Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài 25. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.1★Trang 43— Mô tả không gian mẫu của phép thử lấy đồng thời một viên bi từ mỗi túi trong hai túi khác nhau

Bài 8.1 (trang 43). Túi I có 2 viên bi màu đen, kí hiệu là

B_{1}

B_{2}

và 2 viên bi màu trắng, kí hiệu là

T_{1}

T_{2}

. Túi II có 3 viên bi màu xanh, kí hiệu là

X_{1}

X_{2}

X_{3}

và 2 viên bi màu đỏ, kí hiệu là

D_{1}

D_{2}

, các viên bi có cùng kích thước. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một viên bi. a) Phép thử là gì? b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của phép thử gồm hai hành động đồng thời là một bộ ghép các kết quả của từng hành động.
Quy tắc nhân: hai hành động độc lập có $m$ và $n$ kết quả có thể thì có $m \times n$ kết quả có thể của cả hai.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai túi bi tách biệt và lấy đồng thời mỗi túi một viên — đúng dạng "hai hành động độc lập diễn ra đồng thời" đã luyện ở SGK. Hướng lập bảng

4 \times 5

hoặc quy tắc nhân đều cho ngay

20

kết quả. Bẫy của đề là đếm nhầm số viên bi mỗi túi: Túi I có

4

viên (

2

đen

+

2

trắng), Túi II có

5

viên (

3

xanh

+

2

đỏ), không phải

2

và

3

như số màu.

1Cách 1. Lập bảng hai chiều

Định hướng. Lấy đồng thời một viên từ mỗi túi là hai hành động độc lập; lập bảng bốn dòng (ứng với $4$ viên bi Túi I) và năm cột (ứng với $5$ viên bi Túi II), mỗi ô là một kết quả có thể.

a) Phép thử là từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một viên bi. Kết quả của phép thử là cặp (viên bi lấy từ Túi I, viên bi lấy từ Túi II).
b) Lập bảng liệt kê:

Túi II	X1	X2	X3	D1	D2
B1	(B1, X1)	(B1, X2)	(B1, X3)	(B1, D1)	(B1, D2)
B2	(B2, X1)	(B2, X2)	(B2, X3)	(B2, D1)	(B2, D2)
T1	(T1, X1)	(T1, X2)	(T1, X3)	(T1, D1)	(T1, D2)
T2	(T2, X1)	(T2, X2)	(T2, X3)	(T2, D1)	(T2, D2)

Bảng có

4

dòng,

5

cột nên có

4 \times 5 = 20

ô.

Vậy không gian mẫu là $Ω = {(B_{1}, X_{1}); (B_{1}, X_{2}); \dots; (T_{2}, D_{1}); (T_{2}, D_{2})}$ gồm đầy đủ $20$ cặp trong bảng trên, có $20$ phần tử.

2Cách 2. Liệt kê theo sơ đồ cây

Định hướng. Bốn nhánh gốc ứng với viên bi lấy từ Túi I, mỗi nhánh gốc tách năm nhánh con ứng với viên bi lấy từ Túi II.

Nhánh gốc

B_{1}

(B_{1}, X_{1}), (B_{1}, X_{2}), (B_{1}, X_{3}), (B_{1}, D_{1}), (B_{1}, D_{2})

—

5

kết quả.
Tương tự, mỗi nhánh gốc

B_{2}, T_{1}, T_{2}

đều cho đúng

5

kết quả.
Bốn nhánh gốc rời nhau, mỗi nhánh cho đúng

5

kết quả.

Vậy không gian mẫu có $4 \times 5 = 20$ phần tử, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Quy tắc nhân

Định hướng. Hai lượt lấy từ hai túi độc lập nhau, chỉ cần nhân số viên bi của từng túi.

Túi I có

2 + 2 = 4

viên bi nên có

4

cách lấy.
Túi II có

3 + 2 = 5

viên bi nên có

5

cách lấy.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là

4 \times 5 = 20

Vậy không gian mẫu có $20$ phần tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (quy tắc nhân

4 \times 5

) để ra nhanh

20

; khi đề yêu cầu "mô tả không gian mẫu" tường minh thì trình bày theo Cách 1.

Đáp số. Không gian mẫu gồm

20

cặp (viên bi Túi I, viên bi Túi II), có

20

phần tử.

