Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Định hướng. Dựng tam giác $OA{O}^{\prime }$ theo đúng ba cạnh đã cho, sau đó vẽ hai đường tròn $(O;OA)$, $(O^{\prime };O^{\prime }A)$ và đếm điểm chung trên hình.

Vậy hai đường tròn $(O;OA)$ và $(O^{\prime };O^{\prime }A)$ có đúng hai điểm chung là $A$ và $B$.

Định hướng. Từ hệ thức $OA-O^{\prime }A<O{O}^{\prime }<OA+O^{\prime }A$ suy ngược lại: đây chính là điều kiện để ba đoạn $OA$, $O^{\prime }A$, $O{O}^{\prime }$ dựng được một tam giác thật sự (không suy biến).

Vậy hai đường tròn đó có đúng hai điểm chung $A$, $B$, nằm đối xứng nhau qua $O{O}^{\prime }$.

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$, $O^{\prime }$ trên trục hoành rồi giải hệ phương trình hai đường tròn để đếm số nghiệm chung.

Vậy hệ có đúng hai nghiệm $(x;y)$, tức hai đường tròn có đúng hai điểm chung.

Nhận xét. Cách 3 cho luôn cả toạ độ giao điểm, dùng được khi đề hỏi thêm độ dài dây chung $AB$.

Định hướng. Tính $R-R^{\prime }$ và $R+R^{\prime }$ rồi so sánh với $O{O}^{\prime }=5$.

Vậy hai đường tròn đã cho cắt nhau.

Định hướng. Giả sử hai đường tròn có điểm chung $A$, khi đó $OA=4$, $O^{\prime }A=3$, $O{O}^{\prime }=5$ tạo thành tam giác — kiểm tra ba số này có thoả bất đẳng thức tam giác không.

Vậy điểm chung $A$ tồn tại (cùng với điểm đối xứng $B$ qua $O{O}^{\prime }$), tức hai đường tròn cắt nhau.

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $O^{\prime }(5;0)$, lập hệ phương trình hai đường tròn rồi giải để tìm số nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm $\left(\frac{16}{5};\frac{12}{5}\right)$ và $\left(\frac{16}{5};-\frac{12}{5}\right)$, tức hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Nhận xét. Tam giác $OA{O}^{\prime }$ ở Cách 2 vuông tại $A$ vì $3^2+4^2=5^2$ — đây là bộ ba Pythagore quen thuộc $(3;4;5)$.

Định hướng. Với mỗi giá trị $r$, tính $|5-r|$ và $5+r$ rồi so với $OI=2$.

Vậy cả hai trường hợp $r=4$ và $r=6$ đều cho $|R-r|<OI<R+r$, nên đường tròn $(O;5)$ và $(I;r)$ cắt nhau.

Định hướng. Giải bất phương trình $|5-r|<2<5+r$ theo $r$ một lần, sau đó chỉ cần kiểm tra $r=4$, $r=6$ có thuộc khoảng đó không.

Vậy với mọi $r\in (3;7)$ — trong đó có $r=4$ và $r=6$ — hai đường tròn cắt nhau.

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $I(2;0)$, lập hệ hai phương trình đường tròn, dùng dấu của $y^2$ suy ra số điểm chung.

Vậy cả hai câu đều có $y^2>0$ nên hệ có hai nghiệm phân biệt, khẳng định lại hai đường tròn cắt nhau trong cả hai trường hợp.

Nhận xét. Vì $OI=2$ rất nhỏ so với $R=5$, đường tròn $(I;r)$ chỉ "thoát ra ngoài" hẳn khi $r\le 3$ hoặc "nằm gọn bên trong" khi $r\ge 7$; hai giá trị $4$ và $6$ đề cho đều rơi đúng vào miền cắt nhau.

Định hướng. Dựng $O$, $A$, $O^{\prime }$ thẳng hàng đúng theo từng hệ thức, vẽ hai đường tròn và đếm điểm chung.

