Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang12–13 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.9★Trang 12— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế — nhận dạng cả ba trường hợp nghiệm

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a)

⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y = 8 \frac{1}{2} x - y = 18

; b)

{0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7 4 x + 10 y = 9

; c)

⎩ ⎨ ⎧ - 2 x + 3 y = 1 \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp thế: rút một ẩn từ một phương trình rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.
Nếu phương trình một ẩn thu được vô lý (dạng $0 = c$ với $c \neq = 0$ ) thì hệ vô nghiệm; nếu luôn đúng (dạng $0 = 0$ ) thì hệ vô số nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Ba hệ đều được yêu cầu giải bằng phương pháp thế, nhưng đề cố ý xếp cạnh nhau ba hệ có ba kiểu kết quả khác nhau — đây là dấu hiệu để cảnh giác chứ không phải hệ nào cũng ra một cặp số duy nhất. Chọn rút

y

hoặc

x

ở hệ số đơn giản nhất trước để phép thế gọn nhất. Bẫy là thấy phương trình sau khi thế không còn ẩn kia thì vội cho là tính sai, trong khi đó chính là dấu hiệu hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

1Cách 1. Rút một ẩn rồi thế vào phương trình còn lại (đúng yêu cầu đề)

Từ phương trình có hệ số đơn giản nhất, rút một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào phương trình còn lại.

a) từ

x + 2 y = 8

rút

x = 8 - 2 y

, thế vào

\frac{1}{2} x - y = 18

\frac{1}{2} (8 - 2 y) - y = 18

4 - y - y = 18

- 2 y = 14

y = - 7

x = 8 - 2 \cdot (- 7) = 22

b) từ

0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7

rút

x = \frac{0 , 7 - 0 , 5 y}{0 , 2} = 3, 5 - 2, 5 y

, thế vào

4 x + 10 y = 9

4 (3, 5 - 2, 5 y) + 10 y = 9

14 - 10 y + 10 y = 9

14 = 9

(vô lý)

c) từ

- 2 x + 3 y = 1

rút

x = \frac{3 y - 1}{2}

, thế vào

\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y - 1}{2} - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

\frac{3 y - 1}{6} - \frac{3 y}{6} = - \frac{1}{6}

\frac{- 1}{6} = - \frac{1}{6}

(luôn đúng)

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (22; - 7)$ ; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $(x; \frac{2 x + 1}{3})$ với $x \in R$ tuỳ ý.

2Cách 2. Đối chiếu bằng phương pháp cộng đại số

Nhân hai phương trình để hệ số của cùng một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau rồi cộng hoặc trừ từng vế, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

a) nhân

x + 2 y = 8

với

2

2 x + 4 y = 16

; nhân

\frac{1}{2} x - y = 18

với

2

x - 2 y = 36

cộng hai phương trình mới:

3 x = 52

… kiểm tra nhanh bằng cách trừ

2 x + 4 y = 16

cho

2 (x - 2 y = 36)

8 y = 16 - 72 = - 56

y = - 7

, thế lại

x + 2 (- 7) = 8 \Rightarrow x = 22

b) nhân

0, 2 x + 0, 5 y = 0, 7

với

20

4 x + 10 y = 14

; so với phương trình thứ hai

4 x + 10 y = 9

trừ hai phương trình:

0 = 14 - 9 = 5

(vô lý)

c) nhân

\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = - \frac{1}{6}

với

6

2 x - 3 y = - 1

, tức là

- 2 x + 3 y = 1

trùng đúng phương trình thứ nhất nên trừ đi được

0 = 0

Vậy cộng đại số cho lại đúng ba kết luận như Cách 1: a) $(22; - 7)$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm.

3Cách 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (minh hoạ bằng hình)

Mỗi phương trình là một đường thẳng; so sánh tỉ số các hệ số $a_{1} : a_{2}$ , $b_{1} : b_{2}$ , $c_{1} : c_{2}$ để biết ngay hai đường cắt nhau, song song hay trùng nhau mà không cần giải chi tiết.

