Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia cả hai vế cho hệ số của $x$, đổi chiều bất phương trình khi hệ số đó âm.

Vậy nghiệm là: a) $x<\frac{3}{7}$; b) $x\ge -\frac{5}{6}$; c) $x>14$; d) $x\le -\frac{15}{2}$.

Định hướng. Tính ngay $x_0=-\frac{b}{a}$ rồi kết luận chiều bất phương trình theo dấu của $a$, không cần thực hiện phép chia nên tránh được lỗi quên đổi chiều.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x<\frac{3}{7}$; b) $x\ge -\frac{5}{6}$; c) $x>14$; d) $x\le -\frac{15}{2}$.

Định hướng. Lấy một giá trị $x$ thuộc miền nghiệm vừa tìm và một giá trị nằm ngoài, thế vào bất phương trình ban đầu (chưa biến đổi) để kiểm chứng chiều đúng.

Vậy cả bốn miền nghiệm ở cách 1, cách 2 đều được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Cách thử lại này rất nhanh để tự kiểm tra chiều bất đẳng thức ngay trong phòng thi, không thay thế được việc trình bày lời giải đầy đủ.

Định hướng. Chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, hạng tử tự do (hoặc hạng tử trùng nhau) về vế phải, rút gọn rồi chia hai vế cho hệ số của $x$.

Vậy a) nghiệm là $x<-\frac{2}{7}$; b) nghiệm là $x\ge -\frac{2}{9}$.

Định hướng. Rút gọn về dạng $ax+b\square 0$ rồi kết luận trực tiếp theo dấu của $a$, không thực hiện phép chia để tránh sai chiều.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x<-\frac{2}{7}$; b) $x\ge -\frac{2}{9}$.

Định hướng. Thế một giá trị trong miền nghiệm và một giá trị ngoài miền nghiệm vào hai vế ban đầu để kiểm chứng chiều bất đẳng thức.

Vậy cả hai miền nghiệm được kiểm chứng đúng, khớp cách 1 và cách 2.

Nhận xét. Ở ý b), thử trực tiếp vào hai vế ban đầu (còn nguyên $x^2$) vẫn cho kết quả đúng, chứng tỏ việc rút gọn $6x^2$ ở hai cách trên là hợp lệ.

Định hướng. Khai triển vế trái, rút gọn cùng vế phải để triệt tiêu hạng tử $x^2$, rồi chuyển vế và chia cho hệ số của $x$.

Vậy a) nghiệm là $x<-\frac{27}{2}$; b) nghiệm là $x<-\frac{4}{3}$.

Định hướng. Ý a) nhận ra ngay dạng hiệu hai bình phương $(2x-3)(2x+3)=(2x{)}^2-3^2$ để khai triển nhanh hơn nhân từng hạng tử; sau khi rút gọn, kết luận theo dấu hệ số $a$ như bài 2.14, 2.15.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) $x<-\frac{27}{2}$; b) $x<-\frac{4}{3}$.

Định hướng. Thế một giá trị trong miền nghiệm và một giá trị ngoài miền nghiệm vào bất phương trình ban đầu (chưa khai triển) để kiểm chứng.

Vậy hai miền nghiệm được kiểm chứng đúng.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để tự kiểm tra nhanh vì tính toán số lớn dễ nhầm, không thay được lời giải chuẩn ở cách 1 hoặc cách 2.

Định hướng. Gọi $x$ là khối lượng thang máy có thể chở thêm, lập bất phương trình theo tải trọng tối đa rồi giải; ở ý b) gọi tiếp $y$ là số người và giải bất phương trình với điều kiện $y$ nguyên.

Vậy a) thang máy chở thêm được tối đa $450$ kg; b) vì $y\in \mathbb{N}$ và $y\le 7,5$ nên thang máy chở thêm được tối đa $7$ người.

Định hướng. Tính trực tiếp phần khối lượng còn dư bằng phép trừ, rồi chia cho khối lượng một người để ra số người, không cần lập bất phương trình đại số.

Vậy kết quả khớp cách 1: a) tối đa $450$ kg; b) tối đa $7$ người.

Định hướng. Với ý b), thử lần lượt số người từ nhỏ đến lớn, cộng thêm khối lượng đàn piano rồi đối chiếu với $710$ kg để tìm số người nhiều nhất vẫn còn thoả mãn.

Vậy thang máy chở thêm được tối đa $7$ người, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Liệt kê trực tiếp giúp thấy rõ vì sao phải lấy phần nguyên $7$ chứ không làm tròn $7,5$ lên thành $8$.

Định hướng. Gọi $x$ là số giờ David làm việc, biểu diễn số tiền kiếm được theo $x$ rồi dùng "ít nhất" để đặt dấu $\ge$.

Vậy a) bất phương trình là $8x\ge 1200$; b) David cần làm việc ít nhất $150$ giờ.

Định hướng. Tính trực tiếp số giờ vừa đủ để đạt mục tiêu bằng phép chia, rồi suy ra "ít nhất" nghĩa là không được ít hơn số giờ đó.

Vậy kết quả khớp cách 1: cần làm việc ít nhất $150$ giờ.

Định hướng. Thử đúng số giờ tìm được và một giá trị ít hơn để kiểm chứng biên $150$ là đúng, không thừa không thiếu.

Vậy $150$ giờ là số giờ tối thiểu, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Vì dấu bất phương trình là $\ge$ (không phải $>$) nên đúng $150$ giờ vẫn thoả mãn, không cần làm việc $151$ giờ.

Định hướng. Đặt chiều rộng $x-3$ vào hai điều kiện "dương" và "không vượt quá chiều dài $15$", viết gộp thành một bất đẳng thức kép rồi giải.

Vậy giá trị có thể của $x$ là $3<x\le 18$.

Định hướng. Giải độc lập hai bất phương trình "chiều rộng dương" và "chiều rộng $\le$ chiều dài", biểu diễn hai miền nghiệm trên cùng một trục số rồi lấy phần chung.

Vậy giao hai điều kiện cho $3<x\le 18$, khớp cách 1.

Định hướng. Thử các giá trị $x$ tại và quanh hai đầu mút $3$, $18$ để kiểm tra hình chữ nhật có tồn tại hợp lệ hay không, từ đó xác nhận khoảng nghiệm.

Vậy $x$ nhận được từ trên $3$ đến $18$ (kể cả $18$), tức $3<x\le 18$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Thử tại đúng $x=18$ cho hình vuông là trường hợp biên hay bị bỏ sót nếu chỉ nhớ "chiều dài lớn hơn chiều rộng" mà quên dấu bằng trong đề.