Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.1★Trang 31— Tìm căn bậc hai của một số không âm

Bài 3.1 (trang 31). Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau: a)

81

; b)

\frac{16}{625}

; c)

0, 0121

; d)

6400

Kiến thức cần nhớ

Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $a$ và $- a$ .
$a^{2} = a$ với $a \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn số cụ thể (số nguyên, phân số, số thập phân) — dấu hiệu của dạng toán tìm căn bậc hai cơ bản, chỉ cần đưa mỗi số về đúng bình phương của một số không âm rồi lấy cả giá trị dương và âm. Số phân số

\frac{16}{625}

và số thập phân

0, 0121

dễ khiến học sinh ngại tính nhưng thực chất tử và mẫu (hoặc phần thập phân) đều là bình phương đẹp. Bẫy của bài là quên mất mỗi số dương có đủ hai căn bậc hai đối nhau, chỉ ghi một giá trị dương.

1Cách 1. Đưa mỗi số về bình phương của một số không âm

Định hướng. Viết mỗi số dưới dạng $m^{2}$ với $m \geq 0$ , khi đó hai căn bậc hai của số đó là $\pm m$ .

81 = 9^{2}

nên hai căn bậc hai của

81

là

9

và

- 9

\frac{16}{625} = (\frac{4}{25})^{2}

nên hai căn bậc hai của

\frac{16}{625}

là

\frac{4}{25}

và

- \frac{4}{25}

0, 0121 = 0, 1 1^{2}

nên hai căn bậc hai của

0, 0121

là

0, 11

và

- 0, 11

6400 = 8 0^{2}

nên hai căn bậc hai của

6400

là

80

và

- 80

Vậy a) $\pm 9$ ; b) $\pm \frac{4}{25}$ ; c) $\pm 0, 11$ ; d) $\pm 80$ .

2Cách 2. Đặt ẩn, giải phương trình

x^{2} = a

Định hướng. Gọi $x$ là căn bậc hai cần tìm, lập phương trình $x^{2} = a$ rồi giải để xác định $x$ .

x^{2} = 81 \Leftrightarrow x^{2} - 9^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 9) (x + 9) = 0 \Leftrightarrow x = 9

hoặc

x = - 9

x^{2} = 0, 0121 \Leftrightarrow x^{2} - 0, 1 1^{2} = 0 \Leftrightarrow (x - 0, 11) (x + 0, 11) = 0 \Leftrightarrow x = 0, 11

hoặc

x = - 0, 11

Vậy hai câu a), c) cho cùng kết quả như Cách 1: $x = \pm 9$ và $x = \pm 0, 11$ .

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần thiết khi khó nhận ra ngay $m$ với $m^{2} = a$ ; với các số đẹp như bài này, Cách 1 nhanh hơn hẳn.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Bấm máy tính cầm tay lấy căn bậc hai dương của mỗi số để đối chiếu với kết quả đã nhẩm.

81 = 9

\frac{16}{625} = \frac{4}{25} = 0, 16

0, 0121 = 0, 11

6400 = 80

Vậy cả bốn kết quả đều khớp với Cách 1, xác nhận việc phân tích thành bình phương là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận dạng ngay

m^{2} = a

rồi viết

\pm m

, không cần lập phương trình hay dùng máy tính.

Đáp số. a)

\pm 9

; b)

\pm \frac{4}{25}

; c)

\pm 0, 11

; d)

\pm 80

Sai lầm thường gặp. Chỉ ghi một căn bậc hai dương (ví dụ chỉ ghi

9

mà quên

- 9

), hoặc nhầm

\frac{16}{625}

với

\frac{16}{125}

nên không đưa được về bình phương đẹp.

