Bài 1 · Bài 7.1★Trang 24— Lập bảng tần số từ dữ liệu đếm số lần xuất hiện của từng đối tượng (quốc gia)
Bài 7.1 (trang 24). Tính đến hết SEA Games 32 đã có năm quốc gia từng lên ngôi vô địch bóng đá nam SEA Games, cụ thể như sau: Thái Lan vô địch các năm: 1975,1981,1983,1985,1993,1995,1997,1999,2001,2003,2005,2007,2013,2015,2017. Malaysia vô địch các năm: 1961,1977,1979,1989,2009,2011. Myanmar vô địch các năm: 1965,1967,1969,1971,1973. Việt Nam vô địch các năm: 1959,2019,2021. Indonesia vô địch các năm: 1987,1991,2023. a) Lập bảng tần số biểu diễn số lần vô địch môn bóng đá nam SEA Games của các quốc gia trên. b) Từ bảng tần số thu được ở câu a, hãy cho biết quốc gia nào vô địch nhiều nhất, với mấy lần vô địch.
Kiến thức cần nhớ
Tần số của một giá trị (ở đây là một quốc gia) là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu — ở bài này chính là số năm vô địch.
Bảng tần số chỉ cần liệt kê tên các quốc gia khác nhau cùng số lần vô địch, không cần giữ lại các năm cụ thể.
🧠 Phân tích tư duy
Đề liệt kê các năm vô địch của từng quốc gia riêng biệt — dấu hiệu là phải đếm SỐ NĂM (số lần) của mỗi quốc gia rồi mới ghi vào bảng tần số, các năm cụ thể không phải là điều cần thiết cho bảng tần số. Bẫy của đề là danh sách năm của Thái Lan khá dài (15 năm) nên dễ đếm sót nếu không đếm có kiểm soát.
1Cách 1. Đếm trực tiếp số năm trong mỗi danh sách
Định hướng. Với mỗi quốc gia, đếm số năm xuất hiện trong danh sách năm vô địch của quốc gia đó — số năm đếm được chính là tần số.
Thái Lan: 1975,1981,1983,1985,1993,1995,1997,1999,2001,2003,2005,2007,2013,2015,2017 — đếm được 15 năm Malaysia: 1961,1977,1979,1989,2009,2011 — đếm được 6 năm Myanmar: 1965,1967,1969,1971,1973 — đếm được 5 năm Việt Nam: 1959,2019,2021 — đếm được 3 năm Indonesia: 1987,1991,2023 — đếm được 3 năm Kiểm tra tổng: 15+6+5+3+3=32, khớp với 'SEA Games 32' (không phải trùng lặp — chỉ là con số kì đại hội)
Quốc gia
Thái Lan
Malaysia
Myanmar
Việt Nam
Indonesia
Số lần vô địch
15
6
5
3
3
Vậy a) bảng tần số như trên.
2Cách 2. So sánh trực tiếp độ dài các danh sách
Định hướng. Không cần đếm lại chi tiết, chỉ cần so sánh 'độ dài' (số năm) của 5 danh sách để tìm ngay quốc gia có tần số lớn nhất.
So sánh số năm của 5 quốc gia: 15;6;5;3;3 Giá trị lớn nhất trong năm số trên là 15, ứng với danh sách của Thái Lan (danh sách dài nhất, trải từ năm 1975 đến 2017)
Vậy b) Thái Lan vô địch nhiều nhất, với 15 lần vô địch.
Nhận xét. Ba quốc gia Malaysia, Myanmar và cặp Việt Nam – Indonesia có tần số khá gần nhau (6,5,3,3), trong khi Thái Lan vượt trội hẳn — cho thấy Thái Lan thống trị môn bóng đá nam SEA Games trong nhiều giai đoạn.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Với câu b) nên dùng Cách 2: so sánh thẳng 5 con số tần số đã có ở câu a, không cần đếm lại từ đầu như Cách 1.
Đáp số.a) Thái Lan: 15; Malaysia: 6; Myanmar: 5; Việt Nam: 3; Indonesia: 3. b) Thái Lan vô địch nhiều nhất, với 15 lần.
Sai lầm thường gặp.Đếm sót một vài năm trong danh sách dài của Thái Lan (có tới 15 năm trải từ 1975 đến 2017) nếu chỉ đếm nhẩm một lượt mà không đánh dấu lại các năm đã đếm.
🚀 Mở rộng.Nếu tính đến hết một kì SEA Games mới hơn (có thêm quốc gia vô địch lần đầu), bảng tần số sẽ xuất hiện thêm một giá trị mới (quốc gia mới) với tần số bằng đúng số lần quốc gia đó vừa vô địch.
