Bài 22. Bảng tần số và biểu đồ tần số

Định hướng. Giả sử lớp em khảo sát được $20$ bạn theo đúng mẫu phiếu, ghi lại đáp án của từng bạn theo thứ tự rồi đếm trực tiếp số bạn chọn từng đáp án.

Vậy a) em mới khảo sát được một bộ phận (mẫu dữ liệu), CHƯA khảo sát hết ý kiến của tất cả học sinh khối 9 trong trường; b) với mẫu minh hoạ $20$ bạn: A: $10$ bạn, B: $4$ bạn, C: $4$ bạn, D: $2$ bạn.

Định hướng. Duyệt qua từng phiếu một lần, mỗi phiếu gạch đúng một vạch vào cột tương ứng — cách này an toàn hơn khi đi thi vì khó bỏ sót hay đếm trùng như liệt kê bằng mắt.

Vậy kết quả kiểm đếm trùng khớp với Cách 1: A: $10$ bạn, B: $4$ bạn, C: $4$ bạn, D: $2$ bạn — mẫu dữ liệu này chỉ là một bộ phận của dữ liệu bạn Minh muốn có.

Nhận xét. Muốn có dữ liệu đúng như bạn Minh mong muốn (ý kiến toàn khối 9), phải khảo sát thêm mọi lớp 9 còn lại trong trường rồi gộp chung mẫu dữ liệu.

Định hướng. Chọn lần lượt từng cỡ giày xuất hiện trong đề (36, 37, 38, 39, 40), mỗi lần đếm thì rà toàn bộ dãy $22$ số để tìm đúng số lần xuất hiện của cỡ đó.

Vậy a) Huy cần mua giày cỡ $36$ ($5$ đôi), cỡ $37$ ($4$ đôi), cỡ $38$ ($8$ đôi), cỡ $39$ ($2$ đôi), cỡ $40$ ($3$ đôi).

Định hướng. Viết lại dãy số liệu theo thứ tự không giảm, khi đó các số bằng nhau đứng liền cạnh nhau thành từng cụm — chỉ cần đếm độ dài mỗi cụm, khó bỏ sót hay đếm trùng hơn Cách 1.

Vậy bảng tần số của dãy cỡ giày đúng như trên; vì cột $38$ có tần số lớn nhất ($8$) nên cỡ giày $38$ phù hợp với nhiều bạn nam trong lớp nhất.

Định hướng. Duyệt dãy số liệu đúng một lượt theo thứ tự đề cho, mỗi số gặp được gạch một vạch vào đúng cột cỡ giày của nó — không cần sắp xếp lại dãy như Cách 2.

Vậy ba cách đều cho cùng bảng tần số: cỡ $36$: $5$; cỡ $37$: $4$; cỡ $38$: $8$; cỡ $39$: $2$; cỡ $40$: $3$; cỡ giày $38$ được nhiều bạn nam cần nhất.

Nhận xét. Vạch kiểm đếm (Cách 3) chỉ cần một lượt duyệt dãy số, nhanh hơn Cách 2 khi dãy dữ liệu dài mà không cần viết lại toàn bộ dãy đã sắp xếp.

Định hướng. Viết lại toàn bộ dãy tên theo đúng thứ tự các ngày trong bảng thành một dãy dữ liệu duy nhất, rồi đếm số lần xuất hiện của từng tên khác nhau.

Vậy a) các bạn đạt điểm tốt trong tuần là Bình ($2$ lần), Nam ($3$ lần), Tuấn ($1$ lần), Thảo ($2$ lần), Yến ($1$ lần).

Định hướng. Duyệt bảng theo đúng thứ tự Thứ Hai đến Thứ Sáu, mỗi khi gặp tên một bạn thì gạch thêm một vạch vào đúng dòng của bạn đó — tránh phải viết lại dãy tên như Cách 1.

Vậy bảng tần số khớp với Cách 1; vì Nam có tần số lớn nhất ($3$) nên Nam là bạn có số lần đạt điểm tốt nhiều nhất trong tuần.

Nhận xét. Vạch kiểm đếm theo từng ngày giúp tự động gộp đúng các lần xuất hiện của cùng một bạn ở nhiều ngày khác nhau, tránh bỏ sót như khi chỉ nhìn lướt theo từng cột.