Vậy trong cả hai hình, hai đường tròn chỉ có đúng một điểm chung là $A$ — đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Định hướng. Nhắc lại HĐ1: hai đường tròn cắt nhau (hai điểm chung) khi $OA-O^{\prime }A<O{O}^{\prime }<OA+O^{\prime }A$ — đây là bất đẳng thức tam giác chặt. Xét điều gì xảy ra khi dấu "$<$" ở một đầu trở thành "$=$".

Vậy cả hai hình đều cho hai đường tròn có đúng một điểm chung, tức là hai đường tròn tiếp xúc (ngoài ở hình a, trong ở hình b).

Định hướng. Đặt $O$, $O^{\prime }$ trên trục hoành, lập hệ phương trình hai đường tròn, chỉ ra $y^2=0$ nên chỉ có một nghiệm.

Vậy trong cả hai hình, $y=0$ là nghiệm duy nhất, tức hai đường tròn tiếp xúc tại đúng một điểm nằm trên đường thẳng $O{O}^{\prime }$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Điểm chung duy nhất luôn nằm trên đường thẳng $O{O}^{\prime }$ — đây chính là nội dung của Nhận xét 2 trong SGK: tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Định hướng. Tính $R+R^{\prime }$ và $R-R^{\prime }$ rồi so với $O{O}^{\prime }=5$ để xác định đúng loại tiếp xúc.

Vậy vì $O{O}^{\prime }=R+R^{\prime }$ nên hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.

Định hướng. Giả sử tiếp điểm là $A$; nếu tiếp xúc ngoài thì $A$ nằm giữa $O,O^{\prime }$ với $OA+O^{\prime }A=O{O}^{\prime }$, nếu tiếp xúc trong thì $A$ nằm ngoài đoạn $O{O}^{\prime }$ với $|OA-O^{\prime }A|=O{O}^{\prime }$.

Vậy chỉ có phương án $A$ nằm giữa $O,O^{\prime }$ là đúng, tức hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$ với $A$ nằm giữa $O$ và $O^{\prime }$.

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $O^{\prime }(5;0)$, giải hệ hai phương trình đường tròn để tìm tiếp điểm, rồi so sánh vị trí tiếp điểm với đoạn $O{O}^{\prime }$.

Vậy tiếp điểm $A(3;0)$ nằm giữa $O(0;0)$ và $O^{\prime }(5;0)$ trên trục hoành (vì $0<3<5$), khẳng định hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Nhận xét. Nếu đổi đề thành $(O;3cm)$ và $(O^{\prime };2cm)$ với $O{O}^{\prime }=1$ thì $O{O}^{\prime }=R-R^{\prime }$, khi đó sẽ là tiếp xúc trong, tiếp điểm nằm ngoài đoạn $O{O}^{\prime }$.

Định hướng. Tính $R-R^{\prime }$ và $R+R^{\prime }$ rồi so với $O{O}^{\prime }=3$.

Vậy vì $O{O}^{\prime }=R-R^{\prime }$ (với $R=8>R^{\prime }=5$) nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Định hướng. Nếu tiếp xúc trong thì tiếp điểm $A$ nằm trên tia $O{O}^{\prime }$ sao cho $O^{\prime }$ nằm giữa $O$ và $A$, với $OA=8$, $O^{\prime }A=5$.

Vậy điểm $A$ xác định như trên vừa thuộc $(O)$ vừa thuộc $(O^{\prime })$, và vì $O^{\prime }$ nằm giữa $O,A$ nên đây là tiếp xúc trong (đường tròn $(O^{\prime })$ nằm gọn phía trong đường tròn $(O)$, tiếp xúc tại $A$).

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $O^{\prime }(3;0)$, lập hệ hai phương trình đường tròn, tìm tiếp điểm và xác định nó nằm ngoài đoạn $O{O}^{\prime }$ hay trong đoạn đó.