1 : \frac{1}{2} = 2

còn

2 : (- 1) = - 2

, hai tỉ số khác nhau nên hai đường cắt nhau — hệ có nghiệm duy nhất

0, 2 : 4 = 0, 05

và

0, 5 : 10 = 0, 05

bằng nhau, nhưng

0, 7 : 9 \neq = 0, 05

nên hai đường song song — hệ vô nghiệm

(- 2) : \frac{1}{3} = - 6

3 : (- \frac{1}{2}) = - 6

và

1 : (- \frac{1}{6}) = - 6

, cả ba tỉ số bằng nhau nên hai đường trùng nhau — hệ vô số nghiệm

Vậy nhìn hình bên: a) hai đường cắt nhau tại đúng một điểm; b) hai đường song song không giao nhau; c) hai đường trùng khít lên nhau — khớp với cả hai cách tính ở trên.

Nhận xét. Không cần giải hết mới biết loại nghiệm: so tỉ số hệ số trước sẽ tránh mất công thế/cộng khi hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để đoán trước loại nghiệm trong vài giây, sau đó mới trình bày lời giải đầy đủ bằng Cách 1 (đúng yêu cầu đề là phương pháp thế) — tránh mất thời gian thế đi thế lại khi gặp hệ vô nghiệm.

Đáp số. a)

(x; y) = (22; - 7)

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát

(x; \frac{2 x + 1}{3})

x \in R

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn thế xong thấy '

14 = 9

' liền nghĩ mình tính sai và cố tìm lại một cặp

(x; y)

nào đó, trong khi đây chính là dấu hiệu hệ vô nghiệm. Ngược lại ở câu c) thấy '

- \frac{1}{6} = - \frac{1}{6}

' có bạn tưởng nhầm là thiếu dữ kiện, thực ra đó là hệ vô số nghiệm và phải ghi công thức nghiệm tổng quát chứ không được bỏ trống.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hệ

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

có nghiệm duy nhất khi

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

, vô nghiệm khi

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

, vô số nghiệm khi cả ba tỉ số bằng nhau — Cách 3 chính là công cụ nhận dạng nhanh cho mọi hệ dạng này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.10★Trang 12— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số — nhận dạng cả ba trường hợp nghiệm

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: a)

{3 x - 7 y = - 14 5 x + 2 y = 45

; b)

{x - 0, 5 y = - 3 2 x - y = 6

; c)

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 y = 3 \frac{2}{3} x + y = 1

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp cộng đại số: nhân hai phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau, rồi cộng hoặc trừ từng vế để khử ẩn đó.
Sau khi khử một ẩn mà thu được $0 = c$ với $c \neq = 0$ thì hệ vô nghiệm; thu được $0 = 0$ thì hệ vô số nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Giống bài 1.9 nhưng lần này đề chỉ định phương pháp cộng đại số, và ba hệ vẫn được xếp để rơi đúng ba trường hợp nghiệm khác nhau. Nên nhân sao cho hệ số của

x

ở hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, vì hệ số của

x

ở cả ba câu đều dễ quy về bội chung nhỏ. Bẫy là ở câu b) và c), sau khi khử một ẩn nếu vội chia cả hai vế cho hệ số của ẩn còn lại mà hệ số đó bằng

0

thì sẽ chia cho

0

, phải dừng lại đọc kết quả trước khi chia.

1Cách 1. Nhân để hệ số một ẩn đối nhau rồi cộng hai vế (đúng yêu cầu đề)

Nhân mỗi phương trình với một số thích hợp để hệ số của $y$ đối nhau, rồi cộng từng vế để khử $y$ .

a) nhân

3 x - 7 y = - 14

với

2

, nhân

5 x + 2 y = 45

với

7

6 x - 14 y = - 28

và

35 x + 14 y = 315

cộng hai phương trình:

41 x = 287

x = 7

thế vào

5 x + 2 y = 45

2 y = 45 - 35 = 10 \Rightarrow y = 5

b) nhân

x - 0, 5 y = - 3

với

2

2 x - y = - 6

, so với phương trình thứ hai

2 x - y = 6

trừ hai phương trình:

0 = - 6 - 6 = - 12

(vô lý)

c) nhân

\frac{2}{3} x + y = 1

với

3

2 x + 3 y = 3

, trùng đúng phương trình thứ nhất

trừ hai phương trình:

0 = 0

(luôn đúng)

Vậy a) hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (7; 5)$ ; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát $(x; 1 - \frac{2}{3} x)$ với $x \in R$ tuỳ ý.

