Chương VII. Tần số và tần số tương đối

Bài 24. Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm và biểu đồ

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 46— Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm từ dữ liệu đã đếm sẵn theo nhóm

Hoạt động 1 (trang 46). Giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã thu được kết quả như sau: Thời gian tự học dưới 1 giờ có 10 bạn; từ 1 giờ đến dưới 2 giờ có 15 bạn; từ 2 giờ đến dưới 3 giờ có 8 bạn; từ 3 giờ đến dưới 4 giờ có 7 bạn. Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thiện các bảng sau vào vở:

Thời gian (giờ)	$[0; 1)$	$[1; 2)$	$[2; 3)$	$[3; 4)$
Tần số	?	?	?	?

Bảng 7.1

Thời gian (giờ)	$[0; 1)$	$[1; 2)$	$[2; 3)$	$[3; 4)$
Tần số tương đối	?	?	?	?

Bảng 7.2

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm liệt kê tần số $m_{i}$ (số giá trị) của từng nhóm số liệu $[a_{i}; a_{i + 1})$ .
Tần số tương đối $f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ , trong đó $n = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k}$ là tổng tần số (cỡ mẫu).
Tổng tất cả các tần số tương đối của một bảng luôn bằng $100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã đếm sẵn số bạn theo từng nhóm thời gian — dấu hiệu chỉ cần điền đúng tần số vào Bảng 7.1, rồi tính tần số tương đối theo công thức

f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)

để điền Bảng 7.2. Vì các nhóm liền kề dạng nửa khoảng

[a; b)

nên mỗi bạn chỉ thuộc đúng một nhóm, không trùng không sót. Bẫy của đề là dễ quên nhân

100

khi tính tần số tương đối, hoặc quên kiểm tổng tần số tương đối phải bằng

100%

1Cách 1. Tính trực tiếp từng tần số tương đối

Định hướng. Điền tần số vào Bảng 7.1 theo đúng số liệu đề cho, cộng lại để tìm $n$ , rồi lần lượt tính $f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ cho cả $4$ nhóm.

Bảng 7.1:

[0; 1)

10

;

[1; 2)

15

;

[2; 3)

8

;

[3; 4)

7

n = 10 + 15 + 8 + 7 = 40

f_{1} = \frac{10}{40} .100 (%) = 25%

f_{2} = \frac{15}{40} .100 (%) = 37, 5%

f_{3} = \frac{8}{40} .100 (%) = 20%

f_{4} = \frac{7}{40} .100 (%) = 17, 5%

Kiểm tổng:

25 + 37, 5 + 20 + 17, 5 = 100 (%)

Vậy Bảng 7.2 (tần số tương đối): $25%$ ; $37, 5%$ ; $20%$ ; $17, 5%$ .

2Cách 2. Chỉ chia 3 lần, nhóm cuối lấy

100%

trừ đi

Định hướng. Tính $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ bằng công thức như Cách 1, còn $f_{4}$ suy ra từ $100%$ trừ tổng ba tần số tương đối kia — tránh một phép chia và giảm khả năng sai số làm tròn ở nhóm cuối.

f_{1} = \frac{10}{40} .100 (%) = 25%

f_{2} = \frac{15}{40} .100 (%) = 37, 5%

f_{3} = \frac{8}{40} .100 (%) = 20%

f_{4} = 100% - (25% + 37, 5% + 20%) = 100% - 82, 5% = 17, 5%

Vậy $f_{4} = 17, 5%$ , khớp với kết quả chia trực tiếp ở Cách 1.

3Cách 3. Rút gọn phân số trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Viết tỉ số $\frac{m _{i}}{n}$ ở dạng phân số tối giản trước, việc đổi ra phần trăm khi đó chỉ còn là một phép nhân đơn giản — tính nhẩm nhanh và ít sai số hơn chia số thập phân trực tiếp.

\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 25%

\frac{15}{40} = \frac{3}{8} = 37, 5%

\frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 20%

\frac{7}{40} = 17, 5%

(phân số

\frac{7}{40}

không rút gọn được, đổi trực tiếp)

Vậy kết quả trùng khớp cả ba cách: $25%$ ; $37, 5%$ ; $20%$ ; $17, 5%$ .

Nhận xét. Rút gọn phân số trước khi đổi phần trăm chỉ nhanh khi mẫu số có nhiều ước chung với tử số; với $\frac{7}{40}$ (không rút gọn được) thì quay lại chia thập phân như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: chỉ cần tính

3

trong

4

tần số tương đối rồi lấy

100%

trừ đi, tránh một phép chia và giảm sai số làm tròn ở nhóm cuối.

Đáp số. Bảng 7.1 (tần số):

10

;

15

;

8

;

7

(tổng

n = 40

). Bảng 7.2 (tần số tương đối):

25%

;

37, 5%

;

20%

;

17, 5%

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

100

khi tính tần số tương đối (ghi kết quả dạng

0, 25

thay vì

25%

); hoặc cộng tổng tần số tương đối ra khác

100%

do làm tròn sai ở một nhóm mà không phát hiện.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn vị nhóm thời gian từ giờ sang phút (mỗi nhóm rộng

60

phút), tần số và tần số tương đối của từng nhóm không đổi, chỉ nhãn trên bảng đổi theo đơn vị mới.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 1★★Trang 47— Lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm từ dãy số liệu rời rạc khá dài

Ví dụ 1 (trang 47). Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9C cho kết quả như sau:
156, 157, 164, 166, 166, 165, 157, 154, 155, 158, 160, 163, 163, 161, 162, 159, 159, 160, 160, 160, 159, 158, 160, 160, 158, 163, 162, 162, 162, 161, 162, 161, 163, 161, 163, 161, 164, 166, 165, 165.
Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm cho mẫu số liệu này với các nhóm

[155; 158)

[158; 161)

[161; 164)

[164; 167)

Kiến thức cần nhớ

Nhóm số liệu $[a; b)$ gồm các giá trị $x$ thoả $a \leq x < b$ ; giá trị đúng bằng $b$ thuộc nhóm liền sau, không thuộc nhóm này.
Tần số $m_{i}$ của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là số giá trị của mẫu số liệu thoả $a_{i} \leq x < a_{i + 1}$ .
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.

🧠 Phân tích tư duy

Dãy có tới

40

số liệu và các nhóm chỉ cách nhau

3

cm nên số liệu dễ bị xếp nhầm nhóm khi đếm bằng mắt — dấu hiệu cần một cách đếm có kiểm soát (sắp xếp hoặc vạch kiểm đếm) thay vì rà từng số một cách tự do. Bẫy lớn nhất của đề là các giá trị đúng bằng biên nhóm (

158

161

164

) phải xếp vào nhóm liền SAU (vì nhóm viết dạng

[a; b)

), rất dễ bị xếp nhầm vào nhóm trước.

1Cách 1. Sắp xếp tăng dần rồi đếm từng cụm

Định hướng. Viết lại dãy $40$ số liệu theo thứ tự không giảm, khi đó các số cùng nhóm đứng liền nhau — chỉ cần đếm độ dài mỗi cụm.

Dãy đã sắp xếp tăng dần:

154, 155, 156, 157, 157, 158, 158, 158, 159, 159, 159, 160, 160, 160, 160, 160, 160, 161, 161, 161, 161, 161, 162, 162, 162, 162, 162, 163, 163, 163, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 165, 166, 166, 166

Cụm

[150; 158)

(tức nhỏ hơn

158

154, 155, 156, 157, 157

—

5

số
Cụm

[158; 161)

158, 158, 158, 159, 159, 159, 160, 160, 160, 160, 160, 160

—

12

số
Cụm

[161; 164)

161, 161, 161, 161, 161, 162, 162, 162, 162, 162, 163, 163, 163, 163, 163

—

15

số
Cụm

[164; 167)

164, 164, 165, 165, 165, 166, 166, 166

—

8

số
Kiểm tổng:

5 + 12 + 15 + 8 = 40

Vậy tần số bốn nhóm lần lượt là $5; 12; 15; 8$ .

2Cách 2. Vạch kiểm đếm theo 4 cột nhóm

Định hướng. Duyệt dãy $40$ số liệu đúng một lượt theo đúng thứ tự đề cho, mỗi số gặp được gạch một vạch vào đúng cột nhóm của nó — không cần viết lại cả dãy đã sắp xếp như Cách 1.

Nhóm

[150; 158)

: |||| (

5

vạch)
Nhóm

[158; 161)

: |||| |||| || (

12

vạch)
Nhóm

[161; 164)

: |||| |||| |||| (

15

vạch)
Nhóm

[164; 167)

: |||| ||| (

8

vạch)
Tổng vạch:

5 + 12 + 15 + 8 = 40

, khớp Cách 1

Vậy tần số bốn nhóm khớp với Cách 1: $5; 12; 15; 8$ ; tổng $n = 40$ .

3Cách 3. Đếm trực tiếp theo điều kiện bất đẳng thức kép của từng nhóm

Định hướng. Với mỗi nhóm $[a; b)$ , rà toàn bộ dãy gốc (không cần sắp xếp lại) và chỉ đếm những số thoả $a \leq x$ và $x$ nhỏ hơn $b$ — dùng làm cách đối chiếu độc lập với Cách 1 và Cách 2.

Nhóm

[150; 158)

156, 157, 157, 154, 155

—

5

số
Nhóm

[158; 161)

158, 160, 159, 159, 160, 160, 160, 159, 158, 160, 160, 158

—

12

số
Nhóm

[161; 164)

163, 163, 161, 162, 163, 162, 162, 162, 161, 162, 161, 163, 161, 163, 161

—

15

số
Nhóm

[164; 167)

164, 166, 166, 165, 164, 166, 165, 165

—

8

số

Vậy ba cách đều cho cùng kết quả tần số: $5; 12; 15; 8$ — số liệu đáng tin cậy vì đã đối chiếu độc lập ba lần.