Vậy tiếp điểm $A(8;0)$ nằm ngoài đoạn $O{O}^{\prime }$ (vì $8>3>0$), đúng vị trí đặc trưng của tiếp xúc trong — khớp với Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Khi tiếp xúc trong, tiếp điểm luôn nằm ngoài đoạn nối hai tâm (về phía tâm đường tròn lớn); khi tiếp xúc ngoài, tiếp điểm luôn nằm giữa hai tâm.

Định hướng. Dựng $O$, $O^{\prime }$ đúng khoảng cách $O{O}^{\prime }$ đã cho ở mỗi hình, vẽ hai đường tròn bán kính $OA$, $O^{\prime }B$ tương ứng rồi quan sát.

Vậy trong cả hai hình, hai đường tròn không có điểm chung nào.

Định hướng. Giả sử tồn tại điểm chung $M$; khi đó $OM=OA$ và $O^{\prime }M=O^{\prime }B$, ba đoạn $OM$, $O^{\prime }M$, $O{O}^{\prime }$ phải thoả bất đẳng thức tam giác. Kiểm tra điều này có mâu thuẫn với giả thiết hay không.

Vậy trong cả hai trường hợp, giả sử có điểm chung đều dẫn đến mâu thuẫn, nên hai đường tròn không có điểm chung nào.

Định hướng. Đặt $O$, $O^{\prime }$ trên trục hoành, lập hệ hai phương trình đường tròn, chỉ ra $y^2<0$ vô nghiệm.

Vậy cách đại số cũng xác nhận: hệ vô nghiệm ở cả hai hình ($y^2<0$), tức hai đường tròn không giao nhau trong cả hai trường hợp.

Nhận xét. Cách 3 ở Hình b hơi cồng kềnh — với dạng "đựng nhau" nên ưu tiên Cách 2 (phản chứng) vì gọn và chắc chắn hơn.

Định hướng. Tính $R+R^{\prime }$, so với mốc $8$ mà đề cho, từ đó suy ra quan hệ giữa $O{O}^{\prime }$ và $R+R^{\prime }$ đúng với mọi $O{O}^{\prime }>8$.

Vậy hai đường tròn $(O;3cm)$ và $(O^{\prime };5cm)$ ở ngoài nhau.

Định hướng. Thử với một giá trị cụ thể $O{O}^{\prime }=8.5$ để hình dung, sau đó lập luận rằng khi $O{O}^{\prime }$ càng tăng so với mốc $8$ thì hai đường tròn càng tách xa hơn chứ không thể quay lại chạm nhau.

Vậy với mọi $O{O}^{\prime }>8$ (không riêng $8.5$), hai đường tròn luôn ở ngoài nhau.

Định hướng. Giả sử hai đường tròn có điểm chung $M$, suy ra bất đẳng thức tam giác $O{O}^{\prime }\le OM+O^{\prime }M=R+R^{\prime }=8$, đối chiếu với giả thiết $O{O}^{\prime }>8$.

Vậy giả sử có điểm chung là sai, nên hai đường tròn không có điểm chung nào — tức ở ngoài nhau (vì $O{O}^{\prime }>R+R^{\prime }$ chứ không phải trường hợp đựng nhau).

Nhận xét. Bài chỉ cho $O{O}^{\prime }>8$ mà không cho một số cụ thể, nên câu trả lời phải là một mệnh đề đúng với MỌI $O{O}^{\prime }$ thoả điều kiện — đây là điểm khác biệt so với Ví dụ 1, Ví dụ 2 vốn cho số liệu cụ thể.

Định hướng. Tính $R-r$ theo biến $r$, so sánh với $O{O}^{\prime }=2$ bằng bất phương trình, rồi đối chiếu với điều kiện $r<3$ của đề.

Vậy với mọi $0<r<3$, đường tròn $(O;5cm)$ đựng đường tròn $(O^{\prime };r)$.

