Chương V. Đường tròn

Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Ví dụ 1★★★Trang 87— Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn nhờ tam giác vuông; so sánh dây và đường kính

Ví dụ 1 (trang 87). Tứ giác lồi

A B C D

có

B A C = B D C = 90°

. Chứng minh bốn điểm

A

B

C

D

cùng nằm trên một đường tròn và

A D < B C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc vuông

B A C

và

B D C

cùng nhìn đoạn

B C

— dấu hiệu quen thuộc của tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên nghĩ ngay tới việc gọi

O

là trung điểm

B C

rồi chỉ ra

A

D

cách

O

đúng một khoảng

\frac{B C}{2}

. Khi bốn điểm đã cùng thuộc đường tròn tâm

O

đường kính

B C

, việc so sánh

A D

với

B C

chính là so sánh một dây bất kì với đường kính, dùng ngay định lí vừa học ở mục 1. Bẫy của đề là dễ quên chứng minh riêng cho

D

— phải lặp lại đúng lập luận với tam giác

D B C

chứ không suy diễn từ kết quả của

A

1Cách 1. Dùng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền

Định hướng. Hai góc vuông $B A C$ , $B D C$ cùng nhìn đoạn $B C$ gợi ý gọi $O$ là trung điểm $B C$ rồi dùng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền cho từng tam giác vuông.

Gọi

O

là trung điểm của đoạn

B C

.
Tam giác

A B C

vuông tại

A

(vì

B A C = 90°

) nên đường trung tuyến

A O

bằng nửa cạnh huyền:

O A = \frac{B C}{2}

.
Tam giác

D B C

vuông tại

D

(vì

B D C = 90°

) nên đường trung tuyến

D O

bằng nửa cạnh huyền:

O D = \frac{B C}{2}

.
Do đó

O A = O B = O C = O D = \frac{B C}{2}

, tức bốn điểm

A, B, C, D

cùng thuộc đường tròn tâm

O

bán kính

\frac{B C}{2}

.
Vì

A, D

nằm cùng phía so với đường thẳng

B C

nên đoạn

A D

không đi qua

O

, tức

A D

không phải đường kính của đường tròn này.
Theo định lí đường kính là dây cung lớn nhất,

A D < B C

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$ , và $A D < B C$ .

2Cách 2. Dùng toạ độ và định lí Pythagore

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là trung điểm $B C$ làm gốc, dùng định lí Pythagore đảo để kiểm tra bốn điểm cách đều $O$ .

Chọn hệ trục

O x y

với

O

là trung điểm

B C

, trục hoành trùng đường thẳng

B C

; đặt

B (- a; 0)

C (a; 0)

với

a = \frac{B C}{2}

.
Gọi

A (x_{1}; y_{1})

. Vì

B A C = 90°

, áp dụng định lí Pythagore đảo cho tam giác

A B C

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

.
Thay

A B^{2} = (x_{1} + a)^{2} + y_{1}^{2}

A C^{2} = (x_{1} - a)^{2} + y_{1}^{2}

B C^{2} = 4 a^{2}

vào và rút gọn được

x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = a^{2}

, tức

O A = a

.
Lập luận tương tự với

D (x_{2}; y_{2})

từ

B D C = 90°

cho

O D = a

.
Vậy

O A = O B = O C = O D = a = \frac{B C}{2}

; vì

A, D

cùng phía nên

A D

không đi qua

O

, suy ra

A D < 2 a = B C

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $O$ và $A D < B C$ .

3Cách 3. Phản chứng, dùng tính duy nhất giao điểm

Định hướng. Giả sử $A$ không thuộc đường tròn đường kính $B C$ , chỉ ra một điểm $A^{'}$ trùng $A$ để suy ra mâu thuẫn.

Gọi

(O)

là đường tròn tâm

O

(trung điểm

B C

), bán kính

\frac{B C}{2}

.
Giả sử

A \in / (O)

. Gọi

A_{1}

là giao điểm thứ hai của đường thẳng

B A

với

(O)

(khác

B

).
Vì

A_{1} \in (O)

nên trung tuyến

A_{1} O

của tam giác

A_{1} B C

bằng nửa cạnh

B C

, suy ra tam giác

A_{1} B C

vuông tại

A_{1}

, tức

A_{1} C ⊥ B A

.
Theo giả thiết

A C ⊥ B A

(vì

B A C = 90°

); mà qua điểm

C

chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với

B A

, nên hai đường thẳng

A_{1} C

và

A C

trùng nhau, kéo theo

A_{1} \equiv A

— mâu thuẫn với giả sử

A \in / (O)

.
Vậy

A \in (O)

; lập luận hoàn toàn tương tự cho

D

từ

B D C = 90°

.
Vì

A D

không đi qua

O

nên theo định lí đường kính là dây lớn nhất,

A D < B C

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$ , và $A D < B C$ .

Nhận xét. Ba cách tuy khác công cụ (trung tuyến, toạ độ, phản chứng) nhưng cùng quy về một bản chất: điểm nhìn đoạn $B C$ dưới góc vuông thì cách trung điểm $B C$ đúng $\frac{B C}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền, không phải dựng hệ trục hay biện luận phản chứng, lại tận dụng ngay kết quả

O A = O B = O C = O D = \frac{B C}{2}

để so sánh

A D

với

B C

ở phần sau.

