Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.15★★Trang 36— Rút gọn tổng các căn thức đồng dạng rồi tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa

Bài 3.15 (trang 36). Tính giá trị biểu thức

P = (20 + 245 - 380)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ và ngược lại $n^{2} a = n a$ (đưa thừa số ra ngoài dấu căn).
Các căn thức đồng dạng (cùng biểu thức dưới căn) cộng trừ được như đơn thức đồng dạng.
$(a)^{2} = a^{2}$ với mọi số thực $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba số hạng trong ngoặc đều là căn bậc hai của bội của

5

(

20 = 4 \cdot 5

45 = 9 \cdot 5

80 = 16 \cdot 5

) — dấu hiệu để đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi cộng trừ các căn đồng dạng như cộng trừ đơn thức. Rút gọn triệt để bên trong ngoặc trước khi bình phương sẽ ngắn hơn hẳn so với khai triển hằng đẳng thức của ba số hạng ngay từ đầu. Bẫy của bài là quên nhân đúng hệ số khi đưa thừa số ra ngoài ở số hạng

- 380

1Cách 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, rút gọn trong ngoặc rồi bình phương

Định hướng. Đưa từng căn thức về dạng bội của $5$ , cộng trừ các căn đồng dạng cho gọn trước, rồi mới bình phương.

20 = 4 \cdot 5 = 25

245 = 2 9 \cdot 5 = 2 \cdot 35 = 65

380 = 3 16 \cdot 5 = 3 \cdot 45 = 125

20 + 245 - 380 = 25 + 65 - 125 = - 45

P = (- 45)^{2} = 16 \cdot 5 = 80

Vậy $P = 80$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = 5

quy về đa thức bậc nhất

Định hướng. Cả ba số hạng đều là bội của $5$ nên đặt $t = 5$ , đưa biểu thức trong ngoặc về đa thức bậc nhất theo $t$ rồi bình phương.

Đặt

t = 5

(

t > 0

t^{2} = 5

)

20 = 2 t; 245 = 6 t; 380 = 12 t

2 t + 6 t - 12 t = - 4 t

P = (- 4 t)^{2} = 16 t^{2} = 16 \cdot 5 = 80

Vậy $P = 80$ .

3Cách 3. Khai triển hằng đẳng thức trực tiếp (kiểm tra chéo)

Định hướng. Khai triển bình phương của tổng ba số hạng theo hằng đẳng thức $(a + b + c)^{2}$ rồi thay giá trị từng tích, không rút gọn trước — dùng để kiểm tra lại kết quả.

Đặt

a = 20, b = 245, c = - 380

P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c

a^{2} = 20; b^{2} = 4 \cdot 45 = 180; c^{2} = 9 \cdot 80 = 720

2 ab = 220 \cdot 245 = 4900 = 4 \cdot 30 = 120

2 a c = 220 \cdot (- 380) = - 61600 = - 6 \cdot 40 = - 240

2 b c = 2 \cdot 245 \cdot (- 380) = - 123600 = - 12 \cdot 60 = - 720

P = 20 + 180 + 720 + 120 - 240 - 720 = 80

Vậy $P = 80$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách này dài hơn hẳn vì phải tính sáu tích, nên chỉ dùng để kiểm tra lại kết quả, không dùng làm cách trình bày chính khi đi thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: đưa thừa số ra ngoài dấu căn rồi rút gọn tổng đồng dạng trước khi bình phương — chỉ 4 dòng, không phải tính sáu tích chéo như Cách 3 nên khó sai dấu hơn.

Đáp số.

P = 80

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên nhân hệ số khi đưa thừa số ra ngoài, ví dụ tính nhầm

245 = 25

(bỏ sót hệ số

3

đã có sẵn trong

45 = 35

), hoặc quên bình phương làm mất dấu âm nên dừng lại ở

P = - 45

mà không tính tiếp

(- 45)^{2}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu đổi hệ số

- 380

thành

- k 80

với

k

bất kỳ, biểu thức trong ngoặc trở thành

(8 - 4 k) 5

và tính

P

ngay bằng phương pháp đặt ẩn phụ ở Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.16★★Trang 36— So sánh và sắp xếp các căn bậc hai có hệ số khác nhau

