Bài 23. Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Định hướng. Giả sử $30$ lần lấy bóng cho kết quả cụ thể (minh hoạ), ghi lại màu theo đúng thứ tự lấy rồi đếm trực tiếp số lần xuất hiện của từng màu.

Vậy với mẫu minh hoạ: tần số Xanh $6$, Đỏ $15$, Vàng $9$; tỉ số tần số trên số lần lấy: $\frac{6}{30};\frac{15}{30};\frac{9}{30}$.

Định hướng. Mỗi lần lấy bóng, gạch ngay một vạch vào đúng cột màu vừa lấy được — cách này an toàn hơn khi đi thi vì khó bỏ sót hay đếm trùng như liệt kê rồi đếm lại.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: tỉ số tần số trên số lần lấy là $\frac{6}{30};\frac{15}{30};\frac{9}{30}$.

Định hướng. Đếm trực tiếp hai màu ít xuất hiện hơn (xanh, vàng), màu còn lại (đỏ) suy ra bằng cách lấy $30$ trừ tổng hai tần số đã đếm — nhanh hơn khi một màu xuất hiện dày đặc, khó đếm trực tiếp.

Vậy cả ba cách đều cho cùng kết quả: Xanh $6$, Đỏ $15$, Vàng $9$ (trên tổng $30$ lần lấy).

Nhận xét. Vì Đỏ có tần số lớn nhất nên có thể đoán trong túi bóng màu Đỏ nhiều nhất; Xanh có tần số nhỏ nhất nên có thể đoán bóng màu Xanh ít nhất.

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3$ lần lượt là tần số tương đối của Xanh, Đỏ, Vàng. Dùng đúng ba tần số tương đối đã tính được ở Hoạt động 1 (mẫu minh hoạ: Xanh $6$, Đỏ $15$, Vàng $9$ trên $30$ lần), xếp thành bảng hai dòng theo mẫu chuẩn của sách.

Vậy bảng tần số tương đối dạng hàng ngang như trên.

Định hướng. Theo phần Chú ý của sách (trang 38): bảng tần số tương đối còn có thể cho dưới dạng cột — cột thứ nhất ghi các giá trị, cột thứ hai ghi tần số tương đối tương ứng.

Vậy bảng tần số tương đối dạng cột cho đúng cùng số liệu với Cách 1.

Nhận xét. Dạng cột đặc biệt hữu ích khi số giá trị $k$ lớn, vì bảng dạng hàng ngang lúc đó sẽ quá rộng để trình bày gọn trên một dòng.

Định hướng. Rà lần lượt dãy $30$ kết quả, đếm số lần xuất hiện của từng mức M1, M2, M3, M4 rồi áp dụng công thức tần số tương đối $f_i=\frac{m_i}{n}\cdot 100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối gồm bốn mức M1 ($26,7\%$), M2 ($40\%$), M3 ($23,3\%$), M4 ($10\%$).

Định hướng. Duyệt dãy đúng một lượt, mỗi kết quả gạch một vạch vào đúng cột mức chất lượng của nó, tránh phải rà đi rà lại như Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Đếm trực tiếp ba mức dễ nhận ra nhất (M1, M3, M4), mức M2 còn lại suy ra bằng cách lấy cỡ mẫu trừ tổng ba tần số đã đếm — nhanh khi một mức xuất hiện rất nhiều lần, khó đếm trực tiếp.

Vậy cả ba cách đều cho cùng bảng tần số tương đối: M1: $26,7\%$; M2: $40\%$; M3: $23,3\%$; M4: $10\%$.

Nhận xét. Vì mức M2 (Trung bình) có tần số tương đối lớn nhất ($40\%$) nên trong một ngày xuân, khả năng cao nhất địa điểm này có chất lượng không khí ở mức Trung bình.

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3$ lần lượt là tần số tương đối của các lần mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh, đỏ, vàng; đếm trực tiếp số vạch của từng màu rồi áp dụng công thức $f_i=\frac{m_i}{n}\cdot 100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: xanh $30\%$, đỏ $50\%$, vàng $20\%$.

