Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Định hướng. Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x$, $y$ (m), điều kiện $x>y>0$. Từ chu vi $40$ m suy ra tổng $x+y$, từ diện tích suy ra tích $xy$, rồi thế $y$ theo $x$ để đưa về một phương trình bậc hai.

Vậy mảnh vườn có chiều dài $12$ m và chiều rộng $8$ m.

Định hướng. Chiều dài và chiều rộng là hai số có tổng $20$ và tích $96$ nên chúng là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ với $S=20$, $P=96$; tách nhân tử để nhẩm nghiệm nhanh.

Vậy hai kích thước của mảnh vườn là $8$ m và $12$ m; vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài $12$ m, chiều rộng $8$ m.

Định hướng. Vì hai kích thước nhân với nhau bằng $96$ và cộng lại bằng $20$ là những số đẹp, có thể liệt kê các cặp ước dương của $96$ rồi chọn cặp có tổng đúng bằng $20$, khỏi cần giải phương trình.

Vậy chiều dài là $12$ m, chiều rộng là $8$ m.

Nhận xét. Ba cách cho cùng đáp số; Cách 2 dùng thẳng công thức tìm hai số biết tổng và tích nên nhanh nhất khi đi thi, Cách 3 chỉ dùng được khi số liệu đẹp.

Định hướng. Dùng đúng công thức nghiệm tổng quát đã học ở bài Phương trình bậc hai một ẩn.

Vậy hai nghiệm của phương trình là $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$.

Định hướng. Khi hệ số $b$ chẵn, đặt $b=2b^{\prime }$ thì dùng công thức nghiệm thu gọn cho biểu thức gọn hơn.

Vậy hai nghiệm cũng viết được theo ${\Delta }^{\prime }$ là $x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$, $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\Delta }^{\prime }}}{a}$, cho cùng kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng được khi $b$ chẵn; đây là hai cách viết của CÙNG một công thức nghiệm nên bài chỉ có hai cách trình bày khác nhau về bản chất.

Định hướng. Thay $x_1,x_2$ theo công thức ở HĐ1 rồi cộng, nhân trực tiếp; dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương khi nhân để tránh khai triển $\sqrt{\Delta }$.

Vậy $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ và $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

Định hướng. Dùng công thức nghiệm theo ${\Delta }^{\prime }$ ở Cách 2 của HĐ1 rồi cộng, nhân tương tự để đối chiếu kết quả không phụ thuộc cách viết công thức.

Vậy $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ — trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở việc dùng $\Delta$ hay ${\Delta }^{\prime }$, đều dẫn tới định lí Viète nên đây là một chứng minh với hai cách viết.

Định hướng. Xác định $a,b,c$ của từng phương trình, tính $\Delta$ để khẳng định có nghiệm, rồi thay vào công thức Viète.

Vậy a) $x_1+x_2=\frac{7}{2}$, $x_1{x}_2=\frac{3}{2}$; b) $x_1+x_2=\frac{4}{5}$, $x_1{x}_2=\frac{4}{25}$; c) $x_1+x_2=0$, $x_1{x}_2=-\sqrt{2}$.

Định hướng. Ở câu b) và c), hệ số $b$ chẵn ($b=-20=2\cdot (-10)$; $b=0=2\cdot 0$) nên dùng ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$ cho gọn; câu a) $b=-7$ lẻ nên vẫn dùng $\Delta$ như Cách 1.

Vậy cùng ba kết quả như Cách 1: a) $\frac{7}{2}$ và $\frac{3}{2}$; b) $\frac{4}{5}$ và $\frac{4}{25}$; c) $0$ và $-\sqrt{2}$.

Định hướng. Riêng câu b), $25x^2-20x+4$ có $a=5^2,c=2^2$ và $b=-2\cdot 5\cdot 2$ nên nghi ngờ đây là hằng đẳng thức $(5x-2{)}^2$; kiểm tra lại bằng khai triển để chắc chắn $\Delta =0$.

Vậy kết quả câu b) là $x_1+x_2=\frac{4}{5}$, $x_1{x}_2=\frac{4}{25}$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ áp dụng được cho câu b) vì tam thức là bình phương đủ; đây là cách kiểm tra chéo chứ không thay thế được Cách 1 cho mọi câu.