Bài 3.16 (trang 36). Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

92; 83; 56; 47

Kiến thức cần nhớ

Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ (đưa thừa số vào trong dấu căn).
Với $A, B \geq 0$ : $A < B \Leftrightarrow A < B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số đều dương và có dạng hệ số nhân với một căn bậc hai khác nhau — dấu hiệu để đưa hệ số vào trong dấu căn, quy tất cả về so sánh các số dưới một dấu căn duy nhất. Vì hàm căn bậc hai đồng biến trên số không âm nên so sánh số dưới căn tương đương so sánh cả biểu thức, không cần tính giá trị gần đúng. Bẫy của bài là so sánh nhầm các hệ số

9; 8; 5; 4

thay vì so sánh số dưới căn sau khi đã đưa vào trong.

1Cách 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh số dưới căn

Định hướng. Đưa mỗi số về dạng một căn bậc hai duy nhất bằng cách đưa hệ số vào trong dấu căn, rồi so sánh các số dưới căn.

92 = 81 \cdot 2 = 162

83 = 64 \cdot 3 = 192

56 = 25 \cdot 6 = 150

47 = 16 \cdot 7 = 112

112 < 150 < 162 < 192

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ .

2Cách 2. Ước lượng bằng chặn khoảng

Định hướng. Kẹp mỗi căn bậc hai giữa hai số thập phân đủ sát để suy ra khoảng chứa mỗi tích, rồi so sánh các khoảng đó.

1, 4 < 2 < 1, 5 \Rightarrow 12, 6 < 92 < 13, 5

1, 7 < 3 < 1, 8 \Rightarrow 13, 6 < 83 < 14, 4

2, 4 < 6 < 2, 5 \Rightarrow 12, 0 < 56 < 12, 5

2, 6 < 7 < 2, 7 \Rightarrow 10, 4 < 47 < 10, 8

Bốn khoảng này đôi một tách rời và xếp thứ tự

(10, 4; 10, 8)

(12, 0; 12, 5)

(12, 6; 13, 5)

(13, 6; 14, 4)

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ .

3Cách 3. Tính gần đúng bằng MTCT để kiểm tra

Định hướng. Tính gần đúng bốn giá trị bằng máy tính cầm tay để đối chiếu nhanh, chỉ dùng làm bước kiểm tra cuối cùng.

92 \approx 12, 73

83 \approx 13, 86

56 \approx 12, 25

47 \approx 10, 58

Vậy $47 < 56 < 92 < 83$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách bấm máy chỉ để kiểm tra nhanh, không thay được cách lập luận chính xác tuyệt đối ở Cách 1 hay Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa thừa số vào trong dấu căn rồi so sánh số dưới căn — kết quả chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc làm tròn như Cách 3.

Đáp số.

47 < 56 < 92 < 83

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là so sánh trực tiếp các hệ số

9; 8; 5; 4

mà quên số dưới căn khác nhau, ví dụ vội kết luận

47

nhỏ nhất chỉ vì hệ số

4

nhỏ nhất mà không kiểm tra qua số dưới căn, dễ nhầm khi số dưới căn chênh lệch lớn.

🚀 Mở rộng. Cùng phương pháp đưa vào trong dấu căn, có thể so sánh và sắp xếp bất kỳ dãy số dạng

k n

với

k, n

nguyên dương mà không cần công cụ tính gần đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.17★★★Trang 36— Trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn tổng các căn thức trước khi bình phương

Bài 3.17 (trang 36). Thực hiện phép tính

(\frac{1}{8 + 7} + 175 - 22)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Lượng liên hợp của $A + B$ là $A - B$ , tích của chúng bằng $A - B$ .
Với $a \geq 0, n > 0$ : $n a = n^{2} a$ .
Các căn thức đồng dạng cộng trừ như đơn thức đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu số

8 + 7

là tổng hai căn khác nhau — dấu hiệu để trục căn thức bằng lượng liên hợp

8 - 7

, vì

(8 + 7) (8 - 7) = 8 - 7 = 1

cho mẫu số hữu tỉ ngay lập tức. Sau khi trục căn, các số hạng đều đưa được về bội của

2

hoặc

7

nên cộng trừ gọn trước khi bình phương sẽ ngắn hơn khai triển trực tiếp. Bẫy của bài là quên

8 = 22

nên bỏ sót việc rút gọn với số hạng

- 22

ở cuối.

