Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang10–11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.9★Trang 10— Giải phương trình bậc hai bằng cách đưa về dạng tích

Bài 6.9 (trang 10). Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích:
a)

x^{2} + 5 x = 0

;
b)

x^{2} - 16 = 0

;
c)

x^{2} - 10 x + 25 = 0

;
d)

x^{2} + 8 x + 12 = 0

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ và $A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
Với $a = 1$ , tách $x^{2} + b x + c$ bằng cách tìm hai số có tổng $b$ và tích $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn ý là bốn kiểu tách nhân tử cơ bản: đặt nhân tử chung, hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu và tách hạng tử giữa — dấu hiệu nhận ra nằm ngay ở chỗ phương trình khuyết hạng tử nào. Nên nhìn hệ số trước khi bắt tay: khuyết

c

thì đặt

x

chung, khuyết

b

thì dùng hiệu hai bình phương, còn đủ ba hạng tử thì thử

(\frac{b}{2})^{2}

có bằng

c

không. Bẫy ở ý c) là vội kết luận có hai nghiệm trong khi

(x - 5)^{2} = 0

chỉ cho một nghiệm kép.

1Cách 1. Đưa về dạng tích đúng như đề yêu cầu

Định hướng. Mỗi ý chọn đúng một kiểu phân tích: đặt nhân tử chung, hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu, tách hạng tử giữa.

x^{2} + 5 x = 0

x (x + 5) = 0

x = 0

hoặc

x + 5 = 0

x = 0

hoặc

x = - 5

x^{2} - 16 = 0

x^{2} - 4^{2} = 0

(x - 4) (x + 4) = 0

x = 4

hoặc

x = - 4

x^{2} - 10 x + 25 = 0

(x - 5)^{2} = 0

x - 5 = 0

x = 5

x^{2} + 8 x + 12 = 0

x^{2} + 6 x + 2 x + 12 = 0

x (x + 6) + 2 (x + 6) = 0

(x + 6) (x + 2) = 0

x = - 6

hoặc

x = - 2

Vậy a) $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ ; b) $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ ; c) nghiệm kép $x = 5$ ; d) $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ .

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm cho cả bốn ý

Định hướng. Đọc $a$ , $b$ , $c$ rồi tính $Δ$ ; cả bốn ý đều có $Δ$ là số chính phương nên nghiệm ra số đẹp.

a = 1

b = 5

c = 0

;

Δ = 25

;

Δ = 5

x_{1} = \frac{- 5 + 5}{2} = 0

;

x_{2} = \frac{- 5 - 5}{2} = - 5

a = 1

b = 0

c = - 16

;

Δ = 64

;

Δ = 8

x_{1} = \frac{0 + 8}{2} = 4

;

x_{2} = \frac{0 - 8}{2} = - 4

a = 1

b = - 10

c = 25

;

Δ = 100 - 100 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{10}{2} = 5

a = 1

b = 8

c = 12

;

Δ = 64 - 48 = 16

;

Δ = 4

x_{1} = \frac{- 8 + 4}{2} = - 2

;

x_{2} = \frac{- 8 - 4}{2} = - 6

Vậy a) $0$ và $- 5$ ; b) $4$ và $- 4$ ; c) nghiệm kép $5$ ; d) $- 2$ và $- 6$ .

3Cách 3. Hoàn thành bình phương rồi khai căn

Định hướng. Đưa mỗi vế trái về dạng ''một bình phương bằng một số'' rồi khai căn; dấu và độ lớn của số đó cho biết ngay số nghiệm.

x^{2} + 5 x = 0

(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}

x = - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 0

hoặc

x = - \frac{5}{2} - \frac{5}{2} = - 5

x^{2} = 16

x = 4

hoặc

x = - 4

(x - 5)^{2} = 0

x = 5

x^{2} + 8 x + 16 = - 12 + 16

(x + 4)^{2} = 4

x + 4 = 2

hoặc

x + 4 = - 2

x = - 2

hoặc

x = - 6

Vậy a) $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 5$ ; b) $x_{1} = 4$ , $x_{2} = - 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 6$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng nghiệm; ý c) có $Δ = 0$ nên chỉ một nghiệm, đó là lí do vế trái viết được thành bình phương đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đề yêu cầu đích danh dạng tích và mỗi ý chỉ hai dòng; Cách 2 dùng khi không nhẩm ra cặp số để tách.

