Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang25 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.7★Trang 25— Viết bất đẳng thức kép mô tả một khoảng giá trị cho phép từ tình huống thực tế

Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, biển báo giao thông cho biết: làn ngoài cùng bên trái và làn giữa có tốc độ tối thiểu

60

km/h, tối đa

100

km/h; làn ngoài cùng bên phải có tốc độ tối thiểu

50

km/h, tối đa

80

km/h. Gọi

x

(km/h) là tốc độ của một ô tô đang chạy trên cao tốc này. Viết bất đẳng thức mô tả tốc độ cho phép của ô tô: a) ở làn ngoài cùng bên trái và làn giữa; b) ở làn ngoài cùng bên phải.

Kiến thức cần nhớ

Bất đẳng thức kép $a \leq x \leq b$ nghĩa là $x$ đồng thời thỏa mãn $x \geq a$ và $x \leq b$ , tức $x$ nằm trong đoạn từ $a$ đến $b$ .
‘Tối thiểu’ ứng với mốc bên trái của bất đẳng thức kép (dấu $\geq$ ), ‘tối đa’ ứng với mốc bên phải (dấu $\leq$ ); cả hai mốc đều lấy dấu không ngặt vì biển báo cho phép chạy đúng bằng mốc.
Trên trục số, đoạn nghiệm của $a \leq x \leq b$ là đoạn thẳng nối hai điểm $a, b$ với hai đầu mút là chấm tròn đặc vì lấy được cả hai giá trị biên.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai mốc tốc độ tối thiểu và tối đa cho mỗi nhóm làn — dấu hiệu cần dùng bất đẳng thức kép

a \leq x \leq b

thay vì hai bất đẳng thức rời rạc. Vì cả tốc độ tối thiểu lẫn tối đa trên biển báo đều là giá trị được phép chạy đúng bằng, nên cả hai đầu của bất đẳng thức kép đều lấy dấu

\leq

chứ không phải

<

. Bẫy thường gặp là viết ngược thứ tự hai mốc, đặt số lớn ở bên trái bất đẳng thức kép.

1Cách 1. Gọi biến rồi viết trực tiếp bất đẳng thức kép theo hai mốc tối thiểu-tối đa

Gọi $x$ (km/h) là tốc độ cho phép; với mỗi nhóm làn, đặt mốc tối thiểu ở bên trái, mốc tối đa ở bên phải của bất đẳng thức kép.

a) làn ngoài cùng bên trái và làn giữa có tốc độ tối thiểu

60

, tối đa

100

(km/h)

60 \leq x \leq 100

b) làn ngoài cùng bên phải có tốc độ tối thiểu

50

, tối đa

80

(km/h)

50 \leq x \leq 80

Vậy a) $60 \leq x \leq 100$ ; b) $50 \leq x \leq 80$ (đơn vị km/h).

Hình minh hoạ lời giải

Trục số minh hoạ khoảng tốc độ cho phép ở hai nhóm làn đường

2Cách 2. Viết hai bất đẳng thức đơn rồi ghép lại bằng liên từ ‘và’

Tách điều kiện tối thiểu và tối đa thành hai bất đẳng thức đơn riêng biệt, sau đó kết hợp đồng thời hai điều kiện đó thành một bất đẳng thức kép.

a) tốc độ tối thiểu

60

km/h nghĩa là

x \geq 60

; tốc độ tối đa

100

km/h nghĩa là

x \leq 100

kết hợp đồng thời hai điều kiện:

60 \leq x \leq 100

b) tốc độ tối thiểu

50

km/h nghĩa là

x \geq 50

; tốc độ tối đa

80

km/h nghĩa là

x \leq 80

kết hợp đồng thời:

50 \leq x \leq 80

Ghép hai bất đẳng thức đơn cũng cho đúng hai bất đẳng thức kép như Cách 1.

3Cách 3. Minh hoạ trên trục số rồi đọc ra bất đẳng thức kép

Biểu diễn khoảng tốc độ hợp lệ của mỗi nhóm làn bằng một đoạn thẳng trên trục số, hai đầu mút là chấm tròn đặc vì đều lấy được, từ đoạn đó đọc ra bất đẳng thức kép tương ứng.

a) đoạn từ

60

đến

100

trên trục số ứng với

60 \leq x \leq 100

b) đoạn từ

50

đến

80

trên trục số ứng với

50 \leq x \leq 80

Đọc trên trục số cũng cho đúng hai bất đẳng thức như hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết trực tiếp bất đẳng thức kép theo đúng thứ tự tối thiểu-tối đa là nhanh nhất, không cần tách rồi ghép như Cách 2.