Định hướng. Đếm trực tiếp hai màu xanh, vàng (ít vạch hơn), màu đỏ còn lại suy ra bằng cách lấy $50$ trừ tổng hai tần số đã đếm, tránh phải đếm lại $25$ vạch dày đặc của màu đỏ.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Vì $100=50\cdot 2$ nên nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số $\frac{m_i}{50}$ với $2$ để đổi thẳng sang phần trăm mà không cần chia.

Vậy ba cách đều cho cùng kết quả: xanh $30\%$, đỏ $50\%$, vàng $20\%$.

Nhận xét. Vì tần số tương đối là ước lượng cho xác suất nên xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu đỏ ước lượng bằng $50\%$ (tức $\frac{1}{2}$).

Định hướng. Đọc thẳng số phần trăm ghi trên đỉnh mỗi cột (Hình 7.9) hoặc bên trong mỗi hình quạt (Hình 7.10), rồi xếp vào bảng theo đúng thứ tự Phương án 1, 2, 3.

Vậy a) Hình 7.9 là biểu đồ cột, Hình 7.10 là biểu đồ hình quạt tròn, cả hai cùng biểu diễn một bảng số liệu; b) bảng tần số tương đối: Phương án 1: $28\%$, Phương án 2: $61\%$, Phương án 3: $11\%$.

Định hướng. Đọc hai tỉ lệ dễ thấy nhất trên biểu đồ (Phương án 2 cột cao nhất, Phương án 3 cột thấp nhất), tỉ lệ Phương án 1 còn lại suy ra bằng cách lấy $100\%$ trừ tổng hai tỉ lệ kia — cách kiểm tra chéo khi một cột khó đọc chính xác đến từng đơn vị phần trăm.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Đọc số liệu trên Hình 7.9 và Hình 7.10 một cách độc lập rồi so sánh — vì hai bạn Bình, Nam vẽ hai biểu đồ khác dạng từ cùng một bảng gốc nên nếu số liệu đọc ra khớp nhau ở cả hai hình thì kết quả chắc chắn đúng.

Vậy bảng tần số tương đối chung cho cả hai biểu đồ: Phương án 1: $28\%$, Phương án 2: $61\%$, Phương án 3: $11\%$.

Nhận xét. Biểu đồ cột thuận tiện khi cần so sánh trực tiếp độ cao giữa các phương án, còn biểu đồ hình quạt thuận tiện khi cần thấy tỉ lệ mỗi phương án chiếm bao nhiêu phần của toàn bộ $100\%$ ý kiến.

Định hướng. Áp dụng đúng công thức $360°\cdot f_i$ cho từng loại phim để ra số đo cung, sau đó dùng thước đo góc chia hình tròn theo các số đo đó.

Vậy vẽ hình tròn rồi chia thành ba hình quạt liên tiếp $180°,135°,45°$, tô màu, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề như hình vẽ kèm theo.

Định hướng. Đổi trực tiếp các tỉ lệ phần trăm thành phân số của cả hình tròn — $50\%=\frac{1}{2}$, $37,5\%=\frac{3}{8}$, $12,5\%=\frac{1}{8}$ — rồi chia hình tròn thành $8$ phần bằng nhau để lấy đúng số phần cho mỗi loại phim.

Vậy chia hình tròn thành $8$ phần bằng nhau (mỗi phần $45°$), tô $4$ phần liền cho Hài, $3$ phần cho Khoa học viễn tưởng, $1$ phần cho Kinh dị — kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Sắp xếp tỉ lệ giảm dần rồi vẽ các hình quạt nối tiếp nhau bằng cách cộng dồn số đo cung, tới hình quạt cuối phải khép kín đúng $360°$ — cách này giúp tự kiểm tra ngay khi vẽ mà không cần tính tổng riêng.

Vậy ba cách vẽ đều cho cùng một biểu đồ hình quạt tròn như hình vẽ kèm theo.

Nhận xét. Vẽ theo thứ tự tỉ lệ giảm dần (Cách 3) giúp hình quạt lớn nhất luôn nằm ở vị trí dễ nhìn nhất (thường từ đường thẳng đứng ở đỉnh hình tròn), biểu đồ trông cân đối và dễ đọc hơn.

