Chương VII. Tần số và tần số tương đối

Bài 24. Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang35–38 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.17★Trang 35— Đọc bảng tần số ghép nhóm và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm tương ứng

Bài 7.17 (trang 35). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết cân nặng của một số con voi khi vừa sinh ra (đơn vị tính là kg):

Cân nặng (kg)	$[110; 115)$	$[115; 120)$	$[120; 125)$	$[125; 130)$
Tần số	$8$	$15$	$17$	$10$

a) Đọc và giải thích dữ liệu cho bởi bảng tần số ghép nhóm trên.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm cho biết số cá thể (con voi) rơi vào từng khoảng cân nặng $[a; b)$ .
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất trong mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bảng tần số ghép nhóm với

4

nhóm cân nặng — dấu hiệu chỉ cần đọc đúng ý nghĩa rồi áp công thức

f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)

. Bẫy của đề là cỡ mẫu

n = 50

không cho sẵn mà phải tự cộng

8 + 15 + 17 + 10

trước khi chia.

1Cách 1. Cộng trực tiếp

n

rồi chia lần lượt

Định hướng. Cộng bốn tần số để tìm cỡ mẫu $n$ , rồi chia lần lượt từng tần số cho $n$ và nhân $100$ .

n = 8 + 15 + 17 + 10 = 50

f_{1} = \frac{8}{50} .100 (%) = 16%

f_{2} = \frac{15}{50} .100 (%) = 30%

f_{3} = \frac{17}{50} .100 (%) = 34%

f_{4} = \frac{10}{50} .100 (%) = 20%

Kiểm tổng:

16 + 30 + 34 + 20 = 100 (%)

Vậy b) tần số tương đối: $16%; 30%; 34%; 20%$ .

2Cách 2. Quy đồng mẫu số về

100

Định hướng. Vì $n = 50$ là ước của $100$ , quy đồng trực tiếp $\frac{m _{i}}{50}$ về mẫu $100$ để đọc luôn tỉ lệ phần trăm.

\frac{8}{50} = \frac{16}{100} = 16%

\frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30%

\frac{17}{50} = \frac{34}{100} = 34%

\frac{10}{50} = \frac{20}{100} = 20%

Vậy kết quả khớp Cách 1: $16%; 30%; 34%; 20%$ .

3Cách 3. Tính 3 nhóm rồi suy nhóm còn lại bằng phần bù

Định hướng. Tính trực tiếp $3$ nhóm, tần số tương đối nhóm còn lại suy ra bằng $100%$ trừ tổng ba nhóm kia — tránh một phép chia.

f_{1} = 16%; f_{2} = 30%; f_{4} = 20%

f_{3} = 100% - (16% + 30% + 20%) = 100% - 66% = 34%

Vậy $f_{3} = 34%$ , khớp với kết quả chia trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Nhóm $[120; 125)$ có tần số tương đối lớn nhất ( $34%$ ), tức đa số voi sơ sinh trong mẫu nặng từ $120$ kg đến dưới $125$ kg.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (quy đồng mẫu về

100

): với

n = 50

là ước đẹp của

100

, cách này tính nhẩm nhanh hơn chia số thập phân trực tiếp.

Đáp số. a) Có

8

voi nặng từ

110

kg đến dưới

115

kg;

15

voi từ

115

kg đến dưới

120

kg;

17

voi từ

120

kg đến dưới

125

kg;

10

voi từ

125

kg đến dưới

130

kg; tổng

50

voi được khảo sát. b) Tần số tương đối:

16%; 30%; 34%; 20%

Sai lầm thường gặp. Quên cộng

8 + 15 + 17 + 10

để tìm

n = 50

mà lấy nhầm cỡ mẫu là số nhóm (tức

n = 4

) khi tính tần số tương đối.

🚀 Mở rộng. Nếu khảo sát thêm một đàn voi khác có

20

voi sơ sinh nữa, phải cộng dồn tần số từng nhóm của hai đàn rồi tính lại toàn bộ bảng tần số tương đối với cỡ mẫu mới

n = 70

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.18★★Trang 35— Đọc bảng tần số tương đối ghép nhóm rồi suy ngược ra bảng tần số khi biết cỡ mẫu

Bài 7.18 (trang 35-36). Một nhóm học sinh lớp 9B thực hiện

20

lần đo hiệu điện thế và cường độ dòng điện để xác định công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:

Công suất (W)	$[72; 73)$	$[73; 74)$	$[74; 75)$	$[75; 76)$	$[76; 77)$
Tần số tương đối	$10%$	$20%$	$30%$	$25%$	$15%$

a) Đọc và giải thích thông tin của bảng tần số tương đối ghép nhóm trên.
b) Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả

20

lần đo của nhóm học sinh.