🚀 Mở rộng. Nếu số cho trước không phải là bình phương của một số hữu tỉ đẹp (ví dụ

5

), thì hai căn bậc hai chỉ có thể viết dưới dạng

\pm 5

chứ không rút gọn được thành số hữu tỉ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.2★★Trang 32— Dùng máy tính cầm tay tính căn bậc hai và làm tròn theo yêu cầu

Bài 3.2 (trang 32). Sử dụng MTCT tính: a)

17

(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba); b) các căn bậc hai của

4021

(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm); c) giá trị biểu thức

\frac{- 11 + 1 1 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3}

(làm tròn kết quả với độ chính xác

0, 005

Kiến thức cần nhớ

Làm tròn đến hàng nào là giữ số chữ số thập phân tương ứng, chữ số kế tiếp $\geq 5$ thì làm tròn lên.
Làm tròn với 'độ chính xác $d$ ' nghĩa là làm tròn kết quả tới số gần nhất là bội của $d$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu bấm máy và làm tròn theo ba kiểu độ chính xác khác nhau (chữ số thập phân thứ ba, hàng phần trăm, độ chính xác

0, 005

) — dấu hiệu là phải đọc kĩ yêu cầu làm tròn của TỪNG câu trước khi bấm máy, không áp dụng chung một kiểu làm tròn cho cả ba câu. Bẫy của bài là làm tròn

0, 005

nghĩa là làm tròn đến bội của

0, 005

, không phải làm tròn 2 hay 3 chữ số thập phân thông thường.

1Cách 1. Bấm máy tính cầm tay trực tiếp rồi làm tròn

Định hướng. Bấm máy lấy đủ nhiều chữ số thập phân rồi làm tròn đúng theo yêu cầu riêng của từng câu.

17 = 4, 1231056 \dots \approx 4, 123

4021 = 63, 4113554 \dots \approx 63, 41

; căn bậc hai của

4021

là

\pm 63, 41

\frac{- 11 + 1 1 ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{- 11 + 97}{6} = - 0, 1918570 \dots \approx - 0, 190

Vậy a) $17 \approx 4, 123$ ; b) căn bậc hai của $4021$ xấp xỉ $\pm 63, 41$ ; c) biểu thức xấp xỉ $- 0, 190$ .

2Cách 2. Kẹp giữa hai số chính phương liền kề để ước lượng trước khi bấm máy

Định hướng. Tìm hai số chính phương gần nhất kẹp số dưới căn để biết khoảng giá trị hợp lí, tránh bấm nhầm máy mà không phát hiện.

16 < 17 < 25

nên

4 < 17 < 5

, gần

4

hơn — khớp với

4, 123

6 3^{2} = 3969

và

6 4^{2} = 4096

, mà

3969 < 4021 < 4096

nên

63 < 4021 < 64

— khớp với

63, 41

9^{2} = 81 < 97 < 100 = 1 0^{2}

nên

9 < 97 < 10

, do đó

\frac{- 11 + 9}{6} < \frac{- 11 + 97}{6} < \frac{- 11 + 10}{6}

, tức

- \frac{1}{3} < bieu thuc < - \frac{1}{6}

— khớp với

- 0, 190

Vậy cả ba khoảng ước lượng đều chứa đúng kết quả đã bấm máy ở Cách 1, xác nhận không có sai số bấm nhầm.

3Cách 3. Tính tay bằng phép lặp Newton để đối chiếu

17

Định hướng. Dùng công thức lặp $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{17}{x _{n}})$ , xuất phát từ $x_{0} = 4$ , để tính tay $17$ mà không cần bấm phím căn bậc hai.

x_{0} = 4

x_{1} = \frac{1}{2} (4 + \frac{17}{4}) = \frac{1}{2} (4 + 4, 25) = 4, 125

x_{2} = \frac{1}{2} (4, 125 + \frac{17}{4 , 125}) \approx \frac{1}{2} (4, 125 + 4, 1212) \approx 4, 1231

Vậy chỉ sau hai bước lặp, $x_{2} \approx 4, 1231$ đã khớp với $4, 123$ ở Cách 1, cho thấy kết quả bấm máy đáng tin cậy.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để hiểu bản chất máy tính "tính" căn bậc hai như thế nào; khi làm bài thi vẫn nên bấm máy tính cầm tay trực tiếp như Cách 1 cho nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bấm máy tính cầm tay trực tiếp và đọc kĩ yêu cầu làm tròn riêng của từng câu — Cách 2, 3 chỉ để kiểm tra khi nghi ngờ bấm nhầm.