Đáp số. Bốn điểm

A, B, C, D

cùng thuộc đường tròn tâm

O

(trung điểm

B C

), bán kính

\frac{B C}{2}

; và

A D < B C

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ chứng minh

A

thuộc đường tròn tâm

O

rồi mặc định

D

cũng thuộc mà không xét lại tam giác

D B C

— phải lặp lại đúng lập luận cho tam giác vuông

D B C

mới đủ chặt chẽ. Một lỗi khác là kết luận vội

A D = B C

vì cùng là dây của đường tròn, quên rằng chỉ đường kính mới có độ dài lớn nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hơn: nếu một đa giác lồi có mọi đỉnh (trừ

B, C

) đều nhìn đoạn

B C

dưới góc vuông thì toàn bộ đỉnh đó, cùng

B

C

, đều nằm trên một đường tròn duy nhất đường kính

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 87— Ứng dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất đường kính là dây lớn nhất

Luyện tập 1 (trang 87). Cho đường tròn đường kính

B C

. Chứng minh rằng với điểm

A

bất kì (khác

B

và

C

) nằm trên đường tròn, ta đều có

B C < A B + A C < 2 B C

Kiến thức cần nhớ

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác).
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
Nếu $A$ thuộc đường tròn đường kính $B C$ và $A$ khác $B, C$ thì tam giác $A B C$ vuông tại $A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

A

nằm trên đường tròn đường kính

B C

và

A

khác

B, C

— đủ điều kiện để có tam giác

A B C

thật sự (không suy biến) với

B C

là một cạnh, nên nghĩ ngay tới bất đẳng thức tam giác cho vế trái. Vế phải cần so sánh

A B

A C

với

B C

— vì

A B

A C

chỉ là dây (không đi qua tâm do

A, B, C

không thẳng hàng), định lí 'đường kính là dây lớn nhất' vừa học cho ngay

A B < B C

A C < B C

. Bẫy là quên xét dấu bằng: vì

A, B, C

không thẳng hàng nên bất đẳng thức tam giác ở đây phải chặt, không có dấu bằng.

1Cách 1. Bất đẳng thức tam giác và đường kính là dây lớn nhất

Định hướng. Tách bất đẳng thức kép thành hai bất đẳng thức: một dùng bất đẳng thức tam giác, một dùng định lí đường kính là dây lớn nhất.

Vì

A, B, C

không thẳng hàng (do

A

nằm trên đường tròn, khác

B, C

) nên

A B C

là một tam giác thật sự.
Theo bất đẳng thức tam giác:

A B + A C > B C

.
Vì

A \neq = B, C

và

A, B, C

không thẳng hàng nên

A B

A C

đều là dây không đi qua tâm; theo định lí đường kính là dây lớn nhất:

A B < B C

và

A C < B C

.
Cộng hai bất đẳng thức:

A B + A C < B C + B C = 2 B C

Vậy $B C < A B + A C < 2 B C$ .

2Cách 2. Dùng định lí Pythagore và bất đẳng thức Cô-si

Định hướng. Vì $B C$ là đường kính nên $B A C = 90°$ , đưa bài toán về đại số với $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ .

Vì

A

thuộc đường tròn đường kính

B C

nên tam giác

A B C

vuông tại

A

, do đó

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

(A B + A C)^{2} = A B^{2} + A C^{2} + 2 A B \cdot A C = B C^{2} + 2 A B \cdot A C > B C^{2}

(vì

A B, A C > 0

), suy ra

A B + A C > B C

.
Theo bất đẳng thức Cô-si:

2 A B \cdot A C \leq A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

, nên

(A B + A C)^{2} \leq 2 B C^{2} < 4 B C^{2}

, suy ra

A B + A C < 2 B C

Vậy $B C < A B + A C < 2 B C$ .

3Cách 3. Dùng lượng giác

Định hướng. Đặt góc nhọn $A B C = β$ trong tam giác vuông tại $A$ , biểu diễn $A B$ , $A C$ theo $B C$ và $β$ .

Vì tam giác

A B C

vuông tại

A

với

A B C = β \in (0°; 90°)

nên

A B = B C cos β

A C = B C sin β

A B + A C = B C (cos β + sin β) = B C 2 sin (β + 45°)

.
Vì

β \in (0°; 90°)

nên

β + 45° \in (45°; 135°)

, do đó

sin (β + 45°) \in (\frac{2}{2}; 1]

.
Suy ra

A B + A C \in (B C; B C 2]

, mà

B C 2 < 2 B C

Vậy $B C < A B + A C < 2 B C$ .

Nhận xét. Cách 3 cho cận trên chặt hơn hẳn: $A B + A C \leq B C 2$ , dấu bằng khi $β = 45°$ (tam giác vuông cân tại $A$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần hai kiến thức nền (bất đẳng thức tam giác, đường kính là dây lớn nhất) đã học ngay trong bài, trình bày hai dòng là xong; Cách 2, 3 tuy chặt hơn nhưng dài và cần thêm Pythagore/lượng giác.

Đáp số.

B C < A B + A C < 2 B C

với mọi điểm

A

khác

B, C

trên đường tròn đường kính

B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

A B \leq B C

A C \leq B C

(có dấu bằng) rồi cộng lại; vì

A \neq = B, C

nên

A B, A C

không thể là đường kính, dấu bằng không xảy ra — phải giữ bất đẳng thức chặt "

<

" xuyên suốt.

