Chương VII. Tần số và tần số tương đối

Bài 22. Bảng tần số và biểu đồ tần số

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.1★Trang 24— Lập bảng tần số từ dữ liệu đếm số lần xuất hiện của từng đối tượng (quốc gia)

Bài 7.1 (trang 24). Tính đến hết SEA Games 32 đã có năm quốc gia từng lên ngôi vô địch bóng đá nam SEA Games, cụ thể như sau:
Thái Lan vô địch các năm:

1975, 1981, 1983, 1985, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2007, 2013, 2015, 2017.

Malaysia vô địch các năm:

1961, 1977, 1979, 1989, 2009, 2011.

Myanmar vô địch các năm:

1965, 1967, 1969, 1971, 1973.

Việt Nam vô địch các năm:

1959, 2019, 2021.

Indonesia vô địch các năm:

1987, 1991, 2023.

a) Lập bảng tần số biểu diễn số lần vô địch môn bóng đá nam SEA Games của các quốc gia trên.
b) Từ bảng tần số thu được ở câu a, hãy cho biết quốc gia nào vô địch nhiều nhất, với mấy lần vô địch.

Kiến thức cần nhớ

Tần số của một giá trị (ở đây là một quốc gia) là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu — ở bài này chính là số năm vô địch.
Bảng tần số chỉ cần liệt kê tên các quốc gia khác nhau cùng số lần vô địch, không cần giữ lại các năm cụ thể.

🧠 Phân tích tư duy

Đề liệt kê các năm vô địch của từng quốc gia riêng biệt — dấu hiệu là phải đếm SỐ NĂM (số lần) của mỗi quốc gia rồi mới ghi vào bảng tần số, các năm cụ thể không phải là điều cần thiết cho bảng tần số. Bẫy của đề là danh sách năm của Thái Lan khá dài (

15

năm) nên dễ đếm sót nếu không đếm có kiểm soát.

1Cách 1. Đếm trực tiếp số năm trong mỗi danh sách

Định hướng. Với mỗi quốc gia, đếm số năm xuất hiện trong danh sách năm vô địch của quốc gia đó — số năm đếm được chính là tần số.

Thái Lan:

1975, 1981, 1983, 1985, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2007, 2013, 2015, 2017

— đếm được

15

năm
Malaysia:

1961, 1977, 1979, 1989, 2009, 2011

— đếm được

6

năm
Myanmar:

1965, 1967, 1969, 1971, 1973

— đếm được

5

năm
Việt Nam:

1959, 2019, 2021

— đếm được

3

năm
Indonesia:

1987, 1991, 2023

— đếm được

3

năm
Kiểm tra tổng:

15 + 6 + 5 + 3 + 3 = 32

, khớp với 'SEA Games 32' (không phải trùng lặp — chỉ là con số kì đại hội)

Quốc gia	Thái Lan	Malaysia	Myanmar	Việt Nam	Indonesia
Số lần vô địch	$15$	$6$	$5$	$3$	$3$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. So sánh trực tiếp độ dài các danh sách

Định hướng. Không cần đếm lại chi tiết, chỉ cần so sánh 'độ dài' (số năm) của $5$ danh sách để tìm ngay quốc gia có tần số lớn nhất.

So sánh số năm của

5

quốc gia:

15; 6; 5; 3; 3

Giá trị lớn nhất trong năm số trên là

15

, ứng với danh sách của Thái Lan (danh sách dài nhất, trải từ năm

1975

đến

2017

)

Vậy b) Thái Lan vô địch nhiều nhất, với $15$ lần vô địch.

Nhận xét. Ba quốc gia Malaysia, Myanmar và cặp Việt Nam – Indonesia có tần số khá gần nhau ( $6, 5, 3, 3$ ), trong khi Thái Lan vượt trội hẳn — cho thấy Thái Lan thống trị môn bóng đá nam SEA Games trong nhiều giai đoạn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Với câu b) nên dùng Cách 2: so sánh thẳng

5

con số tần số đã có ở câu a, không cần đếm lại từ đầu như Cách 1.

Đáp số. a) Thái Lan:

15

; Malaysia:

6

; Myanmar:

5

; Việt Nam:

3

; Indonesia:

3

. b) Thái Lan vô địch nhiều nhất, với

15

lần.

Sai lầm thường gặp. Đếm sót một vài năm trong danh sách dài của Thái Lan (có tới

15

năm trải từ

1975

đến

2017

) nếu chỉ đếm nhẩm một lượt mà không đánh dấu lại các năm đã đếm.

