Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Định hướng. Xác định $a,b,c$ của từng phương trình (giữ nguyên dạng căn thức), thử cộng trừ để nhận ra trường hợp đặc biệt, câu c) dùng thẳng tích Viète với $x_1=\sqrt{5}$.

Vậy a) $x_1=1,x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$; b) $x_1=-1,x_2=\frac{4-\sqrt{5}}{3}$; c) $x_1=\sqrt{5},x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Định hướng. Tính $\Delta$ của từng phương trình rồi dùng công thức nghiệm tổng quát, so sánh với kết quả nhẩm ở Cách 1.

Vậy hai câu a), c) cho đúng kết quả như Cách 1, xác nhận việc nhẩm là chính xác.

Nhận xét. Cách 2 phải nhận ra $\Delta$ là một bình phương đủ (như ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$ ở câu a) mới ra căn đẹp; Cách 1 tránh hẳn bước này nên nhanh và an toàn hơn với hệ số vô tỉ.

Định hướng. Câu a) áp dụng trực tiếp $x^2-Sx+P=0$. Câu b) tính $(u+v{)}^2$ từ $u^2+v^2$ và $uv$ đã cho, xét cả hai trường hợp dấu của $u+v$.

Vậy a) $u=9,v=8$ (hoặc ngược lại); b) $(u;v)=(3;8)$ hoặc $(8;3)$ hoặc $(-3;-8)$ hoặc $(-8;-3)$.

Định hướng. Thay các cặp số vừa tìm được ở Cách 1 ngược lại vào giả thiết ban đầu để xác nhận không có cặp nào bị loại hay thiếu sót.

Vậy tất cả các cặp ở Cách 1 đều thỏa mãn giả thiết, không thiếu cũng không thừa nghiệm.

Nhận xét. Câu b) có tới bốn cặp $(u;v)$ vì đề chỉ cho $u^2+v^2$ (không phân biệt dấu của tổng) — khác hẳn câu a) chỉ có một cặp vì tổng đã cố định dấu.

Định hướng. Xác định dấu của hai nghiệm dựa vào dấu của tổng, tích rồi liệt kê nhanh các ước để chọn đúng cặp.

Vậy a) $x_1=3,x_2=5$; b) $x_1=-2,x_2=-3$.

Định hướng. Tính $\Delta$ rồi dùng công thức nghiệm tổng quát, đối chiếu với kết quả nhẩm ở Cách 1.

Vậy cùng hai kết quả như Cách 1: a) $3$ và $5$; b) $-2$ và $-3$.

Nhận xét. Với $a=1$ và hệ số đẹp như bài này, Cách 1 luôn nhanh hơn hẳn Cách 2.

Định hướng. Tính ${\Delta }^{\prime }$ (vì $b=-4=2\cdot (-2)$ chẵn) để tìm điều kiện của $m$; sau đó dùng $S=x_1+x_2$, $P=x_1{x}_2$ theo Viète và hai hằng đẳng thức đối xứng để tính $A,B$ mà không cần giải ra $x_1,x_2$ cụ thể.

Vậy a) $m\le 6$; b) $A=20-2m$, $B=88-12m$ (với $m\le 6$).

Định hướng. Thử với một giá trị cụ thể $m=2\le 6$: khi đó phương trình có nghiệm nguyên đẹp, tính trực tiếp $x_1,x_2$ rồi so với công thức tổng quát ở Cách 1.

Vậy hai công thức $A=20-2m$, $B=88-12m$ đúng với trường hợp riêng $m=2$, xác nhận kết quả Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ kiểm chứng được một giá trị $m$ cụ thể, không thay thế được việc chứng minh tổng quát bằng Viète ở Cách 1.

Định hướng. Quy đồng để đưa tổng, tích của $\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$ về theo $x_1+x_2$ và $x_1{x}_2$, sau đó thay hai hệ thức Viète của phương trình gốc.

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm $\frac{1}{x_1},\frac{1}{x_2}$ là $c{x}^2+bx+a=0$ (đổi lại tên ẩn thành $x$).

Định hướng. Vì $x_1,x_2$ là nghiệm của $a{x}^2+bx+c=0$, thay ẩn $x=\frac{1}{y}$ (với $y\ne 0$) vào phương trình gốc rồi quy đồng để tìm phương trình mà $y_1=\frac{1}{x_1},y_2=\frac{1}{x_2}$ phải thỏa mãn.

Vậy phương trình cần lập là $c{y}^2+by+a=0$, tức $c{x}^2+bx+a=0$ — trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (đổi biến trực tiếp) ngắn gọn hơn Cách 1 (đi qua tổng-tích), nhưng Cách 1 cho thấy rõ mối liên hệ với định lí Viète — kiến thức chính của bài học.