🚀 Mở rộng. Có thể chứng minh chặt hơn:

B C < A B + A C \leq B C 2

, dấu bằng xảy ra khi

A

là điểm chính giữa một trong hai nửa đường tròn (tam giác

A B C

vuông cân tại

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 2★Trang 89— Nhận biết góc ở tâm và cung tương ứng với các điểm trên đường tròn

Ví dụ 2 (trang 89). Cho ba điểm

A

B

và

C

thuộc đường tròn

(O)

như Hình 5.10.
a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm

A

B

C

.
b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm

A

B

C

Kiến thức cần nhớ

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.
Hai điểm thuộc một đường tròn luôn chia đường tròn thành hai cung, mỗi cung nhận hai điểm đó làm hai mút.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu liệt kê theo đúng định nghĩa vừa học — dấu hiệu là cụm 'tìm các góc ở tâm', 'tìm các cung', nên việc cần làm chỉ là ghép từng cặp trong ba điểm

A, B, C

với tâm

O

(câu a) và ghép từng cặp điểm để chỉ ra hai cung mà cặp đó chia đường tròn thành (câu b). Bẫy của đề là dễ bỏ sót cung lớn: mỗi cặp điểm luôn cho hai cung (nhỏ và lớn), không phải một.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo hình vẽ

Định hướng. Đọc trực tiếp trên hình: mỗi cặp điểm nối với $O$ cho một góc ở tâm; mỗi cặp điểm chia đường tròn thành một cung nhỏ và một cung lớn.

a) Ba cặp điểm

(A, B)

(B, C)

(C, A)

nối với

O

cho ba góc ở tâm:

A O B

B O C

C O A

.
b) Cặp

A, B

: cung nhỏ

A B

(không chứa

C

) và cung lớn

A C B

(chứa

C

).
Cặp

A, C

: cung nhỏ

A C

(không chứa

B

) và cung lớn

A B C

(chứa

B

).
Cặp

B, C

: cung nhỏ

B C

(không chứa

A

) và cung lớn

B A C

(chứa

A

Vậy có ba góc ở tâm và sáu cung như trên.

2Cách 2. Đếm bằng tổ hợp trước khi liệt kê

Định hướng. Đếm số cặp điểm bằng công thức tổ hợp trước để chắc chắn không bỏ sót góc hay cung nào.

Số cặp điểm chọn từ ba điểm

A, B, C

là

C_{3}^{2} = 3

cặp:

(A, B)

(B, C)

(C, A)

.
Mỗi cặp cho đúng một góc ở tâm

\Rightarrow

có

3

góc ở tâm:

A O B, B O C, C O A

.
Mỗi cặp cho đúng hai cung (nhỏ và lớn)

\Rightarrow

có

3 \times 2 = 6

cung:

A B, A C B, A C, A B C, B C, B A C

Vậy có đúng $3$ góc ở tâm và $6$ cung, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Phân loại theo điểm thứ ba nằm trên cung nào

Định hướng. Với mỗi cặp mút, dùng vị trí của điểm thứ ba để gọi tên đúng cung nhỏ, cung lớn.

Xét cặp mút

A, B

: điểm

C

nằm trên một trong hai cung mà

A, B

tạo ra; cung không chứa

C

gọi là cung nhỏ

A B

, cung chứa

C

gọi là cung lớn, kí hiệu

A C B

(chèn chữ

C

vào giữa để chỉ rõ cung đi qua

C

).
Làm tương tự: cặp

A, C

có điểm

B

ở cung lớn

\Rightarrow

cung lớn kí hiệu

A B C

; cặp

B, C

có điểm

A

ở cung lớn

\Rightarrow

cung lớn kí hiệu

B A C

.
Góc ở tâm ứng với mỗi cặp là góc nối hai điểm đó với

O

A O B, B O C, C O A

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên, đồng thời tên gọi cung lớn đã thể hiện rõ điểm mà nó đi qua.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm số cặp điểm bằng tổ hợp

C_{3}^{2} = 3

trước giúp kiểm soát không bỏ sót góc hay cung nào, đặc biệt hiệu quả khi đề cho nhiều hơn ba điểm trên đường tròn.

Đáp số. a)

A O B

B O C

C O A

.
b) Cặp

A, B

: cung nhỏ

A B

, cung lớn

A C B

; cặp

A, C

: cung nhỏ

A C

, cung lớn

A B C

; cặp

B, C

: cung nhỏ

B C

, cung lớn

B A C

Sai lầm thường gặp. Dễ quên rằng mỗi cặp điểm luôn chia đường tròn thành HAI cung (nhỏ và lớn) nên bỏ sót một nửa số cung cần liệt kê; ngoài ra hay nhầm góc ở tâm với góc bất kì có đỉnh

A

B

hoặc

C

— góc ở tâm bắt buộc có đỉnh là

O

🚀 Mở rộng. Nếu trên đường tròn có

n

điểm phân biệt thì số góc ở tâm tạo bởi từng cặp điểm là

C_{n}^{2}

, và số cung tạo thành (kể cả cung nhỏ lẫn cung lớn của mỗi cặp) là

2 C_{n}^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 3★★Trang 89— Tính số đo cung nhờ góc ở tâm của tam giác vuông cân nội tiếp

Ví dụ 3 (trang 89). Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm

A

B

C

trong Hình 5.11, biết rằng

A B C

là tam giác vuông cân tại đỉnh

A

Kiến thức cần nhớ

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; số đo cung lớn bằng $360°$ trừ số đo cung nhỏ có chung hai mút.
Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.
Nếu góc ở tâm bằng $180°$ thì mỗi cung tương ứng là một nửa đường tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác vuông cân tại

A

nội tiếp đường tròn đường kính

B C

(vì

B A C = 90°

nhìn

B C

) là dấu hiệu để tâm

O

chính là trung điểm

B C

; đồng thời do cân tại

A

nên trung tuyến

A O

cũng là đường cao, cho

A O B = A O C = 90°

ngay lập tức. Từ hai góc ở tâm bằng

90°

đó suy ra số đo hai cung nhỏ

A B

A C

; cung lớn tương ứng lấy

360°

trừ đi. Bẫy là quên vẫn còn hai nửa đường tròn chung hai mút

B, C

, và dễ nhầm cung lớn với cung nhỏ khi chỉ có ba điểm mà không nói rõ cung nào.