🚀 Mở rộng. Nếu tính đến hết một kì SEA Games mới hơn (có thêm quốc gia vô địch lần đầu), bảng tần số sẽ xuất hiện thêm một giá trị mới (quốc gia mới) với tần số bằng đúng số lần quốc gia đó vừa vô địch.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.2★★Trang 24— Lập bảng tần số từ dãy số liệu rời rạc; tính tổng tần số theo điều kiện 'ít nhất'

Bài 7.2 (trang 24). Giáo viên dạy Toán ghi lại số bài tập mỗi học sinh trong lớp đã làm sau bài học tuần trước, cho kết quả như sau:

4, 2, 0, 5, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 6, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 3,

3, 1, 4, 6, 1, 2, 3, 5, 3, 2, 4, 3, 1, 4, 4, 5, 6, 2.

a) Lập bảng tần số cho dãy số liệu trên.
b) Có bao nhiêu bạn trong lớp làm ít nhất ba bài tập?

Kiến thức cần nhớ

Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
Số lượng phần tử thoả điều kiện 'lớn hơn hoặc bằng $a$ ' bằng tổng tần số của mọi giá trị $x_{i} \geq a$ trong bảng tần số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy dài

36

số liệu (từ

0

đến

6

bài tập) — dấu hiệu của việc lập bảng tần số với

7

giá trị khác nhau. Câu b) hỏi 'ít nhất ba bài tập' là dấu hiệu của việc CỘNG DỒN tần số các giá trị

\geq 3

(tức

3, 4, 5, 6

) chứ không phải chỉ lấy tần số của riêng giá trị

3

— đây là bẫy hay gặp nhất của dạng bài này.

1Cách 1. Đếm trực tiếp theo thứ tự liệt kê

Định hướng. Rà toàn bộ dãy $36$ số liệu theo đúng thứ tự đề cho, đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị từ $0$ đến $6$ .

Các giá trị khác nhau xuất hiện:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

Đếm giá trị

0

1

lần
Đếm giá trị

1

5

lần
Đếm giá trị

2

6

lần
Đếm giá trị

3

10

lần
Đếm giá trị

4

7

lần
Đếm giá trị

5

4

lần
Đếm giá trị

6

3

lần
Kiểm tra tổng:

1 + 5 + 6 + 10 + 7 + 4 + 3 = 36

, đúng bằng số học sinh trong lớp

Số bài tập	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Tần số	$1$	$5$	$6$	$10$	$7$	$4$	$3$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. Sắp xếp tăng dần rồi đếm cụm liền kề

Định hướng. Viết lại dãy $36$ số liệu theo thứ tự không giảm, các số bằng nhau đứng liền cạnh nhau thành từng cụm, chỉ cần đếm độ dài mỗi cụm — khó bỏ sót hơn Cách 1 khi dãy dài.

Dãy đã sắp xếp tăng dần:

0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6

Cụm

0

1

số; cụm

1

5

số; cụm

2

6

số; cụm

3

10

số; cụm

4

7

số; cụm

5

4

số; cụm

6

3

số
Kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1

Vậy bảng tần số được xác nhận đúng như Cách 1.

3Cách 3. Cộng dồn tần số cho câu b)

Định hướng. 'Ít nhất ba bài tập' nghĩa là số bài tập $\geq 3$ , nên cộng dồn tần số của các giá trị $3, 4, 5, 6$ trong bảng tần số đã lập ở câu a).

Các giá trị thoả

x \geq 3

3; 4; 5; 6

với tần số lần lượt

10; 7; 4; 3

Số bạn làm ít nhất ba bài tập

= 10 + 7 + 4 + 3 = 24

(bạn)
Kiểm tra chéo: số bạn làm DƯỚI ba bài tập

= 1 + 5 + 6 = 12

(bạn);

24 + 12 = 36

, khớp với tổng số học sinh

Vậy b) có $24$ bạn trong lớp làm ít nhất ba bài tập.

Nhận xét. Không được lấy riêng tần số của giá trị $3$ ( $10$ bạn) làm đáp số câu b), vì 'ít nhất ba' bao gồm cả các giá trị $4, 5, 6$ chứ không chỉ đúng bằng $3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (sắp xếp tăng dần) cho câu a) vì khó bỏ sót hơn hẳn khi dãy có tới

36

số liệu, sau đó dùng Cách 3 (cộng dồn) để trả lời nhanh câu b).

