Chương V. Đường tròn

Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngV #SáchBàiTập_Tập1 #trang68 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 5.22★Trang 68— Xác định vị trí tương đối hai đường tròn khi khoảng cách hai tâm thay đổi, bán kính cố định

Bài 5.22 (trang 68). Hai đường tròn

(O; 2 c m)

và

(O^{'}; 3 c m)

có vị trí tương đối như thế nào trong mỗi trường hợp sau: a)

O O^{'} = 4

cm? b)

O O^{'} = 5

cm? c)

O O^{'} = 6

cm?

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O^{'}; R^{'})$ (với $R \geq R^{'}$ ) cắt nhau khi và chỉ khi $R - R^{'} < O O^{'} < R + R^{'}$ .
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi $O O^{'} = R + R^{'}$ ; tiếp xúc trong khi $O O^{'} = R - R^{'}$ (với $R > R^{'}$ ).
Hai đường tròn không giao nhau: ở ngoài nhau khi $O O^{'} > R + R^{'}$ ; đường tròn nọ đựng đường tròn kia khi $O O^{'} < R - R^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai bán kính

R = 2

R^{'} = 3

giữ nguyên qua cả ba câu, chỉ

O O^{'}

tăng dần

4 \to 5 \to 6

— dấu hiệu để nhận ra ba câu này minh hoạ đúng ba "chặng" của hai đường tròn khi khoảng cách tâm tăng dần: từ cắt nhau, qua tiếp xúc, đến ngoài nhau. Chỉ cần một hệ thức so sánh duy nhất, lặp lại ba lần.

1Cách 1. So sánh trực tiếp OO' với |R−R'| và R+R' cho từng câu

Định hướng. Tính $∣ R - R^{'} ∣ = 1$ và $R + R^{'} = 5$ một lần, rồi so với $O O^{'}$ ở từng câu.

O O^{'} = 4

: so sánh

1 < 4 < 5

.
b)

O O^{'} = 5

: so sánh

5 = 5 = R + R^{'}

.
c)

O O^{'} = 6

: so sánh

6 > 5 = R + R^{'}

Vậy a) hai đường tròn cắt nhau; b) hai đường tròn tiếp xúc ngoài; c) hai đường tròn ở ngoài nhau.

2Cách 2. Nhận ra ba câu là ba mốc liên tiếp khi OO' tăng dần

Định hướng. Vì $∣ R - R^{'} ∣ = 1$ và $R + R^{'} = 5$ cố định, xét vị trí của từng giá trị $O O^{'} = 4, 5, 6$ so với khoảng $(1; 5)$ và mốc $5$ để suy ra xu hướng chung.

O O^{'} = 4

nằm trong khoảng

(1; 5)

nên còn cắt nhau.

O O^{'} = 5

đúng bằng mốc trên

R + R^{'} = 5

nên chuyển sang tiếp xúc (biên).

O O^{'} = 6

vượt qua mốc

5

nên đã sang hẳn ngoài nhau.

Vậy khi $O O^{'}$ tăng dần từ $4$ lên $6$ (qua đúng mốc $5 = R + R^{'}$ ), vị trí tương đối chuyển liên tục: cắt nhau (a) $\to$ tiếp xúc ngoài (b) $\to$ ngoài nhau (c).

3Cách 3. Toạ độ hoá, xét dấu y^2 cho từng câu

Định hướng. Đặt $O (0; 0)$ , $O^{'} (d; 0)$ với $d = O O^{'}$ , lập hệ hai phương trình đường tròn, xét dấu $y^{2}$ cho từng giá trị $d$ .

Hệ:

x^{2} + y^{2} = 4

và

(x - d)^{2} + y^{2} = 9

; trừ hai phương trình được

x = \frac{d ^{2} - 5}{2 d}

.
a)

d = 4

x = \frac{11}{8}

y^{2} = 4 - x^{2} = \frac{135}{64} > 0

— hai nghiệm.
b)

d = 5

x = 2

y^{2} = 4 - 4 = 0

— một nghiệm.
c)

d = 6

x = \frac{31}{12}

y^{2} = 4 - x^{2} = - \frac{385}{144} < 0

— vô nghiệm.

