Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

Định hướng. Viết hai kích thước của bể theo $x$, cho tích của chúng bằng $288$ rồi giải phương trình bậc hai nhận được.

Vậy bề rộng của đường đi là $2$ m.

Định hướng. Phương trình $x^2-22x+40=0$ có $a=1$ nên tìm ngay hai số có tổng $-22$ và tích $40$ là $-2$ và $-20$, tách hạng tử giữa rồi đưa về tích hai nhân tử.

Vậy bề rộng của đường đi là $2$ m.

Định hướng. Hai kích thước $14-x$ và $8-x$ cách đều số $11-x$, nên đặt $u=11-x$ thì tích của chúng thành hiệu hai bình phương, khỏi phải khai triển bậc hai.

Vậy bề rộng của đường đi là $2$ m.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số $x=2$; Cách 3 chỉ dùng hằng đẳng thức nên không phải tính $\Delta$, còn Cách 1 luôn dùng được kể cả khi hai kích thước không cách đều một số đẹp.

Định hướng. Theo mỗi chiều, đường đi chiếm hai dải rộng $x$ ở hai đầu nên chiều đó của bể hụt đi $2x$.

Vậy bể bơi có chiều dài $28-2x$ (m) và chiều rộng $16-2x$ (m).

Định hướng. Đặt mốc $0$ ở mép trái của mảnh đất, hai mép của bể nằm ở vị trí $x$ và $28-x$; hiệu hai vị trí đó chính là chiều dài bể.

Vậy bể bơi có chiều dài $28-2x$ (m) và chiều rộng $16-2x$ (m).

Định hướng. Lấy vài giá trị cụ thể của $x$, đo trên hình rồi so sánh để đọc ra quy luật chung.

Vậy bể bơi có chiều dài $28-2x$ (m) và chiều rộng $16-2x$ (m).

Nhận xét. Điều kiện $16-2x>0$ giải ra đúng $x<8$, khớp với giả thiết $0<x<8$ mà đề đã cho sẵn.

Định hướng. Lấy tích hai kết quả của HĐ1 rồi khai triển đủ bốn tích, thu gọn theo bậc giảm dần.

Vậy diện tích bể bơi là $S=4x^2-88x+448$ (m${}^2$).

Định hướng. Cả hai kích thước đều chia hết cho $2$, đưa $2$ ra ngoài thì chỉ còn phải nhân hai nhị thức có hệ số $1$, ít sai hơn.

Vậy diện tích bể bơi là $S=4x^2-88x+448$ (m${}^2$).

Định hướng. Đường đi gồm hai dải ngang dài $28$ rộng $x$ và hai dải dọc dài $16-2x$ rộng $x$; lấy diện tích mảnh đất trừ đi là ra diện tích bể, khỏi nhân hai nhị thức.

Vậy diện tích bể bơi là $S=4x^2-88x+448$ (m${}^2$).

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đa thức; Cách 3 còn cho luôn diện tích phần đường đi là $88x-4x^2$ (m${}^2$), dùng được cho những câu hỏi khác của cùng hình vẽ.

Định hướng. Lấy kết quả HĐ2 đặt bằng $288$ rồi chuyển vế, cuối cùng chia hai vế cho $4$.

Vậy phương trình cần tìm là $x^2-22x+40=0$ (tương đương $4x^2-88x+160=0$).

Định hướng. Giữ diện tích ở dạng $4(14-x)(8-x)$, chia ngay hai vế cho $4$ rồi mới khai triển nên các số phải tính đều nhỏ.

Vậy phương trình cần tìm là $x^2-22x+40=0$.

Định hướng. Bể rộng $288$ m${}^2$ thì đường đi chiếm $448-288=160$ m${}^2$; cho biểu thức diện tích đường đi ở HĐ2 bằng $160$ cũng ra đúng phương trình đó.

Vậy phương trình cần tìm là $x^2-22x+40=0$.

