Chương V. Đường tròn

Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 5.11★★★Trang 62— Chứng minh điểm thuộc đường tròn từ tính chất hình thoi, rồi tính độ dài cung và diện tích quạt

Bài 5.11 (trang 62). Cho hình thoi

A B C D

có

A = 75°

và

A B = 6

cm. Vẽ đường tròn

(D)

, bán kính

6

cm.
a) Chứng minh rằng

A, C \in (D)

.
b) Tính độ dài cung nhỏ

A C

và diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ

A C

Kiến thức cần nhớ

Trong hình thoi, bốn cạnh bằng nhau.
Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau (tổng bằng $180°$ ).
Công thức độ dài cung: $l = \frac{n}{180} π R$ ; công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau — dấu hiệu để nhận ra ngay

D A = D C = A B = 6

cm bằng đúng bán kính đường tròn

(D)

, nên

A, C

hiển nhiên thuộc

(D)

. Muốn tính cung nhỏ

A C

thì góc ở tâm cần dùng chính là góc

A D C

— góc kề bù với góc

A = 75°

đã cho (hai góc kề của hình bình hành có tổng

180°

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất bốn cạnh hình thoi bằng nhau

Định hướng. Trong hình thoi $A B C D$ , hai đoạn $D A$ và $D C$ đều là cạnh của hình thoi nên bằng nhau và bằng độ dài cạnh $A B$ đã cho.

a) Vì

A B C D

là hình thoi nên bốn cạnh bằng nhau:

D A = A B = B C = C D = 6

cm.
Do đó

D A = D C = 6

cm, đúng bằng bán kính đường tròn

(D)

, nên

A \in (D)

và

C \in (D)

.
b) Vì

A B C D

là hình bình hành nên hai góc kề cạnh

A D

bù nhau:

A D C = 180° - A = 180° - 75° = 105°

.
Góc

A D C

chính là góc ở tâm chắn cung nhỏ

A C

của

(D)

, nên sđ

A C = 105°

.
Độ dài cung nhỏ

A C

l = \frac{105}{180} π \times 6 = 3, 5 π \approx 11, 0

(cm).
Diện tích hình quạt tương ứng:

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 6^{2} = \frac{105}{360} \times 36 π = 10, 5 π \approx 33, 0

(cm

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất hình bình hành trước, hình thoi sau

Định hướng. Xuất phát từ tính chất tổng quát của hình bình hành (cạnh đối bằng nhau) rồi mới dùng thêm đặc điểm riêng của hình thoi (các cạnh kề cũng bằng nhau).

a) Vì

A B C D

là hình bình hành nên

D A = B C

(hai cạnh đối bằng nhau).
Vì

A B C D

là hình thoi nên

B C = A B = 6

cm (các cạnh của hình thoi bằng nhau); suy ra

D A = 6

cm.
Tương tự,

D C = A B = 6

cm (cạnh đối và cạnh kề của hình thoi đều bằng nhau).
Vậy

D A = D C = 6

=

bán kính

(D)

, nên

A, C \in (D)

.
b) Như Cách 1:

A D C = 180° - 75° = 105°

l = \frac{105}{180} π \times 6 \approx 11, 0

cm,

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 36 \approx 33, 0

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá với gốc tại

D

Định hướng. Đặt $D$ làm gốc toạ độ, biểu diễn $A$ , $C$ bằng hai vectơ cạnh có cùng độ dài (tính chất hình thoi), từ đó tính khoảng cách $D A$ , $D C$ .

a) Đặt

D (0; 0)

. Vì

A B C D

là hình thoi nên

D A

và

D C

đều là vectơ cạnh, có độ dài bằng cạnh hình thoi:

∣ D A ∣ = ∣ D C ∣ = 6

cm.
Suy ra

D A = D C = 6

cm, nên khoảng cách từ

D

đến

A

và đến

C

đều bằng bán kính

6

cm, tức

A, C \in (D)

.
b) Góc giữa hai vectơ cạnh

D A

D C

chính là

A D C = 180° - A = 105°

(tính chất góc kề bù của hình bình hành).

l = \frac{105}{180} π \times 6 \approx 11, 0

cm;

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 36 \approx 33, 0

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ đúng một tính chất "bốn cạnh hình thoi bằng nhau", ngắn gọn hơn hẳn việc lập luận qua hình bình hành (Cách 2) hay toạ độ hoá (Cách 3).

