau:

B A E = C A E

(góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau thì bằng nhau).
Do đó

A E

là tia phân giác của

B A C

.
Vì tam giác

A B C

cân tại

A

nên tia phân giác của

B A C

cũng chính là đường trung trực của

B C

, mà

O

(tâm đường tròn ngoại tiếp, cách đều

B, C

) cũng nằm trên trung trực này.
Vậy

A

O

E

cùng nằm trên trung trực của

B C

: ba điểm thẳng hàng.
b) Lập luận như Cách 1:

H

cũng nằm trên đường thẳng đó; Pythagore cho

A H < A B

;

A E

là đường kính (qua tâm) nên

A B < A E

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $A H < A B < A E$ .

3Cách 3. Dùng toạ độ

Định hướng. Vì $A B = A C$ , chọn trung trực của $B C$ làm trục tung; các điểm $O$ , $E$ , $H$ đều tự động có hoành độ $0$ nhờ tính chất riêng của từng điểm, không cần giả định trước.

Vì

A B = A C

nên

A

nằm trên trung trực của

B C

; chọn trung trực đó làm trục tung, gốc

I

là trung điểm

B C

B (- p; 0)

C (p; 0)

(

p > 0

A (0; y_{A})

với

y_{A} > 0

.
Tâm

O

cách đều

B, C

nên

O

cũng nằm trên trục tung:

O (0; y_{O})

, bán kính

R = O A = O B

.
Vì cung

B E =

cung

E C

nên dây

E B = E C

, tức

E

cách đều

B, C

, nên

E

cũng nằm trên trục tung:

E (0; y_{E})

; vậy

A (0; y_{A})

O (0; y_{O})

E (0; y_{E})

cùng hoành độ

0

— ba điểm thẳng hàng trên trục tung.

H

là chân đường vuông góc từ

A

xuống

B C

(trục hoành), nên

H (0; 0) \equiv I

, cũng có hoành độ

0

.
Trong tam giác vuông

A B H

(

A H

dọc trục tung,

B H = p

nằm ngang):

A B = p^{2} + A H^{2} > A H

E

là giao điểm thứ hai của tia

A O

với đường tròn nên

A E

là đường kính,

A E = 2 R

;

A B

là dây không qua tâm (vì

B \neq = E

) nên

A B < 2 R = A E

Vậy $A H < A B < A E$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ: $A H, A B, A E$ là ba đoạn trên cùng một đường thẳng đi qua tâm, độ dài tăng dần từ chân đường cao tới điểm đối tâm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

A H

A O

A E

đều nằm trên trục đối xứng của tam giác cân, rồi chỉ cần một câu Pythagore và một câu định lí đường kính là dây lớn nhất, không cần toạ độ hay góc nội tiếp.

Đáp số. a)

A, O, E

thẳng hàng (cùng nằm trên trung trực của

B C

). b)

A H < A B < A E

Sai lầm thường gặp. Hay quên chứng minh

A E

đi qua tâm (tức là đường kính) trước khi so sánh

A B < A E

— nếu không chỉ ra

O

nằm giữa

A

và

E

thì không thể áp dụng định lí đường kính là dây lớn nhất.

🚀 Mở rộng. Điểm

E

(cung

B E =

cung

E C

) chính là điểm chính giữa cung nhỏ

B C

— đây là vị trí đặc biệt xuất hiện lại ở các bài về tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp tam giác ở chương trình nâng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 5.8★★Trang 59— Chứng minh đường nối tâm với trung điểm dây vuông góc với dây; tính khoảng cách tâm — dây

Bài 5.8 (trang 59). Gọi

H

là trung điểm của dây

A B

không đi qua tâm của đường tròn

(O)

. a) Chứng minh rằng

O H ⊥ A B

. b) Tính khoảng cách từ

O

đến

A B

, biết rằng

A B = 8 cm

và bán kính của

(O)

bằng

5 cm

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

H

là trung điểm

A B

và

O A = O B = R

là dấu hiệu để nhận ra tam giác

O A B

cân tại

O

, nên trung tuyến

O H

của tam giác này đồng thời là đường cao, cho ngay

O H ⊥ A B

. Câu b tận dụng luôn tam giác vuông

O H A

vừa dựng: biết cạnh huyền

O A = R

và cạnh góc vuông

A H = \frac{A B}{2}

, dùng Pythagore ra

O H

. Bẫy là quên giả thiết "

A B

không đi qua tâm" — nếu

A B

là đường kính thì

H \equiv O

, không có tam giác để xét.

