Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.25★★Trang 17— Lập phương trình từ diện tích gấp đôi khi hai kích thước cùng tăng một đoạn

Bài 6.25 (trang 17). Một bức ảnh hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm và chiều dài 12 cm. Bức ảnh được phóng to bằng cách tăng chiều dài và chiều rộng thêm một đoạn bằng nhau để tăng gấp đôi diện tích của bức ảnh. Tìm kích thước của bức ảnh mới.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình chữ nhật = chiều dài $\times$ chiều rộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai kích thước ban đầu và yêu cầu diện tích gấp đôi khi cùng tăng thêm một đoạn

x

— dấu hiệu chọn ẩn là đoạn tăng thêm (không phải kích thước mới) để phương trình chỉ có một ẩn duy nhất. Bẫy là quên nhân đôi diện tích ban đầu (

8 \times 12 = 96

) trước khi lập phương trình.

1Cách 1. Đặt ẩn là đoạn tăng thêm, giải bằng

Δ^{'}

Định hướng. Gọi $x$ là đoạn tăng thêm ở cả hai kích thước, cho diện tích mới gấp đôi diện tích cũ.

Gọi

x

(cm) là đoạn tăng thêm ở cả chiều dài và chiều rộng, điều kiện

x > 0

Kích thước mới là

(12 + x)

cm và

(8 + x)

cm
Diện tích ban đầu là

8 \times 12 = 96

(cm

^{2}

), diện tích mới gấp đôi là

192

^{2}

(12 + x) (8 + x) = 192

96 + 20 x + x^{2} = 192

x^{2} + 20 x - 96 = 0

Δ^{'} = 1 0^{2} + 96 = 196

Δ^{'} = 14

x_{1} = - 10 - 14 = - 24

(loại);

x_{2} = - 10 + 14 = 4

(thoả mãn)

Vậy đoạn tăng thêm là $4$ cm, kích thước bức ảnh mới là $16$ cm $\times$ $12$ cm.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $x^{2} + 20 x - 96 = 0$ , nhẩm hai số có tổng $20$ , tích $- 96$ để phân tích trực tiếp.

x^{2} + 20 x - 96 = 0

x^{2} - 4 x + 24 x - 96 = 0

x (x - 4) + 24 (x - 4) = 0

(x - 4) (x + 24) = 0

x = 4

hoặc

x = - 24

(loại)

Vậy đoạn tăng thêm là $4$ cm, trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp giá trị nguyên

Định hướng. Vì đoạn tăng thêm nên là số nguyên đẹp, thử giá trị nhỏ để kiểm tra diện tích gấp đôi.

Thử

x = 4

: kích thước mới

16 \times 12 = 192

(cm

^{2}

)
So với diện tích ban đầu

96

^{2}

192 = 2 \times 96

, đúng gấp đôi

Vậy $x = 4$ cm thoả mãn, khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra nhanh; nếu đoán sai giá trị vẫn phải quay về giải phương trình như Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): nhẩm ngay

4, - 24

vì tích

- 96

nhỏ, nhanh hơn tính

Δ^{'}

Đáp số. Đoạn tăng thêm là

4

cm; bức ảnh mới có kích thước

16

\times

12

cm.

Sai lầm thường gặp. Quên nhân đôi diện tích ban đầu (lập phương trình

(12 + x) (8 + x) = 96

thay vì

192

🚀 Mở rộng. Nếu yêu cầu diện tích tăng gấp

k

lần, phương trình tổng quát

(12 + x) (8 + x) = 96 k

vẫn giải theo đúng quy trình này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.26★★★★Trang 17— Tỉ lệ vàng — lập phương trình từ tỉ số đồng dạng

Bài 6.26 (trang 17). Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có thể chia thành một hình vuông và hình chữ nhật thứ hai có các kích thước tỉ lệ với các kích thước tương ứng của hình chữ nhật ban đầu (hình vẽ). Trong hình chữ nhật ABCD, cắt hình vuông ADFE (cạnh bằng chiều rộng AD), phần còn lại là hình chữ nhật EBCF. a) Tính tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật EBCF. b) Tìm giá trị chính xác của tỉ lệ vàng bằng cách đặt hai tỉ số ở câu a bằng nhau rồi tìm x.

Kiến thức cần nhớ

Hai hình đồng dạng thì tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Với $b > 0$ , nếu $a = x b$ thì $a - b = (x - 1) b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề định nghĩa hình chữ nhật vàng qua tính chất đồng dạng giữa hình ban đầu và hình chữ nhật còn lại sau khi cắt hình vuông — dấu hiệu là phải lập TỈ SỐ (không phải diện tích hay chu vi) rồi cho hai tỉ số bằng nhau. Đặt

x

là tỉ số dài/rộng cần tìm giúp phương trình chỉ còn một ẩn. Bẫy lớn nhất là viết sai tỉ số của hình chữ nhật EBCF (dễ nhầm lẫn cạnh nào là 'dài', cạnh nào là 'rộng').

