Chương V. Đường tròn

Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang62 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 5.11★★★Trang 62— Chứng minh điểm thuộc đường tròn từ tính chất hình thoi, rồi tính độ dài cung và diện tích quạt

Bài 5.11 (trang 62). Cho hình thoi

A B C D

có

A = 75°

và

A B = 6

cm. Vẽ đường tròn

(D)

, bán kính

6

cm.
a) Chứng minh rằng

A, C \in (D)

.
b) Tính độ dài cung nhỏ

A C

và diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ

A C

Kiến thức cần nhớ

Trong hình thoi, bốn cạnh bằng nhau.
Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau (tổng bằng $180°$ ).
Công thức độ dài cung: $l = \frac{n}{180} π R$ ; công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau — dấu hiệu để nhận ra ngay

D A = D C = A B = 6

cm bằng đúng bán kính đường tròn

(D)

, nên

A, C

hiển nhiên thuộc

(D)

. Muốn tính cung nhỏ

A C

thì góc ở tâm cần dùng chính là góc

A D C

— góc kề bù với góc

A = 75°

đã cho (hai góc kề của hình bình hành có tổng

180°

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất bốn cạnh hình thoi bằng nhau

Định hướng. Trong hình thoi $A B C D$ , hai đoạn $D A$ và $D C$ đều là cạnh của hình thoi nên bằng nhau và bằng độ dài cạnh $A B$ đã cho.

a) Vì

A B C D

là hình thoi nên bốn cạnh bằng nhau:

D A = A B = B C = C D = 6

cm.
Do đó

D A = D C = 6

cm, đúng bằng bán kính đường tròn

(D)

, nên

A \in (D)

và

C \in (D)

.
b) Vì

A B C D

là hình bình hành nên hai góc kề cạnh

A D

bù nhau:

A D C = 180° - A = 180° - 75° = 105°

.
Góc

A D C

chính là góc ở tâm chắn cung nhỏ

A C

của

(D)

, nên sđ

A C = 105°

.
Độ dài cung nhỏ

A C

l = \frac{105}{180} π \times 6 = 3, 5 π \approx 11, 0

(cm).
Diện tích hình quạt tương ứng:

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 6^{2} = \frac{105}{360} \times 36 π = 10, 5 π \approx 33, 0

(cm

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất hình bình hành trước, hình thoi sau

Định hướng. Xuất phát từ tính chất tổng quát của hình bình hành (cạnh đối bằng nhau) rồi mới dùng thêm đặc điểm riêng của hình thoi (các cạnh kề cũng bằng nhau).

a) Vì

A B C D

là hình bình hành nên

D A = B C

(hai cạnh đối bằng nhau).
Vì

A B C D

là hình thoi nên

B C = A B = 6

cm (các cạnh của hình thoi bằng nhau); suy ra

D A = 6

cm.
Tương tự,

D C = A B = 6

cm (cạnh đối và cạnh kề của hình thoi đều bằng nhau).
Vậy

D A = D C = 6

=

bán kính

(D)

, nên

A, C \in (D)

.
b) Như Cách 1:

A D C = 180° - 75° = 105°

l = \frac{105}{180} π \times 6 \approx 11, 0

cm,

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 36 \approx 33, 0

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá với gốc tại

D

Định hướng. Đặt $D$ làm gốc toạ độ, biểu diễn $A$ , $C$ bằng hai vectơ cạnh có cùng độ dài (tính chất hình thoi), từ đó tính khoảng cách $D A$ , $D C$ .

a) Đặt

D (0; 0)

. Vì

A B C D

là hình thoi nên

D A

và

D C

đều là vectơ cạnh, có độ dài bằng cạnh hình thoi:

∣ D A ∣ = ∣ D C ∣ = 6

cm.
Suy ra

D A = D C = 6

cm, nên khoảng cách từ

D

đến

A

và đến

C

đều bằng bán kính

6

cm, tức

A, C \in (D)

.
b) Góc giữa hai vectơ cạnh

D A

D C

chính là

A D C = 180° - A = 105°

(tính chất góc kề bù của hình bình hành).

l = \frac{105}{180} π \times 6 \approx 11, 0

cm;

S_{q} = \frac{105}{360} π \times 36 \approx 33, 0

^{2}

Vậy $A, C \in (D)$ ; cung nhỏ $A C$ có độ dài $\approx 11, 0$ cm và diện tích hình quạt tương ứng $\approx 33, 0$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ đúng một tính chất "bốn cạnh hình thoi bằng nhau", ngắn gọn hơn hẳn việc lập luận qua hình bình hành (Cách 2) hay toạ độ hoá (Cách 3).

