Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang28 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.14★Trang 28— Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng cơ bản

a x + b

so với

0

Giải các bất phương trình: a)

- 7 x + 3 > 0

; b)

6 x + 5 \geq 0

; c)

- \frac{1}{2} x + 7 < 0

; d)

\frac{2}{5} x + 3 \leq 0

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế: chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân (chia) hai vế bất phương trình với cùng một số khác $0$ : giữ nguyên chiều nếu số đó dương, đổi chiều nếu số đó âm.
Với $a \neq = 0$ : nghiệm của $a x + b > 0$ là $x > - \frac{b}{a}$ khi $a > 0$ và $x < - \frac{b}{a}$ khi $a < 0$ (tương tự với các dấu $<, \geq, \leq$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn ý đều có sẵn dạng chuẩn

a x + b

so với

0

— dấu hiệu của bất phương trình bậc nhất một ẩn cơ bản, chỉ cần chuyển hạng tử tự do sang vế phải rồi chia hai vế cho hệ số

a

của

x

. Bẫy nằm ở ý a) và c): hệ số

a

là số âm (

- 7

và

- \frac{1}{2}

), nên khi chia (hay nhân) hai vế với số đó bắt buộc phải đổi chiều bất phương trình, quên bước này là sai toàn bộ đáp số.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia hai vế cho hệ số của

x

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia cả hai vế cho hệ số của $x$ , đổi chiều bất phương trình khi hệ số đó âm.

- 7 x + 3 > 0

- 7 x > - 3

x < \frac{3}{7}

← chia hai vế cho

- 7

, đổi chiều
b)

6 x + 5 \geq 0

6 x \geq - 5

x \geq - \frac{5}{6}

- \frac{1}{2} x + 7 < 0

- \frac{1}{2} x < - 7

x > 14

← chia hai vế cho

- \frac{1}{2}

, đổi chiều
d)

\frac{2}{5} x + 3 \leq 0

\frac{2}{5} x \leq - 3

x \leq - \frac{15}{2}

Vậy nghiệm là: a) $x < \frac{3}{7}$ ; b) $x \geq - \frac{5}{6}$ ; c) $x > 14$ ; d) $x \leq - \frac{15}{2}$ .

2Cách 2. Dùng dấu hệ số

a

và nghiệm

x_{0} = - \frac{b}{a}

của phương trình

a x + b = 0

Định hướng. Tính ngay $x_{0} = - \frac{b}{a}$ rồi kết luận chiều bất phương trình theo dấu của $a$ , không cần thực hiện phép chia nên tránh được lỗi quên đổi chiều.

a = - 7 < 0

x_{0} = - \frac{3}{- 7} = \frac{3}{7}

; vì

a < 0

nên

- 7 x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{7}

a = 6 > 0

x_{0} = - \frac{5}{6}

; vì

a > 0

nên

6 x + 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{5}{6}

a = - \frac{1}{2} < 0

x_{0} = - \frac{7}{- \frac{1}{2}} = 14

; vì

a < 0

nên

- \frac{1}{2} x + 7 < 0 \Leftrightarrow x > 14

a = \frac{2}{5} > 0

x_{0} = - \frac{3}{\frac{2}{5}} = - \frac{15}{2}

; vì

a > 0

nên

\frac{2}{5} x + 3 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq - \frac{15}{2}

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x < \frac{3}{7}$ ; b) $x \geq - \frac{5}{6}$ ; c) $x > 14$ ; d) $x \leq - \frac{15}{2}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng giá trị kiểm chứng trong bất phương trình gốc.

Định hướng. Lấy một giá trị $x$ thuộc miền nghiệm vừa tìm và một giá trị nằm ngoài, thế vào bất phương trình ban đầu (chưa biến đổi) để kiểm chứng chiều đúng.

x = 0 < \frac{3}{7}

- 7 (0) + 3 = 3 > 0

đúng;

x = 1 > \frac{3}{7}

- 7 (1) + 3 = - 4 > 0

sai, loại
b)

x = 0 \geq - \frac{5}{6}

6 (0) + 5 = 5 \geq 0

đúng;

x = - 1 < - \frac{5}{6}

6 (- 1) + 5 = - 1 \geq 0

sai, loại
c)

x = 15 > 14

- \frac{1}{2} (15) + 7 = - 0, 5 < 0

đúng;

x = 10 < 14

- \frac{1}{2} (10) + 7 = 2 < 0

sai, loại
d)

x = - 10 \leq - \frac{15}{2}

\frac{2}{5} (- 10) + 3 = - 1 \leq 0

đúng;

x = 0 > - \frac{15}{2}

\frac{2}{5} (0) + 3 = 3 \leq 0

sai, loại

Vậy cả bốn miền nghiệm ở cách 1, cách 2 đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Cách thử lại này rất nhanh để tự kiểm tra chiều bất đẳng thức ngay trong phòng thi, không thay thế được việc trình bày lời giải đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính

x_{0} = - \frac{b}{a}

rồi xét dấu

a

một lần, không phải chia từng bước nên khó sai chiều bất đẳng thức hơn Cách 1.