Đáp số.

A, C \in (D)

vì

D A = D C = 6

cm; cung nhỏ

A C

có số đo

105°

, độ dài

3, 5 π \approx 11, 0

cm, diện tích hình quạt tương ứng

10, 5 π \approx 33, 0

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy nhầm góc ở tâm bằng

A = 75°

(thay vì

A D C = 105°

) vì quên rằng góc ở tâm chắn cung

A C

của đường tròn tâm

D

phải là góc tại đỉnh

D

, không phải tại đỉnh

A

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hình thoi cạnh

a

và góc

A = α

, đường tròn tâm

D

bán kính

a

luôn đi qua

A, C

và cung nhỏ

A C

có số đo

180° - α

— công thức này áp dụng cho mọi hình thoi, không riêng bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 5.12★★Trang 62— Tính diện tích hình quạt tròn khi biết tỉ số giữa độ dài cung và chu vi

Bài 5.12 (trang 62). Độ dài của một cung tròn bằng

\frac{2}{5}

chu vi của hình tròn có cùng bán kính. Tính diện tích của hình quạt tròn ứng với cung tròn đó, biết diện tích của hình tròn là

S = 20

^{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhận xét: $\frac{S _{q}}{S} = \frac{n}{360} = \frac{l}{C}$ (tỉ số diện tích hình quạt trên diện tích hình tròn bằng tỉ số độ dài cung trên chu vi).
Công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho trực tiếp số đo góc hay bán kính, chỉ cho tỉ số

\frac{l}{C} = \frac{2}{5}

— đúng bằng tỉ số

\frac{S _{q}}{S}

theo nhận xét đã học trong bài, nên có thể suy ra diện tích hình quạt mà không cần biết bán kính cụ thể. Bẫy nhỏ là cố tìm bán kính cụ thể của hình tròn dù đề không hề cần đến giá trị đó để ra kết quả.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tỉ số

\frac{S _{q}}{S} = \frac{l}{C}

Định hướng. Áp dụng ngay nhận xét trong bài: tỉ số diện tích hình quạt trên diện tích hình tròn bằng đúng tỉ số độ dài cung trên chu vi đã cho.

Theo đề,

\frac{l}{C} = \frac{2}{5}

, nên

\frac{S _{q}}{S} = \frac{2}{5}

S_{q} = \frac{2}{5} \times S = \frac{2}{5} \times 20

S_{q} = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Tìm số đo cung

n

trước rồi tính diện tích theo góc

Định hướng. Từ tỉ số $\frac{l}{C} = \frac{n}{360}$ , tìm số đo góc $n$ trước, sau đó tính diện tích hình quạt theo công thức quen thuộc $S_{q} = \frac{n}{360} \times S$ .

Từ

\frac{n}{360} = \frac{2}{5}

, suy ra

n = \frac{2}{5} \times 360° = 144°

S_{q} = \frac{144}{360} \times S = \frac{144}{360} \times 20

S_{q} = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn bán kính

R

rồi tính qua công thức

S_{q} = \frac{l \cdot R}{2}

Định hướng. Gọi bán kính chưa biết là $R$ , biểu diễn $l$ theo $R$ từ dữ kiện đề bài, rồi dùng hệ thức $S_{q} = \frac{l \cdot R}{2}$ để thấy $π R^{2}$ tự rút gọn về đúng diện tích hình tròn đã cho.

Từ

S = π R^{2} = 20

(cm

^{2}

), chu vi

C = 2 π R

.
Độ dài cung:

l = \frac{2}{5} \times C = \frac{2}{5} \times 2 π R = \frac{4 π R}{5}

S_{q} = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{4 π R}{5} \times R = \frac{2 π R ^{2}}{5} = \frac{2}{5} \times π R^{2} = \frac{2}{5} \times 20 = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép nhân

\frac{2}{5} \times 20

nhờ áp dụng thẳng nhận xét về tỉ số, không cần tìm góc

n

hay đặt ẩn bán kính như hai cách kia.

