Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.9★Trang 10— Giải phương trình bậc hai bằng cách đưa về dạng tích

Bài 6.9 (trang 10). Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích:
a)

x^{2} + 5 x = 0

;
b)

x^{2} - 16 = 0

;
c)

x^{2} - 10 x + 25 = 0

;
d)

x^{2} + 8 x + 12 = 0

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ và $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
Với $a = 1$ , tách $x^{2} + b x + c$ bằng cách tìm hai số có tổng $b$ và tích $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý là bốn kiểu tách nhân tử cơ bản: đặt nhân tử chung, hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu và tách hạng tử giữa — dấu hiệu nhận ra nằm ngay ở chỗ phương trình khuyết hạng tử nào. Nên nhìn hệ số trước khi bắt tay: khuyết

c

thì đặt

x

chung, khuyết

b

thì dùng hiệu hai bình phương, còn đủ ba hạng tử thì thử

(\frac{b}{2})^{2}

có bằng

c

không. Bẫy ở ý c) là vội kết luận có hai nghiệm trong khi

(x - 5)^{2} = 0

chỉ cho một nghiệm kép.

1Cách 1. Đưa về dạng tích đúng như đề yêu cầu

Định hướng. Mỗi ý chọn đúng một kiểu phân tích: đặt nhân tử chung, hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu, tách hạng tử giữa.

x^{2} + 5 x = 0

x (x + 5) = 0

x = 0

hoặc

x + 5 = 0

x = 0

hoặc

x = - 5

x^{2} - 16 = 0

x^{2} - 4^{2} = 0

(x - 4) (x + 4) = 0

x = 4

hoặc

x = - 4

x^{2} - 10 x + 25 = 0

(x - 5)^{2} = 0

x - 5 = 0

x = 5

x^{2} + 8 x + 12 = 0

x^{2} + 6 x + 2 x + 12 = 0

x (x + 6) + 2 (x + 6) = 0

(x + 6) (x + 2) = 0

x = - 6

hoặc

x = - 2

Vậy a) $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ ; b) $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ ; c) nghiệm kép $x = 5$ ; d) $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ .

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm cho cả bốn ý

Định hướng. Đọc $a$ , $b$ , $c$ rồi tính $Δ$ ; cả bốn ý đều có $Δ$ là số chính phương nên nghiệm ra số đẹp.

a = 1

b = 5

c = 0

;

Δ = 25

;

Δ = 5

x_{1} = \frac{- 5 + 5}{2} = 0

;

x_{2} = \frac{- 5 - 5}{2} = - 5

a = 1

b = 0

c = - 16

;

Δ = 64

;

Δ = 8

x_{1} = \frac{0 + 8}{2} = 4

;

x_{2} = \frac{0 - 8}{2} = - 4

a = 1

b = - 10

c = 25

;

Δ = 100 - 100 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{10}{2} = 5

a = 1

b = 8

c = 12

;

Δ = 64 - 48 = 16

;

Δ = 4

x_{1} = \frac{- 8 + 4}{2} = - 2

;

x_{2} = \frac{- 8 - 4}{2} = - 6

Vậy a) $0$ và $- 5$ ; b) $4$ và $- 4$ ; c) nghiệm kép $5$ ; d) $- 2$ và $- 6$ .

3Cách 3. Hoàn thành bình phương rồi khai căn

Định hướng. Đưa mỗi vế trái về dạng ''một bình phương bằng một số'' rồi khai căn; dấu và độ lớn của số đó cho biết ngay số nghiệm.

x^{2} + 5 x = 0

(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}

x = - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0

hoặc

x = - \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = - 5

x^{2} = 16

x = 4

hoặc

x = - 4

(x - 5)^{2} = 0

x = 5

x^{2} + 8 x + 16 = - 12 + 16

(x + 4)^{2} = 4

x + 4 = 2

hoặc

x + 4 = - 2

x = - 2

hoặc

x = - 6

Vậy a) $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ ; b) $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng nghiệm; ý c) có $Δ = 0$ nên chỉ một nghiệm, đó là lí do vế trái viết được thành bình phương đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đích danh dạng tích và mỗi ý chỉ hai dòng; Cách 2 dùng khi không nhẩm ra cặp số để tách.

Đáp số. a)

x_{1} = 0

x_{2} = - 5

· b)

x_{1} = 4

x_{2} = - 4

· c) nghiệm kép

x = 5

· d)

x_{1} = - 2

x_{2} = - 6

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) thấy

(x - 5)^{2} = 0

rồi viết

x - 5 = 0

hoặc

x - 5 = - 0

và kết luận ''hai nghiệm

x = 5

''; phương trình chỉ có MỘT nghiệm (nghiệm kép). Ở ý a) thì hay chia hai vế cho

x

nên mất nghiệm

x = 0

🚀 Mở rộng. Cùng bốn kiểu tách này, hãy giải

x^{2} - 7 x = 0

x^{2} - 13 = 0

x^{2} + 12 x + 36 = 0

và

x^{2} - 9 x + 20 = 0

để nhận ra dạng nào ứng với kiểu nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.10★★Trang 10— Giải phương trình dạng bình phương của một nhị thức bằng một số dương

