Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

SBT (Sách bài tập) Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.9★Trang 12— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế — nhận dạng cả ba trường hợp nghiệm

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a)

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y = 8 \frac{1}{2} x - y = 18

; b)

{0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7 4 x + 10 y = 9

; c)

⎩ ⎨ ⎧ - 2 x + 3 y = 1 \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp thế: rút một ẩn từ một phương trình rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.
Nếu phương trình một ẩn thu được vô lý (dạng $0 = c$ với $c \neq = 0$ ) thì hệ vô nghiệm; nếu luôn đúng (dạng $0 = 0$ ) thì hệ vô số nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Ba hệ đều được yêu cầu giải bằng phương pháp thế, nhưng đề cố ý xếp cạnh nhau ba hệ có ba kiểu kết quả khác nhau — đây là dấu hiệu để cảnh giác chứ không phải hệ nào cũng ra một cặp số duy nhất. Chọn rút

y

hoặc

x

ở hệ số đơn giản nhất trước để phép thế gọn nhất. Bẫy là thấy phương trình sau khi thế không còn ẩn kia thì vội cho là tính sai, trong khi đó chính là dấu hiệu hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

1Cách 1. Rút một ẩn rồi thế vào phương trình còn lại (đúng yêu cầu đề)

Từ phương trình có hệ số đơn giản nhất, rút một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào phương trình còn lại.

a) từ

x + 2 y = 8

rút

x = 8 - 2 y

, thế vào

\frac{1}{2} x - y = 18

\frac{1}{2} (8 - 2 y) - y = 18

4 - y - y = 18

- 2 y = 14

y = - 7

x = 8 - 2 \cdot (- 7) = 22

b) từ

0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7

rút

x = \frac{0 , 7 - 0 , 5 y}{0 , 2} = 3, 5 - 2, 5 y

, thế vào

4 x + 10 y = 9

4 (3, 5 - 2, 5 y) + 10 y = 9

14 - 10 y + 10 y = 9

14 = 9

(vô lý)

c) từ

- 2 x + 3 y = 1

rút

x = \frac{3 y - 1}{2}

, thế vào

\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y - 1}{2} - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

\frac{3 y - 1}{6} - \frac{3 y}{6} = - \frac{1}{6}

\frac{- 1}{6} = - \frac{1}{6}

(luôn đúng)

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (22; - 7)$ ; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $(x; \frac{2 x + 1}{3})$ với $x \in R$ tuỳ ý.

2Cách 2. Đối chiếu bằng phương pháp cộng đại số

Nhân hai phương trình để hệ số của cùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau rồi cộng hoặc trừ từng vế, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

a) nhân

x + 2 y = 8

với

2

2 x + 4 y = 16

; nhân

\frac{1}{2} x - y = 18

với

2

x - 2 y = 36

cộng hai phương trình mới:

3 x = 52

… kiểm tra nhanh bằng cách trừ

2 x + 4 y = 16

cho

2 (x - 2 y = 36)

8 y = 16 - 72 = - 56

y = - 7

, thế lại

x + 2 (- 7) = 8 \Rightarrow x = 22

b) nhân

0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7

với

20

4 x + 10 y = 14

; so với phương trình thứ hai

4 x + 10 y = 9

trừ hai phương trình:

0 = 14 - 9 = 5

(vô lý)

c) nhân

\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

với

6

2 x - 3 y = - 1

, tức là

- 2 x + 3 y = 1

trùng đúng phương trình thứ nhất nên trừ đi được

0 = 0

Vậy cộng đại số cho lại đúng ba kết luận như Cách 1: a) $(22; - 7)$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm.

3Cách 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (minh hoạ bằng hình)

Mỗi phương trình là một đường thẳng; so sánh tỉ số các hệ số $a_{1} : a_{2}$ , $b_{1} : b_{2}$ , $c_{1} : c_{2}$ để biết ngay hai đường cắt nhau, song song hay trùng nhau mà không cần giải chi tiết.

1 : \frac{1}{2} = 2

còn

2 : (- 1) = - 2

, hai tỉ số khác nhau nên hai đường cắt nhau — hệ có nghiệm duy nhất

0, 2 : 4 = 0, 05

và

0, 5 : 10 = 0, 05

bằng nhau, nhưng

0, 7 : 9 \neq = 0, 05

nên hai đường song song — hệ vô nghiệm

(- 2) : \frac{1}{3} = - 6

3 : (- \frac{1}{2}) = - 6

và

1 : (- \frac{1}{6}) = - 6

, cả ba tỉ số bằng nhau nên hai đường trùng nhau — hệ vô số nghiệm

Vậy nhìn hình bên: a) hai đường cắt nhau tại đúng một điểm; b) hai đường song song không giao nhau; c) hai đường trùng khít lên nhau — khớp với cả hai cách tính ở trên.

Nhận xét. Không cần giải hết mới biết loại nghiệm: so tỉ số hệ số trước sẽ tránh mất công thế/cộng khi hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để đoán trước loại nghiệm trong vài giây, sau đó mới trình bày lời giải đầy đủ bằng Cách 1 (đúng yêu cầu đề là phương pháp thế) — tránh mất thời gian thế đi thế lại khi gặp hệ vô nghiệm.