Nhận xét. Khi dãy số liệu dài, luôn nên kiểm tra bằng ít nhất hai cách đếm khác nhau trước khi kết luận, tránh sai sót một vài đơn vị mà không phát hiện.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (vạch kiểm đếm): chỉ duyệt dãy đúng một lượt, mỗi số gạch đúng một vạch vào đúng cột nhóm, nhanh và khó bỏ sót hơn việc viết lại cả dãy đã sắp xếp như Cách 1.

Đáp số. Bảng tần số ghép nhóm:

[150; 158)

5

;

[158; 161)

12

;

[161; 164)

15

;

[164; 167)

8

(

n = 40

). Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

12, 5%

;

30%

;

37, 5%

;

20%

Sai lầm thường gặp. Xếp nhầm các giá trị đúng bằng biên nhóm (

158

161

164

) vào nhóm TRƯỚC thay vì nhóm SAU, do đọc nhầm nửa khoảng

[a; b)

thành khoảng đóng cả hai đầu

[a; b]

🚀 Mở rộng. Nếu gộp

4

nhóm rộng

3

cm thành

2

nhóm rộng

6

cm (

[155; 161)

và

[161; 167)

), tần số mỗi nhóm mới bằng tổng tần số hai nhóm cũ gộp lại, nhưng bảng sẽ mất bớt độ chi tiết so với cách chia

4

nhóm ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 48— Đọc bảng tần số ghép nhóm và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm tương ứng

Luyện tập 1 (trang 48). Cho bảng tần số ghép nhóm về tuổi thọ của một số ong mật cái như sau:

Tuổi thọ (ngày)	$[30; 40)$	$[40; 50)$	$[50; 60)$
Tần số	$12$	$23$	$15$

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê này.

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm cho biết số cá thể rơi vào từng khoảng $[a; b)$ của đại lượng đang xét.
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số (cỡ mẫu).
Đọc bảng tần số ghép nhóm là nêu đúng ý nghĩa: có bao nhiêu cá thể có số liệu thuộc mỗi nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bảng tần số ghép nhóm với

3

nhóm tuổi thọ — dấu hiệu chỉ cần đọc đúng ý nghĩa từng số liệu rồi tính tần số tương đối bằng công thức đã học. Bẫy của đề là cỡ mẫu

n

không cho sẵn mà phải tự cộng

12 + 23 + 15

trước khi chia, dễ quên bước này nếu vội tính luôn tỉ lệ.

1Cách 1. Cộng trực tiếp

n

rồi chia lần lượt

Định hướng. Tính cỡ mẫu $n$ bằng tổng ba tần số, rồi chia lần lượt từng tần số cho $n$ và nhân $100$ .

n = 12 + 23 + 15 = 50

f_{1} = \frac{12}{50} .100 (%) = 24%

f_{2} = \frac{23}{50} .100 (%) = 46%

f_{3} = \frac{15}{50} .100 (%) = 30%

Kiểm tổng:

24 + 46 + 30 = 100 (%)

Vậy b) tần số tương đối lần lượt là $24%$ ; $46%$ ; $30%$ .

2Cách 2. Ước lượng nhanh rồi tính chính xác để đối chiếu

Định hướng. Nhận xét nhóm $[40; 50)$ có tần số ( $23$ ) gần bằng một nửa cỡ mẫu ( $n = 50$ ) nên ước lượng trước tỉ lệ khoảng $46%$ , sau đó tính chính xác để kiểm tra ước lượng có hợp lí không.

Ước lượng:

23

gần

\frac{50}{2} = 25

nên

f_{2}

gần

50%

, hơi nhỏ hơn một chút
Tính chính xác:

f_{2} = \frac{23}{50} .100 (%) = 46%

— khớp với ước lượng ban đầu
Tương tự

f_{1} = \frac{12}{50} .100 (%) = 24%

f_{3} = \frac{15}{50} .100 (%) = 30%

Vậy kết quả chính xác trùng khớp với ước lượng, đáng tin cậy: $24%$ ; $46%$ ; $30%$ .

3Cách 3. Rút gọn phân số

\frac{m _{i}}{n}

trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Đưa mỗi tỉ số về phân số tối giản với mẫu số $50$ trước, việc đổi ra phần trăm khi đó chỉ còn một phép nhân đơn giản.

\frac{12}{50} = \frac{24}{100} = 24%

\frac{23}{50} = \frac{46}{100} = 46%

\frac{15}{50} = \frac{30}{100} = 30%

Vậy kết quả trùng khớp cả ba cách: $24%$ ; $46%$ ; $30%$ .

Nhận xét. Vì mẫu số $50$ là ước của $100$ nên cách quy đồng về mẫu $100$ ở Cách 3 tính nhẩm rất nhanh, không phải cách nào cũng thuận lợi như vậy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 (quy đồng mẫu về

100

) nhanh nhất khi đi thi vì mẫu số

50

là ước của

100

; gặp mẫu số lẻ không đẹp thì quay lại Cách 1 chia thập phân trực tiếp.

Đáp số. a) Có

12

con ong tuổi thọ từ

30

đến dưới

40

ngày;

23

con từ

40

đến dưới

50

ngày;

15

con từ

50

đến dưới

60

ngày; tổng

50

con ong được khảo sát. b) Tần số tương đối:

[30; 40)

24%

;

[40; 50)

46%

;

[50; 60)

30%

Sai lầm thường gặp. Quên cộng

12 + 23 + 15

để tìm

n

mà lấy nhầm

n

bằng số nhóm (tức

n = 3

) hoặc một giá trị tuỳ ý khác khi tính tần số tương đối.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm có

10

con ong tuổi thọ dưới

30

ngày, phải thêm nhóm

[20; 30)

vào bảng và tính lại toàn bộ

n = 60

, kéo theo mọi tần số tương đối cũ đều thay đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 2★★Trang 48— Lập bảng tần số và tần số tương đối ghép nhóm từ dữ liệu định tính (mức chất lượng) ứng với khoảng số liệu định lượng cho trước

Ví dụ 2 (trang 48). Chỉ số chất lượng không khí (AQI) cho biết tình trạng chất lượng không khí và mức độ ảnh hưởng đến sức khoẻ con người. Chất lượng không khí là Tốt nếu AQI từ

0

đến dưới

50

; là Trung bình nếu AQI từ

50

đến dưới

100

; là Kém nếu AQI từ

100

đến dưới

150

; là Xấu nếu AQI từ

150

đến dưới

200

. Chất lượng không khí tại Hà Nội từ ngày 4-2-2023 đến 5-3-2023 được cho như sau:
Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Kém, Kém, Kém, Kém, Xấu, Xấu, Kém, Xấu, Xấu, Xấu, Kém, Kém, Kém, Kém, Kém, Xấu, Kém, Xấu, Xấu, Xấu, Xấu, Xấu. (Theo iqair.com)
Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm theo chỉ số AQI cho dãy dữ liệu trên.

Kiến thức cần nhớ

Khi dữ liệu gốc là nhãn định tính ứng với một khoảng số liệu định lượng cho trước, bảng tần số ghép nhóm lập bằng cách đếm số lần xuất hiện mỗi nhãn.
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.
Tổng tần số tương đối của mọi nhóm luôn xấp xỉ $100%$ (có thể lệch chút ít do làm tròn).

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu gốc là các nhãn định tính ("Trung bình", "Kém", "Xấu") chứ không phải số AQI cụ thể — dấu hiệu là phải đếm số lần xuất hiện mỗi nhãn rồi gắn với đúng khoảng AQI tương ứng theo định nghĩa đề cho, không được tự suy luận khoảng khác. Bẫy của đề là chuỗi

30

ngày liệt kê rất dài, các nhãn "Kém" và "Xấu" xen kẽ nhau liên tục nên dễ đếm sót nếu chỉ đọc lướt.

1Cách 1. Vạch kiểm đếm 3 cột theo đúng thứ tự 30 ngày

Định hướng. Duyệt đúng một lượt $30$ nhãn theo thứ tự ngày, mỗi nhãn gạch một vạch vào đúng cột mức chất lượng của nó.

Trung bình: |||| |||| (8) vạch
Kém: |||| |||| | (11) vạch
Xấu: |||| |||| | (11) vạch
Tổng vạch:

8 + 11 + 11 = 30

, đúng bằng số ngày khảo sát

Vậy tần số: Trung bình ( $50 \leq AQI < 100$ ): $8$ ngày; Kém ( $100 \leq AQI < 150$ ): $11$ ngày; Xấu ( $150 \leq AQI < 200$ ): $11$ ngày.

2Cách 2. Gộp các cụm nhãn liền nhau rồi cộng dồn

Định hướng. Quan sát dãy $30$ ngày, gộp các ngày liên tiếp có cùng nhãn thành từng cụm, rồi cộng độ dài các cụm cùng nhãn lại với nhau — tận dụng việc nhiều ngày liền kề có cùng chất lượng không khí.

Các cụm theo thứ tự: Trung bình (cụm dài

8

) — Kém (cụm dài

4

) — Xấu (cụm dài

2

) — Kém (cụm dài

1

) — Xấu (cụm dài

3

) — Kém (cụm dài

5

) — Xấu (cụm dài

1

) — Kém (cụm dài

1

) — Xấu (cụm dài

5

)
Cộng dồn Trung bình:

8

Cộng dồn Kém:

4 + 1 + 5 + 1 = 11

Cộng dồn Xấu:

2 + 3 + 1 + 5 = 11

Vậy kết quả khớp Cách 1: Trung bình $8$ ; Kém $11$ ; Xấu $11$ .

3Cách 3. Đếm 2 nhãn rồi suy ra nhãn còn lại bằng phần bù

Định hướng. Chỉ cần đếm trực tiếp số ngày "Trung bình" và số ngày "Xấu" (hai nhãn dễ nhận ra vì "Trung bình" tập trung ở đầu dãy, "Xấu" xuất hiện nhiều ở cuối dãy), số ngày "Kém" suy ra bằng $n$ trừ hai số đã đếm — giảm một lượt đếm dễ sai.

Đếm trực tiếp Trung bình:

8

ngày
Đếm trực tiếp Xấu:

11

ngày
Suy ra Kém:

30 - 8 - 11 = 11

ngày

Vậy ba cách đều cho cùng bảng tần số ghép nhóm: Trung bình $8$ ; Kém $11$ ; Xấu $11$ .