Sai lầm thường gặp. Đếm nhầm số viên bi của mỗi túi theo số màu thay vì số viên (ví dụ coi Túi II chỉ có

2

loại nên

2

cách lấy), dẫn tới đáp số sai như

4 \times 2 = 8

thay vì

4 \times 5 = 20

🚀 Mở rộng. Nếu Túi I có

m

viên bi và Túi II có

n

viên bi, không gian mẫu của phép lấy đồng thời mỗi túi một viên có

m \times n

phần tử; ở đây

m = 4, n = 5

cho

20

phần tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.2★Trang 43— Đếm và mô tả không gian mẫu khi hai hành động độc lập (gieo đồng xu, lấy bóng theo màu) diễn ra đồng thời

Bài 8.2 (trang 43). Bạn Minh gieo một đồng xu và bạn Ngọc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ một hộp chứa 4 quả bóng với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. a) Phép thử là gì? b) Có bao nhiêu kết quả có thể? Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của phép thử gồm hai hành động đồng thời là một bộ ghép các kết quả của từng hành động.
Quy tắc nhân: hai hành động độc lập có $m$ và $n$ kết quả có thể thì có $m \times n$ kết quả có thể của cả hai.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai bạn thực hiện hai hành động độc lập cùng lúc — đúng mô hình đã gặp ở Ví dụ 1 của SGK (gieo xúc xắc và gieo đồng xu). Hướng nhanh nhất là quy tắc nhân

2 \times 4

; lập bảng dùng khi cần liệt kê tường minh

Ω

. Bẫy của đề là nhầm "4 quả bóng" với "4 màu" — ở đây mỗi màu ứng với đúng một quả nên số kết quả về bóng là

4

, không cần nhân thêm.

1Cách 1. Lập bảng hai chiều

Định hướng. Gieo đồng xu và lấy bóng diễn ra đồng thời, độc lập nhau; lập bảng hai dòng (mặt đồng xu) và bốn cột (màu bóng).

a) Phép thử là bạn Minh gieo một đồng xu và bạn Ngọc lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp. Kết quả của phép thử là cặp (mặt đồng xu, màu quả bóng), mặt đồng xu là sấp (

S

) hoặc ngửa (

N

).
b) Lập bảng liệt kê:

Quả bóng	xanh	đỏ	tím	vàng
S	(S, xanh)	(S, đỏ)	(S, tím)	(S, vàng)
N	(N, xanh)	(N, đỏ)	(N, tím)	(N, vàng)

Bảng có

2

dòng,

4

cột nên có

2 \times 4 = 8

ô.

Vậy có $8$ kết quả có thể xảy ra; không gian mẫu là Ω = {(S, xanh); (S, đỏ); (S, tím); (S, vàng); (N, xanh); (N, đỏ); (N, tím); (N, vàng)}, có $8$ phần tử.

2Cách 2. Liệt kê theo sơ đồ cây

Định hướng. Hai nhánh gốc ứng với mặt đồng xu, mỗi nhánh gốc tách bốn nhánh con ứng với màu quả bóng.

Nhánh gốc

S

: (S, xanh), (S, đỏ), (S, tím), (S, vàng) —

4

kết quả.
Nhánh gốc

N

: (N, xanh), (N, đỏ), (N, tím), (N, vàng) —

4

kết quả.
Hai nhánh gốc rời nhau, mỗi nhánh cho đúng

4

kết quả.

Vậy có $2 \times 4 = 8$ kết quả có thể xảy ra, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Quy tắc nhân

Định hướng. Hai phép thử thành phần độc lập, nhân trực tiếp số kết quả có thể của từng phép thử.

Đồng xu có

2

mặt nên có

2

kết quả có thể.
Hộp có

4

quả bóng khác màu nên có

4

kết quả có thể.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là

2 \times 4 = 8

Vậy có $8$ kết quả có thể xảy ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (quy tắc nhân

2 \times 4

) để trả lời ngay câu b) "có bao nhiêu kết quả có thể", rồi liệt kê

Ω

theo Cách 1 nếu đề cần mô tả tường minh.

Đáp số. Có

8

kết quả có thể xảy ra; Ω = {(S, xanh); (S, đỏ); (S, tím); (S, vàng); (N, xanh); (N, đỏ); (N, tím); (N, vàng)}.