Định hướng. Áp dụng công thức $360°\cdot f_i$ cho cả bốn mức đánh giá, rồi vẽ hình quạt theo đúng các số đo cung tính được.

Vậy chia hình tròn thành bốn hình quạt liên tiếp $36°,90°,162°,72°$, tô màu và ghi chú như hình vẽ kèm theo.

Định hướng. Vì $10\%,25\%,45\%,20\%$ đều chia hết cho $5\%=\frac{1}{20}$ hình tròn, nên chia hình tròn thành $20$ phần bằng nhau (mỗi phần $18°$) rồi lấy đúng số phần cho mỗi mức, không cần tính riêng từng số đo cung.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $36°,90°,162°,72°$.

Định hướng. Vẽ lần lượt các hình quạt theo thứ tự tỉ lệ giảm dần (Trung bình, Khó, Dễ, Rất khó), mỗi hình quạt cộng dồn số đo cung từ hình quạt trước — hình quạt cuối cùng phải khép kín đúng $360°$, tự kiểm tra được ngay khi vẽ.

Vậy cả ba cách đều cho cùng một biểu đồ hình quạt tròn bốn phần $36°,90°,162°,72°$ như hình vẽ kèm theo.

Nhận xét. Với bốn giá trị trở lên, vẽ theo thứ tự tỉ lệ giảm dần và cộng dồn (Cách 3) giúp phát hiện ngay sai sót nếu tổng cuối cùng không khép kín đúng $360°$.

Định hướng. Kiểm tra điều kiện bắt buộc của bảng tần số tương đối: tổng các tần số tương đối phải bằng đúng $100\%$.

Vậy bảng số liệu này KHÔNG PHẢI một bảng tần số tương đối theo đúng nghĩa — em ủng hộ bạn thứ hai: phải dùng biểu đồ cột.

Định hướng. Giả sử vẫn vẽ được biểu đồ hình quạt tròn đúng theo ba tỉ lệ đã cho, rồi chỉ ra điều vô lí nảy sinh khi tính tổng số đo cung để bác bỏ giả sử đó.

Vậy giả sử là sai — không thể vẽ biểu đồ hình quạt tròn cho bảng số liệu này, đúng như ý kiến bạn thứ hai.

Nhận xét. Biểu đồ cột không bị ràng buộc bởi tổng $100\%$ hay $360°$ vì mỗi cột chỉ biểu diễn độc lập một tỉ lệ, phù hợp với dữ liệu có các lựa chọn không loại trừ lẫn nhau như phiếu bình chọn 'được chọn nhiều đáp án' này.

Định hướng. Kiểm tra $20+13+7=40$ khớp với tổng số bạn, rồi áp dụng công thức $f_i=\frac{m_i}{40}\cdot 100\%$ cho từng cỡ áo.

Vậy bảng tần số tương đối: cỡ M: $50\%$; cỡ S: $32,5\%$; cỡ L: $17,5\%$.

Định hướng. Tính tần số tương đối của cỡ M và cỡ L trước (hai số dễ nhân hơn), tần số tương đối cỡ S còn lại suy ra bằng cách lấy $100\%$ trừ tổng hai tỉ lệ kia.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Vì $\frac{100}{40}=2,5$ nên nhân thẳng mỗi tần số với $2,5$ để ra ngay phần trăm, không cần viết phân số trung gian.

Vậy cả ba cách đều cho cùng bảng tần số tương đối: cỡ M: $50\%$; cỡ S: $32,5\%$; cỡ L: $17,5\%$.

Nhận xét. Tổng ba tần số tương đối $50\%+32,5\%+17,5\%=100\%$, khớp đúng như lí thuyết.

Định hướng. Đếm số hình của mỗi phần mềm, nhân với $2$ để ra số học sinh, rồi áp dụng công thức tần số tương đối như bình thường.

Vậy bảng tần số tương đối: Skype $15\%$; Zoom $55\%$; Google Meet $30\%$.