1Cách 1. Đặt

x = a / b

, giải bằng

Δ

Định hướng. Gọi chiều dài, chiều rộng của ABCD là $a, b$ ( $a > b > 0$ ), đặt $x = \frac{a}{b}$ ; biểu diễn tỉ số của EBCF theo $x$ rồi cho hai tỉ số bằng nhau.

a) Tỉ số dài/rộng của

A B C D

là

\frac{A B}{A D} = \frac{a}{b} = x

Hình vuông

A D F E

có cạnh

b

nên

E B = A B - A E = a - b

; hình chữ nhật

E B C F

có kích thước

E B \times B C = (a - b) \times b

Vì

x \approx 1, 618 < 2

nên

a - b < b

, tỉ số dài/rộng của

E B C F

là

\frac{b}{a - b} = \frac{1}{x - 1}

b) Theo định nghĩa hình chữ nhật vàng, hai tỉ số bằng nhau:

x = \frac{1}{x - 1}

x (x - 1) = 1

x^{2} - x - 1 = 0

Δ = 1 + 4 = 5

Δ = 5

x_{1} = \frac{1 - 5}{2}

(loại vì

x > 1

);

x_{2} = \frac{1 + 5}{2}

(thoả mãn)

Vậy tỉ số $A B C D$ là $x = \frac{a}{b}$ , tỉ số $E B C F$ là $\frac{1}{x - 1}$ ; tỉ lệ vàng là $x = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$ .

2Cách 2. Hoàn thành bình phương

Định hướng. Từ $x^{2} - x - 1 = 0$ , hoàn thành bình phương vế trái rồi khai căn thay vì dùng công thức nghiệm.

x^{2} - x - 1 = 0

x^{2} - x + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

(x - \frac{1}{2})^{2} = \frac{5}{4}

x - \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{2}

x = \frac{1 \pm 5}{2}

; vì

x > 1

nên

x = \frac{1 + 5}{2}

Vậy tỉ lệ vàng $x = \frac{1 + 5}{2}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Thế số cụ thể để kiểm chứng

Định hướng. Chọn thử $b = 1$ và $a \approx 1, 618$ để tính trực tiếp các cạnh, kiểm tra hai tỉ số có thật sự bằng nhau.

Chọn

b = 1

a = 1, 618

E B C F

có kích thước

(a - b) \times b = 0, 618 \times 1

Tỉ số

E B C F

\frac{1}{0 , 618} \approx 1, 618

So với tỉ số

A B C D

\frac{1 , 618}{1} = 1, 618

— hai tỉ số bằng nhau

Vậy kết quả số học xác nhận $x \approx 1, 618 = \frac{1 + 5}{2}$ , khớp Cách 1, 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ kiểm tra bằng số gần đúng; giá trị CHÍNH XÁC của tỉ lệ vàng vẫn phải lấy từ nghiệm vô tỉ $\frac{1 + 5}{2}$ ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (hoàn thành bình phương): với hệ số

a = 1, b = - 1, c = - 1

dễ hoàn thành bình phương hơn là nhớ công thức

Δ

cho hệ số lẻ.

Đáp số. a) Tỉ số

A B C D

là

x

, tỉ số

E B C F

là

\frac{1}{x - 1}

. b) Tỉ lệ vàng

x = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618

Sai lầm thường gặp. Viết tỉ số

E B C F

ngược thành

\frac{a - b}{b} = x - 1

thay vì

\frac{b}{a - b} = \frac{1}{x - 1}

— sai vì cạnh

b

mới là cạnh DÀI của hình chữ nhật còn lại (do

x < 2

🚀 Mở rộng. Tỉ lệ vàng

φ = \frac{1 + 5}{2}

thoả mãn hệ thức đặc biệt

φ^{2} = φ + 1

và

\frac{1}{φ} = φ - 1

— xuất hiện trong dãy Fibonacci và nhiều bài toán tỉ lệ tự đồng dạng khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.27★★★★Trang 17— Chuyển động vuông góc — định lí Pythagore và phương trình bậc hai vô tỉ

Bài 6.27 (trang 17). Hai chiếc máy bay khởi hành đồng thời từ một sân bay, một chiếc bay theo hướng bắc và chiếc kia bay theo hướng đông. Chiếc máy bay đi về hướng bắc bay nhanh hơn 50 dặm một giờ so với chiếc máy bay đi về hướng đông. Sau 3 giờ, hai máy bay cách nhau 2 440 dặm. Tìm vận tốc của mỗi máy bay.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai hướng bay vuông góc nhau (bắc và đông) — dấu hiệu dùng định lí Pythagore: quãng đường hai máy bay là hai cạnh góc vuông, khoảng cách

2440

dặm là cạnh huyền. Vì các số liệu không tạo bộ ba Pythagore đẹp, phương trình bậc hai thu được có

Δ

không chính phương nên nghiệm là số vô tỉ, phải làm tròn. Bẫy là quên nhân quãng đường với

3

giờ trước khi áp dụng Pythagore.

