Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Định hướng. $P\in (O)$ và $a\perp OP$ tại $P$ đúng là điều kiện của Định lí 1, áp dụng ngay không cần chứng minh thêm.

Vậy theo Định lí 1, $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $P$.

Định hướng. Vì $A$, $B$ thuộc đường tròn đường kính $OP$ nên góc $\widehat{OAP}$, $\widehat{OBP}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đó, bằng $90°$; áp dụng Định lí 1 cho cả hai tiếp tuyến.

Vậy $PA$ và $PB$ đều là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Định hướng. Thay vì gọi tên góc nội tiếp, dùng trực tiếp tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền để suy ra tam giác vuông.

Vậy $PA\perp OA$ tại $A\in (O)$ và $PB\perp OB$ tại $B\in (O)$, nên theo Định lí 1, cả $PA$ và $PB$ đều là tiếp tuyến của $(O)$, trùng kết luận Cách 2.

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 chỉ khác cách gọi tên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, hay trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) của cùng một sự kiện hình học.

Định hướng. $M\in (A;R)$ (vì $AM=R$) và $a\perp AM$ tại $M$ (vì $a\perp b$ và $A\in b$), đúng điều kiện Định lí 1.

Vậy theo Định lí 1, đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(A;R)$ tại $M$.

Định hướng. Tính khoảng cách từ $A$ đến $a$ rồi so với bán kính $R$ theo Nhận xét 1, không cần nêu tên điểm chung trước.

Vậy theo Nhận xét 1, đường tròn $(A;R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ (tại chân đường vuông góc, tức tại $M$), trùng kết luận Cách 1.

Nhận xét. Việc biện luận số đường tròn: trên đường thẳng $b$, có đúng hai điểm cách $M$ một khoảng $R$ (một điểm về mỗi phía của $a$ dọc theo $b$), nên có đúng hai đường tròn $(A;R)$ thoả mãn yêu cầu bài toán, đối xứng nhau qua $a$.