2Cách 2. Đối chiếu bằng phương pháp thế

Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn rồi thay vào phương trình còn lại, dùng để kiểm chứng lại Cách 1.

a) từ

3 x - 7 y = - 14

rút

x = \frac{7 y - 14}{3}

, thế vào

5 x + 2 y = 45

5 \cdot \frac{7 y - 14}{3} + 2 y = 45

\frac{35 y - 70}{3} + \frac{6 y}{3} = 45

41 y - 70 = 135

y = 5

, thế lại

3 x - 7 \cdot 5 = - 14 \Rightarrow x = 7

b) từ

2 x - y = 6

rút

y = 2 x - 6

, thế vào

x - 0, 5 y = - 3

x - 0, 5 (2 x - 6) = - 3

x - x + 3 = - 3

3 = - 3

(vô lý)

c) từ

2 x + 3 y = 3

rút

y = \frac{3 - 2 x}{3} = 1 - \frac{2}{3} x

, thế vào

\frac{2}{3} x + y = 1

\frac{2}{3} x + 1 - \frac{2}{3} x = 1

1 = 1

(luôn đúng)

Vậy phương pháp thế cho đúng ba kết luận như Cách 1: a) $(7; 5)$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm.

3Cách 3. So tỉ số hệ số để đoán loại nghiệm trước khi tính

So sánh ba tỉ số $a_{1} : a_{2}$ , $b_{1} : b_{2}$ , $c_{1} : c_{2}$ để biết ngay loại nghiệm mà không cần cộng hay thế.

3 : 5 = 0, 6

còn

(- 7) : 2 = - 3, 5

, hai tỉ số khác nhau nên có nghiệm duy nhất

1 : 2 = 0, 5

và

(- 0, 5) : (- 1) = 0, 5

bằng nhau, còn

(- 3) : 6 = - 0, 5 \neq = 0, 5

nên vô nghiệm

2 : \frac{2}{3} = 3

3 : 1 = 3

và

3 : 1 = 3

, cả ba tỉ số bằng nhau nên vô số nghiệm

Vậy ba dự đoán đều khớp với Cách 1 và Cách 2, xác nhận lại: a) nghiệm duy nhất, b) vô nghiệm, c) vô số nghiệm.

Nhận xét. Việc so tỉ số hệ số trước giúp phát hiện ngay câu b) và c) không cho nghiệm duy nhất, khỏi mất công cộng đại số rồi mới ngỡ ngàng vì kết quả $0 = - 12$ hay $0 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng yêu cầu đề (cộng đại số) và với hệ số nguyên/thập phân đơn giản như câu a), b) thì nhân quy đồng rồi cộng luôn nhanh hơn rút ẩn ra phân số như Cách 2.

Đáp số. a)

(x; y) = (7; 5)

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát

(x; 1 - \frac{2}{3} x)

x \in R

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), có bạn nhân

x - 0, 5 y = - 3

với

2

nhưng chỉ nhân vế trái mà quên nhân vế phải, viết nhầm thành

2 x - y = - 3

rồi trừ ra

0 = 9

; phải nhân cả hai vế nên phương trình đúng là

2 x - y = - 6

, dẫn tới

0 = - 12

. Ở câu c), thấy hệ số

x

đã bằng nhau sau khi nhân, nhiều bạn quên đối chiếu luôn cả hệ số

y

và số hạng tự do nên không nhận ra đây là hai phương trình trùng nhau.

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra nhanh một hệ có phải vô số nghiệm hay không bằng cách nhân phương trình có hệ số phân số/thập phân cho một số nguyên để đưa cả hai phương trình về cùng dạng hệ số nguyên, như câu c) nhân

\frac{2}{3} x + y = 1

với

3

thấy trùng ngay phương trình đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.11★★Trang 12— Dùng máy tính cầm tay tra nghiệm hệ phương trình, đối chiếu bằng cách giải tay

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a)

{3 x + 3 y = 1 2 x - 3 y = 3

; b)

{2, 5 x - 3, 5 y = 0, 5 - 0, 5 x + 0, 7 y = 1

; c)