Đáp số. a)

(x; y) = (22; - 7)

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát

(x; \frac{2 x + 1}{3})

x \in R

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn thế xong thấy '

14 = 9

' liền nghĩ mình tính sai và cố tìm lại một cặp

(x; y)

nào đó, trong khi đây chính là dấu hiệu hệ vô nghiệm. Ngược lại ở câu c) thấy '

- \frac{1}{6} = - \frac{1}{6}

' có bạn tưởng nhầm là thiếu dữ kiện, thực ra đó là hệ vô số nghiệm và phải ghi công thức nghiệm tổng quát chứ không được bỏ trống.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hệ

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

có nghiệm duy nhất khi

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

, vô nghiệm khi

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

, vô số nghiệm khi cả ba tỉ số bằng nhau — Cách 3 chính là công cụ nhận dạng nhanh cho mọi hệ dạng này.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.10★Trang 12— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số — nhận dạng cả ba trường hợp nghiệm

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: a)

{3 x - 7 y = - 14 5 x + 2 y = 45

; b)

{x - 0, 5 y = - 3 2 x - y = 6

; c)

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y = 3 \frac{2}{3} x + y = 1

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp cộng đại số: nhân hai phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau, rồi cộng hoặc trừ từng vế để khử ẩn đó.
Sau khi khử một ẩn mà thu được $0 = c$ với $c \neq = 0$ thì hệ vô nghiệm; thu được $0 = 0$ thì hệ vô số nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Giống bài 1.9 nhưng lần này đề chỉ định phương pháp cộng đại số, và ba hệ vẫn được xếp để rơi đúng ba trường hợp nghiệm khác nhau. Nên nhân sao cho hệ số của

x

ở hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, vì hệ số của

x

ở cả ba câu đều dễ quy về bội chung nhỏ. Bẫy là ở câu b) và c), sau khi khử một ẩn nếu vội chia cả hai vế cho hệ số của ẩn còn lại mà hệ số đó bằng

0

thì sẽ chia cho

0

, phải dừng lại đọc kết quả trước khi chia.

1Cách 1. Nhân để hệ số một ẩn đối nhau rồi cộng hai vế (đúng yêu cầu đề)

Nhân mỗi phương trình với một số thích hợp để hệ số của $y$ đối nhau, rồi cộng từng vế để khử $y$ .

a) nhân

3 x - 7 y = - 14

với

2

, nhân

5 x + 2 y = 45

với

7

6 x - 14 y = - 28

và

35 x + 14 y = 315

cộng hai phương trình:

41 x = 287

x = 7

thế vào

5 x + 2 y = 45

2 y = 45 - 35 = 10 \Rightarrow y = 5

b) nhân

x - 0, 5 y = - 3

với

2

2 x - y = - 6

, so với phương trình thứ hai

2 x - y = 6

trừ hai phương trình:

0 = - 6 - 6 = - 12

(vô lý)

c) nhân

\frac{2}{3} x + y = 1

với

3

2 x + 3 y = 3

, trùng đúng phương trình thứ nhất

trừ hai phương trình:

0 = 0

(luôn đúng)

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (7; 5)$ ; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $(x; 1 - \frac{2}{3} x)$ với $x \in R$ tuỳ ý.

2Cách 2. Đối chiếu bằng phương pháp thế

Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thay vào phương trình còn lại, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

a) từ

3 x - 7 y = - 14

rút

x = \frac{7 y - 14}{3}

, thế vào

5 x + 2 y = 45

5 \cdot \frac{7 y - 14}{3} + 2 y = 45

\frac{35 y - 70}{3} + \frac{6 y}{3} = 45

41 y - 70 = 135

y = 5

, thế lại

3 x - 7 \cdot 5 = - 14 \Rightarrow x = 7

b) từ

2 x - y = 6

rút

y = 2 x - 6

, thế vào

x - 0, 5 y = - 3

x - 0, 5 (2 x - 6) = - 3

x - x + 3 = - 3

3 = - 3

(vô lý)

c) từ

2 x + 3 y = 3

rút

y = \frac{3 - 2 x}{3} = 1 - \frac{2}{3} x

, thế vào

\frac{2}{3} x + y = 1

\frac{2}{3} x + 1 - \frac{2}{3} x = 1

1 = 1

(luôn đúng)

Vậy phương pháp thế cho đúng ba kết luận như Cách 1: a) $(7; 5)$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm.

3Cách 3. So tỉ số hệ số để đoán loại nghiệm trước khi tính

So sánh ba tỉ số $a_{1} : a_{2}$ , $b_{1} : b_{2}$ , $c_{1} : c_{2}$ để biết ngay loại nghiệm mà không cần cộng hay thế.

3 : 5 = 0, 6

còn

(- 7) : 2 = - 3, 5

, hai tỉ số khác nhau nên có nghiệm duy nhất

1 : 2 = 0, 5

và

(- 0, 5) : (- 1) = 0, 5

bằng nhau, còn

(- 3) : 6 = - 0, 5 \neq = 0, 5

nên vô nghiệm

2 : \frac{2}{3} = 3

3 : 1 = 3

và

3 : 1 = 3

, cả ba tỉ số bằng nhau nên vô số nghiệm

Vậy ba dự đoán đều khớp với Cách 1 và Cách 2, xác nhận lại: a) nghiệm duy nhất, b) vô nghiệm, c) vô số nghiệm.

Nhận xét. Việc so tỉ số hệ số trước giúp phát hiện ngay câu b) và c) không cho nghiệm duy nhất, khỏi mất công cộng đại số rồi mới ngỡ ngàng vì kết quả $0 = - 12$ hay $0 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng yêu cầu đề (cộng đại số) và với hệ số nguyên/thập phân đơn giản như câu a), b) thì nhân quy đồng rồi cộng luôn nhanh hơn rút ẩn ra phân số như Cách 2.

