Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

SBT (Sách bài tập) Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★★Trang 22— Đưa phương trình về dạng tích bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Giải các phương trình sau: a)

(x + 2)^{2} - (2 x + 1) (x + 2) = 0

; b)

16 x^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: nếu hai hạng tử cùng chứa nhân tử $(x + 2)$ thì đặt ra ngoài để đưa phương trình về dạng tích bằng $0$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ giúp phân tích nhanh khi cả hai hạng tử đều là bình phương.
Tích của hai nhân tử bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có dạng hiệu của hai biểu thức chứa cùng một nhân tử — câu a cùng chứa

(x + 2)

, câu b cả hai hạng tử đều là bình phương đúng nghĩa của hằng đẳng thức

A^{2} - B^{2}

. Dấu hiệu đó cho thấy nên phân tích vế trái thành tích hai nhân tử bậc nhất rồi đưa về hai phương trình bậc nhất riêng lẻ, đúng tinh thần bài học. Bẫy ở câu a là vội khai triển hết cả hai ngoặc trước khi nhận ra nhân tử chung, khiến phép tính dài và dễ nhầm dấu.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung ngay từ phương trình gốc

Ở câu a, cả hai hạng tử đều chứa nhân tử $(x + 2)$ nên đặt ra ngoài trước khi khai triển; ở câu b, cả hai hạng tử là bình phương đúng nên áp dụng ngay hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

(x + 2)^{2} - (2 x + 1) (x + 2) = 0

(x + 2) [(x + 2) - (2 x + 1)] = 0

(x + 2) (1 - x) = 0

x + 2 = 0

hoặc

1 - x = 0

x = - 2

hoặc

x = 1

16 x^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

(4 x)^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

(4 x - 3 x - 2) (4 x + 3 x + 2) = 0

(x - 2) (7 x + 2) = 0

x - 2 = 0

hoặc

7 x + 2 = 0

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Vậy câu a có $x = - 2$ hoặc $x = 1$ ; câu b có $x = 2$ hoặc $x = - \frac{2}{7}$ .

2Cách 2. Khai triển toàn bộ rồi tách hạng tử bậc nhất để phân tích nhân tử

Khai triển hết hai vế đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn, sau đó tách hạng tử bậc nhất thành hai phần để nhóm nhân tử chung.

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

;

(2 x + 1) (x + 2) = 2 x^{2} + 5 x + 2

x^{2} + 4 x + 4 - 2 x^{2} - 5 x - 2 = 0

- x^{2} - x + 2 = 0

x^{2} + x - 2 = 0

x^{2} + 2 x - x - 2 = 0

x (x + 2) - (x + 2) = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

x = - 2

hoặc

x = 1

16 x^{2} - (9 x^{2} + 12 x + 4) = 0

7 x^{2} - 12 x - 4 = 0

7 x^{2} - 14 x + 2 x - 4 = 0

7 x (x - 2) + 2 (x - 2) = 0

(x - 2) (7 x + 2) = 0

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Khai triển rồi tách hạng tử cũng cho đúng hai cặp nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi đối chiếu

Đưa phương trình bậc hai thu được ở Cách 2 vào chức năng giải phương trình bậc hai của máy tính cầm tay để tìm nghiệm, dùng làm bước kiểm tra lại kết quả.

a) nhập

x^{2} + x - 2 = 0

: máy trả về

x = 1

và

x = - 2

b) nhập

7 x^{2} - 12 x - 4 = 0

: máy trả về

x = 2

và

x \approx - 0, 2857 = - \frac{2}{7}

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Casio chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số cuối cùng, không thay được cho việc trình bày phép phân tích nhân tử khi làm bài tự luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thấy nhân tử chung ngay từ đề bài nên đặt ra ngoài trước, tránh phải khai triển và tách hạng tử dài dòng như Cách 2.