Đáp số. a)

17 \approx 4, 123

; b) căn bậc hai của

4021

xấp xỉ

\pm 63, 41

; c) biểu thức

\approx - 0, 190

Sai lầm thường gặp. Làm tròn câu c) theo kiểu '2 chữ số thập phân' thông thường thay vì làm tròn đến bội của

0, 005

như đề yêu cầu, hoặc quên câu b) có cả hai căn bậc hai (âm và dương).

🚀 Mở rộng. Phép lặp Newton ở Cách 3 chính là thuật toán mà nhiều máy tính bỏ túi dùng để tính căn bậc hai, càng lặp nhiều lần kết quả càng chính xác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.3★★Trang 32— Rút gọn biểu thức chứa

A^{2}

bằng công thức

A^{2} = ∣ A ∣

Bài 3.3 (trang 32). Rút gọn: a)

(4, 1)^{2} - (- 6, 1)^{2}

; b)

(101)^{2} - (- 99)^{2}

; c)

(3 + 22)^{2} - (- 3 + 22)

; d)

(10 + 3)^{2} - (10 - 3)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$(a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ : bằng $A$ khi $A \geq 0$ , bằng $- A$ khi $A < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn câu đều có dạng

(m)^{2}

hoặc

A^{2}

— dấu hiệu nhận ra ngay công thức

(a)^{2} = a

(với

a \geq 0

) và

A^{2} = ∣ A ∣

. Bẫy của bài nằm ở việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối: phải xét dấu biểu thức bên trong trước khi bỏ dấu trị tuyệt đối, đặc biệt câu b) có

(- 99)^{2} = ∣ - 99∣ = 99

(không phải

- 99

) và câu d) phải so sánh

10

với

3

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức

(a)^{2} = a

và

A^{2} = ∣ A ∣

Định hướng. Nhận dạng đúng công thức cần dùng cho từng dạng, riêng $A^{2}$ phải xét dấu $A$ trước khi bỏ trị tuyệt đối.

(4, 1)^{2} - (- 6, 1)^{2} = 4, 1 - 6, 1 = - 2

(101)^{2} - (- 99)^{2} = 101 - ∣ - 99∣ = 101 - 99 = 2

c) vì

3 + 22 > 0

nên

(3 + 22)^{2} = 3 + 22

(3 + 22)^{2} - (- 3 + 22) = (3 + 22) - (- 3 + 22) = 23

d) vì

10 > 9 = 3

nên

10 + 3 > 0

và

10 - 3 > 0

(10 + 3)^{2} - (10 - 3)^{2} = (10 + 3) - (10 - 3) = 6

Vậy a) $- 2$ ; b) $2$ ; c) $23$ ; d) $6$ .

2Cách 2. Với câu a), b): thay số vào tính giá trị cụ thể trước khi bình phương

Định hướng. Với hai câu chứa số thập phân, số nguyên đẹp, tính trực tiếp giá trị $4, 1$ , $6, 1$ ... rồi mới bình phương, để kiểm chứng công thức $(a)^{2} = a$ .

4, 1 \approx 2, 0248

nên

(4, 1)^{2} \approx 4, 1

; tương tự

(- 6, 1)^{2} \approx 6, 1

hiệu

\approx 4, 1 - 6, 1 = - 2

(101)^{2} = 101

theo định nghĩa căn bậc hai số học;

(- 99)^{2} = 9801 = 99

hiệu

= 101 - 99 = 2

Vậy hai câu a), b) cho cùng kết quả như Cách 1: $- 2$ và $2$ .

3Cách 3. Với câu c), d): ước lượng số thập phân để kiểm tra chiều dấu đã chọn

Định hướng. Ước lượng giá trị thập phân của các căn thức để kiểm tra chiều dấu đã dùng ở Cách 1 là đúng, tránh bỏ sai dấu trị tuyệt đối.