Kiến thức cần nhớ

Công suất $P = U . I$ (tính từ hiệu điện thế $U$ và cường độ dòng điện $I$ đo được ở mỗi lần đo) là đại lượng được thống kê trong bảng.
$m_{i} = f_{i} % \times n$ : suy tần số từ tần số tương đối khi biết cỡ mẫu $n$ .
Tổng các tần số suy ra luôn đúng bằng cỡ mẫu $n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bảng tần số TƯƠNG ĐỐI và hỏi ngược lại tần số thực khi biết cỡ mẫu

n = 20

— dấu hiệu phải dùng công thức ngược

m_{i} = f_{i} % \times n

. Bẫy của đề là dễ nhầm lẫn giữa đơn vị đo (hiệu điện thế, cường độ dòng điện) với đại lượng thực sự được thống kê trong bảng là CÔNG SUẤT (đại lượng tính được từ hai phép đo kia), không phải đếm riêng hiệu điện thế hay cường độ.

1Cách 1. Nhân trực tiếp từng tỉ lệ với

20

Định hướng. Áp dụng công thức $m_{i} = f_{i} % \times n$ cho cả $5$ nhóm với $n = 20$ .

m_{1} = 10% \times 20 = 2

m_{2} = 20% \times 20 = 4

m_{3} = 30% \times 20 = 6

m_{4} = 25% \times 20 = 5

m_{5} = 15% \times 20 = 3

Kiểm tổng:

2 + 4 + 6 + 5 + 3 = 20

Vậy b) bảng tần số ghép nhóm: $2; 4; 6; 5; 3$ (đơn vị: lần đo).

2Cách 2. Đổi phần trăm sang phân số tối giản trước khi nhân

Định hướng. Viết mỗi tỉ lệ dưới dạng phân số tối giản, rồi nhân với $20$ — phép tính gọn hơn nhân số thập phân trực tiếp.

10% = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{10} \times 20 = 2

20% = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{5} \times 20 = 4

30% = \frac{3}{10} \Rightarrow \frac{3}{10} \times 20 = 6

25% = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{4} \times 20 = 5

15% = \frac{3}{20} \Rightarrow \frac{3}{20} \times 20 = 3

Vậy kết quả khớp Cách 1: $2; 4; 6; 5; 3$ .

3Cách 3. Tính 4 nhóm rồi suy nhóm còn lại bằng phần bù

Định hướng. Tính trực tiếp $4$ nhóm, tần số nhóm cuối suy ra bằng $20$ trừ tổng bốn nhóm kia — tự kiểm tra luôn kết quả.

m_{1} = 2; m_{2} = 4; m_{3} = 6; m_{4} = 5

m_{5} = 20 - (2 + 4 + 6 + 5) = 20 - 17 = 3

Vậy $m_{5} = 3$ , khớp với kết quả nhân trực tiếp $15% \times 20$ ở Cách 1.

Nhận xét. Nhóm $[74; 75)$ có tần số lớn nhất ( $6$ lần), tức công suất đo được của quạt điện tập trung nhiều nhất quanh $74$ – $75$ W.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: chỉ cần

4

phép nhân, tần số nhóm cuối suy ra bằng phép trừ vừa nhanh vừa tự kiểm tra tổng đúng bằng

20

Đáp số. a)

10%

số lần đo cho công suất từ

72

W đến dưới

73

20%

từ

73

W đến dưới

74

30%

từ

74

W đến dưới

75

W (tỉ lệ cao nhất);

25%

từ

75

W đến dưới

76

15%

từ

76

W đến dưới

77

W. b) Bảng tần số ghép nhóm:

2; 4; 6; 5; 3

(tổng

20

lần đo).

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn đơn vị của bảng là hiệu điện thế (

V

) hay cường độ dòng điện (

A

) thay vì công suất (

W

) — đại lượng thực sự được thống kê, tính từ tích của hai phép đo kia.

🚀 Mở rộng. Nếu nhóm học sinh đo thêm

10

lần nữa với cùng chiếc quạt, tần số mỗi nhóm sẽ thay đổi theo dữ liệu mới nhưng tần số tương đối (tỉ lệ

%

) có thể không đổi nếu tỉ lệ phân bố giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.19★★★Trang 36— Lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm từ dãy số liệu dài, nhóm theo tiêu chuẩn y khoa cho trước (nhóm cuối là nửa khoảng vô hạn)

Bài 7.19 (trang 36). Một phòng khám đo và ghi lại huyết áp tâm thu (đơn vị tính là mmHg) của một số người đến khám bệnh thu được kết quả như sau:

118; 100; 107; 135; 127; 158; 179; 95; 127; 130; 135; 116; 182; 166; 164; 99; 112; 129; 134; 144; 158; 97; 175; 110; 99; 128; 134; 192; 149; 135; 90.