Đáp số. a)

x_{1} = 0

x_{2} = - 5

· b)

x_{1} = 4

x_{2} = - 4

· c) nghiệm kép

x = 5

· d)

x_{1} = - 2

x_{2} = - 6

Sai lầm thường gặp. Ở ý c) thấy

(x - 5)^{2} = 0

rồi viết

x - 5 = 0

hoặc

x - 5 = - 0

và kết luận ''hai nghiệm

x = 5

''; phương trình chỉ có MỘT nghiệm (nghiệm kép). Ở ý a) thì hay chia hai vế cho

x

nên mất nghiệm

x = 0

🚀 Mở rộng. Cùng bốn kiểu tách này, hãy giải

x^{2} - 7 x = 0

x^{2} - 13 = 0

x^{2} + 12 x + 36 = 0

và

x^{2} - 9 x + 20 = 0

để nhận ra dạng nào ứng với kiểu nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.10★★Trang 10— Giải phương trình dạng bình phương của một nhị thức bằng một số dương

Bài 6.10 (trang 10). Giải các phương trình sau:
a)

(2 x + 1)^{2} = 3

;
b)

(2 - 3 x)^{2} = 5

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A^{2} = B$ với $B > 0$ thì $A = B$ hoặc $A = - B$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái của cả hai ý đã là bình phương của một nhị thức bậc nhất, vế phải là số dương — dấu hiệu chỉ cần khai căn hai vế rồi giải hai phương trình bậc nhất. Hướng này ngắn hơn nhiều so với khai triển rồi dùng công thức nghiệm. Bẫy ở ý b) là hệ số của

x

mang dấu âm nên khi chuyển vế dễ nhầm dấu của nghiệm.

1Cách 1. Khai căn hai vế

Định hướng. Vế phải dương nên khai căn được, nhớ lấy đủ hai dấu rồi giải hai phương trình bậc nhất.

(2 x + 1)^{2} = 3

2 x + 1 = 3

hoặc

2 x + 1 = - 3

2 x = - 1 + 3

hoặc

2 x = - 1 - 3

x = \frac{- 1 + 3}{2}

hoặc

x = \frac{- 1 - 3}{2}

(2 - 3 x)^{2} = 5

2 - 3 x = 5

hoặc

2 - 3 x = - 5

3 x = 2 - 5

hoặc

3 x = 2 + 5

x = \frac{2 - 5}{3}

hoặc

x = \frac{2 + 5}{3}

Vậy a) $x_{1} = \frac{- 1 + 3}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 1 - 3}{2}$ ; b) $x_{1} = \frac{2 - 5}{3}$ , $x_{2} = \frac{2 + 5}{3}$ .

2Cách 2. Tách nhân tử bằng hiệu hai bình phương

Định hướng. Chuyển số ở vế phải sang vế trái, viết nó thành bình phương của căn bậc hai rồi tách thành tích hai nhân tử bậc nhất.

(2 x + 1)^{2} - (3)^{2} = 0

(2 x + 1 - 3) (2 x + 1 + 3) = 0

2 x + 1 - 3 = 0

hoặc

2 x + 1 + 3 = 0

x = \frac{- 1 + 3}{2}

hoặc

x = \frac{- 1 - 3}{2}

(2 - 3 x)^{2} - (5)^{2} = 0

(2 - 3 x - 5) (2 - 3 x + 5) = 0

2 - 3 x - 5 = 0

hoặc

2 - 3 x + 5 = 0

x = \frac{2 - 5}{3}

hoặc

x = \frac{2 + 5}{3}

Vậy a) $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ ; b) $x_{1, 2} = \frac{2 \mp 5}{3}$ .

3Cách 3. Khai triển rồi dùng công thức nghiệm thu gọn

Định hướng. Đưa về dạng chuẩn rồi tính $Δ^{'}$ để kiểm chứng lại kết quả của hai cách trên.

4 x^{2} + 4 x + 1 - 3 = 0

4 x^{2} + 4 x - 2 = 0

2 x^{2} + 2 x - 1 = 0

a = 2

b^{'} = 1

c = - 1

Δ^{'} = 1^{2} - 2 \cdot (- 1) = 3

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}

9 x^{2} - 12 x + 4 - 5 = 0

9 x^{2} - 12 x - 1 = 0

a = 9

b^{'} = - 6

c = - 1

Δ^{'} = (- 6)^{2} - 9 \cdot (- 1) = 36 + 9 = 45

Δ^{'} = 35

x_{1, 2} = \frac{6 \pm 3 5}{9} = \frac{2 \pm 5}{3}

Vậy a) $x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2}$ ; b) $x_{1, 2} = \frac{2 \pm 5}{3}$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Ở ý b), hai nghiệm viết dưới dạng $\frac{2 \pm 5}{3}$ hay $\frac{2 \mp 5}{3}$ đều là cùng một tập nghiệm, chỉ khác thứ tự.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mỗi ý chỉ ba dòng và không phải khai triển; Cách 3 chỉ nên dùng để thử lại khi nghi ngờ mình nhầm dấu ở ý b).