Đáp số. a)

(x; y) = (7; 5)

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát

(x; 1 - \frac{2}{3} x)

x \in R

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), có bạn nhân

x - 0, 5 y = - 3

với

2

nhưng chỉ nhân vế trái mà quên nhân vế phải, viết nhầm thành

2 x - y = - 3

rồi trừ ra

0 = 9

; phải nhân cả hai vế nên phương trình đúng là

2 x - y = - 6

, dẫn tới

0 = - 12

. Ở câu c), thấy hệ số

x

đã bằng nhau sau khi nhân, nhiều bạn quên đối chiếu luôn cả hệ số

y

và số hạng tự do nên không nhận ra đây là hai phương trình trùng nhau.

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra nhanh một hệ có phải vô số nghiệm hay không bằng cách nhân phương trình có hệ số phân số/thập phân cho một số nguyên để đưa cả hai phương trình về cùng dạng hệ số nguyên, như câu c) nhân

\frac{2}{3} x + y = 1

với

3

thấy trùng ngay phương trình đầu.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.11★★Trang 12— Dùng máy tính cầm tay tra nghiệm hệ phương trình, đối chiếu bằng cách giải tay

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a)

{3 x + 3 y = 1 2 x - 3 y = 3

; b)

{2, 5 x - 3, 5 y = 0, 5 - 0, 5 x + 0, 7 y = 1

; c)

{\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5 0, 4 x + y = 1

Kiến thức cần nhớ

Máy tính cầm tay có chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (MODE giải hệ phương trình), cho ngay nghiệm nếu hệ có nghiệm duy nhất.
Khi máy báo lỗi hoặc không hiển thị nghiệm cụ thể, cần giải tay để xác định hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm — máy không phân biệt được hai trường hợp này.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu dùng máy tính cầm tay, đây là dấu hiệu chỉ nên trình bày lại các bước bấm máy và đọc kết quả, không cần trình bày phép biến đổi tay dài dòng như hai bài trước. Nhưng máy tính chỉ báo được nghiệm duy nhất hoặc báo lỗi, không phân biệt được vô nghiệm với vô số nghiệm, nên khi máy báo lỗi vẫn phải quay lại xét tỉ số hệ số để kết luận đúng loại. Bẫy ở câu a) là hệ số chứa căn thức, bấm máy dễ nhầm giữa

3

và số thập phân xấp xỉ.

1Cách 1. Bấm máy tính cầm tay ở chế độ giải hệ phương trình (đúng yêu cầu đề)

Vào chế độ giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nhập đúng thứ tự các hệ số $a, b, c$ của từng phương trình rồi đọc kết quả trên màn hình.

a) nhập

3 x + 3 y = 1

và

2 x - 3 y = 3

, máy hiển thị

x = \frac{4 3}{9}

y = - \frac{1}{9}

b) nhập

2, 5 x - 3, 5 y = 0, 5

và

- 0, 5 x + 0, 7 y = 1

, máy báo không tìm được nghiệm (Math ERROR hoặc No-Solution)

c) nhập

\frac{1}{5} x + \frac{1}{2} y = 5

và

0, 4 x + y = 1

, máy cũng báo không tìm được nghiệm

Vậy máy cho a) nghiệm $(\frac{4 3}{9}; - \frac{1}{9})$ ; còn b), c) đều báo lỗi vì hệ số của $x, y$ ở hai phương trình tỉ lệ với nhau.

2Cách 2. Giải bằng phương pháp cộng đại số để đối chiếu

Giải tay bằng cộng đại số để kiểm chứng số máy hiện, đồng thời phân biệt vô nghiệm và vô số nghiệm ở câu b), c) mà máy không phân biệt được.

a) nhân

3 x + 3 y = 1

với

3

3 x + 33 y = 3

; nhân

2 x - 3 y = 3

với

3

23 x - 3 y = 3

cộng vế theo vế phương trình đầu (dạng

3 x + 33 y = 3

) với

3

lần phương trình đã cho ban đầu để khử

y

9 x = 43

x = \frac{4 3}{9}

, thế lại

3 \cdot \frac{4 3}{9} + 3 y = 1 \Rightarrow \frac{12}{9} + 3 y = 1 \Rightarrow y = - \frac{1}{9}

b) nhân

2, 5 x - 3, 5 y = 0, 5

với

0, 2

0, 5 x - 0, 7 y = 0, 1

; cộng với

- 0, 5 x + 0, 7 y = 1

0 = 1, 1

(vô lý)

c) nhân

\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5

với

2

0, 4 x + y = 10

; so với

0, 4 x + y = 1

trừ hai phương trình:

0 = 9

(vô lý)

Vậy a) trùng đúng kết quả máy hiện; b) và c) đều vô nghiệm chứ không chỉ là "máy báo lỗi" chung chung.

3Cách 3. So tỉ số hệ số để giải thích vì sao máy báo lỗi ở b), c)

So sánh tỉ số các hệ số của $x$ , $y$ và số hạng tự do để lý giải đúng bản chất khi máy không cho nghiệm.

2, 5 : (- 0, 5) = - 5

và

(- 3, 5) : 0, 7 = - 5

bằng nhau, còn

0, 5 : 1 = 0, 5 \neq = - 5

nên hai đường song song — hệ vô nghiệm

c) đưa về cùng dạng hệ số nguyên:

2 x + 5 y = 50

(nhân phương trình đầu với

10

) và

0, 4 x + y = 1

nhân với

10

được

4 x + 10 y = 10

; tỉ số

2 : 4 = 0, 5

và

5 : 10 = 0, 5

bằng nhau, còn

50 : 10 = 5 \neq = 0, 5

nên cũng song song — hệ vô nghiệm

Vậy cả hai trường hợp máy báo lỗi đều là do hai phương trình biểu diễn hai đường thẳng song song, đúng như Cách 2 đã chỉ ra.

