Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005 ($x,y$ nguyên dương). Dịch hai câu văn của đề thành hai phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Vậy năm 2005 có $18$ lần phóng vệ tinh thương mại và $37$ lần phóng vệ tinh phi thương mại.

Chỉ đặt $x$ là số lần phóng thương mại, biểu diễn số lần phóng phi thương mại theo $x$ bằng cả hai dữ kiện của đề rồi cho hai cách biểu diễn đó bằng nhau.

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra đúng $18$ lần thương mại và $37$ lần phi thương mại, khớp Cách 1.

Coi số lần thương mại là $1$ phần thì theo đề, số lần phi thương mại là $2$ phần cộng thêm $1$; ghép cả hai vào tổng để tìm giá trị một phần.

Vậy nhìn theo sơ đồ (hình bên): mỗi phần ứng với $18$, ba phần cộng $1$ đơn vị vừa đúng $55$, cho lại kết quả $18$ và $37$ như hai cách trên.

Nhận xét. Bài toán dạng 'tổng và hơn kém theo tỉ lệ $k$ lần cộng thêm $m$' luôn quy được về $x=\frac{55-1}{2+1}$ mà không cần lập hệ hai ẩn đầy đủ.

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc thực của ca nô, $y$ (km/h) là vận tốc dòng nước, $x>y>0$. Tính vận tốc mỗi chiều từ quãng đường và thời gian rồi lập hệ.

Vậy vận tốc thực của ca nô là $6$km/h và vận tốc dòng nước là $2$km/h (thoả $x>y>0$).

Chỉ đặt $x$ là vận tốc thực; từ $x-y=4$ rút $y=x-4$ rồi thay vào phương trình còn lại để chỉ còn một ẩn.

Vậy cách rút một ẩn cũng cho $x=6$, $y=2$, khớp Cách 1.

Hai phương trình $x-y=4$ và $x+y=8$ chính là dạng tổng - hiệu quen thuộc: số lớn bằng nửa tổng cộng nửa hiệu, số bé bằng nửa tổng trừ nửa hiệu.

Vậy áp dụng thẳng công thức tổng - hiệu cũng ra đúng $x=6$, $y=2$ như hai cách trên.

Nhận xét. Mọi hệ có dạng $\{\begin{array}{l}x-y=a\\ x+y=b\end{array}$ đều giải nhanh bằng công thức tổng - hiệu mà không cần cộng trừ lại từ đầu mỗi lần.

Gọi $x,y$ (lít) lần lượt là thể tích dung dịch $10\%$ và $70\%$ cần dùng, $0<x,y<1000$. Lập một phương trình theo tổng thể tích và một phương trình theo lượng cồn nguyên chất.

Vậy cần $900$ lít dung dịch $10\%$ và $100$ lít dung dịch $70\%$ (thoả $0<x,y<1000$).

Chỉ đặt $x$ là thể tích dung dịch $10\%$, biểu diễn thể tích dung dịch $70\%$ là $1000-x$ rồi thay vào phương trình lượng cồn nguyên chất.

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra $900$ lít dung dịch $10\%$ và $100$ lít dung dịch $70\%$, khớp Cách 1.

So khoảng cách từ mỗi nồng độ thành phần tới nồng độ hỗn hợp $16\%$: hai khoảng cách này tỉ lệ nghịch với hai thể tích cần trộn.

Vậy quy tắc đường chéo cũng cho đúng $900$ lít dung dịch $10\%$ và $100$ lít dung dịch $70\%$ như hai cách trên.

Nhận xét. Quy tắc đường chéo (khoảng cách nồng độ tỉ lệ nghịch với thể tích) cho ngay tỉ lệ $x:y$ mà không cần lập và giải hệ phương trình đầy đủ.

Gọi $x,y$ (phút) lần lượt là thời gian tập thể dục nhịp điệu và giãn cơ, $x,y>0$. Lập một phương trình theo tổng thời gian và một phương trình theo tổng calo.

Vậy chị Hương nên tập thể dục nhịp điệu $25$ phút và giãn cơ $15$ phút (thoả $x,y>0$).

Chỉ đặt $x$ là thời gian tập nhịp điệu, biểu diễn thời gian giãn cơ là $40-x$ rồi thay vào phương trình tổng calo.

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra $x=25$, $y=15$, khớp Cách 1.

Giả sử cả $40$ phút chị đều giãn cơ, tính xem còn thiếu bao nhiêu calo so với mục tiêu, rồi suy ra thời gian cần đổi sang nhịp điệu.

Vậy giả thiết tạm cũng cho đúng $25$ phút nhịp điệu và $15$ phút giãn cơ, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Giả thiết tạm tránh phải lập cả hệ hai ẩn, chỉ cần một phép trừ và một phép chia là ra ngay đáp số.