Nhận xét. $\frac{8}{30} .100 (%) \approx 26, 7%$ theo quy tắc làm tròn thông thường; sách giáo khoa trình bày $\approx 26, 6%$ (làm tròn xuống), cả hai đều là giá trị gần đúng hợp lí của $8/30$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 (vạch kiểm đếm): duyệt đúng một lượt

30

nhãn, khó bỏ sót hơn việc phải nhận diện các cụm liên tiếp như Cách 2.

Đáp số. Bảng tần số ghép nhóm:

[50; 100)

8

;

[100; 150)

11

;

[150; 200)

11

(

n = 30

). Bảng tần số tương đối ghép nhóm:

[50; 100)

\approx 26, 6%

;

[100; 150)

\approx 36, 7%

;

[150; 200)

\approx 36, 7%

Sai lầm thường gặp. Đếm sót một vài ngày "Kém" hoặc "Xấu" do hai nhãn này xen kẽ liên tục ở nửa sau của dãy, dễ nhầm lẫn nếu không dùng vạch kiểm đếm hoặc không đối chiếu bằng phần bù.

🚀 Mở rộng. Nếu bổ sung thêm những ngày chất lượng không khí ở mức "Tốt" (AQI từ

0

đến dưới

50

), bảng tần số ghép nhóm sẽ có thêm một nhóm mới

[0; 50)

và cỡ mẫu

n

tăng lên tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 48— Lập bảng tần số ghép nhóm từ dãy số liệu thập phân, biên nhóm trùng với một vài giá trị của dãy

Luyện tập 2 (trang 48-49). Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợp phản ánh các mặt thu nhập, sức khoẻ, giáo dục của người dân trong một quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được chia thành bốn nhóm theo HDI: Nhóm 1 (rất cao) có HDI từ

0, 8

trở lên; Nhóm 2 (cao) có HDI từ

0, 7

đến dưới

0, 8

; Nhóm 3 (trung bình) có HDI từ

0, 55

đến dưới

0, 7

; Nhóm 4 (thấp) có HDI dưới

0, 55

. Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau:

0, 939; 0, 829; 0, 803; 0, 8; 0, 705; 0, 703; 0, 699; 0, 607; 0, 607; 0, 593; 0, 585.

Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm sau:

Chỉ số HDI	$[0; 0, 55)$	$[0, 55; 0, 7)$	$[0, 7; 0, 8)$	$[0, 8; 1, 0)$
Tần số	?	?	?	?

Kiến thức cần nhớ

Nhóm $[a; b)$ gồm các giá trị $x$ thoả $a \leq x < b$ ; giá trị đúng bằng $b$ thuộc nhóm liền sau, giá trị đúng bằng $a$ thuộc chính nhóm này.
Không có quốc gia nào trong mẫu này thuộc nhóm $4$ (HDI dưới $0, 55$ ) vì giá trị nhỏ nhất của dãy là $0, 585$ .
Tổng các tần số của bảng luôn bằng cỡ mẫu — ở đây là $11$ quốc gia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

4

nhóm HDI cố định và một dãy

11

số thập phân — dấu hiệu chỉ cần xếp từng số vào đúng nhóm rồi đếm. Bẫy lớn nhất là giá trị

0, 8

trùng đúng biên giữa nhóm

[0, 7; 0, 8)

và

[0, 8; 1, 0)

: vì nhóm viết dạng nửa khoảng nên

0, 8

phải xếp vào nhóm

[0, 8; 1, 0)

(nhóm có biên trái đúng bằng nó), không phải nhóm

[0, 7; 0, 8)

1Cách 1. Sắp xếp tăng dần rồi đếm từng cụm

Định hướng. Viết lại $11$ số liệu theo thứ tự tăng dần, các số cùng nhóm sẽ đứng liền nhau.

Dãy tăng dần:

0, 585; 0, 593; 0, 607; 0, 607; 0, 699; 0, 703; 0, 705; 0, 8; 0, 803; 0, 829; 0, 939

Nhóm

[0; 0, 55)

: không có giá trị nào —

0

Nhóm

[0, 55; 0, 7)

0, 585; 0, 593; 0, 607; 0, 607

—

4

Nhóm

[0, 7; 0, 8)

0, 699; 0, 703; 0, 705

—

3

Nhóm

[0, 8; 1, 0)

0, 8; 0, 803; 0, 829; 0, 939

—

4

Kiểm tổng:

0 + 4 + 3 + 4 = 11

Vậy tần số bốn nhóm lần lượt là $0; 4; 3; 4$ .

2Cách 2. Vạch kiểm đếm theo đúng thứ tự đề cho

Định hướng. Duyệt $11$ số liệu đúng một lượt theo thứ tự đề cho, mỗi số gạch một vạch vào đúng cột nhóm — chú ý riêng số $0, 8$ phải gạch vào nhóm $[0, 8; 1, 0)$ .

0, 939 \to [0, 8; 1, 0)

;

0, 829 \to [0, 8; 1, 0)

;

0, 803 \to [0, 8; 1, 0)

;

0, 8 \to [0, 8; 1, 0)

;

0, 705 \to [0, 7; 0, 8)

;

0, 703 \to [0, 7; 0, 8)

;

0, 699 \to [0, 7; 0, 8)

;

0, 607 \to [0, 55; 0, 7)

;

0, 607 \to [0, 55; 0, 7)

;

0, 593 \to [0, 55; 0, 7)

;

0, 585 \to [0, 55; 0, 7)

Đếm vạch:

[0; 0, 55)

0

;

[0, 55; 0, 7)

4

;

[0, 7; 0, 8)

3

;

[0, 8; 1, 0)

4

Vậy kết quả khớp Cách 1: $0; 4; 3; 4$ .

3Cách 3. So sánh trực tiếp từng giá trị với các mốc phân nhóm

Định hướng. Với mỗi giá trị, so sánh lần lượt với ba mốc $0, 55$ ; $0, 7$ ; $0, 8$ để xác định đúng nhóm mà không cần sắp xếp hay gạch vạch — dùng làm cách đối chiếu độc lập cho những số dễ nhầm như $0, 8$ .

0, 8 \geq 0, 8 \Rightarrow

thuộc

[0, 8; 1, 0)

(không thuộc

[0, 7; 0, 8)

vì đã đạt đúng mốc trên)

0, 705; 0, 703; 0, 699

đều nhỏ hơn

0, 8

và không nhỏ hơn

0, 7 \Rightarrow

thuộc

[0, 7; 0, 8)

0, 607; 0, 607; 0, 593; 0, 585

đều nhỏ hơn

0, 7

và không nhỏ hơn

0, 55 \Rightarrow

thuộc

[0, 55; 0, 7)

0, 939; 0, 829; 0, 803

đều không nhỏ hơn

0, 8 \Rightarrow

thuộc

[0, 8; 1, 0)

Vậy ba cách đều cho cùng kết quả: $0; 4; 3; 4$ — số liệu $0, 8$ chắc chắn thuộc nhóm rất cao $[0, 8; 1, 0)$ .

Nhận xét. Mọi bẫy trong bài này đều nằm ở các giá trị trùng đúng biên nhóm; luôn kiểm tra kĩ dấu "lớn hơn hoặc bằng" ( $\geq$ ) ở biên trái mỗi nhóm nửa khoảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (sắp xếp tăng dần): một khi đã có dãy tăng dần, việc xác định đường biên giữa các nhóm rất trực quan, khó nhầm hơn so với việc so sánh từng số một cách rời rạc như Cách 3.

Đáp số. Bảng tần số ghép nhóm:

[0; 0, 55)

0

;

[0, 55; 0, 7)

4

;

[0, 7; 0, 8)

3

;

[0, 8; 1, 0)

4

Sai lầm thường gặp. Xếp nhầm quốc gia có HDI đúng bằng

0, 8

vào nhóm

[0, 7; 0, 8)

thay vì nhóm

[0, 8; 1, 0)

, do không để ý nhóm viết theo nửa khoảng

[a; b)

🚀 Mở rộng. Nếu năm sau có thêm quốc gia mới với HDI

0, 52

(thuộc nhóm 4 — thấp), bảng tần số sẽ có thêm giá trị khác

0

ở nhóm

[0; 0, 55)

và cỡ mẫu tăng lên

12

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Hoạt động 2★Trang 49— Đọc biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột (tổ chức đồ) và lập lại bảng thống kê tương ứng

Hoạt động 2 (trang 49). Biểu đồ Hình 7.17 cho biết tỉ lệ cân nặng của

62

trẻ sơ sinh tại một bệnh viện.
a) Đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
b) Lập bảng thống kê cho số liệu được biểu diễn trên biểu đồ. Bảng thống kê đó có phải là bảng tần số tương đối ghép nhóm không?

Kiến thức cần nhớ

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột là biểu đồ gồm các cột LIỀN NHAU biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm; chiều cao mỗi cột bằng tần số tương đối của nhóm số liệu.
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột còn gọi là tổ chức đồ (histogram).
Nếu thay tần số tương đối bằng tần số (số trẻ) thì ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu đồ có các cột LIỀN NHAU (không có khe hở) và trục tung ghi "Tần số tương đối" với đơn vị

%

— đây chính là dấu hiệu nhận ra biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột (còn gọi là tổ chức đồ). Việc đọc biểu đồ chỉ cần đối chiếu chiều cao mỗi cột với nhãn số ghi ngay trên đỉnh cột và với nhóm cân nặng ghi trên trục hoành. Bẫy của đề là dễ nhầm biểu đồ CỘT LIỀN NHAU của số liệu ghép nhóm với biểu đồ cột CÁCH NHAU dùng cho dữ liệu định tính rời rạc.

1Cách 1. Đọc trực tiếp nhãn số trên từng cột

Định hướng. Đọc lần lượt nhãn phần trăm ghi trên đỉnh mỗi cột theo đúng thứ tự các nhóm cân nặng từ trái sang phải trên trục hoành.