1Cách 1. Dùng tính chất tam giác cân

Định hướng. Nhận ra tam giác $O A B$ cân tại $O$ để suy ra trung tuyến $O H$ cũng là đường cao.

a) Vì

O A = O B = R

(bán kính) nên tam giác

O A B

cân tại

O

H

là trung điểm

A B

nên

O H

là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy

A B

của tam giác cân đó.
Trong tam giác cân, trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, nên

O H ⊥ A B

.
b) Trong tam giác vuông

O H A

A H = \frac{A B}{2} = 4 cm

O A = R = 5 cm

O H = O A^{2} - A H^{2} = 5^{2} - 4^{2} = 9 = 3 cm

Vậy a) $O H ⊥ A B$ ; b) khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng $3 cm$ .

2Cách 2. Phản chứng

Định hướng. Giả sử $O H$ không vuông góc $A B$ , kẻ đường vuông góc thật sự rồi chỉ ra mâu thuẫn với giả thiết $H$ là trung điểm.

a) Giả sử

O H

không vuông góc với

A B

. Kẻ

O K ⊥ A B

tại

K

(

K \neq = H

).
Vì đường kính đi qua

K

vuông góc với dây

A B

nên

K

là trung điểm của

A B

(tính chất đã học ở mục 1, Bài 14).
Nhưng theo giả thiết,

H

cũng là trung điểm của

A B

, mà trung điểm của một đoạn thẳng là duy nhất, nên

K \equiv H

— mâu thuẫn với

K \neq = H

đã giả sử.
Vậy

O H ⊥ A B

.
b) Tính như Cách 1:

O H = O A^{2} - A H^{2} = 25 - 16 = 3 cm

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hệ trục với $H$ là gốc, $A B$ nằm trên trục hoành, rồi kiểm tra vectơ $O H$ vuông góc $A B$ bằng toạ độ.

Đặt

H (0; 0)

A (- 4; 0)

B (4; 0)

(vì

A H = H B = 4 cm

). Gọi

O (x_{0}; y_{0})

.
Vì

O A = O B = 5

(x_{0} + 4)^{2} + y_{0}^{2} = (x_{0} - 4)^{2} + y_{0}^{2} = 25

.
Từ hai phương trình đầu suy ra

x_{0} = 0

(khai triển và rút gọn triệt tiêu

8 x_{0} = - 8 x_{0}

).
Vậy

O (0; y_{0})

nằm trên trục tung, tức đường thẳng

O H

(nối

O (0; y_{0})

và

H (0; 0)

) chính là trục tung, vuông góc với trục hoành

A B

.
Thay

x_{0} = 0

vào

16 + y_{0}^{2} = 25

y_{0}^{2} = 9

y_{0} = \pm 3

, nên

O H = ∣ y_{0} ∣ = 3 cm

Vậy a) $O H ⊥ A B$ ; b) $O H = 3 cm$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chứng minh vuông góc và tính khoảng cách trong cùng một hệ phương trình, không cần tách hai bước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một câu 'tam giác cân, trung tuyến đồng thời đường cao' cho ngay

O H ⊥ A B

, rồi Pythagore một dòng ra khoảng cách — nhanh hơn hẳn phản chứng hay toạ độ.

Đáp số. a)

O H ⊥ A B

. b) Khoảng cách từ

O

đến

A B

bằng

3 cm

Sai lầm thường gặp. Có bạn áp dụng luôn 'đường kính vuông góc dây thì qua trung điểm' (chiều thuận) mà không nhận ra đề bài yêu cầu chứng minh chiều ngược lại ('qua trung điểm thì vuông góc') — hai chiều của tính chất này cần hai cách lập luận khác nhau (tam giác cân hoặc phản chứng), không thể suy ra chiều này từ chiều kia một cách hiển nhiên.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với bán kính

R

và dây

A B = 2 a

bất kì, khoảng cách từ tâm đến dây luôn là

R^{2} - a^{2}

— công thức này lặp lại xuyên suốt các bài 5.6–5.7 của Bài 14.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 5.9★Trang 59— Tính góc ở tâm giữa hai kim đồng hồ tại các thời điểm tròn giờ

Bài 5.9 (trang 59). Kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào mỗi thời điểm sau: a)

3

giờ? b)

6

giờ? c)

8

giờ? d)

11

giờ?