Nhận xét. Máy tính cầm tay chỉ trả lời "có nghiệm duy nhất hay không", còn muốn phân biệt vô nghiệm với vô số nghiệm bắt buộc phải xét tỉ số hệ số hoặc giải tay như Cách 2, 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi cứ bấm máy trước theo đúng yêu cầu đề để có đáp số nhanh cho trường hợp nghiệm duy nhất như câu a); gặp máy báo lỗi thì chuyển ngay sang Cách 3 so tỉ số hệ số, không cần giải lại toàn bộ bằng tay như Cách 2.

Đáp số. a)

(x; y) = (\frac{4 3}{9}; - \frac{1}{9})

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn bấm máy ở câu b), c) thấy báo lỗi liền kết luận bừa là 'hệ vô số nghiệm' vì nhầm mọi lỗi máy đều cùng một loại. Phải xét tiếp tỉ số hệ số hoặc giải tay: cả hai câu b) và c) đều cho

0 =

(số khác

0

), tức là vô nghiệm chứ không phải vô số nghiệm.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu đổi hệ số tự do của phương trình thứ hai ở câu c) thành đúng

10

(tức

0, 4 x + y = 1

thành phương trình có cùng số hạng tự do sau khi quy đồng là

4 x + 10 y = 50

) thì hệ sẽ trở thành vô số nghiệm thay vì vô nghiệm — chỉ cần đổi đúng một số hạng tự do là đổi hẳn loại nghiệm.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.12★★Trang 13— Lập hệ phương trình từ điều kiện đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Tìm

a

và

b

để đường thẳng

y = a x + b

đi qua hai điểm

(4; 1)

và

(- 4; - 3)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ với $x_{1} \neq = x_{2}$ là $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai điểm cụ thể mà đường thẳng phải đi qua, đó là dấu hiệu để thay toạ độ từng điểm vào

y = a x + b

và được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo

a, b

. Vì hai hoành độ

4

và

- 4

đối nhau nên cộng trực tiếp hai phương trình sẽ khử ngay

b

, không cần nhân thêm hệ số nào. Bẫy là nhầm lẫn vai trò của

a, b

khi thay số, dễ viết ngược thành

b

nhân với

x

1Cách 1. Thay toạ độ hai điểm để lập hệ rồi giải bằng cộng đại số

Thay lần lượt $(4; 1)$ và $(- 4; - 3)$ vào $y = a x + b$ để được hai phương trình theo $a, b$ , cộng vế theo vế để khử $b$ vì hai hoành độ đối nhau.

điểm

(4; 1)

1 = 4 a + b

điểm

(- 4; - 3)

- 3 = - 4 a + b

cộng hai phương trình:

1 + (- 3) = (4 a + b) + (- 4 a + b)

- 2 = 2 b

b = - 1

thế lại vào

1 = 4 a + b

1 = 4 a - 1

4 a = 2

a = \frac{1}{2}

Vậy $a = \frac{1}{2}$ và $b = - 1$ , đường thẳng cần tìm là $y = \frac{1}{2} x - 1$ .

2Cách 2. Trừ hai phương trình để khử

b

Cùng lập hệ như Cách 1 nhưng khử $b$ bằng cách trừ hai phương trình thay vì cộng, để đối chiếu kết quả.

1 = 4 a + b

và

- 3 = - 4 a + b

trừ vế theo vế (phương trình đầu trừ phương trình sau):

1 - (- 3) = (4 a + b) - (- 4 a + b)

4 = 8 a

a = \frac{1}{2}

thế vào

- 3 = - 4 a + b

- 3 = - 4 \cdot \frac{1}{2} + b = - 2 + b

b = - 1

Vậy trừ hai phương trình cũng cho đúng $a = \frac{1}{2}$ , $b = - 1$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức hệ số góc qua hai điểm

Dùng thẳng công thức hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm, không cần lập hệ hai ẩn, rồi thay ngược một điểm để tìm $b$ .

a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{- 3 - 1}{- 4 - 4} = \frac{- 4}{- 8}

a = \frac{1}{2}

thay

a = \frac{1}{2}

và điểm

(4; 1)

vào

y = a x + b

1 = \frac{1}{2} \cdot 4 + b

1 = 2 + b

b = - 1

Vậy dùng công thức hệ số góc cũng ra $a = \frac{1}{2}$ , $b = - 1$ , trùng khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Bài toán "tìm đường thẳng qua hai điểm" luôn quy được về một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo $a, b$ , dù giải bằng hệ hay bằng công thức hệ số góc thì bản chất vẫn là cùng một phép tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 vì chỉ hai dòng là ra

a

, rồi thay ngược một điểm là ra

b

, nhanh hơn hẳn việc lập cả hệ hai ẩn rồi cộng/trừ như Cách 1, 2.