{\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5 0, 4 x + y = 1

Kiến thức cần nhớ

Máy tính cầm tay có chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (MODE giải hệ phương trình), cho ngay nghiệm nếu hệ có nghiệm duy nhất.
Khi máy báo lỗi hoặc không hiển thị nghiệm cụ thể, cần giải tay để xác định hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm — máy không phân biệt được hai trường hợp này.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.12★★Trang 13— Lập hệ phương trình từ điều kiện đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Tìm

a

và

b

để đường thẳng

y = a x + b

đi qua hai điểm

(4; 1)

và

(- 4; - 3)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ với $x_{1} \neq = x_{2}$ là $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.13★★★Trang 13— Giải hệ khi biết giá trị tham số và chứng minh hệ vô nghiệm với giá trị tham số khác

Cho hệ phương trình

{x + 3 y = 1 2 x + m y = 5

. a) Giải hệ phương trình khi

m = 1

. b) Chứng tỏ rằng hệ đã cho vô nghiệm khi

m = 6

Kiến thức cần nhớ

Khi tham số nhận một giá trị cụ thể, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trở thành hệ số cụ thể, giải như các bài trước.
Chứng tỏ hệ vô nghiệm với tham số $m$ cho trước bằng cách khử một ẩn rồi chỉ ra phương trình thu được vô lý, hoặc so sánh tỉ số hệ số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.14★★★Trang 13— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (kinh tế học)

Trong kinh tế học, đường IS là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp thu nhập

Y

và lãi suất

r

để duy trì trạng thái cân bằng của thị trường hàng hoá trong nền kinh tế. Còn đường LM là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp giữa thu nhập

Y

và lãi suất

r

duy trì trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ. Giả sử trong một nền kinh tế, mức thu nhập cân bằng

Y

(tính bằng triệu đô la) và lãi suất cân bằng

r

thoả mãn hệ phương trình

{0, 06 Y - 5000 r = 240 0, 06 Y + 6000 r = 900

. Tìm mức thu nhập cân bằng

Y

và lãi suất cân bằng

r

Kiến thức cần nhớ

Bài toán thực tế cho sẵn hệ phương trình theo hai đại lượng cần tìm, chỉ cần nhận diện đúng hai ẩn rồi giải như hệ phương trình thông thường.
Hệ số của cùng một ẩn ở hai phương trình bằng nhau thì trừ trực tiếp hai phương trình sẽ khử được ẩn đó ngay, không cần nhân thêm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 1.15★★★Trang 13— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (cung — cầu thị trường)

Phương trình cung và phương trình cầu của một loại thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là: phương trình cầu

p = 150 - 0, 00001 x

; phương trình cung

p = 60 + 0, 00002 x

; trong đó

p

là giá mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng đô la) và

x

là số lượng đơn vị sản phẩm. Tìm điểm cân bằng của thị trường này, tức là điểm

(p; x)

thoả mãn đồng thời cả hai phương trình cung và cầu.

Kiến thức cần nhớ

Điểm cân bằng thị trường là điểm mà lượng cung bằng lượng cầu, tức giá $p$ ở hai phương trình cung và cầu bằng nhau tại cùng một giá trị $x$ .
Khi cả hai phương trình đã cùng ở dạng $p = \dots$ , có thể cho hai vế phải bằng nhau để được ngay phương trình một ẩn $x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 1.16★★Trang 13— Lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế (thiết kế đề kiểm tra)

Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi: câu hỏi đúng/sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra được tính trên thang điểm

100

, trong đó mỗi câu hỏi đúng/sai có giá trị

2

điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị

4

điểm. Thầy Nam muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/sai. a) Gọi số câu hỏi đúng/sai là

x

, số câu hỏi nhiều lựa chọn là

y

(

x, y \in N^{*}

). Viết hệ hai phương trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi. b) Giải hệ phương trình trong câu a) để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra.

Kiến thức cần nhớ

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ bài toán thực tế bằng cách biểu diễn từng điều kiện của đề thành một phương trình riêng.
Quan hệ 'gấp đôi' giữa hai đại lượng $x, y$ được viết thành $y = 2 x$ (không phải $x = 2 y$ ).