[2, 5; 2, 7)

3, 2%

[2, 7; 2, 9)

6, 5%

[2, 9; 3, 1)

11, 3%

[3, 1; 3, 3)

19, 4%

[3, 3; 3, 5)

24, 2%

[3, 5; 3, 7)

16, 1%

[3, 7; 3, 9)

12, 9%

[3, 9; 4, 1)

6, 4%

Vậy a) trong $62$ trẻ sơ sinh, tỉ lệ trẻ có cân nặng từ $2, 5$ kg đến dưới $2, 7$ kg là $3, 2%$ , ..., từ $3, 9$ kg đến dưới $4, 1$ kg là $6, 4%$ ; nhóm $[3, 3; 3, 5)$ có tỉ lệ cao nhất ( $24, 2%$ ).

2Cách 2. Lập bảng thống kê rồi kiểm tổng bằng

100%

Định hướng. Gộp toàn bộ số liệu đọc được ở Cách 1 thành một bảng thống kê, rồi cộng tất cả tần số tương đối để kiểm tra tính hợp lí (phải xấp xỉ $100%$ ) trước khi kết luận về loại bảng.

Cân nặng (kg)	$[2, 5; 2, 7)$	$[2, 7; 2, 9)$	$[2, 9; 3, 1)$	$[3, 1; 3, 3)$	$[3, 3; 3, 5)$	$[3, 5; 3, 7)$	$[3, 7; 3, 9)$	$[3, 9; 4, 1)$
Tần số tương đối	$3, 2%$	$6, 5%$	$11, 3%$	$19, 4%$	$24, 2%$	$16, 1%$	$12, 9%$	$6, 4%$

Kiểm tổng:

3, 2 + 6, 5 + 11, 3 + 19, 4 + 24, 2 + 16, 1 + 12, 9 + 6, 4 = 100 (%)

Vậy b) bảng thống kê trên đúng là bảng tần số tương đối ghép nhóm (mỗi nhóm gắn với một tỉ lệ phần trăm, tổng đúng $100%$ ).

Nhận xét. Nếu đổi trục tung thành số trẻ thực tế (tần số) thay vì phần trăm thì biểu đồ trở thành biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột, như phần Chú ý trong sách đã nêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc trực tiếp nhãn số trên đỉnh cột theo đúng thứ tự nhóm, nhanh gọn hơn việc phải dựng lại cả bảng rồi mới kết luận như Cách 2 (Cách 2 chỉ cần dùng khi đề hỏi thêm phần kiểm tra tổng).

Đáp số. a) Tỉ lệ trẻ sơ sinh theo từng nhóm cân nặng lần lượt (từ

[2, 5; 2, 7)

đến

[3, 9; 4, 1)

3, 2%; 6, 5%; 11, 3%; 19, 4%; 24, 2%; 16, 1%; 12, 9%; 6, 4%

; nhóm

[3, 3; 3, 5)

có tỉ lệ cao nhất. b) Bảng thống kê trên là bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Sai lầm thường gặp. Đọc nhầm biểu đồ cột LIỀN NHAU (dùng cho số liệu ghép nhóm liên tục) giống với biểu đồ cột CÁCH NHAU của dữ liệu định tính, dẫn đến hiểu sai ý nghĩa trục hoành (tưởng mỗi cột ứng với một cân nặng cụ thể thay vì một khoảng cân nặng).

🚀 Mở rộng. Nếu có số liệu về tổng số

62

trẻ theo TẦN SỐ (số trẻ) thay vì tần số tương đối, ta chỉ cần nhân mỗi tần số tương đối với

62

rồi làm tròn để suy ra số trẻ gần đúng của mỗi nhóm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Ví dụ 3★★Trang 50— Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột từ bảng tần số tương đối cho trước

Ví dụ 3 (trang 50). Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê sau về thời gian đi từ nhà tới trường của một số bạn trong lớp 9D.

Thời gian (phút)	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$
Tần số tương đối	$20%$	$37, 5%$	$30%$	$12, 5%$

Kiến thức cần nhớ

Giai đoạn dựng trục: vẽ trục đứng (đơn vị tần số tương đối), trục ngang (các nhóm số liệu).
Giai đoạn dựng cột: dựng các cột LIỀN NHAU, mỗi cột có chiều cao bằng tần số tương đối của nhóm.
Giai đoạn hoàn thiện: ghi chú giải cho các trục, các cột và tiêu đề biểu đồ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bảng tần số tương đối với

4

nhóm rộng bằng nhau (

5

phút mỗi nhóm) — dấu hiệu chỉ cần áp đúng

3

bước vẽ tổ chức đồ: dựng trục, dựng các cột liền nhau có chiều cao bằng tần số tương đối, rồi ghi chú giải. Bẫy của đề là dễ vẽ các cột CÁCH NHAU (như biểu đồ cột thường) thay vì LIỀN NHAU — sai bản chất của tổ chức đồ dùng cho số liệu ghép nhóm liên tục.

1Cách 1. Vẽ theo đúng quy trình chuẩn của sách

Định hướng. Áp dụng tuần tự ba giai đoạn dựng trục — dựng cột — hoàn thiện chú giải như quy trình đã học, xác định vị trí các cột dựa trên các mốc $5; 10; 15; 20; 25$ trên trục hoành.

Dựng trục: trục hoành chia mốc

5, 10, 15, 20, 25

(đơn vị phút); trục đứng chia đơn vị

10%

tới

40%

Dựng cột: cột trên

[5; 10)

cao

20%

; cột trên

[10; 15)

cao

37, 5%

; cột trên

[15; 20)

cao

30%

; cột trên

[20; 25)

cao

12, 5%

— các cột liền nhau, không có khe hở
Hoàn thiện: ghi tiêu đề "Thời gian đến trường của các bạn trong lớp", nhãn trục hoành "Thời gian (phút)", nhãn trục đứng "Tần số tương đối (%)"

Vậy biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột như hình vẽ, cột cao nhất ứng với nhóm $[10; 15)$ .

2Cách 2. Xác định độ cao cột theo tỉ lệ so với đơn vị chia trục đứng trước khi vẽ

Định hướng. Trước khi dựng cột, quy đổi mỗi tần số tương đối ra số lượng "ô chia" trên trục đứng (mỗi ô $= 10%$ ), giúp đặt đúng chiều cao mà không cần đo trực tiếp bằng mắt.

Đơn vị chia trục đứng: mỗi ô lớn

= 10%

[5; 10)

20% = 2

[10; 15)

37, 5% = 3

ô và

\frac{3}{4}

ô nhỏ (nửa ô cộng một phần tư ô)

[15; 20)

30% = 3

[20; 25)

12, 5% = 1

ô và

\frac{1}{4}

ô nhỏ

Vậy chiều cao các cột theo đúng số ô đã quy đổi cho ra hình dạng khớp với Cách 1: $20%; 37, 5%; 30%; 12, 5%$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng tổng diện tích tương đối (tổng chiều cao vì các cột rộng bằng nhau)

Định hướng. Vì bốn nhóm có cùng độ rộng ( $5$ phút), tổng chiều cao bốn cột phải đúng bằng $100%$ — dùng phép cộng này để tự kiểm tra hình đã vẽ đúng số liệu hay chưa trước khi ghi chú giải.

20 + 37, 5 + 30 + 12, 5 = 100 (%)

Vậy tổng chiều cao bốn cột đúng bằng $100%$ , xác nhận biểu đồ đã vẽ đúng theo bảng tần số tương đối ghép nhóm cho trước.

Nhận xét. Cách kiểm tra tổng chiều cao chỉ dùng được khi các nhóm rộng bằng nhau; nếu độ rộng nhóm khác nhau phải xét diện tích cột như phần "Em có biết" nêu ở trang 52.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên phối hợp Cách 1 để dựng hình và Cách 3 để tự kiểm tra: cộng nhanh bốn số tần số tương đối, nếu ra đúng

100%

thì yên tâm biểu đồ đã vẽ đúng số liệu.

Đáp số. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột với

4

cột liền nhau cao lần lượt

20%; 37, 5%; 30%; 12, 5%

trên các nhóm

[5; 10); [10; 15); [15; 20); [20; 25)

(đơn vị: phút).

Sai lầm thường gặp. Vẽ các cột CÁCH NHAU (có khe hở) như biểu đồ cột dữ liệu định tính, thay vì LIỀN NHAU như tổ chức đồ yêu cầu cho số liệu ghép nhóm liên tục.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi bảng thống kê sang biểu diễn bằng tần số (số bạn) thay vì tần số tương đối, hình dạng bốn cột giữ nguyên, chỉ đổi đơn vị và số ghi trên trục đứng (theo Chú ý ở cuối trang 49).

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 50— Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột từ bảng tần số tương đối cho trước (4 nhóm rộng bằng nhau)

Luyện tập 3 (trang 50). Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng sau về chiều cao của một số cây chà là giống 3 tháng tuổi.

Chiều cao (cm)	$[30; 34)$	$[34; 38)$	$[38; 42)$	$[42; 46)$
Tần số tương đối	$20%$	$35%$	$30%$	$15%$

Kiến thức cần nhớ

Ba bước vẽ tổ chức đồ: dựng trục — dựng cột liền nhau theo chiều cao bằng tần số tương đối — ghi chú giải và tiêu đề.
Các nhóm rộng bằng nhau ( $4$ cm) thì các cột trong tổ chức đồ cũng rộng bằng nhau.
Tổng tần số tương đối của bảng luôn bằng $100%$ — dùng để tự kiểm tra hình vẽ.

🧠 Phân tích tư duy

Cấu trúc bài giống hệt Ví dụ 3 (4 nhóm rộng

4

cm mỗi nhóm, đã có sẵn tần số tương đối) — dấu hiệu là áp dụng lại đúng quy trình 3 bước vẽ tổ chức đồ. Bẫy của đề là các mốc trục hoành ở đây là

30, 34, 38, 42, 46

(không tròn chục như Ví dụ 3), dễ chia sai khoảng cách giữa các mốc nếu ước lượng bằng mắt thay vì tính theo tỉ lệ.