Bài 6.10 (trang 10). Giải các phương trình sau:
a)

(2 x + 1)^{2} = 3

;
b)

(2 - 3 x)^{2} = 5

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A^{2} = B$ với $B > 0$ thì $A = B$ hoặc $A = - B$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái của cả hai ý đã là bình phương của một nhị thức bậc nhất, vế phải là số dương — dấu hiệu chỉ cần khai căn hai vế rồi giải hai phương trình bậc nhất. Hướng này ngắn hơn nhiều so với khai triển rồi dùng công thức nghiệm. Bẫy ở ý b) là hệ số của

x

mang dấu âm nên khi chuyển vế dễ nhầm dấu của nghiệm.

1Cách 1. Khai căn hai vế

Định hướng. Vế phải dương nên khai căn được, nhớ lấy đủ hai dấu rồi giải hai phương trình bậc nhất.

(2 x + 1)^{2} = 3

2 x + 1 = 3

hoặc

2 x + 1 = - 3

2 x = - 1 + 3

hoặc

2 x = - 1 - 3

x = \frac{- 1 + 3}{2}

hoặc

x = \frac{- 1 - 3}{2}

(2 - 3 x)^{2} = 5

2 - 3 x = 5

hoặc

2 - 3 x = - 5

3 x = 2 - 5

hoặc

3 x = 2 + 5

x = \frac{2 - 5}{3}

hoặc

x = \frac{2 + 5}{3}

Vậy a) $x_{1} = \frac{- 1 + 3}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 1 - 3}{2}$ ; b) $x_{1} = \frac{2 - 5}{3}$ , $x_{2} = \frac{2 + 5}{3}$ .

2Cách 2. Tách nhân tử bằng hiệu hai bình phương

Định hướng. Chuyển số ở vế phải sang vế trái, viết nó thành bình phương của căn bậc hai rồi tách thành tích hai nhân tử bậc nhất.

(2 x + 1)^{2} - (3)^{2} = 0

(2 x + 1 - 3) (2 x + 1 + 3) = 0

2 x + 1 - 3 = 0

hoặc

2 x + 1 + 3 = 0

x = \frac{- 1 + 3}{2}

hoặc

x = \frac{- 1 - 3}{2}

(2 - 3 x)^{2} - (5)^{2} = 0

(2 - 3 x - 5) (2 - 3 x + 5) = 0

2 - 3 x - 5 = 0

hoặc

2 - 3 x + 5 = 0

x = \frac{2 - 5}{3}

hoặc

x = \frac{2 + 5}{3}

Vậy a) $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ ; b) $x_{1, 2} = \frac{2 \mp 5}{3}$ .

3Cách 3. Khai triển rồi dùng công thức nghiệm thu gọn

Định hướng. Đưa về dạng chuẩn rồi tính $Δ^{'}$ để kiểm chứng lại kết quả của hai cách trên.

4 x^{2} + 4 x + 1 - 3 = 0

4 x^{2} + 4 x - 2 = 0

2 x^{2} + 2 x - 1 = 0

a = 2

b^{'} = 1

c = - 1

Δ^{'} = 1^{2} - 2 \cdot (- 1) = 3

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}

9 x^{2} - 12 x + 4 - 5 = 0

9 x^{2} - 12 x - 1 = 0

a = 9

b^{'} = - 6

c = - 1

Δ^{'} = (- 6)^{2} - 9 \cdot (- 1) = 36 + 9 = 45

Δ^{'} = 35

x_{1, 2} = \frac{6 \pm 3 5}{9} = \frac{2 \pm 5}{3}

Vậy a) $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ ; b) $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 5}{3}$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Ở ý b), hai nghiệm viết dưới dạng $\frac{2 \pm 5}{3}$ hay $\frac{2 \mp 5}{3}$ đều là cùng một tập nghiệm, chỉ khác thứ tự.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mỗi ý chỉ ba dòng và không phải khai triển; Cách 3 chỉ nên dùng để thử lại khi nghi ngờ mình nhầm dấu ở ý b).

Đáp số. a)

x_{1} = \frac{- 1 + 3}{2}

x_{2} = \frac{- 1 - 3}{2}

· b)

x_{1} = \frac{2 - 5}{3}

x_{2} = \frac{2 + 5}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) từ

2 - 3 x = 5

chuyển vế thành

3 x = 5 - 2

rồi ra

x = \frac{5 - 2}{3}

; thay lại thấy

2 - 3 x = 2 - (5 - 2) = 4 - 5 \neq = 5

nên sai — phải là

3 x = 2 - 5

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, phương trình

(p x + q)^{2} = k

với

k > 0

luôn có hai nghiệm

x = \frac{- q \pm k}{p}

; hãy thử áp dụng cho

(5 - 2 x)^{2} = 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.11★★Trang 10— Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn, hệ số có chứa căn