Đáp số.

a = \frac{1}{2}

b = - 1

; đường thẳng

y = \frac{1}{2} x - 1

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thay toạ độ điểm

(- 4; - 3)

nhưng quên dấu, viết nhầm phương trình thành

- 3 = 4 a + b

thay vì

- 3 = - 4 a + b

. Thử lại: nếu cộng hai phương trình sai đó sẽ ra

b

khác

- 1

, không thoả điểm

(4; 1)

; phải giữ đúng dấu âm của hoành độ

- 4

khi thay vào.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hai điểm

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

có

x_{1} \neq = x_{2}

bất kỳ, luôn lập được hệ

{y_{1} = a x_{1} + b y_{2} = a x_{2} + b

và giải ra

a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

b = y_{1} - a x_{1}

— đây chính là cách dựng phương trình đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.13★★★Trang 13— Giải hệ khi biết giá trị tham số và chứng minh hệ vô nghiệm với giá trị tham số khác

Cho hệ phương trình

{x + 3 y = 1 2 x + m y = 5

. a) Giải hệ phương trình khi

m = 1

. b) Chứng tỏ rằng hệ đã cho vô nghiệm khi

m = 6

Kiến thức cần nhớ

Khi tham số nhận một giá trị cụ thể, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trở thành hệ số cụ thể, giải như các bài trước.
Chứng tỏ hệ vô nghiệm với tham số $m$ cho trước bằng cách khử một ẩn rồi chỉ ra phương trình thu được vô lý, hoặc so sánh tỉ số hệ số.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho hẳn

m = 1

nên chỉ còn là giải hệ số cụ thể như hai bài trước. Câu b) yêu cầu chứng tỏ vô nghiệm với

m = 6

chứ không yêu cầu tìm nghiệm, đây là dấu hiệu phải trình bày phép khử ẩn dẫn tới điều vô lý, không được chỉ nói suông 'hệ vô nghiệm'. Bẫy hay gặp là ở câu b) học sinh cứ cố thế ra

x, y

cụ thể trong khi bản chất bài chỉ cần chỉ ra sự mâu thuẫn.

1Cách 1. Thế trực tiếp — giải câu a) và chứng minh câu b) bằng phép thế

Từ phương trình đầu rút $x$ theo $y$ rồi thay vào phương trình sau, áp dụng cho cả hai giá trị của $m$ .

từ

x + 3 y = 1

rút

x = 1 - 3 y

m = 1

: thế vào

2 x + y = 5

2 (1 - 3 y) + y = 5

2 - 6 y + y = 5

- 5 y = 3

y = - \frac{3}{5}

x = 1 - 3 \cdot (- \frac{3}{5}) = 1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}

m = 6

: thế vào

2 x + 6 y = 5

2 (1 - 3 y) + 6 y = 5

2 - 6 y + 6 y = 5

2 = 5

(vô lý)

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{14}{5}; - \frac{3}{5})$ ; b) với $m = 6$ , phép thế dẫn tới $2 = 5$ vô lý nên hệ vô nghiệm.

2Cách 2. Cộng đại số — nhân phương trình đầu rồi trừ để đối chiếu

Nhân phương trình đầu với $2$ để hệ số của $x$ ở hai phương trình bằng nhau, rồi trừ để khử $x$ , áp dụng cho cả hai giá trị của $m$ .

nhân

x + 3 y = 1

với

2

2 x + 6 y = 2

m = 1

: trừ

2 x + y = 5

cho

2 x + 6 y = 2

y - 6 y = 5 - 2

- 5 y = 3

y = - \frac{3}{5}

, thế lại

x + 3 (- \frac{3}{5}) = 1 \Rightarrow x = \frac{14}{5}

m = 6

: trừ

2 x + 6 y = 5

cho

2 x + 6 y = 2

(2 x + 6 y) - (2 x + 6 y) = 5 - 2

0 = 3

(vô lý)

Vậy cộng đại số cho lại đúng kết quả câu a) là $(\frac{14}{5}; - \frac{3}{5})$ , và câu b) cho $0 = 3$ vô lý nên hệ vô nghiệm — khớp với Cách 1.

3Cách 3. So tỉ số hệ số theo

m

để giải thích vì sao đúng

m = 6

mới vô nghiệm

Xét tỉ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{m}$ để tìm đúng giá trị $m$ làm hệ vô nghiệm, thay vì chỉ kiểm tra riêng lẻ $m = 1$ hay $m = 6$ .

hệ vô nghiệm khi

\frac{1}{2} = \frac{3}{m} \neq = \frac{1}{5}

từ

\frac{1}{2} = \frac{3}{m}

suy ra

m = 6

kiểm tra tỉ số thứ ba:

\frac{1}{5} \neq = \frac{1}{2}

nên đúng là vô nghiệm khi

m = 6

còn khi

m = 1

\frac{1}{2} \neq = \frac{3}{1}

nên hai tỉ số đầu đã khác nhau, hệ chắc chắn có nghiệm duy nhất, khớp với kết quả câu a)

Vậy $m = 6$ là giá trị DUY NHẤT làm hệ vô nghiệm, còn mọi $m \neq = 6$ (như $m = 1$ ) đều cho hệ có nghiệm duy nhất.

Nhận xét. Cách 3 không chỉ chứng tỏ $m = 6$ làm hệ vô nghiệm mà còn lý giải được vì sao đề chọn đúng con số $6$ chứ không phải số nào khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi câu a) dùng Cách 1 (thế) vì hệ số của

y

ở phương trình thứ hai bằng

1

, rút gọn nhanh; câu b) dùng Cách 2 (cộng đại số) vì chỉ cần nhân một lần là thấy ngay

0 = 3

, ngắn hơn Cách 3 phải lập luận qua tỉ số.