3 \approx 1, 732

22 \approx 2, 828

nên

3 + 22 \approx 4, 56 > 0

, khớp giả thiết dùng ở Cách 1; kết quả

23 \approx 3, 46

10 \approx 3, 162

nên

10 - 3 \approx 0, 162 > 0

, khớp giả thiết dùng ở Cách 1

Vậy các ước lượng số thập phân xác nhận đúng chiều dấu đã chọn, nên kết quả $23$ và $6$ ở Cách 1 là chính xác.

Nhận xét. Ước lượng số thập phân ở Cách 3 là bước kiểm tra nhanh, rất hữu ích khi không chắc chắn dấu của biểu thức trong căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận công thức ngay, chỉ cần thêm một dòng xét dấu (như

10 > 3

) trước khi bỏ trị tuyệt đối — nhanh và chắc chắn hơn tính số thập phân.

Đáp số. a)

- 2

; b)

2

; c)

23

; d)

6

Sai lầm thường gặp. Câu b) viết nhầm

(- 99)^{2} = - 99

(quên trị tuyệt đối luôn không âm); câu d) quên so sánh

10

với

3

nên bỏ dấu trị tuyệt đối sai chiều ở

10 - 3

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu d) thành

(5 + 3)^{2} - (5 - 3)^{2}

thì vì

5 < 3

nên

5 - 3 < 0

, kết quả sẽ đổi thành

(5 + 3) + (5 - 3) = 25

chứ không còn là hằng số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.4★★Trang 32— Rút gọn biểu thức chứa căn bằng hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 3.4 (trang 32). Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu hai bình phương và bình phương của một hiệu, rút gọn: a)

(3 + 2) (3 - 2)

; b)

2 - 22 + 1

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
$A^{2} = ∣ A ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có dạng tích

(m + n) (m - n)

— dấu hiệu ngay của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Câu b) có ba số hạng

2 - 22 + 1

bên trong căn — dấu hiệu cần gộp thành

3 - 22

rồi nhận ra đây là bình phương của một hiệu

(2 - 1)^{2}

để đưa về dạng

A^{2}

1Cách 1. Nhận dạng hằng đẳng thức rồi áp dụng ngược

Định hướng. Đưa mỗi biểu thức về đúng dạng vế phải của hằng đẳng thức đã học, áp dụng ngược để rút gọn nhanh.

(3 + 2) (3 - 2) = (3)^{2} - (2)^{2} = 3 - 2 = 1

2 - 22 + 1 = 3 - 22 = (2)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

2 - 22 + 1 = (2 - 1)^{2} = 2 - 1 = 2 - 1

(vì

2 > 1

)

Vậy a) $1$ ; b) $2 - 1$ .

2Cách 2. Nhân phá ngoặc/tính trực tiếp không qua hằng đẳng thức

Định hướng. Nhân trực tiếp từng số hạng (câu a) hoặc ước lượng giá trị thập phân bên trong căn (câu b) mà không cần nhận dạng hằng đẳng thức trước, để kiểm chứng Cách 1.

(3 + 2) (3 - 2) = 3 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 2 = 1

2 \approx 1, 414

nên

2 - 22 + 1 \approx 2 - 2, 828 + 1 = 0, 172

;

0, 172 \approx 0, 414

; mà

2 - 1 \approx 0, 414

Vậy hai câu đều khớp với kết quả $1$ và $2 - 1$ ở Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra ngược bằng cách bình phương kết quả câu b)

Định hướng. Bình phương kết quả $2 - 1$ để xem có trả lại đúng biểu thức $3 - 22$ ban đầu hay không — một cách thử lại độc lập không dùng phép khai căn.

(2 - 1)^{2} = (2)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^{2} = 2 - 22 + 1 = 3 - 22

Vậy bình phương lên đúng bằng biểu thức trong căn ban đầu, xác nhận $2 - 22 + 1 = 2 - 1$ là chính xác.