Đáp số. a)

x = - 2

hoặc

x = 1

; b)

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển ngay

(x + 2)^{2}

và

(2 x + 1) (x + 2)

ở câu a mà không để ý nhân tử chung, dễ chép nhầm dấu khi trừ hai đa thức bậc hai, ví dụ ghi nhầm thành

x^{2} + x + 2 = 0

thay vì đúng phải là

x^{2} + x - 2 = 0

. Đặt nhân tử chung

(x + 2)

ngay từ đầu như Cách 1 tránh hẳn bước khai triển dễ sai này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phương trình dạng

A^{2} - B \cdot A = 0

với

A, B

là các biểu thức luôn đưa được về tích

A (A - B) = 0

mà không cần khai triển, áp dụng được cho cả bậc cao hơn.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 23— Rút gọn hai vế rồi đưa phương trình về dạng tích hai nhân tử bậc nhất

Giải các phương trình sau: a)

x^{3} + 3 x^{2} - 8 = x^{3} + 2 x^{2} - 7

; b)

x (2 x - 5) = (2 x + 1) (5 - 2 x)

Kiến thức cần nhớ

Khi hai vế có cùng một hạng tử bậc cao (như $x^{3}$ ) thì có thể lược bỏ ngay hạng tử đó ở cả hai vế để đưa phương trình về bậc thấp hơn.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Nếu một biểu thức xuất hiện dưới hai dạng đối nhau (như $5 - 2 x$ và $- (2 x - 5)$ ) thì có thể gộp thành nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có cả hai vế cùng chứa

x^{3}

và cùng chứa

2 x^{2}

— dấu hiệu cho thấy có thể triệt tiêu ngay các hạng tử giống nhau ở hai vế trước khi làm gì khác, phương trình bậc ba lập tức rút gọn về bậc hai đơn giản. Câu b có

(5 - 2 x)

chính là

- (2 x - 5)

, đối dấu với nhân tử

(2 x - 5)

đã có ở vế trái, nên gộp lại thành nhân tử chung sẽ nhanh hơn hẳn khai triển toàn bộ. Bẫy của câu b là khai triển vội

(2 x + 1) (5 - 2 x)

theo đúng thứ tự viết mà quên nhận ra quan hệ đối dấu giữa hai ngoặc.

1Cách 1. Rút gọn hai vế trước, rồi nhóm nhân tử chung

Bỏ ngay hạng tử $x^{3}$ giống nhau ở hai vế của câu a; ở câu b, nhận xét $5 - 2 x = - (2 x - 5)$ để gộp nhân tử chung $(2 x - 5)$ .

x^{3} + 3 x^{2} - 8 = x^{3} + 2 x^{2} - 7

3 x^{2} - 8 = 2 x^{2} - 7

x^{2} - 1 = 0

(x - 1) (x + 1) = 0

x = 1

hoặc

x = - 1

x (2 x - 5) = (2 x + 1) (5 - 2 x)

x (2 x - 5) = - (2 x + 1) (2 x - 5)

x (2 x - 5) + (2 x + 1) (2 x - 5) = 0

(2 x - 5) [x + (2 x + 1)] = 0

(2 x - 5) (3 x + 1) = 0

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Vậy câu a có $x = 1$ hoặc $x = - 1$ ; câu b có $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Khai triển toàn bộ đưa về phương trình bậc hai chuẩn rồi tách hạng tử

Khai triển hết vế phải của từng câu đưa phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ , sau đó tách hạng tử bậc nhất để phân tích nhân tử.

x^{3} + 3 x^{2} - 8 - x^{3} - 2 x^{2} + 7 = 0

x^{2} - 1 = 0

(x - 1) (x + 1) = 0

x = 1

hoặc

x = - 1

x (2 x - 5) = 2 x^{2} - 5 x

;

(2 x + 1) (5 - 2 x) = - 4 x^{2} + 8 x + 5

2 x^{2} - 5 x = - 4 x^{2} + 8 x + 5

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

6 x^{2} - 15 x + 2 x - 5 = 0

3 x (2 x - 5) + (2 x - 5) = 0

(2 x - 5) (3 x + 1) = 0

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Khai triển toàn bộ rồi tách hạng tử cũng cho đúng hai cặp nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi đối chiếu