Đáp số. a)

(x; y) = (\frac{14}{5}; - \frac{3}{5})

; b) với

m = 6

, hệ dẫn tới

0 = 3

(vô lý) nên vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn vẫn cố giải ra một cặp

(x; y)

cụ thể cho

m = 6

bằng cách chia ẩu, ra một đáp số 'ảo' rồi thử lại thấy sai lại đổ tại tính nhầm. Phải nhận ra khi khử

x

thì

y

cũng bị khử theo (hệ số

y

ở hai phương trình bằng nhau khi

m = 6

), phương trình còn lại là

0 = 3

vô lý — đó chính là bằng chứng vô nghiệm, không cần tìm số cụ thể nào nữa.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu đổi vế phải phương trình thứ hai từ

5

thành

\frac{5}{2}

(giữ nguyên

m = 6

) thì tỉ số thứ ba cũng bằng

\frac{1}{2}

, khi đó hệ lại trở thành vô số nghiệm chứ không còn vô nghiệm — chứng tỏ cả ba hệ số đều quyết định loại nghiệm, không chỉ riêng

m

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.14★★★Trang 13— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (kinh tế học)

Trong kinh tế học, đường IS là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp thu nhập

Y

và lãi suất

r

để duy trì trạng thái cân bằng của thị trường hàng hoá trong nền kinh tế. Còn đường LM là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp giữa thu nhập

Y

và lãi suất

r

duy trì trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ. Giả sử trong một nền kinh tế, mức thu nhập cân bằng

Y

(tính bằng triệu đô la) và lãi suất cân bằng

r

thoả mãn hệ phương trình

{0, 06 Y - 5000 r = 240 0, 06 Y + 6000 r = 900

. Tìm mức thu nhập cân bằng

Y

và lãi suất cân bằng

r

Kiến thức cần nhớ

Bài toán thực tế cho sẵn hệ phương trình theo hai đại lượng cần tìm, chỉ cần nhận diện đúng hai ẩn rồi giải như hệ phương trình thông thường.
Hệ số của cùng một ẩn ở hai phương trình bằng nhau thì trừ trực tiếp hai phương trình sẽ khử được ẩn đó ngay, không cần nhân thêm.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ đã cho sẵn, không cần lập lại — dấu hiệu nhận ra ngay là hệ số của

Y

ở cả hai phương trình đều bằng

0, 06

, giống hệt nhau. Vì vậy trừ trực tiếp hai phương trình sẽ khử được

Y

ngay lập tức mà không cần nhân thêm số nào, ngắn hơn hẳn việc rút

Y

rồi thế. Bẫy là con số

5000

và

6000

khá lớn, dễ cộng nhầm dấu khi trừ hai phương trình có hệ số

r

trái dấu.

1Cách 1. Trừ trực tiếp hai phương trình vì hệ số của

Y

đã bằng nhau

Hệ số của $Y$ ở cả hai phương trình đều là $0, 06$ nên trừ phương trình sau cho phương trình đầu sẽ khử $Y$ ngay.

(0, 06 Y + 6000 r) - (0, 06 Y - 5000 r) = 900 - 240

11000 r = 660

r = 0, 06

thế vào

0, 06 Y - 5000 r = 240

0, 06 Y - 5000 \cdot 0, 06 = 240

0, 06 Y - 300 = 240

0, 06 Y = 540

Y = 9000

Vậy mức thu nhập cân bằng là $Y = 9000$ (triệu đô la, tức $9$ tỷ đô la) và lãi suất cân bằng là $r = 0, 06$ (tức $6%$ ).

2Cách 2. Rút

Y

từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại

Rút $Y$ từ phương trình đầu theo $r$ rồi thay vào phương trình sau, dùng để đối chiếu lại Cách 1.

từ

0, 06 Y - 5000 r = 240

rút

Y = \frac{240 + 5 000 r}{0 , 06}

thế vào

0, 06 Y + 6000 r = 900

0, 06 \cdot \frac{240 + 5 000 r}{0 , 06} + 6000 r = 900

240 + 5000 r + 6000 r = 900

11000 r = 660

r = 0, 06

Y = \frac{240 + 5 000 \cdot 0 , 06}{0 , 06} = \frac{240 + 300}{0 , 06} = 9000

Vậy phép thế cũng cho đúng $Y = 9000$ và $r = 0, 06$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Minh hoạ hai đường IS, LM trên mặt phẳng toạ độ

(r; Y)

Vẽ hai đường thẳng IS và LM trên hệ trục có trục hoành là $r$ , trục tung là $Y$ ; điểm cân bằng chính là giao điểm của hai đường.

đường IS:

0, 06 Y - 5000 r = 240

đi qua

(r; Y) = (0; 4000)

và

(0, 06; 9000)

đường LM:

0, 06 Y + 6000 r = 900

đi qua

(r; Y) = (0; 15000)

và

(0, 06; 9000)

quan sát hình vẽ, hai đường IS, LM cắt nhau tại đúng điểm

(0, 06; 9000)

Vậy giao điểm của IS và LM là $(r; Y) = (0, 06; 9000)$ , đúng bằng nghiệm đã tìm ở Cách 1, Cách 2 — minh hoạ trực quan cho trạng thái cân bằng đồng thời của cả hai thị trường.

Nhận xét. Mọi điểm nằm trên IS mà không nằm trên LM chỉ cân bằng thị trường hàng hoá, không cân bằng thị trường tiền tệ; chỉ đúng giao điểm mới cân bằng đồng thời cả hai thị trường.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì hệ số của

Y

đã trùng nhau sẵn, trừ ngay một dòng ra

r

mà không cần rút ẩn ra phân số phức tạp như Cách 2.

Đáp số.

