Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang13 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.17★★★Trang 13— Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai có hệ số vô tỉ

Bài 6.17 (trang 13). Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a)

3 x^{2} - (3 + 1) x + 1 = 0

; b)

3 x^{2} + (5 - 1) x - 4 + 5 = 0

; c)

2 x^{2} - 35 x + 5 = 0

, biết phương trình có một nghiệm

x = 5

Kiến thức cần nhớ

$a + b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}$ .
$a - b + c = 0 \Rightarrow x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}$ .
Biết một nghiệm $x_{1}$ thì $x_{2} = \frac{c}{a} : x_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của cả ba câu chứa căn thức nhưng vẫn giữ đúng cấu trúc

a + b + c = 0

(câu a),

a - b + c = 0

(câu b) hoặc cho sẵn một nghiệm (câu c) — dấu hiệu là vẫn dùng được các mẹo nhẩm nghiệm đã học, chỉ cần cộng trừ cẩn thận các số hạng chứa

. Bẫy của bài là dễ hoảng khi thấy căn thức mà quên thử

a \pm b + c

trước.

1Cách 1. Thử

a + b + c

a - b + c

và dùng tích Viète với nghiệm cho trước

Định hướng. Xác định $a, b, c$ của từng phương trình (giữ nguyên dạng căn thức), thử cộng trừ để nhận ra trường hợp đặc biệt, câu c) dùng thẳng tích Viète với $x_{1} = 5$ .

a = 3, b = - (3 + 1), c = 1

a + b + c = 3 - 3 - 1 + 1 = 0

nên

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

a = 3, b = 5 - 1, c = 5 - 4

a - b + c = 3 - (5 - 1) + (5 - 4) = 3 - 5 + 1 + 5 - 4 = 0

nên

x_{1} = - 1

x_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{5 - 4}{3} = \frac{4 - 5}{3}

a = 2, b = - 35, c = 5

; kiểm tra

x_{1} = 5

2 \cdot 5 - 35 \cdot 5 + 5 = 10 - 15 + 5 = 0

đúng

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}

nên

x_{2} = \frac{5}{2} : 5 = \frac{5}{2 5} = \frac{5}{2}

Vậy a) $x_{1} = 1, x_{2} = \frac{3}{3}$ ; b) $x_{1} = - 1, x_{2} = \frac{4 - 5}{3}$ ; c) $x_{1} = 5, x_{2} = \frac{5}{2}$ .

2Cách 2. Giải bằng công thức nghiệm để kiểm chứng

Định hướng. Tính $Δ$ của từng phương trình rồi dùng công thức nghiệm tổng quát, so sánh với kết quả nhẩm ở Cách 1.

Δ = (3 + 1)^{2} - 43 = 3 + 23 + 1 - 43 = 4 - 23 = (3 - 1)^{2}

;

Δ = 3 - 1

x = \frac{( 3 + 1 ) \pm ( 3 - 1 )}{2 3}

cho

x_{1} = \frac{2 3}{2 3} = 1

và

x_{2} = \frac{2}{2 3} = \frac{3}{3}

Δ = (35)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 45 - 40 = 5

;

Δ = 5

x = \frac{3 5 \pm 5}{4}

cho

x_{1} = \frac{4 5}{4} = 5

và

x_{2} = \frac{2 5}{4} = \frac{5}{2}

Vậy hai câu a), c) cho đúng kết quả như Cách 1, xác nhận việc nhẩm là chính xác.

Nhận xét. Cách 2 phải nhận ra $Δ$ là một bình phương đủ (như $(3 - 1)^{2}$ ở câu a) mới ra căn đẹp; Cách 1 tránh hẳn bước này nên nhanh và an toàn hơn với hệ số vô tỉ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: luôn thử

a + b + c

a - b + c

trước — với hệ số vô tỉ, tính

Δ

rồi khai căn (Cách 2) dễ sai và mất thời gian hơn nhiều.

Đáp số. a)

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{3}{3}

; b)

x_{1} = - 1, x_{2} = \frac{4 - 5}{3}

; c)

x_{1} = 5, x_{2} = \frac{5}{2}

Sai lầm thường gặp. Thấy hệ số chứa căn liền bỏ qua việc thử

a \pm b + c

mà lao vào tính

Δ

và khai căn số vô tỉ, dễ sai ở bước rút gọn

4 - 23

🚀 Mở rộng. Mẹo nhẩm nghiệm

a + b + c = 0

và

a - b + c = 0

đúng với MỌI hệ số thực (kể cả vô tỉ), vì đây chỉ là phép thế

x = 1

hoặc

x = - 1

vào phương trình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.18★★★Trang 13— Tìm hai số khi biết tổng-tích hoặc bình phương-tích

Bài 6.18 (trang 13). Tìm hai số

u

và

v

, biết: a)

u + v = 17

uv = 72

; b)

u^{2} + v^{2} = 73

uv = 24

Kiến thức cần nhớ

$u, v$ là hai nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ .
Hằng đẳng thức $u^{2} + v^{2} = (u + v)^{2} - 2 uv$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho thẳng tổng và tích nên áp dụng ngay công thức

x^{2} - S x + P = 0

. Câu b) cho

u^{2} + v^{2}

thay vì

u + v

— dấu hiệu cần biến đổi qua hằng đẳng thức

u^{2} + v^{2} = (u + v)^{2} - 2 uv

để suy ra

(u + v)^{2}

trước, từ đó có HAI giá trị có thể của tổng (

u + v = \pm 11

) nên bài có hai bộ nghiệm.