1Cách 1. Vẽ theo đúng 3 bước chuẩn

Định hướng. Dựng trục hoành với các mốc $30, 34, 38, 42, 46$ cách đều nhau (vì mỗi nhóm đều rộng $4$ cm), trục đứng chia đơn vị $%$ , rồi dựng bốn cột liền nhau.

Trục hoành:

30 - 34 - 38 - 42 - 46

(mỗi khoảng

4

cm, vẽ cách đều)
Trục đứng: chia đơn vị

10%

tới

40%

Cột

[30; 34)

cao

20%

; cột

[34; 38)

cao

35%

; cột

[38; 42)

cao

30%

; cột

[42; 46)

cao

15%

— liền nhau

Vậy biểu đồ như hình vẽ, cột cao nhất ứng với nhóm $[34; 38)$ ( $35%$ ).

2Cách 2. Quy đổi tần số tương đối ra số ô chia trên trục đứng trước khi vẽ

Định hướng. Chọn đơn vị chia trục đứng là $5%$ mỗi ô nhỏ, quy đổi từng tần số tương đối ra số ô để đặt đúng chiều cao cột mà không cần ước lượng bằng mắt.

20% = 4

ô nhỏ (

\times 5%

)

35% = 7

ô nhỏ

30% = 6

ô nhỏ

15% = 3

ô nhỏ

Vậy chiều cao bốn cột theo số ô quy đổi khớp với Cách 1: $20%; 35%; 30%; 15%$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng tổng chiều cao bốn cột

Định hướng. Vì bốn nhóm rộng bằng nhau, cộng tổng bốn tần số tương đối phải ra đúng $100%$ để tự kiểm tra trước khi ghi chú giải hoàn chỉnh.

20 + 35 + 30 + 15 = 100 (%)

Vậy tổng đúng $100%$ , xác nhận bốn cột đã vẽ đúng số liệu bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Nhận xét. Nhóm $[34; 38)$ có tần số tương đối lớn nhất nên hầu hết cây chà là giống $3$ tháng tuổi trong mẫu cao từ $34$ cm đến dưới $38$ cm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên phối hợp Cách 1 để dựng hình và Cách 3 để tự kiểm tra tổng

100%

trước khi nộp bài, tránh vẽ sai chiều cao một cột mà không phát hiện.

Đáp số. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột với

4

cột liền nhau cao lần lượt

20%; 35%; 30%; 15%

trên các nhóm

[30; 34); [34; 38); [38; 42); [42; 46)

(đơn vị: cm).

Sai lầm thường gặp. Chia khoảng cách các mốc

30, 34, 38, 42, 46

trên trục hoành không đều nhau do ước lượng bằng mắt, làm các cột bị méo dù chiều cao ghi đúng số liệu.

🚀 Mở rộng. Nếu đo thêm các cây cao từ

46

cm đến

50

cm, phải thêm nhóm

[46; 50)

vào bảng và tính lại toàn bộ tần số tương đối của cả

5

nhóm sao cho tổng vẫn bằng

100%

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Ví dụ 4★★Trang 51— Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng từ bảng tần số tương đối cho trước

Ví dụ 4 (trang 51-52). Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm sau về tuổi thọ của một loại bóng đèn.

Tuổi thọ (năm)	$[1; 1, 5)$	$[1, 5; 2)$	$[2; 2, 5)$	$[2, 5; 3)$	$[3; 3, 5)$
Tần số tương đối	$15%$	$20%$	$30%$	$25%$	$10%$

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.

Kiến thức cần nhớ

Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ là $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ (trung điểm của nhóm).
Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng: đánh dấu điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ rồi nối các điểm liên tiếp.
Bốn bước vẽ: chọn giá trị đại diện — vẽ hai trục — xác định điểm và nối — ghi chú giải và tiêu đề.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu vẽ dạng ĐOẠN THẲNG (không phải dạng cột) — dấu hiệu là phải tìm giá trị đại diện

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}

cho từng nhóm trước, vì biểu đồ đoạn thẳng đánh dấu điểm tại giá trị đại diện chứ không tô cả một khoảng như dạng cột. Bẫy của đề là dễ quên bước tính giá trị đại diện mà lấy luôn đầu mút trái hoặc phải của nhóm làm hoành độ điểm.

1Cách 1. Tính giá trị đại diện bằng công thức trung điểm

Định hướng. Áp dụng công thức $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ cho cả $5$ nhóm, sau đó đánh dấu $5$ điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ và nối lại.

x_{1} = \frac{1 + 1 , 5}{2} = 1, 25

x_{2} = \frac{1 , 5 + 2}{2} = 1, 75

x_{3} = \frac{2 + 2 , 5}{2} = 2, 25

x_{4} = \frac{2 , 5 + 3}{2} = 2, 75

x_{5} = \frac{3 + 3 , 5}{2} = 3, 25

Các điểm:

M_{1} (1, 25; 15)

M_{2} (1, 75; 20)

M_{3} (2, 25; 30)

M_{4} (2, 75; 25)

M_{5} (3, 25; 10)

(tung độ tính theo

%

)

Vậy nối $5$ điểm theo đúng thứ tự ta được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.

2Cách 2. Nhận ra dãy giá trị đại diện là một cấp số cộng

Định hướng. Vì các nhóm rộng đều $0, 5$ năm, các giá trị đại diện liên tiếp hơn kém nhau đúng $0, 5$ — chỉ cần tính $x_{1}$ rồi cộng dồn $0, 5$ để suy ra bốn giá trị còn lại, nhanh hơn tính lại công thức trung điểm mỗi lần.

x_{1} = \frac{1 + 1 , 5}{2} = 1, 25

x_{2} = x_{1} + 0, 5 = 1, 75

x_{3} = x_{2} + 0, 5 = 2, 25

x_{4} = x_{3} + 0, 5 = 2, 75

x_{5} = x_{4} + 0, 5 = 3, 25

Vậy dãy giá trị đại diện $1, 25; 1, 75; 2, 25; 2, 75; 3, 25$ khớp với Cách 1, cách đều nhau $0, 5$ đơn vị.

3Cách 3. Kiểm tra hình dạng đường gấp khúc qua tổng tần số tương đối

Định hướng. Trước khi kết luận đã vẽ đúng, cộng lại năm tần số tương đối để chắc chắn tổng bằng $100%$ , đồng thời quan sát xu hướng lên — xuống của đường gấp khúc để đối chiếu với bảng số liệu.

15 + 20 + 30 + 25 + 10 = 100 (%)

Xu hướng: tăng dần từ

M_{1}

đến

M_{3}

(đỉnh cao nhất tại

x = 2, 25

với

f = 30%

), rồi giảm dần từ

M_{3}

đến

M_{5}

Vậy đường gấp khúc có đúng một đỉnh cao nhất tại nhóm $[2; 2, 5)$ , khớp với việc $30%$ là tần số tương đối lớn nhất trong bảng — xác nhận biểu đồ đã vẽ đúng.

Nhận xét. Đoạn nối giữa hai điểm liên tiếp chỉ mang tính minh hoạ xu hướng, không có nghĩa là tồn tại dữ liệu thật tại các giá trị tuổi thọ nằm giữa hai điểm đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tận dụng các nhóm rộng đều nhau nên chỉ cần tính giá trị đại diện đầu tiên rồi cộng dồn độ rộng nhóm, nhanh hơn áp công thức trung điểm cho cả

5

nhóm như Cách 1.

Đáp số. Giá trị đại diện:

1, 25; 1, 75; 2, 25; 2, 75; 3, 25

(năm). Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng nối các điểm

(1, 25; 15%)

(1, 75; 20%)

(2, 25; 30%)

(2, 75; 25%)

(3, 25; 10%)

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm đầu mút trái (hoặc phải) của nhóm làm hoành độ điểm thay vì tính đúng giá trị đại diện

x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}

, khiến các điểm bị dồn lệch sang một phía trên trục hoành.

🚀 Mở rộng. Nếu thay tần số tương đối bằng tần số (số bóng đèn) trong bảng, ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng đoạn thẳng — cách vẽ hoàn toàn tương tự, chỉ đổi đơn vị trục đứng (theo Chú ý cuối trang 51).

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4★★★Trang 52— Tính tần số tương đối rồi vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng từ bảng tần số cho trước

Luyện tập 4 (trang 52). Cho bảng tần số ghép nhóm sau về thời gian gọi (phút) của một số cuộc điện thoại.

Thời gian (phút)	$[0, 5; 2, 5)$	$[2, 5; 4, 5)$	$[4, 5; 6, 5)$	$[6, 5; 8, 5)$	$[8, 5; 10, 5)$
Số cuộc gọi	$6$	$14$	$20$	$12$	$8$

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vẽ biểu đồ tần số TƯƠNG ĐỐI, phải đổi bảng tần số sang bảng tần số tương đối bằng công thức $f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ .
Giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ ; các nhóm rộng $2$ phút nên giá trị đại diện liên tiếp hơn kém nhau $2$ .
Tổng các tần số tương đối luôn bằng $100%$ , dùng để tự kiểm tra kết quả tính.

🧠 Phân tích tư duy

Khác Ví dụ 4, đề ở đây cho bảng TẦN SỐ (số cuộc gọi) chứ chưa phải tần số tương đối — dấu hiệu phải tính

f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)

cho cả

5

nhóm trước khi vẽ, rồi mới tìm giá trị đại diện như quy trình đã học. Bẫy của đề là các mốc nhóm không tròn (

0, 5; 2, 5; 4, 5; \dots

) khiến việc tính giá trị đại diện dễ nhầm nếu cộng trừ vội vàng.