Vậy kết quả đại số khớp đúng Cách 1, Cách 2: a) hai điểm chung (cắt nhau); b) một điểm chung (tiếp xúc); c) không điểm chung (ngoài nhau).

Nhận xét. Ba câu a), b), c) chính là minh hoạ trực tiếp cho việc di chuyển tâm $O^{'}$ ra xa dần $O$ : quãng đường di chuyển càng lớn, số điểm chung càng giảm từ 2 xuống 1 rồi xuống 0.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ tính

∣ R - R^{'} ∣

R + R^{'}

một lần rồi so sánh nhanh với ba giá trị

O O^{'}

, tránh lặp lại phép tính không cần thiết.

Đáp số. a) Cắt nhau. b) Tiếp xúc ngoài. c) Ở ngoài nhau.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhầm

O O^{'} = R + R^{'}

(tiếp xúc ngoài) với

O O^{'} = R - R^{'}

(tiếp xúc trong) do không nhớ chính xác công thức nào ứng với loại tiếp xúc nào.

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

R = 2

R^{'} = 3

cố định: cắt nhau khi

1 < O O^{'} < 5

, tiếp xúc khi

O O^{'} \in {1; 5}

, đựng nhau khi

O O^{'} < 1

, ngoài nhau khi

O O^{'} > 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 5.23★★★Trang 68— Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc bằng tam giác cân đồng dạng, xét theo vị trí điểm ngoài đoạn

Bài 5.23 (trang 68). Vẽ hình và chứng minh phần b của Ví dụ 2.
Nhắc lại Ví dụ 2 (lí thuyết SBT): Cho đường tròn

(O)

và dây

A B

không là đường kính của

(O)

. a) Gọi

O^{'}

là một điểm tuỳ ý nằm giữa

O

và

A

. Đường thẳng đi qua

O^{'}

và song song với

O B

cắt

A B

tại

C

. Hãy xác định vị trí tương đối của

(O)

và

(O^{'}; O^{'} C)

. b) Vị trí tương đối của

(O)

và

(O^{'}; O^{'} C)

sẽ như thế nào nếu

O^{'}

thẳng hàng với

O

và

A

, nhưng nằm ngoài đoạn

O A

Kiến thức cần nhớ

Định lí Ta-lét/tam giác đồng dạng: hai đường thẳng song song cắt hai cạnh của một góc thì tạo ra hai tam giác đồng dạng.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi $O O^{'} = R + R^{'}$ ; tiếp xúc trong khi $O O^{'} = R - R^{'}$ (với $R > R^{'}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Vì

O^{'} C ∥ O B

nên tam giác

O^{'} A C

luôn đồng dạng với tam giác

O A B

theo tỉ số nào đó — dấu hiệu để suy ra

O^{'} C

và

O^{'} A

bằng nhau (nhờ tam giác

O A B

cân tại

O

vì

O A = O B

là bán kính). Khi

O^{'}

ra khỏi đoạn

O A

, có đúng hai khả năng thẳng hàng (về phía

A

hoặc về phía ngược lại

O

) — mỗi khả năng cho một hệ thức khác nhau giữa

O O^{'}

O A

O^{'} A

, nên phải xét đủ hai trường hợp (TH1, TH2) mới coi là làm xong phần b.

1Cách 1. Xét đủ hai trường hợp bằng tam giác đồng dạng (g.g)

Định hướng. Trong cả hai trường hợp $O^{'}$ nằm ngoài đoạn $O A$ , dùng $O^{'} C ∥ O B$ để suy ra tam giác $O^{'} A C$ đồng dạng tam giác $O A B$ (g.g), rồi từ tam giác $O A B$ cân tại $O$ suy ra tam giác $O^{'} A C$ cũng cân tại $O^{'}$ .

