Bài 25. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Định hướng. Kết quả của việc rút thăm là một cặp có thứ tự (khách rút lần 1, khách rút lần 2), hai vị trí trong cặp phải khác tên nhau vì phiếu rút lần đầu không trả lại hộp; lập bảng bốn dòng bốn cột rồi gạch bỏ đường chéo là liệt kê đủ.

Vậy có $12$ kết quả có thể xảy ra.

Định hướng. Vẽ bốn nhánh gốc ứng với khách rút ở lần 1, mỗi nhánh gốc tách thành ba nhánh con ứng với ba khách còn lại có thể rút ở lần 2.

Vậy có $12$ kết quả có thể xảy ra, đúng bằng số kết quả đếm được ở Cách 1.

Định hướng. Việc rút thăm gồm hai giai đoạn liên tiếp, số cách ở giai đoạn sau phụ thuộc giai đoạn trước theo đúng một đơn vị (giảm đi phiếu vừa rút); dùng quy tắc nhân sẽ ra kết quả nhanh nhất mà không cần liệt kê.

Vậy có $\boxed{12}$ kết quả có thể xảy ra.

Nhận xét. Cách 3 không cần vẽ bảng hay liệt kê, chỉ cần đếm số lựa chọn còn lại ở mỗi giai đoạn — đây là cách nhanh nhất khi số khách hàng lớn.

Định hướng. Phép thử ở tình huống mở đầu là rút thăm ngẫu nhiên; theo đúng nghĩa của từ "ngẫu nhiên", kết quả không thể biết trước khi thực hiện — trả lời câu a) dựa thẳng vào định nghĩa này, rồi nêu ví dụ cho câu b).

Vậy a) không thể nói trước; b) $(A,C)$, $(B,D)$, $(D,A)$ là ba trong số các trường hợp có thể xảy ra.

Định hướng. Lập bảng liệt kê đủ mọi kết quả có thể (như Cách 1 của phần Mở đầu) rồi quan sát: nếu bảng có nhiều hơn một ô thì không ai biết trước ô nào sẽ được chọn, đồng thời có thể chọn bất kì ba ô trong bảng làm ví dụ cho câu b).

Vậy a) không thể nói trước (vì có tới $12$ khả năng); b) $(A,B),(C,D),(B,C)$ là ba trường hợp có thể xảy ra.

Định hướng. Thay vì chỉ trả lời bằng lời, dùng quy tắc nhân đếm số kết quả có thể xảy ra: nếu số đó lớn hơn $1$ thì chắc chắn không thể nói trước; con số này cũng giúp chọn ví dụ có căn cứ cho câu b).

Vậy a) không thể nói trước (vì có $12$ khả năng đồng khả năng); b) $(A,D),(C,B),(D,C)$ là ba trường hợp có thể xảy ra.

Định hướng. Xúc xắc và đồng xu gieo đồng thời, độc lập với nhau; xếp một bảng với sáu cột ứng với sáu số chấm và hai dòng ứng với hai mặt đồng xu, mỗi ô của bảng là một kết quả có thể xảy ra.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(1,S);(2,S);(3,S);(4,S);(5,S);(6,S);(1,N);(2,N);(3,N);(4,N);(5,N);(6,N)\}$, có $12$ phần tử.

Định hướng. Tách kết quả của xúc xắc thành sáu nhánh gốc, mỗi nhánh gốc chia tiếp thành hai nhánh con ứng với mặt đồng xu.

Vậy không gian mẫu có $6\times 2=12$ phần tử, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Hai phép gieo độc lập với nhau nên chỉ cần nhân số kết quả có thể của từng phép gieo, không cần liệt kê hết tên các phần tử.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{12}$ phần tử.

Nhận xét. Cách 3 cho ngay số phần tử mà không cần liệt kê, nhưng muốn viết tường minh tập $\Omega$ (như đề đôi khi yêu cầu) thì vẫn phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. Hai lần quay là hai giai đoạn liên tiếp trên cùng một tấm bìa; vì tấm bìa được gắn lại từ đầu ở mỗi lần quay nên kết quả lần 2 có thể trùng số với lần 1, lập bảng $3\times 3$ không cần loại ô nào.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(3,3)\}$, có $9$ phần tử.

Định hướng. Vẽ ba nhánh gốc ứng với kết quả lần quay thứ nhất, mỗi nhánh gốc lại tách ba nhánh con ứng với kết quả lần quay thứ hai (kể cả trùng số với nhánh gốc).

Vậy không gian mẫu có $3\times 3=9$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Hai lần quay độc lập với nhau và mỗi lần đều có đủ ba khả năng như nhau (không bớt đi khả năng nào), nên chỉ cần nhân số kết quả có thể của từng lần quay.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{9}$ phần tử.

Nhận xét. Khác với việc rút thăm hay lấy bóng không hoàn lại, ở đây tấm bìa không bị lấy đi nên kết quả lần 2 không bớt đi khả năng nào so với lần 1 — đó là lí do bảng không có ô nào bị loại như ở Ví dụ 2.

Định hướng. Quả bóng lấy lần đầu không trả lại nên số ghi trên hai quả khác nhau; lập bảng $4\times 4$ rồi loại bốn ô trên đường chéo là liệt kê đủ.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)\}$, có $12$ phần tử.

Định hướng. Vẽ bốn nhánh gốc ứng với quả bóng lấy ở lần 1, mỗi nhánh gốc chỉ còn ba nhánh con (bớt đi chính quả vừa lấy) ứng với lần 2.

Vậy không gian mẫu có $4\times 3=12$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đếm số lựa chọn còn lại ở mỗi lần lấy rồi nhân lại, không cần liệt kê tên các cặp.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{12}$ phần tử.