Đáp số. a)

60 \leq x \leq 100

(km/h); b)

50 \leq x \leq 80

(km/h).

Sai lầm thường gặp. Có bạn viết ngược thành

100 \leq x \leq 60

do ghi mốc tối đa trước mốc tối thiểu; bất đẳng thức kép

a \leq x \leq b

chỉ có nghĩa khi

a \leq b

, nên luôn phải đặt số nhỏ hơn ở bên trái.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi tình huống có đại lượng bị giới hạn cả hai phía tối thiểu và tối đa đều mô tả được bằng bất đẳng thức kép

a \leq x \leq b

với

a

là mốc tối thiểu,

b

là mốc tối đa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.8★Trang 25— Viết bất đẳng thức đơn mô tả điều kiện ‘ít nhất’ hoặc ‘tối đa’ trong tình huống thực tế

Viết bất đẳng thức để mô tả các tình huống sau: a) Bạn phải ít nhất

18

tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội; b) Một thang máy chở được tối đa

700

kg; c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất

1

triệu đồng mới được giảm giá; d) Bạn phải ném bóng vào rổ ít nhất

5

quả mới được vào đội tuyển bóng rổ.

Kiến thức cần nhớ

Cụm từ ‘ít nhất’ ứng với dấu $\geq$ vì giá trị nhỏ nhất được phép đạt tới cũng thỏa mãn điều kiện.
Cụm từ ‘tối đa’, ‘không vượt quá’ ứng với dấu $\leq$ vì giá trị lớn nhất được phép đạt tới cũng thỏa mãn điều kiện.
Với đại lượng đếm được như số quả bóng, biến còn cần thêm điều kiện là số tự nhiên.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn tình huống đều dùng đúng một trong hai cụm từ khoá ‘ít nhất’ hoặc ‘tối đa’ — đây là dấu hiệu để chọn dấu

\geq

hay

\leq

mà không cần suy luận phức tạp. Điểm cần lưu ý riêng ở câu d là số quả bóng ném trúng phải là số tự nhiên, khác với tuổi, khối lượng hay số tiền vốn có thể nhận giá trị không nguyên. Bẫy chung là nhầm ‘ít nhất’ với dấu

>

thay vì

\geq

, bởi giá trị đúng bằng mốc cho vẫn được chấp nhận.

1Cách 1. Dịch trực tiếp từ khoá ‘ít nhất/tối đa’ sang dấu

\geq

\leq

Gọi biến đại diện cho từng đại lượng, dịch thẳng từ khoá đề bài sang dấu bất đẳng thức tương ứng.

a) gọi

t

là tuổi (năm); ‘ít nhất

18

tuổi’ nghĩa là

t \geq 18

b) gọi

m

là khối lượng thang máy chở (kg); ‘chở tối đa

700

kg’ nghĩa là

m \leq 700

c) gọi

P

là tổng giá trị hàng mua (đồng); ‘ít nhất

1

triệu đồng’ nghĩa là

P \geq 1000000

d) gọi

n

là số quả bóng ném vào rổ (

n \in N

); ‘ít nhất

5

quả’ nghĩa là

n \geq 5

Vậy a) $t \geq 18$ ; b) $m \leq 700$ ; c) $P \geq 1000000$ ; d) $n \geq 5$ .

2Cách 2. Lập luận qua điều kiện KHÔNG thỏa mãn rồi phủ định

Xác định trước ngưỡng KHÔNG đủ điều kiện, sau đó phủ định để suy ra bất đẳng thức đúng cho trường hợp đủ điều kiện.

a) chưa đủ điều kiện bầu cử khi

t < 18

; phủ định được điều kiện đủ là

t \geq 18

b) thang máy quá tải khi

m > 700

; phủ định được điều kiện an toàn là

m \leq 700

c) chưa đủ điều kiện giảm giá khi

P < 1000000

; phủ định được

P \geq 1000000

d) chưa đủ điều kiện vào đội khi

n < 5

; phủ định được

n \geq 5

Lập luận qua phủ định cũng cho đúng bốn bất đẳng thức như Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị đúng bằng mốc để xác nhận dấu không ngặt

Thay giá trị đúng bằng mốc cho vào từng tình huống để kiểm tra có thoả mãn hay không, từ đó xác nhận dấu $\geq$ / $\leq$ chứ không phải $>$ / $<$ .

a) người đủ

18

tuổi tròn vẫn được bầu cử

\Rightarrow

nhận dấu

\geq

tại

t = 18

b) thang máy chở đúng

700

kg vẫn an toàn

\Rightarrow

nhận dấu

\leq

tại

m = 700

c) mua đúng

1

triệu đồng vẫn được giảm giá

\Rightarrow

nhận dấu

\geq

tại

P = 1000000

d) ném đúng

5

quả vẫn đủ điều kiện vào đội

\Rightarrow

nhận dấu

\geq

tại

n = 5

Kiểm tra giá trị biên khẳng định cả bốn bất đẳng thức đều lấy dấu không ngặt, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dịch trực tiếp là nhanh nhất; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi phân vân giữa dấu ngặt và không ngặt.