Đáp số.

S_{q} = 8

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cố tìm bán kính

R

cụ thể từ

S = π R^{2} = 20

(ra số vô tỉ

R = 20/ π

) rồi tính vòng vèo, trong khi bài không hề cần biết giá trị của

R

🚀 Mở rộng. Nhận xét

\frac{S _{q}}{S} = \frac{l}{C}

cho phép tính diện tích hình quạt chỉ từ tỉ số độ dài cung, mà hoàn toàn không cần biết bán kính hay số đo góc cụ thể — rất hữu ích khi đề chỉ cho dữ kiện tỉ lệ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 5.13★★★★Trang 62— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài cung tròn trong bài toán thực tế

Bài 5.13 (trang 62). Trên bờ của một cái ao cá hình tròn, người ta dựng ba cái chòi câu cá tại các điểm

A

B

và

C

. Biết rằng tam giác

A B C

cân tại

B

và có

A B = B C = 10

A B C = 120°

.
a) Tính bán kính của ao cá.
b) Tính độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi

A

đến chòi

B

và chòi

C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Định lí sin mở rộng: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ ( $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
Công thức độ dài cung: $l = \frac{n}{180} π R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba chòi câu cá cùng nằm trên bờ ao hình tròn — dấu hiệu tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn (chính là mặt nước ao), nên bán kính ao chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

. Tam giác cân với góc ở đỉnh

120°

là dữ kiện đặc biệt: hai góc đáy chỉ còn

30°

mỗi góc, nên các cung căng bởi cạnh bên sẽ có số đo rất đẹp.

1Cách 1. Dùng định lí côsin và định lí sin mở rộng

Định hướng. Tính cạnh $A C$ bằng định lí côsin từ hai cạnh bên và góc xen giữa, sau đó dùng định lí sin mở rộng để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp — chính là bán kính ao.

a) Áp dụng định lí côsin trong

△ A B C

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos A B C

A C^{2} = 1 0^{2} + 1 0^{2} - 2 \times 10 \times 10 \times cos 120° = 200 - 200 \times (- 0, 5) = 300

, suy ra

A C = 103

(m).
Áp dụng định lí sin mở rộng:

\frac{A C}{sin A B C} = 2 R

, nên

R = \frac{A C}{2 sin 120°} = \frac{10 3}{2 \times \frac{3}{2}} = \frac{10 3}{3} = 10

(m).
b) Vì tam giác cân tại

B

nên hai góc đáy bằng nhau:

B A C = B C A = \frac{180° - 120°}{2} = 30°

.
Góc nội tiếp

B C A = 30°

chắn cung nhỏ

A B

(không chứa

C

) nên sđ

A B = 2 \times 30° = 60°

; tương tự sđ

B C = 60°

.
Độ dài cung

A B

(từ chòi

A

đến chòi

B

men theo bờ):

l_{A B} = \frac{60}{180} π \times 10 = \frac{10 π}{3} \approx 10, 5

(m); tương tự

l_{B C} \approx 10, 5

(m).

Vậy bán kính ao cá bằng $10$ m; quãng đường men theo bờ từ chòi $A$ đến chòi $B$ và từ chòi $B$ đến chòi $C$ đều xấp xỉ $10, 5$ m.

2Cách 2. Nhận ra tam giác

O A B

đều nhờ góc ở tâm

60°

Định hướng. Xác định trước góc ở tâm $A O B$ bằng góc nội tiếp nhân đôi, rồi nhận ra tam giác $O A B$ cân có góc ở đỉnh $60°$ nên là tam giác đều, suy ra $R = A B$ ngay lập tức.

a) Vì tam giác

A B C

cân tại

B

nên

B A C = B C A = \frac{180° - 120°}{2} = 30°

.
Góc nội tiếp

B C A = 30°

chắn cung nhỏ

A B

nên góc ở tâm

A O B = 2 \times 30° = 60°

(với

O

là tâm ao).
Tam giác

O A B

có

O A = O B = R

(bán kính) và góc xen giữa

A O B = 60°

nên là tam giác cân có góc ở đỉnh

60°

, suy ra

△ O A B

đều.
Do đó

R = O A = A B = 10

m.
b) Tương tự,

B O C = 60°

nên

△ O B C

cũng đều, các cung

A B, B C

đều có số đo

60°

l_{A B} = l_{B C} = \frac{60}{180} π \times 10 = \frac{10 π}{3} \approx 10, 5

(m).