Nhận xét. Thử lại bằng phép bình phương ngược ở Cách 3 là cách kiểm tra an toàn nhất khi rút gọn căn thức, không phụ thuộc việc tính gần đúng như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận dạng hằng đẳng thức ngay, không cần nhân phá ngoặc dài dòng như Cách 2.

Đáp số. a)

1

; b)

2 - 1

Sai lầm thường gặp. Câu b) quên gộp

2 + 1 = 3

trước khi nhận dạng hằng đẳng thức, hoặc bỏ trị tuyệt đối sai thành

1 - 2

(một số âm) dù

2 - 22 + 1

luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật này áp dụng được cho mọi biểu thức dạng

a - 2 ab + b

với

a, b \geq 0

: luôn rút gọn được về

a - b

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.5★★★Trang 32— Tính giá trị của căn thức bậc hai

b^{2} - 4 a c

của phương trình bậc hai

Bài 3.5 (trang 32). Khi giải phương trình

a x^{2} + b x + c = 0

(

a, b, c

là ba số thực đã cho,

a \neq = 0

), ta phải tính giá trị của căn thức bậc hai

b^{2} - 4 a c

. Hãy tính giá trị của căn thức này với các phương trình sau: a)

x^{2} + 5 x + 6 = 0

; b)

4 x^{2} - 5 x - 6 = 0

; c)

- 3 x^{2} - 2 x + 33 = 0

Kiến thức cần nhớ

$b^{2} - 4 a c$ chính là biệt thức $Δ$ của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm thì $Δ = a^{2} (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn công thức

b^{2} - 4 a c

và ba phương trình cụ thể — dấu hiệu là chỉ cần xác định đúng

a, b, c

(đặc biệt để ý dấu âm ở câu b), c)) rồi thay vào. Đây thực chất là bước tính

Δ

trong công thức nghiệm phương trình bậc hai, nên hoàn toàn có thể kiểm tra chéo bằng cách tìm nghiệm của phương trình rồi suy ngược lại

Δ

1Cách 1. Xác định

a, b, c

rồi thay trực tiếp vào

b^{2} - 4 a c

Định hướng. Đọc đúng dấu của $a, b, c$ trong từng phương trình rồi thay số cẩn thận vào biểu thức dưới căn.

a = 1, b = 5, c = 6

b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

;

1 = 1

a = 4, b = - 5, c = - 6

b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6) = 25 + 96 = 121

;

121 = 11

a = - 3, b = - 2, c = 33

b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 33 = 4 + 396 = 400

;

400 = 20

Vậy a) $1$ ; b) $11$ ; c) $20$ .

2Cách 2. Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nghiệm, suy ra

Δ = a^{2} (x_{1} - x_{2})^{2}

Định hướng. Nhẩm nghiệm bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, rồi dùng liên hệ $Δ = a^{2} (x_{1} - x_{2})^{2}$ để tính ngược lại căn thức mà không cần thay trực tiếp vào công thức.

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0

cho

x_{1} = - 2, x_{2} = - 3

;

a = 1

Δ = 1^{2} \cdot (- 2 - (- 3))^{2} = 1^{2} \cdot 1^{2} = 1

;

Δ = 1

4 x^{2} - 5 x - 6 = (4 x + 3) (x - 2) = 0

cho

x_{1} = 2, x_{2} = - \frac{3}{4}

;

a = 4

Δ = 4^{2} \cdot (2 - (- \frac{3}{4}))^{2} = 16 \cdot (\frac{11}{4})^{2} = 16 \cdot \frac{121}{16} = 121

;

Δ = 11

- 3 x^{2} - 2 x + 33 = (x - 3) (- 3 x - 11) = 0

cho

x_{1} = 3, x_{2} = - \frac{11}{3}

;

a = - 3

Δ = (- 3)^{2} \cdot (3 - (- \frac{11}{3}))^{2} = 9 \cdot (\frac{20}{3})^{2} = 9 \cdot \frac{400}{9} = 400

;

Δ = 20

Vậy cả ba câu đều cho cùng kết quả $1, 11, 20$ như Cách 1, xác nhận việc thay số là chính xác.