Đáp số. a)

0

1

;

1

5

;

2

6

;

3

10

;

4

7

;

5

4

;

6

3

. b) Có

24

bạn làm ít nhất ba bài tập.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), lấy nhầm đáp số bằng tần số riêng của giá trị

3

(tức

10

bạn) thay vì cộng dồn tần số của mọi giá trị

\geq 3

(tức

10 + 7 + 4 + 3 = 24

bạn) — đây là lỗi rất phổ biến khi gặp cụm từ 'ít nhất'.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu hỏi thành 'có bao nhiêu bạn làm NHIỀU NHẤT

2

bài tập', đáp số sẽ là tổng tần số của các giá trị

0, 1, 2

, tức

1 + 5 + 6 = 12

bạn — phần bù của

24

bạn nói trên trong tổng

36

bạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.3★Trang 25— Đọc bảng gạch kiểm đếm (tally chart) rồi quy đổi sang bảng tần số

Bài 7.3 (trang 25). Bảng sau cho biết kết quả bình chọn môn thể thao được yêu thích nhất của các bạn học sinh lớp 9A (mỗi gạch biểu diễn cho một bạn bình chọn):
Bóng đá:

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣

(

14

gạch).
Cầu lông:

∣∣∣∣ ∣∣∣

(

8

gạch).
Bóng bàn:

∣∣∣∣

(

4

gạch).
Môn khác:

∣∣∣∣ ∣∣

(

7

gạch).
a) Lập bảng tần số cho kết quả bình chọn trên.
b) Dựa vào bảng tần số thu được ở câu a, cho biết môn thể thao nào được các bạn yêu thích nhất.

Kiến thức cần nhớ

Bảng gạch kiểm đếm (tally chart) là một cách ghi trung gian trước khi lập bảng tần số, mỗi vạch ứng với $1$ lần xuất hiện.
Môn thể thao có tần số lớn nhất là môn được yêu thích nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bảng gạch kiểm đếm (mỗi gạch =

1

bạn) — dấu hiệu chỉ cần đếm số gạch ở mỗi môn thể thao rồi ghi thẳng vào bảng tần số, không cần đếm lại dữ liệu gốc. Bẫy của đề là các nhóm

5

gạch (thường vẽ

4

gạch đứng

+ 1

gạch chéo) dễ đếm nhầm nếu không đếm theo từng nhóm

5

1Cách 1. Đếm số gạch theo từng nhóm 5

Định hướng. Đếm số gạch của mỗi môn thể thao theo từng nhóm $5$ gạch (cách ghi phổ biến của bảng kiểm đếm) rồi cộng lại.

Bóng đá:

5 + 5 + 4 = 14

gạch
Cầu lông:

5 + 3 = 8

gạch
Bóng bàn:

4

gạch
Môn khác:

5 + 2 = 7

gạch
Kiểm tra tổng:

14 + 8 + 4 + 7 = 33

bạn học sinh lớp 9A đã bình chọn

Môn thể thao	Bóng đá	Cầu lông	Bóng bàn	Môn khác
Tần số	$14$	$8$	$4$	$7$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. So sánh trực tiếp độ dài các dãy gạch

Định hướng. Không cần đếm lại, chỉ cần so sánh 'độ dài' (số gạch) của $4$ môn thể thao để tìm ngay môn có tần số lớn nhất.

So sánh tần số

4

môn:

14; 8; 4; 7

Giá trị lớn nhất là

14

, ứng với môn Bóng đá

Vậy b) Bóng đá được các bạn học sinh lớp 9A yêu thích nhất, với $14$ lượt bình chọn.

Nhận xét. Bóng đá có tần số gần gấp đôi Cầu lông (môn đứng thứ hai) — cho thấy mức độ yêu thích bóng đá vượt trội hẳn so với các môn còn lại trong lớp 9A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Với câu b) nên dùng Cách 2: so sánh thẳng

4

con số tần số đã đếm được ở câu a, không cần đếm lại gạch một lần nữa.

Đáp số. a) Bóng đá:

14

; Cầu lông:

8

; Bóng bàn:

4

; Môn khác:

7

. b) Bóng đá được yêu thích nhất.

Sai lầm thường gặp. Đếm nhầm số gạch trong nhóm

5

gạch cuối cùng của mỗi môn (đặc biệt các nhóm không tròn

5

như Cầu lông có

3

gạch lẻ, Môn khác có

2

gạch lẻ) nếu không tách rõ từng nhóm

5

khi đếm.

