Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Định hướng. Rút gọn $40\%$ thành phân số tối giản để nhân nhẩm nhanh với $360°$.

Vậy hình quạt tròn Trang cần vẽ ứng với góc ở tâm $144°$.

Định hướng. Số đo góc ở tâm $n$ của hình quạt và tỉ lệ phần trăm nó biểu diễn tỉ lệ thuận với nhau, nên lập ngay tỉ lệ thức giữa hai đại lượng.

Vậy hình quạt tròn Trang cần vẽ ứng với góc ở tâm $144°$.

Định hướng. Tìm số đo góc ứng với $1\%$ (đơn vị nhỏ nhất) trước, sau đó nhân với số phần trăm cần vẽ.

Vậy hình quạt tròn Trang cần vẽ ứng với góc ở tâm $144°$.

Định hướng. Cả đường tròn ứng với $360°$ và có độ dài $C$; chia đều $360$ phần bằng nhau để tìm độ dài của $1°$, rồi ghép $n$ phần lại.

Vậy công thức tính độ dài $l$ của cung $n°$ trên đường tròn $(O;R)$ là $l=\frac{n}{180}\pi R$.

Định hướng. Vì độ dài cung tỉ lệ thuận với số đo cung, lập ngay tỉ lệ thức giữa cung $n°$ và cả đường tròn $360°$ rồi suy ra $l$.

Vậy công thức tính độ dài $l$ của cung $n°$ trên đường tròn $(O;R)$ là $l=\frac{n}{180}\pi R$.

Định hướng. Đổi số đo góc ở tâm sang radian rồi dùng hệ thức độ dài cung $l=R\theta$ ($\theta$ tính bằng radian).

Vậy công thức tính độ dài $l$ của cung $n°$ trên đường tròn $(O;R)$ là $l=\frac{n}{180}\pi R$, trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách này chỉ nên xem là kiến thức mở rộng, học kĩ ở lớp 10; lớp 9 dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Xác định số đo mỗi cung trước (cung nhỏ bằng góc ở tâm, cung lớn bù với $360°$), rồi thay lần lượt vào công thức $l=\frac{n}{180}\pi R$.

Vậy cung nhỏ $AB$ có số đo $120°$, độ dài $2\pi$ cm; cung lớn $AmB$ có số đo $240°$, độ dài $4\pi$ cm.

Định hướng. Tính chu vi đường tròn trước, sau đó dùng tỉ số $\frac{l}{C}=\frac{n}{360}$ cho từng cung thay vì thay trực tiếp vào công thức (2).

Vậy cung nhỏ $AB$ có số đo $120°$, độ dài $2\pi$ cm; cung lớn $AmB$ có số đo $240°$, độ dài $4\pi$ cm.

Định hướng. Đổi hai góc ở tâm sang radian rồi dùng hệ thức $l=R\theta$.

Vậy cung nhỏ $AB$ có số đo $120°$, độ dài $2\pi$ cm; cung lớn $AmB$ có số đo $240°$, độ dài $4\pi$ cm.

Định hướng. Thay ngay $n=40$, $R=9$ vào công thức $l=\frac{n}{180}\pi R$.

Vậy độ dài cung $40°$ của đường tròn bán kính $9$ cm bằng $2\pi$ cm.

Định hướng. Tính chu vi đường tròn trước rồi dùng tỉ số $\frac{l}{C}=\frac{n}{360}$.

Vậy độ dài cung $40°$ của đường tròn bán kính $9$ cm bằng $2\pi$ cm.

Định hướng. Tìm độ dài cung $1°$ trước rồi nhân với $40$, đúng theo cách lập công thức đã học ở Hoạt động 1.

Vậy độ dài cung $40°$ của đường tròn bán kính $9$ cm bằng $2\pi$ cm.

Định hướng. Đổi đường kính ra mét, tính tổng số vòng quay của bánh xe khi giò đĩa quay $10$ vòng, rồi nhân với chu vi bánh xe.

Vậy sau khi người đi xe đạp $10$ vòng liên tục, xe di chuyển được quãng đường $21,45\pi \approx 67,4$ m (lấy $\pi \approx 3,14$).

