Bài 21. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Định hướng. Số tiền sau kì 1 là $100(1+x)$, sau kì 2 là $100(1+x{)}^2$; đưa về phương trình dạng bình phương đúng nên khai căn hai vế cho lời giải ngắn nhất.

Vậy lãi suất gửi tiết kiệm của bác Lan là $x=0,09=9\%$ một kì (12 tháng).

Định hướng. Khai triển bình phương để đưa phương trình về đúng dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn, cách quen thuộc nhất với các phương trình bậc hai khác trong bài.

Vậy $x=0,09=9\%$, đúng như Cách 1.

Định hướng. Đưa phương trình về hiệu hai bình phương $(1+x{)}^2-1,09^2=0$ rồi phân tích thành nhân tử, không cần dùng công thức nghiệm.

Vậy lãi suất là $9\%$ mỗi kì.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một phương trình; khai căn (Cách 1) là ngắn nhất vì vế trái vốn đã là một bình phương.

Định hướng. Tính riêng tiền lãi sau kì 1 rồi cộng vào vốn ban đầu.

Vậy số tiền bác Lan có sau kì gửi thứ nhất là $100+100x$ (triệu đồng).

Định hướng. Dùng thẳng công thức lãi kép một kì $a(1+x)$ để viết gọn ngay một biểu thức.

Vậy biểu thức thu gọn cũng là $100(1+x)$ (triệu đồng), bằng đúng kết quả khai triển ở Cách 1.

Định hướng. Coi số tiền sau kì 1 là vốn của kì 2, nhân tiếp với $(1+x)$.

Vậy số tiền bác Lan có sau kì gửi thứ hai là $100(1+x{)}^2$ (triệu đồng).

Định hướng. Khai triển $100(1+x{)}^2$ theo vốn gốc $100$ để kiểm chứng lại bằng một hướng tính khác.

Vậy kết quả khai triển $100+200x+100x^2$ đúng bằng dạng gọn $100(1+x{)}^2$ ở Cách 1.

Định hướng. Cho biểu thức HĐ2 bằng đúng số tiền thực tế rồi khai căn ngay, vì vế trái là một bình phương đúng.

Vậy $x=0,09$, tức lãi suất gửi tiết kiệm của bác Lan là $9\%$ mỗi kì.

Định hướng. Khai triển vế trái để đưa về đúng dạng $a{x}^2+bx+c=0$, dùng công thức nghiệm quen thuộc.

Vậy $x=0,09$, trùng Cách 1.

Định hướng. Đưa về hiệu hai bình phương rồi phân tích thành nhân tử, không cần công thức nghiệm.

Vậy $x=0,09$, lãi suất của bác Lan là $9\%$ mỗi kì.

Nhận xét. Ba cách cùng ra một đáp số vì cùng xuất phát từ một phương trình; đây chính là phần trả lời đầy đủ cho tình huống Mở đầu.

Định hướng. Gọi $x$ là chiều rộng, biểu diễn chiều dài theo $x$ rồi cho tích bằng diện tích đã cho.

Vậy chiều rộng sân bóng là $30$ m, chiều dài là $30+30=60$ m.

Định hướng. Đưa phương trình về đúng dạng $a{x}^2+bx+c=0$ rồi nhẩm hai số có tổng $-30$, tích $-1800$ để phân tích thành nhân tử, không cần dùng ${\Delta }^{\prime }$.

Vậy chiều rộng là $30$ m, chiều dài là $60$ m, đúng như Cách 1.

Định hướng. Đổi cách chọn ẩn: gọi $y$ là chiều dài thì chiều rộng là $y-30$, để kiểm chứng đáp số theo một biến khác.

Vậy chiều dài là $60$ m, chiều rộng là $60-30=30$ m — trùng khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 cho cùng đáp số vì hai cách chọn ẩn chỉ là đổi vai trò $x$ và $y=x+30$, không phải hai bài toán khác nhau.

Định hướng. Gọi $x$ là vận tốc thực; lập thời gian xuôi, ngược, cộng thời gian nghỉ bằng đúng 5,5 giờ, rồi quy đồng để đưa về phương trình bậc hai.

Vậy vận tốc thực của tàu du lịch là $15$ km/h.

Định hướng. Từ phương trình bậc hai $5x^2-72x-45=0$, nhẩm cặp nhân tử của $5$ và $-45$ để phân tích trực tiếp, không cần ${\Delta }^{\prime }$.

Vậy vận tốc thực của tàu là $15$ km/h, đúng như Cách 1.

Định hướng. Dự đoán nghiệm nguyên là ước của $45$ chia hết cho ước của $5$ (định lí nghiệm hữu tỉ), thử trực tiếp vào phương trình rồi chia đa thức để tìm nghiệm còn lại — không cần ${\Delta }^{\prime }$.

Vậy vận tốc thực của tàu là $15$ km/h, trùng cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi đoán được nghiệm đẹp; nếu đoán sai vẫn phải quay lại Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Gọi $x$ là số xe ban đầu, lập phương trình từ hiệu khối lượng mỗi xe thực tế và theo kế hoạch bằng đúng $3$ tấn.

Vậy đội xe đó lúc đầu có $10$ chiếc xe tải.

Định hướng. Từ $x^2-2x-80=0$, nhẩm hai số có tổng $2$, tích $-80$ để phân tích ngay thành nhân tử.

Vậy đội xe có $10$ chiếc, trùng Cách 1.

Định hướng. Thử một giá trị số xe khả dĩ (ước của $120$) rồi kiểm tra đúng hệ thức đề bài.