🚀 Mở rộng. Nếu khảo sát thêm một lớp 9 khác rồi gộp kết quả bình chọn lại, môn thể thao được yêu thích nhất của cả hai lớp gộp lại có thể vẫn là Bóng đá hoặc đổi sang môn khác tuỳ vào sở thích của lớp mới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.4★★★Trang 25— Đọc biểu đồ tần số dạng cột với nhiều giá trị; tính tỉ lệ phần trăm theo điều kiện 'từ một mức trở lên'

Bài 7.4 (trang 25). Biểu đồ sau cho biết kết quả khảo sát trình độ tiếng Anh của sinh viên cuối năm thứ nhất ở một trường đại học: mức A1 có

102

sinh viên, mức A2 có

115

sinh viên, mức B1 có

345

sinh viên, mức B2 có

35

sinh viên, mức C1 có

3

sinh viên.
a) Đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trên hai cột bất kì của biểu đồ.
b) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
c) Để tốt nghiệp đại học, sinh viên cần có trình độ tiếng Anh ở mức B1 trở lên. Ước lượng tỉ lệ sinh viên cuối năm thứ nhất đã đạt chuẩn trình độ tiếng Anh.

Kiến thức cần nhớ

Tần số của một giá trị là số lần (số sinh viên) ứng với giá trị đó trong mẫu dữ liệu.
Tỉ lệ (tần số tương đối) của một nhóm giá trị bằng tổng tần số của nhóm đó chia cho cỡ mẫu (tổng số sinh viên), nhân với $100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

5

mức trình độ tiếng Anh (A1, A2, B1, B2, C1) với số sinh viên tương ứng — câu a), b) chỉ cần đọc đúng số liệu từng cột. Câu c) hỏi 'từ B1 trở lên' là dấu hiệu của việc CỘNG DỒN tần số các mức B1, B2, C1 rồi chia cho tổng số sinh viên để ra tỉ lệ phần trăm — giống bẫy 'ít nhất' đã gặp ở bài 7.2, nhưng lần này còn phải tính thêm bước chia phần trăm.

1Cách 1. Đọc biểu đồ rồi lập bảng tần số

Định hướng. Đọc trực tiếp chiều cao của hai cột bất kì để trả lời câu a), sau đó gộp đủ $5$ cột thành bảng tần số cho câu b).

Ví dụ đọc hai cột A1 và B1: cột A1 cao ứng với

102

sinh viên đạt trình độ A1; cột B1 cao ứng với

345

sinh viên đạt trình độ B1 — cột B1 cao gấp hơn

3

lần cột A1
Đọc đủ

5

cột: A1:

102

; A2:

115

; B1:

345

; B2:

35

; C1:

3

Kiểm tra tổng:

102 + 115 + 345 + 35 + 3 = 600

sinh viên

Trình độ	A1	A2	B1	B2	C1
Số sinh viên	$102$	$115$	$345$	$35$	$3$

Vậy a) chẳng hạn cột A1 và B1 cho biết có $102$ sinh viên đạt A1 và $345$ sinh viên đạt B1; b) bảng tần số như trên.

2Cách 2. Cộng dồn tần số rồi tính tỉ lệ phần trăm

Định hướng. 'Từ B1 trở lên' nghĩa là cộng dồn tần số của $3$ mức B1, B2, C1, rồi chia cho tổng số sinh viên và nhân $100%$ để ra tỉ lệ đạt chuẩn.

Số sinh viên đạt từ B1 trở lên:

345 + 35 + 3 = 383

(sinh viên)
Tổng số sinh viên khảo sát:

600

(sinh viên)
Tỉ lệ đạt chuẩn:

\frac{383}{600} \times 100% \approx 63, 8%

Vậy c) khoảng $63, 8%$ sinh viên cuối năm thứ nhất đã đạt chuẩn trình độ tiếng Anh (từ B1 trở lên).

Nhận xét. Không được lấy riêng tần số mức B1 ( $345$ ) để tính tỉ lệ, vì 'từ B1 trở lên' còn bao gồm cả B2 và C1 — nếu bỏ sót sẽ ra tỉ lệ thấp hơn thực tế ( $\frac{345}{600} \times 100% = 57, 5%$ , sai với câu hỏi).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi cần đặc biệt chú ý bẫy 'từ B1 trở lên' ở Cách 2: luôn liệt kê rõ những mức nào thoả điều kiện (B1, B2, C1) trước khi cộng, tránh bỏ sót B2 và C1 như lỗi thường gặp.

Đáp số. a) Ví dụ: A1 có

102

sinh viên, B1 có

345

sinh viên. b) Bảng tần số: A1:

102

; A2:

115

; B1:

345

; B2:

35

; C1:

3

. c) Khoảng

63, 8%

sinh viên đạt chuẩn (từ B1 trở lên).