1Cách 1. Trục căn thức ở mẫu bằng lượng liên hợp

Định hướng. Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp $8 - 7$ , rồi rút gọn tổng các căn đồng dạng trước khi bình phương.

\frac{1}{8 + 7} = \frac{8 - 7}{( 8 + 7 ) ( 8 - 7 )} = \frac{8 - 7}{8 - 7} = 8 - 7 = 22 - 7

175 = 25 \cdot 7 = 57

(22 - 7) + 57 - 22 = 47

P = (47)^{2} = 16 \cdot 7 = 112

Vậy giá trị biểu thức bằng $112$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

a = 2, b = 7

Định hướng. Đặt $a = 2, b = 7$ (khi đó $8 = 2 a$ ), viết lại toàn biểu thức theo $a, b$ rồi trục căn và rút gọn.

Đặt

a = 2 (a^{2} = 2), b = 7 (b^{2} = 7)

8 + 7 = 2 a + b; 175 = 5 b

\frac{1}{2 a + b} = \frac{2 a - b}{4 a ^{2} - b ^{2}} = \frac{2 a - b}{8 - 7} = 2 a - b

(2 a - b) + 5 b - 2 a = 4 b

P = (4 b)^{2} = 16 b^{2} = 16 \cdot 7 = 112

Vậy giá trị biểu thức bằng $112$ .

3Cách 3. Khai triển hằng đẳng thức trực tiếp (kiểm tra chéo)

Định hướng. Bình phương trực tiếp tổng ba số hạng bằng hằng đẳng thức $(x + y - z)^{2}$ , chỉ trục căn thức khi cần tính riêng $x$ — dùng để kiểm tra chéo.

Đặt

x = \frac{1}{8 + 7} = 22 - 7, y = 175 = 57, z = 22

P = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y - 2 x z - 2 y z

x^{2} = (22 - 7)^{2} = 8 - 414 + 7 = 15 - 414

y^{2} = 175; z^{2} = 8

2 x y = 2 (22 - 7) \cdot 57 = 2014 - 70

2 x z = 2 (22 - 7) \cdot 22 = 16 - 414

2 y z = 2 \cdot 57 \cdot 22 = 2014

P = (15 - 414) + 175 + 8 + (2014 - 70) - (16 - 414) - 2014

P = (15 + 175 + 8 - 70 - 16) + (- 414 + 2014 + 414 - 2014) = 112

Vậy giá trị biểu thức bằng $112$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách này phải theo dõi nhiều số hạng chứa $14$ triệt tiêu nhau nên dễ sai dấu hơn hẳn, chỉ dùng để kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trục căn thức bằng lượng liên hợp

8 - 7

cho mẫu số hữu tỉ ngay, rồi cộng trừ căn đồng dạng — ngắn và không phải theo dõi các số hạng chứa

14

như Cách 3.

Đáp số. Giá trị biểu thức bằng

112

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên nhân cả tử với lượng liên hợp khi trục căn, chỉ đổi dấu ở mẫu mà giữ nguyên tử số bằng

1

; hoặc quên

8 = 22

nên không rút gọn được với số hạng

- 22

ở cuối.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật trục căn bằng liên hợp, có thể tính nhanh biểu thức tổng quát

(\frac{1}{n + 1 + n} + 25 n - 2 n + 1)^{2}

với

n

nguyên dương theo đúng các bước trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 3.18★★★Trang 36— Rút gọn căn thức của một phân thức bằng cách nhận diện hằng đẳng thức bình phương

Bài 3.18 (trang 36). Thực hiện phép tính

\frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} - \frac{3 + 2 2}{17 + 12 2}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ áp dụng được cho biểu thức chứa căn.
Với mọi số thực $x$ : $x^{2} = ∣ x ∣$ .
Trục căn thức ở mẫu bằng lượng liên hợp: nhân với $a + b$ nếu mẫu có dạng $a - b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các biểu thức