Y = 9000

(triệu đô la);

r = 0, 06

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn trừ hai phương trình nhưng đổi dấu sai ở vế phải, viết

6000 r - (- 5000 r) = 900 - 240

thành

1000 r = 660

(cộng nhầm thành trừ hệ số

r

). Hệ số

r

ở hai phương trình là

- 5000

và

6000

, hiệu đúng của chúng là

6000 - (- 5000) = 11000

, nên phương trình đúng là

11000 r = 660

🚀 Mở rộng. Mô hình IS–LM còn dùng để dự báo: nếu chính sách tiền tệ làm đường LM dịch sang

0, 06 Y + 6000 r = 1020

(vế phải tăng thêm

120

) thì lãi suất cân bằng mới là

r = \frac{780}{11 000} \approx 0, 071

, tính theo đúng phương pháp trừ hai phương trình ở Cách 1.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.15★★★Trang 13— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (cung — cầu thị trường)

Phương trình cung và phương trình cầu của một loại thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là: phương trình cầu

p = 150 - 0, 00001 x

; phương trình cung

p = 60 + 0, 00002 x

; trong đó

p

là giá mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng đô la) và

x

là số lượng đơn vị sản phẩm. Tìm điểm cân bằng của thị trường này, tức là điểm

(p; x)

thoả mãn đồng thời cả hai phương trình cung và cầu.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cân bằng thị trường là điểm mà lượng cung bằng lượng cầu, tức giá $p$ ở hai phương trình cung và cầu bằng nhau tại cùng một giá trị $x$ .
Khi cả hai phương trình đã cùng ở dạng $p = \dots$ , có thể cho hai vế phải bằng nhau để được ngay phương trình một ẩn $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình cung và cầu đều đã viết sẵn dưới dạng

p = \dots

, đó là dấu hiệu đặc biệt: không cần rút ẩn như các bài trước vì

p

đã bằng nhau ở cả hai vế phải, chỉ việc cho hai biểu thức theo

x

bằng nhau. Chọn hướng cho hai vế phải bằng nhau vì nhanh hơn hẳn việc đưa về dạng chuẩn

a x + b y = c

rồi mới cộng trừ. Bẫy là hệ số

0, 00001

và

0, 00002

rất nhỏ, cần nhân cả hai vế với một luỹ thừa của

10

đủ lớn để tránh sai số khi tính tay.

1Cách 1. Cho hai vế phải cùng bằng

p

để lập phương trình một ẩn

x

Vì cả hai phương trình đều có vế trái là $p$ , cho hai vế phải bằng nhau để được ngay một phương trình chỉ chứa $x$ .

150 - 0, 00001 x = 60 + 0, 00002 x

150 - 60 = 0, 00002 x + 0, 00001 x

90 = 0, 00003 x

x = \frac{90}{0 , 00003}

x = 3000000

thế vào

p = 150 - 0, 00001 x

p = 150 - 0, 00001 \cdot 3000000

p = 150 - 30

p = 120

Vậy điểm cân bằng của thị trường là $(p; x) = (120; 3000000)$ .

2Cách 2. Đưa về dạng chuẩn rồi cộng đại số để đối chiếu

Chuyển mỗi phương trình về dạng $a x + p = c$ rồi trừ hai phương trình để khử $p$ , dùng cách trình bày quen thuộc của hệ hai ẩn.

viết lại:

0, 00001 x + p = 150

và

- 0, 00002 x + p = 60

trừ phương trình đầu cho phương trình sau:

(0, 00001 x + p) - (- 0, 00002 x + p) = 150 - 60

0, 00003 x = 90

x = 3000000

thế vào

0, 00001 x + p = 150

0, 00001 \cdot 3000000 + p = 150

30 + p = 150

p = 120

Vậy cộng đại số cũng cho đúng $(p; x) = (120; 3000000)$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Vẽ đồ thị đường cung, đường cầu trên mặt phẳng

(x; p)

Vẽ hai đường cung, cầu trên hệ trục có trục hoành là $x$ , trục tung là $p$ ; điểm cân bằng chính là giao điểm.

đường cầu

p = 150 - 0, 00001 x

đi qua

(x; p) = (0; 150)

và

(3000000; 120)

, nghịch biến

đường cung

p = 60 + 0, 00002 x

đi qua

(x; p) = (0; 60)

và

(3000000; 120)

, đồng biến

quan sát hình vẽ, đường cầu đi xuống còn đường cung đi lên, cắt nhau tại đúng một điểm

Vậy giao điểm của hai đường là $(x; p) = (3000000; 120)$ , tức điểm cân bằng $(p; x) = (120; 3000000)$ , đúng như Cách 1, Cách 2 đã tính.

Nhận xét. Ở mọi mức $x$ nhỏ hơn $3000000$ , đường cầu nằm trên đường cung (giá người mua sẵn lòng trả cao hơn giá người bán yêu cầu), còn với $x$ lớn hơn thì ngược lại — đúng bản chất kinh tế của điểm cân bằng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cả hai phương trình đã sẵn dạng

p = \dots

, cho hai vế phải bằng nhau là nhanh nhất, khỏi mất công viết lại về dạng chuẩn

a x + b y = c

như Cách 2.

Đáp số. Điểm cân bằng

(p; x) = (120; 3000000)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng nhầm hai hệ số rất nhỏ, viết

150 - 60 = 0, 00002 x - 0, 00001 x

(lấy hiệu thay vì tổng) vì quên rằng khi chuyển

- 0, 00001 x

từ vế trái phương trình cầu sang thì nó đổi dấu, cộng với

0, 00002 x

bên vế cung phải cùng dấu cộng, ra tổng

0, 00003 x

chứ không phải hiệu.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu chi phí sản xuất tăng khiến phương trình cung đổi thành

p = 80 + 0, 00002 x

thì điểm cân bằng mới có

90 - 20 = 0, 00003 x \Rightarrow x = \frac{70}{0 , 00003} \approx 2333333

và

p = 150 - 0, 00001 \cdot 2333333 \approx 126, 7

— giá cân bằng tăng, lượng cân bằng giảm, đúng quy luật cung giảm.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.16★★Trang 13— Lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (thiết kế đề kiểm tra)

Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi: câu hỏi đúng/sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra được tính trên thang điểm

100

, trong đó mỗi câu hỏi đúng/sai có giá trị

2

điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị

4

điểm. Thầy Nam muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/sai. a) Gọi số câu hỏi đúng/sai là

x

, số câu hỏi nhiều lựa chọn là

y

(

x, y \in N^{*}

). Viết hệ hai phương trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi. b) Giải hệ phương trình trong câu a) để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra.