Vậy bán kính ao cá bằng $10$ m; quãng đường men theo bờ từ chòi $A$ đến chòi $B$ và từ chòi $B$ đến chòi $C$ đều xấp xỉ $10, 5$ m.

3Cách 3. Dùng công thức liên hệ diện tích tam giác và bán kính ngoại tiếp

Định hướng. Tính diện tích tam giác $A B C$ bằng công thức $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , sau đó dùng công thức $R = \frac{ab c}{4 S}$ để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp.

a) Diện tích

△ A B C

S = \frac{1}{2} \times A B \times B C \times sin A B C = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times sin 120° = 50 \times \frac{3}{2} = 253

^{2}

).
Cạnh

A C = 103

m (tính như Cách 1 bằng định lí côsin).

R = \frac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 S} = \frac{10 \times 10 \times 10 3}{4 \times 25 3} = \frac{1000 3}{100 3} = 10

(m).
b) Như hai cách trên,

B O C = A O B = 60°

(góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp

30°

cùng chắn).

l_{A B} = l_{B C} = \frac{60}{180} π \times 10 = \frac{10 π}{3} \approx 10, 5

(m).

Vậy bán kính ao cá bằng $10$ m; quãng đường men theo bờ từ chòi $A$ đến chòi $B$ và từ chòi $B$ đến chòi $C$ đều xấp xỉ $10, 5$ m.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra tam giác

O A B

đều cho ngay

R = A B = 10

m bằng nhẩm, không cần tính cạnh

A C

bằng định lí côsin như Cách 1, 3.

Đáp số. Bán kính ao cá

R = 10

m; quãng đường men theo bờ từ

A

đến

B

và từ

B

đến

C

đều xấp xỉ

10, 5

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tưởng

B

chính là tâm ao (vì đề cho

A B = B C = 10

m từ

B

) rồi tính sai hoàn toàn; thực ra tâm ao là điểm

O

cách đều cả ba chòi

A, B, C

, khác với đỉnh cân

B

của tam giác.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, một tam giác cân có hai cạnh bên bằng

a

và góc ở đỉnh bằng

120°

luôn có đường tròn ngoại tiếp bán kính đúng bằng

a

— hệ quả trực tiếp từ việc hai tam giác

O A B

O B C

luôn đều trong trường hợp này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 5.14★★Trang 62— Toán thực tế: tính quãng đường trung bình mỗi ngày trên quỹ đạo tròn

Bài 5.14 (trang 62). Giả định rằng Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo tròn có bán kính khoảng

150

triệu ki-lô-mét và phải hết đúng một năm (

365

ngày) để hoàn thành một vòng quay. Hãy tính quãng đường Trái Đất đi được trong một ngày (làm tròn đến hàng nghìn theo đơn vị ki-lô-mét).

Kiến thức cần nhớ

Công thức chu vi đường tròn: $C = 2 π R$ .
Quãng đường trung bình mỗi ngày $=$ tổng quãng đường (chu vi) chia cho tổng số ngày (chuyển động đều trên quỹ đạo tròn).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bán kính quỹ đạo và số ngày để đi hết một vòng tròn — dấu hiệu của bài toán chia đều chu vi cho số ngày, dùng chính công thức chu vi đường tròn đã học ở đầu bài (trước cả công thức độ dài cung). Bẫy ở chỗ số

150

triệu km rất lớn, dễ tính sai khi nhân hoặc làm tròn không đúng vị trí đề yêu cầu (hàng nghìn).

1Cách 1. Tính chu vi quỹ đạo trước rồi chia cho 365

Định hướng. Tính chu vi cả quỹ đạo tròn (quãng đường Trái Đất đi trong đúng $365$ ngày), sau đó chia đều cho số ngày để ra quãng đường một ngày.

