Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Gọi $x$ (km/h) là tốc độ cho phép; với mỗi nhóm làn, đặt mốc tối thiểu ở bên trái, mốc tối đa ở bên phải của bất đẳng thức kép.

Vậy a) $60\le x\le 100$; b) $50\le x\le 80$ (đơn vị km/h).

Tách điều kiện tối thiểu và tối đa thành hai bất đẳng thức đơn riêng biệt, sau đó kết hợp đồng thời hai điều kiện đó thành một bất đẳng thức kép.

Ghép hai bất đẳng thức đơn cũng cho đúng hai bất đẳng thức kép như Cách 1.

Biểu diễn khoảng tốc độ hợp lệ của mỗi nhóm làn bằng một đoạn thẳng trên trục số, hai đầu mút là chấm tròn đặc vì đều lấy được, từ đoạn đó đọc ra bất đẳng thức kép tương ứng.

Đọc trên trục số cũng cho đúng hai bất đẳng thức như hai cách trên.

Gọi biến đại diện cho từng đại lượng, dịch thẳng từ khoá đề bài sang dấu bất đẳng thức tương ứng.

Vậy a) $t\ge 18$; b) $m\le 700$; c) $P\ge 1000000$; d) $n\ge 5$.

Xác định trước ngưỡng KHÔNG đủ điều kiện, sau đó phủ định để suy ra bất đẳng thức đúng cho trường hợp đủ điều kiện.

Lập luận qua phủ định cũng cho đúng bốn bất đẳng thức như Cách 1.

Thay giá trị đúng bằng mốc cho vào từng tình huống để kiểm tra có thoả mãn hay không, từ đó xác nhận dấu $\ge$/$\le$ chứ không phải $>$/$<$.

Kiểm tra giá trị biên khẳng định cả bốn bất đẳng thức đều lấy dấu không ngặt, khớp Cách 1 và Cách 2.

Lập hiệu vế trái trừ vế phải, quy đồng về một mẫu số chung rồi xét dấu tử thức của hiệu.

Vậy a) $-\frac{2019}{1010}>-\frac{201}{100}$; b) $\frac{2024^2-1}{2024}<\frac{2025^2+1}{2025}$.

Tách mỗi phân số thành phần nguyên cộng phần dư để nhận ra một số nguyên nằm giữa hai số cần so sánh, tránh phải quy đồng số lớn.

So sánh qua số trung gian cũng cho đúng hai kết quả như Cách 1, và nhanh gọn hơn vì không cần quy đồng mẫu lớn.

Bấm máy tính cầm tay ra giá trị thập phân của từng số rồi so sánh trực tiếp, dùng làm bước đối chiếu cuối cùng.

Kết quả từ máy tính khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Casio cho kết quả nhanh nhưng chỉ nên dùng để kiểm tra lại, vì đây là dạng bài yêu cầu lập luận so sánh chứ không chỉ tính số.

Lập hiệu vế trái trừ vế phải của từng câu, rút gọn thành tích của một hằng số với $(a-b)$ rồi xét dấu.

Vậy $20a+5b>20b+5a$ và $-3(a+b)-1<-6b-1$.

Nhân hai vế của $a>b$ với một số thích hợp (giữ chiều nếu số dương, đổi chiều nếu số âm), sau đó cộng cùng một lượng vào hai vế để tạo ra đúng hai biểu thức cần so sánh.

Biến đổi trực tiếp từ giả thiết bằng hai tính chất nhân-cộng cũng cho đúng kết quả như Cách 1.

Chọn một cặp số thỏa $a>b$ rồi tính trực tiếp giá trị hai biểu thức để đối chiếu chiều bất đẳng thức đã suy luận.

Kết quả thử số khớp hoàn toàn hai cách trên; đây chỉ là bước kiểm chứng trên một cặp số, không thay được phép chứng minh tổng quát ở Cách 1 và Cách 2.

Nhân hai vế của $a>b$ lần lượt với $a$ và với $b$ (đều dương, giữ chiều), sau đó dùng tính chất bắc cầu để nối các bất đẳng thức thu được.

Vậy $a^2>ab$, $ab>b^2$, $a^2>b^2$ và $a^3>b^3$.

Lập hiệu vế trái trừ vế phải của mỗi bất đẳng thức, phân tích thành tích các nhân tử rồi xét dấu từng nhân tử.

Xét hiệu và phân tích nhân tử cũng cho đúng bốn bất đẳng thức như Cách 1.

Chọn một cặp số thỏa $a>b>0$, tính trực tiếp bốn biểu thức để đối chiếu với hai cách chứng minh tổng quát ở trên.

Kết quả thử số khớp cả bốn bất đẳng thức; đây chỉ là bước kiểm chứng minh hoạ trên một cặp số, phép chứng minh chặt chẽ cho MỌI $a>b>0$ vẫn phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

Xét hiệu vế trái trừ vế phải, biến đổi về dạng $\frac{1}{2}(a-b{)}^2$ rồi dùng tính chất bình phương không âm.

Vậy $\frac{a^2+b^2}{2}-ab\ge 0$, tức $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$ với mọi $a,b$; dấu bằng khi $a=b$.

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với $2$ (số dương, không đổi chiều), rồi chuyển vế đưa về một bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Vì phép biến đổi trên là tương đương và mệnh đề cuối cùng luôn đúng, bất đẳng thức ban đầu đúng với mọi $a,b$.

Nhận xét $a^2\ge 0$ và $b^2\ge 0$ với mọi $a,b$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho cặp số không âm này.

Kết hợp hai bất đẳng thức: $\frac{a^2+b^2}{2}\ge |ab|\ge ab$, suy ra $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$ với mọi $a,b$.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $n-1,n,n+1$ với $n\ge 1$, khai triển tích hai số ngoài bằng hằng đẳng thức rồi so sánh với bình phương số giữa.

Vậy bình phương số đứng giữa luôn lớn hơn tích hai số còn lại đúng $1$ đơn vị, với mọi ba số tự nhiên liên tiếp.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $k,k+1,k+2$ với $k$ là số tự nhiên bất kỳ, số ở giữa là $k+1$, khai triển trực tiếp tích và bình phương rồi so sánh.

Đặt biến theo cách khác vẫn cho hiệu bằng $1$ như Cách 1, chỉ khác cách gọi tên ba số.

Tính thử với hai bộ ba số liên tiếp cụ thể để phát hiện quy luật, sau đó chứng minh quy luật đó đúng với mọi $n$ bằng đại số như Cách 1.

Quy luật dự đoán từ số cụ thể khớp đúng với chứng minh tổng quát, khẳng định chắc chắn kết quả cho mọi ba số tự nhiên liên tiếp.