1Cách 1. Tính n, đổi sang tần số tương đối rồi vẽ theo 4 bước

Định hướng. Cộng tổng số cuộc gọi để tìm $n$ , tính tần số tương đối từng nhóm, tính giá trị đại diện, rồi đánh dấu và nối các điểm.

n = 6 + 14 + 20 + 12 + 8 = 60

f_{1} = \frac{6}{60} .100 (%) = 10%

;

f_{2} = \frac{14}{60} .100 (%) \approx 23, 3%

;

f_{3} = \frac{20}{60} .100 (%) \approx 33, 3%

;

f_{4} = \frac{12}{60} .100 (%) = 20%

;

f_{5} = \frac{8}{60} .100 (%) \approx 13, 3%

Giá trị đại diện:

x_{1} = 1, 5; x_{2} = 3, 5; x_{3} = 5, 5; x_{4} = 7, 5; x_{5} = 9, 5

Vậy nối $5$ điểm $(1, 5; 10%)$ , $(3, 5; 23, 3%)$ , $(5, 5; 33, 3%)$ , $(7, 5; 20%)$ , $(9, 5; 13, 3%)$ ta được biểu đồ cần vẽ.

2Cách 2. Rút gọn phân số

\frac{m _{i}}{60}

trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Vì $n = 60$ có nhiều ước chung với các tần số, rút gọn phân số trước khi nhân $100%$ giúp tính nhẩm nhanh hơn chia thập phân trực tiếp.

\frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 10%

\frac{14}{60} = \frac{7}{30} \approx 23, 3%

\frac{20}{60} = \frac{1}{3} \approx 33, 3%

\frac{12}{60} = \frac{1}{5} = 20%

\frac{8}{60} = \frac{2}{15} \approx 13, 3%

Vậy kết quả khớp Cách 1: $10%; 23, 3%; 33, 3%; 20%; 13, 3%$ (đã làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

3Cách 3. Kiểm tra tổng tần số tương đối gần đúng

100%

Định hướng. Cộng lại năm tần số tương đối đã làm tròn để kiểm tra kết quả có hợp lí không (do làm tròn nên tổng có thể lệch một chút so với $100%$ ).

10 + 23, 3 + 33, 3 + 20 + 13, 3 = 99, 9 (%)

Vậy tổng xấp xỉ $100%$ (lệch $0, 1%$ do làm tròn từng số riêng lẻ), xác nhận các tần số tương đối đã tính hợp lí trước khi vẽ điểm lên biểu đồ.

Nhận xét. Sai số làm tròn nhỏ ( $\leq 0, 1%$ ) là bình thường khi mỗi tần số tương đối là số thập phân vô hạn tuần hoàn; không cần chỉnh sửa lại số liệu gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (rút gọn phân số): với

n = 60

có nhiều ước số đẹp, rút gọn trước khi đổi phần trăm giúp tính nhẩm nhanh và ít bấm máy hơn Cách 1.

Đáp số. Bảng tần số tương đối:

10%; \approx 23, 3%; \approx 33, 3%; 20%; \approx 13, 3%

. Biểu đồ dạng đoạn thẳng nối các điểm

(1, 5; 10%)

(3, 5; 23, 3%)

(5, 5; 33, 3%)

(7, 5; 20%)

(9, 5; 13, 3%)

Sai lầm thường gặp. Vẽ luôn biểu đồ theo TẦN SỐ (số cuộc gọi:

6; 14; 20; 12; 8

) mà quên đề yêu cầu biểu đồ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI, dẫn đến sai đơn vị và sai chiều cao mọi điểm.

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ luôn biểu đồ tần số (không đổi sang %) cho cùng bảng số liệu này, hình dạng đường gấp khúc giữ nguyên vì tần số tương đối tỉ lệ thuận với tần số, chỉ khác đơn vị và số ghi trên trục đứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 7.17★★Trang 52— Đọc bảng tần số tương đối ghép nhóm cho trước rồi suy ngược ra bảng tần số khi biết cỡ mẫu mới

Bài 7.17 (trang 52). Một cuộc điều tra về thời gian dùng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một thành phố cho kết quả như sau:

Thời gian (giờ)	$[0; 0, 5)$	$[0, 5; 1, 0)$	$[1, 0; 1, 5)$	$[1, 5; 2, 0)$	$[2, 0; 2, 5)$
Tỉ lệ	$15%$	$27%$	$23%$	$18%$	$17%$

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.
b) Để thu được bảng thống kê trên, người ta đã lập phiếu điều tra và thu về tổng cộng

2000

phiếu trả lời. Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thu được.

Kiến thức cần nhớ

Tần số tương đối cho biết TỈ LỆ phần trăm, tần số cho biết SỐ LƯỢNG thực tế; hai đại lượng liên hệ bởi $m_{i} = f_{i} % \times n$ .
Khi biết cỡ mẫu $n$ và bảng tần số tương đối, luôn suy ngược được bảng tần số tương ứng.
Tổng tần số tương đối luôn là $100%$ nên tổng các tần số suy ra luôn đúng bằng $n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn tỉ lệ

%

(chính là bảng tần số tương đối) và hỏi thêm ở câu b) với tổng

2000

phiếu — dấu hiệu của việc phải NHÂN NGƯỢC mỗi tỉ lệ với cỡ mẫu mới để suy ra tần số thực bằng công thức

m_{i} = f_{i} % \times n

. Bẫy của đề là số

2000

chỉ xuất hiện ở câu b), không phải cỡ mẫu có sẵn của bảng tỉ lệ ở câu a) — hai bảng tuy cùng dữ liệu nhưng khác cỡ mẫu gốc.

1Cách 1. Nhân trực tiếp từng tỉ lệ với

2000

Định hướng. Áp dụng công thức $m_{i} = f_{i} % \times n$ cho cả $5$ nhóm với $n = 2000$ .

m_{1} = 15% \times 2000 = 300

m_{2} = 27% \times 2000 = 540

m_{3} = 23% \times 2000 = 460

m_{4} = 18% \times 2000 = 360

m_{5} = 17% \times 2000 = 340

Kiểm tổng:

300 + 540 + 460 + 360 + 340 = 2000

Vậy b) bảng tần số ghép nhóm: $300; 540; 460; 360; 340$ (đơn vị: học sinh).

2Cách 2. Đổi phần trăm sang phân số tối giản trước khi nhân

Định hướng. Viết mỗi tỉ lệ dưới dạng phân số tối giản của $100$ , rồi nhân với $2000$ — phép tính gọn hơn nhân số thập phân trực tiếp.

15% = \frac{3}{20} \Rightarrow \frac{3}{20} \times 2000 = 300

27% = \frac{27}{100} \Rightarrow \frac{27}{100} \times 2000 = 540

23% = \frac{23}{100} \Rightarrow \frac{23}{100} \times 2000 = 460

18% = \frac{9}{50} \Rightarrow \frac{9}{50} \times 2000 = 360

17% = \frac{17}{100} \Rightarrow \frac{17}{100} \times 2000 = 340

Vậy kết quả khớp Cách 1: $300; 540; 460; 360; 340$ .

3Cách 3. Tính 4 nhóm rồi suy nhóm cuối bằng phần bù

Định hướng. Tính trực tiếp $4$ nhóm đầu như Cách 1, còn tần số nhóm cuối $[2, 0; 2, 5)$ suy ra bằng $2000$ trừ tổng bốn nhóm kia — tránh một phép nhân và tự kiểm tra luôn kết quả.

m_{1} = 300; m_{2} = 540; m_{3} = 460; m_{4} = 360

m_{5} = 2000 - (300 + 540 + 460 + 360) = 2000 - 1660 = 340

Vậy $m_{5} = 340$ , khớp với kết quả nhân trực tiếp $17% \times 2000$ ở Cách 1.

Nhận xét. Cách phần bù vừa giảm một phép nhân vừa đóng vai trò tự kiểm tra chéo cho toàn bộ bảng tần số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: chỉ cần

4

phép nhân, tần số nhóm cuối suy ra bằng phép trừ vừa nhanh vừa tự động kiểm tra tổng đúng bằng

2000

Đáp số. a)

15%

học sinh dùng mạng dưới

0, 5

giờ/ngày;

27%

từ

0, 5

đến dưới

1, 0

giờ;

23%

từ

1, 0

đến dưới

1, 5

giờ;

18%

từ

1, 5

đến dưới

2, 0

giờ;

17%

từ

2, 0

đến dưới

2, 5

giờ. b) Bảng tần số ghép nhóm:

300; 540; 460; 360; 340

(tổng

2000

học sinh).

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn

2000

là cỡ mẫu vốn có của bảng tỉ lệ

%

ở câu a) rồi cố tìm một cỡ mẫu "gốc" khác, thay vì hiểu đơn giản đó là cỡ mẫu MỚI dùng để suy tần số ở câu b).

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ thu về

1000

phiếu thay vì

2000

, tần số mỗi nhóm giảm đúng một nửa (

150; 270; 230; 180; 170

) nhưng bảng tần số tương đối (tỉ lệ

%

) ở câu a) không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 7.18★★Trang 53— Lập bảng tần số ghép nhóm từ dữ liệu định tính (cấp độ La Mã) bằng cách gộp các cấp cùng chung một khoảng độ lớn

Bài 7.18 (trang 53). Ghi lại cấp độ động đất của các trận động đất xảy ra tại một vùng trong

10

năm người ta thu được kết quả sau:
I, V, II, III, VI, V, IV, II, III, V, VI, VII, VIII, I, I, II, VI, VII, IV.
Biết rằng theo thang Richter thì trận động đất cấp I có độ lớn từ

1

đến dưới

3

; cấp II và III có độ lớn từ

3

đến dưới

4

; cấp IV và V có độ lớn từ

4

đến dưới

5

; cấp VI và VII có độ lớn từ

5

đến dưới

6

; cấp VIII có độ lớn từ

6

đến dưới

6, 9

.
Lập bảng tần số ghép nhóm cho độ lớn các trận động đất xảy ra ở vùng này theo thang Richter.

Kiến thức cần nhớ

Khi dữ liệu gốc là các cấp độ định tính ứng với các khoảng độ lớn khác nhau, phải gộp đúng các cấp thuộc cùng một khoảng trước khi lập bảng tần số ghép nhóm.
Tần số của nhóm ghép bằng tổng tần số các cấp con thuộc nhóm đó.
Tổng tần số của bảng luôn bằng đúng số trận động đất đã ghi nhận.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu gốc là các cấp độ La Mã (I đến VIII) chứ không phải độ lớn Richter cụ thể — dấu hiệu là phải GỘP các cấp cùng chung một khoảng độ lớn (II với III, IV với V, VI với VII) trước khi đếm, đúng như đề đã chỉ rõ từng cặp. Bẫy của đề là cấp VIII có khoảng độ lớn RIÊNG

[6; 6, 9)

, không gộp với cấp nào khác — rất dễ bị gộp nhầm vào nhóm

[5; 6)

cùng VI, VII vì VIII đứng ngay sau VII trong bảng chữ số La Mã.