Chu vi quỹ đạo:

C = 2 π R = 2 π \times 150000000 = 300000000 π

(km).
Quãng đường Trái Đất đi trong

365

ngày đúng bằng chu vi quỹ đạo (đi hết đúng một vòng).
Quãng đường trong

1

ngày:

d = \frac{C}{365} = \frac{300 000 000 π}{365} \approx 2582131

(km).

Vậy mỗi ngày Trái Đất đi được quãng đường xấp xỉ $2582000$ km (làm tròn đến hàng nghìn).

2Cách 2. Dùng trực tiếp công thức độ dài cung cho góc ứng với 1 ngày

Định hướng. Vì một vòng quay ( $360°$ ) ứng với $365$ ngày, tính số đo góc quỹ đạo mà Trái Đất quét được trong $1$ ngày rồi áp dụng công thức tính độ dài cung $l = \frac{n}{180} π R$ .

Trong

365

ngày, Trái Đất quét hết

360°

; vậy

1

ngày ứng với góc

n = \frac{360°}{365}

.
Quãng đường

1

ngày chính là độ dài cung ứng với góc đó:

d = \frac{n}{180} π R = \frac{360/365}{180} π \times 150000000

d = \frac{360}{365 \times 180} π \times 150000000 = \frac{2}{365} π \times 150000000 \approx 2582131

(km).

Vậy mỗi ngày Trái Đất đi được quãng đường xấp xỉ $2582000$ km (làm tròn đến hàng nghìn).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính chu vi rồi chia cho

365

là thao tác trực tiếp nhất, không cần đổi qua số đo góc

\frac{360°}{365}

như Cách 2.

Đáp số. Quãng đường Trái Đất đi được trong một ngày xấp xỉ

2582000

km.

Sai lầm thường gặp. Hay quên đơn vị "triệu ki-lô-mét" khi thay số (viết

R = 150

thay vì

150000000

), làm kết quả sai lệch một triệu lần; cũng dễ làm tròn nhầm vị trí (đến hàng chục hoặc hàng trăm thay vì đúng hàng nghìn như đề yêu cầu).

🚀 Mở rộng. Quãng đường trung bình mỗi giờ của Trái Đất trên quỹ đạo xấp xỉ

\frac{2 582 000}{24} \approx 107583

km/giờ — một minh hoạ thú vị cho tốc độ chuyển động rất lớn của hành tinh quanh Mặt Trời dù ta không hề cảm nhận được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5.15★Trang 62— Đổi nhiều tỉ lệ phần trăm sang số đo góc ở tâm trên cùng một biểu đồ hình quạt tròn

Bài 5.15 (trang 62). Năm học vừa qua, kết quả xếp loại học lực cuối năm học sinh của một huyện được biểu thị trong biểu đồ hình quạt tròn như hình bên, gồm ba mức: Tốt chiếm

35%

, Khá chiếm

40%

và Đạt chiếm

25%

. Hãy tìm số đo của các cung tròn tương ứng với mỗi hình quạt biểu thị các số liệu cho trên hình.

Kiến thức cần nhớ

Toàn bộ hình tròn ứng với góc ở tâm $360°$ .
Hình quạt biểu diễn tỉ lệ $p %$ có số đo góc ở tâm bằng $p % \times 360°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán đổi phần trăm sang góc ở tâm giống hệt tình huống Mở đầu và bài Thực hành của SGK, nhưng áp dụng liên tiếp cho ba mức thay vì một mức — dấu hiệu để dùng chung công thức góc

= p % \times 360°

cho từng mức rồi kiểm tra tổng ba góc phải đúng

360°

. Bẫy nhỏ là quên kiểm tra lại tổng ba tỉ lệ phần trăm (và tổng ba góc) có đúng bằng

100%

(và

360°

) hay không.

1Cách 1. Nhân trực tiếp từng tỉ lệ phần trăm với

360°

Định hướng. Áp dụng công thức góc $= p % \times 360°$ lần lượt cho ba mức Tốt, Khá, Đạt.

Mức Tốt (

35%

): góc

= 35% \times 360° = 0, 35 \times 360° = 126°

.
Mức Khá (

40%

): góc

= 40% \times 360° = 0, 40 \times 360° = 144°

.
Mức Đạt (

25%

): góc

= 25% \times 360° = 0, 25 \times 360° = 90°

.
Kiểm tra:

126° + 144° + 90° = 360°

, khớp đúng cả vòng tròn.