Định hướng. Thử $r=1$ cm (thoả $r<3$) để tính cụ thể, sau đó lập luận vì sao kết luận không đổi khi $r$ thay đổi trong khoảng cho phép.

Vậy với mọi $r<3$, luôn có $R-r>2=O{O}^{\prime }$, khẳng định lại $(O)$ đựng $(O^{\prime })$.

Định hướng. Xét trước trường hợp biên $r=3$ (đường tròn tiếp xúc trong) rồi lập luận khi $r$ giảm xuống dưới biên đó thì đường tròn $(O^{\prime })$ càng nằm sâu vào trong $(O)$.

Vậy với $r<3$ (nhỏ hơn giá trị tiếp xúc), đường tròn $(O^{\prime })$ nằm hẳn trong đường tròn $(O)$ mà không tiếp xúc — tức $(O)$ đựng $(O^{\prime })$.

Nhận xét. Giá trị $r=3$ chính là ranh giới: đúng bằng $3$ thì tiếp xúc trong, nhỏ hơn $3$ thì đựng hẳn, lớn hơn $3$ (nhưng còn nhỏ hơn $7$) thì cắt nhau.

Định hướng. Đối chiếu mô tả "che một phần / che hết" với định nghĩa đường tròn cắt nhau (còn thấy hai phần) và đường tròn đựng đường tròn kia (bị che hết, không còn phần lộ ra).

Vậy câu a) hai đường tròn cắt nhau; câu b) đường tròn bóng Trái Đất đựng đường tròn Mặt Trăng.

Định hướng. Gọi $R$ là bán kính hình tròn bóng Trái Đất, $r$ là bán kính hình tròn Mặt Trăng, $d$ là khoảng cách hai tâm khi sắp xếp; so sánh $d$ với $R-r$ và $R+r$ theo từng mức độ che khuất.

Vậy kết luận giống Cách 1: câu a) ứng với $R-r<d<R+r$ (cắt nhau); câu b) ứng với $d<R-r$ (đựng nhau).

Nhận xét. Khi $d\ge R+r$ (hai hình tròn ở ngoài nhau) thì Mặt Trăng hoàn toàn không bị che — không xảy ra nguyệt thực, đúng với thực tế thiên văn.

Định hướng. Dựa đúng bảng tổng kết cuối bài, liệt kê số điểm chung của cả ba vị trí tương đối rồi so hai cụm từ đang tranh luận.

Vậy "không cắt nhau" là một tập rộng hơn "không giao nhau" (còn thêm cả trường hợp tiếp xúc), nên hai cách nói không đồng nghĩa — Tròn nói sai.

Định hướng. Chọn hai đường tròn tiếp xúc (như Ví dụ 2: $R=3$, $R^{\prime }=2$, $O{O}^{\prime }=5$) để kiểm tra xem có thoả cả hai cách nói của Tròn hay không.

Vậy với cặp đường tròn tiếp xúc này, "không cắt nhau" đúng nhưng "không giao nhau" sai — chứng tỏ hai mệnh đề không tương đương, Tròn nói sai.

Định hướng. Coi "cắt nhau", "tiếp xúc", "không giao nhau" là ba tập con rời nhau của tất cả các cặp vị trí tương đối; diễn tả hai mệnh đề của Tròn bằng phép toán tập hợp.

Vậy $A\cup B\ne B$ (vì $A\ne \varnothing$), nên "không cắt nhau" ($A\cup B$) không đồng nghĩa với "không giao nhau" ($B$) — khẳng định lại Tròn nói sai.

Nhận xét. Ghi nhớ đúng thứ bậc bao hàm: "giao nhau" (có ít nhất 1 điểm chung) = "cắt nhau" $\cup$ "tiếp xúc"; còn "không giao nhau" là phần bù của toàn bộ "giao nhau", hẹp hơn hẳn "không cắt nhau".