Đáp số. a)

x < \frac{3}{7}

; b)

x \geq - \frac{5}{6}

; c)

x > 14

; d)

x \leq - \frac{15}{2}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a) và c), nhiều bạn chia hai vế cho số âm (

- 7

hoặc

- \frac{1}{2}

) nhưng quên đổi chiều, dẫn đến ghi sai đáp số

x > \frac{3}{7}

(đúng phải là

x < \frac{3}{7}

) hoặc

x < 14

(đúng phải là

x > 14

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

a x + b □ 0

(

a \neq = 0

□

là một trong bốn dấu

<, >, \leq, \geq

), chỉ cần nhớ dấu của

a

để quyết định có đổi chiều hay không khi quy về

x

so với

- \frac{b}{a}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.15★★Trang 28— Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn sau khi chuyển vế / rút gọn hai vế

Giải các bất phương trình: a)

- 5 x + 3 > 2 x + 5

; b)

6 x^{2} - 5 x + 1 \leq 6 x^{2} + 4 x + 3

Kiến thức cần nhớ

Chuyển hạng tử chứa ẩn về một vế, hạng tử tự do (hoặc hạng tử giống nhau ở cả hai vế) về vế kia; hạng tử chuyển vế phải đổi dấu.
Hai hạng tử giống hệt nhau ở hai vế của bất phương trình có thể triệt tiêu ngay khi chuyển vế, không cần khai triển lại.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) có ẩn

x

ở cả hai vế — dấu hiệu phải chuyển tất cả hạng tử chứa

x

về một vế, hạng tử tự do về vế kia rồi mới chia. Ý b) trông có vẻ là bất phương trình bậc hai vì có

x^{2}

, nhưng hai vế đều chứa

6 x^{2}

giống hệt nhau — bẫy của đề là phải nhận ra hai hạng tử

6 x^{2}

triệt tiêu khi chuyển vế, đưa bất phương trình về đúng bậc nhất.

1Cách 1. Chuyển hết hạng tử chứa

x

về một vế rồi chia.

Định hướng. Chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, hạng tử tự do (hoặc hạng tử trùng nhau) về vế phải, rút gọn rồi chia hai vế cho hệ số của $x$ .

- 5 x + 3 > 2 x + 5

- 5 x - 2 x > 5 - 3

- 7 x > 2

x < - \frac{2}{7}

← chia hai vế cho

- 7

, đổi chiều
b)

6 x^{2} - 5 x + 1 \leq 6 x^{2} + 4 x + 3

6 x^{2} - 5 x - 6 x^{2} - 4 x \leq 3 - 1

- 9 x \leq 2

x \geq - \frac{2}{9}

← chia hai vế cho

- 9

, đổi chiều

Vậy a) nghiệm là $x < - \frac{2}{7}$ ; b) nghiệm là $x \geq - \frac{2}{9}$ .

2Cách 2. Dùng dấu hệ số

a

và nghiệm

x_{0}

sau khi rút gọn về dạng chuẩn.

Định hướng. Rút gọn về dạng $a x + b □ 0$ rồi kết luận trực tiếp theo dấu của $a$ , không thực hiện phép chia để tránh sai chiều.

- 5 x + 3 > 2 x + 5 \Leftrightarrow - 7 x - 2 > 0

;

a = - 7 < 0

x_{0} = - \frac{2}{- 7} = - \frac{2}{7}

nên nghiệm

x < - \frac{2}{7}

6 x^{2} - 5 x + 1 \leq 6 x^{2} + 4 x + 3 \Leftrightarrow - 9 x - 2 \leq 0

;

a = - 9 < 0

x_{0} = - \frac{2}{- 9} = - \frac{2}{9}

nên nghiệm

x \geq - \frac{2}{9}

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x < - \frac{2}{7}$ ; b) $x \geq - \frac{2}{9}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng giá trị kiểm chứng trong bất phương trình gốc.