1Cách 1. Dùng tính chất tam giác cân (trung tuyến đồng thời đường cao)

Định hướng. Xác định tâm $O$ là trung điểm $B C$ , dùng tính chất tam giác cân để chỉ ra $A O ⊥ B C$ , từ đó có ngay hai góc ở tâm vuông.

Vì

B A C = 90°

nên

A

thuộc đường tròn đường kính

B C

, tức

O

(tâm) là trung điểm

B C

.
Tam giác

A B C

cân tại

A

(vuông cân) nên trung tuyến

A O

đồng thời là đường cao:

A O ⊥ B C

.
Do đó

A O B = A O C = 90°

, suy ra sđ

A B =

sđ

A C = 90°

.
sđ

A C B = 360° -

sđ

A B = 360° - 90° = 270°

; tương tự sđ

A B C = 360° -

sđ

A C = 270°

.
Vì

B, O, C

thẳng hàng (

B C

là đường kính) nên hai nửa đường tròn chung hai mút

B, C

đều có số đo

180°

Vậy sđ $A B =$ sđ $A C = 90°$ ; sđ $A C B =$ sđ $A B C = 270°$ ; hai nửa đường tròn chung mút $B, C$ có số đo $180°$ .

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là trung điểm $B C$ , tính toạ độ $A$ rồi suy ra góc bằng công thức khoảng cách.

Đặt

O (0; 0)

B (- a; 0)

C (a; 0)

với

a = \frac{B C}{2}

; vì

A

cách đều

B, C

(tam giác cân) và

O A = a

nên

A (0; a)

(đỉnh trên trục tung).
Tam giác

O A B

có

O A = O B = a

và

A B^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

, mà

O A^{2} + O B^{2} = 2 a^{2} = A B^{2}

nên tam giác

O A B

vuông tại

O

A O B = 90°

.
Tương tự

A O C = 90°

, nên sđ

A B =

sđ

A C = 90°

, kéo theo sđ

A C B =

sđ

A B C = 270°

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: các cung nhỏ $90°$ , các cung lớn $270°$ .

3Cách 3. Dùng tổng góc quanh một điểm

Định hướng. Dùng tính đối xứng của tam giác cân để đặt $A O B = A O C = x$ , rồi lập phương trình từ tổng góc quanh điểm $O$ bằng $360°$ .

Vì tam giác

A B C

cân tại

A

và

O

là trung điểm

B C

nên theo tính đối xứng qua đường thẳng

A O

A O B = A O C

, đặt chung là

x

.
Vì

B, O, C

thẳng hàng nên

B O C = 180°

(góc bẹt).
Tổng các góc quanh điểm

O

về phía chứa

A

A O B + A O C = 360° - B O C = 360° - 180° = 180°

, tức

2 x = 180° \Rightarrow x = 90°

.
Suy ra sđ

A B =

sđ

A C = 90°

, và sđ

A C B =

sđ

A B C = 360° - 90° = 270°

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không cần chứng minh tường minh $A O ⊥ B C$ , chỉ dùng tính đối xứng và tổng góc quanh một điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một câu 'trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác cân' là ra ngay hai góc vuông ở tâm, không cần dựng hệ trục hay lập phương trình.

Đáp số. sđ

A B =

sđ

A C = 90°

; sđ

A C B =

sđ

A B C = 270°

; hai nửa đường tròn chung hai mút

B, C

có số đo

180°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cho rằng hai nửa đường tròn có chung hai mút

A

và

B

— thực chất

B C

mới là đường kính (do

O

là trung điểm

B C

), nên hai nửa đường tròn phải chung hai mút

B

và

C

; nhầm lẫn này còn xuất hiện ngay trong một số bản in.

🚀 Mở rộng. Nếu thay 'vuông cân tại

A

' bằng 'vuông tại

A

với

A B C = β

' bất kì thì sđ

A B = 2 β

, sđ

A C = 180° - 2 β

— bài toán trên chỉ là trường hợp riêng

β = 45°

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★★Trang 90— Tính số đo cung nhờ tam giác đều tạo bởi đường trung trực của bán kính

Luyện tập 2 (trang 90). Cho điểm

C

nằm trên đường tròn

(O)

. Đường trung trực của đoạn

O C

cắt

(O)

tại

A

và

B

. Tính số đo của các cung

A C B

và

A B C

Kiến thức cần nhớ

Mọi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều, mỗi góc bằng $60°$ .
Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; số đo cung lớn bằng $360°$ trừ số đo cung nhỏ chung hai mút.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

A

(và

B

) nằm trên trung trực của

O C

là dấu hiệu để có ngay

A O = A C

; kết hợp

A O = O C

(đều là bán kính) cho tam giác

A O C

đều, suy ra góc ở tâm

A O C = 60°

mà không cần đo đạc. Làm tương tự với

B

rồi cộng hai góc ở tâm liền kề sẽ ra góc

A O B

, từ đó suy ra số đo hai cung cần tìm. Bẫy của đề là hình dung sai vị trí của

C

C

nằm giữa

A, B

trên cung nhỏ, nên góc

A O B

(cung chứa

C

) là tổng chứ không phải hiệu của hai góc

60°

1Cách 1. Dùng tam giác đều

Định hướng. Chỉ ra tam giác $A O C$ và $B O C$ đều nhờ tính chất trung trực, từ đó có ngay các góc ở tâm bằng $60°$ .