Nhập phương trình bậc hai đã rút gọn ở Cách 2 vào máy tính cầm tay để tìm nghiệm, dùng làm bước đối chiếu cuối cùng.

a) nhập

x^{2} - 1 = 0

: máy trả về

x = 1

và

x = - 1

b) nhập

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

: máy trả về

x = 2, 5 = \frac{5}{2}

và

x \approx - 0, 333 = - \frac{1}{3}

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Rút gọn ngay từ đầu ở Cách 1 (bỏ $x^{3}$ , gộp nhân tử $(2 x - 5)$ ) cho lời giải ngắn hơn hẳn so với khai triển toàn bộ như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a chỉ cần trừ

x^{3}

ở hai vế là ra ngay phương trình bậc hai đơn giản, câu b nhận ra

(5 - 2 x) = - (2 x - 5)

giúp nhóm nhân tử chung mà không phải khai triển dài như Cách 2.

Đáp số. a)

x = 1

hoặc

x = - 1

; b)

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều bạn khai triển

(2 x + 1) (5 - 2 x)

rồi quên đổi dấu khi chuyển vế, dẫn tới phương trình sai dấu hạng tử bậc nhất, chẳng hạn ghi nhầm thành

6 x^{2} + 13 x - 5 = 0

thay vì đúng

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

. Nhóm nhân tử chung

(2 x - 5)

ngay từ đầu như Cách 1 tránh hẳn bước khai triển dễ sai dấu này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi hai vế phương trình cùng chứa một hạng tử bậc cao giống hệt nhau thì nên trừ bỏ ngay hạng tử đó trước khi biến đổi tiếp, giúp hạ bậc phương trình nhanh nhất.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 23— Chuyển vế, nhóm nhân tử chung đưa phương trình bậc hai về dạng tích

Giải các phương trình sau: a)

x^{2} + x = - 6 x - 6

; b)

2 x^{2} - 2 x = x - 1

Kiến thức cần nhớ

Chuyển vế đưa phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ rồi nhóm nhân tử chung theo từng cặp hạng tử.
Với phương trình $x^{2} + b x + c = 0$ (hệ số $a = 1$ ), nếu tìm được hai số có tổng bằng $- b$ và tích bằng $c$ thì đó chính là hai nghiệm.
Nếu nhẩm được một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể chia đa thức để tìm nhân tử bậc nhất còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a sau khi chuyển vế có dạng

x^{2} + b x + c = 0

với hệ số bậc hai là

1

, dấu hiệu thuận lợi để nhẩm ngay hai số có tổng và tích đúng bằng các hệ số. Câu b thử thay

x = 1

vào thấy thỏa mãn ngay, đó là gợi ý nên nhẩm nghiệm trước rồi tìm nhân tử còn lại thay vì tách hạng tử mò mẫm. Bẫy chung của cả hai câu là quên đổi dấu đầy đủ các hạng tử khi chuyển vế, dễ nhóm nhầm dấu.

1Cách 1. Chuyển vế, nhóm nhân tử chung theo từng cặp hạng tử

Chuyển hết các hạng tử về một vế rồi nhóm hai cặp hạng tử có nhân tử chung.

x^{2} + x = - 6 x - 6

x^{2} + x + 6 x + 6 = 0

x (x + 1) + 6 (x + 1) = 0

(x + 1) (x + 6) = 0

x = - 1

hoặc

x = - 6

2 x^{2} - 2 x = x - 1

2 x^{2} - 2 x - x + 1 = 0

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

2 x (x - 1) - (x - 1) = 0

(x - 1) (2 x - 1) = 0

x = 1

hoặc

x = \frac{1}{2}

Vậy câu a có $x = - 1$ hoặc $x = - 6$ ; câu b có $x = 1$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Nhẩm nghiệm bằng tổng-tích và bằng cách chia đa thức

Câu a có hệ số bậc hai bằng $1$ nên nhẩm hai số có tổng và tích đúng bằng các hệ số; câu b thử một giá trị đơn giản rồi chia đa thức để tìm nhân tử còn lại.