Đáp số.

A, C \in (D)

vì

D A = D C = 6

cm; cung nhỏ

A C

có số đo

105°

, độ dài

3, 5 π \approx 11, 0

cm, diện tích hình quạt tương ứng

10, 5 π \approx 33, 0

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy nhầm góc ở tâm bằng

A = 75°

(thay vì

A D C = 105°

) vì quên rằng góc ở tâm chắn cung

A C

của đường tròn tâm

D

phải là góc tại đỉnh

D

, không phải tại đỉnh

A

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hình thoi cạnh

a

và góc

A = α

, đường tròn tâm

D

bán kính

a

luôn đi qua

A, C

và cung nhỏ

A C

có số đo

180° - α

— công thức này áp dụng cho mọi hình thoi, không riêng bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 5.12★★Trang 62— Tính diện tích hình quạt tròn khi biết tỉ số giữa độ dài cung và chu vi

Bài 5.12 (trang 62). Độ dài của một cung tròn bằng

\frac{2}{5}

chu vi của hình tròn có cùng bán kính. Tính diện tích của hình quạt tròn ứng với cung tròn đó, biết diện tích của hình tròn là

S = 20

^{2}

Kiến thức cần nhớ

Nhận xét: $\frac{S _{q}}{S} = \frac{n}{360} = \frac{l}{C}$ (tỉ số diện tích hình quạt trên diện tích hình tròn bằng tỉ số độ dài cung trên chu vi).
Công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho trực tiếp số đo góc hay bán kính, chỉ cho tỉ số

\frac{l}{C} = \frac{2}{5}

— đúng bằng tỉ số

\frac{S _{q}}{S}

theo nhận xét đã học trong bài, nên có thể suy ra diện tích hình quạt mà không cần biết bán kính cụ thể. Bẫy nhỏ là cố tìm bán kính cụ thể của hình tròn dù đề không hề cần đến giá trị đó để ra kết quả.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tỉ số

\frac{S _{q}}{S} = \frac{l}{C}

Định hướng. Áp dụng ngay nhận xét trong bài: tỉ số diện tích hình quạt trên diện tích hình tròn bằng đúng tỉ số độ dài cung trên chu vi đã cho.

Theo đề,

\frac{l}{C} = \frac{2}{5}

, nên

\frac{S _{q}}{S} = \frac{2}{5}

S_{q} = \frac{2}{5} \times S = \frac{2}{5} \times 20

S_{q} = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Tìm số đo cung

n

trước rồi tính diện tích theo góc

Định hướng. Từ tỉ số $\frac{l}{C} = \frac{n}{360}$ , tìm số đo góc $n$ trước, sau đó tính diện tích hình quạt theo công thức quen thuộc $S_{q} = \frac{n}{360} \times S$ .

Từ

\frac{n}{360} = \frac{2}{5}

, suy ra

n = \frac{2}{5} \times 360° = 144°

S_{q} = \frac{144}{360} \times S = \frac{144}{360} \times 20

S_{q} = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn bán kính

R

rồi tính qua công thức

S_{q} = \frac{l \cdot R}{2}

Định hướng. Gọi bán kính chưa biết là $R$ , biểu diễn $l$ theo $R$ từ dữ kiện đề bài, rồi dùng hệ thức $S_{q} = \frac{l \cdot R}{2}$ để thấy $π R^{2}$ tự rút gọn về đúng diện tích hình tròn đã cho.

Từ

S = π R^{2} = 20

(cm

^{2}

), chu vi

C = 2 π R

.
Độ dài cung:

l = \frac{2}{5} \times C = \frac{2}{5} \times 2 π R = \frac{4 π R}{5}

S_{q} = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{4 π R}{5} \times R = \frac{2 π R ^{2}}{5} = \frac{2}{5} \times π R^{2} = \frac{2}{5} \times 20 = 8

(cm

^{2}

Vậy diện tích hình quạt tròn tương ứng bằng $8$ cm $^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép nhân

\frac{2}{5} \times 20

nhờ áp dụng thẳng nhận xét về tỉ số, không cần tìm góc

n

hay đặt ẩn bán kính như hai cách kia.