Nhận xét. Ba cách đều dẫn về $x^2-22x+40=0$ — đây là phương trình bậc hai một ẩn với $a=1$, $b=-22$, $c=40$.

Định hướng. Viết lại từng phương trình dưới dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi đọc thẳng ba hệ số.

Vậy các phương trình a), b), d) là phương trình bậc hai; phương trình c) không phải.

Định hướng. Phương trình bậc hai xác định với mọi $x$; nên loại trước những phương trình có điều kiện của ẩn, sau đó mới xét bậc của vế trái.

Vậy a), b), d) là phương trình bậc hai ẩn $x$; c) không phải.

Định hướng. Nhân hai vế của c) với $x$ sẽ ra một tam thức bậc hai, nhưng phép nhân đó chỉ đúng khi $x\ne 0$ nên hai phương trình chỉ tương đương trên tập $x\ne 0$, tức bản thân c) vẫn không phải phương trình bậc hai.

Vậy chỉ a), b), d) là phương trình bậc hai ẩn $x$ với các hệ số nêu trên.

Nhận xét. Ý d) tuy có $b=c=0$ nhưng vẫn là phương trình bậc hai vì chỉ đòi hỏi $a\ne 0$; đừng nhầm ''khuyết hệ số'' với ''không phải bậc hai''.

Định hướng. Định nghĩa đòi hỏi hệ số của $x^2$ khác $0$, mà $m$ chỉ được nói là ''một số cho trước''.

Vậy ý kiến của bạn Pi chưa đúng; phải bổ sung điều kiện $m\ne 0$.

Định hướng. Chọn đúng một giá trị của $m$ làm khẳng định sai là đủ để bác bỏ.

Vậy với $m=0$ phương trình đã cho không phải phương trình bậc hai, nên khẳng định của bạn Pi là sai.

Định hướng. Xét đủ hai khả năng của $m$ rồi phát biểu lại khẳng định dưới dạng có điều kiện.

Vậy phát biểu đúng phải là: ''Với $m\ne 0$ thì $m{x}^2+2x+1=0$ là phương trình bậc hai với $a=m$, $b=2$, $c=1$''.

Nhận xét. Từ $\Delta =4-4m$ còn đọc thêm được: khi $0\ne m<1$ phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi $m=1$ có nghiệm kép, khi $m>1$ vô nghiệm.

Định hướng. Hai hạng tử đều chứa $x$ nên đặt $x$ ra ngoài, phương trình thành tích bằng $0$.

Vậy a) $x_1=0$, $x_2=-3$; b) $x_1=0$, $x_2=-\frac{11}{5}$.

Định hướng. Khi $c=0$ thì $\Delta =b^2$ là số chính phương nên $\sqrt{\Delta }=|b|$, công thức nghiệm cho ngay hai nghiệm.

Vậy a) $x_1=0$, $x_2=-3$; b) $x_1=0$, $x_2=-\frac{11}{5}$.

Định hướng. Thử thấy $x=0$ thoả mãn, sau đó chỉ còn xét $x\ne 0$ và được phép chia hai vế cho $x$ để về phương trình bậc nhất.

Vậy a) $x_1=0$, $x_2=-3$; b) $x_1=0$, $x_2=-\frac{11}{5}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 3 chỉ an toàn khi đã tách riêng trường hợp $x=0$ trước, nếu chia ngay thì mất một nghiệm.

Định hướng. Đưa mỗi phương trình về dạng ''một bình phương bằng một số không âm'' rồi khai căn, nhớ lấy đủ hai dấu.

Vậy a) $x_1=5$, $x_2=-5$; b) $x_1=-3+\sqrt{5}$, $x_2=-3-\sqrt{5}$.

Định hướng. Chuyển hết về một vế rồi viết thành hiệu hai bình phương, phương trình tích cho ngay hai nghiệm.

Vậy a) $x_1=5$, $x_2=-5$; b) $x_1=-3+\sqrt{5}$, $x_2=-3-\sqrt{5}$.