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy tần số của riêng mức B1 (

345

sinh viên) để tính tỉ lệ đạt chuẩn ở câu c), quên cộng thêm hai mức B2 và C1 cũng thoả điều kiện 'từ B1 trở lên'.

🚀 Mở rộng. Nếu trường yêu cầu chuẩn đầu ra cao hơn (ví dụ từ B2 trở lên), tỉ lệ đạt chuẩn sẽ giảm xuống còn

\frac{35 + 3}{600} \times 100% \approx 6, 3%

— thấp hơn nhiều so với chuẩn B1 trở lên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.5★★Trang 25— Lập bảng tần số cho các chữ số

0

–

9

xuất hiện trong một dãy chữ số cho trước

Bài 7.5 (trang 25). Số

π

với

50

chữ số sau dấu phẩy thập phân như sau:

3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510.

a) Lập bảng tần số cho các chữ số từ

0

đến

9

xuất hiện sau dấu phẩy thập phân.
b) Chữ số nào xuất hiện nhiều nhất, ít nhất?

Kiến thức cần nhớ

Có thể lập bảng tần số cho các chữ số ( $0$ đến $9$ ) xuất hiện trong một dãy chữ số dài, tương tự như lập bảng tần số cho một dãy số liệu thống kê.
Tổng tất cả các tần số phải bằng đúng số chữ số có trong dãy ban đầu (ở đây là $50$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy

50

chữ số liền nhau (không có dấu phẩy ngăn cách như các bài trước) — dấu hiệu phải TÁCH từng chữ số ra riêng lẻ trước khi đếm, chứ không được đọc theo cụm nhiều chữ số. Bẫy của đề là dãy quá dài và không có dấu phân cách nên rất dễ đếm sót hoặc đếm trùng nếu không tách thành các nhóm nhỏ có kiểm soát (ví dụ nhóm

5

chữ số một).

1Cách 1. Tách thành nhóm 5 chữ số rồi đếm từng chữ số

Định hướng. Tách dãy $50$ chữ số thành $10$ nhóm, mỗi nhóm $5$ chữ số (đúng theo cách viết quen thuộc của số $π$ ), rồi đếm số lần xuất hiện của từng chữ số $0$ - $9$ trong toàn bộ $10$ nhóm.

Tách nhóm:

14159265358979323846264338327950288419716939937510

Đếm chữ số

0

2

lần; chữ số

1

5

lần; chữ số

2

5

lần; chữ số

3

8

lần; chữ số

4

4

lần
Đếm chữ số

5

5

lần; chữ số

6

4

lần; chữ số

7

4

lần; chữ số

8

5

lần; chữ số

9

8

lần
Kiểm tra tổng:

2 + 5 + 5 + 8 + 4 + 5 + 4 + 4 + 5 + 8 = 50

, đúng bằng số chữ số đã cho

Chữ số	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Tần số	$2$	$5$	$5$	$8$	$4$	$5$	$4$	$4$	$5$	$8$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. Kiểm chứng bằng Python (đếm lập trình)

Định hướng. Dùng vòng lặp đếm từng kí tự trong chuỗi $50$ chữ số để kiểm chứng lại kết quả đếm tay ở Cách 1, đảm bảo không sai sót với dãy dài không có dấu phân cách.

Chuỗi: "14159265358979323846264338327950288419716939937510"
Với mỗi chữ số

d

từ

0

đến

9

: đếm số lần

d

xuất hiện trong chuỗi bằng hàm đếm kí tự
Kết quả chạy kiểm chứng:

0 : 2, 1 : 5, 2 : 5, 3 : 8, 4 : 4, 5 : 5, 6 : 4, 7 : 4, 8 : 5, 9 : 8

— trùng khớp hoàn toàn với Cách 1

Vậy b) chữ số $3$ và chữ số $9$ cùng xuất hiện nhiều nhất ( $8$ lần mỗi chữ số); chữ số $0$ xuất hiện ít nhất ( $2$ lần).

Nhận xét. Với $50$ chữ số đầu tiên, các chữ số không phân bố đều nhau (từ $2$ đến $8$ lần) dù về lý thuyết $π$ được cho là có các chữ số phân bố ngẫu nhiên đều — cần dãy chữ số dài hơn rất nhiều mới thấy rõ tính đều đặn đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (không có máy tính hỗ trợ đếm) nên dùng Cách 1: tách dãy thành các nhóm

5

chữ số rồi đếm theo từng nhóm nhỏ, kiểm soát tốt hơn hẳn việc đếm cả dãy

50

chữ số liền một mạch.