Đáp số.

S_{q} = 8

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cố tìm bán kính

R

cụ thể từ

S = π R^{2} = 20

(ra số vô tỉ

R = 20/ π

) rồi tính vòng vèo, trong khi bài không hề cần biết giá trị của

R

🚀 Mở rộng. Nhận xét

\frac{S _{q}}{S} = \frac{l}{C}

cho phép tính diện tích hình quạt chỉ từ tỉ số độ dài cung, mà hoàn toàn không cần biết bán kính hay số đo góc cụ thể — rất hữu ích khi đề chỉ cho dữ kiện tỉ lệ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 5.13★★★★Trang 62— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và độ dài cung tròn trong bài toán thực tế

Bài 5.13 (trang 62). Trên bờ của một cái ao cá hình tròn, người ta dựng ba cái chòi câu cá tại các điểm

A

B

và

C

. Biết rằng tam giác

A B C

cân tại

B

và có

A B = B C = 10

A B C = 120°

.
a) Tính bán kính của ao cá.
b) Tính độ dài quãng đường (men theo bờ ao) từ chòi

A

đến chòi

B

và chòi

C

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Định lí sin mở rộng: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ ( $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
Công thức độ dài cung: $l = \frac{n}{180} π R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 5.14★★Trang 62— Toán thực tế: tính quãng đường trung bình mỗi ngày trên quỹ đạo tròn

Bài 5.14 (trang 62). Giả định rằng Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo tròn có bán kính khoảng

150

triệu ki-lô-mét và phải hết đúng một năm (

365

ngày) để hoàn thành một vòng quay. Hãy tính quãng đường Trái Đất đi được trong một ngày (làm tròn đến hàng nghìn theo đơn vị ki-lô-mét).

Kiến thức cần nhớ

Công thức chu vi đường tròn: $C = 2 π R$ .
Quãng đường trung bình mỗi ngày $=$ tổng quãng đường (chu vi) chia cho tổng số ngày (chuyển động đều trên quỹ đạo tròn).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5.15★Trang 62— Đổi nhiều tỉ lệ phần trăm sang số đo góc ở tâm trên cùng một biểu đồ hình quạt tròn

Bài 5.15 (trang 62). Năm học vừa qua, kết quả xếp loại học lực cuối năm học sinh của một huyện được biểu thị trong biểu đồ hình quạt tròn như hình bên, gồm ba mức: Tốt chiếm

35%

, Khá chiếm

40%

và Đạt chiếm

25%

. Hãy tìm số đo của các cung tròn tương ứng với mỗi hình quạt biểu thị các số liệu cho trên hình.

Kiến thức cần nhớ

Toàn bộ hình tròn ứng với góc ở tâm $360°$ .
Hình quạt biểu diễn tỉ lệ $p %$ có số đo góc ở tâm bằng $p % \times 360°$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 5.16★★★Trang 62— Tính góc ở tâm khi chia đều hình tròn, rồi suy ngược bán kính từ diện tích hình quạt

Bài 5.16 (trang 62). Một chiếc pizza hình tròn được chia thành

8

miếng như nhau bởi

4

nhát cắt qua tâm.
a) Mỗi miếng bánh có dạng một hình quạt tròn ứng với cung bao nhiêu độ?
b) Người ta chọn một chiếc hộp có đáy là hình vuông để đặt lọt chiếc bánh vào trong đó (mà vẫn giữ nguyên hình tròn). Hỏi mỗi cạnh đáy của chiếc hộp đó tối thiểu phải dài bao nhiêu xăng-ti-mét (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng diện tích bề mặt mỗi miếng bánh đó bằng

60

^{2}

Kiến thức cần nhớ

Chia đều hình tròn thành $k$ phần bằng nhau thì mỗi phần ứng góc $\frac{360°}{k}$ .
Công thức diện tích hình quạt: $S_{q} = \frac{n}{360} π R^{2}$ .
Hình vuông nhỏ nhất chứa vừa một hình tròn bán kính $R$ có cạnh bằng đường kính $2 R$ .