Vậy $x=10$ thoả mãn, đội xe có $10$ chiếc — khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra nhanh khi đã có dự đoán; muốn chắc chắn không sót nghiệm vẫn phải lập và giải phương trình như Cách 1, 2.

Định hướng. Gọi $x$ là chiều rộng ban đầu, biểu diễn chiều dài theo diện tích $360$, cho diện tích sau khi thay đổi vẫn bằng $360$.

Vậy chiều rộng mảnh đất là $15$ m, chiều dài là $360:15=24$ m.

Định hướng. Từ $x^2+3x-270=0$, nhẩm hai số có tổng $-3$, tích $-270$ để phân tích trực tiếp.

Vậy chiều rộng là $15$ m, chiều dài là $24$ m, trùng Cách 1.

Định hướng. Gọi $y$ là chiều dài ban đầu để kiểm chứng bằng một cách chọn ẩn khác.

Vậy chiều dài là $24$ m, chiều rộng là $360:24=15$ m — trùng Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 cho cùng đáp số vì $x$ và $y$ chỉ là hai cách gọi tên khác nhau của cùng hai kích thước.

Định hướng. Gọi $x$ là tỉ lệ tăng trung bình mỗi năm, cho dân số sau 2 năm bằng số liệu thực tế rồi khai căn ngay.

Vậy trung bình mỗi năm dân số thành phố tăng $x=0,1=10\%$.

Định hướng. Khai triển vế trái để đưa về đúng dạng $a{x}^2+bx+c=0$, dùng công thức nghiệm thu gọn.

Vậy $x=0,1=10\%$, trùng Cách 1.

Định hướng. Đưa về hiệu hai bình phương rồi phân tích nhân tử.

Vậy tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là $10\%$.

Định hướng. Gọi $x$ là đoạn giảm ở cả chiều dài và chiều rộng, cho thể tích mới bằng $90\%$ thể tích cũ.

Vậy kích thước thanh sô cô la mới xấp xỉ $12-0,45=11,55$ cm; $7-0,45=6,55$ cm; độ dày vẫn $3$ cm.

Định hướng. Nhân cả hai vế với $10$ để hệ số phương trình là số nguyên, tránh làm tròn giữa chừng khi tính $\Delta$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $x\approx 0,45$ cm, kích thước mới xấp xỉ $11,55\times 6,55\times 3$ (cm).

Định hướng. Vì phương trình không cho nghiệm đẹp, thử trực tiếp hai giá trị lân cận để kiểm tra nghiệm nằm trong khoảng nào trước khi tin vào kết quả bấm máy.

Vậy kết quả kẹp được khoảng chứa nghiệm khớp với $x\approx 0,45$ ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ để kiểm tra khoảng chứa nghiệm hợp lí, không thay được việc giải chính xác bằng $\Delta$.

Định hướng. Gọi $x$ là vận tốc lúc đi, lập thời gian đi, nghỉ, về rồi cho tổng bằng 6 giờ.

Vậy vận tốc của máy bay lúc đi là $500$ km/h.

Định hướng. Từ $11x^2-4900x-300000=0$, nhẩm cặp nhân tử $(x-500)$ và $(11x+600)$ để phân tích trực tiếp.

Vậy vận tốc lúc đi là $500$ km/h, trùng Cách 1.

Định hướng. Dự đoán nghiệm là số tròn trăm hợp lí về mặt vật lí (vận tốc máy bay), thử trực tiếp vào phương trình đã rút gọn.

Vậy $x=500$ km/h thoả mãn phương trình, khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Vận tốc máy bay phản lực cỡ $500$–$600$ km/h là hợp lí trong thực tế, càng củng cố $x=500$ là nghiệm nhận.

Định hướng. Gọi $x$ là vận tốc ô tô khách, lập hiệu thời gian di chuyển của hai xe bằng đúng $0,5$ giờ.

Vậy vận tốc của ô tô khách là $60$ km/h, vận tốc của ô tô con là $60+20=80$ km/h.

Định hướng. Từ $x^2+20x-4800=0$, nhẩm hai số có tổng $20$, tích $-4800$ để phân tích trực tiếp.

Vậy vận tốc ô tô khách là $60$ km/h, ô tô con là $80$ km/h, trùng Cách 1.

Định hướng. Gọi $y$ là vận tốc ô tô con để kiểm chứng bằng một cách chọn ẩn khác.

Vậy vận tốc ô tô con là $80$ km/h, ô tô khách là $80-20=60$ km/h — trùng Cách 1, 2.

Nhận xét. Hai cách chọn ẩn cho cùng đáp số vì chỉ khác vai trò biến, không phải hai mô hình khác nhau.

Định hướng. Gọi $x$ là số áo/ngày theo kế hoạch, biểu diễn số ngày thực tế đã làm tới mốc '3 ngày trước hạn' rồi nhân với năng suất thực tế.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong $100$ chiếc áo.

Định hướng. Từ $x^2-50x-5000=0$, nhẩm hai số có tổng $50$, tích $-5000$ để phân tích trực tiếp.

Vậy mỗi ngày xưởng phải may $100$ chiếc áo theo kế hoạch, trùng Cách 1.

Định hướng. Dự đoán $x$ là ước đẹp của $1500$ (để thời gian kế hoạch là số ngày nguyên), thử trực tiếp vào tình huống đề bài để kiểm chứng.

Vậy $x=100$ thoả mãn mọi dữ kiện đề bài, khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 trực quan nhưng chỉ nên dùng để kiểm tra sau khi đã đoán được nghiệm đẹp từ phương trình.