Kiến thức cần nhớ

Mặt đồng hồ chia thành $12$ khoảng bằng nhau, mỗi khoảng ứng với góc ở tâm $\frac{360°}{12} = 30°$ .
Ở đúng mỗi giờ (không có phút lẻ), kim phút luôn chỉ đúng vạch số $12$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ở đúng mỗi giờ, kim phút luôn ở vị trí số

12

, nên góc giữa hai kim chính là góc giữa vạch số

12

và vạch chỉ giờ tương ứng — chỉ cần đếm số khoảng (

30°

mỗi khoảng) giữa hai vạch đó. Bẫy của đề là ở câu c), d): khi số khoảng đếm được vượt quá

6

(tức góc thô vượt

180°

), phải lấy

360°

trừ đi để ra góc thực tế giữa hai kim (góc ở tâm nhỏ hơn hoặc bằng

180°

1Cách 1. Đếm số khoảng chia rồi nhân với 30°

Định hướng. Ở đúng giờ, kim phút chỉ số $12$ ; đếm số khoảng từ vạch $12$ đến vạch chỉ giờ rồi nhân với $30°$ , lấy phần bù nếu vượt $180°$ .

3

giờ: kim giờ cách kim phút

3

khoảng

\Rightarrow

góc

= 3 \times 30° = 90°

.
b)

6

giờ: kim giờ cách kim phút

6

khoảng

\Rightarrow

góc

= 6 \times 30° = 180°

.
c)

8

giờ: kim giờ cách kim phút

8

khoảng theo chiều thuận, tương ứng góc thô

8 \times 30° = 240°

; vì

240° > 180°

, góc ở tâm thực tế là

360° - 240° = 120°

.
d)

11

giờ: kim giờ cách kim phút

11

khoảng, góc thô

11 \times 30° = 330°

; góc ở tâm thực tế

360° - 330° = 30°

Vậy a) $90°$ ; b) $180°$ ; c) $120°$ ; d) $30°$ .

2Cách 2. Đếm theo chiều ngắn hơn ngay từ đầu

Định hướng. Với mỗi thời điểm, chọn ngay chiều đếm có số khoảng nhỏ hơn (tối đa $6$ khoảng) để khỏi phải trừ lại.

3

giờ: từ số

12

đến số

3

có

3

khoảng (chiều thuận đã là ngắn nhất)

\Rightarrow 3 \times 30° = 90°

.
b)

6

giờ: từ số

12

đến số

6

, hai chiều đều

6

khoảng

\Rightarrow 6 \times 30° = 180°

.
c)

8

giờ: từ số

12

đến số

8

theo chiều ngược (qua số

11, 10, 9

) chỉ có

12 - 8 = 4

khoảng

\Rightarrow 4 \times 30° = 120°

.
d)

11

giờ: từ số

12

đến số

11

theo chiều ngược chỉ có

12 - 11 = 1

khoảng

\Rightarrow 1 \times 30° = 30°

Vậy a) $90°$ ; b) $180°$ ; c) $120°$ ; d) $30°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức tổng quát

Định hướng. Lập công thức tổng quát cho góc giữa hai kim ở đúng $n$ giờ ( $n = 1, \dots, 12$ ), rồi thay số.

Ở đúng

n

giờ, góc thô giữa kim giờ và kim phút (chỉ số

12

) là

30 n

độ; góc ở tâm thực tế là

g (n) = min (30 n; 360 - 30 n)

.
a)

n = 3

g (3) = min (90; 270) = 90°

.
b)

n = 6

g (6) = min (180; 180) = 180°

.
c)

n = 8

g (8) = min (240; 120) = 120°

.
d)

n = 11

g (11) = min (330; 30) = 30°

Vậy a) $90°$ ; b) $180°$ ; c) $120°$ ; d) $30°$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Công thức $g (n) = min (30 n; 360 - 30 n)$ dùng được ngay cho mọi giờ tròn khác mà không cần đếm lại từng lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chọn ngay chiều đếm ngắn hơn (không quá

6

khoảng) để khỏi phải tính rồi trừ lại từ

360°

, giảm một bước tính so với Cách 1.

Đáp số. a)

90°

. b)

180°

. c)

120°

. d)

30°

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), d), nhiều bạn quên rằng góc ở tâm giữa hai kim luôn được hiểu là góc không vượt quá

180°

, nên dừng lại ở kết quả thô

240°

hoặc

330°

mà quên lấy

360°

trừ đi.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho thời điểm có cả phút lẻ (ví dụ

8

giờ

24

phút), kim giờ không còn đứng đúng vạch số nữa mà lệch thêm

0, 5°

mỗi phút — khi đó phải cộng thêm lượng lệch này trước khi tính góc, đúng như cách tính vận tốc góc ở Bài 5.8 (SGK, trang 90).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5.10★★Trang 59— Tính số đo cung bằng cách cộng, trừ các góc ở tâm liền kề