Bài 2 · Bài 7.2★★Trang 24— Lập bảng tần số từ dãy số liệu rời rạc; tính tổng tần số theo điều kiện 'ít nhất'
Bài 7.2 (trang 24). Giáo viên dạy Toán ghi lại số bài tập mỗi học sinh trong lớp đã làm sau bài học tuần trước, cho kết quả như sau: 4,2,0,5,4,3,2,1,3,3,6,1,3,2,4,3,5,3, 3,1,4,6,1,2,3,5,3,2,4,3,1,4,4,5,6,2. a) Lập bảng tần số cho dãy số liệu trên. b) Có bao nhiêu bạn trong lớp làm ít nhất ba bài tập?
Kiến thức cần nhớ
Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
Số lượng phần tử thoả điều kiện 'lớn hơn hoặc bằng a' bằng tổng tần số của mọi giá trị xi≥a trong bảng tần số.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một dãy dài 36 số liệu (từ 0 đến 6 bài tập) — dấu hiệu của việc lập bảng tần số với 7 giá trị khác nhau. Câu b) hỏi 'ít nhất ba bài tập' là dấu hiệu của việc CỘNG DỒN tần số các giá trị ≥3 (tức 3,4,5,6) chứ không phải chỉ lấy tần số của riêng giá trị 3 — đây là bẫy hay gặp nhất của dạng bài này.
1Cách 1. Đếm trực tiếp theo thứ tự liệt kê
Định hướng. Rà toàn bộ dãy 36 số liệu theo đúng thứ tự đề cho, đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị từ 0 đến 6.
Các giá trị khác nhau xuất hiện: 0;1;2;3;4;5;6 Đếm giá trị 0: 1 lần Đếm giá trị 1: 5 lần Đếm giá trị 2: 6 lần Đếm giá trị 3: 10 lần Đếm giá trị 4: 7 lần Đếm giá trị 5: 4 lần Đếm giá trị 6: 3 lần Kiểm tra tổng: 1+5+6+10+7+4+3=36, đúng bằng số học sinh trong lớp
Số bài tập
0
1
2
3
4
5
6
Tần số
1
5
6
10
7
4
3
Vậy a) bảng tần số như trên.
2Cách 2. Sắp xếp tăng dần rồi đếm cụm liền kề
Định hướng. Viết lại dãy 36 số liệu theo thứ tự không giảm, các số bằng nhau đứng liền cạnh nhau thành từng cụm, chỉ cần đếm độ dài mỗi cụm — khó bỏ sót hơn Cách 1 khi dãy dài.
Dãy đã sắp xếp tăng dần: 0,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6 Cụm 0: 1 số; cụm 1: 5 số; cụm 2: 6 số; cụm 3: 10 số; cụm 4: 7 số; cụm 5: 4 số; cụm 6: 3 số Kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1
Vậy bảng tần số được xác nhận đúng như Cách 1.
3Cách 3. Cộng dồn tần số cho câu b)
Định hướng. 'Ít nhất ba bài tập' nghĩa là số bài tập ≥3, nên cộng dồn tần số của các giá trị 3,4,5,6 trong bảng tần số đã lập ở câu a).
Các giá trị thoả x≥3: 3;4;5;6 với tần số lần lượt 10;7;4;3 Số bạn làm ít nhất ba bài tập =10+7+4+3=24 (bạn) Kiểm tra chéo: số bạn làm DƯỚI ba bài tập =1+5+6=12 (bạn); 24+12=36, khớp với tổng số học sinh
Vậy b) có 24 bạn trong lớp làm ít nhất ba bài tập.
Nhận xét. Không được lấy riêng tần số của giá trị 3 (10 bạn) làm đáp số câu b), vì 'ít nhất ba' bao gồm cả các giá trị 4,5,6 chứ không chỉ đúng bằng 3.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 2 (sắp xếp tăng dần) cho câu a) vì khó bỏ sót hơn hẳn khi dãy có tới 36 số liệu, sau đó dùng Cách 3 (cộng dồn) để trả lời nhanh câu b).
Đáp số.a) 0: 1; 1: 5; 2: 6; 3: 10; 4: 7; 5: 4; 6: 3. b) Có 24 bạn làm ít nhất ba bài tập.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b), lấy nhầm đáp số bằng tần số riêng của giá trị 3 (tức 10 bạn) thay vì cộng dồn tần số của mọi giá trị ≥3 (tức 10+7+4+3=24 bạn) — đây là lỗi rất phổ biến khi gặp cụm từ 'ít nhất'.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi câu hỏi thành 'có bao nhiêu bạn làm NHIỀU NHẤT 2 bài tập', đáp số sẽ là tổng tần số của các giá trị 0,1,2, tức 1+5+6=12 bạn — phần bù của 24 bạn nói trên trong tổng 36 bạn.
Bài 3 · Bài 7.3★Trang 25— Đọc bảng gạch kiểm đếm (tally chart) rồi quy đổi sang bảng tần số
Bài 7.3 (trang 25). Bảng sau cho biết kết quả bình chọn môn thể thao được yêu thích nhất của các bạn học sinh lớp 9A (mỗi gạch biểu diễn cho một bạn bình chọn): Bóng đá: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (14 gạch). Cầu lông: ∣∣∣∣∣∣∣ (8 gạch). Bóng bàn: ∣∣∣∣ (4 gạch). Môn khác: ∣∣∣∣∣∣ (7 gạch). a) Lập bảng tần số cho kết quả bình chọn trên. b) Dựa vào bảng tần số thu được ở câu a, cho biết môn thể thao nào được các bạn yêu thích nhất.
