Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang34 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.8★Trang 34— So sánh hai biểu thức chứa căn bậc hai bằng phép nhân, chia căn thức

Bài 3.8 (trang 34). So sánh: a)

5 \cdot 11

và

56

; b)

\frac{141}{3}

và

7

Kiến thức cần nhớ

Với $A, B \geq 0$ : $A \cdot B = A B$ .
Với $A \geq 0, B > 0$ : $\frac{A}{B} = \frac{A}{B}$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A < B \Leftrightarrow A < B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai biểu thức đều không âm và đều có dạng tích hoặc thương của các căn bậc hai — dấu hiệu để dùng công thức

A \cdot B = A B

và

A : B = A : B

gộp về một căn duy nhất rồi so sánh số dưới căn. Vì hai vế đều không âm nên so sánh số dưới căn tương đương so sánh cả biểu thức. Bẫy của bài là quên đổi số nguyên

7

ở câu b) thành

49

trước khi so sánh với

47

1Cách 1. Gộp về một căn rồi so sánh số dưới căn

Định hướng. Dùng công thức nhân/chia hai căn để đưa mỗi vế về một căn bậc hai duy nhất, rồi so sánh các số dưới căn.

5 \cdot 11 = 5 \cdot 11 = 55

Mà

55 < 56

nên

55 < 56

\frac{141}{3} = \frac{141}{3} = 47

Mà

7 = 49

và

47 < 49

nên

47 < 49 = 7

Vậy a) $5 \cdot 11 < 56$ ; b) $\frac{141}{3} < 7$ .

2Cách 2. Bình phương hai vế

Định hướng. Vì hai vế của mỗi bất đẳng thức đều không âm nên bình phương hai vế rồi so sánh kết quả.

(5 \cdot 11)^{2} = 5 \cdot 11 = 55

(56)^{2} = 56

55 < 56

(\frac{141}{3})^{2} = \frac{141}{3} = 47

7^{2} = 49

47 < 49

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $5 \cdot 11 < 56$ ; b) $\frac{141}{3} < 7$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng MTCT

Định hướng. Bấm máy tính lấy giá trị gần đúng của mỗi vế rồi so sánh trực tiếp.

5 \approx 2, 236

11 \approx 3, 317

nên

5 \cdot 11 \approx 7, 416

56 \approx 7, 483

141 \approx 11, 874

3 \approx 1, 732

nên

\frac{141}{3} \approx 6, 856

Vậy $7, 416 < 7, 483$ và $6, 856 < 7$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho kết quả chính xác tuyệt đối; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại vì số liệu đã làm tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp căn rồi so sánh số nguyên dưới căn, không cần bình phương hay bấm máy nên nhanh và chắc chắn không sai dấu.

Đáp số. a)

5 \cdot 11 < 56

; b)

\frac{141}{3} < 7

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh so sánh trực tiếp

141

với

3 \cdot 7 = 147

mà quên bình phương đúng

7

7 = 49

chứ không phải

7

, dẫn tới so sánh sai vế.

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật gộp căn rồi so sánh còn dùng để so sánh

3 A

và

3 B

(căn bậc ba) — chỉ cần thay tính chất

A < B \Leftrightarrow A < B

bằng tính chất tương ứng của căn bậc ba.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.9★★Trang 34— Tính giá trị biểu thức chứa căn bằng phép nhân, chia căn thức

Bài 3.9 (trang 34). Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau: a)

1 \frac{2}{3} : \frac{1}{15}

; b)

4, 9 \cdot 1000

Kiến thức cần nhớ

Với $A \geq 0, B > 0$ : $A : B = A : B$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A \cdot B = A B$ .
$m^{2} = m$ với $m \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phép nhân, chia hai căn thức với số dưới căn là phân số hỗn tạp và số thập phân — dấu hiệu của dạng gộp các căn thức về một căn duy nhất rồi rút gọn số dưới căn thành số chính phương. Hướng làm an toàn là đổi hỗn số, số thập phân về phân số tối giản trước khi gộp căn, tránh nhân chia nhầm. Bẫy của bài là quên đổi

1 \frac{2}{3}

thành

\frac{5}{3}

trước khi tính, dễ nhầm với

\frac{1}{2} \cdot 3

1Cách 1. Gộp về một căn rồi rút gọn số dưới căn

Định hướng. Đổi hỗn số, số thập phân về phân số, dùng công thức gộp căn để đưa biểu thức về một căn bậc hai của số chính phương.