Định hướng. Trước khi bàn tổng, tích, phải kiểm tra phương trình có nghiệm hay không bằng $\Delta$.

Vậy bạn đó nói sai: vì $\Delta =-3<0$ nên phương trình vô nghiệm, không tồn tại $x_1,x_2$ để nói tổng và tích của chúng, dù phép tính $-\frac{b}{a}=1$ và $\frac{c}{a}=1$ là đúng về số học.

Định hướng. Biến đổi vế trái thành tổng một bình phương và một số dương để thấy ngay phương trình vô nghiệm mà không cần nhớ công thức $\Delta$.

Vậy $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ nên phương trình vô nghiệm; bạn đó nói sai vì không có hai nghiệm thực để tính tổng và tích.

Nhận xét. Hai cách đều chỉ ra phương trình vô nghiệm; công thức Viète chỉ là hệ quả của công thức nghiệm nên chỉ dùng được khi nghiệm tồn tại.

Định hướng. Tính $a+b+c$, thế $x=1$ để xác nhận là nghiệm, rồi dùng $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ để tìm $x_2$.

Vậy $a+b+c=0$, $x_1=1$ là nghiệm và nghiệm còn lại là $x_2=\frac{5}{2}$.

Định hướng. Tính $\Delta$ rồi dùng công thức nghiệm thông thường để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm $1$ và $\frac{5}{2}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh hơn hẳn vì tận dụng $a+b+c=0$ để khỏi phải tính $\Delta$ và căn thức.

Định hướng. Tính $a-b+c$, thế $x=-1$ để xác nhận là nghiệm, rồi dùng $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ với $x_1=-1$ để tìm $x_2$, chú ý giữ đúng dấu khi chia.

Vậy $a-b+c=0$, $x_1=-1$ là nghiệm và nghiệm còn lại là $x_2=-\frac{2}{3}$.

Định hướng. Tính $\Delta$ rồi dùng công thức nghiệm thông thường để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm $-1$ và $-\frac{2}{3}$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ở cả HĐ3 và HĐ4, Cách 1 luôn nhanh hơn Cách 2 vì tránh được bước tính $\Delta$ và căn bậc hai.

Định hướng. Với mỗi câu, kiểm tra nhanh $a+b+c$ và $a-b+c$; câu c) đã cho sẵn nghiệm nên dùng thẳng tích Viète.

Vậy a) $x_1=1$, $x_2=\frac{8}{3}$; b) $x_1=-1$, $x_2=-\frac{11}{4}$; c) $x_1=x_2=-\sqrt{2}$ (nghiệm kép).

Định hướng. Tính $\Delta$ của từng phương trình rồi dùng công thức nghiệm thông thường, đối chiếu với kết quả nhẩm ở Cách 1.

Vậy cùng ba kết quả như Cách 1, xác nhận việc nhẩm nghiệm là chính xác.

Nhận xét. Câu c) có $\Delta =0$ nên "nghiệm kia" trùng với nghiệm đã cho — đây là điểm khác biệt so với câu a), b) nên cần thử lại bằng $\Delta$ để chắc chắn không sót nghiệm phân biệt.

Định hướng. Tính $S=x_1+x_2$ và $P=x_1{x}_2$ theo Viète cho phương trình của Tròn, xem chúng có đối nhau hay không, sau đó bắt buộc kiểm tra $\Delta$.

Vậy không đồng ý hoàn toàn với Tròn: đúng là $S=-1$ và $P=1$ đối nhau về mặt số học, nhưng $\Delta =-3<0$ nên phương trình $x^2+x+1=0$ vô nghiệm, không tồn tại $x_1,x_2$ thực để nói tổng và tích của chúng.

Định hướng. Cần $S=-P$ (tức $-\frac{b}{a}=-\frac{c}{a}$, suy ra $b=c$) và $\Delta =b^2-4ac\ge 0$; chọn $a=1,b=c=-3$ để thử.