x^{2} + 7 x + 6 = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa

x_{1} + x_{2} = - 7

và

x_{1} x_{2} = 6

hai số có tổng

- 7

, tích

6

là

- 1

và

- 6

x = - 1

hoặc

x = - 6

b) thay

x = 1

vào

2 x^{2} - 2 x = x - 1

2 - 2 = 0

và

1 - 1 = 0

, hai vế bằng nhau nên

x = 1

là một nghiệm

(x - 1)

là một nhân tử của

2 x^{2} - 3 x + 1

; chia

2 x^{2} - 3 x + 1

cho

(x - 1)

được thương

2 x - 1

2 x^{2} - 3 x + 1 = (x - 1) (2 x - 1) = 0

x = 1

hoặc

x = \frac{1}{2}

Nhẩm nghiệm rồi kiểm tra lại cũng cho đúng hai cặp nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi đối chiếu

Nhập trực tiếp từng phương trình bậc hai vào máy tính cầm tay để tìm nghiệm.

a) nhập

x^{2} + 7 x + 6 = 0

: máy trả về

x = - 1

và

x = - 6

b) nhập

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

: máy trả về

x = 1

và

x = 0, 5 = \frac{1}{2}

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Nhẩm tổng-tích chỉ tiện khi hệ số bậc hai bằng $1$ ; hệ số khác $1$ như câu b thì nhẩm một nghiệm rồi chia đa thức sẽ nhanh hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm nhân tử chung theo từng cặp hạng tử luôn áp dụng được dù hệ số bậc hai có bằng

1

hay không, ổn định hơn việc phải nhẩm tổng-tích hoặc nhẩm nghiệm trước.

Đáp số. a)

x = - 1

hoặc

x = - 6

; b)

x = 1

hoặc

x = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, nhiều bạn quên đổi dấu khi chuyển

- 6 x - 6

sang vế trái, viết nhầm thành

x^{2} + x - 6 x - 6 = 0

tức

x^{2} - 5 x - 6 = 0

(cho nghiệm

x = 6, x = - 1

, sai với đề). Phải đổi dấu đúng hai hạng tử khi chuyển vế:

x^{2} + x + 6 x + 6 = 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi phương trình bậc hai có hai nghiệm hữu tỉ đều phân tích được thành tích hai nhân tử bậc nhất bằng cách nhóm hoặc nhẩm nghiệm, đó chính là nội dung cốt lõi của bài 'quy về phương trình bậc nhất'.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★★Trang 23— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu bằng cách đặt ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu

Giải các phương trình sau: a)

\frac{5 x - 1}{3 x + 2} - \frac{5 x + 2}{3 x} = 0

; b)

\frac{6 x - 5}{2 x - 1} - \frac{9 x}{3 x - 1} = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình chứa ẩn ở mẫu phải tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) là các giá trị làm mẫu khác $0$ trước khi giải.
Quy đồng mẫu thức chung rồi cho tử thức bằng $0$ để đưa về phương trình không còn mẫu.
Nghiệm tìm được phải đối chiếu ĐKXĐ, giá trị nào vi phạm ĐKXĐ thì bị loại.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình đều có ẩn nằm ở mẫu — dấu hiệu bắt buộc phải đặt ĐKXĐ trước khi làm bất cứ phép biến đổi nào, khác hẳn các bài 2.1-2.3 chỉ có ẩn ở tử. Nên quy đồng mẫu chung của cả phương trình rồi cho tử bằng

0

, vì mẫu chung ở cả hai câu chỉ là tích của hai đa thức bậc nhất, không quá phức tạp. Bẫy lớn nhất là quên đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, có thể vô tình nhận một giá trị làm mẫu bằng

0

1Cách 1. Đặt ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu rồi đối chiếu điều kiện

Đặt điều kiện cho các mẫu khác $0$ , quy đồng toàn bộ phương trình về một phân thức rồi cho tử thức bằng $0$ .