1Cách 1. Câu a) dùng công thức tổng-tích; câu b) đưa về tổng-tích qua hằng đẳng thức

Định hướng. Câu a) áp dụng trực tiếp $x^{2} - S x + P = 0$ . Câu b) tính $(u + v)^{2}$ từ $u^{2} + v^{2}$ và $uv$ đã cho, xét cả hai trường hợp dấu của $u + v$ .

u + v = 17

uv = 72

u, v

là nghiệm của

t^{2} - 17 t + 72 = 0

Δ = 289 - 288 = 1

Δ = 1

t_{1} = \frac{17 + 1}{2} = 9

;

t_{2} = \frac{17 - 1}{2} = 8

(u + v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv = 73 + 2 \cdot 24 = 121

u + v = 11

hoặc

u + v = - 11

Trường hợp

u + v = 11

u, v

là nghiệm của

t^{2} - 11 t + 24 = 0

Δ = 121 - 96 = 25

t = \frac{11 \pm 5}{2}

cho

8

và

3

Trường hợp

u + v = - 11

u, v

là nghiệm của

t^{2} + 11 t + 24 = 0

Δ = 25

t = \frac{- 11 \pm 5}{2}

cho

- 3

và

- 8

Vậy a) $u = 9, v = 8$ (hoặc ngược lại); b) $(u; v) = (3; 8)$ hoặc $(8; 3)$ hoặc $(- 3; - 8)$ hoặc $(- 8; - 3)$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thế trực tiếp số vào

u^{2} + v^{2}

và

uv

Định hướng. Thay các cặp số vừa tìm được ở Cách 1 ngược lại vào giả thiết ban đầu để xác nhận không có cặp nào bị loại hay thiếu sót.

9 + 8 = 17

✓;

9 \times 8 = 72

✓
b)

3^{2} + 8^{2} = 9 + 64 = 73

✓;

3 \times 8 = 24

✓

(- 3)^{2} + (- 8)^{2} = 9 + 64 = 73

✓;

(- 3) \times (- 8) = 24

✓

Vậy tất cả các cặp ở Cách 1 đều thỏa mãn giả thiết, không thiếu cũng không thừa nghiệm.

Nhận xét. Câu b) có tới bốn cặp $(u; v)$ vì đề chỉ cho $u^{2} + v^{2}$ (không phân biệt dấu của tổng) — khác hẳn câu a) chỉ có một cặp vì tổng đã cố định dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm theo Cách 1, đặc biệt chú ý câu b) phải xét cả hai dấu của

u + v = \pm 11

để không bỏ sót nghiệm.

Đáp số. a)

{u, v} = {8; 9}

; b)

{u, v} = {3; 8}

hoặc

{- 3; - 8}

Sai lầm thường gặp. Câu b) chỉ lấy

(u + v)^{2} = 121

suy ra

u + v = 11

mà quên trường hợp

u + v = - 11

, làm mất nửa số nghiệm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu b) thành

u^{2} + v^{2} = 73

uv = - 24

thì

(u + v)^{2} = 73 - 48 = 25

, bài toán vẫn giải được tương tự nhưng hai số

u, v

sẽ trái dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.19★Trang 13— Nhẩm nghiệm bằng cách đoán trực tiếp cặp số có tổng, tích cho trước

Bài 6.19 (trang 13). Dùng định lí Viète, tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a)

x^{2} - 8 x + 15 = 0

; b)

x^{2} + 5 x + 6 = 0

Kiến thức cần nhớ

Với $x^{2} + p x + q = 0$ , nếu tìm được hai số có tổng $- p$ và tích $q$ thì đó là hai nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.20★★★★Trang 13— Biểu thức đối xứng của hai nghiệm theo tham số, dùng Viète

Bài 6.20 (trang 13). Cho phương trình bậc hai (ẩn

x

x^{2} - 4 x + m - 2 = 0

. a) Tìm điều kiện của

m

để phương trình có nghiệm. b) Với điều kiện tìm được ở câu a, gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình, tính

A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

và

B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}

theo

m

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện có nghiệm: $Δ \geq 0$ (hoặc $Δ^{'} \geq 0$ ).
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ .
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.21★★★★Trang 13— Lập phương trình bậc hai từ nghịch đảo hai nghiệm, dùng Viète đảo

Bài 6.21 (trang 13). Giả sử phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq = 0

) có hai nghiệm là

x_{1}, x_{2}

đều khác

0

. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

\frac{1}{x _{1}}

và

\frac{1}{x _{2}}

Kiến thức cần nhớ

Định lí Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Hai số có tổng $S^{'}$ , tích $P^{'}$ là hai nghiệm của $y^{2} - S^{'} y + P^{'} = 0$ .