Định hướng. Đánh số 9 hình tròn trong Hình 5.37 theo thứ tự từ trên xuống, trái sang phải, rồi quan sát từng cặp liền kề xem chúng có phần viền chồng lên nhau hay tách rời.

Vậy một vài cặp cắt nhau là $(1,2)$, $(4,5)$, $(5,6)$, $(8,9)$; một vài cặp không giao nhau là $(1,6)$, $(1,7)$, $(3,7)$, $(4,9)$ (đánh số theo Cách 1).

Định hướng. Với mỗi cặp còn nghi ngờ, ước lượng bán kính $R$, $R^{\prime }$ theo tỉ lệ trên ảnh và khoảng cách tâm $d$, rồi so $d$ với $R+R^{\prime }$ và $|R-R^{\prime }|$ để xác nhận lại kết luận quan sát bằng mắt ở Cách 1.

Vậy việc ước lượng $d$ so với $R+R^{\prime }$ cho từng cặp khẳng định lại đúng kết luận đã đọc trực tiếp từ ảnh ở Cách 1, không có cặp nào bị đọc sai.

Nhận xét. Với bài đọc hình thực tế như thế này, việc ước lượng số liệu (Cách 2) chỉ có vai trò kiểm chứng — kết luận cuối cùng vẫn dựa chủ yếu vào quan sát trực tiếp hình ảnh (Cách 1).

Định hướng. Với mỗi giá trị $R^{\prime }$, tính $|R-R^{\prime }|$ và $R+R^{\prime }$ rồi so với $O{O}^{\prime }=5$.

Vậy a) hai đường tròn cắt nhau; b) hai đường tròn ở ngoài nhau (không giao nhau); c) hai đường tròn tiếp xúc trong.

Định hướng. Lập trước các khoảng giá trị của $R^{\prime }$ ứng với mỗi vị trí tương đối khi $O{O}^{\prime }=5$, $R=3$ cố định, sau đó chỉ cần tra cứu $R^{\prime }=3,1,8$ thuộc khoảng nào.

Vậy $R^{\prime }=3\in (2;8)$: cắt nhau; $R^{\prime }=1\in (0;2)$: ở ngoài nhau; $R^{\prime }=8$ đúng giá trị biên: tiếp xúc trong — khớp hoàn toàn với Cách 1.

Định hướng. Đặt $O(0;0)$, $O^{\prime }(5;0)$, lập hệ phương trình hai đường tròn cho từng câu, xét dấu $y^2$ để xác nhận số điểm chung.

Vậy kết quả đại số ở cả ba câu khớp đúng với Cách 1 và Cách 2: a) cắt nhau, b) không giao nhau, c) tiếp xúc trong.

Nhận xét. Câu c) tuy $R^{\prime }=8$ lớn hơn nhiều so với $R=3$ nhưng vẫn chỉ là tiếp xúc (không phải đựng hẳn) vì $O{O}^{\prime }=5$ đúng bằng $R^{\prime }-R$ — chỉ cần $O{O}^{\prime }$ nhỏ hơn $5$ một chút thì mới chuyển sang đựng nhau thật sự.

Định hướng. Với mỗi câu, xác định điểm nằm giữa, viết hệ thức cộng đoạn thẳng tương ứng, rồi biến đổi về đúng dạng $O{O}^{\prime }=OA+O^{\prime }A$ (tiếp xúc ngoài) hoặc $O{O}^{\prime }=|OA-O^{\prime }A|$ (tiếp xúc trong).

Vậy a) tiếp xúc ngoài; b) tiếp xúc trong, $(O^{\prime })$ chứa $(O)$; c) tiếp xúc trong, $(O)$ chứa $(O^{\prime })$.

Định hướng. Vẽ minh hoạ mỗi câu bằng một bộ số liệu cụ thể thoả đúng thứ tự điểm nằm giữa, tính $O{O}^{\prime }$ và so với $OA\pm O^{\prime }A$ để xác nhận lại hệ thức ở Cách 1.