1Cách 1. Đếm tần số từng cấp độc lập rồi gộp theo cặp

Định hướng. Đếm số lần xuất hiện của cả $8$ cấp độ La Mã trước, sau đó mới cộng các cấp cùng khoảng độ lớn lại với nhau.

Đếm từng cấp: I:

3

; II:

3

; III:

2

; IV:

2

; V:

3

; VI:

3

; VII:

2

; VIII:

1

Kiểm tổng:

3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 = 19

, đúng bằng số trận đã ghi nhận
Gộp theo khoảng độ lớn:

[1; 3)

3

(cấp I);

[3; 4)

3 + 2 = 5

(cấp II, III);

[4; 5)

2 + 3 = 5

(cấp IV, V);

[5; 6)

3 + 2 = 5

(cấp VI, VII);

[6; 6, 9)

1

(cấp VIII)

Vậy bảng tần số ghép nhóm: $3; 5; 5; 5; 1$ .

2Cách 2. Vạch kiểm đếm trực tiếp theo 5 nhóm độ lớn

Định hướng. Duyệt dãy $19$ cấp độ đúng một lượt, mỗi cấp gạch thẳng một vạch vào đúng cột NHÓM ĐỘ LỚN của nó (đã gộp sẵn), không cần đếm riêng từng cấp rồi mới gộp như Cách 1.

\to [1; 3)

; V

\to [4; 5)

; II

\to [3; 4)

; III

\to [3; 4)

; VI

\to [5; 6)

; V

\to [4; 5)

; IV

\to [4; 5)

; II

\to [3; 4)

; III

\to [3; 4)

; V

\to [4; 5)

; VI

\to [5; 6)

; VII

\to [5; 6)

; VIII

\to [6; 6, 9)

; I

\to [1; 3)

; I

\to [1; 3)

; II

\to [3; 4)

; VI

\to [5; 6)

; VII

\to [5; 6)

; IV

\to [4; 5)

Đếm vạch:

[1; 3)

3

;

[3; 4)

5

;

[4; 5)

5

;

[5; 6)

5

;

[6; 6, 9)

1

Vậy kết quả khớp Cách 1: $3; 5; 5; 5; 1$ .

3Cách 3. Tính 4 nhóm rồi suy nhóm còn lại bằng phần bù

Định hướng. Đếm trực tiếp $4$ nhóm dễ nhận diện nhất ( $[1; 3)$ , $[3; 4)$ , $[4; 5)$ , $[6; 6, 9)$ ), tần số nhóm $[5; 6)$ suy ra bằng $19$ trừ tổng bốn nhóm kia.

[1; 3)

(cấp I):

3

[3; 4)

(cấp II, III):

5

[4; 5)

(cấp IV, V):

5

[6; 6, 9)

(cấp VIII):

1

[5; 6) = 19 - (3 + 5 + 5 + 1) = 19 - 14 = 5

Vậy $[5; 6)$ có tần số $5$ , khớp với kết quả đếm trực tiếp cấp VI, VII ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cấp VIII chỉ xuất hiện đúng $1$ lần trong $10$ năm — đây là trận động đất hiếm và mạnh nhất trong dữ liệu, đáng chú ý khi đọc bảng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (vạch kiểm đếm trực tiếp theo nhóm): duyệt đúng một lượt và gộp luôn khi đếm, nhanh hơn việc đếm riêng

8

cấp rồi mới cộng lại như Cách 1.

Đáp số. Bảng tần số ghép nhóm độ lớn động đất (thang Richter):

[1; 3)

3

;

[3; 4)

5

;

[4; 5)

5

;

[5; 6)

5

;

[6; 6, 9)

1

(tổng

19

trận).

Sai lầm thường gặp. Gộp nhầm cấp VIII vào nhóm

[5; 6)

cùng với VI, VII (vì VIII đứng liền sau VII), trong khi đề đã nói rõ cấp VIII có khoảng độ lớn RIÊNG là

[6; 6, 9)

🚀 Mở rộng. Nếu vùng này ghi nhận thêm một trận cấp IX (giả sử độ lớn từ

6, 9

đến dưới

8

), bảng phải thêm nhóm mới

[6, 9; 8)

và tổng tần số tăng lên

20

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 7.19★Trang 53— Đọc bảng tần số ghép nhóm và tính bảng tần số tương đối ghép nhóm tương ứng

Bài 7.19 (trang 53). Giáo viên ghi lại thời gian chạy cự li

100

mét của các học sinh lớp 9A cho kết quả như sau:

Thời gian (giây)	$[13; 15)$	$[15; 17)$	$[17; 19)$	$[19; 21)$
Số học sinh	$5$	$20$	$13$	$2$

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Bảng tần số ghép nhóm nêu rõ mỗi nhóm số liệu $[a; b)$ cùng tần số (số học sinh) tương ứng.
$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số.
Tổng tần số tương đối của bảng luôn bằng $100%$ — dùng để tự kiểm tra kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng tần số đã cho sẵn đầy đủ — câu a) chỉ cần đọc lại đúng ý nghĩa từng nhóm và tần số, câu b) áp công thức

f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)

. Bẫy của đề là cỡ mẫu

n = 40

không cho sẵn mà phải tự cộng

5 + 20 + 13 + 2

, dễ cộng nhầm nếu không đặt các số thẳng hàng.

1Cách 1. Cộng trực tiếp

n

rồi chia lần lượt

Định hướng. Cộng bốn tần số để tìm cỡ mẫu $n$ , rồi chia lần lượt từng tần số cho $n$ và nhân $100$ .

n = 5 + 20 + 13 + 2 = 40

f_{1} = \frac{5}{40} .100 (%) = 12, 5%

f_{2} = \frac{20}{40} .100 (%) = 50%

f_{3} = \frac{13}{40} .100 (%) = 32, 5%

f_{4} = \frac{2}{40} .100 (%) = 5%

Kiểm tổng:

12, 5 + 50 + 32, 5 + 5 = 100 (%)

Vậy b) tần số tương đối: $12, 5%; 50%; 32, 5%; 5%$ .

2Cách 2. Nhận ra

\frac{20}{40}

đúng bằng một nửa để suy luận nhanh

Định hướng. Nhận xét ngay $m_{2} = 20$ đúng bằng nửa cỡ mẫu $n = 40$ nên $f_{2} = 50%$ không cần chia; các nhóm còn lại tính theo Cách 1.

f_{2} = \frac{20}{40} .100 (%) = 50%

(suy luận trực tiếp, không cần đặt phép chia)

f_{1} = \frac{5}{40} .100 (%) = 12, 5%

f_{3} = \frac{13}{40} .100 (%) = 32, 5%

f_{4} = \frac{2}{40} .100 (%) = 5%

Vậy kết quả khớp Cách 1: $12, 5%; 50%; 32, 5%; 5%$ .

3Cách 3. Rút gọn phân số trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Đưa mỗi tỉ số $\frac{m _{i}}{40}$ về phân số tối giản trước, việc đổi ra phần trăm khi đó chỉ còn một phép nhân đơn giản.

\frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 12, 5%

\frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 50%

\frac{13}{40} = 32, 5%

(phân số không rút gọn được, đổi trực tiếp)

\frac{2}{40} = \frac{1}{20} = 5%

Vậy ba cách đều cho cùng kết quả: $12, 5%; 50%; 32, 5%; 5%$ .

Nhận xét. Đúng một nửa số học sinh lớp 9A ( $50%$ ) chạy $100$ mét trong khoảng $15$ đến dưới $17$ giây — đây là nhóm thời gian phổ biến nhất của lớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: tranh thủ nhận ra ngay các tỉ số "đẹp" (như

\frac{20}{40} = \frac{1}{2}

) để suy luận tức thời, chỉ còn phải chia thật sự cho những nhóm không đẹp.

Đáp số. a) Bốn nhóm

[13; 15); [15; 17); [17; 19); [19; 21)

với tần số tương ứng

5; 20; 13; 2

(tổng

40

học sinh). b) Tần số tương đối:

12, 5%; 50%; 32, 5%; 5%

Sai lầm thường gặp. Quên kiểm tổng bốn tần số tương đối phải bằng

100%

; nếu tính sai một nhóm (ví dụ nhầm

\frac{13}{40}

thành

30%

) thì tổng sẽ lệch khỏi

100%

mà không bị phát hiện nếu bỏ qua bước kiểm tra này.

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm

5

học sinh chạy trong khoảng

[21; 23)

, phải bổ sung nhóm mới vào bảng và tính lại toàn bộ tần số tương đối với cỡ mẫu mới

n = 45

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 7.20★★★Trang 53— Tính tần số tương đối rồi vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột (6 nhóm rộng bằng nhau)

Bài 7.20 (trang 53). Người ta trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch người ta đo chiều dài các củ cà rốt thu được kết quả sau:

Chiều dài (cm)	$[15; 16)$	$[16; 17)$	$[17; 18)$	$[18; 19)$	$[19; 20)$	$[20; 21)$
Số củ cà rốt	$8$	$17$	$30$	$28$	$12$	$5$

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê trên.

Kiến thức cần nhớ

Khi cỡ mẫu $n = 100$ , tần số tương đối (theo $%$ ) có cùng giá trị số với tần số, vì $f_{i} = \frac{m _{i}}{100} .100 (%) = m_{i} %$ .
Ba bước vẽ tổ chức đồ: dựng trục — dựng cột liền nhau cao bằng tần số tương đối — ghi chú giải và tiêu đề.
Tổng tần số tương đối của bảng luôn bằng $100%$ , dùng để tự kiểm tra hình đã vẽ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bảng TẦN SỐ với cỡ mẫu đẹp

n = 100

(tổng

8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100

) — dấu hiệu thuận lợi: tần số tương đối bằng đúng tần số kèm dấu

%

, không cần chia. Bẫy của đề là

6

nhóm rộng bằng nhau (

1

cm) nhưng chiều cao các cột chênh lệch khá lớn (từ

5%

đến

30%

), dễ vẽ sai tỉ lệ nếu không tính trước bằng số mà ước lượng bằng mắt.

