Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang22–23 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★★Trang 22— Đưa phương trình về dạng tích bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Giải các phương trình sau: a)

(x + 2)^{2} - (2 x + 1) (x + 2) = 0

; b)

16 x^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: nếu hai hạng tử cùng chứa nhân tử $(x + 2)$ thì đặt ra ngoài để đưa phương trình về dạng tích bằng $0$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ giúp phân tích nhanh khi cả hai hạng tử đều là bình phương.
Tích của hai nhân tử bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử bằng $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có dạng hiệu của hai biểu thức chứa cùng một nhân tử — câu a cùng chứa

(x + 2)

, câu b cả hai hạng tử đều là bình phương đúng nghĩa của hằng đẳng thức

A^{2} - B^{2}

. Dấu hiệu đó cho thấy nên phân tích vế trái thành tích hai nhân tử bậc nhất rồi đưa về hai phương trình bậc nhất riêng lẻ, đúng tinh thần bài học. Bẫy ở câu a là vội khai triển hết cả hai ngoặc trước khi nhận ra nhân tử chung, khiến phép tính dài và dễ nhầm dấu.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung ngay từ phương trình gốc

Ở câu a, cả hai hạng tử đều chứa nhân tử $(x + 2)$ nên đặt ra ngoài trước khi khai triển; ở câu b, cả hai hạng tử là bình phương đúng nên áp dụng ngay hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

(x + 2)^{2} - (2 x + 1) (x + 2) = 0

(x + 2) [(x + 2) - (2 x + 1)] = 0

(x + 2) (1 - x) = 0

x + 2 = 0

hoặc

1 - x = 0

x = - 2

hoặc

x = 1

16 x^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

(4 x)^{2} - (3 x + 2)^{2} = 0

(4 x - 3 x - 2) (4 x + 3 x + 2) = 0

(x - 2) (7 x + 2) = 0

x - 2 = 0

hoặc

7 x + 2 = 0

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Vậy câu a có $x = - 2$ hoặc $x = 1$ ; câu b có $x = 2$ hoặc $x = - \frac{2}{7}$ .

2Cách 2. Khai triển toàn bộ rồi tách hạng tử bậc nhất để phân tích nhân tử

Khai triển hết hai vế đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn, sau đó tách hạng tử bậc nhất thành hai phần để nhóm nhân tử chung.

(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4

;

(2 x + 1) (x + 2) = 2 x^{2} + 5 x + 2

x^{2} + 4 x + 4 - 2 x^{2} - 5 x - 2 = 0

- x^{2} - x + 2 = 0

x^{2} + x - 2 = 0

x^{2} + 2 x - x - 2 = 0

x (x + 2) - (x + 2) = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

x = - 2

hoặc

x = 1

16 x^{2} - (9 x^{2} + 12 x + 4) = 0

7 x^{2} - 12 x - 4 = 0

7 x^{2} - 14 x + 2 x - 4 = 0

7 x (x - 2) + 2 (x - 2) = 0

(x - 2) (7 x + 2) = 0

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Khai triển rồi tách hạng tử cũng cho đúng hai cặp nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi đối chiếu

Đưa phương trình bậc hai thu được ở Cách 2 vào chức năng giải phương trình bậc hai của máy tính cầm tay để tìm nghiệm, dùng làm bước kiểm tra lại kết quả.

a) nhập

x^{2} + x - 2 = 0

: máy trả về

x = 1

và

x = - 2

b) nhập

7 x^{2} - 12 x - 4 = 0

: máy trả về

x = 2

và

x \approx - 0, 2857 = - \frac{2}{7}

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Casio chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số cuối cùng, không thay được cho việc trình bày phép phân tích nhân tử khi làm bài tự luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn thấy nhân tử chung ngay từ đề bài nên đặt ra ngoài trước, tránh phải khai triển và tách hạng tử dài dòng như Cách 2.