Bài 5.10 (trang 59). Cho ba điểm

A

B

và

C

nằm trên đường tròn

(O)

sao cho

A O B = 110°

và sđ

A C = 50°

(với

C

nằm trên cung nhỏ

A B

). Tính số đo của cung lớn

B C

Kiến thức cần nhớ

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; số đo cung lớn bằng $360°$ trừ số đo cung nhỏ chung hai mút.
Nếu điểm $C$ nằm trên cung $A B$ thì sđ cung $A B$ = sđ cung $A C$ + sđ cung $C B$ (tính chất cộng cung, giống Nhận xét ở Ví dụ 2–3, Bài 14).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho góc ở tâm

A O B = 110°

(tức sđ cung nhỏ

A B = 110°

) và sđ cung nhỏ

A C = 50°

, với

C

nằm trên cung nhỏ

A B

— dấu hiệu để dùng tính chất cộng cung: cung nhỏ

A B

được chia thành hai cung liền kề

A C

và

C B

bởi điểm

C

ở giữa. Từ đó suy ra ngay cung nhỏ

C B

bằng hiệu hai cung đã biết, rồi lấy

360°

trừ đi để ra cung lớn

B C

theo đúng công thức đã học. Bẫy của đề là nhầm lẫn giữa 'cung nhỏ

B C

' (hiệu hai cung) với 'cung lớn

B C

' (phần bù của cung nhỏ) — đề hỏi đúng cung lớn.

1Cách 1. Cộng cung rồi lấy phần bù với 360°

Định hướng. Dùng tính chất cộng cung để tìm cung nhỏ $B C$ trước, rồi suy ra cung lớn.

Vì

A O B = 110°

nên sđ cung nhỏ

A B = 110°

.
Vì

C

nằm trên cung nhỏ

A B

nên sđ cung

A B

= sđ cung

A C

+ sđ cung

C B

110° = 50° +

sđ cung

C B

.
Suy ra sđ cung nhỏ

C B = 110° - 50° = 60°

.
Cung lớn

B C

là phần còn lại của đường tròn: sđ cung lớn

B C = 360° - 60° = 300°

Vậy số đo cung lớn $B C$ bằng $300°$ .

2Cách 2. Dùng góc ở tâm trực tiếp

Định hướng. Tính trực tiếp góc ở tâm $B O C$ bằng hiệu hai góc ở tâm đã biết, rồi suy ra cung lớn.

Vì

C

nằm trên cung nhỏ

A B

nên tia

O C

nằm giữa hai tia

O A

O B

, do đó

A O B = A O C + C O B

.
Mà

A O C =

sđ cung nhỏ

A C = 50°

và

A O B = 110°

, nên

C O B = 110° - 50° = 60°

.
Góc ở tâm

C O B = 60°

chắn cung nhỏ

B C

, tức sđ cung nhỏ

B C = 60°

.
Sđ cung lớn

B C = 360° - 60° = 300°

Vậy số đo cung lớn $B C$ bằng $300°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính trực tiếp cung lớn bằng tổng hai cung lớn thành phần trừ đi cả vòng

Định hướng. Biểu diễn cung lớn $B C$ trực tiếp qua cung lớn $A B$ và cung nhỏ $A C$ , không cần tính cung nhỏ $B C$ trước.

Vì

C

nằm trên cung nhỏ

A B

nên cung lớn

A B

(đi từ

B

vòng qua phía đối diện tới

A

) không chứa

C

: sđ cung lớn

A B = 360° - 110° = 250°

.
Cung lớn

B C

chính là cung lớn

A B

nối tiếp thêm cung nhỏ

A C

: sđ cung lớn

B C =

sđ cung lớn

A B +

sđ cung nhỏ

A C = 250° + 50° = 300°

Vậy số đo cung lớn $B C$ bằng $300°$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều quy về phép cộng — trừ cung liền kề, chỉ khác thứ tự nhóm các cung, giúp kiểm tra chéo kết quả khi làm bài thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng cung để ra cung nhỏ

B C

trước rồi lấy

360°

trừ đi là thao tác ngắn nhất, ít bước tính nhất trong ba cách.

Đáp số. Số đo cung lớn

B C

bằng

300°

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm lẫn dừng lại ở kết quả cung NHỎ

B C = 60°

rồi ghi luôn là đáp số, quên đề hỏi cung LỚN

B C

(phải lấy

360°

trừ đi mới đúng).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vị trí

C

sang cung lớn

A B

(không còn nằm giữa

A, B

trên cung nhỏ) thì công thức cộng cung sẽ đổi dạng khác — cách 3 (cộng cung lớn với cung nhỏ liền kề) là kĩ thuật tổng quát dùng được cho mọi cách sắp xếp ba điểm trên đường tròn.

Mở bài này trong app ↗