Định hướng. Tìm quãng đường xe đi được khi giò đĩa quay đúng $1$ vòng trước, sau đó nhân với $10$ vòng liên tục.

Vậy sau khi người đi xe đạp $10$ vòng liên tục, xe di chuyển được quãng đường $21,45\pi \approx 67,4$ m.

Định hướng. Đổi tổng số vòng quay của bánh xe ra số đo góc ở tâm rồi áp dụng đúng công thức $l=\frac{n}{180}\pi R$ vừa học trong bài, thay vì công thức chu vi nhân số vòng.

Vậy sau khi người đi xe đạp $10$ vòng liên tục, xe di chuyển được quãng đường $21,45\pi \approx 67,4$ m.

Định hướng. Cả hình tròn ứng với $360°$ và có diện tích $S=\pi R^2$; chia đều $360$ phần bằng nhau để tìm diện tích ứng với $1°$, rồi ghép $n$ phần lại.

Vậy công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n°$ là $S_q=\frac{n}{360}\pi R^2$.

Định hướng. Vì diện tích hình quạt tỉ lệ thuận với số đo cung, lập ngay tỉ lệ thức giữa hình quạt $n°$ và cả hình tròn $360°$ rồi suy ra $S_q$.

Vậy công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n°$ là $S_q=\frac{n}{360}\pi R^2$.

Định hướng. Tận dụng ngay công thức độ dài cung $l=\frac{n}{180}\pi R$ vừa lập ở Hoạt động 1: coi hình quạt như một "tam giác cong" có đáy là cung dài $l$ và chiều cao là bán kính $R$, tương tự cách suy công thức diện tích hình tròn $S=\frac{1}{2}\times C\times R$ từ chu vi.

Vậy công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n°$ là $S_q=\frac{n}{360}\pi R^2$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách này còn cho thêm hệ thức rất hữu ích $S_q=\frac{l\cdot R}{2}$, dùng để tính diện tích quạt khi đề chỉ cho độ dài cung mà không cho trực tiếp số đo góc (xem Ví dụ 3).

Định hướng. Hình vành khuyên chính là phần hình tròn lớn (bán kính $R$) sau khi bỏ đi hình tròn nhỏ (bán kính $r$) ở giữa, nên diện tích của nó bằng hiệu hai diện tích.

Vậy công thức tính diện tích hình vành khuyên là $S_v=\pi (R^2-r^2)$ (với $R>r$).

Định hướng. Phân tích $R^2-r^2$ thành tích $(R-r)(R+r)$, rồi nhận ra $\pi (R+r)$ chính là chu vi đường tròn bán kính trung bình $\frac{R+r}{2}$.

Vậy công thức tính diện tích hình vành khuyên là $S_v=\pi (R^2-r^2)=\pi (R-r)(R+r)$.

Định hướng. Coi hình vành khuyên gồm vô số đường tròn bán kính $x$ ($r\le x\le R$) có bề dày rất nhỏ $dx$; mỗi vành mỏng có diện tích gần đúng bằng chu vi nhân bề dày, cộng dồn (lấy tích phân) toàn bộ.

Vậy công thức tính diện tích hình vành khuyên là $S_v=\pi (R^2-r^2)$, trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách này dùng kiến thức tích phân của lớp 12, chỉ nên xem là mở rộng để thấy công thức (4) đúng cả khi nhìn theo góc độ giải tích.

Định hướng. Xác định $R=5$ m (đường tròn lớn), $r=3$ m (đường tròn nhỏ) rồi thay vào $S_v=\pi (R^2-r^2)$.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $3$ m và $5$ m bằng $16\pi$ m${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích từng hình tròn (lớn và nhỏ) rồi trừ trực tiếp cho nhau, đúng theo định nghĩa hình vành khuyên.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $3$ m và $5$ m bằng $16\pi$ m${}^2$.

Định hướng. Phân tích $R^2-r^2$ thành tích $(R-r)(R+r)$ để tính nhẩm nhanh, không cần bình phương từng số.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $3$ m và $5$ m bằng $16\pi$ m${}^2$.