3Cách 3. Bấm máy tính cầm tay tính trực tiếp

b^{2} - 4 a c

rồi khai căn

Định hướng. Nhập nguyên biểu thức $b^{2} - 4 a c$ vào máy tính cầm tay (đặc biệt cẩn trọng dấu âm bằng dấu ngoặc) rồi bấm phím căn bậc hai.

a) bấm

5^{2} - 4 \times 1 \times 6 =

được

1

, bấm căn bậc hai được

1

b) bấm

(- 5)^{2} - 4 \times 4 \times (- 6) =

được

121

, bấm căn bậc hai được

11

c) bấm

(- 2)^{2} - 4 \times (- 3) \times 33 =

được

400

, bấm căn bậc hai được

20

Vậy máy tính cầm tay xác nhận đúng ba kết quả $1, 11, 20$ .

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhưng dễ bấm sai dấu nếu không đặt dấu ngoặc quanh số âm; Cách 1 và 2 giúp kiểm soát dấu chắc chắn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định đúng

a, b, c

rồi thay số — Cách 2 (tìm nghiệm rồi suy ngược) chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian.

Đáp số. a)

1

; b)

11

; c)

20

Sai lầm thường gặp. Câu c) nhầm dấu

a = - 3

thành

a = 3

khi thay vào

- 4 a c

, làm sai dấu cả biểu thức bên trong căn.

🚀 Mở rộng. Giá trị

b^{2} - 4 a c

này chính là

Δ

dùng trực tiếp trong công thức nghiệm

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

ở bài học sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.6★★★Trang 32— Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai của lũy thừa, có điều kiện dấu của biến

Bài 3.6 (trang 32). Rút gọn các biểu thức sau: a)

49 x^{4} - 3 x^{2}

; b)

a^{6} (a - b)^{2} : (a - b)

với

a < b < 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2 k} = ∣ x^{k} ∣$ với mọi số nguyên $k$ .
Nếu $a < b$ thì $a - b < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

49 x^{4}

— vì

x^{4} = (x^{2})^{2}

và

x^{2} \geq 0

luôn đúng với mọi

x

nên bỏ trị tuyệt đối không cần điều kiện gì thêm. Câu b) phức tạp hơn vì

a^{6} = (a^{3})^{2}

nhưng

a^{3}

có thể âm — dấu hiệu là phải dùng điều kiện

a < b < 0

đã cho để xác định dấu của

a^{3}

và của

a - b

trước khi bỏ trị tuyệt đối.

1Cách 1. Đưa về

A^{2} = ∣ A ∣

rồi xét dấu theo điều kiện đề cho

Định hướng. Viết biểu thức dưới căn thành bình phương đúng của một biểu thức, rồi dùng điều kiện đề cho để xác định dấu và bỏ trị tuyệt đối.

49 x^{4} - 3 x^{2} = (7 x^{2})^{2} - 3 x^{2} = ∣7 x^{2} ∣ - 3 x^{2}

vì

x^{2} \geq 0

với mọi

x

nên

7 x^{2} \geq 0

, do đó

∣7 x^{2} ∣ = 7 x^{2}

= 7 x^{2} - 3 x^{2} = 4 x^{2}

a^{6} (a - b)^{2} : (a - b) = (a^{3})^{2} (a - b)^{2} : (a - b) = ∣ a^{3} (a - b) ∣ : (a - b)

vì

a < b < 0

nên

a < 0 \Rightarrow a^{3} < 0

, và

a - b < 0

, tích hai số âm

a^{3} (a - b) > 0

nên

∣ a^{3} (a - b) ∣ = a^{3} (a - b)

= a^{3} (a - b) : (a - b) = a^{3}

Vậy a) $4 x^{2}$ ; b) $a^{3}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ để nhìn rõ cấu trúc bình phương