Đáp số. a) Chữ số

0

2

;

1

5

;

2

5

;

3

8

;

4

4

;

5

5

;

6

4

;

7

4

;

8

5

;

9

8

. b) Chữ số

3

và chữ số

9

cùng xuất hiện nhiều nhất (

8

lần); chữ số

0

xuất hiện ít nhất (

2

lần).

Sai lầm thường gặp. Đếm sót hoặc đếm trùng khi rà một dãy

50

chữ số liền mạch không có dấu phân cách, đặc biệt tại những đoạn có nhiều chữ số giống nhau đứng gần nhau (như '338327950288' có nhiều số

3, 8

liên tiếp gần nhau).

🚀 Mở rộng. Nếu xét

100

chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của

π

thay vì

50

chữ số, tần số của các chữ số

0

9

thường có xu hướng gần đều nhau hơn — đây là một tính chất thú vị được nghiên cứu trong lý thuyết số về tính 'chuẩn' (normality) của số

π

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.6★Trang 26— Đọc bảng tần số từ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng

Bài 7.6 (trang 26). Cho biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng thể hiện điểm số của một nhóm học sinh (trục hoành ghi Điểm với các giá trị

6; 7; 8; 9; 10

; trục tung ghi Tần số).
a) Lập bảng tần số cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Điểm nào có nhiều học sinh đạt nhất?

Kiến thức cần nhớ

Đọc biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đọc tung độ tại mỗi điểm đánh dấu trên đường gấp khúc.
Điểm có tung độ lớn nhất trên biểu đồ ứng với giá trị có tần số lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng đã vẽ sẵn với

5

mức điểm — dấu hiệu chỉ cần đọc tung độ từng điểm trên đường gấp khúc rồi ghi vào bảng tần số, đúng quy trình ngược lại của Ví dụ 2 trong SGK. Bẫy của đề là dễ đọc nhầm giữa hai điểm liền kề nếu không gióng thẳng xuống đúng vạch chia trên trục tung.

1Cách 1. Đọc trực tiếp tung độ từng điểm

Định hướng. Với mỗi mức điểm trên trục hoành, gióng lên điểm đánh dấu trên đường gấp khúc rồi đọc tung độ (tần số) tương ứng.

Điểm

6

: tung độ

5 \Rightarrow

tần số

5

Điểm

7

: tung độ

9 \Rightarrow

tần số

9

Điểm

8

: tung độ

13 \Rightarrow

tần số

13

Điểm

9

: tung độ

10 \Rightarrow

tần số

10

Điểm

10

: tung độ

3 \Rightarrow

tần số

3

Kiểm tra tổng:

5 + 9 + 13 + 10 + 3 = 40

học sinh

Điểm	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Tần số	$5$	$9$	$13$	$10$	$3$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. So sánh trực tiếp độ cao các điểm

Định hướng. Không cần lập lại bảng, chỉ cần so sánh ngay $5$ tung độ đã đọc để tìm điểm có nhiều học sinh đạt nhất — đó chính là đỉnh cao nhất của đường gấp khúc.

So sánh

5

tung độ:

5; 9; 13; 10; 3

Giá trị lớn nhất là

13

, ứng với điểm

8

(đỉnh cao nhất của đường gấp khúc)

Vậy b) điểm $8$ có nhiều học sinh đạt nhất, với $13$ học sinh.

Nhận xét. Đường gấp khúc tăng dần từ điểm $6$ đến đỉnh tại điểm $8$ rồi giảm dần đến điểm $10$ — hình dạng 'đồi núi' này khá phổ biến với dữ liệu điểm kiểm tra (đa số học sinh đạt điểm trung bình-khá, ít học sinh đạt điểm quá cao hoặc quá thấp).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh hơn khi câu hỏi chỉ cần tìm điểm nhiều học sinh đạt nhất: so sánh thẳng

5

tung độ mà không cần trình bày lại toàn bộ bảng tần số như Cách 1.

Đáp số. a) Điểm

6

5

; điểm

7

9

; điểm

8

13

; điểm

9

10

; điểm

10

3

(tổng

40

học sinh). b) Điểm

8

có nhiều học sinh đạt nhất (

13

học sinh).

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm tung độ giữa hai điểm liền kề (ví dụ lẫn điểm

8

và điểm

9

) nếu không gióng thẳng đúng vạch chia trên trục tung mà chỉ ước lượng bằng mắt.