Định hướng. Đề đã cho sẵn $l=4\pi$ cm và $R=5$ cm, thay thẳng vào hệ thức (3) dạng $S_q=\frac{l\cdot R}{2}$.

Vậy diện tích hình quạt tròn đó bằng $10\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Từ độ dài cung $l=4\pi$ cm, dùng công thức $l=\frac{n}{180}\pi R$ để tìm số đo góc $n$ trước, rồi mới tính diện tích theo công thức quen thuộc.

Vậy diện tích hình quạt tròn đó bằng $10\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích cả hình tròn trước, rồi nhân với đúng tỉ số giữa độ dài cung và chu vi (tỉ số này bằng tỉ số diện tích quạt trên diện tích hình tròn theo nhận xét trong bài).

Vậy diện tích hình quạt tròn đó bằng $10\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính số đo góc cần vẽ như ở phần Mở đầu, sau đó dùng thước đo góc đặt tâm tại $O$ để vẽ đúng góc đó.

Vậy hình quạt tô màu ứng với góc ở tâm $144°$, đúng $40\%$ diện tích hình tròn.

Định hướng. Không dùng thước đo góc mà chia đều đường tròn thành $10$ cung bằng nhau bằng compa (mỗi cung $36°$), sau đó tô màu $4$ cung liên tiếp.

Vậy hình quạt tô màu ứng với góc ở tâm $144°$, đúng $40\%$ diện tích hình tròn.

Định hướng. Vẽ trước một nửa đường tròn ($180°$, dựng dễ bằng đường kính), sau đó dựng thêm góc $36°$ kề để "bớt" ra đúng phần dư, còn lại chính là góc $144°$ cần tô.

Vậy hình quạt tô màu ứng với góc ở tâm $144°$, đúng $40\%$ diện tích hình tròn.

Định hướng. Thay $n=144$ (đã tính ở Thực hành) và $R=4$ vào công thức $S_q=\frac{n}{360}\pi R^2$.

Vậy diện tích hình quạt tròn đã vẽ (bán kính $4$ cm) bằng $6,4\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Vì hình quạt ứng đúng $40\%$ diện tích hình tròn (đã biết từ Mở đầu), tính diện tích cả hình tròn bán kính $4$ cm trước rồi nhân với $40\%$.

Vậy diện tích hình quạt tròn đã vẽ (bán kính $4$ cm) bằng $6,4\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Dùng công thức độ dài cung để tìm $l$ trước, rồi áp dụng hệ thức $S_q=\frac{l\cdot R}{2}$ đã học ở Hoạt động 2 và Ví dụ 3.

Vậy diện tích hình quạt tròn đã vẽ (bán kính $4$ cm) bằng $6,4\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích vành khuyên "vòng 8" (giữa bán kính $10$ cm và $15$ cm) và diện tích hình tròn lớn nhất (bán kính $30$ cm), rồi lập tỉ số theo đúng công thức đề cho.

Vậy xác suất ném trúng vòng $8$ bằng $\frac{5}{36}\approx 13,9\%$.

Định hướng. Phân tích $15^2-10^2$ thành tích $(15-10)(15+10)$ để tính nhẩm diện tích vành khuyên nhanh hơn, sau đó mới lập tỉ số như Cách 1.

Vậy xác suất ném trúng vòng $8$ bằng $\frac{5}{36}\approx 13,9\%$.

Định hướng. Lập tỉ số $\frac{R^2-r^2}{R_{\max }^2}$ trực tiếp bằng số rồi mới rút gọn phân số, không cần nhân ra từng diện tích cụ thể có $\pi$.

Vậy xác suất ném trúng vòng $8$ bằng $\frac{5}{36}\approx 13,9\%$.

Định hướng. Tam giác cân tại $A$ cho $AB=AC$; áp dụng ngay định lí liên hệ giữa dây và cung trên cùng một đường tròn.

Vậy hai cung nhỏ $AB$ và $AC$ bằng nhau (vì $AB=AC$); độ dài cung $BC\approx 4,9$ cm, độ dài mỗi cung $AB$, $AC\approx 10,1$ cm.