Định hướng. Đặt $t = x^{2}$ (câu a) hoặc tách riêng $a^{6} = (a^{3})^{2}$ thành một ẩn phụ (câu b) để tránh nhầm lẫn giữa mũ chẵn của biến gốc và của biểu thức mới.

a) đặt

t = x^{2} \geq 0

49 x^{4} - 3 x^{2} = 49 t^{2} - 3 t = 7 t - 3 t = 4 t = 4 x^{2}

b) đặt

u = a^{3}

(cùng dấu với

a

vì mũ lẻ):

a^{6} (a - b)^{2} = u^{2} (a - b)^{2} = ∣ u ∣ \cdot ∣ a - b ∣

vì

a < 0

nên

u = a^{3} < 0

, và

a - b < 0

∣ u ∣ \cdot ∣ a - b ∣ = (- u) (b - a) = u (a - b)

chia cho

(a - b)

u (a - b) : (a - b) = u = a^{3}

Vậy hai câu cho cùng kết quả như Cách 1: $4 x^{2}$ và $a^{3}$ .

3Cách 3. Thử với giá trị cụ thể để kiểm chứng

Định hướng. Thay một giá trị $x$ cụ thể (câu a) hoặc một cặp $a, b$ thỏa $a < b < 0$ (câu b) vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

a) với

x = 2

49 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{2} = 784 - 12 = 28 - 12 = 16

; và

4 x^{2} = 4 \cdot 4 = 16

b) với

a = - 3, b = - 1

(thỏa

a < b < 0

(- 3)^{6} \cdot (- 3 - (- 1))^{2} : (- 3 - (- 1)) = 729 \cdot 4 : (- 2) = 54 : (- 2) = - 27

; và

a^{3} = (- 3)^{3} = - 27

Vậy cả hai phép thử đều khớp với kết quả $4 x^{2}$ và $a^{3}$ ở Cách 1.

Nhận xét. Kết quả câu b) là $a^{3}$ — một số âm (vì $a < 0$ ), không phải $∣ a ∣^{3}$ ; đây là điểm dễ gây nhầm lẫn nhất của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa ngay về

∣ A ∣

rồi xét dấu bằng điều kiện đề cho — Cách 2 (đặt ẩn phụ) chỉ cần khi còn lúng túng giữa mũ của biến gốc và biểu thức mới.

Đáp số. a)

4 x^{2}

; b)

a^{3}

Sai lầm thường gặp. Câu b) quên điều kiện

a < b < 0

nên bỏ trị tuyệt đối sai dấu, ra kết quả

- a^{3}

thay vì

a^{3}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện thành

0 < a < b

thì

a^{3} > 0

và

a - b < 0

, tích

a^{3} (a - b) < 0

, khi đó kết quả câu b) sẽ đổi dấu thành

- a^{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.7★★★Trang 32— Rút gọn biểu thức chứa

A^{2}

rồi tính giá trị tại một điểm cho trước

Bài 3.7 (trang 32). Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

25 (4 x^{2} - 4 x + 1)^{2}

tại

x = 3

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
$25 \cdot A^{4} = 5 A^{2}$ vì $A^{2} \geq 0$ với mọi $A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức trong ngoặc

4 x^{2} - 4 x + 1

có dạng hằng đẳng thức

(2 x - 1)^{2}

— dấu hiệu là nên rút gọn toàn bộ biểu thức tổng quát trước khi thay

x = 3

, thay vì thay số ngay từ đầu rồi tính một biểu thức cồng kềnh chứa căn lồng căn. Vì bình phương luôn không âm nên

25 ((2 x - 1)^{2})^{2} = 5 (2 x - 1)^{2}

không cần xét dấu.

1Cách 1. Rút gọn biểu thức tổng quát trước, thay số sau

Định hướng. Nhận ra $4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x - 1)^{2}$ , đưa biểu thức về $25 (2 x - 1)^{4} = 5 (2 x - 1)^{2}$ (không cần xét dấu vì $(2 x - 1)^{2} \geq 0$ ), rồi mới thay $x = 3$ .