Đáp số. a)

t \geq 18

; b)

m \leq 700

; c)

P \geq 1000000

; d)

n \geq 5

(

n \in N

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết câu a thành

t > 18

, tức loại luôn người vừa tròn

18

tuổi; thực tế người đủ

18

tuổi (không cần hơn) đã được bầu cử, nên phải dùng dấu

\geq

chứ không phải

>

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cụm ‘ít nhất/không dưới’ luôn dịch thành

\geq

, cụm ‘tối đa/không quá’ luôn dịch thành

\leq

; nếu đề dùng ‘nhiều hơn/lớn hơn’ tuyệt đối (không tính bằng) thì mới dùng dấu ngặt

>

hoặc

<

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.9★★Trang 25— So sánh hai số bằng cách xét hiệu, quy đồng hoặc so sánh qua số trung gian

So sánh: a)

- \frac{2019}{1010}

và

- \frac{201}{100}

; b)

\frac{202 4 ^{2} - 1}{2024}

và

\frac{202 5 ^{2} + 1}{2025}

Kiến thức cần nhớ

Với hai phân số cùng dấu âm, phân số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
Xét hiệu $A - B$ : nếu hiệu dương thì $A > B$ , nếu hiệu âm thì $A < B$ .
Biểu thức $\frac{n ^{2} - 1}{n} = n - \frac{1}{n}$ và $\frac{n ^{2} + 1}{n} = n + \frac{1}{n}$ giúp tách phần nguyên khi so sánh hai phân thức có tử là bình phương lệch $1$ đơn vị.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.10★★Trang 25— So sánh hai biểu thức đại số dựa trên tính chất bất đẳng thức khi biết

a > b

Cho

a > b

, hãy so sánh: a)

20 a + 5 b

và

20 b + 5 a

; b)

- 3 (a + b) - 1

và

- 6 b - 1

Kiến thức cần nhớ

Xét hiệu hai biểu thức rồi rút gọn về dạng $k (a - b)$ : nếu $k > 0$ và $a > b$ thì hiệu dương; nếu $k < 0$ thì hiệu âm.
Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: nhân hai vế của $a > b$ với cùng một số dương thì giữ nguyên chiều, nhân với số âm thì đổi chiều.
Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức thì không đổi chiều.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.11★★Trang 25— Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất nhân hai vế với số dương

Cho

a > b > 0

, chứng minh rằng: a)

a^{2} > ab

và

ab > b^{2}

; b)

a^{2} > b^{2}

và

a^{3} > b^{3}

Kiến thức cần nhớ

Với $c > 0$ , nếu $a > b$ thì $a c > b c$ (nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số dương không đổi chiều).
Tính chất bắc cầu: nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ .
Hằng đẳng thức $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ giúp xét dấu hiệu hai lập phương khi biết dấu của $a - b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.12★★★Trang 25— Chứng minh bất đẳng thức đúng với mọi số thực bằng kỹ thuật xét hiệu thành bình phương

Chứng minh rằng với mọi số

a, b

ta có

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq ab

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của mọi số thực luôn không âm: $(a - b)^{2} \geq 0$ với mọi $a, b$ , dấu bằng xảy ra khi $a = b$ .
Bất đẳng thức AM–GM cho hai số không âm $x, y$ : $\frac{x + y}{2} \geq x y$ , dấu bằng khi $x = y$ .
Với mọi số thực $t$ , $t^{2} = ∣ t ∣$ và $∣ t ∣ \geq t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.13★★Trang 25— Chứng minh bất đẳng thức tổng quát bằng cách đặt biến cho ba số liên tiếp

Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Ba số tự nhiên liên tiếp viết được dưới dạng $n - 1, n, n + 1$ với $n \geq 1$ (hoặc $k, k + 1, k + 2$ với $k$ là số tự nhiên bất kỳ).
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ .
Muốn chứng minh $A > B$ , có thể xét hiệu $A - B$ và chỉ ra hiệu đó luôn dương.