3 \mp 22

và

17 \mp 122

đều có dạng

a^{2} \mp 2 ab + b^{2}

— dấu hiệu để viết chúng thành bình phương của một nhị thức chứa

2

, cụ thể

3 - 22 = (2 - 1)^{2}

và

17 - 122 = (3 - 22)^{2}

. Nhận ra mẫu số chính là bình phương của tử số giúp rút gọn phân thức trong căn về một số hạng đơn giản trước khi khai căn, thay vì trục căn thức trực tiếp của cả một phân thức phức tạp. Bẫy của bài là quên xét dấu khi khai căn bình phương, vì

(2 - 1)^{2} = ∣ 2 - 1∣ = 2 - 1

2 > 1

1Cách 1. Nhận diện bình phương nhị thức, khai căn rồi trục căn ở mẫu

Định hướng. Viết $3 \mp 22$ và $17 \mp 122$ dưới dạng bình phương của nhị thức chứa $2$ , rút gọn phân thức trong căn rồi khai căn.

3 - 22 = 2 - 22 + 1 = (2 - 1)^{2}; 17 - 122 = (3 - 22)^{2} = (2 - 1)^{4}

\frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} = \frac{( 2 - 1 ) ^{2}}{( 2 - 1 ) ^{4}} = \frac{1}{( 2 - 1 ) ^{2}}

\frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} = \frac{1}{2 - 1} = \frac{2 + 1}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )} = 2 + 1

Tương tự:

3 + 22 = (2 + 1)^{2}; 17 + 122 = (2 + 1)^{4}

\frac{3 + 2 2}{17 + 12 2} = \frac{1}{2 + 1} = 2 - 1

(2 + 1) - (2 - 1) = 2

Vậy giá trị biểu thức bằng $2$ .

2Cách 2. Rút gọn phân thức trước, trục căn thức của số rồi mới khai căn

Định hướng. Nhận ra $17 \mp 122$ chính là bình phương của $3 \mp 22$ , rút gọn phân thức thành $\frac{1}{3 \mp 2 2}$ , trục căn thức ở mẫu của phân số đó trước, rồi mới khai căn.

\frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} = \frac{3 - 2 2}{( 3 - 2 2 ) ^{2}} = \frac{1}{3 - 2 2} = \frac{3 + 2 2}{( 3 - 2 2 ) ( 3 + 2 2 )} = \frac{3 + 2 2}{9 - 8} = 3 + 22

3 + 22 = (2 + 1)^{2} = 2 + 1

Tương tự:

\frac{3 + 2 2}{17 + 12 2} = \frac{1}{3 + 2 2} = 3 - 22

3 - 22 = (2 - 1)^{2} = 2 - 1

(2 + 1) - (2 - 1) = 2

Vậy giá trị biểu thức bằng $2$ .

3Cách 3. Đặt

A, B

và dùng tích

A B = 1

để tính nhanh

(A - B)^{2}

Định hướng. Đặt $A = \frac{3 - 2 2}{17 - 12 2}, B = \frac{3 + 2 2}{17 + 12 2}$ , tính $A^{2} + B^{2}$ và tích $A B$ rồi suy ra $(A - B)^{2}$ mà không cần rút gọn $A, B$ riêng lẻ.

A B = \frac{( 3 - 2 2 ) ( 3 + 2 2 )}{( 17 - 12 2 ) ( 17 + 12 2 )} = \frac{9 - 8}{289 - 288} = \frac{1}{1} = 1

A^{2} = \frac{3 - 2 2}{17 - 12 2} = 3 + 22

(đã rút gọn ở Cách 2)

B^{2} = \frac{3 + 2 2}{17 + 12 2} = 3 - 22

A^{2} + B^{2} = 6

(A - B)^{2} = A^{2} + B^{2} - 2 A B = 6 - 2 = 4

A > B \Rightarrow A - B = 4 = 2

Vậy giá trị biểu thức bằng $2$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Nhận ra tích $A B = 1$ nhờ hằng đẳng thức $(3 - 22) (3 + 22) = 1$ và $(17 - 122) (17 + 122) = 1$ giúp tính $(A - B)^{2}$ mà không cần rút gọn từng số hạng — nhanh nhất khi đã thành thạo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 hoặc Cách 2 để chắc chắn từng bước, dễ kiểm lại dấu; Cách 3 dùng

A B = 1

nhanh hơn nhưng cần quen thuộc với kĩ thuật

(A - B)^{2} = A^{2} + B^{2} - 2 A B

nên chỉ nên dùng khi đã luyện thành thạo.