4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 1 + 1^{2} = (2 x - 1)^{2}

25 (4 x^{2} - 4 x + 1)^{2} = 25 ((2 x - 1)^{2})^{2} = 25 (2 x - 1)^{4} = 5 (2 x - 1)^{2}

tại

x = 3

2 x - 1 = 23 - 1

(23 - 1)^{2} = (23)^{2} - 2 \cdot 23 \cdot 1 + 1^{2} = 12 - 43 + 1 = 13 - 43

5 (2 x - 1)^{2} = 5 (13 - 43) = 65 - 203

Vậy biểu thức rút gọn là $5 (2 x - 1)^{2}$ , và tại $x = 3$ giá trị bằng $65 - 203$ .

2Cách 2. Thay

x = 3

vào biểu thức trong ngoặc trước, rồi mới bình phương, nhân và khai căn

Định hướng. Tính giá trị số của $4 x^{2} - 4 x + 1$ tại $x = 3$ trước, sau đó mới bình phương, nhân $25$ và khai căn — thứ tự tính ngược lại với Cách 1.

tại

x = 3

4 x^{2} = 4 \cdot 3 = 12

;

4 x = 43

4 x^{2} - 4 x + 1 = 12 - 43 + 1 = 13 - 43

(4 x^{2} - 4 x + 1)^{2} = (13 - 43)^{2} = 1 3^{2} - 2 \cdot 13 \cdot 43 + (43)^{2} = 169 - 1043 + 48 = 217 - 1043

25 (4 x^{2} - 4 x + 1)^{2} = 25 (217 - 1043) = 5425 - 26003

5425 - 26003 = 25 (13 - 43)^{2} = 5∣13 - 43 ∣ = 5 (13 - 43) = 65 - 203

(vì

13 > 43 \approx 6, 93

)

Vậy kết quả vẫn là $65 - 203$ , khớp với Cách 1 nhưng các bước tính cồng kềnh hơn nhiều.

3Cách 3. Kiểm tra bằng giá trị thập phân gần đúng

Định hướng. Thay $x = 3 \approx 1, 732$ trực tiếp vào biểu thức gốc bằng số thập phân để đối chiếu với kết quả $65 - 203$ đã rút gọn.

x \approx 1, 732

4 x^{2} - 4 x + 1 \approx 4 (3) - 4 (1, 732) + 1 \approx 12 - 6, 928 + 1 = 6, 072

25 \cdot (6, 072)^{2} \approx 25 \cdot 36, 869 \approx 921, 7

921, 7 \approx 30, 36

65 - 203 \approx 65 - 34, 64 = 30, 36

Vậy giá trị thập phân gần đúng khớp với $65 - 203$ , xác nhận kết quả rút gọn ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn trước, thay số sau) ngắn gọn và an toàn hơn hẳn Cách 2 — Cách 2 dễ tính sai khi bình phương số vô tỉ nhiều lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: luôn rút gọn biểu thức tổng quát bằng hằng đẳng thức trước khi thay số — tránh phải bình phương số vô tỉ nhiều lần như Cách 2.

Đáp số.

5 (2 x - 1)^{2}

; tại

x = 3

giá trị bằng

65 - 203

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 3

ngay từ đầu (như Cách 2) rồi tính toán cồng kềnh dễ sai dấu khi khai triển

(13 - 43)^{2}

; hoặc quên rằng

(2 x - 1)^{2} \geq 0

luôn đúng nên không cần xét dấu khi bỏ căn ở bước

25 (2 x - 1)^{4}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành

25 (4 x^{2} - 4 x + 1)^{2}

tại

x = \frac{1}{2}

thì

2 x - 1 = 0

, biểu thức có giá trị

0

— đây là điểm đặc biệt duy nhất mà kết quả không phụ thuộc vào việc xét dấu.

Mở bài này trong app ↗