1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

\frac{5}{3} : \frac{1}{15} = \frac{5}{3} : \frac{1}{15} = \frac{5}{3} \cdot 15 = 25 = 5

4, 9 \cdot 1000 = 4, 9 \cdot 1000 = 4900 = 7 0^{2} = 70

Vậy a) biểu thức bằng $5$ ; b) biểu thức bằng $70$ .

2Cách 2. Tách riêng từng căn thành tích của số nguyên với một căn đồng dạng

Định hướng. Phân tích số dưới mỗi căn thành tích của một bình phương đúng với một thừa số chung, tách căn ra ngoài rồi rút gọn theo từng thừa số.

\frac{5}{3} = \frac{5}{3}

; và

\frac{1}{15} = \frac{1}{15} = \frac{1}{3 \cdot 5}

\frac{5}{3} : \frac{1}{15} = \frac{5}{3} \cdot 3 \cdot 5 = (5)^{2} = 5

4, 9 = 0, 49 \cdot 10 = 0, 7^{2} \cdot 10

nên

4, 9 = 0, 710

; và

1000 = 100 \cdot 10

nên

1000 = 1010

4, 9 \cdot 1000 = 0, 710 \cdot 1010 = 7 \cdot 10 = 70

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $5$ ; b) $70$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng cách bình phương ngược kết quả

Định hướng. Bình phương kết quả tìm được và đối chiếu ngược lại với số dưới căn đã gộp để xác nhận không tính nhầm.

5^{2} = 25 = \frac{5}{3} : \frac{1}{15}

, đúng bằng số dưới căn đã gộp ở Cách 1
b)

7 0^{2} = 4900 = 4, 9 \cdot 1000

, đúng bằng số dưới căn đã gộp ở Cách 1

Vậy hai kết quả $5$ và $70$ đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất nhờ gộp căn ngay từ đầu; Cách 2 tuy dài hơn nhưng cho thấy rõ bản chất từng thừa số, hữu ích khi số dưới căn không rút gọn đẹp ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi hỗn số/thập phân ra phân số rồi gộp căn ngay, chỉ 2-3 dòng tính, ít bước nên khó sai.

Đáp số. a)

5

; b)

70

Sai lầm thường gặp. Quên đổi hỗn số

1 \frac{2}{3}

thành phân số

\frac{5}{3}

mà tính nhầm, hoặc gộp nhầm phép chia thành phép nhân khi đổi từ

A : B

sang

A : B

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật này áp dụng được cho mọi tích/thương nhiều căn thức liên tiếp, ví dụ rút gọn

2 \cdot 8 : 4

bằng cách gộp thành

2 \cdot 8 : 4 = 4 = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.10★★★Trang 34— Chứng minh giá trị biểu thức căn lồng nhau là số nguyên

Bài 3.10 (trang 34). Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên: a)

8 + 15 \cdot 8 - 15

; b)

(6 - 11 + 6 + 11)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$(X + Y)^{2} = X + Y + 2 X Y$ với $X, Y \geq 0$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A \cdot B = A B$ .
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.11★★★★Trang 34— Tính giá trị biểu thức căn thức lồng nhau nhiều tầng

Bài 3.11 (trang 34). Không dùng MTCT, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

P = 2 + 2 + 2 \cdot 2 - 2 + 2 \cdot 4 + 8

Kiến thức cần nhớ

Với $A, B \geq 0$ : $A \cdot B = A B$ .
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
$4 a = 2 a$ với $a \geq 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.12★★★Trang 34— Rút gọn biểu thức chứa căn bằng cách nhóm nhân tử chung hoặc trục căn thức ở mẫu

Bài 3.12 (trang 34). Rút gọn biểu thức

P = \frac{3 10 + 20 - 3 6 - 12}{5 - 3}

Kiến thức cần nhớ

$20 = 25$ , $12 = 23$ (đưa thừa số ra ngoài dấu căn).
Đặt nhân tử chung: $ma - mb = m (a - b)$ .
Trục căn thức ở mẫu: nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.13★★Trang 34— So sánh hai căn thức lồng nhau

Bài 3.13 (trang 34). So sánh

6 + 20

và

6 + 1

Kiến thức cần nhớ

Với $A, B \geq 0$ : $A < B \Leftrightarrow A < B$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A < B \Rightarrow C + A < C + B$ (cộng cùng một số vào hai vế không đổi chiều).