Vậy phương trình $x^2-3x-3=0$ mới thật sự có hai nghiệm với tổng $3$ và tích $-3$ là hai số đối nhau — đây mới là một ví dụ đúng cho yêu cầu của Tuấn.

Nhận xét. Điều kiện "tổng, tích đối nhau" ($b=c$) chỉ là điều kiện cần; phải thêm $\Delta \ge 0$ mới đủ để phương trình thật sự có nghiệm.

Định hướng. Gọi một số là $x$, dùng tổng $S=5$ suy ra số kia là $5-x$, rồi thay vào tích $P=6$ để lập phương trình.

Vậy phương trình cần lập là $x^2-5x+6=0$.

Định hướng. Thay trực tiếp $S=5,P=6$ vào công thức tổng quát $x^2-Sx+P=0$ (công thức sẽ được phát biểu ngay sau HĐ5) để đối chiếu với Cách 1.

Vậy cùng một phương trình $x^2-5x+6=0$ như Cách 1, xác nhận công thức tổng quát là đúng.

Nhận xét. Giải thêm: $x^2-5x+6=0$ có $\Delta =25-24=1>0$, nghiệm là $x=2$ và $x=3$; đúng là hai số có tổng $5$, tích $6$.

Định hướng. Thay $S=-11,P=28$ vào công thức tổng quát rồi giải bằng công thức nghiệm.

Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$.

Định hướng. Vì $P=28>0$ nên hai số cùng dấu; vì $S=-11<0$ nên cả hai đều âm. Liệt kê các cặp ước âm của $28$ để tìm cặp có tổng $-11$.

Vậy hai số cần tìm là $-4$ và $-7$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi số liệu đẹp; Cách 1 luôn dùng được kể cả khi hai số không phải là số nguyên.

Định hướng. Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $x$, $y$ (m), điều kiện $x>y>0$. Từ chu vi $40$ m suy ra tổng $x+y$, từ diện tích suy ra tích $xy$, rồi thế $y$ theo $x$ để đưa về một phương trình bậc hai.

Vậy mảnh vườn có chiều dài $12$ m và chiều rộng $8$ m.

Định hướng. Chiều dài và chiều rộng là hai số có tổng $20$ và tích $96$ nên chúng là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ với $S=20$, $P=96$; tách nhân tử để nhẩm nghiệm nhanh.

Vậy hai kích thước của mảnh vườn là $8$ m và $12$ m; vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài $12$ m, chiều rộng $8$ m.

Định hướng. Vì hai kích thước nhân với nhau bằng $96$ và cộng lại bằng $20$ là những số đẹp, có thể liệt kê các cặp ước dương của $96$ rồi chọn cặp có tổng đúng bằng $20$, khỏi cần giải phương trình.

Vậy chiều dài là $12$ m, chiều rộng là $8$ m.

Nhận xét. Ba cách cho cùng đáp số; Cách 2 dùng thẳng công thức tìm hai số biết tổng và tích nên nhanh nhất khi đi thi, Cách 3 chỉ dùng được khi số liệu đẹp.

Định hướng. Xác định $a,b,c$, tính $\Delta$ để kết luận có nghiệm hay không, chỉ tính tổng tích khi $\Delta \ge 0$.

Vậy a) $12$ và $8$; b) $-\frac{11}{2}$ và $-\frac{5}{2}$; c) $0$ và $-\frac{10}{3}$; d) không tồn tại vì phương trình vô nghiệm.

Định hướng. Riêng câu c) không có hạng tử $x$, có thể giải trực tiếp thay vì tính $\Delta$, rồi so tổng tích với công thức Viète.

Vậy câu c) cho cùng kết quả $x_1+x_2=0$, $x_1{x}_2=-\frac{10}{3}$ như Cách 1, xác nhận công thức Viète đúng cả khi giải trực tiếp.

Nhận xét. Với phương trình khuyết $b$ ($b=0$), luôn có $x_1+x_2=0$ vì hai nghiệm đối nhau — một hệ quả trực tiếp của Viète đáng ghi nhớ.

Định hướng. Kiểm tra nhanh tổng các hệ số theo hai trường hợp đặc biệt; câu c) thế trực tiếp $x_1=2$ vào tích Viète.