1Cách 1. Lập phương trình theo

x

, giải bằng

Δ^{'}

Định hướng. Gọi $x$ là vận tốc máy bay hướng đông, dùng Pythagore cho hai quãng đường vuông góc sau 3 giờ.

Gọi

x

(dặm/giờ) là vận tốc máy bay hướng đông, điều kiện

x > 0

Vận tốc máy bay hướng bắc là

x + 50

(dặm/giờ)
Sau

3

giờ, quãng đường hướng đông là

3 x

, quãng đường hướng bắc là

3 (x + 50)

(dặm)

(3 x)^{2} + [3 (x + 50)]^{2} = 244 0^{2}

9 x^{2} + 9 (x + 50)^{2} = 5953600

18 x^{2} + 900 x + 22500 = 5953600

18 x^{2} + 900 x - 5931100 = 0

9 x^{2} + 450 x - 2965550 = 0

Δ^{'} = 22 5^{2} + 9 \cdot 2965550 = 26740575

Δ^{'} \approx 5171, 13

x_{1} = \frac{- 225 - 5 171 , 13}{9}

(loại vì âm);

x_{2} = \frac{- 225 + 5 171 , 13}{9} \approx 549, 57

(thoả mãn)

Vậy vận tốc máy bay hướng đông xấp xỉ $549, 57$ dặm/giờ, vận tốc máy bay hướng bắc xấp xỉ $599, 57$ dặm/giờ.

2Cách 2. Giữ nguyên hệ số, dùng

Δ

đầy đủ để đối chiếu

Định hướng. Không chia đôi hệ số $b = 900$ , dùng thẳng công thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ trên phương trình $18 x^{2} + 900 x - 5931100 = 0$ để kiểm chứng kết quả Cách 1.

18 x^{2} + 900 x - 5931100 = 0

Δ = 90 0^{2} - 4 \cdot 18 \cdot (- 5931100) = 810000 + 427039200 = 427849200

Δ \approx 20684, 52

x = \frac{- 900 \pm 20 684 , 52}{36}

x \approx 549, 57

(thoả mãn) hoặc âm (loại)

Vậy kết quả trùng Cách 1: $x \approx 549, 57$ dặm/giờ.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng Pythagore

Định hướng. Thế giá trị xấp xỉ vừa tìm được vào đúng phương trình Pythagore ban đầu để kiểm tra sai số làm tròn.

Với

x \approx 549, 57

: quãng đường đông

3 x \approx 1648, 71

dặm
Quãng đường bắc

3 (x + 50) \approx 1798, 71

dặm

1648, 7 1^{2} + 1798, 7 1^{2} \approx 2718046 + 3235358 \approx 5953404 \approx 2439, 96

dặm, xấp xỉ

2440

dặm như đề cho

Vậy sai số làm tròn rất nhỏ, xác nhận $x \approx 549, 57$ dặm/giờ là đáp số hợp lí.

Nhận xét. Vì nghiệm là số vô tỉ, mọi phép kiểm tra chỉ đúng đến sai số làm tròn, không thể bằng tuyệt đối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (

Δ^{'}

): hệ số

b = 450

chẵn nên tính

Δ^{'}

nhẹ hơn Cách 2 dùng

Δ

đầy đủ.

Đáp số. Vận tốc máy bay hướng đông xấp xỉ

549, 57

dặm/giờ, vận tốc máy bay hướng bắc xấp xỉ

599, 57

dặm/giờ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương hệ số

3

(quãng đường) mà chỉ bình phương vận tốc, bỏ sót nhân tử

9

; hoặc cộng trực tiếp

x + (x + 50) = 2 440/3

như chuyển động thẳng, quên hai hướng vuông góc.

🚀 Mở rộng. Nếu góc giữa hai hướng bay không vuông góc mà là góc

θ

bất kì, phải dùng định lí côsin

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ

thay cho Pythagore, phương trình vẫn quy về bậc hai theo

x

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.28★★★Trang 17— Toán chia đều — lập phương trình ẩn số dãy ghế, cả hai nghiệm đều nhận

Bài 6.28 (trang 17). Một phòng họp lúc đầu có một số dãy ghế với tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải sắp xếp 55 chỗ ngồi cho một cuộc họp nên người ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy ghế sắp xếp thêm một chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng họp đó?