Định hướng. Tam giác cân tại $A$ nhận đường thẳng $AO$ (chính là trung trực của $BC$, đi qua tâm $O$) làm trục đối xứng; phép đối xứng trục này biến $B$ thành $C$ nên biến cung $AB$ thành cung $AC$.

Vậy hai cung nhỏ $AB$ và $AC$ bằng nhau (vì đối xứng nhau qua trục $AO$); độ dài cung $BC\approx 4,9$ cm, độ dài mỗi cung $AB$, $AC\approx 10,1$ cm.

Định hướng. So sánh trực tiếp góc ở tâm bằng cách chứng minh $△OAB=△OAC$, từ đó suy ra hai cung bằng nhau theo đúng định nghĩa số đo cung.

Vậy hai cung nhỏ $AB$ và $AC$ bằng nhau (vì $△OAB=△OAC$ nên hai góc ở tâm bằng nhau); độ dài cung $BC\approx 4,9$ cm, độ dài mỗi cung $AB$, $AC\approx 10,1$ cm.

Định hướng. Thay $n=36$, $R=4$ vào công thức $S_q=\frac{n}{360}\pi R^2$.

Vậy diện tích hình quạt tròn bán kính $4$ cm ứng với cung $36°$ bằng $1,6\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích cả hình tròn bán kính $4$ cm trước, sau đó nhân với tỉ số $\frac{36}{360}$.

Vậy diện tích hình quạt tròn bán kính $4$ cm ứng với cung $36°$ bằng $1,6\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính độ dài cung $l$ trước bằng công thức (2), rồi dùng hệ thức $S_q=\frac{l\cdot R}{2}$ thay vì công thức diện tích trực tiếp.

Vậy diện tích hình quạt tròn bán kính $4$ cm ứng với cung $36°$ bằng $1,6\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Xác định $R=6$ cm, $r=4$ cm rồi thay vào $S_v=\pi (R^2-r^2)$.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $6$ cm và $4$ cm bằng $20\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích từng hình tròn (lớn và nhỏ) rồi trừ trực tiếp cho nhau.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $6$ cm và $4$ cm bằng $20\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Phân tích $6^2-4^2$ thành tích $(6-4)(6+4)$ để tính nhẩm.

Vậy diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $6$ cm và $4$ cm bằng $20\pi$ cm${}^2$.

Định hướng. Tìm bán kính và góc ở tâm của mỗi miếng bánh, thay vào công thức diện tích hình quạt cho từng bánh rồi so sánh hai kết quả.

Vậy miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất (đường kính $16$ cm, $6$ miếng) có diện tích lớn hơn miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ hai (đường kính $18$ cm, $8$ miếng).

Định hướng. Tính diện tích trọn vẹn mỗi chiếc bánh trước, sau đó chia đều cho số miếng tương ứng — không cần tính qua góc ở tâm.

Vậy miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất có diện tích lớn hơn miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ hai.

Định hướng. Vì diện tích mỗi miếng luôn là $\frac{\pi R^2}{k}$ ($k$ là số miếng), chỉ cần lập tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{R_1^2/k_1}{R_2^2/k_2}$ và so sánh với $1$, không cần tính riêng từng diện tích có $\pi$.

Vậy miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất có diện tích lớn hơn miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ hai (tỉ số diện tích là $\frac{256}{243}$).

Định hướng. Từ "chiều dài phần giấy" (bề rộng dải giấy) suy ra bán kính trong $r=R-1,6$, rồi tính diện tích nửa hình vành khuyên có bán kính $R$ và $r$.

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt xấp xỉ $2,24\pi \approx 7,04$ dm${}^2$.

Định hướng. Tính diện tích nửa hình tròn lớn (bán kính $R$) và nửa hình tròn nhỏ (bán kính $r$) rồi trừ cho nhau, đúng theo định nghĩa phần giấy là phần nằm giữa hai cung.

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt xấp xỉ $2,24\pi \approx 7,04$ dm${}^2$.