Định hướng. Kí hiệu bốn khách hàng có lượng mua nhiều nhất lần lượt là $A,B,C,D$ rồi làm hoàn toàn tương tự Ví dụ 2: lá phiếu rút lần 1 không trả lại nên hai khách hàng trong kết quả luôn khác nhau.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(A,B);(A,C);(A,D);(B,A);(B,C);(B,D);(C,A);(C,B);(C,D);(D,A);(D,B);(D,C)\}$, có $12$ phần tử.

Định hướng. Bốn nhánh gốc ứng với khách có tên trong lá phiếu rút lần 1, mỗi nhánh gốc còn ba nhánh con ứng với ba khách còn lại có thể rút ở lần 2.

Vậy không gian mẫu có $4\times 3=12$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đếm số lựa chọn còn lại ở mỗi lần rút rồi nhân lại, không cần liệt kê tên các cặp — cách này chính là lời giải đã dùng ở phần Mở đầu.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{12}$ phần tử.

Nhận xét. Kết quả đúng bằng số kết quả đã đếm ở phần Mở đầu, vì Luyện tập 2 chỉ yêu cầu diễn đạt lại đúng phép thử đó bằng ngôn ngữ phép thử và không gian mẫu vừa học.

Định hướng. Kết quả của phép thử là một cặp kiểu gene (kiểu gene ứng với màu hạt, kiểu gene ứng với hình dạng hạt); liệt kê riêng từng locus rồi ghép cặp bằng bảng hai chiều.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(AA,BB);(AA,Bb);(AA,bB);(AA,bb);(Aa,BB);(Aa,Bb);(Aa,bB);(Aa,bb)\}$, có $8$ phần tử.

Định hướng. Tách kết quả về màu hạt thành hai nhánh gốc, mỗi nhánh gốc chia tiếp thành bốn nhánh con ứng với kiểu gene về hình dạng hạt.

Vậy không gian mẫu có $2\times 4=8$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Việc hình thành kiểu gene của cây con ở hai locus (màu hạt, hình dạng hạt) là hai lựa chọn độc lập nhau, chỉ cần nhân số khả năng ở từng locus.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{8}$ phần tử.

Định hướng. Kí hiệu $T$ là con trai, $G$ là con gái; hai người con phân biệt theo thứ tự sinh (con đầu, con thứ hai), lập bảng $2\times 2$ liệt kê đủ mọi khả năng.

Vậy không gian mẫu là $\Omega =\{(T,T);(T,G);(G,T);(G,G)\}$, có $4$ phần tử.

Định hướng. Vẽ hai nhánh gốc ứng với giới tính con đầu, mỗi nhánh gốc tách hai nhánh con ứng với giới tính con thứ hai.

Vậy không gian mẫu có $2\times 2=4$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Giới tính của hai con là hai lựa chọn độc lập, mỗi con đều có $2$ khả năng, nhân số khả năng của hai con lại với nhau.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{4}$ phần tử.

Định hướng. Giống hệt Ví dụ 2 nhưng với $5$ tấm thẻ: tấm rút lần đầu không trả lại nên hai số trong kết quả luôn khác nhau, lập bảng $5\times 5$ rồi loại đường chéo.

Vậy không gian mẫu $\Omega$ gồm $20$ cặp $(a,b)$ với $a,b\in \{1;2;3;4;5\}$, $a\ne b$; không gian mẫu có $20$ phần tử.

Định hướng. Năm nhánh gốc ứng với tấm thẻ rút lần 1, mỗi nhánh gốc chỉ còn bốn nhánh con (bớt đi chính tấm vừa rút) ứng với lần 2.

Vậy không gian mẫu có $5\times 4=20$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đếm số lựa chọn còn lại ở mỗi lần rút rồi nhân lại.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{20}$ phần tử.

Định hướng. Hai lượt chọn từ hai nhóm khác nhau, tiến hành đồng thời và độc lập; lập bảng ba dòng ba cột, mỗi ô là một kết quả có thể.

Vậy không gian mẫu là Ω = {(Huy, Hồng); (Huy, Phương); (Huy, Linh); (Sơn, Hồng); (Sơn, Phương); (Sơn, Linh); (Tùng, Hồng); (Tùng, Phương); (Tùng, Linh)}, có $9$ phần tử.

Định hướng. Ba nhánh gốc ứng với học sinh được chọn ở Nhóm I, mỗi nhánh gốc tách ba nhánh con ứng với học sinh được chọn ở Nhóm II.

Vậy không gian mẫu có $3\times 3=9$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Chọn từ hai nhóm là hai lựa chọn độc lập nhau, nhân số cách chọn của từng nhóm.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{9}$ phần tử.

Định hướng. Kết quả của phép thử là thứ tự ba bạn ngồi từ trái sang phải trên ghế; liệt kê trực tiếp mọi hoán vị của ba tên Mai, Việt, Lan.

Vậy không gian mẫu $\Omega$ gồm $6$ cách xếp trên, có $6$ phần tử.

Định hướng. Chọn dần bạn ngồi ở từng vị trí: ba nhánh gốc ứng với bạn ngồi vị trí thứ nhất, mỗi nhánh gốc tách hai nhánh con ứng với bạn ngồi vị trí thứ hai (vị trí thứ ba tự động xác định).

Vậy không gian mẫu có $3\times 2=6$ phần tử, khớp với Cách 1.

Định hướng. Xếp lần lượt từng vị trí trên ghế từ trái sang phải, đếm số bạn còn lại có thể ngồi vào mỗi vị trí rồi nhân lại.

Vậy không gian mẫu có $\boxed{6}$ phần tử.

Nhận xét. Đây chính là số cách sắp xếp thứ tự (hoán vị) của $3$ phần tử, kí hiệu $3!=3\times 2\times 1=6$.