Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang36 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.15★★Trang 36— Rút gọn tổng các căn thức đồng dạng rồi tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa

Bài 3.15 (trang 36). Tính giá trị biểu thức

P = (20 + 245 - 380)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ và ngược lại $n^{2} a = n a$ (đưa thừa số ra ngoài dấu căn).
Các căn thức đồng dạng (cùng biểu thức dưới căn) cộng trừ được như đơn thức đồng dạng.
$(a)^{2} = a^{2}$ với mọi số thực $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số hạng trong ngoặc đều là căn bậc hai của bội của

5

(

20 = 4 \cdot 5

45 = 9 \cdot 5

80 = 16 \cdot 5

) — dấu hiệu để đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi cộng trừ các căn đồng dạng như cộng trừ đơn thức. Rút gọn triệt để bên trong ngoặc trước khi bình phương sẽ ngắn hơn hẳn so với khai triển hằng đẳng thức của ba số hạng ngay từ đầu. Bẫy của bài là quên nhân đúng hệ số khi đưa thừa số ra ngoài ở số hạng

- 380

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, rút gọn trong ngoặc rồi bình phương

Định hướng. Đưa từng căn thức về dạng bội của $5$ , cộng trừ các căn đồng dạng cho gọn trước, rồi mới bình phương.

20 = 4 \cdot 5 = 25

245 = 2 9 \cdot 5 = 2 \cdot 35 = 65

380 = 3 16 \cdot 5 = 3 \cdot 45 = 125

20 + 245 - 380 = 25 + 65 - 125 = - 45

P = (- 45)^{2} = 16 \cdot 5 = 80

Vậy $P = 80$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = 5

quy về đa thức bậc nhất

Định hướng. Cả ba số hạng đều là bội của $5$ nên đặt $t = 5$ , đưa biểu thức trong ngoặc về đa thức bậc nhất theo $t$ rồi bình phương.

Đặt

t = 5

(

t > 0

t^{2} = 5

)

20 = 2 t; 245 = 6 t; 380 = 12 t

2 t + 6 t - 12 t = - 4 t

P = (- 4 t)^{2} = 16 t^{2} = 16 \cdot 5 = 80

Vậy $P = 80$ .

3Cách 3. Khai triển hằng đẳng thức trực tiếp (kiểm tra chéo)

Định hướng. Khai triển bình phương của tổng ba số hạng theo hằng đẳng thức $(a + b + c)^{2}$ rồi thay giá trị từng tích, không rút gọn trước — dùng để kiểm tra lại kết quả.

Đặt

a = 20, b = 245, c = - 380

P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c

a^{2} = 20; b^{2} = 4 \cdot 45 = 180; c^{2} = 9 \cdot 80 = 720

2 ab = 220 \cdot 245 = 4900 = 4 \cdot 30 = 120

2 a c = 220 \cdot (- 380) = - 61600 = - 6 \cdot 40 = - 240

2 b c = 2 \cdot 245 \cdot (- 380) = - 123600 = - 12 \cdot 60 = - 720

P = 20 + 180 + 720 + 120 - 240 - 720 = 80

Vậy $P = 80$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách này dài hơn hẳn vì phải tính sáu tích, nên chỉ dùng để kiểm tra lại kết quả, không dùng làm cách trình bày chính khi đi thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi rút gọn tổng đồng dạng trước khi bình phương — chỉ 4 dòng, không phải tính sáu tích chéo như Cách 3 nên khó sai dấu hơn.

Đáp số.

P = 80

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên nhân hệ số khi đưa thừa số ra ngoài, ví dụ tính nhầm

245 = 25

(bỏ sót hệ số

3

đã có sẵn trong

45 = 35

), hoặc quên bình phương làm mất dấu âm nên dừng lại ở

P = - 45

mà không tính tiếp

(- 45)^{2}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi hệ số

- 380

thành

- k 80

với

k

bất kỳ, biểu thức trong ngoặc trở thành

(8 - 4 k) 5

và tính

P

ngay bằng phương pháp đặt ẩn phụ ở Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.16★★Trang 36— So sánh và sắp xếp các căn bậc hai có hệ số khác nhau

Bài 3.16 (trang 36). Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

92; 83; 56; 47

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ (đưa thừa số vào trong dấu căn).
Với $A, B \geq 0$ : $A < B \Leftrightarrow A < B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số đều dương và có dạng hệ số nhân với một căn bậc hai khác nhau — dấu hiệu để đưa hệ số vào trong dấu căn, quy tất cả về so sánh các số dưới một dấu căn duy nhất. Vì hàm căn bậc hai đồng biến trên số không âm nên so sánh số dưới căn tương đương so sánh cả biểu thức, không cần tính giá trị gần đúng. Bẫy của bài là so sánh nhầm các hệ số

9; 8; 5; 4

thay vì so sánh số dưới căn sau khi đã đưa vào trong.