🚀 Mở rộng. Nếu gộp thêm dữ liệu điểm số của một nhóm học sinh khác vào cùng biểu đồ, đỉnh cao nhất của đường gấp khúc (điểm có tần số lớn nhất) có thể dịch chuyển sang một mức điểm khác tuỳ theo phân bố điểm của nhóm mới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.7★Trang 26— Lập bảng tần số từ kết quả thí nghiệm rồi vẽ biểu đồ tần số dạng cột

Bài 7.7 (trang 26). Một túi chứa các viên bi nhiều màu (đen, đỏ, trắng, vàng). Sau

20

lần lấy bi có hoàn lại và trộn đều, kết quả thu được:

8

lần lấy được bi đen,

4

lần lấy được bi đỏ,

6

lần lấy được bi trắng,

2

lần lấy được bi vàng.
a) Lập bảng tần số cho kết quả thu được.
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng cột biểu diễn bảng tần số từ câu a).

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của một dãy phép thử lặp lại (ở đây là $20$ lần lấy bi) cũng lập được bảng tần số như một dãy số liệu thống kê thông thường.
Biểu đồ tần số dạng cột: mỗi cột cao đúng bằng tần số của giá trị (màu bi) tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn số lần lấy được mỗi màu bi bằng lời văn — dấu hiệu chỉ cần chuyển đúng

4

con số đó vào bảng tần số rồi vẽ cột theo đúng chiều cao tương ứng. Bẫy của đề là dễ nhầm thứ tự các màu khi chuyển từ câu văn sang bảng (đen, đỏ, trắng, vàng) nếu không đọc kĩ từng cụm 'số lần — màu bi'.

1Cách 1. Chuyển trực tiếp từ lời văn sang bảng tần số

Định hướng. Đọc kĩ từng cụm 'số lần — màu bi' trong đề rồi ghi đúng thứ tự vào bảng tần số.

8

lần lấy được bi đen'

\Rightarrow

Đen:

8

4

lần lấy được bi đỏ'

\Rightarrow

Đỏ:

4

6

lần lấy được bi trắng'

\Rightarrow

Trắng:

6

2

lần lấy được bi vàng'

\Rightarrow

Vàng:

2

Kiểm tra tổng:

8 + 4 + 6 + 2 = 20

, đúng bằng số lần lấy bi

Màu bi	Đen	Đỏ	Trắng	Vàng
Tần số	$8$	$4$	$6$	$2$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. Vẽ biểu đồ tần số dạng cột

Định hướng. Dựng trục hoành ghi $4$ màu bi, trục tung ghi số lần, mỗi cột cao đúng bằng tần số màu đó.

Trục hoành: Màu bi theo thứ tự Đen, Đỏ, Trắng, Vàng
Trục tung: Số lần, chia vạch từ

0

đến

10

, bước

2

Cột Đen cao

8

; cột Đỏ cao

4

; cột Trắng cao

6

; cột Vàng cao

2

Vậy b) biểu đồ tần số dạng cột gồm $4$ cột cao $8; 4; 6; 2$ theo đúng thứ tự Đen, Đỏ, Trắng, Vàng (xem hình bên).

Nhận xét. Bi đen được lấy nhiều nhất ( $8$ trong $20$ lần, chiếm $40%$ ) — nếu túi có tỉ lệ các màu tương ứng với tần số này, khả năng lấy được bi đen ở lần tiếp theo cũng cao nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 chỉ cần đọc kĩ đề và điền đúng thứ tự vào bảng, sau đó Cách 2 chuyển thẳng sang vẽ cột theo đúng chiều cao đã có — không có cách nào nhanh hơn với dạng bài đọc-hiểu-vẽ này.

Đáp số. a) Đen:

8

; Đỏ:

4

; Trắng:

6

; Vàng:

2

(tổng

20

lần). b) Biểu đồ tần số dạng cột với

4

cột cao

8; 4; 6; 2

(xem hình).

Sai lầm thường gặp. Nhầm thứ tự các màu khi chuyển từ lời văn sang bảng (ví dụ đổi chỗ tần số của Đỏ và Vàng) do không đọc kĩ từng cụm 'số lần — màu bi' trong đề.

🚀 Mở rộng. Nếu lặp lại thí nghiệm với số lần lấy bi lớn hơn nhiều (ví dụ

200

lần thay vì

20

lần), tần số tương đối (tỉ lệ phần trăm) của mỗi màu thường sẽ ổn định dần quanh một giá trị nhất định — đây là ý tưởng nền tảng của xác suất thực nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.8★★Trang 26— Lập bảng tần số từ dãy số liệu rời rạc rồi vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng

Bài 7.8 (trang 26). Thống kê số ngày nằm viện của

20

bệnh nhân thu được kết quả như sau:

5, 7, 4, 6, 8, 10, 6, 7, 8, 8, 6, 5, 8, 5, 4, 6, 5, 7, 4, 6.

a) Lập bảng tần số cho dãy số liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng biểu diễn bảng tần số thu được ở câu a).