TH1 — $O^{'}$ nằm khác phía $A$ so với $O$ (tức

O

nằm giữa

O^{'}

và

A

): vì

O^{'} C ∥ O B

nên

Δ O^{'} A C ∽ Δ O A B

(g.g).
Tam giác

O A B

cân tại

O

(do

O A = O B = R

) nên

O A B = O B A

; suy ra

Δ O^{'} A C

cũng cân tại

O^{'}

, tức

O^{'} A = O^{'} C

.
Vì

O

nằm giữa

O^{'}

A

nên

O^{'} O + O A = O^{'} A

, suy ra

O O^{'} = O^{'} A - O A = O^{'} C - O A

.
TH2 — $O^{'}$ nằm cùng phía $A$ so với $O$ (tức

A

nằm giữa

O

và

O^{'}

): tương tự

Δ O^{'} A C ∽ Δ O A B

(g.g),

O^{'} A = O^{'} C

.
Vì

A

nằm giữa

O

O^{'}

nên

O A + A O^{'} = O O^{'}

, suy ra

O O^{'} = O A + O^{'} A = O A + O^{'} C

Vậy TH1 cho $O O^{'} = O^{'} C - O A$ (dạng $R^{'} - R$ ): $(O^{'})$ tiếp xúc trong với $(O)$ . TH2 cho $O O^{'} = O A + O^{'} C$ (dạng $R + R^{'}$ ): $(O^{'})$ tiếp xúc ngoài với $(O)$ .

2Cách 2. Kiểm chứng bằng bộ số liệu cụ thể cho từng trường hợp

Định hướng. Chọn số liệu cụ thể thoả đúng thứ tự điểm ở mỗi trường hợp, tính trực tiếp $O O^{'}$ , $O A$ , $O^{'} C$ rồi so với công thức tiếp xúc để xác nhận lại kết quả của Cách 1.

TH1: chọn

O A = 4

(bán kính

(O)

O O^{'} = 3

, với

O

nằm giữa

O^{'}

A

: suy ra

O^{'} A = O O^{'} + O A = 7 = O^{'} C

. Kiểm tra:

O^{'} C - O A = 7 - 4 = 3 = O O^{'}

— đúng dạng tiếp xúc trong.
TH2: chọn

O A = 4

A O^{'} = 2

, với

A

nằm giữa

O

O^{'}

: suy ra

O O^{'} = O A + A O^{'} = 6

O^{'} C = O^{'} A = 2

. Kiểm tra:

O A + O^{'} C = 4 + 2 = 6 = O O^{'}

— đúng dạng tiếp xúc ngoài.

Vậy hai bộ số liệu minh hoạ xác nhận đúng hai kết luận của Cách 1: TH1 tiếp xúc trong, TH2 tiếp xúc ngoài.

Nhận xét. Điểm mấu chốt của cả hai trường hợp vẫn là $O^{'} A = O^{'} C$ — hệ quả của việc $O^{'} C ∥ O B$ và tam giác $O A B$ cân tại $O$ ; khác biệt duy nhất giữa TH1, TH2 chỉ là điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.

3Cách 3. Dùng góc so le trong thay cho tam giác đồng dạng

Định hướng. Thay vì gọi tên "tam giác đồng dạng", chứng minh trực tiếp $O^{'} C A = O B A$ (đồng vị do $O^{'} C ∥ O B$ ) rồi suy luận qua góc để có $O^{'} A = O^{'} C$ , tránh phải phát biểu định lí đồng dạng đầy đủ.

Vì

O^{'} C ∥ O B

và

A

C

B

không thẳng hàng với

O^{'}

theo cùng một cát tuyến

A B

, nên

O^{'} C A = O B A

(hai góc đồng vị).
Mà

O B A = O A B = O^{'} A C

(tam giác

O A B

cân tại

O

, và

O A B

O^{'} A C

là cùng một góc hoặc đối đỉnh tuỳ trường hợp thẳng hàng).
Suy ra

O^{'} C A = O^{'} A C

, nên tam giác

O^{'} A C

cân tại

O^{'}

, tức

O^{'} A = O^{'} C

— quay lại đúng kết quả then chốt như Cách 1.

Vậy từ $O^{'} A = O^{'} C$ , lập lại đúng hai hệ thức của TH1, TH2 như Cách 1, cho cùng kết luận: TH1 tiếp xúc trong, TH2 tiếp xúc ngoài.