Sai lầm thường gặp. Chỉ đếm số màu bóng mà quên nhân với

2

mặt của đồng xu, hoặc ngược lại chỉ đếm số mặt đồng xu mà quên nhân với

4

màu bóng, dẫn tới đáp số sai

4

hoặc

2

thay vì

8

🚀 Mở rộng. Nếu hộp có

n

quả bóng khác màu (thay vì

4

) thì không gian mẫu có

2 \times n

phần tử; đổi đồng xu thành xúc xắc (

6

mặt) thì không gian mẫu có

6 \times n

phần tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.3★Trang 43— Đếm và mô tả không gian mẫu của phép thử rút đồng thời từ hai túi khác nhau (thẻ số và bi màu)

Bài 8.3 (trang 43). Túi A chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Túi B chứa 4 viên bi với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. Từ túi A rút ngẫu nhiên một tấm thẻ, đồng thời từ túi B lấy ngẫu nhiên một viên bi. a) Phép thử là gì? b) Có bao nhiêu kết quả có thể? Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Kiến thức cần nhớ

Kết quả của phép thử gồm hai hành động đồng thời là một bộ ghép các kết quả của từng hành động.
Quy tắc nhân: hai hành động độc lập có $m$ và $n$ kết quả có thể thì có $m \times n$ kết quả có thể của cả hai.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai túi khác loại đối tượng (thẻ số và bi màu) và lấy đồng thời — cùng mô hình với Bài 8.1, chỉ khác Túi B ở đây có đúng

4

viên bi bốn màu, không phải

5

viên như Túi II ở Bài 8.1. Hướng nhanh nhất vẫn là quy tắc nhân

4 \times 4

. Bẫy của đề là nhầm lẫn số thẻ (đếm theo giá trị ghi trên thẻ:

1, 2, 3, 4

) với số bi (đếm theo màu, không phải theo kí hiệu đánh số).

1Cách 1. Lập bảng hai chiều

Định hướng. Rút thẻ ở Túi A và lấy bi ở Túi B diễn ra đồng thời, độc lập nhau; lập bảng bốn dòng (số trên thẻ) bốn cột (màu bi).

a) Phép thử là từ Túi A rút ngẫu nhiên một tấm thẻ, đồng thời từ Túi B lấy ngẫu nhiên một viên bi. Kết quả của phép thử là cặp (số trên thẻ, màu viên bi).
b) Lập bảng liệt kê:

Túi B	xanh	đỏ	tím	vàng
1	(1, xanh)	(1, đỏ)	(1, tím)	(1, vàng)
2	(2, xanh)	(2, đỏ)	(2, tím)	(2, vàng)
3	(3, xanh)	(3, đỏ)	(3, tím)	(3, vàng)
4	(4, xanh)	(4, đỏ)	(4, tím)	(4, vàng)

Bảng có

4

dòng,

4

cột nên có

4 \times 4 = 16

ô.

Vậy có $16$ kết quả có thể xảy ra; không gian mẫu $Ω$ gồm đủ $16$ cặp (số thẻ, màu bi) như trong bảng trên.

2Cách 2. Liệt kê theo sơ đồ cây

Định hướng. Bốn nhánh gốc ứng với số trên thẻ rút từ Túi A, mỗi nhánh gốc tách bốn nhánh con ứng với màu bi lấy từ Túi B.

Nhánh gốc

1

: (1, xanh), (1, đỏ), (1, tím), (1, vàng) —

4

kết quả.
Tương tự, mỗi nhánh gốc

2, 3, 4

đều cho đúng

4

kết quả.
Bốn nhánh gốc rời nhau, mỗi nhánh cho đúng

4

kết quả.

Vậy không gian mẫu có $4 \times 4 = 16$ phần tử, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Quy tắc nhân

Định hướng. Hai phép lấy từ hai túi độc lập nhau, nhân số kết quả có thể của từng túi.

Túi A có

4

tấm thẻ nên có

4

kết quả có thể.
Túi B có

4

viên bi khác màu nên có

4

kết quả có thể.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là

4 \times 4 = 16

Vậy có $16$ kết quả có thể xảy ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (quy tắc nhân

4 \times 4

) để trả lời nhanh câu b); dùng Cách 1 khi cần liệt kê tường minh

16

phần tử của

Ω

Đáp số. Có

16

kết quả có thể xảy ra; không gian mẫu gồm

16

cặp (số trên thẻ, màu viên bi).

Sai lầm thường gặp. Nhầm bài này với Bài 8.1 rồi lấy nhầm số kết quả của Túi B là

5

(đúng cho Bài 8.1) thay vì

4

, dẫn tới đáp số sai

4 \times 5 = 20

thay vì

4 \times 4 = 16

— hai bài có cấu trúc giống nhau nhưng số liệu khác nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu Túi A có

m

tấm thẻ và Túi B có

n

viên bi khác màu, không gian mẫu của phép lấy đồng thời có

m \times n

phần tử; ở đây

m = n = 4

cho

16

phần tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.4★★Trang 43— Mô tả không gian mẫu của phép thử lấy liên tiếp không hoàn lại từ một tập gồm 6 phần tử