Kiến thức cần nhớ

Số chỗ mỗi dãy = tổng số chỗ : số dãy.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng chỗ ngồi trước và sau, cùng độ tăng mỗi dãy (

1

chỗ) và độ tăng số dãy (

1

dãy) — dấu hiệu dạng chia đều đổi cả số phần lẫn số lượng mỗi phần. Chọn ẩn là số dãy ban đầu để số chỗ mỗi dãy là

40/ x

, sau khi thêm là

55/ (x + 1)

. Bẫy là bỏ sót một trong hai nghiệm dương hợp lệ — bài này CẢ HAI nghiệm đều thoả mãn điều kiện, khác với đa số bài chỉ nhận một nghiệm.

1Cách 1. Lập phương trình theo hiệu số chỗ mỗi dãy, giải bằng

Δ

Định hướng. Gọi $x$ là số dãy ban đầu; mỗi dãy sau khi thêm tăng đúng $1$ chỗ so với trước.

Gọi

x

(dãy) là số dãy ghế ban đầu, điều kiện

x

nguyên dương
Số chỗ mỗi dãy ban đầu là

\frac{40}{x}

(chỗ)
Sau khi kê thêm, số dãy là

x + 1

, số chỗ mỗi dãy là

\frac{55}{x + 1}

(chỗ)

\frac{55}{x + 1} - \frac{40}{x} = 1

55 x - 40 (x + 1) = x (x + 1)

55 x - 40 x - 40 = x^{2} + x

15 x - 40 = x^{2} + x

x^{2} - 14 x + 40 = 0

Δ = 1 4^{2} - 4 \cdot 40 = 36

Δ = 6

x_{1} = \frac{14 - 6}{2} = 4

;

x_{2} = \frac{14 + 6}{2} = 10

(cả hai đều nguyên dương, đều thoả mãn)

Vậy lúc đầu phòng họp có $4$ dãy (mỗi dãy $10$ chỗ) hoặc có $10$ dãy (mỗi dãy $4$ chỗ) — cả hai trường hợp đều hợp lí.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $x^{2} - 14 x + 40 = 0$ , nhẩm hai số có tổng $14$ , tích $40$ để phân tích trực tiếp.

x^{2} - 14 x + 40 = 0

x^{2} - 4 x - 10 x + 40 = 0

x (x - 4) - 10 (x - 4) = 0

(x - 4) (x - 10) = 0

x = 4

hoặc

x = 10

Vậy hai nghiệm $x = 4$ và $x = 10$ , đều nguyên dương nên đều là đáp số, trùng Cách 1.

3Cách 3. Thử lại từng nghiệm bằng bảng đối chiếu

Định hướng. Thế lần lượt cả hai giá trị $x = 4$ và $x = 10$ trực tiếp vào tình huống ban đầu để kiểm chứng cùng lúc.

Với

x = 4

4

dãy, mỗi dãy

40 : 4 = 10

chỗ; sau khi thêm:

5

dãy, mỗi dãy

55 : 5 = 11 = 10 + 1

chỗ — đúng
Với

x = 10

10

dãy, mỗi dãy

40 : 10 = 4

chỗ; sau khi thêm:

11

dãy, mỗi dãy

55 : 11 = 5 = 4 + 1

chỗ — đúng

Vậy cả hai giá trị $x = 4$ và $x = 10$ đều thoả mãn mọi dữ kiện đề bài.

Nhận xét. Đây là bài hiếm gặp giữ lại CẢ HAI nghiệm dương của phương trình bậc hai, vì đề không cho thêm điều kiện phân biệt để loại bớt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): nhẩm ngay

4, 10

vì tổng

14

, tích

40

rất dễ đoán.

Đáp số. Lúc đầu phòng họp có

4

dãy ghế (mỗi dãy

10

chỗ) hoặc

10

dãy ghế (mỗi dãy

4

chỗ).

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy một nghiệm rồi loại nghiệm còn lại như thói quen ở các bài khác — SAI vì bài này không có căn cứ để loại bớt, phải giữ cả hai trường hợp.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho thêm điều kiện 'phòng họp có nhiều hơn

6

dãy', khi đó sẽ loại được

x = 4

và chỉ còn đáp số

x = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.29★★★Trang 17— Toán năng suất chung — riêng — lập phương trình từ tổng nghịch đảo thời gian

Bài 6.29 (trang 17). Hai anh em Hùng và Nam được mẹ giao nhiệm vụ dọn nhà. Nếu cả hai anh em cùng làm thì mất

2 \frac{2}{5}

giờ để dọn xong nhà. Nếu làm một mình thì tổng cộng thời gian của cả hai anh em để dọn xong là 10 giờ. Hỏi mỗi người cần bao nhiêu thời gian để dọn xong nhà khi làm một mình? (Biết rằng Hùng làm nhanh hơn Nam).