Nhận xét. Cách 3 chỉ là một lối trình bày khác của Cách 1 (dùng góc thay vì gọi tên tam giác đồng dạng), phù hợp khi đề yêu cầu tránh dùng thuật ngữ "đồng dạng" chưa học kĩ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi tên tam giác đồng dạng (g.g) là cách chuẩn mực, trình bày ngắn gọn nhất và không phụ thuộc vào việc chọn số liệu minh hoạ như Cách 2.

Đáp số. Nếu

O^{'}

nằm ngoài đoạn

O A

về phía đối diện với

A

(qua

O

) thì

(O^{'})

tiếp xúc trong với

(O)

; nếu

O^{'}

nằm ngoài đoạn

O A

về phía

A

thì

(O^{'})

tiếp xúc ngoài với

(O)

Sai lầm thường gặp. Chỉ xét một trong hai trường hợp "

O^{'}

nằm ngoài đoạn

O A

" (thường chỉ xét trường hợp dễ hình dung là

O^{'}

về phía

A

) mà bỏ sót trường hợp còn lại, dẫn đến lời giải phần b) không đầy đủ.

🚀 Mở rộng. Kết hợp cả phần a) (khi

O^{'}

nằm giữa

O

A

thì

(O^{'})

luôn tiếp xúc trong với

(O)

, vì khi đó

O O^{'} = O A - O^{'} C

luôn đúng dạng

R - R^{'}

) với phần b) vừa chứng minh, ta có bức tranh đầy đủ:

O^{'}

di chuyển dọc đường thẳng

O A

luôn cho

(O^{'})

tiếp xúc với

(O)

tại đúng điểm phụ thuộc vị trí

O^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 5.24★★★Trang 68— Chứng minh hai đường tròn cắt nhau bằng bất đẳng thức kép, rồi dùng tam giác vuông nội tiếp nửa đường tròn

Bài 5.24 (trang 68). Cho điểm

A

và đường tròn

(O; R)

sao cho

R < O A < 3 R

. a) Chứng minh rằng đường tròn

(A; 2 R)

cắt đường tròn

(O; R)

. Gọi

B

là một trong hai giao điểm của chúng. b) Gọi

C

là điểm đối xứng với

B

qua

O

. Nối

A

với

C

cắt

(O)

tại

D

(khác

C

). Chứng minh rằng

A D = D C

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O^{'}; R^{'})$ (với $R \geq R^{'}$ ) cắt nhau khi và chỉ khi $R - R^{'} < O O^{'} < R + R^{'}$ .
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 5.25★★★Trang 68— Xác định hai đường tròn tiếp xúc trong rồi dùng tam giác vuông nội tiếp để so sánh hai đoạn thẳng

Bài 5.25 (trang 68). Cho

I

là trung điểm của đoạn

A B

. Xét các đường tròn

(I; I B)

và

(A; A B)

. a) Hai đường tròn

(I)

và

(A)

nói trên có vị trí tương đối như thế nào? b) Đường thẳng đi qua

B

, cắt các đường tròn

(I)

và

(A)

lần lượt tại

C

và

D

. Hãy so sánh các độ dài

B C

và

C D

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi $O O^{'} = R + R^{'}$ ; tiếp xúc trong khi $O O^{'} = R - R^{'}$ (với $R > R^{'}$ ).
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh cân đồng thời là trung tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5.26★★★Trang 68— Chứng minh hai đường tròn cắt nhau, chứng minh đối xứng trục, rồi tính độ dài bằng Pythagore

Bài 5.26 (trang 68). Cho tam giác

A B C

. a) Chứng minh rằng hai đường tròn

(B; B A)

và

(C; C A)

cắt nhau. Gọi

A^{'}

là giao điểm khác

A

của hai đường tròn đó. b) Chứng minh rằng

A

và

A^{'}

đối xứng nhau qua

B C

. c) Biết rằng

A A^{'} = 24

cm,

A B = 15

cm và

A C = 13

cm. Tính độ dài

B C

Kiến thức cần nhớ

Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