Bài 6.11 (trang 10). Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình bậc hai sau:
a)

x^{2} + 2 x - 5 = 0

;
b)

4 x^{2} - 43 x + 3 = 0

;
c)

x^{2} - 65 x + 7 = 0

Kiến thức cần nhớ

Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ ; $Δ^{'} > 0$ cho hai nghiệm $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ , $Δ^{'} = 0$ cho nghiệm kép $x = - \frac{b ^{'}}{a}$ .
$(m n)^{2} = m^{2} n$ .
$A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ và $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x

ở cả ba ý đều chia hết cho

2

(

2

- 43

- 65

) — dấu hiệu rõ ràng để dùng công thức nghiệm thu gọn. Ý b) còn là bình phương đúng nên nhìn ra ngay nghiệm kép, tính

Δ^{'}

chỉ để xác nhận. Bẫy là bình phương các hệ số chứa căn:

(23)^{2}

phải bằng

12

chứ không phải

6

1Cách 1. Dùng công thức nghiệm thu gọn

Định hướng. Lấy $b^{'}$ bằng nửa hệ số của $x$ , tính $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ rồi viết nghiệm với mẫu là $a$ .

a = 1

b^{'} = 1

c = - 5

Δ^{'} = 1^{2} - 1 \cdot (- 5) = 6 > 0

x_{1} = \frac{- 1 + 6}{1}

;

x_{2} = \frac{- 1 - 6}{1}

a = 4

b^{'} = - 23

c = 3

Δ^{'} = (- 23)^{2} - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{2 3}{4} = \frac{3}{2}

a = 1

b^{'} = - 35

c = 7

Δ^{'} = (- 35)^{2} - 1 \cdot 7 = 45 - 7 = 38 > 0

x_{1} = 35 + 38

;

x_{2} = 35 - 38

Vậy a) $x_{1, 2} = - 1 \pm 6$ ; b) nghiệm kép $x = \frac{3}{2}$ ; c) $x_{1, 2} = 35 \pm 38$ .

2Cách 2. Tách nhân tử bằng hằng đẳng thức

Định hướng. Ý b) vế trái là bình phương đúng; ý a) và ý c) hoàn thành bình phương rồi viết thành hiệu hai bình phương để đưa về phương trình tích.

4 x^{2} - 43 x + 3 = 0

(2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + (3)^{2} = 0

(2 x - 3)^{2} = 0

x = \frac{3}{2}

x^{2} + 2 x + 1 - 6 = 0

(x + 1)^{2} - (6)^{2} = 0

(x + 1 - 6) (x + 1 + 6) = 0

x = - 1 + 6

hoặc

x = - 1 - 6

x^{2} - 65 x + 45 - 38 = 0

(x - 35)^{2} - (38)^{2} = 0

(x - 35 - 38) (x - 35 + 38) = 0

x = 35 + 38

hoặc

x = 35 - 38

Vậy a) $x_{1, 2} = - 1 \pm 6$ ; b) $x = \frac{3}{2}$ ; c) $x_{1, 2} = 35 \pm 38$ .

3Cách 3. Dùng công thức nghiệm đầy đủ để đối chiếu

Định hướng. Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ với hệ số gốc; kết quả phải trùng hai cách trên và luôn thoả $Δ = 4 Δ^{'}$ .

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5) = 24

Δ = 26

x_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 6}{2} = - 1 \pm 6

Δ = (- 43)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 - 48 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{4 3}{8} = \frac{3}{2}

Δ = (- 65)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 180 - 28 = 152

Δ = 238

x_{1, 2} = \frac{6 5 \pm 2 38}{2} = 35 \pm 38

Vậy ba ý cho cùng nghiệm như trên; kiểm tra thấy $24 = 4 \cdot 6$ , $0 = 4 \cdot 0$ , $152 = 4 \cdot 38$ .

Nhận xét. Với hệ số chứa căn, công thức thu gọn giúp tránh phải rút gọn căn thức ở bước cuối — đó là chỗ hay sai nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cả ba ý đều có

b

chẵn; riêng ý b) nhìn ra ngay

(2 x - 3)^{2}

thì viết nghiệm kép mà khỏi tính

Δ^{'}

Đáp số. a)

x_{1} = - 1 + 6

x_{2} = - 1 - 6

· b) nghiệm kép

x = \frac{3}{2}

· c)

x_{1} = 35 + 38

x_{2} = 35 - 38

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) tính

(- 35)^{2} = 3 \cdot 5 = 15

nên ra

Δ^{'} = 8

và nghiệm sai hẳn; phải bình phương cả hệ số lẫn căn:

(- 35)^{2} = 9 \cdot 5 = 45

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, hãy giải

9 x^{2} - 62 x + 2 = 0

và dự đoán: phương trình

a^{2} x^{2} - 2 ab x + b^{2} = 0

luôn có nghiệm kép bằng bao nhiêu?