Định hướng. Đếm số hình của Skype và Google Meet trước (ít hình hơn, dễ đếm chính xác), số hình của Zoom suy ra bằng cách lấy tổng số hình trừ hai số đã đếm — tránh phải đếm lại $11$ hình liền nhau.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Vì hệ số quy đổi ($2$ học sinh/hình) giống nhau ở cả tử và mẫu nên tự triệt tiêu trong tỉ số — có thể tính tần số tương đối thẳng trên SỐ HÌNH mà không cần nhân $2$ để đổi ra số học sinh.

Vậy ba cách đều cho cùng bảng tần số tương đối: Skype $15\%$; Zoom $55\%$; Google Meet $30\%$.

Nhận xét. Tổng số học sinh được khảo sát là $3\times 2+11\times 2+6\times 2=40$ bạn, đúng bằng sĩ số thường gặp của một lớp.

Định hướng. Gọi $f_1,f_2,f_3,f_4$ lần lượt là tần số tương đối của các hình quạt màu xanh, đỏ, tím, vàng. Kiểm tra tổng bốn tần số rồi chia trực tiếp từng tần số cho $150$ và nhân $100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: xanh $40\%$; đỏ $20\%$; tím $\approx 26,7\%$; vàng $\approx 13,3\%$.

Định hướng. Rút gọn mỗi phân số $\frac{m_i}{150}$ về dạng tối giản trước khi đổi phần trăm, tránh sai số cộng dồn khi làm tròn nhiều lần.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: xanh $40\%$; đỏ $20\%$; tím $\approx 26,7\%$; vàng $\approx 13,3\%$.

Định hướng. Đếm trực tiếp ba màu xanh, đỏ, tím, màu vàng còn lại suy ra bằng phần bù; sau đó đổi các tần số tương đối sang số đo cung để vẽ biểu đồ hình quạt tròn.

Vậy c) vẽ hình tròn chia bốn hình quạt $144°,72°,96°,48°$ như hình vẽ kèm theo.

Nhận xét. Vì tần số tương đối là ước lượng của xác suất, b) xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh ước lượng $\approx 40\%$, màu vàng ước lượng $\approx 13,3\%$.

Định hướng. Chia trực tiếp từng số liệu (triệu lao động) cho tổng $50,5$ rồi nhân $100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: nông-lâm-thuỷ sản $\approx 27,5\%$; công nghiệp-xây dựng $\approx 33,5\%$; dịch vụ $\approx 39,0\%$.

Định hướng. Đề đã cho sẵn $13,9+16,9+19,7=50,5$; tận dụng ngay đẳng thức này để tính hai lĩnh vực rồi suy lĩnh vực còn lại bằng phép trừ, tự kiểm tra được kết quả.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số $\frac{13,9}{50,5}$ với $10$ để đưa về phân số có tử và mẫu nguyên ($\frac{139}{505}$), tránh chia số thập phân trực tiếp trên giấy.

Vậy ba cách đều cho cùng bảng tần số tương đối: $\approx 27,5\%;33,5\%;39,0\%$.

Nhận xét. Số đo cung của biểu đồ hình quạt (câu b) là $\approx 99,1°;120,5°;140,4°$ (tổng $360°$); c) tỉ lệ lao động KHÔNG làm nông nghiệp, lâm nghiệp, thuỷ sản $=100\%-27,5\%\approx 72,5\%$.

Định hướng. Kiểm tra điều kiện bắt buộc của bảng tần số tương đối: tổng các tỉ lệ phải bằng đúng $100\%$.

Vậy a) bảng thống kê trên KHÔNG PHẢI là bảng tần số tương đối.

Định hướng. Xét xem 'mức tăng trưởng' của mỗi khu vực có phải là 'tỉ lệ đóng góp vào một tổng thể chung $100\%$' như tần số tương đối hay không, dựa trên ý nghĩa thực tế của đại lượng.

Vậy bảng thống kê trên KHÔNG PHẢI bảng tần số tương đối, đúng như kết luận ở Cách 1.

Nhận xét. b) Vì các cột không cần tổng bằng $100\%$, biểu đồ thích hợp là biểu đồ cột — hình vẽ kèm theo.