Kiến thức cần nhớ

Tần số của một giá trị là số lần giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu.
Khi trục hoành biểu diễn các giá trị số thực (không phải tên gọi), phải đặt các mốc theo đúng tỉ lệ khoảng cách thật giữa chúng, kể cả khi có giá trị bị 'nhảy cóc' (như thiếu giá trị $9$ ở bài này).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho dãy

20

số liệu (số ngày nằm viện, từ

4

đến

10

) — dấu hiệu lập bảng tần số quen thuộc như Ví dụ 1 SGK. Bẫy của đề là các giá trị KHÔNG liên tục đều đặn (thiếu hẳn giá trị

9

, nhảy thẳng từ

8

lên

10

) nên khi vẽ biểu đồ đoạn thẳng phải đặt đúng khoảng cách trên trục hoành theo giá trị thật, không được vẽ các mốc cách đều nhau bất kể độ lớn.

1Cách 1. Đếm trực tiếp theo thứ tự liệt kê

Định hướng. Rà toàn bộ dãy $20$ số liệu theo đúng thứ tự đề cho, đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị.

Các giá trị khác nhau xuất hiện:

4; 5; 6; 7; 8; 10

(không có giá trị

9

)
Đếm giá trị

4

3

lần
Đếm giá trị

5

4

lần
Đếm giá trị

6

5

lần
Đếm giá trị

7

3

lần
Đếm giá trị

8

4

lần
Đếm giá trị

10

1

lần
Kiểm tra tổng:

3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 1 = 20

, đúng bằng số bệnh nhân

Số ngày	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$10$
Tần số	$3$	$4$	$5$	$3$	$4$	$1$

Vậy a) bảng tần số như trên.

2Cách 2. Sắp xếp tăng dần rồi vẽ biểu đồ đoạn thẳng

Định hướng. Sắp xếp dãy tăng dần để kiểm chứng lại bảng tần số ở Cách 1, sau đó vẽ biểu đồ đoạn thẳng theo đúng $3$ bước đã học, chú ý đặt mốc $10$ cách xa mốc $8$ hơn (vì thiếu giá trị $9$ ở giữa).

Dãy đã sắp xếp:

4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 10

Cụm

4

3

số; cụm

5

4

số; cụm

6

5

số; cụm

7

3

số; cụm

8

4

số; cụm

10

1

số — khớp với Cách 1
Vẽ trục hoành với các mốc

4, 5, 6, 7, 8

cách đều nhau rồi mốc

10

đặt CÁCH XA mốc

8

gấp đôi khoảng cách bình thường (vì bỏ qua đúng vị trí của

9

)
Nối các điểm có tung độ

3, 4, 5, 3, 4, 1

theo đúng thứ tự các mốc trên

Vậy b) biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc qua $6$ điểm có tung độ $3, 4, 5, 3, 4, 1$ tại các mốc $4, 5, 6, 7, 8, 10$ (xem hình bên).

Nhận xét. Giá trị $6$ ngày nằm viện có tần số lớn nhất ( $5$ bệnh nhân) — đây là số ngày nằm viện phổ biến nhất trong mẫu $20$ bệnh nhân này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (đếm trực tiếp) đủ nhanh cho câu a); khi vẽ hình ở câu b) phải nhớ đúng mẹo của Cách 2: đặt mốc

10

cách xa mốc

8

hơn bình thường vì dãy dữ liệu không có giá trị

9

Đáp số. a) Số ngày

4

3

;

5

4

;

6

5

;

7

3

;

8

4

;

10

1

. b) Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng qua các điểm

(4; 3), (5; 4), (6; 5), (7; 3), (8; 4), (10; 1)

(xem hình).

Sai lầm thường gặp. Vẽ trục hoành với các mốc

4, 5, 6, 7, 8, 10

cách đều nhau (coi mốc

10

liền ngay sau mốc

8

) trong khi đúng ra phải đặt mốc

10

xa hơn để thể hiện đúng việc dãy dữ liệu bị 'nhảy cóc', bỏ qua giá trị

9

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm bệnh nhân nằm viện đúng

9

ngày trong đợt thống kê sau, giá trị

9

sẽ được bổ sung vào giữa

8

và

10

trên trục hoành, làm bảng tần số có thêm một cột mới.

Mở bài này trong app ↗