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.12★★★Trang 10— Tìm nghiệm phương trình bậc hai có hệ số vô tỉ hoặc phân số bằng máy tính cầm tay

Bài 6.12 (trang 10). Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a)

2 x^{2} + 11 x - 1 = 0

;
b)

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x + \frac{50}{9} = 0

;
c)

2 x^{2} - (1 + 5) x + 11 = 0

Kiến thức cần nhớ

$Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $Δ > 0$ cho hai nghiệm phân biệt, $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
$(1 + 5)^{2} = 6 + 25$ .
Máy tính cầm tay hiện kết quả chứa chữ $i$ nghĩa là phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

🧠 Phân tích tư duy

Ba phương trình có hệ số căn thức và phân số — dấu hiệu nên tính

Δ

bằng tay trước để biết sẽ phải đọc gì trên màn hình máy. Ở ý b) nhân hai vế với

18

là mọi hệ số thành số nguyên, còn ý c) chỉ cần so

(1 + 5)^{2}

với

442

là biết dấu của

Δ

. Bẫy là thấy máy hiện kết quả có chữ

i

rồi chép lại như một nghiệm thực.

1Cách 1. Tính biệt thức rồi kết luận

Định hướng. Tính $Δ$ cho từng ý; riêng ý b) nhân hai vế với $18$ trước cho hệ số nguyên.

a = 2

b = 11

c = - 1

Δ = (11)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 11 + 8 = 19 > 0

x_{1} = \frac{- 11 + 19}{4}

;

x_{2} = \frac{- 11 - 19}{4}

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x + \frac{50}{9} = 0

9 x^{2} + 30 x + 100 = 0

Δ = 3 0^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 100 = 900 - 3600 = - 2700 < 0

a = 2

b = - (1 + 5)

c = 11

Δ = (1 + 5)^{2} - 42 \cdot 11 = 6 + 25 - 442

6 + 25 \approx 10, 47

và

442 \approx 62, 23

Δ \approx - 51, 75 < 0

Vậy a) $x_{1} = \frac{19 - 11}{4}$ , $x_{2} = \frac{- 19 - 11}{4}$ ; b) vô nghiệm; c) vô nghiệm.

2Cách 2. Hoàn thành bình phương, tách nhân tử khi có thể

Định hướng. Đưa mỗi vế trái về dạng ''một bình phương cộng một số''; số cộng thêm âm thì tách được thành tích, còn dương thì phương trình vô nghiệm.

2 x^{2} + 11 x - 1 = 0

x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{1}{2} = 0

(x + \frac{11}{4})^{2} - \frac{11}{16} - \frac{1}{2} = 0

(x + \frac{11}{4})^{2} = \frac{19}{16}

(x + \frac{11}{4} - \frac{19}{4}) (x + \frac{11}{4} + \frac{19}{4}) = 0

x = \frac{19 - 11}{4}

hoặc

x = \frac{- 19 - 11}{4}

9 x^{2} + 30 x + 100 = (3 x + 5)^{2} + 75

(3 x + 5)^{2} + 75 \geq 75 > 0

với mọi

x

2 x^{2} - (1 + 5) x + 11 = 2 (x - \frac{1 + 5}{2 2})^{2} + 11 - \frac{( 1 + 5 ) ^{2}}{4 2}

11 - \frac{6 + 2 5}{4 2} \approx 11 - 1, 85 = 9, 15 > 0

Vậy a) $x_{1, 2} = \frac{- 11 \pm 19}{4}$ ; b) và c) vô nghiệm vì vế trái luôn dương.

3Cách 3. Bấm máy tính cầm tay theo đúng yêu cầu của đề

Định hướng. Chuyển máy về chế độ giải phương trình bậc hai rồi nhập nguyên các hệ số của đề, đọc màn hình và đối chiếu với kết quả tính tay.

a) nhập

2

;

11

;

- 1

— máy hiện

x_{1} \approx 0, 260569

;

x_{2} \approx - 1, 918881

\frac{19 - 11}{4} \approx 0, 260569

(khớp)
b) nhập

0, 5

;

\frac{5}{3}

;

\frac{50}{9}

— máy hiện kết quả có chữ

i

c) nhập

2

;

- (1 + 5)

;

11

— máy hiện kết quả có chữ

i

Vậy a) $x_{1} \approx 0, 26$ , $x_{2} \approx - 1, 92$ ; b) vô nghiệm; c) vô nghiệm.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết luận; nên tính $Δ$ trước rồi mới bấm máy, như vậy nhìn màn hình là biết ngay mình nhập đúng hay sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để có lập luận đầy đủ về dấu của

Δ

, rồi dùng Cách 3 bấm máy xác nhận; Cách 2 chỉ nên chọn khi đề yêu cầu chứng minh vế trái luôn dương.

Đáp số. a)

x_{1} = \frac{19 - 11}{4} \approx 0, 26

x_{2} = \frac{- 19 - 11}{4} \approx - 1, 92

· b) vô nghiệm · c) vô nghiệm

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) và ý c) thấy máy hiện kết quả dạng

p + q i

nên chép lại thành nghiệm; chữ

i

báo rằng không có nghiệm thực nên phải kết luận phương trình vô nghiệm. Một lỗi nữa ở ý a) là nhập

11

thành

11

, khi đó máy cho

x \approx 0, 0902

và

- 5, 5902

, lệch hẳn kết quả tính tay.