Định hướng. Thế một giá trị trong miền nghiệm và một giá trị ngoài miền nghiệm vào hai vế ban đầu để kiểm chứng chiều bất đẳng thức.

x = - 1 < - \frac{2}{7}

- 5 (- 1) + 3 = 8

2 (- 1) + 5 = 3

8 > 3

đúng;

x = 0 > - \frac{2}{7}

3 > 5

sai, loại
b)

x = 0 \geq - \frac{2}{9}

6 (0)^{2} - 5 (0) + 1 = 1

6 (0)^{2} + 4 (0) + 3 = 3

1 \leq 3

đúng;

x = - 1 < - \frac{2}{9}

6 - (- 5) + 1 = 12

6 + (- 4) + 3 = 5

12 \leq 5

sai, loại

Vậy cả hai miền nghiệm được kiểm chứng đúng, khớp cách 1 và cách 2.

Nhận xét. Ở ý b), thử trực tiếp vào hai vế ban đầu (còn nguyên $x^{2}$ ) vẫn cho kết quả đúng, chứng tỏ việc rút gọn $6 x^{2}$ ở hai cách trên là hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn một lần về dạng chuẩn rồi xét dấu

a

, tránh phải chia hai vế nhiều lần nên nhanh và khó sai chiều hơn.

Đáp số. a)

x < - \frac{2}{7}

; b)

x \geq - \frac{2}{9}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), nhiều bạn thấy có

x^{2}

liền cho rằng đây là bất phương trình bậc hai rồi loay hoay tìm

Δ

, trong khi

6 x^{2}

ở hai vế triệt tiêu ngay khi chuyển vế, bài chỉ còn là bất phương trình bậc nhất.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng này, nếu đổi hệ số

6 x^{2}

ở hai vế thành hai hệ số khác nhau (chẳng hạn

6 x^{2}

và

5 x^{2}

) thì bất phương trình sẽ thật sự là bậc hai, cách giải sẽ khác hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.16★★Trang 28— Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn sau khi khai triển tích hai đa thức

Giải các bất phương trình: a)

3 (2 x - 3) (2 x + 3) > 12 x^{2} + 2 x

; b)

(2 x + 1) (5 x - 3) > 10 x^{2} + 2 x + 1

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng lại.
Sau khi khai triển, các hạng tử $x^{2}$ giống nhau ở hai vế triệt tiêu khi chuyển vế, đưa bất phương trình về đúng bậc nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.17★★Trang 28— Lập bất phương trình bậc nhất một ẩn từ bài toán tải trọng thực tế

Một công ty chuyển nhà cần di chuyển một cây đàn piano nặng

260

kg bằng thang máy. Thang máy có thể chở được tối đa là

710

kg.
a) Viết và giải bất phương trình để xác định khối lượng thang máy có thể chở thêm được.
b) Ngoài chiếc đàn piano, thang máy có thể chở thêm được bao nhiêu người, biết mỗi người nặng khoảng

60

kg?

Kiến thức cần nhớ

Lập bất phương trình từ tình huống thực tế: gọi ẩn cho đại lượng cần tìm, biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn, rồi dùng từ khoá "tối đa" ( $\leq$ ) hoặc "tối thiểu" ( $\geq$ ) để đặt dấu bất phương trình.
Khi ẩn biểu diễn một đại lượng đếm được (số người, số vật) thì nghiệm phải lấy số nguyên không âm thoả mãn bất phương trình, thường là phần nguyên của cận trên.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.18★Trang 28— Lập bất phương trình bậc nhất một ẩn từ bài toán tiền công theo giờ

David có thể kiếm được

8

USD cho mỗi giờ làm việc tại công ty chuyên chăm sóc cây cảnh và anh ấy muốn kiếm được ít nhất

1200

USD trong mùa hè này.
a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.
b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên?

Kiến thức cần nhớ

"Ít nhất" (tối thiểu) tương ứng với dấu $\geq$ ; "nhiều nhất" (tối đa) tương ứng với dấu $\leq$ .
Số tiền kiếm được $=$ đơn giá theo giờ $\times$ số giờ làm việc.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.19★★Trang 28— Lập bất phương trình bậc nhất một ẩn từ điều kiện hình học của hình chữ nhật

Chiều dài của một hình chữ nhật thì luôn lớn hơn hoặc bằng chiều rộng. Hãy viết và giải bất phương trình để tìm giá trị có thể của

x

(cm) trong hình vẽ dưới đây, biết hình chữ nhật có chiều dài

15

cm và chiều rộng

(x - 3)

cm.

Kiến thức cần nhớ

Số đo độ dài (cạnh hình chữ nhật) luôn là số dương.
Trong hình chữ nhật, chiều dài $\geq$ chiều rộng (cho phép bằng nhau khi hình chữ nhật trở thành hình vuông).
Bất đẳng thức kép $a < t \leq b$ tương đương với đồng thời $t > a$ và $t \leq b$ .