Vậy hình quạt "Tốt" ứng với cung $126°$ , "Khá" ứng với cung $144°$ , "Đạt" ứng với cung $90°$ .

2Cách 2. Đổi phần trăm thành phân số tối giản trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn từng tỉ lệ phần trăm thành phân số tối giản để nhân nhẩm với $360°$ nhanh hơn.

35% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}

, góc Tốt

= \frac{7}{20} \times 360° = 126°

40% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}

, góc Khá

= \frac{2}{5} \times 360° = 144°

25% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

, góc Đạt

= \frac{1}{4} \times 360° = 90°

Vậy hình quạt "Tốt" ứng với cung $126°$ , "Khá" ứng với cung $144°$ , "Đạt" ứng với cung $90°$ .

3Cách 3. Tính góc ứng với

1%

trước rồi nhân với từng mức

Định hướng. Tìm số đo góc ứng với $1%$ một lần duy nhất, sau đó nhân nhanh cho cả ba mức thay vì tính riêng ba phép nhân với $360°$ .

Góc ứng với

1%

360° : 100 = 3, 6°

.
Góc Tốt:

35 \times 3, 6° = 126°

; góc Khá:

40 \times 3, 6° = 144°

; góc Đạt:

25 \times 3, 6° = 90°

.
Kiểm tra tổng:

126° + 144° + 90° = 360°

Vậy hình quạt "Tốt" ứng với cung $126°$ , "Khá" ứng với cung $144°$ , "Đạt" ứng với cung $90°$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ tính

3, 6°

một lần rồi nhân nhẩm ba lần, nhanh hơn ba phép nhân riêng lẻ với

360°

như Cách 1.

Đáp số. Cung ứng với mức Tốt là

126°

, mức Khá là

144°

, mức Đạt là

90°

(tổng đúng

360°

Sai lầm thường gặp. Hay quên kiểm tra lại tổng ba góc có bằng

360°

hay không, dẫn đến không phát hiện được lỗi tính nhầm ở một trong ba mức.

🚀 Mở rộng. Cách kiểm tra tổng góc bằng

360°

ở đây chính là một máy soi đơn giản cho mọi biểu đồ hình quạt nhiều phần: tổng mọi tỉ lệ phần trăm phải bằng

100%

và tổng mọi góc ở tâm tương ứng phải bằng

360°

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 5.16★★★Trang 62— Tính góc ở tâm khi chia đều hình tròn, rồi suy ngược bán kính từ diện tích hình quạt

Bài 5.16 (trang 62). Một chiếc pizza hình tròn được chia thành

8

miếng như nhau bởi

4

nhát cắt qua tâm.
a) Mỗi miếng bánh có dạng một hình quạt tròn ứng với cung bao nhiêu độ?
b) Người ta chọn một chiếc hộp có đáy là hình vuông để đặt lọt chiếc bánh vào trong đó (mà vẫn giữ nguyên hình tròn). Hỏi mỗi cạnh đáy của chiếc hộp đó tối thiểu phải dài bao nhiêu xăng-ti-mét (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng diện tích bề mặt mỗi miếng bánh đó bằng

60

^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia đều hình tròn thành $k$ phần bằng nhau thì mỗi phần ứng góc $\frac{360°}{k}$ .
Công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .
Hình vuông nhỏ nhất chứa vừa một hình tròn bán kính $R$ có cạnh bằng đường kính $2 R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phần a) là bài chia đều góc quen thuộc (

360°

chia cho số miếng). Phần b) đảo ngược bài toán quen thuộc: biết diện tích một miếng, phải suy ngược ra bán kính rồi ra đường kính — chính là cạnh nhỏ nhất của hình vuông ngoại tiếp đường tròn (hộp vuông chứa vừa khít bánh tròn).