Vì

A

thuộc trung trực của

O C

nên

A O = A C

; mà

A O = O C

(cùng là bán kính) nên

A O = O C = A C

, tức tam giác

A O C

đều, suy ra

A O C = 60°

.
Tương tự, tam giác

B O C

đều, suy ra

B O C = 60°

.
Vì

C

nằm trên cung nhỏ

A B

(giữa hai điểm

A, B

) nên

A O B = A O C + B O C = 60° + 60° = 120°

.
Cung

A C B

(hai mút

A, B

, đi qua

C

) chính là cung nhỏ

A B

nên sđ

A C B = A O B = 120°

.
Cung

A B C

(hai mút

A, C

, đi qua

B

) là cung lớn ứng với cung nhỏ

A C

: sđ

A B C = 360° -

sđ

A C = 360° - A O C = 360° - 60° = 300°

Vậy sđ $A C B = 120°$ và sđ $A B C = 300°$ .

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là gốc, $C$ trên trục hoành, tìm toạ độ giao điểm của trung trực $O C$ với đường tròn.

Đặt

O (0; 0)

, bán kính

R

C (R; 0)

. Trung trực của

O C

là đường thẳng

x = \frac{R}{2}

.
Giao điểm với đường tròn

x^{2} + y^{2} = R^{2}

y^{2} = R^{2} - \frac{R ^{2}}{4} = \frac{3 R ^{2}}{4}

, suy ra

y = \pm \frac{R 3}{2}

.
Vậy

A (\frac{R}{2}; \frac{R 3}{2})

B (\frac{R}{2}; - \frac{R 3}{2})

.
Với tam giác

O A C

O A = R

O C = R

A C^{2} = 0 + (\frac{R 3}{2})^{2} = \frac{3 R ^{2}}{4}

… tính lại theo hiệu toạ độ

A C^{2} = (R - \frac{R}{2})^{2} + (\frac{R 3}{2})^{2} = \frac{R ^{2}}{4} + \frac{3 R ^{2}}{4} = R^{2}

, nên

A C = R = O A = O C

: tam giác đều,

A O C = 60°

.
Tương tự

B O C = 60°

, nên

A O B = 120°

(do

A, B

đối xứng qua trục hoành, cùng cách trục

60°

Vậy sđ $A C B = 120°$ , sđ $A B C = 300°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng đối xứng trục và tam giác vuông

Định hướng. Nhận ra $A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $O C$ , rồi tính một nửa góc bằng tam giác vuông tạo bởi trung điểm $O C$ .

Gọi

I

là trung điểm

O C

(cũng là giao điểm của trung trực

O C

với

O C

). Vì

A, B

cùng thuộc trung trực của

O C

và đường tròn nhận

O C

làm một dây nên

A, B

đối xứng nhau qua đường thẳng

O C

, suy ra

A O C = B O C

.
Xét tam giác vuông

O I A

(vuông tại

I

O I = \frac{O C}{2} = \frac{R}{2}

O A = R

, nên

cos A O I = \frac{O I}{O A} = \frac{1}{2}

, suy ra

A O I = A O C = 60°

.
Do đối xứng,

B O C = 60°

, nên

A O B = A O C + C O B = 120°

(vì

C

nằm giữa hai tia

O A

O B

Vậy sđ $A C B = 120°$ , sđ $A B C = 300°$ .

Nhận xét. Cách 3 tận dụng tính đối xứng để chỉ cần tính một nửa góc bằng côsin, không cần chứng minh tam giác đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra tam giác

A O C

(và

B O C

) đều chỉ nhờ hai cạnh bán kính và một cạnh bằng nhau do tính chất trung trực, cho ngay góc

60°

mà không cần toạ độ hay công thức côsin.

Đáp số. sđ

A C B = 120°

(cung nhỏ

A B

, đi qua

C

); sđ

A B C = 300°

(cung lớn, hai mút

A, C

, đi qua

B

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm lẫn kí hiệu cung ba chữ:

A C B

có hai mút là

A, B

(đi qua

C

) chứ không phải hai mút

A, C

; đọc nhầm thứ tự chữ cái dẫn tới lấy sai góc ở tâm tương ứng khi tính số đo.

🚀 Mở rộng. Nếu thay trung trực của

O C

bằng trung trực của một dây

O C^{'}

với

O C^{'} \neq = R

(không phải bán kính) thì tam giác không còn đều nữa — khi đó phải dùng định lí côsin để tính góc ở tâm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 5.5★★Trang 90— So sánh khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây với bán kính

Bài 5.5 (trang 90). Cho nửa đường tròn đường kính

A B

và một điểm

M

tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ

M

đến

A B

không lớn hơn

\frac{A B}{2}

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc, luôn không lớn hơn độ dài một đường xiên bất kì từ điểm đó tới đường thẳng.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi so sánh khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

A B

với

\frac{A B}{2}

— mà

\frac{A B}{2}

chính là bán kính

R

của nửa đường tròn, và khoảng cách từ tâm

O

đến

M

luôn đúng bằng

R

(vì

M

thuộc đường tròn). Vậy chỉ cần so sánh khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

A B

(đoạn vuông góc

M H

) với đoạn xiên

M O

— dấu hiệu quen thuộc 'đường vuông góc không lớn hơn đường xiên'. Bẫy của đề là quên xét trường hợp

M

trùng đỉnh của nửa đường tròn, khi đó

H \equiv O

và dấu bằng xảy ra.

1Cách 1. Quan hệ đường vuông góc — đường xiên

Định hướng. So sánh đoạn vuông góc $M H$ với đoạn xiên $M O$ , mà $M O$ luôn bằng bán kính.

