Bài 23. Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Định hướng. Kiểm tra tổng tần số rồi chia trực tiếp từng tần số cho $50$ và nhân $100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: điểm $10$: $30\%$; điểm $9$: $50\%$; điểm $8$: $14\%$; điểm $7$: $6\%$.

Định hướng. Tính tần số tương đối của điểm $8$ và điểm $7$ trước, tổng tần số tương đối của điểm $10$ và điểm $9$ suy ra bằng $100\%$ trừ hai tỉ lệ kia — chính là đáp số câu b).

Vậy b) xác suất được điểm $\ge 9$ ước lượng bằng $80\%$, khớp với việc cộng trực tiếp $f_{10}+f_9$.

Định hướng. Vì $100=50\cdot 2$, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số $\frac{m_i}{50}$ với $2$ để đổi thẳng sang phần trăm.

Vậy ba cách đều cho cùng kết quả: bảng tần số tương đối như Cách 1; xác suất được điểm $\ge 9$ ước lượng $80\%$.

Nhận xét. 'Điểm lớn hơn hoặc bằng $9$' nghĩa là điểm $9$ HOẶC điểm $10$, nên phải cộng cả hai tần số tương đối, không chỉ lấy điểm $10$.

Định hướng. Vì $n=100$ nên $f_i=\frac{m_i}{100}\cdot 100\%=m_i\%$ — chỉ cần thêm dấu $\%$ vào mỗi tần số đã cho, không cần chia.

Vậy a) bảng tần số tương đối như trên.

Định hướng. Vẫn áp dụng đúng công thức $f_i=\frac{m_i}{n}\cdot 100\%$ với $n=100$ như trường hợp tổng quát, để kiểm tra lại kết quả của Cách 1 bằng một con đường độc lập.

Vậy hai cách cho cùng bảng tần số tương đối.

Định hướng. Thay vì cộng trực tiếp ba mức $6,7,8$ chữ cái, tính tổng tần số tương đối của các mức TỪ $5$ CHỮ CÁI TRỞ XUỐNG rồi lấy phần bù — cách này hữu ích khi số mức 'nhiều hơn' lớn hơn số mức 'không quá'.

Vậy b) xác suất một từ có nhiều hơn $5$ chữ cái ước lượng bằng $23\%$, khớp với cộng trực tiếp $15\%+7\%+1\%$.

Nhận xét. 'Nhiều hơn $5$' không bao gồm đúng $5$ chữ cái, nên mức $5$ chữ cái ($22\%$) KHÔNG được cộng vào đáp số câu b).

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$ lần lượt là tần số tương đối của các cầu thủ An, Tân, Việt, Bình, Lê. Kiểm tra tổng số phiếu rồi chia trực tiếp từng số phiếu cho $400$ và nhân $100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: An $13,75\%$; Tân $33,75\%$; Việt $25\%$; Bình $17,5\%$; Lê $10\%$.

Định hướng. Vì $\frac{100}{400}=0,25$, nhân thẳng mỗi số phiếu với $0,25$ để ra ngay phần trăm, không cần viết phân số trung gian.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Tính bốn tỉ lệ trước, tỉ lệ của Lê ($f_5$) còn lại suy ra bằng phần bù; sau đó đổi các tần số tương đối sang số đo cung để vẽ biểu đồ hình quạt tròn.

Vậy b) vẽ hình tròn chia năm hình quạt $49,5°;121,5°;90°;63°;36°$ (tổng $360°$) như hình vẽ kèm theo.

Nhận xét. Tân có tỉ lệ phiếu bình chọn cao nhất ($33,75\%$), nên hình quạt của Tân lớn nhất trên biểu đồ.

Định hướng. Bảng tần số chính là số vạch đã đếm sẵn trong đề; áp dụng công thức $f_i=\frac{m_i}{40}\cdot 100\%$ để ra bảng tần số tương đối.

Vậy a) bảng tần số: $8;9;17;6$; bảng tần số tương đối: $20\%;22,5\%;42,5\%;15\%$.

Định hướng. Vì $\frac{100}{40}=2,5$, nhân thẳng mỗi tần số với $2,5$ để ra ngay phần trăm.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Thay vì cộng trực tiếp mức $2$ sao và $3$ sao, tính tổng tần số tương đối của hai mức $4$ sao và $5$ sao rồi lấy phần bù $100\%$.

Vậy b) xác suất một khách hàng đánh giá từ ba sao trở xuống ước lượng bằng $42,5\%$, khớp với cộng trực tiếp $20\%+22,5\%$.

Nhận xét. 'Từ ba sao trở xuống' bao gồm CẢ mức $2$ sao lẫn mức $3$ sao, không chỉ riêng mức $3$ sao.

Định hướng. Dùng ngay tính chất tổng các tần số tương đối bằng $100\%$ để tìm $x$ bằng một phép trừ.