\frac{5 x - 1}{3 x + 2} - \frac{5 x + 2}{3 x} = 0

(ĐKXĐ:

x \neq = - \frac{2}{3}

x \neq = 0

)

(5 x - 1) \cdot 3 x - (5 x + 2) (3 x + 2) = 0

15 x^{2} - 3 x - (15 x^{2} + 16 x + 4) = 0

15 x^{2} - 3 x - 15 x^{2} - 16 x - 4 = 0

- 19 x - 4 = 0

x = - \frac{4}{19}

đối chiếu ĐKXĐ:

- \frac{4}{19} \neq = - \frac{2}{3}

và

- \frac{4}{19} \neq = 0

, thỏa mãn

\frac{6 x - 5}{2 x - 1} - \frac{9 x}{3 x - 1} = 0

(ĐKXĐ:

x \neq = \frac{1}{2}

x \neq = \frac{1}{3}

)

(6 x - 5) (3 x - 1) - 9 x (2 x - 1) = 0

18 x^{2} - 21 x + 5 - (18 x^{2} - 9 x) = 0

- 12 x + 5 = 0

x = \frac{5}{12}

đối chiếu ĐKXĐ:

\frac{5}{12} \neq = \frac{1}{2}

và

\frac{5}{12} \neq = \frac{1}{3}

, thỏa mãn

Vậy câu a có $x = - \frac{4}{19}$ ; câu b có $x = \frac{5}{12}$ , đều thỏa ĐKXĐ.

2Cách 2. Đưa về hai phân thức bằng nhau rồi dùng tính chất tỉ lệ thức

Chuyển hạng tử trừ sang vế phải để hai phân thức bằng nhau, rồi áp dụng tính chất hai phân thức bằng nhau thì tích chéo bằng nhau.

\frac{5 x - 1}{3 x + 2} = \frac{5 x + 2}{3 x}

(ĐKXĐ:

x \neq = - \frac{2}{3}

x \neq = 0

)

(5 x - 1) \cdot 3 x = (5 x + 2) (3 x + 2)

15 x^{2} - 3 x = 15 x^{2} + 16 x + 4

- 3 x - 16 x = 4

- 19 x = 4

x = - \frac{4}{19}

, thỏa ĐKXĐ

\frac{6 x - 5}{2 x - 1} = \frac{9 x}{3 x - 1}

(ĐKXĐ:

x \neq = \frac{1}{2}

x \neq = \frac{1}{3}

)

(6 x - 5) (3 x - 1) = 9 x (2 x - 1)

18 x^{2} - 21 x + 5 = 18 x^{2} - 9 x

- 21 x + 9 x = - 5

- 12 x = - 5

x = \frac{5}{12}

, thỏa ĐKXĐ

Nhân chéo theo tính chất tỉ lệ thức cũng cho đúng hai nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay (SOLVE) rồi thử lại vào phương trình gốc

Dùng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay để tìm nghiệm gần đúng, sau đó thay lại vào phương trình gốc để kiểm chứng, vẫn phải đối chiếu ĐKXĐ đã xác định ở trên.

a) SOLVE với giá trị đầu

x = 0

: máy trả về

x \approx - 0, 2105 = - \frac{4}{19}

thay lại:

\frac{5 \cdot ( - 4/19 ) - 1}{3 \cdot ( - 4/19 ) + 2} - \frac{5 \cdot ( - 4/19 ) + 2}{3 \cdot ( - 4/19 )} = 0

đúng

b) SOLVE: máy trả về

x \approx 0, 4167 = \frac{5}{12}

thay lại vào phương trình gốc thấy đúng

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên, cả hai nghiệm đều thỏa ĐKXĐ nên được nhận.

Nhận xét. Với phương trình chứa ẩn ở mẫu, dù dùng cách nào cũng không được bỏ qua bước đối chiếu ĐKXĐ trước khi kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng khử mẫu là kỹ năng chuẩn của bài học này, trình bày rõ từng bước và dễ đối chiếu ĐKXĐ ngay sau khi ra nghiệm.