Kiến thức cần nhớ

Năng suất = $1$ : thời gian làm xong một mình.
Làm chung thì năng suất cộng lại: $\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t _{c h u n g}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thời gian làm chung và tổng thời gian làm riêng của hai người — dấu hiệu bài toán năng suất kiểu 'làm chung — làm riêng', dùng công thức năng suất chung bằng tổng hai năng suất riêng

\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{1}{t _{c h u n g}}

. Chọn ẩn là thời gian một người rồi biểu diễn người kia qua tổng

10

giờ để chỉ còn một ẩn. Bẫy là quên đổi

2 \frac{2}{5}

giờ ra phân số

\frac{12}{5}

trước khi lập phương trình.

1Cách 1. Lập phương trình theo tổng nghịch đảo, giải bằng

Δ^{'}

Định hướng. Gọi $x$ là thời gian Hùng làm một mình, thời gian Nam là $10 - x$ ; cho tổng năng suất bằng năng suất khi làm chung.

Gọi

x

(giờ) là thời gian Hùng dọn nhà một mình, điều kiện

0 < x < 10

Vì tổng thời gian làm riêng của hai người là

10

giờ nên thời gian Nam dọn một mình là

10 - x

(giờ)

2 \frac{2}{5}

giờ

= \frac{12}{5}

giờ

\frac{1}{x} + \frac{1}{10 - x} = \frac{5}{12}

12 (10 - x) + 12 x = 5 x (10 - x)

120 = 50 x - 5 x^{2}

5 x^{2} - 50 x + 120 = 0

x^{2} - 10 x + 24 = 0

Δ^{'} = 5^{2} - 24 = 1

Δ^{'} = 1

x_{1} = 5 - 1 = 4

;

x_{2} = 5 + 1 = 6

Vậy vì Hùng làm nhanh hơn Nam nên thời gian Hùng dọn một mình là $x = 4$ giờ, thời gian Nam là $10 - 4 = 6$ giờ.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $x^{2} - 10 x + 24 = 0$ , nhẩm hai số có tổng $10$ , tích $24$ để phân tích trực tiếp.

x^{2} - 10 x + 24 = 0

x^{2} - 4 x - 6 x + 24 = 0

x (x - 4) - 6 (x - 4) = 0

(x - 4) (x - 6) = 0

x = 4

hoặc

x = 6

Vậy hai nghiệm $4$ và $6$ chính là thời gian của Hùng và của Nam (Hùng nhanh hơn nên $x = 4$ ), trùng Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng năng suất

Định hướng. Thế cặp thời gian $4$ giờ và $6$ giờ vào công thức năng suất chung để kiểm tra có đúng $\frac{12}{5}$ giờ hay không.

Năng suất Hùng:

\frac{1}{4}

(nhà/giờ); năng suất Nam:

\frac{1}{6}

(nhà/giờ)
Năng suất chung:

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

(nhà/giờ)
Thời gian làm chung:

1 : \frac{5}{12} = \frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5}

giờ, đúng như đề cho

Vậy cặp thời gian $4$ giờ (Hùng) và $6$ giờ (Nam) thoả mãn đúng đề bài.

Nhận xét. Nghiệm còn lại của phương trình ( $x = 6$ ) không bị loại mà đổi vai trò cho Nam — phương trình đối xứng qua $x$ và $10 - x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): nhẩm ngay

4, 6

vì tổng

10

, tích

24

rất quen thuộc.

Đáp số. Hùng dọn nhà một mình hết

4

giờ, Nam dọn nhà một mình hết

6

giờ.

Sai lầm thường gặp. Cộng trực tiếp

\frac{1}{x} + \frac{1}{10 - x} = 2 \frac{2}{5}

(quên nghịch đảo thời gian làm chung thành năng suất); hoặc quên đổi hỗn số ra phân số.

🚀 Mở rộng. Nếu thời gian làm chung đổi thành

t

giờ và tổng thời gian riêng đổi thành

T

, phương trình tổng quát

\frac{1}{x} + \frac{1}{T - x} = \frac{1}{t}

luôn đưa được về bậc hai theo

x

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.30★★★Trang 18— Lập phương trình từ diện tích đáy hộp sau khi cắt góc

Bài 6.30 (trang 17–18). Một cái hộp không có nắp được làm từ mảnh bìa hình chữ nhật có kích thước 30 cm × 40 cm bằng cách cắt ở bốn góc của mảnh bìa bốn hình vuông bằng nhau. Diện tích phần đáy hộp là 336 cm

^{2}

. Tính độ dài mỗi cạnh hình vuông cắt ra ở bốn góc.