Định hướng. Với biểu đồ cột, đọc chiều cao mỗi cột ứng với mỗi điểm; với biểu đồ đoạn thẳng, đọc tung độ mỗi điểm đánh dấu trên đoạn gấp khúc — rồi so sánh hai kết quả.

Vậy a) cả hai biểu đồ đều cho biết: có $3$ học sinh đạt điểm $6$, $8$ học sinh đạt điểm $7$, $12$ học sinh đạt điểm $8$, $6$ học sinh đạt điểm $9$, $4$ học sinh đạt điểm $10$.

Định hướng. Gộp số liệu đọc được thành một bảng tần số duy nhất, sau đó dùng chính bảng này để kiểm tra ngược lại xem cả hai biểu đồ có được vẽ đúng từ cùng một bảng hay không.

Vậy b) hai biểu đồ biểu diễn CÙNG một dữ liệu (kết quả kiểm tra Toán của $33$ học sinh); bảng thống kê thu được đúng là một bảng tần số vì liệt kê đủ các giá trị điểm khác nhau cùng tần số tương ứng.

Nhận xét. Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng (đa giác tần số) chỉ nối các điểm dữ liệu rời rạc để dễ quan sát xu hướng tăng giảm, không có nghĩa là tồn tại dữ liệu liên tục giữa hai điểm liền kề.

Định hướng. Với mỗi giá trị trên trục hoành, dựng một hình chữ nhật (cột) có chiều cao đúng bằng tần số của giá trị đó, các cột cách đều nhau.

Vậy biểu đồ tần số dạng cột gồm $4$ cột cao lần lượt $8;19;6;4$ tại các giá trị $0;1;2;3$ (xem hình bên).

Định hướng. Thực hiện đúng ba bước: vẽ trục, xác định điểm ứng với mỗi cặp (giá trị; tần số), rồi nối các điểm liên tiếp bằng đoạn thẳng.

Vậy biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc đi qua bốn điểm $(0;8),(1;19),(2;6),(3;4)$ (xem hình bên).

Nhận xét. Cả hai biểu đồ đều dựng từ đúng một bảng tần số nên có cùng hình dạng phân bố: tăng vọt từ $0$ lên $1$ rồi giảm dần từ $1$ xuống $3$, chỉ khác cách thể hiện (cột đặc hay đoạn nối).

Định hướng. Giữ đúng thứ tự bốn đội bóng như trong bảng, dựng mỗi cột cao bằng đúng số bạn dự đoán đội đó.

Vậy biểu đồ tần số dạng cột gồm $4$ cột cao $8;15;12;5$ ứng với Brazil, Anh, Pháp, Argentina (xem hình bên).

Định hướng. Thực hiện đúng ba bước đã học: vẽ trục, xác định các điểm ứng với từng đội bóng theo đúng thứ tự bảng, rồi nối các điểm liên tiếp.

Vậy biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc đi qua bốn điểm có tung độ $8;15;12;5$ theo đúng thứ tự Brazil, Anh, Pháp, Argentina (xem hình bên).

Nhận xét. Đội Anh được dự đoán nhiều nhất ($15$ bạn) nên cả hai biểu đồ đều đạt đỉnh cao nhất tại vị trí Anh.

Định hướng. Xác định xem trục tung của biểu đồ có thực sự biểu diễn 'số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu' hay không.

Vậy biểu đồ này KHÔNG PHẢI là biểu đồ tần số — em ủng hộ bạn Tròn.

Định hướng. Giả sử theo lời Vuông đây là biểu đồ tần số, rồi chỉ ra điều vô lí nảy sinh để bác bỏ giả sử đó.

Vậy giả sử là sai — biểu đồ trên không phải biểu đồ tần số, đúng như bạn Tròn nói.

Nhận xét. Đây là biểu đồ cột dùng để so sánh một số liệu đo lường (nhiệt độ) giữa các đối tượng khác nhau (ba thành phố), khác hẳn về bản chất với biểu đồ tần số dùng để thống kê số lần xuất hiện các giá trị trong một mẫu dữ liệu.

Định hướng. Rà toàn bộ dãy $31$ giá trị theo đúng thứ tự đề cho, đếm số lần xuất hiện của từng mức đánh giá.

Vậy a) bảng tần số: Tốt: $13$; Khá: $11$; Trung bình: $5$; Kém: $2$.