Đáp số. a)

x = - \frac{4}{19}

(thỏa ĐKXĐ); b)

x = \frac{5}{12}

(thỏa ĐKXĐ).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đặt ĐKXĐ ngay từ đầu, đến khi ra nghiệm cũng không kiểm tra lại nên nếu chẳng may tính nhầm ra một nghiệm bằng

0

(vi phạm ĐKXĐ của câu a) vẫn ghi nhận đáp số đó mà không loại bỏ. Phải luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện

x \neq = - \frac{2}{3}

x \neq = 0

trước khi kết luận.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với phương trình chứa ẩn ở mẫu dạng

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{R ( x )}{S ( x )}

, luôn đặt ĐKXĐ cho

Q (x) \neq = 0

S (x) \neq = 0

trước, quy đồng đưa về phương trình đa thức, rồi bắt buộc đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ trước khi kết luận.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 23— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có mẫu là hằng đẳng thức, đặt ĐKXĐ và quy đồng

Giải các phương trình sau: a)

\frac{3}{x + 2} + \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{4 x ^{2}}{x ^{3} + 8}

; b)

\frac{3}{2 x + 1} + \frac{7}{3 x + 2} = \frac{21 x + 10}{( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 )}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ dùng để nhận ra mẫu thức chung khi một mẫu là tích của hai mẫu còn lại.
Biểu thức $x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3$ luôn dương với mọi $x$ nên không sinh thêm điều kiện xác định.
Khi mẫu vế phải đã là tích của hai mẫu vế trái thì mẫu thức chung chính là mẫu vế phải, không cần tìm thêm.

🧠 Phân tích tư duy

Ở câu a, mẫu

x^{3} + 8

chính là hằng đẳng thức tổng hai lập phương, phân tích được thành

(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

— đúng bằng tích hai mẫu còn lại, đó là dấu hiệu để nhận ra mẫu chung có sẵn mà không cần tìm thêm. Ở câu b, mẫu vế phải cũng đã là tích của hai mẫu vế trái nên quy đồng thẳng về mẫu chung đó. Bẫy chung của cả hai câu là quên xét dấu của

x^{2} - 2 x + 4

: vì

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3

luôn dương với mọi

x

nên không sinh thêm điều kiện nào, chỉ cần

x \neq = - 2

là đủ cho câu a.

1Cách 1. Nhận ra mẫu chung có sẵn, quy đồng khử mẫu

Phân tích mẫu bằng hằng đẳng thức để nhận ra mẫu thức chung có sẵn, quy đồng cả phương trình rồi cho tử bằng $0$ .

\frac{3}{x + 2} + \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{4 x ^{2}}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

(ĐKXĐ:

x \neq = - 2

, vì

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3 > 0

với mọi

x

)

3 (x^{2} - 2 x + 4) + x (x + 2) = 4 x^{2}

3 x^{2} - 6 x + 12 + x^{2} + 2 x = 4 x^{2}

4 x^{2} - 4 x + 12 = 4 x^{2}

- 4 x + 12 = 0

x = 3

đối chiếu ĐKXĐ:

3 \neq = - 2

, thỏa mãn

\frac{3 ( 3 x + 2 ) + 7 ( 2 x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 )} = \frac{21 x + 10}{( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 )}

(ĐKXĐ:

x \neq = - \frac{1}{2}

x \neq = - \frac{2}{3}

)

3 (3 x + 2) + 7 (2 x + 1) = 21 x + 10

9 x + 6 + 14 x + 7 = 21 x + 10

23 x + 13 = 21 x + 10

2 x = - 3

x = - \frac{3}{2}

đối chiếu ĐKXĐ:

- \frac{3}{2} \neq = - \frac{1}{2}

và

- \frac{3}{2} \neq = - \frac{2}{3}

, thỏa mãn

Vậy câu a có $x = 3$ ; câu b có $x = - \frac{3}{2}$ , đều thỏa ĐKXĐ.