Kiến thức cần nhớ

Cắt hình vuông cạnh $x$ ở cả hai đầu của một cạnh thì cạnh còn lại giảm $2 x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho kích thước tấm bìa và diện tích đáy hộp sau khi cắt bốn hình vuông cạnh

x

ở bốn góc — dấu hiệu là đáy hộp còn lại có kích thước

(30 - 2 x) \times (40 - 2 x)

(mỗi cạnh mất

2 x

vì cắt ở cả hai đầu). Bẫy là chỉ trừ

x

thay vì

2 x

ở mỗi kích thước.

1Cách 1. Lập phương trình theo

x

, giải bằng

Δ

Định hướng. Gọi $x$ là cạnh hình vuông cắt ở bốn góc, cho diện tích đáy hộp bằng $336$ cm $^{2}$ .

Gọi

x

(cm) là độ dài cạnh hình vuông cắt ở bốn góc, điều kiện

0 < x < 15

Đáy hộp có kích thước

(30 - 2 x)

cm và

(40 - 2 x)

(30 - 2 x) (40 - 2 x) = 336

1200 - 140 x + 4 x^{2} = 336

4 x^{2} - 140 x + 864 = 0

x^{2} - 35 x + 216 = 0

Δ = 3 5^{2} - 4 \cdot 216 = 361

Δ = 19

x_{1} = \frac{35 - 19}{2} = 8

;

x_{2} = \frac{35 + 19}{2} = 27

(loại vì

x < 15

)

Vậy cạnh hình vuông cắt ở bốn góc dài $8$ cm.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $x^{2} - 35 x + 216 = 0$ , nhẩm hai số có tổng $35$ , tích $216$ để phân tích trực tiếp.

x^{2} - 35 x + 216 = 0

x^{2} - 8 x - 27 x + 216 = 0

x (x - 8) - 27 (x - 8) = 0

(x - 8) (x - 27) = 0

x = 8

hoặc

x = 27

(loại)

Vậy cạnh hình vuông là $8$ cm, trùng Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng diện tích trực tiếp

Định hướng. Thế $x = 8$ vào kích thước đáy để kiểm tra trực tiếp diện tích.

Với

x = 8

: đáy có kích thước

(30 - 16) \times (40 - 16) = 14 \times 24

14 \times 24 = 336

(cm

^{2}

), đúng như đề cho

Vậy $x = 8$ cm thoả mãn đúng diện tích đáy $336$ cm $^{2}$ .

Nhận xét. Nghiệm $x = 27$ bị loại vì khi đó $30 - 2 x = - 24 < 0$ , không còn là độ dài — phải luôn đối chiếu điều kiện hình học, không chỉ dấu đại số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): nhẩm ngay

8, 27

vì tổng

35

, tích

216

khá dễ đoán khi thử các ước của

216

Đáp số. Cạnh hình vuông cắt ở bốn góc dài

8

cm (đáy hộp có kích thước

14

\times

24

cm).

Sai lầm thường gặp. Trừ nhầm chỉ

x

thay vì

2 x

ở mỗi kích thước (lập phương trình

(30 - x) (40 - x) = 336

), hoặc quên điều kiện

x < 15

nên không loại được nghiệm

27

🚀 Mở rộng. Nếu đổi kích thước bìa thành

p \times q

và diện tích đáy thành

S

, phương trình tổng quát

(p - 2 x) (q - 2 x) = S

vẫn giải theo đúng quy trình này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.31★★★Trang 18— Hai xe ngược chiều, xuất phát lệch giờ, gặp nhau giữa đường

Bài 6.31 (trang 18). Một người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B. Sau đó 16 phút có một ô tô đi từ B về A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 15 km/h. Xe máy gặp ô tô ở một địa điểm cách B 24 km. Tính vận tốc của ô tô, biết rằng quãng đường AB dài 54 km.

Kiến thức cần nhớ

Thời gian = quãng đường : vận tốc.
Hai xe xuất phát lệch giờ mà gặp nhau thì thời gian di chuyển của xe đi trước bằng thời gian của xe đi sau cộng độ trễ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vị trí gặp nhau (cách B

24

km, tức cách A

30

km) và độ trễ xuất phát của ô tô (

16

phút) — dấu hiệu dạng hai xe ngược chiều gặp nhau, nhưng thời gian di chuyển đến điểm gặp của xe máy phải bằng thời gian của ô tô cộng thêm độ trễ. Chọn ẩn là vận tốc xe máy để tính thời gian xe máy trước, đỡ nhầm chiều cộng trừ độ trễ. Bẫy là cộng độ trễ sai chiều.