🚀 Mở rộng. Cùng cách kiểm tra, hãy tìm điều kiện của

c

để

2 x^{2} - (1 + 5) x + c = 0

có nghiệm — bất đẳng thức cần giải chính là

6 + 25 \geq 42 c

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.13★★★Trang 10— Biện luận nghiệm của phương trình

(2 x - 1)^{2} = m

theo tham số

m

Bài 6.13 (trang 10). Tuỳ theo các giá trị của

m

, hãy giải phương trình ẩn

x

(2 x - 1)^{2} = m

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một số thực luôn không âm.
Nếu $A^{2} = B$ với $B > 0$ thì $A = B$ hoặc $A = - B$ ; nếu $B = 0$ thì $A = 0$ .
Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và dấu của $Δ^{'}$ quyết định số nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là một bình phương nên luôn không âm, còn vế phải là tham số chưa biết dấu — dấu hiệu bắt buộc phải chia ba trường hợp

m < 0

m = 0

m > 0

. Hướng khai căn là ngắn nhất vì phương trình đã sẵn dạng bình phương bằng một số. Bẫy là viết ngay

2 x - 1 = \pm m

mà quên rằng

m

chỉ có nghĩa khi

m \geq 0

1Cách 1. Khai căn theo ba trường hợp của

m

Định hướng. So sánh vế phải với $0$ , vì vế trái là bình phương nên không thể bằng một số âm.

m < 0

(2 x - 1)^{2} \geq 0 > m

nên không có

x

nào thoả mãn

m = 0

(2 x - 1)^{2} = 0

2 x - 1 = 0

x = \frac{1}{2}

m > 0

2 x - 1 = m

hoặc

2 x - 1 = - m

x = \frac{1 + m}{2}

hoặc

x = \frac{1 - m}{2}

Vậy $m < 0$ thì phương trình vô nghiệm; $m = 0$ thì có nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$ ; $m > 0$ thì có hai nghiệm $x = \frac{1 \pm m}{2}$ .

2Cách 2. Đưa về dạng chuẩn rồi biện luận theo

Δ^{'}

Định hướng. Khai triển về $a x^{2} + b x + c = 0$ , biệt thức thu gọn sẽ chỉ còn phụ thuộc $m$ , dấu của nó cho ngay kết luận.

(2 x - 1)^{2} = m

4 x^{2} - 4 x + 1 - m = 0

a = 4

b^{'} = - 2

c = 1 - m

Δ^{'} = (- 2)^{2} - 4 (1 - m) = 4 - 4 + 4 m = 4 m

4 m < 0

khi

m < 0

: vô nghiệm

4 m = 0

khi

m = 0

x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

4 m > 0

khi

m > 0

x = \frac{2 \pm 2 m}{4} = \frac{1 \pm m}{2}

Vậy kết quả trùng với Cách 1: vô nghiệm khi $m < 0$ , nghiệm kép $x = \frac{1}{2}$ khi $m = 0$ , hai nghiệm $\frac{1 \pm m}{2}$ khi $m > 0$ .

3Cách 3. Tách nhân tử bằng hiệu hai bình phương khi

m > 0

Định hướng. Khi $m > 0$ thì $m = (m)^{2}$ nên chuyển vế được hiệu hai bình phương, tách thành tích hai nhị thức bậc nhất.

m > 0

(2 x - 1)^{2} - (m)^{2} = 0

(2 x - 1 - m) (2 x - 1 + m) = 0

2 x - 1 - m = 0

hoặc

2 x - 1 + m = 0

x = \frac{1 + m}{2}

hoặc

x = \frac{1 - m}{2}

m = 0

(2 x - 1)^{2} = 0

nên

x = \frac{1}{2}

m < 0

: vế trái không âm, vế phải âm nên vô nghiệm

Vậy ba trường hợp cho kết quả như trên; khi $m > 0$ hai nghiệm đối xứng nhau qua $\frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều cho thấy $m = 0$ là ranh giới: qua giá trị đó số nghiệm đổi từ $0$ sang $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì phương trình đã sẵn dạng bình phương, chỉ cần so vế phải với

0

; Cách 2 dùng khi đề cho sẵn dạng chuẩn

a x^{2} + b x + c = 0

Đáp số.

m < 0

: vô nghiệm ·

m = 0

: nghiệm kép

x = \frac{1}{2}

m > 0

x_{1} = \frac{1 + m}{2}

x_{2} = \frac{1 - m}{2}

Sai lầm thường gặp. Viết luôn

2 x - 1 = \pm m

cho mọi

m

rồi kết luận phương trình luôn có hai nghiệm; với

m = - 4

thì

(2 x - 1)^{2} = - 4

là vô lí vì vế trái không âm, còn với

m = 0

thì hai nghiệm trùng nhau thành một.