Gọi

H

là chân đường vuông góc kẻ từ

M

xuống đường thẳng

A B

, gọi

O

là trung điểm

A B

(tâm của nửa đường tròn).
Vì

M

thuộc nửa đường tròn đường kính

A B

nên

M O = \frac{A B}{2}

(bán kính).
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ

M

đến đường thẳng

A B

, đường vuông góc

M H

luôn không lớn hơn đường xiên

M O

M H \leq M O

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $A B$ là $M H \leq M O = \frac{A B}{2}$ .

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là trung điểm $A B$ , biểu diễn $M$ theo phương trình đường tròn rồi so sánh tung độ với $R$ .

Đặt

O (0; 0)

A (- R; 0)

B (R; 0)

với

R = \frac{A B}{2}

;

M (x; y)

thuộc nửa đường tròn trên nên

x^{2} + y^{2} = R^{2}

và

y \geq 0

.
Khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

A B

(trục hoành) là

y = R^{2} - x^{2}

.
Vì

x^{2} \geq 0

nên

R^{2} - x^{2} \leq R^{2}

, suy ra

y = R^{2} - x^{2} \leq R

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $A B$ không vượt quá $R = \frac{A B}{2}$ .

3Cách 3. Dùng lượng giác góc ở tâm

Định hướng. Đặt góc ở tâm $M O A = θ$ , biểu diễn khoảng cách từ $M$ đến $A B$ theo $sin θ$ .

Gọi

O

là tâm,

R = \frac{A B}{2}

là bán kính, đặt

M O A = θ

với

θ \in [0°; 180°]

.
Khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

A B

là

M H = M O \cdot sin θ = R sin θ

.
Vì

sin θ \leq 1

với mọi

θ

nên

M H = R sin θ \leq R

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $A B$ không lớn hơn $R = \frac{A B}{2}$ .

Nhận xét. Dấu bằng ở cả ba cách đều xảy ra khi $θ = 90°$ , tức $M$ là điểm chính giữa nửa đường tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một câu 'đường vuông góc không lớn hơn đường xiên' với

M O = R = \frac{A B}{2}

là xong, không cần dựng hệ trục hay đặt góc

θ

Đáp số. Khoảng cách từ

M

đến

A B

luôn nhỏ hơn hoặc bằng

\frac{A B}{2}

; dấu bằng xảy ra khi

M

là điểm chính giữa nửa đường tròn.

Sai lầm thường gặp. Hay quên xét dấu bằng — nhiều lời giải chỉ kết luận 'nhỏ hơn' mà bỏ sót trường hợp

M

là đỉnh cao nhất của nửa đường tròn, khi đó khoảng cách đúng bằng

\frac{A B}{2}

chứ không nhỏ hơn.

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận, khoảng cách từ một điểm bất kì trên cả đường tròn (không chỉ nửa đường tròn) đến một dây cung bất kì cũng không vượt quá bán kính

R

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 5.6★★★Trang 90— Tính khoảng cách từ tâm đến dây và tỉ số lượng giác của nửa góc ở tâm

Bài 5.6 (trang 90). Cho đường tròn

(O; 5 cm)

và

A B

là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết

A B = 6 cm

.
a) Tính khoảng cách từ

O

đến đường thẳng

A B

.
b) Tính

tan α

nếu góc ở tâm chắn cung

A B

bằng

2 α

Kiến thức cần nhớ

Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.
Tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho bán kính và độ dài dây — dấu hiệu để kẻ

O H ⊥ A B

tại trung điểm

H

rồi dùng Pythagore trong tam giác vuông

O H A

. Câu b nối tiếp: góc ở tâm chắn cung

A B

chính là

A O B = 2 α

, mà

O H

vừa kẻ lại là phân giác của góc này (do tam giác

O A B

cân tại

O

), nên

α = A O H

và tam giác vuông

O H A

ở câu a cho luôn

tan α

mà không cần dựng thêm hình. Bẫy là quên

α

chỉ bằng NỬA góc ở tâm, dễ nhầm lấy

tan (2 α)

1Cách 1. Kẻ đường vuông góc và dùng Pythagore

Định hướng. Kẻ $O H ⊥ A B$ tại trung điểm $H$ của $A B$ , dùng Pythagore trong tam giác vuông $O H A$ cho cả hai câu.

a) Kẻ

O H ⊥ A B

tại

H

; vì đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây nên

H

là trung điểm

A B

A H = \frac{A B}{2} = 3 cm

.
Tam giác

O H A

vuông tại

H

có

O A = 5 cm

(bán kính),

A H = 3 cm

O H = O A^{2} - A H^{2} = 25 - 9 = 16 = 4 cm

.
b) Vì tam giác

O A B

cân tại

O

nên

O H

là phân giác của

A O B

, do đó

A O H = \frac{A O B}{2} = \frac{2 α}{2} = α

.
Trong tam giác vuông

O H A

tan α = tan A O H = \frac{A H}{O H} = \frac{3}{4}

Vậy a) khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng $4 cm$ ; b) $tan α = \frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Dùng công thức khoảng cách tâm — dây

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức tổng quát $d = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2}$ rồi suy ra tỉ số lượng giác.

a) Với

R = 5 cm

A B = 6 cm

d = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4 cm

.
b) Trong tam giác vuông tạo bởi

O

, trung điểm dây và một mút dây, cạnh đối góc

α

là

\frac{A B}{2} = 3 cm

, cạnh kề là

d = 4 cm

tan α = \frac{3}{4}

Vậy a) $d = 4 cm$ ; b) $tan α = \frac{3}{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng diện tích tam giác và công thức góc kép

Định hướng. Tính diện tích tam giác $O A B$ theo hai cách (đáy–chiều cao và công thức nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa) để lập phương trình tìm $d$ , rồi dùng công thức hạ bậc tìm $tan α$ .