1Cách 1. Nhận ra

n = 100

nên đổi tần số thành

%

tức thời

Định hướng. Vì $n = 100$ , chỉ cần thêm dấu $%$ vào mỗi tần số để có ngay tần số tương đối, rồi dựng $6$ cột liền nhau theo $3$ bước đã học.

n = 8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100

Tần số tương đối:

8%; 17%; 30%; 28%; 12%; 5%

Dựng

6

cột liền nhau trên các nhóm

[15; 16)

đến

[20; 21)

với chiều cao đúng bằng các số trên

Vậy biểu đồ như hình vẽ, cột cao nhất ứng với nhóm $[17; 18)$ ( $30%$ ).

2Cách 2. Tính đầy đủ theo công thức tổng quát để đối chiếu

Định hướng. Dù $n = 100$ là trường hợp đặc biệt, vẫn áp dụng công thức tổng quát $f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ để chắc chắn không có sai sót, coi đây là bước đối chiếu độc lập với Cách 1.

f_{1} = \frac{8}{100} .100 (%) = 8%

f_{2} = \frac{17}{100} .100 (%) = 17%

f_{3} = \frac{30}{100} .100 (%) = 30%

f_{4} = \frac{28}{100} .100 (%) = 28%

f_{5} = \frac{12}{100} .100 (%) = 12%

f_{6} = \frac{5}{100} .100 (%) = 5%

Vậy kết quả khớp Cách 1, xác nhận việc "thêm dấu %" khi $n = 100$ là đúng bản chất công thức.

3Cách 3. Kiểm tra tổng chiều cao 6 cột bằng

100%

Định hướng. Vì $6$ nhóm rộng bằng nhau, cộng tổng $6$ tần số tương đối phải ra đúng $100%$ — dùng để tự kiểm tra trước khi ghi chú giải hoàn chỉnh cho biểu đồ.

8 + 17 + 30 + 28 + 12 + 5 = 100 (%)

Vậy tổng đúng $100%$ , xác nhận biểu đồ đã dựng đúng theo bảng số liệu.

Nhận xét. Đa số củ cà rốt ( $30% + 28% = 58%$ ) có chiều dài từ $17$ cm đến dưới $19$ cm, cho thấy loại phân bón mới giúp cà rốt phát triển tập trung quanh khoảng chiều dài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khi phát hiện

n = 100

, tận dụng ngay để đổi tần số thành

%

tức thời mà không cần chia, nhanh hơn hẳn Cách 2 áp công thức tổng quát cho cả

6

nhóm.

Đáp số. Tần số tương đối:

8%; 17%; 30%; 28%; 12%; 5%

. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột với

6

cột liền nhau cao theo thứ tự trên các nhóm

[15; 16)

đến

[20; 21)

(đơn vị: cm).

Sai lầm thường gặp. Áp dụng máy móc "tần số tương đối bằng tần số" cho những bài có

n

khác

100

, quên rằng đây chỉ là trường hợp đặc biệt khi

n = 100

chứ không phải quy tắc chung.

🚀 Mở rộng. Nếu thử nghiệm phân bón trên một ruộng khác chỉ thu hoạch được

50

củ cà rốt, tần số tương đối của ruộng mới phải tính theo công thức chung

f_{i} = \frac{m _{i}}{50} .100 (%)

, không còn trùng số với tần số nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 7.21★★★Trang 53— Tính tần số tương đối rồi vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng (6 nhóm, cỡ mẫu không tròn)

Bài 7.21 (trang 53). Thời gian chờ mua vé xem bóng đá của một số cổ động viên được cho như sau:

Thời gian (phút)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$	$[25; 30)$
Số cổ động viên	$15$	$38$	$50$	$27$	$20$	$10$

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê thu được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

$f_{i} = \frac{m _{i}}{n} .100 (%)$ với $n$ là tổng các tần số; kết quả có thể phải làm tròn khi không chia hết.
Giá trị đại diện $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ ; các nhóm rộng $5$ phút nên giá trị đại diện liên tiếp hơn kém nhau $5$ .
Biểu đồ dạng đoạn thẳng: đánh dấu điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ rồi nối các điểm liên tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 15 + 38 + 50 + 27 + 20 + 10 = 160

không đẹp như bài 7.20, nên các tần số tương đối đều ra số thập phân — dấu hiệu cần làm tròn hợp lí (đến hàng phần mười) và kiểm tra tổng gần đúng

100%

trước khi vẽ. Bẫy của đề là phải tính giá trị đại diện (trung điểm) của

6

nhóm rộng

5

phút rồi mới đánh dấu điểm — nếu lấy nhầm đầu mút nhóm làm hoành độ thì hình sẽ bị lệch hẳn sang một bên.

1Cách 1. Chia trực tiếp

m_{i}

cho

n = 160

Định hướng. Tính $n$ bằng tổng sáu tần số, chia lần lượt từng tần số cho $n$ và nhân $100$ , làm tròn đến hàng phần mười.

n = 15 + 38 + 50 + 27 + 20 + 10 = 160

f_{1} = \frac{15}{160} .100 (%) = 9, 375% \approx 9, 4%

f_{2} = \frac{38}{160} .100 (%) = 23, 75% \approx 23, 8%

f_{3} = \frac{50}{160} .100 (%) = 31, 25% \approx 31, 3%

f_{4} = \frac{27}{160} .100 (%) = 16, 875% \approx 16, 9%

f_{5} = \frac{20}{160} .100 (%) = 12, 5%

f_{6} = \frac{10}{160} .100 (%) = 6, 25% \approx 6, 3%

Vậy a) tần số tương đối (đã làm tròn): $9, 4%; 23, 8%; 31, 3%; 16, 9%; 12, 5%; 6, 3%$ .

2Cách 2. Rút gọn phân số

\frac{m _{i}}{160}

trước khi đổi phần trăm

Định hướng. Rút gọn từng tỉ số về phân số có mẫu nhỏ hơn trước khi chia — với những phân số rút gọn đẹp (như $\frac{1}{8}$ ), kết quả ra số tròn không cần làm tròn.

\frac{20}{160} = \frac{1}{8} = 12, 5%

(tròn, không cần làm tròn)

\frac{10}{160} = \frac{1}{16} = 6, 25% \approx 6, 3%

\frac{50}{160} = \frac{5}{16} = 31, 25% \approx 31, 3%

\frac{15}{160} = \frac{3}{32} = 9, 375% \approx 9, 4%

\frac{38}{160} = \frac{19}{80} = 23, 75% \approx 23, 8%

\frac{27}{160} = 16, 875% \approx 16, 9%

(phân số

\frac{27}{160}

không rút gọn được)

Vậy kết quả khớp Cách 1, và lộ ra ngay $f_{5} = 12, 5%$ là giá trị chẵn tuyệt đối, không phải số làm tròn.

3Cách 3. Tính giá trị đại diện rồi vẽ, kiểm tra bằng tổng gần đúng

100%

Định hướng. Tính giá trị đại diện cho $6$ nhóm, đánh dấu các điểm $M_{i} (x_{i}; f_{i})$ và nối lại; trước khi kết luận, cộng lại sáu tần số tương đối đã làm tròn để kiểm tra tính hợp lí.

Giá trị đại diện:

x_{1} = 2, 5; x_{2} = 7, 5; x_{3} = 12, 5; x_{4} = 17, 5; x_{5} = 22, 5; x_{6} = 27, 5

Các điểm:

(2, 5; 9, 4)

(7, 5; 23, 8)

(12, 5; 31, 3)

(17, 5; 16, 9)

(22, 5; 12, 5)

(27, 5; 6, 3)

(tung độ theo

%

)
Kiểm tổng:

9, 4 + 23, 8 + 31, 3 + 16, 9 + 12, 5 + 6, 3 = 100, 2 (%) \approx 100%

(lệch

0, 2%

do làm tròn từng số)

Vậy b) nối sáu điểm trên theo đúng thứ tự ta được biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng; đỉnh cao nhất tại nhóm $[10; 15)$ .

Nhận xét. Sai số làm tròn nhỏ ( $\leq 0, 5%$ ) khi tổng nhiều số thập phân đã làm tròn riêng lẻ là bình thường, không cần chỉnh sửa lại số liệu gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (rút gọn phân số trước): giúp phát hiện ngay những tần số tương đối tròn tuyệt đối (như

12, 5%

) mà không sợ nhầm là số đã làm tròn, đồng thời vẫn tính nhanh các nhóm còn lại.

Đáp số. a)

n = 160

. Tần số tương đối (làm tròn đến

0, 1%

9, 4%; 23, 8%; 31, 3%; 16, 9%; 12, 5%; 6, 3%

. b) Biểu đồ dạng đoạn thẳng nối các điểm tại giá trị đại diện

2, 5; 7, 5; 12, 5; 17, 5; 22, 5; 27, 5

(phút).

Sai lầm thường gặp. Đánh dấu điểm tại đầu mút trái của mỗi nhóm (

0, 5, 10, 15, 20, 25

) thay vì tại giá trị đại diện là trung điểm nhóm (

2, 5; 7, 5; 12, 5; \dots

), khiến toàn bộ đường gấp khúc bị lệch sang trái so với vị trí đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu gộp hai nhóm liền kề

[15; 20)

và

[20; 25)

thành một nhóm rộng

[15; 25)

, tần số tương đối nhóm mới bằng tổng hai tần số tương đối cũ (

16, 9% + 12, 5% = 29, 4%

), nhưng biểu đồ sẽ mất bớt chi tiết so với chia

6

nhóm ban đầu.

Mở bài này trong app ↗