2Cách 2. Rút gọn dần theo nhân tử chung trước khi quy đồng lần cuối

Ở câu a, gộp hai hạng tử cùng mẫu $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ trước rồi mới chia cả hai vế cho nhân tử chung $(x + 2)$ ; ở câu b, tách vế phải thành hai phân thức đơn giản bằng hệ số bất định rồi so sánh với vế trái.

a) chuyển vế:

\frac{3}{x + 2} = \frac{4 x ^{2} - x ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )}

nhân hai vế với

(x + 2) \neq = 0

3 = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 2 x + 4}

3 (x^{2} - 2 x + 4) = 3 x^{2} - 2 x

3 x^{2} - 6 x + 12 = 3 x^{2} - 2 x

- 4 x = - 12

x = 3

, thỏa ĐKXĐ

b) đặt

\frac{21 x + 10}{( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 )} = \frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{3 x + 2}

với

21 x + 10 = A (3 x + 2) + B (2 x + 1)

đồng nhất hệ số:

3 A + 2 B = 21

và

2 A + B = 10

, giải ra

A = - 1

B = 12

\frac{3}{2 x + 1} + \frac{7}{3 x + 2} = \frac{- 1}{2 x + 1} + \frac{12}{3 x + 2}

\frac{3 - ( - 1 )}{2 x + 1} = \frac{12 - 7}{3 x + 2}

\frac{4}{2 x + 1} = \frac{5}{3 x + 2}

4 (3 x + 2) = 5 (2 x + 1)

12 x + 8 = 10 x + 5

2 x = - 3

x = - \frac{3}{2}

, thỏa ĐKXĐ

Rút gọn dần theo nhân tử chung cũng cho đúng $x = 3$ ở câu a và $x = - \frac{3}{2}$ ở câu b, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay (SOLVE) rồi thử lại vào phương trình gốc

Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm gần đúng, sau đó thay lại vào phương trình gốc và đối chiếu ĐKXĐ.

a) SOLVE với giá trị đầu

x = 0

: máy trả về

x = 3

thay lại:

\frac{3}{3 + 2} + \frac{3}{9 - 6 + 4} = \frac{4 \cdot 9}{27 + 8}

, tức

\frac{3}{5} + \frac{3}{7} = \frac{36}{35}

, đúng

b) SOLVE: máy trả về

x = - 1, 5 = - \frac{3}{2}

thay lại vào phương trình gốc thấy đúng

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên, cả hai nghiệm đều thỏa ĐKXĐ.

Nhận xét. Cách 2 tuy gọn hơn về số bước quy đồng nhưng đòi hỏi kỹ thuật hệ số bất định, không dễ nghĩ ra như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ngay mẫu chung có sẵn nhờ hằng đẳng thức tổng lập phương (câu a) và mẫu trùng khớp sẵn ở vế phải (câu b), quy đồng một lần là xong, ít bước hơn Cách 2.

Đáp số. a)

x = 3

(thỏa ĐKXĐ); b)

x = - \frac{3}{2}

(thỏa ĐKXĐ).

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, nhiều bạn không giải thích được vì sao ĐKXĐ chỉ có

x \neq = - 2

mà không có thêm điều kiện từ mẫu

x^{2} - 2 x + 4

, do quên chỉ ra

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3 > 0

với mọi

x

nên mẫu này không bao giờ bằng

0

; thiếu lí do này khiến phần đặt ĐKXĐ bị coi là chưa chặt chẽ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi mẫu thức có dạng

x^{2} + p x + q

mà viết được thành tổng một bình phương với một số dương thì biểu thức đó luôn khác

0

với mọi

x

, không cần thêm vào ĐKXĐ.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★Trang 23— Toán thực tế: lập và giải phương trình từ công thức rơi tự do

Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất là

120

mét. Bỏ qua sức cản không khí, quãng đường chuyển động

s

(mét) của vật rơi tự do sau thời gian

t

được biểu diễn gần đúng bởi công thức

s = 4, 9 t^{2}

, trong đó

t

là thời gian tính bằng giây. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?