Kiến thức cần nhớ
Bảng gạch kiểm đếm (tally chart) là một cách ghi trung gian trước khi lập bảng tần số, mỗi vạch ứng với 1 lần xuất hiện.
Môn thể thao có tần số lớn nhất là môn được yêu thích nhất.
Bài 4 · Bài 7.4★★★Trang 25— Đọc biểu đồ tần số dạng cột với nhiều giá trị; tính tỉ lệ phần trăm theo điều kiện 'từ một mức trở lên'
Bài 7.4 (trang 25). Biểu đồ sau cho biết kết quả khảo sát trình độ tiếng Anh của sinh viên cuối năm thứ nhất ở một trường đại học: mức A1 có 102 sinh viên, mức A2 có 115 sinh viên, mức B1 có 345 sinh viên, mức B2 có 35 sinh viên, mức C1 có 3 sinh viên. a) Đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trên hai cột bất kì của biểu đồ. b) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. c) Để tốt nghiệp đại học, sinh viên cần có trình độ tiếng Anh ở mức B1 trở lên. Ước lượng tỉ lệ sinh viên cuối năm thứ nhất đã đạt chuẩn trình độ tiếng Anh.
Kiến thức cần nhớ
Tần số của một giá trị là số lần (số sinh viên) ứng với giá trị đó trong mẫu dữ liệu.
Tỉ lệ (tần số tương đối) của một nhóm giá trị bằng tổng tần số của nhóm đó chia cho cỡ mẫu (tổng số sinh viên), nhân với 100%.
Bài 5 · Bài 7.5★★Trang 25— Lập bảng tần số cho các chữ số 0–9 xuất hiện trong một dãy chữ số cho trước
Bài 7.5 (trang 25). Số π với 50 chữ số sau dấu phẩy thập phân như sau: 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510. a) Lập bảng tần số cho các chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện sau dấu phẩy thập phân. b) Chữ số nào xuất hiện nhiều nhất, ít nhất?
Kiến thức cần nhớ
Có thể lập bảng tần số cho các chữ số (0 đến 9) xuất hiện trong một dãy chữ số dài, tương tự như lập bảng tần số cho một dãy số liệu thống kê.
Tổng tất cả các tần số phải bằng đúng số chữ số có trong dãy ban đầu (ở đây là 50).
Bài 6 · Bài 7.6★Trang 26— Đọc bảng tần số từ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng
Bài 7.6 (trang 26). Cho biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng sau. a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. b) Điểm nào có nhiều học sinh đạt nhất?
Kiến thức cần nhớ
Đọc biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đọc tung độ tại mỗi điểm đánh dấu trên đường gấp khúc.
Điểm có tung độ lớn nhất trên biểu đồ ứng với giá trị có tần số lớn nhất.
Bài 7 · Bài 7.7★Trang 26— Lập bảng tần số từ kết quả thí nghiệm rồi vẽ biểu đồ tần số dạng cột
Bài 7.7 (trang 26). Một túi chứa các viên bi nhiều màu (đen, đỏ, trắng, vàng). Sau 20 lần lấy bi có hoàn lại và trộn đều, kết quả thu được: 8 lần lấy được bi đen, 4 lần lấy được bi đỏ, 6 lần lấy được bi trắng, 2 lần lấy được bi vàng. a) Lập bảng tần số cho kết quả thu được. b) Vẽ biểu đồ tần số dạng cột biểu diễn bảng tần số từ câu a).
Kiến thức cần nhớ
Kết quả của một dãy phép thử lặp lại (ở đây là 20 lần lấy bi) cũng lập được bảng tần số như một dãy số liệu thống kê thông thường.
Biểu đồ tần số dạng cột: mỗi cột cao đúng bằng tần số của giá trị (màu bi) tương ứng.
Bài 8 · Bài 7.8★★Trang 26— Lập bảng tần số từ dãy số liệu rời rạc rồi vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng
Bài 7.8 (trang 26). Thống kê số ngày nằm viện của 20 bệnh nhân thu được kết quả như sau: 5,7,4,6,8,10,6,7,8,8,6,5,8,5,4,6,5,7,4,6. a) Lập bảng tần số cho dãy số liệu trên. b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng biểu diễn bảng tần số thu được ở câu a).
Kiến thức cần nhớ
Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
Khi trục hoành biểu diễn các giá trị số thực (không phải tên gọi), phải đặt các mốc theo đúng tỉ lệ khoảng cách thật giữa chúng, kể cả khi có giá trị bị 'nhảy cóc' (như thiếu giá trị 9 ở bài này).