Vậy a) $x=25$.

Định hướng. Đặt phương trình tổng bốn tần số tương đối bằng $100\%$ rồi giải phương trình bậc nhất một ẩn $x$ — cách trình bày chặt chẽ hơn khi cần lí giải rõ từng bước biến đổi.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $x=25$.

Định hướng. Đảo thứ tự: tính trước tổng tần số tương đối của mức $\ge 8$ điểm bằng phần bù của mức $7$ điểm, rồi trừ tiếp cho mức $8$ và mức $9$ để suy ra $x$ — một hướng kiểm tra chéo khác cho cùng kết quả.

Vậy a) $x=25$, khớp với hai cách trên. b) xác suất bắn trúng vòng $9$ hoặc vòng $10$ điểm ước lượng bằng $55\%+25\%=80\%$.

Nhận xét. c) Số lần bắn trúng vòng $9$ hoặc vòng $10$ điểm $=200\cdot 80\%=160$ (lần).

Định hướng. Đọc thẳng tỉ lệ phần trăm ghi trong mỗi hình quạt, gắn với đúng tên lĩnh vực ghi ở chú giải.

Vậy a) mỗi tỉ lệ trên biểu đồ cho biết PHẦN TRĂM số người đạt giải Nobel (tính đến năm $2020$) thuộc lĩnh vực tương ứng trong tổng số người đạt giải ở cả sáu lĩnh vực.

Định hướng. Cộng thử sáu tỉ lệ đã đọc để kiểm tra tính hợp lệ của biểu đồ hình quạt tròn (tổng phải đúng $100\%$), giúp phát hiện ngay nếu đọc nhầm một con số.

Vậy sáu số liệu đọc được là chính xác, không có lĩnh vực nào bị đọc nhầm.

Định hướng. Sắp xếp sáu tỉ lệ theo thứ tự giảm dần trước khi lập bảng, giúp nhìn ngay lĩnh vực có tỉ lệ giải Nobel cao nhất và thấp nhất.

Vậy b) bảng tần số tương đối giữ đúng thứ tự sáu lĩnh vực như trong biểu đồ.

Nhận xét. Y học có tỉ lệ giải Nobel cao nhất ($24\%$), Kinh tế có tỉ lệ thấp nhất ($9\%$) trong sáu lĩnh vực.

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3$ lần lượt là tần số tương đối của CLB tiếng Anh, CLB Toán, CLB Khoa học. Với dòng Nam, dùng cỡ mẫu $n=150$; với dòng Nữ, dùng cỡ mẫu $n=165$ — áp dụng công thức tần số tương đối riêng cho từng dòng.

Vậy a) hai bảng tần số tương đối như trên (nam theo cỡ mẫu $150$, nữ theo cỡ mẫu $165$).

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số về dạng tối giản trước khi đổi phần trăm, giúp số liệu chính xác hơn khi phải làm tròn.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Với mỗi giới tính, tính hai tần số tương đối trước ($f_1,f_2$), tần số tương đối của CLB Khoa học ($f_3$) còn lại suy ra bằng phần bù $100\%$; sau đó đổi sang số đo cung để vẽ biểu đồ hình quạt tròn.

Vậy b) hai biểu đồ hình quạt tròn (nam và nữ) như hình vẽ kèm theo.

Nhận xét. Trong khi CLB Toán được nam ưa thích nhất ($40\%$) thì CLB tiếng Anh lại được nữ ưa thích nhất ($42,4\%$) — cơ cấu tham gia câu lạc bộ khác nhau rõ rệt giữa hai giới.

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3$ lần lượt là tần số tương đối của CLB tiếng Anh, CLB Toán, CLB Khoa học. Dùng đúng dòng Tổng của bảng Bài 7.15 ($110,90,115$) và cỡ mẫu $n=315$, áp dụng công thức tần số tương đối.

Vậy a) bảng tần số tương đối: tiếng Anh $\approx 34,9\%$; Toán $\approx 28,6\%$; Khoa học $\approx 36,5\%$.

Định hướng. Tính hai tỉ lệ trước, tỉ lệ còn lại suy ra bằng phần bù $100\%$ để tự kiểm tra kết quả.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Không tính lại từ đầu mà cộng số học sinh nam và học sinh nữ đã tách riêng ở Bài 7.15 cho từng câu lạc bộ, rồi mới chia cho tổng cỡ mẫu $315$ — cách này tận dụng dữ liệu đã có, đồng thời tự kiểm tra chéo với Bài 7.15.

Vậy cả ba cách đều cho cùng bảng tần số tương đối: $\approx 34,9\%;28,6\%;36,5\%$.

Nhận xét. b) Vẽ biểu đồ cột với ba cột cao lần lượt $\approx 34,9\%;28,6\%;36,5\%$ — không cần chuyển sang số đo cung như biểu đồ hình quạt tròn ở Bài 7.15.