Gọi

d

là khoảng cách từ

O

đến

A B

. Diện tích tam giác

O A B

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot d = 3 d

.
Mặt khác

S = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot sin A O B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot sin (2 α)

.
Theo định lí côsin:

A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 \cdot O A \cdot O B \cdot cos (2 α)

, tức

36 = 50 - 50 cos (2 α)

, suy ra

cos (2 α) = 0, 28

.
Từ công thức hạ bậc

cos (2 α) = \frac{1 - tan ^{2} α}{1 + tan ^{2} α} = 0, 28

, giải được

tan^{2} α = \frac{9}{16}

, tức

tan α = \frac{3}{4}

(nhận giá trị dương vì

α

nhọn).
Thay lại:

sin (2 α) = 1 - 0, 2 8^{2} = 0, 96

, nên

3 d = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0, 96 = 12 \Rightarrow d = 4 cm

Vậy a) $d = 4 cm$ ; b) $tan α = \frac{3}{4}$ , trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy mối liên hệ giữa diện tích, góc ở tâm và khoảng cách tâm–dây, hữu ích khi đề chỉ cho góc mà không cho dây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: kẻ

O H ⊥ A B

rồi Pythagore là thao tác chuẩn mực, đồng thời tam giác vuông đó dùng luôn được cho câu b, không phải tính thêm diện tích hay công thức góc kép.

Đáp số. a) Khoảng cách từ

O

đến

A B

bằng

4 cm

.
b)

tan α = \frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều bạn tính nhầm

α

là chính góc

A O B

(bỏ quên hệ số

2

), dẫn tới tính

tan (2 α)

thay vì

tan α

; phải nhớ

O H

chia góc ở tâm thành hai góc bằng nhau, mỗi góc mới đúng là

α

🚀 Mở rộng. Tổng quát với bán kính

R

và dây

A B

bất kì:

tan α = \frac{A B /2}{R ^{2} - ( A B /2 ) ^{2}}

— công thức này dùng lại được ngay cho Bài 5.7 ở chiều ngược lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 5.7★★★Trang 90— Tính bán kính đường tròn từ khoảng cách tâm — dây và số đo cung

Bài 5.7 (trang 90). Tâm

O

của một đường tròn cách dây

A B

của nó một khoảng

3 cm

. Tính bán kính của đường tròn

(O)

, biết rằng cung nhỏ

A B

có số đo bằng

100°

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Kiến thức cần nhớ

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây, đồng thời chia đôi góc ở tâm chắn cung đó.
Tỉ số lượng giác côsin của một góc nhọn trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Số đo cung nhỏ

A B = 100°

cho ngay góc ở tâm

A O B = 100°

— dấu hiệu để kẻ

O H ⊥ A B

(

H

là trung điểm

A B

); khi đó

O H

là phân giác nên

A O H = 50°

, và khoảng cách đã cho

O H = 3 cm

chính là cạnh kề của góc

50°

trong tam giác vuông

O H A

có cạnh huyền

O A = R

. Bài này đi ngược Bài 5.6: biết góc và cạnh kề, tìm cạnh huyền — dùng côsin thay vì Pythagore trực tiếp. Bẫy là quên chia đôi góc ở tâm trước khi tính côsin.

1Cách 1. Dùng côsin trong tam giác vuông

Định hướng. Kẻ $O H ⊥ A B$ , dùng $O H$ là phân giác góc ở tâm rồi tính $R$ bằng côsin.

Kẻ

O H ⊥ A B

tại trung điểm

H

của

A B

;

O H = 3 cm

.
Vì

A O B = 100°

(số đo cung nhỏ

A B

) và

O H

là phân giác của

A O B

(do tam giác

O A B

cân tại

O

) nên

A O H = 50°

.
Trong tam giác vuông

O H A

cos A O H = \frac{O H}{O A}

, suy ra

O A = \frac{O H}{cos 50°} = \frac{3}{cos 50°}

.
Tính:

cos 50° \approx 0, 6428

, nên

O A \approx \frac{3}{0 , 6428} \approx 4, 667 cm

Vậy bán kính $R \approx 4, 7 cm$ .

2Cách 2. Dùng diện tích tam giác và định lí côsin

Định hướng. Biểu diễn diện tích tam giác $O A B$ theo hai công thức khác nhau để lập phương trình ẩn $R$ .

Diện tích tam giác

O A B

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot O H

và

S = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot sin 100°

.
Theo định lí côsin:

A B^{2} = 2 R^{2} (1 - cos 100°)

, suy ra

A B = R 2 (1 - cos 100°)

.
Thay vào

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot O H = \frac{1}{2} \cdot R 2 (1 - cos 100°) \cdot 3

và cho bằng

\frac{1}{2} R^{2} sin 100°

3 2 (1 - cos 100°) = R sin 100° \Rightarrow R = \frac{3 2 ( 1 - cos 100° )}{sin 100°}

.
Tính:

cos 100° \approx - 0, 1736

sin 100° \approx 0, 9848

;

2 (1 + 0, 1736) \approx 2, 3472 \approx 1, 5321

;

R \approx \frac{3 \times 1 , 5321}{0 , 9848} \approx 4, 667 cm

Vậy $R \approx 4, 7 cm$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức dây cung tổng quát

Định hướng. Biểu diễn $A B$ theo $R$ và góc ở tâm bằng công thức dây cung $A B = 2 R sin \frac{A O B}{2}$ , rồi thế vào công thức khoảng cách tâm–dây đã dùng ở Bài 5.6.