🚀 Mở rộng. Cùng cách biện luận, hãy giải và biện luận

(3 x + 2)^{2} = m - 1

theo

m

— ranh giới lần này rơi vào giá trị nào của

m

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.14★★★Trang 10— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số theo

Δ^{'}

Bài 6.14 (trang 10). Cho phương trình (ẩn

x

x^{2} + 4 (m + 1) x + 4 m^{2} - 3 = 0

.
a) Tính biệt thức

Δ^{'}

.
b) Tìm điều kiện của

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ .
$Δ^{'} > 0$ cho hai nghiệm phân biệt, $Δ^{'} = 0$ cho nghiệm kép, $Δ^{'} < 0$ thì vô nghiệm.
$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x

là

4 (m + 1)

, chia hết cho

2

— dấu hiệu dùng công thức nghiệm thu gọn với

b^{'} = 2 (m + 1)

. Điều đáng mừng là khi khai triển thì

4 m^{2}

triệt tiêu nên

Δ^{'}

chỉ còn bậc nhất theo

m

, rất dễ xét dấu. Bẫy là lấy

b^{'} = 4 (m + 1)

vì tưởng

b^{'}

là hệ số viết sẵn trong ngoặc.

1Cách 1. Dùng công thức nghiệm thu gọn

Định hướng. Lấy $b^{'}$ bằng nửa hệ số của $x$ rồi tính $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ , sau đó xét dấu biểu thức bậc nhất thu được.

a = 1

b^{'} = 2 (m + 1)

c = 4 m^{2} - 3

Δ^{'} = [2 (m + 1)]^{2} - 1 \cdot (4 m^{2} - 3)

Δ^{'} = 4 m^{2} + 8 m + 4 - 4 m^{2} + 3

Δ^{'} = 8 m + 7

8 m + 7 > 0

khi

m > - \frac{7}{8}

8 m + 7 = 0

khi

m = - \frac{7}{8}

8 m + 7 < 0

khi

m < - \frac{7}{8}

Vậy $Δ^{'} = 8 m + 7$ ; phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $m > - \frac{7}{8}$ , có nghiệm kép khi $m = - \frac{7}{8}$ , vô nghiệm khi $m < - \frac{7}{8}$ .

2Cách 2. Tính biệt thức đầy đủ rồi đối chiếu

Định hướng. Tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ với $b = 4 (m + 1)$ ; kết quả phải đúng bằng $4 Δ^{'}$ nên cho cùng kết luận.

a = 1

b = 4 (m + 1)

c = 4 m^{2} - 3

Δ = [4 (m + 1)]^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 m^{2} - 3)

Δ = 16 m^{2} + 32 m + 16 - 16 m^{2} + 12

Δ = 32 m + 28

Δ = 4 (8 m + 7)

32 m + 28 > 0

khi

m > - \frac{7}{8}

32 m + 28 = 0

khi

m = - \frac{7}{8}

32 m + 28 < 0

khi

m < - \frac{7}{8}

Vậy $Δ = 4 Δ^{'} = 4 (8 m + 7)$ và kết luận về $m$ trùng với Cách 1.

3Cách 3. Hoàn thành bình phương để thấy luôn nghiệm theo

m

Định hướng. Đưa vế trái về dạng ''một bình phương bằng một số''; số ở vế phải chính là $Δ^{'}$ và còn cho luôn công thức nghiệm theo $m$ .

x^{2} + 4 (m + 1) x + 4 m^{2} - 3 = 0

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 (m + 1) + 4 (m + 1)^{2} - 4 (m + 1)^{2} + 4 m^{2} - 3 = 0

[x + 2 (m + 1)]^{2} = 4 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} + 3

[x + 2 (m + 1)]^{2} = 8 m + 7

8 m + 7 < 0

: vô nghiệm

8 m + 7 = 0

x = - 2 (m + 1) = - \frac{1}{4}

8 m + 7 > 0

x = - 2 (m + 1) \pm 8 m + 7

Vậy khi $m > - \frac{7}{8}$ phương trình có hai nghiệm $x = - 2 (m + 1) \pm 8 m + 7$ ; khi $m = - \frac{7}{8}$ có nghiệm kép $x = - \frac{1}{4}$ ; khi $m < - \frac{7}{8}$ vô nghiệm.