Định hướng. Đưa cả hai phương trình về dạng chuẩn $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm để kiểm chứng kết quả ở hai cách trên.

Vậy a) $x_1=5$, $x_2=-5$; b) $x_1=-3+\sqrt{5}$, $x_2=-3-\sqrt{5}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng nghiệm; với dạng khuyết $b$ hoặc dạng đã là bình phương thì Cách 1 và Cách 2 nhanh hơn hẳn Cách 3.

Định hướng. Nửa hệ số của $x$ là $3$, bình phương lên được $9$; cộng $9$ vào hai vế thì vế trái thành $(x+3{)}^2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-3+\sqrt{10}$, $x_2=-3-\sqrt{10}$.

Định hướng. Sau khi có $(x+3{)}^2=10$, chuyển $10$ sang vế trái để được hiệu hai bình phương rồi đưa về phương trình tích.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-3+\sqrt{10}$, $x_2=-3-\sqrt{10}$.

Định hướng. Chuyển về dạng chuẩn, hệ số $b=6$ chẵn nên dùng ${\Delta }^{\prime }$ cho số nhỏ hơn.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=-3+\sqrt{10}$, $x_2=-3-\sqrt{10}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng nghiệm; hằng đẳng thức ở Cách 2 chỉ tách được vì $10>0$, còn khi vế phải âm thì phương trình vô nghiệm.

Định hướng. Chuyển $3$ sang vế phải, chia hai vế cho $2$, rồi cộng $4$ vào hai vế để vế trái thành $(x-2{)}^2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2}$, $x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$.

Định hướng. Đặt $2$ làm nhân tử chung cho hai hạng tử đầu rồi hoàn thành bình phương bên trong ngoặc, khỏi phải làm việc với phân số ngay từ đầu.

Vậy $x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2}$, $x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$.

Định hướng. Hệ số $b=-8$ chẵn nên $b^{\prime }=-4$; công thức nghiệm thu gọn cho kết quả trong hai dòng để kiểm chứng hai cách trên.

Vậy $x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{2}$, $x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{2}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng nghiệm; chính đường đi của Cách 1 khi làm với $a{x}^2+bx+c=0$ tổng quát sẽ sinh ra biệt thức $\Delta =b^2-4ac$.

Định hướng. Với mỗi ý, đọc $a$, $b$, $c$, tính $\Delta$ rồi kết luận theo dấu của $\Delta$.

Vậy a) $x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$, $x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$; b) nghiệm kép $x=-4$; c) phương trình vô nghiệm.

Định hướng. Ý b) vế trái đúng là bình phương của $x+4$; ý c) đưa về một bình phương cộng số dương nên thấy ngay vô nghiệm; ý a) $\Delta =17$ không chính phương nên chỉ tách được sau khi biết hai nghiệm.

Vậy b) nghiệm kép $x=-4$; c) vô nghiệm; a) hai nghiệm $\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$.

Định hướng. Đưa mỗi vế trái về dạng ''một bình phương bằng một số'', dấu của số đó quyết định luôn số nghiệm.

Vậy a) $x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$; b) $x=-4$; c) vô nghiệm.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; dấu của $\Delta$ chính là dấu của số ở vế phải sau khi hoàn thành bình phương.

Định hướng. Tách $\Delta$ thành tổng của $b^2$ không âm và $-4ac$ dương.

Vậy khi $a$ và $c$ trái dấu, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Định hướng. Đưa phương trình về dạng ''một bình phương bằng một số'', số đó dương thì có ngay hai nghiệm.

Vậy vế phải dương nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Định hướng. Từ dạng bình phương ở Cách 2, viết thành hiệu hai bình phương rồi tách nhân tử; nhân tích hai nghiệm lại sẽ lộ thêm một tính chất nữa.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu nhau.

Nhận xét. Cả ba cách đều chỉ dùng giả thiết $ac<0$, không cần biết gì về $b$ — kể cả $b=0$ kết luận vẫn đúng.