Với góc ở tâm

A O B = 100°

, độ dài dây:

A B = 2 R sin 50°

.
Khoảng cách từ tâm đến dây:

O H = R^{2} - (\frac{A B}{2})^{2} = R^{2} - R^{2} sin^{2} 50° = R cos 50°

(do

\frac{A B}{2} = R sin 50°

).
Theo đề

O H = 3

R cos 50° = 3 \Rightarrow R = \frac{3}{cos 50°} \approx \frac{3}{0 , 6428} \approx 4, 667 cm

Vậy $R \approx 4, 7 cm$ , trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách cùng quy về công thức $R cos 50° = O H$ — Cách 3 cho thấy công thức tổng quát: khoảng cách tâm–dây bằng $R cos β$ với $β$ là nửa số đo cung nhỏ tương ứng, dùng lại được cho mọi bài dạng này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dựng

O H ⊥ A B

rồi dùng côsin trong tam giác vuông là thao tác nhanh nhất, chỉ một phép chia trên máy tính cầm tay.

Đáp số.

R \approx 4, 7 cm

Sai lầm thường gặp. Hay quên chia đôi góc ở tâm trước khi tính côsin, tức lấy nhầm

R = \frac{O H}{cos 100°}

thay vì

\frac{O H}{cos 50°}

, cho kết quả âm hoặc vô lí vì

cos 100° < 0

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số đo cung nhỏ

A B

thành

2 β

tổng quát, công thức nhanh là

R = \frac{d}{cos β}

với

d

là khoảng cách từ tâm đến dây — đúng công thức vừa dùng ở Bài 5.6 nhưng viết theo chiều ngược lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 5.8★★Trang 90— Tính số đo cung theo vận tốc góc của kim đồng hồ

Bài 5.8 (trang 90). Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian

36

phút:
a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?
b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Kim phút quay hết một vòng ( $360°$ ) trong $60$ phút; kim giờ quay hết một vòng ( $360°$ ) trong $12$ giờ, tức $720$ phút.
Số đo cung mà một điểm chuyển động tròn đều vạch nên tỉ lệ thuận với thời gian chuyển động.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thời gian cụ thể (

36

phút) và hỏi số đo cung — dấu hiệu của bài toán tỉ lệ thuận giữa góc quay và thời gian, nên trước tiên cần tìm vận tốc góc (độ/phút) của từng kim rồi nhân với

36

. Bẫy hay gặp là lấy nhầm chu kì của kim giờ: kim giờ quay hết một vòng tròn trong

12

giờ (

720

phút) chứ không phải

60

phút như kim phút.

1Cách 1. Tính vận tốc góc rồi nhân với thời gian

Định hướng. Tính số độ mỗi kim quay được trong một phút, rồi nhân với $36$ .

a) Kim phút quay hết

360°

trong

60

phút nên vận tốc góc là

\frac{360°}{60} = 6°

/phút.
Trong

36

phút, kim phút vạch nên cung có số đo

6° \times 36 = 216°

.
b) Kim giờ quay hết

360°

trong

12

giờ

= 720

phút nên vận tốc góc là

\frac{360°}{720} = 0, 5°

/phút.
Trong

36

phút, kim giờ vạch nên cung có số đo

0, 5° \times 36 = 18°

Vậy a) $216°$ ; b) $18°$ .

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức

Định hướng. So sánh $36$ phút với chu kì quay hết vòng của từng kim bằng một tỉ lệ thức.

a) Kim phút quay hết

360°

trong

60

phút, gọi

x

là số đo cung sau

36

phút:

\frac{36}{60} = \frac{x}{360°} \Rightarrow x = \frac{36 \times 360°}{60} = 216°

.
b) Kim giờ quay hết

360°

trong

720

phút, gọi

y

là số đo cung sau

36

phút:

\frac{36}{720} = \frac{y}{360°} \Rightarrow y = \frac{36 \times 360°}{720} = 18°

Vậy a) $216°$ ; b) $18°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Đếm theo vạch chia của mặt đồng hồ

Định hướng. Mỗi khoảng giữa hai số liền nhau trên mặt đồng hồ ứng với $5$ phút và $30°$ đối với kim phút; dùng phép đếm vạch thay cho công thức vận tốc góc.

a) Mỗi vạch (khoảng giữa hai số liền nhau) ứng với

5

phút

= 30°

đối với kim phút. Trong

36

phút có

36 : 5 = 7

vạch và dư

1

phút.
Số đo cung:

7 \times 30° + \frac{1}{5} \times 30° = 210° + 6° = 216°

.
b) Kim giờ đi hết khoảng cách giữa hai số liền nhau (

30°

) trong

60

phút; trong

36

phút kim giờ đi được

\frac{36}{60}

của khoảng đó:

\frac{36}{60} \times 30° = 18°

Vậy a) $216°$ ; b) $18°$ , trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 phù hợp khi đề chỉ cho hình vẽ vạch chia mà không nhắc tới vận tốc góc, giúp học sinh hình dung trực quan hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính tốc độ quay của từng kim theo độ/phút rồi nhân trực tiếp với

36

là nhanh và ít khả năng nhầm đơn vị nhất.

Đáp số. a)

216°

.
b)

18°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là cho rằng kim giờ cũng quay hết vòng trong

60

phút như kim phút, dẫn tới tính sai vận tốc góc của kim giờ (phải là

12

giờ, tức

720

phút, mới hết một vòng

360°

🚀 Mở rộng. Từ tốc độ hai kim, có thể tính thêm: mỗi giờ kim phút vượt kim giờ một góc

360° - 30° = 330°

, từ đó suy ra sau bao lâu hai kim trùng nhau.

Mở bài này trong app ↗