Đáp số. a)

x_{1} = \frac{- 1 + 3}{2}

x_{2} = \frac{- 1 - 3}{2}

· b)

x_{1} = \frac{2 - 5}{3}

x_{2} = \frac{2 + 5}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b) từ

2 - 3 x = 5

chuyển vế thành

3 x = 5 - 2

rồi ra

x = \frac{5 - 2}{3}

; thay lại thấy

2 - 3 x = 2 - (5 - 2) = 4 - 5 \neq = 5

nên sai — phải là

3 x = 2 - 5

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, phương trình

(p x + q)^{2} = k

với

k > 0

luôn có hai nghiệm

x = \frac{- q \pm k}{p}

; hãy thử áp dụng cho

(5 - 2 x)^{2} = 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.11★★Trang 10— Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn, hệ số có chứa căn

Bài 6.11 (trang 10). Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình bậc hai sau:
a)

x^{2} + 2 x - 5 = 0

;
b)

4 x^{2} - 43 x + 3 = 0

;
c)

x^{2} - 65 x + 7 = 0

Kiến thức cần nhớ

Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ ; $Δ^{'} > 0$ cho hai nghiệm $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ , $Δ^{'} = 0$ cho nghiệm kép $x = - \frac{b ^{'}}{a}$ .
$(m n)^{2} = m^{2} n$ .
$A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ và $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.12★★★Trang 10— Tìm nghiệm phương trình bậc hai có hệ số vô tỉ hoặc phân số bằng máy tính cầm tay

Bài 6.12 (trang 10). Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:
a)

2 x^{2} + 11 x - 1 = 0

;
b)

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{3} x + \frac{50}{9} = 0

;
c)

2 x^{2} - (1 + 5) x + 11 = 0

Kiến thức cần nhớ

$Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $Δ > 0$ cho hai nghiệm phân biệt, $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
$(1 + 5)^{2} = 6 + 25$ .
Máy tính cầm tay hiện kết quả chứa chữ $i$ nghĩa là phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.13★★★Trang 10— Biện luận nghiệm của phương trình

(2 x - 1)^{2} = m

theo tham số

m

Bài 6.13 (trang 10). Tuỳ theo các giá trị của

m

, hãy giải phương trình ẩn

x

(2 x - 1)^{2} = m

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một số thực luôn không âm.
Nếu $A^{2} = B$ với $B > 0$ thì $A = B$ hoặc $A = - B$ ; nếu $B = 0$ thì $A = 0$ .
Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và dấu của $Δ^{'}$ quyết định số nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.14★★★Trang 10— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số theo

Δ^{'}

Bài 6.14 (trang 10). Cho phương trình (ẩn

x

x^{2} + 4 (m + 1) x + 4 m^{2} - 3 = 0

.
a) Tính biệt thức

Δ^{'}

.
b) Tìm điều kiện của

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Khi $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ .
$Δ^{'} > 0$ cho hai nghiệm phân biệt, $Δ^{'} = 0$ cho nghiệm kép, $Δ^{'} < 0$ thì vô nghiệm.
$(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.15★★★Trang 10— Bài toán quỹ đạo ném xiên đưa về phương trình bậc hai

Bài 6.15 (trang 10). Quỹ đạo chuyển động của một quả bóng được cho bởi công thức

y = 1, 5 + x - 0, 098 x^{2}

, trong đó

y

(mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất và

x

(mét) là khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí ném. Tính khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ném bóng đến vị trí quả bóng chạm đất.

Kiến thức cần nhớ

Vật chạm đất khi độ cao bằng $0$ .
Nhân hai vế của phương trình với một số khác $0$ ta được phương trình tương đương.
Với $b = 2 b^{'}$ thì $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ và $x_{1, 2} = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.16★★Trang 11— Thay số vào công thức thực tế và giải phương trình bậc hai có nghiệm kép

Bài 6.16 (trang 11). Công ty sản xuất ván gỗ cần ước tính chiều dài tấm ván (tính bằng feet) có thể tạo ra được từ một khúc gỗ. Một trong những công thức được sử dụng phổ biến để ước tính chiều dài tấm ván là công thức Doyle:

B = \frac{L}{16} (D^{2} - 8 D + 16)

, trong đó

B

là chiều dài tấm ván (feet),

D

là đường kính (inch) và

L

là chiều dài của khúc gỗ (feet).
a) Viết lại công thức Doyle cho các khúc gỗ dài

16

feet.
b) Tìm các nghiệm của phương trình bậc hai ẩn

D

D^{2} - 8 D + 16 = 0

Kiến thức cần nhớ

Thay giá trị đã cho vào công thức rồi rút gọn.
$A^{2} - 2 A B + B^{2} = (A - B)^{2}$ .
$Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)Bài tiếp theo ›Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)
▶ Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng
Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài tập cuối chương VI

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Luyện thi vào lớp 10 — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

HSG Toán 9 – Tập 2: 52 đề

Toán 9 Tập 1 — Phân dạng và bài tập (KNTT)

Tuyển tập 100+ đề giữa kì I Toán 9 (106 đề)

Toán 9 – Luyện thi vào 10

Toán 9 – Phương trình tích & phương trình chứa ẩn ở mẫu