Đáp số. a)

x = - 2

hoặc

x = 1

; b)

x = 2

hoặc

x = - \frac{2}{7}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển ngay

(x + 2)^{2}

và

(2 x + 1) (x + 2)

ở câu a mà không để ý nhân tử chung, dễ chép nhầm dấu khi trừ hai đa thức bậc hai, ví dụ ghi nhầm thành

x^{2} + x + 2 = 0

thay vì đúng phải là

x^{2} + x - 2 = 0

. Đặt nhân tử chung

(x + 2)

ngay từ đầu như Cách 1 tránh hẳn bước khai triển dễ sai này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phương trình dạng

A^{2} - B \cdot A = 0

với

A, B

là các biểu thức luôn đưa được về tích

A (A - B) = 0

mà không cần khai triển, áp dụng được cho cả bậc cao hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★★Trang 23— Rút gọn hai vế rồi đưa phương trình về dạng tích hai nhân tử bậc nhất

Giải các phương trình sau: a)

x^{3} + 3 x^{2} - 8 = x^{3} + 2 x^{2} - 7

; b)

x (2 x - 5) = (2 x + 1) (5 - 2 x)

Kiến thức cần nhớ

Khi hai vế có cùng một hạng tử bậc cao (như $x^{3}$ ) thì có thể lược bỏ ngay hạng tử đó ở cả hai vế để đưa phương trình về bậc thấp hơn.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .
Nếu một biểu thức xuất hiện dưới hai dạng đối nhau (như $5 - 2 x$ và $- (2 x - 5)$ ) thì có thể gộp thành nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có cả hai vế cùng chứa

x^{3}

và cùng chứa

2 x^{2}

— dấu hiệu cho thấy có thể triệt tiêu ngay các hạng tử giống nhau ở hai vế trước khi làm gì khác, phương trình bậc ba lập tức rút gọn về bậc hai đơn giản. Câu b có

(5 - 2 x)

chính là

- (2 x - 5)

, đối dấu với nhân tử

(2 x - 5)

đã có ở vế trái, nên gộp lại thành nhân tử chung sẽ nhanh hơn hẳn khai triển toàn bộ. Bẫy của câu b là khai triển vội

(2 x + 1) (5 - 2 x)

theo đúng thứ tự viết mà quên nhận ra quan hệ đối dấu giữa hai ngoặc.

1Cách 1. Rút gọn hai vế trước, rồi nhóm nhân tử chung

Bỏ ngay hạng tử $x^{3}$ giống nhau ở hai vế của câu a; ở câu b, nhận xét $5 - 2 x = - (2 x - 5)$ để gộp nhân tử chung $(2 x - 5)$ .

x^{3} + 3 x^{2} - 8 = x^{3} + 2 x^{2} - 7

3 x^{2} - 8 = 2 x^{2} - 7

x^{2} - 1 = 0

(x - 1) (x + 1) = 0

x = 1

hoặc

x = - 1

x (2 x - 5) = (2 x + 1) (5 - 2 x)

x (2 x - 5) = - (2 x + 1) (2 x - 5)

x (2 x - 5) + (2 x + 1) (2 x - 5) = 0

(2 x - 5) [x + (2 x + 1)] = 0

(2 x - 5) (3 x + 1) = 0

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Vậy câu a có $x = 1$ hoặc $x = - 1$ ; câu b có $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Khai triển toàn bộ đưa về phương trình bậc hai chuẩn rồi tách hạng tử

Khai triển hết vế phải của từng câu đưa phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ , sau đó tách hạng tử bậc nhất để phân tích nhân tử.

x^{3} + 3 x^{2} - 8 - x^{3} - 2 x^{2} + 7 = 0

x^{2} - 1 = 0

(x - 1) (x + 1) = 0

x = 1

hoặc

x = - 1

x (2 x - 5) = 2 x^{2} - 5 x

;

(2 x + 1) (5 - 2 x) = - 4 x^{2} + 8 x + 5

2 x^{2} - 5 x = - 4 x^{2} + 8 x + 5

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

6 x^{2} - 15 x + 2 x - 5 = 0

3 x (2 x - 5) + (2 x - 5) = 0

(2 x - 5) (3 x + 1) = 0

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Khai triển toàn bộ rồi tách hạng tử cũng cho đúng hai cặp nghiệm như Cách 1.