Kiến thức cần nhớ

Công thức quãng đường rơi tự do $s = 4, 9 t^{2}$ với $t \geq 0$ : thay giá trị $s$ đã biết vào để lập phương trình tìm $t$ .
Phương trình dạng $t^{2} = k$ với $k > 0$ và điều kiện $t > 0$ chỉ nhận nghiệm dương $t = k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức

s = 4, 9 t^{2}

và độ cao

120

mét — dấu hiệu chỉ cần thay

s = 120

vào công thức để được phương trình một ẩn

t

. Vì

t

là thời gian nên chỉ nhận giá trị dương, đó là căn cứ để loại nghiệm âm khi giải phương trình

t^{2} = k

. Bẫy dễ gặp là làm tròn sai quy tắc: chữ số ngay sau hàng đơn vị của kết quả gần đúng lớn hơn hoặc bằng

5

nên phải làm tròn lên chứ không phải làm tròn xuống.

1Cách 1. Thế

s = 120

vào công thức, giải phương trình

t^{2} = k

Thay $s = 120$ vào công thức đã cho để lập phương trình một ẩn $t$ , giải rồi chỉ nhận nghiệm dương.

4, 9 t^{2} = 120

t^{2} = 120 \div 4, 9

t^{2} \approx 24, 49

t = 24, 49

(nhận nghiệm dương vì

t

là thời gian)

t \approx 4, 9487

làm tròn đến hàng đơn vị:

t \approx 5

Vậy sau khoảng $5$ giây thì vật chạm mặt đất.

2Cách 2. Thử các giá trị nguyên liên tiếp để xác định khoảng chứa nghiệm

Thử lần lượt $t = 4$ và $t = 5$ vào công thức để xác định thời điểm chạm đất nằm giữa hai giá trị nguyên nào, rồi tính chính xác hơn.

t = 4

s = 4, 9 \cdot 4^{2} = 4, 9 \cdot 16 = 78, 4

(mét), chưa chạm đất

t = 5

s = 4, 9 \cdot 5^{2} = 4, 9 \cdot 25 = 122, 5

(mét), đã vượt qua mặt đất

vì

78, 4 < 120 < 122, 5

nên thời điểm chạm đất nằm giữa

4

và

5

giây

giải chính xác

4, 9 t^{2} = 120

như Cách 1 được

t \approx 4, 9487

, gần

5

hơn

4

Làm tròn đến hàng đơn vị cũng cho $t \approx 5$ giây, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay tính trực tiếp căn bậc hai

Bấm máy tính cầm tay tính $120 \div 4, 9$ trực tiếp rồi làm tròn.

bấm

120 \div 4, 9 =

: máy trả về

\approx 24, 4898

bấm căn bậc hai của kết quả trên:

\approx 4, 9487

làm tròn đến hàng đơn vị:

t \approx 5

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Dù làm tròn ở bước nào, kết quả cuối cùng theo yêu cầu của đề vẫn là $5$ giây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế trực tiếp vào công thức rồi giải phương trình

t^{2} = k

là cách ngắn nhất, không cần thử nhiều giá trị như Cách 2.

Đáp số.

t \approx 5

giây.

Sai lầm thường gặp. Có bạn tính ra

t \approx 4, 9487

rồi làm tròn nhầm xuống thành

4

giây; theo quy tắc làm tròn, chữ số sau hàng đơn vị là

9 \geq 5

nên phải làm tròn lên thành

5

, không phải làm tròn xuống.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với công thức rơi tự do

s = 4, 9 t^{2}

, muốn tìm thời gian rơi từ độ cao

h

bất kỳ chỉ cần giải

t = h \div 4, 9

; độ cao càng lớn thì thời gian rơi càng dài nhưng tăng chậm hơn theo quy luật căn bậc hai.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-9-kn/bai-4-phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an.jsp · https://loigiaihay.com/bai-4-phuong-trinh-quy-ve-phuong-trinh-bac-nhat-mot-an-sbt-toan-9-kntt-e37365.html