Theo Hiệp hội Tim mạch Hoa Kỳ: người bình thường có huyết áp tâm thu từ

90

mmHg đến dưới

120

mmHg; tiền tăng huyết áp có huyết áp tâm thu từ

120

mmHg đến dưới

140

mmHg; tăng huyết áp có huyết áp tâm thu từ

140

mmHg trở lên.
Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dãy số liệu trên theo các mức bệnh huyết áp.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm $[a; b)$ gồm các giá trị $x$ thoả $a \leq x < b$ ; riêng nhóm "từ $140$ trở lên" là nửa khoảng $[140; + \infty)$ , không có biên phải hữu hạn.
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số (ở đây $n = 31$ người).
Phân loại y khoa dùng bảng tần số ghép nhóm để thống kê số người thuộc từng mức huyết áp.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.20★Trang 36— Đọc biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột (tổ chức đồ) rồi lập lại bảng tương ứng

Bài 7.20 (trang 36). Một công ty quản lí phần mềm ứng dụng trực tuyến đã thống kê tỉ lệ người dùng phần mềm này theo dung lượng bộ nhớ dành cho lưu trữ ảnh và biểu diễn dưới dạng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột sau:
a) Đọc và giải thích thông tin về nhóm dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

Kiến thức cần nhớ

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột: chiều cao mỗi cột LIỀN NHAU bằng tần số tương đối của nhóm số liệu.
Đọc biểu đồ là đối chiếu đúng nhãn số trên đỉnh cột với nhóm ghi trên trục hoành.
Tổng tần số tương đối của mọi nhóm luôn bằng $100%$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.21★★Trang 36— Đọc biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng rồi lập lại bảng tương ứng

Bài 7.21 (trang 36). Cho biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng sau về mức lương (đơn vị: triệu đồng) của công nhân công ty A:
a) Đọc và giải thích thông tin về nhóm dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

Kiến thức cần nhớ

Biểu đồ dạng đoạn thẳng: mỗi điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ với $x_{i}$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Đọc biểu đồ dạng đoạn thẳng cần suy ngược từ giá trị đại diện $x_{i}$ ra đúng nhóm gốc $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tổng tần số tương đối của mọi nhóm luôn bằng $100%$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.22★★Trang 37— Tính tần số tương đối rồi vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột

Bài 7.22 (trang 37). Bảng thống kê sau cho biết thời gian học tiếng Anh (đơn vị là năm, tính từ lúc bắt đầu học tiếng Anh đến thời điểm khảo sát) của một số học sinh lớp 9:

Thời gian (năm)	$[0; 2)$	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Số học sinh	$8$	$12$	$15$	$10$	$5$

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.
Ba giai đoạn dựng tổ chức đồ: dựng trục — dựng cột liền nhau cao bằng tần số tương đối — ghi chú giải và tiêu đề.
Tổng tần số tương đối của bảng luôn bằng $100%$ , dùng để tự kiểm tra hình đã vẽ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.23★★Trang 37— Tính tần số tương đối rồi vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng

Bài 7.23 (trang 37). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy marathon

42

km (đơn vị thời gian là giờ) qua

20

lần chạy:

Thời gian (giờ)	$[6; 6, 5)$	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.

Kiến thức cần nhớ

$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.
Giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ ; các nhóm rộng $0, 5$ giờ nên giá trị đại diện liên tiếp hơn kém nhau $0, 5$ .
Biểu đồ dạng đoạn thẳng: đánh dấu điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ rồi nối các điểm liên tiếp.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.24★★Trang 38— Vẽ cả hai dạng biểu đồ (cột và đoạn thẳng) từ cùng một bảng tần số tương đối cho trước

Bài 7.24 (trang 38). Người ta kiểm tra khối lượng (đơn vị tính là kg) của một số bao xi măng trước khi xuất xưởng và thu được bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:

Khối lượng (kg)	$[48, 5; 49)$	$[49; 49, 5)$	$[49, 5; 50)$	$[50; 50, 5)$	$[50, 5; 51)$
Tỉ lệ	$5%$	$10%$	$35%$	$40%$	$10%$

Vẽ các biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột và dạng đoạn thẳng biểu diễn bảng thống kê trên.

Kiến thức cần nhớ

Biểu đồ dạng cột: các cột LIỀN NHAU, chiều cao bằng tần số tương đối của nhóm.
Biểu đồ dạng đoạn thẳng: đánh dấu điểm tại giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ rồi nối các điểm liên tiếp.
Cùng một bảng tần số tương đối có thể vẽ được cả hai dạng biểu đồ, số liệu tại mỗi nhóm luôn khớp nhau giữa hai dạng.