1Cách 1. Lập phương trình theo

x

, giải bằng

Δ

Định hướng. Gọi $x$ là vận tốc xe máy, tính thời gian mỗi xe đến điểm gặp rồi cho hai mốc thời gian khớp nhau (đã cộng độ trễ).

Gọi

x

(km/h) là vận tốc xe máy, điều kiện

x > 0

Vận tốc ô tô là

x + 15

(km/h)
Điểm gặp cách B

24

km nên cách A

54 - 24 = 30

km
Thời gian xe máy đi tới điểm gặp là

\frac{30}{x}

(giờ)
Thời gian ô tô đi tới điểm gặp là

\frac{24}{x + 15}

(giờ)
Ô tô xuất phát trễ hơn

16

phút

= \frac{4}{15}

giờ nên:

\frac{30}{x} = \frac{4}{15} + \frac{24}{x + 15}

450 (x + 15) = 4 x (x + 15) + 360 x

450 x + 6750 = 4 x^{2} + 420 x

4 x^{2} - 30 x - 6750 = 0

2 x^{2} - 15 x - 3375 = 0

Δ = 1 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3375 = 27225

Δ = 165

x_{1} = \frac{15 - 165}{4} = - 37, 5

(loại);

x_{2} = \frac{15 + 165}{4} = 45

(thoả mãn)

Vậy vận tốc xe máy là $45$ km/h, vận tốc ô tô là $45 + 15 = 60$ km/h.

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $2 x^{2} - 15 x - 3375 = 0$ , nhẩm cặp nhân tử $(x - 45)$ và $(2 x + 75)$ để phân tích trực tiếp.

2 x^{2} - 15 x - 3375 = 0

2 x^{2} - 90 x + 75 x - 3375 = 0

2 x (x - 45) + 75 (x - 45) = 0

(x - 45) (2 x + 75) = 0

x = 45

hoặc

x = - 37, 5

(loại)

Vậy vận tốc xe máy là $45$ km/h, ô tô là $60$ km/h, trùng Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng mốc thời gian thực tế

Định hướng. Thế $x = 45$ vào tình huống thực tế, tính đúng hai mốc thời gian đến điểm gặp để kiểm chứng chênh lệch $16$ phút.

Với

x = 45

: xe máy đi

30

km hết

\frac{30}{45} = \frac{2}{3}

giờ

= 40

phút
Ô tô (

60

km/h) đi

24

km hết

\frac{24}{60} = 0, 4

giờ

= 24

phút
Ô tô xuất phát sau xe máy

16

phút nên đến điểm gặp ở mốc

16 + 24 = 40

phút — trùng đúng mốc

40

phút của xe máy

Vậy cặp vận tốc $45$ km/h và $60$ km/h thoả mãn đúng đề bài.

Nhận xét. Cách 3 là cách kiểm tra trực quan nhất, phù hợp để trình bày lại phần 'trả lời' sau khi đã có nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử) trên phương trình đã rút gọn

2 x^{2} - 15 x - 3375 = 0

, tránh khai căn số lớn

27225

Đáp số. Vận tốc ô tô là

60

km/h (vận tốc xe máy là

45

km/h).

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm độ trễ vào thời gian của xe máy thay vì hiểu đúng là ô tô xuất phát SAU nên thời gian xe máy dài hơn thời gian ô tô đúng

16

phút; hoặc quên đổi

16

phút ra giờ.

🚀 Mở rộng. Nếu vị trí gặp đổi thành cách B

d

km, phương trình tổng quát

\frac{54 - d}{x} = \frac{16}{60} + \frac{d}{x + 15}

vẫn cùng khuôn lập luận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.32★★★Trang 18— Khối lượng riêng hỗn hợp — lập phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 6.32 (trang 18). Khi pha 8 gam chất lỏng thứ nhất với 6 gam chất lỏng thứ hai thì được một dung dịch có khối lượng riêng là 0,7 g/cm

^{3}

. Biết rằng chất lỏng thứ nhất có khối lượng riêng nặng hơn 0,2 g/cm

^{3}

so với khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai. Hãy tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng ban đầu.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích = khối lượng : khối lượng riêng.
Khối lượng riêng dung dịch = tổng khối lượng : tổng thể tích.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho khối lượng từng chất, khối lượng riêng dung dịch và độ chênh khối lượng riêng — dấu hiệu dùng công thức thể tích = khối lượng : khối lượng riêng cho từng chất, rồi cộng thể tích lại bằng đúng tổng khối lượng chia khối lượng riêng dung dịch. Chọn ẩn là khối lượng riêng chất thứ hai (nhẹ hơn) để chất thứ nhất chỉ cần cộng thêm

0, 2

. Bẫy là cộng trực tiếp hai khối lượng riêng thay vì cộng THỂ TÍCH.