Kiến thức cần nhớ

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế bằng cách biểu diễn từng điều kiện của đề thành một phương trình riêng.
Quan hệ 'gấp đôi' giữa hai đại lượng $x, y$ được viết thành $y = 2 x$ (không phải $x = 2 y$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai điều kiện tách bạch: tổng điểm bằng

100

và số câu nhiều lựa chọn gấp đôi số câu đúng/sai, đó là dấu hiệu lập được ngay hai phương trình độc lập theo

x, y

. Nên viết phương trình 'gấp đôi' trước vì nó đơn giản nhất, sau đó thế luôn vào phương trình tổng điểm sẽ ra ngay đáp số. Bẫy là viết ngược quan hệ gấp đôi, dễ nhầm

x = 2 y

(đúng/sai gấp đôi lựa chọn) trong khi đề nói ngược lại.

1Cách 1. Lập hệ rồi thế trực tiếp

y = 2 x

vào phương trình tổng điểm

Viết quan hệ gấp đôi và quan hệ tổng điểm thành hai phương trình, sau đó thế phương trình đơn giản vào phương trình còn lại.

số câu nhiều lựa chọn gấp đôi số câu đúng/sai:

y = 2 x

tổng điểm bằng

100

2 x + 4 y = 100

thế

y = 2 x

vào

2 x + 4 y = 100

2 x + 4 \cdot 2 x = 100

2 x + 8 x = 100

10 x = 100

x = 10

y = 2 \cdot 10 = 20

Vậy hệ phương trình là ${y = 2 x 2 x + 4 y = 100$ , và bài kiểm tra có $10$ câu đúng/sai, $20$ câu nhiều lựa chọn.

2Cách 2. Cộng đại số — đưa

y = 2 x

về dạng chuẩn rồi khử

y

Viết lại $y = 2 x$ thành $2 x - y = 0$ , nhân với $4$ rồi trừ cho phương trình tổng điểm để khử $y$ .

2 x - y = 0

và

2 x + 4 y = 100

nhân

2 x - y = 0

với

4

8 x - 4 y = 0

cộng với

2 x + 4 y = 100

(8 x - 4 y) + (2 x + 4 y) = 0 + 100

10 x = 100

x = 10

thế lại vào

2 x - y = 0

2 \cdot 10 - y = 0 \Rightarrow y = 20

Vậy cộng đại số cũng cho $x = 10$ , $y = 20$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn phụ theo tỉ lệ số câu

Vì $y = 2 x$ nghĩa là số câu đúng/sai và số câu nhiều lựa chọn theo tỉ lệ $1 : 2$ , đặt $x = k$ , $y = 2 k$ với $k$ là một phần, rồi thay vào điều kiện tổng điểm để tìm $k$ .

đặt

x = k

y = 2 k

(

k \in N^{*}

)

thay vào

2 x + 4 y = 100

2 k + 4 \cdot 2 k = 100

2 k + 8 k = 100

10 k = 100

k = 10

suy ra

x = k = 10

và

y = 2 k = 20

Vậy đặt ẩn phụ theo phần tỉ lệ cũng cho đúng $x = 10$ , $y = 20$ — khớp với hai cách trên, đồng thời cho thấy $10$ chính là "một phần" trong tỉ lệ $1 : 2$ .

Nhận xét. Cách đặt ẩn phụ theo tỉ lệ tuy dài hơn về hình thức nhưng lại rất tự nhiên khi đề đã cho sẵn tỉ lệ giữa hai đại lượng, và dễ mở rộng cho bài có tỉ lệ phức tạp hơn (như $3 : 5$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì

y = 2 x

đã tách sẵn một ẩn theo ẩn kia, thế thẳng vào phương trình tổng điểm là ra kết quả chỉ trong vài dòng, không cần đưa về dạng chuẩn như Cách 2.

Đáp số.

x = 10

câu đúng/sai;

y = 20

câu nhiều lựa chọn.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết ngược quan hệ gấp đôi thành

x = 2 y

(hiểu nhầm là số câu đúng/sai nhiều gấp đôi), dẫn tới giải ra

x = 20, y = 10

và tổng điểm

2 \cdot 20 + 4 \cdot 10 = 80 \neq = 100

, không thoả mãn thang điểm

100

của đề. Phải đọc đúng thứ tự đề: 'số câu nhiều lựa chọn (

y

) gấp đôi số câu đúng/sai (

x

)' nên

y = 2 x

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu thang điểm đổi thành

120

và giữ nguyên tỉ lệ

y = 2 x

, thì

10 k = 120 \Rightarrow k = 12

, tức

12

câu đúng/sai và

24

câu nhiều lựa chọn — cùng phương pháp đặt ẩn phụ ở Cách 3 áp dụng được ngay cho đề điểm khác.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-9-kn/bai-2-giai-he-hai-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an.jsp · https://loigiaihay.com/bai-2-giai-he-hai-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-sbt-toan-9-kntt-e37362.html