Bài 8. Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Định hướng. Dùng công thức nhân/chia hai căn để đưa mỗi vế về một căn bậc hai duy nhất, rồi so sánh các số dưới căn.

Vậy a) $\sqrt{5}\cdot \sqrt{11}<\sqrt{56}$; b) $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}<7$.

Định hướng. Vì hai vế của mỗi bất đẳng thức đều không âm nên bình phương hai vế rồi so sánh kết quả.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\sqrt{5}\cdot \sqrt{11}<\sqrt{56}$; b) $\frac{\sqrt{141}}{\sqrt{3}}<7$.

Định hướng. Bấm máy tính lấy giá trị gần đúng của mỗi vế rồi so sánh trực tiếp.

Vậy $7,416<7,483$ và $6,856<7$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho kết quả chính xác tuyệt đối; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại vì số liệu đã làm tròn.

Định hướng. Đổi hỗn số, số thập phân về phân số, dùng công thức gộp căn để đưa biểu thức về một căn bậc hai của số chính phương.

Vậy a) biểu thức bằng $5$; b) biểu thức bằng $70$.

Định hướng. Phân tích số dưới mỗi căn thành tích của một bình phương đúng với một thừa số chung, tách căn ra ngoài rồi rút gọn theo từng thừa số.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $5$; b) $70$.

Định hướng. Bình phương kết quả tìm được và đối chiếu ngược lại với số dưới căn đã gộp để xác nhận không tính nhầm.

Vậy hai kết quả $5$ và $70$ đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất nhờ gộp căn ngay từ đầu; Cách 2 tuy dài hơn nhưng cho thấy rõ bản chất từng thừa số, hữu ích khi số dưới căn không rút gọn đẹp ngay.

Định hướng. Nhân hai căn thức dạng $\sqrt{8+\sqrt{15}}$ và $\sqrt{8-\sqrt{15}}$ (hoặc khai triển bình phương một tổng rồi làm tương tự) để số dưới căn của kết quả trở thành hiệu hai bình phương.

Vậy a) biểu thức bằng $7\in \mathbb{Z}$; b) biểu thức bằng $22\in \mathbb{Z}$, cả hai đều là số nguyên.

Định hướng. Coi hai số dưới căn là hai nghiệm của một phương trình bậc hai, dùng tổng và tích hai nghiệm (Viète) để suy ra tích mà không cần khai triển trực tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $7$; b) $22$.

Định hướng. Bấm máy tính lấy giá trị gần đúng của biểu thức, làm tròn để xác nhận đúng là số nguyên.

Vậy cả hai kết quả đều xấp xỉ số nguyên tìm được ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 là cách trình bày chuẩn cho một bài chứng minh; Cách 2 giúp nhìn nhanh kết quả nếu đã quen định lí Viète; Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra, không thay được lời chứng minh chặt chẽ.

Định hướng. Nhân hai căn thức đầu trước để làm mất tầng căn ngoài cùng, rồi nhân tiếp với căn thứ ba.

Vậy $P=2$.

Định hướng. Vì $P\ge 0$ nên tính $P^2$ bằng cách gộp cả ba căn thức thành một tích duy nhất rồi rút căn bậc hai kết quả.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $P=2$.

Định hướng. Bấm máy tính từng tầng căn từ trong ra ngoài rồi nhân lại để đối chiếu.

Vậy $P\approx 2$, khớp với kết quả chính xác ở hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 xử lí từng cặp rõ ràng, ít nhầm lẫn hơn Cách 2 gộp cả ba căn cùng lúc; Cách 3 chỉ dùng để kiểm tra vì bài yêu cầu không dùng MTCT.

Định hướng. Rút gọn $\sqrt{20}$, $\sqrt{12}$ về dạng có thừa số $\sqrt{5}$, $\sqrt{3}$, nhóm các hạng tử ở tử để xuất hiện nhân tử chung $\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)$ giống mẫu rồi rút gọn trực tiếp.

Vậy $P=3\sqrt{2}+2$.

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)$ để khử dấu căn ở mẫu, sau đó rút gọn.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $P=3\sqrt{2}+2$.

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của $P$ trực tiếp từ biểu thức ban đầu rồi so sánh với $3\sqrt{2}+2$.

Vậy giá trị gần đúng khớp với kết quả rút gọn $P=3\sqrt{2}+2$.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn khi phát hiện được nhân tử chung; Cách 2 dùng được cho mọi biểu thức có mẫu chứa hiệu hai căn dù không nhóm được nhân tử chung ở tử.

Định hướng. So sánh $\sqrt{20}$ với $1$, từ đó suy ra so sánh $\sqrt{6}+\sqrt{20}$ với $\sqrt{6}+1$, rồi lấy căn bậc hai hai lần liên tiếp giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

Vậy $\sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{20}}>\sqrt{\sqrt{6}+1}$.

Định hướng. Kẹp $\sqrt{20}$ giữa hai số nguyên bằng cách so sánh $20$ với các số chính phương lân cận, từ đó khẳng định chắc chắn $\sqrt{20}>1$ mà không cần tính giá trị gần đúng.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{20}}>\sqrt{\sqrt{6}+1}$.

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của cả hai vế rồi so sánh trực tiếp hai số thập phân.

Vậy $2,631>1,857$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho lời giải chặt chẽ không cần số gần đúng; Cách 2 an toàn hơn khi không chắc dấu của hiệu vì chỉ dùng số nguyên để kẹp.

Định hướng. Nhân hai vế của điều kiện đã cho với $\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}$ để làm xuất hiện hiệu hai bình phương $a^2-b^2$, rút gọn nhân tử chung $(a-b)$ vì $a\ne b$, được một phương trình mới; cộng phương trình mới với điều kiện ban đầu để tách riêng $a$.

Vậy $a^2+b^2=1$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Vì $0<a,b<1$ (do $1-a^2,1-b^2\ge 0$ và $a,b$ dương) nên đặt $a=\sin \alpha$, $b=\sin \beta$ với $\alpha ,\beta \in \left(0^{\circ };90^{\circ }\right)$, khi đó $\sqrt{1-a^2}=\cos \alpha$, $\sqrt{1-b^2}=\cos \beta$; biến đổi điều kiện đã cho về phương trình lượng giác rồi giải.

Vậy $a^2+b^2=1$, kết quả trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 là kĩ thuật đại số chuẩn cho lớp 9, ngắn và không cần kiến thức lượng giác; Cách 2 minh hoạ mối liên hệ đẹp giữa bài toán này với hệ thức ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.