1Cách 1. Lập phương trình theo tổng thể tích, giải bằng

Δ

Định hướng. Gọi $x$ là khối lượng riêng chất thứ hai, tính thể tích từng chất rồi cho tổng thể tích đúng bằng $20$ cm $^{3}$ .

Gọi

x

(g/cm

^{3}

) là khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai, điều kiện

x > 0

Khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất là

x + 0, 2

(g/cm

^{3}

)
Thể tích chất thứ nhất là

\frac{8}{x + 0 , 2}

(cm

^{3}

), thể tích chất thứ hai là

\frac{6}{x}

(cm

^{3}

)
Tổng khối lượng là

14

g, khối lượng riêng dung dịch

0, 7

g/cm

^{3}

nên tổng thể tích là

14 : 0, 7 = 20

(cm

^{3}

)

\frac{8}{x + 0 , 2} + \frac{6}{x} = 20

8 x + 6 (x + 0, 2) = 20 x (x + 0, 2)

14 x + 1, 2 = 20 x^{2} + 4 x

20 x^{2} - 10 x - 1, 2 = 0

50 x^{2} - 25 x - 3 = 0

Δ = 2 5^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 3 = 1225

Δ = 35

x_{1} = \frac{25 - 35}{100} = - 0, 1

(loại);

x_{2} = \frac{25 + 35}{100} = 0, 6

(thoả mãn)

Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ hai là $0, 6$ g/cm $^{3}$ , khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất là $0, 6 + 0, 2 = 0, 8$ g/cm $^{3}$ .

2Cách 2. Tách nhân tử

Định hướng. Từ $50 x^{2} - 25 x - 3 = 0$ , nhẩm cặp nhân tử $(5 x - 3)$ và $(10 x + 1)$ để phân tích trực tiếp.

50 x^{2} - 25 x - 3 = 0

50 x^{2} + 5 x - 30 x - 3 = 0

5 x (10 x + 1) - 3 (10 x + 1) = 0

(5 x - 3) (10 x + 1) = 0

x = \frac{3}{5} = 0, 6

hoặc

x = - 0, 1

(loại)

Vậy khối lượng riêng chất thứ hai là $0, 6$ g/cm $^{3}$ , chất thứ nhất là $0, 8$ g/cm $^{3}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng thể tích và khối lượng riêng dung dịch

Định hướng. Thế lại hai giá trị khối lượng riêng vừa tìm vào công thức thể tích và khối lượng riêng dung dịch để kiểm chứng đúng $0, 7$ g/cm $^{3}$ .

Thể tích chất 1:

8 : 0, 8 = 10

(cm

^{3}

); thể tích chất 2:

6 : 0, 6 = 10

(cm

^{3}

)
Tổng thể tích:

10 + 10 = 20

(cm

^{3}

); tổng khối lượng:

8 + 6 = 14

(g)
Khối lượng riêng dung dịch:

14 : 20 = 0, 7

(g/cm

^{3}

), đúng như đề cho

Vậy cặp khối lượng riêng $0, 8$ g/cm $^{3}$ và $0, 6$ g/cm $^{3}$ thoả mãn đúng đề bài.

Nhận xét. Trùng hợp thú vị: hai chất có cùng thể tích $10$ cm $^{3}$ dù khối lượng riêng khác nhau, vì khối lượng ban đầu ( $8$ và $6$ g) tỉ lệ đúng với khối lượng riêng ( $0, 8$ và $0, 6$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tách nhân tử): nhẩm được ngay

(5 x - 3) (10 x + 1)

vì hệ số

50, - 25, - 3

không quá lớn, tránh khai căn

1225

Đáp số. Khối lượng riêng chất lỏng thứ nhất là

0, 8

g/cm

^{3}

, chất lỏng thứ hai là

0, 6

g/cm

^{3}

Sai lầm thường gặp. Cộng trực tiếp khối lượng riêng thay vì cộng thể tích (viết nhầm phương trình theo trung bình cộng); hoặc quên đổi khối lượng riêng dung dịch

0, 7

g/cm

^{3}

ra tổng thể tích

20

^{3}

trước khi lập phương trình.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi khối lượng hai chất và khối lượng riêng dung dịch, phương trình tổng quát

\frac{m _{1}}{x + Δ _{0}} + \frac{m _{2}}{x} = \frac{m _{1} + m _{2}}{ρ}

vẫn cùng khuôn lập luận.

Mở bài này trong app ↗