Bài 8.4 (trang 43). Một hộp đựng 6 chiếc kẹo với các nhãn hiệu A, B, C, D, E, F. Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo cho vào cặp sách của mình. Tiếp đó bạn Hồng lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo từ hộp. a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì? b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Kiến thức cần nhớ

Lấy không hoàn lại hai lần liên tiếp trong $n$ đối tượng cho $n (n - 1)$ kết quả có thứ tự.
Cụm từ mô tả "cho vào cặp sách", "không trả lại" là dấu hiệu của phép lấy không hoàn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai bạn lấy kẹo liên tiếp, kẹo của Lan "cho vào cặp sách" nghĩa là không trả lại hộp — cùng dạng lấy không hoàn lại như Ví dụ 2 và Bài 8.2 của SGK, nhưng với

6

đối tượng. Hướng nhanh nhất là quy tắc nhân

6 \times 5

. Bẫy của đề là đọc lướt cụm "cho vào cặp sách" rồi tưởng kẹo vẫn còn trong hộp, dẫn tới tính sai thành

6 \times 6 = 36

1Cách 1. Lập bảng rồi loại đường chéo

Định hướng. Kẹo Lan lấy cho vào cặp sách không còn trong hộp nữa, nên chiếc kẹo Hồng lấy sau luôn khác chiếc Lan đã lấy; lập bảng $6 \times 6$ rồi loại đường chéo.

a) Phép thử là bạn Lan lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo cho vào cặp sách, sau đó bạn Hồng lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo từ hộp. Kết quả của phép thử là cặp

(x, y)

, trong đó

x

là nhãn hiệu kẹo Lan lấy,

y

là nhãn hiệu kẹo Hồng lấy; vì kẹo Lan lấy không còn trong hộp nên

x \neq = y

.
b) Lập bảng liệt kê:

Hồng	A	B	C	D	E	F
A	—	(A, B)	(A, C)	(A, D)	(A, E)	(A, F)
B	(B, A)	—	(B, C)	(B, D)	(B, E)	(B, F)
C	(C, A)	(C, B)	—	(C, D)	(C, E)	(C, F)
D	(D, A)	(D, B)	(D, C)	—	(D, E)	(D, F)
E	(E, A)	(E, B)	(E, C)	(E, D)	—	(E, F)
F	(F, A)	(F, B)	(F, C)	(F, D)	(F, E)	—

Bảng có

6 \times 6 = 36

ô, loại

6

ô trên đường chéo còn

36 - 6 = 30

ô.

Vậy không gian mẫu $Ω$ gồm $30$ cặp $(x, y)$ với $x, y \in {A; B; C; D; E; F}$ , $x \neq = y$ ; không gian mẫu có $30$ phần tử.

2Cách 2. Liệt kê theo sơ đồ cây

Định hướng. Sáu nhánh gốc ứng với kẹo Lan lấy, mỗi nhánh gốc còn năm nhánh con (bớt đi chính chiếc Lan vừa lấy) ứng với kẹo Hồng lấy.

Nhánh gốc

A

(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F)

—

5

kết quả.
Tương tự, mỗi nhánh gốc

B, C, D, E, F

đều cho đúng

5

kết quả.
Sáu nhánh gốc rời nhau, mỗi nhánh cho đúng

5

kết quả.

Vậy không gian mẫu có $6 \times 5 = 30$ phần tử, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Quy tắc nhân

Định hướng. Đếm số lựa chọn còn lại ở mỗi lượt lấy rồi nhân lại.

Lượt của Lan: hộp có

6

chiếc kẹo nên có

6

cách chọn.
Lượt của Hồng: kẹo Lan đã lấy không còn trong hộp nên hộp còn

5

chiếc, có

5

cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là

6 \times 5 = 30

Vậy không gian mẫu có $30$ phần tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (quy tắc nhân

6 \times 5

) để ra ngay

30

, khỏi vẽ bảng

36

ô rồi đếm số ô còn lại.

Đáp số. Không gian mẫu

Ω = {(x, y) : x, y \in {A; B; C; D; E; F}, x \neq = y}

, có

30

phần tử.

Sai lầm thường gặp. Bỏ qua chi tiết "kẹo Lan lấy cho vào cặp sách" (tức không hoàn lại), tính nhầm cả trường hợp

x = y

nên cho đáp số sai

36

thay vì

30

🚀 Mở rộng. Nếu hộp có

n

chiếc kẹo và hai bạn lần lượt lấy không hoàn lại, không gian mẫu có

n (n - 1)

phần tử; với

n = 6

ta được đúng

30

, còn nếu có bạn thứ ba lấy tiếp thì không gian mẫu có

n (n - 1) (n - 2) = 120

phần tử.

Mở bài này trong app ↗