Nhận xét. Cách 3 cho nhiều thông tin nhất vì viết được luôn nghiệm theo $m$ , còn hai cách đầu chỉ trả lời câu hỏi về số nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề hỏi đích danh

Δ^{'}

và các số nhỏ hơn bốn lần so với

Δ

; Cách 3 dùng khi đề hỏi thêm nghiệm theo

m

Đáp số. a)

Δ^{'} = 8 m + 7

· b) hai nghiệm phân biệt khi

m > - \frac{7}{8}

; nghiệm kép khi

m = - \frac{7}{8}

(khi đó

x = - \frac{1}{4}

); vô nghiệm khi

m < - \frac{7}{8}

Sai lầm thường gặp. Lấy

b^{'} = 4 (m + 1)

nên tính

Δ^{'} = 16 (m + 1)^{2} - (4 m^{2} - 3) = 12 m^{2} + 32 m + 19

, một biểu thức bậc hai khiến việc xét dấu rối hẳn và kết luận sai;

b^{'}

phải là NỬA hệ số của

x

, tức

2 (m + 1)

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm

m

để

x^{2} + 4 (m + 1) x + 4 m^{2} - 3 = 0

có hai nghiệm trái dấu — lần này điều kiện lại nằm ở dấu của

c = 4 m^{2} - 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.15★★★Trang 10— Bài toán quỹ đạo ném xiên đưa về phương trình bậc hai

Bài 6.15 (trang 10). Quỹ đạo chuyển động của một quả bóng được cho bởi công thức

y = 1, 5 + x - 0, 098 x^{2}

, trong đó

y

(mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất và

x

(mét) là khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí ném. Tính khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném bóng đến vị trí quả bóng chạm đất.

Kiến thức cần nhớ

Vật chạm đất khi độ cao bằng $0$ .
Nhân hai vế của phương trình với một số khác $0$ ta được phương trình tương đương.
Với $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

''Quả bóng chạm đất'' nghĩa là độ cao

y = 0

— dấu hiệu để thay

y = 0

vào công thức rồi giải phương trình bậc hai theo

x

. Hệ số thập phân nên nhân hai vế với

500

cho hệ số nguyên, tính toán sẽ sạch hơn. Bẫy là nhận nghiệm âm, trong khi

x

là khoảng cách theo phương ngang nên phải dương.

1Cách 1. Cho

y = 0

rồi dùng công thức nghiệm

Định hướng. Thay $y = 0$ , nhân hai vế với $500$ để hết số thập phân rồi tính $Δ$ .

Điều kiện:

x > 0

1, 5 + x - 0, 098 x^{2} = 0

0, 098 x^{2} - x - 1, 5 = 0

49 x^{2} - 500 x - 750 = 0

Δ = (- 500)^{2} - 4 \cdot 49 \cdot (- 750) = 250000 + 147000 = 397000

Δ = 103970

x_{1} = \frac{500 + 10 3970}{98} = \frac{250 + 5 3970}{49}

x_{2} = \frac{250 - 5 3970}{49}

3970 \approx 63, 0079

x_{1} \approx 11, 53

(nhận);

x_{2} \approx - 1, 33

(loại vì âm)

Vậy quả bóng chạm đất ở khoảng cách chừng $11, 53$ m tính theo phương ngang từ vị trí ném.

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm thu gọn cho số nhỏ hơn

Định hướng. Hệ số $b = - 500$ chẵn nên lấy $b^{'} = - 250$ , biệt thức thu gọn nhỏ hơn bốn lần nên khai căn dễ hơn.

49 x^{2} - 500 x - 750 = 0

a = 49

b^{'} = - 250

c = - 750

Δ^{'} = (- 250)^{2} - 49 \cdot (- 750) = 62500 + 36750 = 99250

99250 = 25 \cdot 3970

Δ^{'} = 53970 \approx 315, 04

x_{1} = \frac{250 + 315 , 04}{49} \approx 11, 53

(nhận)

x_{2} = \frac{250 - 315 , 04}{49} \approx - 1, 33

(loại)

Vậy khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném đến chỗ bóng chạm đất là khoảng $11, 53$ m.

3Cách 3. Hoàn thành bình phương để có thêm điểm cao nhất

Định hướng. Viết $y$ dưới dạng một hằng số trừ đi một bình phương; dạng này cho luôn độ cao lớn nhất rồi mới giải $y = 0$ .

y = - 0, 098 (x^{2} - \frac{1000}{98} x) + 1, 5

y = - 0, 098 (x - \frac{500}{98})^{2} + 0, 098 \cdot (\frac{500}{98})^{2} + 1, 5

y = - 0, 098 (x - \frac{250}{49})^{2} + \frac{1250}{245} + 1, 5

y = 0

(x - \frac{250}{49})^{2} = \frac{99250}{2401}

x - \frac{250}{49} = \frac{5 3970}{49}

hoặc

x - \frac{250}{49} = - \frac{5 3970}{49}

x \approx 11, 53

(nhận) hoặc

x \approx - 1, 33

(loại)

Vậy bóng chạm đất ở khoảng cách chừng $11, 53$ m; đồng thời bóng lên cao nhất khoảng $6, 60$ m khi đi được $\frac{250}{49} \approx 5, 10$ m theo phương ngang.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số; Cách 3 cho thêm toạ độ điểm cao nhất của quỹ đạo, rất hay dùng cho các câu hỏi phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì

Δ^{'}

nhỏ hơn

Δ

bốn lần và tách được

99250 = 25 \cdot 3970

nên khai căn gọn; Cách 3 dành cho câu hỏi về độ cao lớn nhất.

Đáp số.

x = \frac{250 + 5 3970}{49} \approx 11, 53

(m).