Định hướng. Duyệt dãy đúng một lượt, mỗi giá trị gặp được gạch một vạch vào đúng cột mức đánh giá của nó — hạn chế nhầm lẫn giữa 'Khá' và 'Trung bình' hơn Cách 1.

Vậy b) vì Tốt có tần số lớn nhất ($13$, lớn hơn cả Khá, Trung bình và Kém) nên mức đánh giá 'Tốt' chiếm ưu thế nhất.

Nhận xét. Tổng ba mức Tốt, Khá, Trung bình chiếm tới $29$ trong $31$ lượt đánh giá — cho thấy đa số học sinh trong trường có ý thức giữ gìn vệ sinh công cộng từ khá trở lên.

Định hướng. Đếm lần lượt số hình người xuất hiện trong mỗi cột của biểu đồ tranh, vì mỗi hình ứng với đúng $1$ học sinh nên số hình chính là tần số.

Vậy bảng tần số: Võ thuật $6$, Tiếng Anh $9$, Nghệ thuật $5$.

Định hướng. Đếm lại các hình người theo từng cặp (mỗi lần đếm $2$ hình) để hạn chế bỏ sót khi cột có nhiều hình liền kề, rồi đối chiếu với kết quả Cách 1.

Vậy bảng tần số được xác nhận đúng: Võ thuật $6$, Tiếng Anh $9$, Nghệ thuật $5$; tổng cộng $20$ học sinh đăng kí ba câu lạc bộ.

Định hướng. Nhìn đỉnh mỗi cột rồi gióng ngang sang trục tung để đọc đúng giá trị tần số của phương tiện đó.

Vậy bảng tần số: Xe buýt $9$ ngày, Xe máy $5$ ngày, Xe đạp $8$ ngày.

Định hướng. So sánh đỉnh mỗi cột với các đường lưới ngang mảnh (kẻ tại mỗi $2$ đơn vị) để xác định chính xác giá trị, tránh đọc nhầm giữa hai mốc liền kề.

Vậy kết quả đối chiếu bằng đường lưới trùng khớp với Cách 1: Xe buýt $9$, Xe máy $5$, Xe đạp $8$ (đơn vị: ngày).

Nhận xét. Tổng $22$ ngày nhỏ hơn $30$ ngày của tháng Chín vì có thể một số ngày Mai không đi học hoặc dùng phương tiện khác chưa được thống kê trong biểu đồ.

Định hướng. Với mỗi loại xe trên trục hoành, gióng lên điểm đánh dấu trên đường gấp khúc rồi đọc tung độ (số xe) tương ứng.

Vậy a) bảng tần số như trên.

Định hướng. Không cần lập bảng tần số đầy đủ, chỉ cần so sánh ngay độ cao (tung độ) của $4$ điểm trên biểu đồ để tìm điểm cao nhất.

Vậy b) xe $7$ chỗ đi qua trạm thu phí nhiều nhất, với $14$ xe trong $1$ giờ.

Nhận xét. Đường gấp khúc chỉ nối các điểm dữ liệu rời rạc (theo từng loại xe) để dễ quan sát, không được hiểu là có 'loại xe trung gian' nào giữa xe 4 chỗ và xe 7 chỗ.

Định hướng. Chọn trục tung chia vạch từ $0$ đến $100$, bước $20$ đơn vị để cột cao nhất ($94$) vừa khít khung hình; dựng mỗi cột cao đúng bằng số lượng thiên tai tương ứng.

Vậy biểu đồ tần số dạng cột gồm $5$ cột cao $6;9;71;6;94$ theo đúng thứ tự $5$ loại thiên tai (xem hình bên).

Định hướng. Thực hiện đúng ba bước đã học, dùng chung trục tung bước $20$ đơn vị như Cách 1 để hai biểu đồ có thể đối chiếu trực tiếp với nhau.

Vậy biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng là đường gấp khúc đi qua $5$ điểm có tung độ $6;9;71;6;94$ theo đúng thứ tự trên (xem hình bên).

Nhận xét. Bão ($94$) và Lũ lụt ($71$) là hai loại thiên tai xảy ra nhiều nhất trong giai đoạn 1990-2021, chiếm tới $\frac{94+71}{186}\approx 89\%$ tổng số sự kiện thống kê được.