Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005 ($x,y$ nguyên dương). Dịch hai câu văn của đề thành hai phương trình rồi giải bằng phương pháp thế.

Vậy năm 2005 có $18$ lần phóng vệ tinh thương mại và $37$ lần phóng vệ tinh phi thương mại.

Chỉ đặt $x$ là số lần phóng thương mại, biểu diễn số lần phóng phi thương mại theo $x$ bằng cả hai dữ kiện của đề rồi cho hai cách biểu diễn đó bằng nhau.

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra đúng $18$ lần thương mại và $37$ lần phi thương mại, khớp Cách 1.

Coi số lần thương mại là $1$ phần thì theo đề, số lần phi thương mại là $2$ phần cộng thêm $1$; ghép cả hai vào tổng để tìm giá trị một phần.

Vậy nhìn theo sơ đồ (hình bên): mỗi phần ứng với $18$, ba phần cộng $1$ đơn vị vừa đúng $55$, cho lại kết quả $18$ và $37$ như hai cách trên.

Nhận xét. Bài toán dạng 'tổng và hơn kém theo tỉ lệ $k$ lần cộng thêm $m$' luôn quy được về $x=\frac{55-1}{2+1}$ mà không cần lập hệ hai ẩn đầy đủ.

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc thực của ca nô, $y$ (km/h) là vận tốc dòng nước, $x>y>0$. Tính vận tốc mỗi chiều từ quãng đường và thời gian rồi lập hệ.

Vậy vận tốc thực của ca nô là $6$km/h và vận tốc dòng nước là $2$km/h (thoả $x>y>0$).

Chỉ đặt $x$ là vận tốc thực; từ $x-y=4$ rút $y=x-4$ rồi thay vào phương trình còn lại để chỉ còn một ẩn.

Vậy cách rút một ẩn cũng cho $x=6$, $y=2$, khớp Cách 1.

Hai phương trình $x-y=4$ và $x+y=8$ chính là dạng tổng - hiệu quen thuộc: số lớn bằng nửa tổng cộng nửa hiệu, số bé bằng nửa tổng trừ nửa hiệu.

Vậy áp dụng thẳng công thức tổng - hiệu cũng ra đúng $x=6$, $y=2$ như hai cách trên.

Nhận xét. Mọi hệ có dạng $\{\begin{array}{l}x-y=a\\ x+y=b\end{array}$ đều giải nhanh bằng công thức tổng - hiệu mà không cần cộng trừ lại từ đầu mỗi lần.