Sai lầm thường gặp. Giải ra hai nghiệm rồi trả lời cả nghiệm âm

x \approx - 1, 33

;

x

là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí ném nên bắt buộc dương, nghiệm âm ứng với phần quỹ đạo kéo dài về phía sau người ném.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, hãy tìm khoảng cách theo phương ngang khi quả bóng ở độ cao

3

m — lần này phương trình cho hai nghiệm đều nhận được, ứng với lúc bóng bay lên và lúc rơi xuống.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.16★★Trang 11— Thay số vào công thức thực tế và giải phương trình bậc hai có nghiệm kép

Bài 6.16 (trang 11). Công ty sản xuất ván gỗ cần ước tính chiều dài tấm ván (tính bằng feet) có thể tạo ra được từ một khúc gỗ. Một trong những công thức được sử dụng phổ biến để ước tính chiều dài tấm ván là công thức Doyle:

B = \frac{L}{16} (D^{2} - 8 D + 16)

, trong đó

B

là chiều dài tấm ván (feet),

D

là đường kính (inch) và

L

là chiều dài của khúc gỗ (feet).
a) Viết lại công thức Doyle cho các khúc gỗ dài

16

feet.
b) Tìm các nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

D

D^{2} - 8 D + 16 = 0

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị đã cho vào công thức rồi rút gọn.
$A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
$Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ là thế

L = 16

vào công thức, hệ số

\frac{L}{16}

thành

1

— dấu hiệu của bài đọc hiểu công thức chứ không phải bài tính. Câu b) có bộ hệ số

1

- 8

16

với

(\frac{- 8}{2})^{2} = 16 = c

, đúng khuôn bình phương của một hiệu nên đọc ngay được nghiệm kép. Bẫy là ở câu b) trả lời ''hai nghiệm

D = 4

'' trong khi phương trình chỉ có một nghiệm kép.

1Cách 1. Thế số vào công thức và dùng hằng đẳng thức

Định hướng. Câu a) thay $L = 16$ ; câu b) nhận ra vế trái là bình phương của $D - 4$ .

B = \frac{16}{16} (D^{2} - 8 D + 16)

B = D^{2} - 8 D + 16

D^{2} - 8 D + 16 = 0

D^{2} - 2 \cdot D \cdot 4 + 4^{2} = 0

(D - 4)^{2} = 0

D - 4 = 0

D = 4

Vậy a) $B = D^{2} - 8 D + 16$ ; b) phương trình có nghiệm kép $D = 4$ .

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm

Định hướng. Đọc ba hệ số rồi tính $Δ$ (hoặc $Δ^{'}$ vì $b = - 8$ chẵn) để xác nhận đây là trường hợp nghiệm kép.

a = 1

b = - 8

c = 16

Δ = (- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0

D_{1} = D_{2} = - \frac{- 8}{2} = 4

a = 1

b^{'} = - 4

c = 16

Δ^{'} = (- 4)^{2} - 1 \cdot 16 = 0

D = - \frac{b ^{'}}{a} = 4

Vậy phương trình có nghiệm kép $D = 4$ , đúng như Cách 1.

3Cách 3. Tách hạng tử giữa rồi kiểm chứng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Tìm hai số có tổng $- 8$ và tích $16$ , đó là $- 4$ và $- 4$ ; sau khi tách thì bấm máy để xác nhận chỉ có một nghiệm.

D^{2} - 4 D - 4 D + 16 = 0

D (D - 4) - 4 (D - 4) = 0

(D - 4) (D - 4) = 0

D = 4

Nhập

1

;

- 8

;

16

— máy hiện một giá trị

D = 4

Thử lại:

4^{2} - 8 \cdot 4 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0

Vậy $D = 4$ là nghiệm kép; khi đó công thức Doyle cho $B = 0$ , tức khúc gỗ đường kính $4$ inch không tạo ra được tấm ván nào.

Nhận xét. Hai số tách ra trùng nhau (cùng bằng $- 4$ ) chính là dấu hiệu của nghiệm kép; máy tính cũng chỉ hiện một giá trị $D$ chứ không hiện $D_{1}$ , $D_{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhận ra

(D - 4)^{2}

là ra ngay nghiệm kép mà không phải tính

Δ

; Cách 2 dùng khi hệ số không gợi được hằng đẳng thức.

Đáp số. a)

B = D^{2} - 8 D + 16

· b) nghiệm kép

D = 4

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết

(D - 4)^{2} = 0

rồi kết luận ''phương trình có hai nghiệm

D_{1} = D_{2} = 4

'' và đếm thành hai nghiệm; đúng ra phải nói phương trình có MỘT nghiệm (nghiệm kép)

D = 4

. Ở câu a) thì hay quên rút gọn

\frac{16}{16} = 1

nên giữ nguyên hệ số phân số.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức Doyle, hãy viết lại

B

cho khúc gỗ dài

32

feet và tính chiều dài tấm ván khi đường kính khúc gỗ là

20

inch.

Mở bài này trong app ↗