1Cách 1. Chia đều 360° cho số miếng, rồi giải phương trình tìm bán kính

Định hướng. Tính góc mỗi miếng bằng phép chia đều; sau đó thay diện tích đã cho vào công thức hình quạt để giải ra bán kính, từ đó suy ra cạnh hộp.

a) Bánh chia đều thành

8

miếng nên mỗi miếng ứng với góc

\frac{360°}{8} = 45°

.
b) Từ công thức

S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2} = 60

, với

n = 45

\frac{45}{360} π R^{2} = 60

, tức

\frac{1}{8} π R^{2} = 60

R^{2} = \frac{60 \times 8}{π} = \frac{480}{π} \approx 152, 79

, suy ra

R \approx 12, 36

cm.
Cạnh hộp vuông tối thiểu

=

đường kính bánh

= 2 R \approx 24, 72

cm, làm tròn đến hàng đơn vị được

25

cm.

Vậy mỗi miếng bánh ứng với cung $45°$ ; cạnh đáy chiếc hộp vuông tối thiểu phải dài khoảng $25$ cm.

2Cách 2. Tính góc qua số bán kính cách đều, rồi suy diện tích cả bánh

Định hướng. Nhận ra $4$ nhát cắt qua tâm tạo ra $8$ bán kính cách đều nhau; tính diện tích cả chiếc bánh bằng $8$ lần diện tích một miếng rồi suy ra bán kính.

4

nhát cắt qua tâm tạo thành

8

bán kính chia đều đường tròn, nên góc giữa hai bán kính liên tiếp là

\frac{360°}{8} = 45°

.
b) Diện tích cả chiếc bánh:

S_{0} = 8 \times 60 = 480

(cm

^{2}

).
Từ

S_{0} = π R^{2} = 480

, suy ra

R^{2} = \frac{480}{π} \approx 152, 79

R \approx 12, 36

cm.
Cạnh hộp vuông tối thiểu

= 2 R \approx 24, 72

cm, làm tròn

25

cm.

Vậy mỗi miếng bánh ứng với cung $45°$ ; cạnh đáy chiếc hộp vuông tối thiểu phải dài khoảng $25$ cm.

3Cách 3. Dùng tỉ số diện tích miếng trên diện tích cả bánh

Định hướng. Nhận ra mỗi miếng chiếm đúng $\frac{1}{8}$ diện tích cả bánh (vì $8$ miếng bằng nhau), lập tỉ số này để suy ra diện tích cả bánh mà không cần dùng trực tiếp góc $45°$ trong công thức.

8

miếng bằng nhau nên góc mỗi miếng là

\frac{360°}{8} = 45°

.
b) Vì

8

miếng bằng nhau, diện tích mỗi miếng bằng

\frac{1}{8}

diện tích cả bánh:

60 = \frac{1}{8} \times S_{0}

, suy ra

S_{0} = 480

(cm

^{2}

π R^{2} = 480 \Rightarrow R^{2} = \frac{480}{π} \approx 152, 79 \Rightarrow R \approx 12, 36

cm.
Cạnh hộp vuông tối thiểu

= 2 R \approx 24, 72

cm, làm tròn

25

cm.

Vậy mỗi miếng bánh ứng với cung $45°$ ; cạnh đáy chiếc hộp vuông tối thiểu phải dài khoảng $25$ cm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 hoặc Cách 3: nhân diện tích một miếng với

8

để ra diện tích cả bánh rồi khai căn, tránh phải giải phương trình có phân số

\frac{45}{360}

như Cách 1.

Đáp số. Mỗi miếng bánh ứng với cung

45°

; cạnh đáy chiếc hộp vuông tối thiểu phải dài khoảng

25

cm.

Sai lầm thường gặp. Hay quên rằng "hộp vuông đặt lọt bánh tròn" nghĩa là cạnh hộp bằng đường kính (không phải bán kính) của bánh, nên tính thiếu một nửa; cũng hay quên khai căn khi tìm

R

từ

R^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu bánh được chia thành

k

miếng bằng nhau (thay vì

8

) mà mỗi miếng vẫn có diện tích

S_{0}

, diện tích cả bánh luôn là

k \cdot S_{0} = π R^{2}

, từ đó suy ra công thức tổng quát cho cạnh hộp vuông tối thiểu là

2 \frac{k \cdot S _{0}}{π}

Mở bài này trong app ↗