3Cách 3. Dùng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi đối chiếu

Nhập phương trình bậc hai đã rút gọn ở Cách 2 vào máy tính cầm tay để tìm nghiệm, dùng làm bước đối chiếu cuối cùng.

a) nhập

x^{2} - 1 = 0

: máy trả về

x = 1

và

x = - 1

b) nhập

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

: máy trả về

x = 2, 5 = \frac{5}{2}

và

x \approx - 0, 333 = - \frac{1}{3}

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Rút gọn ngay từ đầu ở Cách 1 (bỏ $x^{3}$ , gộp nhân tử $(2 x - 5)$ ) cho lời giải ngắn hơn hẳn so với khai triển toàn bộ như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a chỉ cần trừ

x^{3}

ở hai vế là ra ngay phương trình bậc hai đơn giản, câu b nhận ra

(5 - 2 x) = - (2 x - 5)

giúp nhóm nhân tử chung mà không phải khai triển dài như Cách 2.

Đáp số. a)

x = 1

hoặc

x = - 1

; b)

x = \frac{5}{2}

hoặc

x = - \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều bạn khai triển

(2 x + 1) (5 - 2 x)

rồi quên đổi dấu khi chuyển vế, dẫn tới phương trình sai dấu hạng tử bậc nhất, chẳng hạn ghi nhầm thành

6 x^{2} + 13 x - 5 = 0

thay vì đúng

6 x^{2} - 13 x - 5 = 0

. Nhóm nhân tử chung

(2 x - 5)

ngay từ đầu như Cách 1 tránh hẳn bước khai triển dễ sai dấu này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi hai vế phương trình cùng chứa một hạng tử bậc cao giống hệt nhau thì nên trừ bỏ ngay hạng tử đó trước khi biến đổi tiếp, giúp hạ bậc phương trình nhanh nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 23— Chuyển vế, nhóm nhân tử chung đưa phương trình bậc hai về dạng tích

Giải các phương trình sau: a)

x^{2} + x = - 6 x - 6

; b)

2 x^{2} - 2 x = x - 1

Kiến thức cần nhớ

Chuyển vế đưa phương trình về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ rồi nhóm nhân tử chung theo từng cặp hạng tử.
Với phương trình $x^{2} + b x + c = 0$ (hệ số $a = 1$ ), nếu tìm được hai số có tổng bằng $- b$ và tích bằng $c$ thì đó chính là hai nghiệm.
Nếu nhẩm được một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể chia đa thức để tìm nhân tử bậc nhất còn lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★★Trang 23— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu bằng cách đặt ĐKXĐ, quy đồng khử mẫu

Giải các phương trình sau: a)

\frac{5 x - 1}{3 x + 2} - \frac{5 x + 2}{3 x} = 0

; b)

\frac{6 x - 5}{2 x - 1} - \frac{9 x}{3 x - 1} = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình chứa ẩn ở mẫu phải tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) là các giá trị làm mẫu khác $0$ trước khi giải.
Quy đồng mẫu thức chung rồi cho tử thức bằng $0$ để đưa về phương trình không còn mẫu.
Nghiệm tìm được phải đối chiếu ĐKXĐ, giá trị nào vi phạm ĐKXĐ thì bị loại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 23— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có mẫu là hằng đẳng thức, đặt ĐKXĐ và quy đồng

Giải các phương trình sau: a)

\frac{3}{x + 2} + \frac{x}{x ^{2} - 2 x + 4} = \frac{4 x ^{2}}{x ^{3} + 8}

; b)

\frac{3}{2 x + 1} + \frac{7}{3 x + 2} = \frac{21 x + 10}{( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 )}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương $x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ dùng để nhận ra mẫu thức chung khi một mẫu là tích của hai mẫu còn lại.
Biểu thức $x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3$ luôn dương với mọi $x$ nên không sinh thêm điều kiện xác định.
Khi mẫu vế phải đã là tích của hai mẫu vế trái thì mẫu thức chung chính là mẫu vế phải, không cần tìm thêm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★Trang 23— Toán thực tế: lập và giải phương trình từ công thức rơi tự do

Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất là

120

mét. Bỏ qua sức cản không khí, quãng đường chuyển động

s

(mét) của vật rơi tự do sau thời gian

t

được biểu diễn gần đúng bởi công thức

s = 4, 9 t^{2}

, trong đó

t

là thời gian tính bằng giây. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?

Kiến thức cần nhớ

Công thức quãng đường rơi tự do $s = 4, 9 t^{2}$ với $t \geq 0$ : thay giá trị $s$ đã biết vào để lập phương trình tìm $t$ .
Phương trình dạng $t^{2} = k$ với $k > 0$ và điều kiện $t > 0$ chỉ nhận nghiệm dương $t = k$ .