1Cách 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh số dưới căn

Định hướng. Đưa mỗi số về dạng một căn bậc hai duy nhất bằng cách đưa hệ số vào trong dấu căn, rồi so sánh các số dưới căn.

92 = 81 \cdot 2 = 162

83 = 64 \cdot 3 = 192

56 = 25 \cdot 6 = 150

47 = 16 \cdot 7 = 112

112 < 150 < 162 < 192

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ .

2Cách 2. Ước lượng bằng chặn khoảng

Định hướng. Kẹp mỗi căn bậc hai giữa hai số thập phân đủ sát để suy ra khoảng chứa mỗi tích, rồi so sánh các khoảng đó.

1, 4 < 2 < 1, 5 \Rightarrow 12, 6 < 92 < 13, 5

1, 7 < 3 < 1, 8 \Rightarrow 13, 6 < 83 < 14, 4

2, 4 < 6 < 2, 5 \Rightarrow 12, 0 < 56 < 12, 5

2, 6 < 7 < 2, 7 \Rightarrow 10, 4 < 47 < 10, 8

Bốn khoảng này đôi một tách rời và xếp thứ tự

(10, 4; 10, 8)

(12, 0; 12, 5)

(12, 6; 13, 5)

(13, 6; 14, 4)

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ .

3Cách 3. Tính gần đúng bằng MTCT để kiểm tra

Định hướng. Tính gần đúng bốn giá trị bằng máy tính cầm tay để đối chiếu nhanh, chỉ dùng làm bước kiểm tra cuối cùng.

92 \approx 12, 73

83 \approx 13, 86

56 \approx 12, 25

47 \approx 10, 58

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách bấm máy chỉ để kiểm tra nhanh, không thay được cách lập luận chính xác tuyệt đối ở Cách 1 hay Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh số dưới căn — kết quả chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc làm tròn như Cách 3.

Đáp số.

47 < 56 < 92 < 83

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là so sánh trực tiếp các hệ số

9; 8; 5; 4

mà quên số dưới căn khác nhau, ví dụ vội kết luận

47

nhỏ nhất chỉ vì hệ số

4

nhỏ nhất mà không kiểm tra qua số dưới căn, dễ nhầm khi số dưới căn chênh lệch lớn.

🚀 Mở rộng. Cùng phương pháp đưa vào trong dấu căn, có thể so sánh và sắp xếp bất kỳ dãy số dạng

k n

với

k, n

nguyên dương mà không cần công cụ tính gần đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.17★★★Trang 36— Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn tổng các căn thức trước khi bình phương

Bài 3.17 (trang 36). Thực hiện phép tính

(\frac{1}{8 + 7} + 175 - 22)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Lượng liên hợp của $A + B$ là $A - B$ , tích của chúng bằng $A - B$ .
Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ .
Các căn thức đồng dạng cộng trừ như đơn thức đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.18★★★Trang 36— Rút gọn căn thức của một phân thức bằng cách nhận diện hằng đẳng thức bình phương

Bài 3.18 (trang 36). Thực hiện phép tính

\frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} - \frac{3 + 2 2}{17 + 12 2}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ áp dụng được cho biểu thức chứa căn.
Với mọi số thực $x$ : $x^{2} = ∣ x ∣$ .
Trục căn thức ở mẫu bằng lượng liên hợp: nhân với $a + b$ nếu mẫu có dạng $a - b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.19★★★★Trang 36— Chứng minh giá trị biểu thức chứa căn thức là một số nguyên bằng cách quy đồng và trục căn thức

Bài 3.19 (trang 36). Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

P = (\frac{5 + 1}{1 + 5 + 3} + \frac{5 - 1}{1 + 3 - 5}) (3 - \frac{4}{3} + 2) 0, 2

Kiến thức cần nhớ

Với $A, B \geq 0, A \neq = B$ : nhân liên hợp $A - B$ hoặc $A + B$ để khử căn ở mẫu.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ dùng được liên tiếp nhiều lần khi mẫu số vẫn còn chứa căn sau lần trục thứ nhất.
$0, 2 = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.20★★★Trang 36— Trục căn thức ở mẫu rồi tính giá trị đa thức bậc bốn tại giá trị vừa tìm được

Bài 3.20 (trang 36). a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

\frac{3 + 2}{2 2 - 1}

. b) Tính giá trị biểu thức

P = x (x^{4} - 6 x^{2} + 1)

tại

x = \frac{3 + 2}{2 2 - 1}

Kiến thức cần nhớ

Lượng liên hợp của $a - b$ (chứa căn) là $a + b$ , tích bằng $a^{2} - b^{2}$ .
Nếu $x - m = n$ thì $x$ thỏa mãn phương trình bậc hai $x^{2} - 2 m x + (m^{2} - n) = 0$ .
Có thể tính lũy thừa cao của $x$ bằng cách thế liên tiếp từ phương trình bậc hai mà $x$ thỏa mãn, không cần khai triển trực tiếp.