Đáp số. Giá trị biểu thức bằng

2

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là khai căn

(2 - 1)^{2}

1 - 2

thay vì

2 - 1

, do quên so sánh

2

với

1

trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối; hoặc không nhận ra

17 \mp 122

chính là bình phương của

3 \mp 22

nên trục căn thức của cả phân thức phức tạp một cách dài dòng, dễ sai dấu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật nhận diện hằng đẳng thức, có thể rút gọn nhanh các biểu thức dạng

\frac{a - 2 a - 1}{( a - 2 a - 1 ) ^{2}}

bằng cách viết tử số thành

(a - 1 - 1)^{2}

rồi làm tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 3.19★★★★Trang 36— Chứng minh giá trị biểu thức chứa căn thức là một số nguyên bằng cách quy đồng và trục căn thức

Bài 3.19 (trang 36). Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

P = (\frac{5 + 1}{1 + 5 + 3} + \frac{5 - 1}{1 + 3 - 5}) (3 - \frac{4}{3} + 2) 0, 2

Kiến thức cần nhớ

Với $A, B \geq 0, A \neq = B$ : nhân liên hợp $A - B$ hoặc $A + B$ để khử căn ở mẫu.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ dùng được liên tiếp nhiều lần khi mẫu số vẫn còn chứa căn sau lần trục thứ nhất.
$0, 2 = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân thức trong ngoặc thứ nhất có mẫu số là

1 + 3 \pm 5

(chỉ khác dấu của

5

) — dấu hiệu để nhóm mẫu số thành

(1 + 3) \pm 5

rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để quy đồng. Vì đề yêu cầu chứng minh giá trị nguyên chứ không tính gần đúng, phải giữ nguyên dạng căn thức và rút gọn bằng đại số tới cùng thay vì ước lượng bằng MTCT. Bẫy của bài là dừng lại sau bước quy đồng lần đầu vì mẫu số

23 - 1

vẫn còn chứa căn, phải trục căn thêm một lần nữa mới hết căn ở mẫu.

1Cách 1. Quy đồng gộp hai phân thức thành một rồi mới trục căn

Định hướng. Quy đồng hai phân thức về một mẫu chung $(1 + 3 + 5) (1 + 3 - 5)$ , trục căn thức ở mẫu (còn chứa căn thì trục tiếp lần hai), rồi nhân với hai thừa số còn lại.

(1 + 3 + 5) (1 + 3 - 5) = (1 + 3)^{2} - 5 = 4 + 23 - 5 = 23 - 1

(5 + 1) (1 + 3 - 5) + (5 - 1) (1 + 3 + 5) = 215

\frac{5 + 1}{1 + 5 + 3} + \frac{5 - 1}{1 + 3 - 5} = \frac{2 15}{2 3 - 1} = \frac{2 15 ( 2 3 + 1 )}{( 2 3 - 1 ) ( 2 3 + 1 )} = \frac{12 5 + 2 15}{11} = \frac{2 5 ( 6 + 3 )}{11}

3 - \frac{4}{3} + 2 = \frac{3 - 4}{3} + 2 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6 - 3}{3}

P = \frac{2 5 ( 6 + 3 )}{11} \cdot \frac{6 - 3}{3} \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 5 ( 36 - 3 )}{33} \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 5 \cdot 33}{33} \cdot \frac{5}{5} = 25 \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2

Vậy $P = 2$ , là một số nguyên.

2Cách 2. Trục căn thức riêng từng phân thức rồi mới cộng

Định hướng. Trục căn thức ở mẫu của TỪNG phân thức riêng biệt bằng hai lần nhân liên hợp, rồi mới cộng hai kết quả — ngược thứ tự với Cách 1.

\frac{5 + 1}{( 1 + 3 ) + 5} = \frac{( 5 + 1 ) [ ( 1 + 3 ) - 5 ]}{( 1 + 3 ) ^{2} - 5} = \frac{( 5 + 1 ) ( 1 + 3 - 5 )}{2 3 - 1} = \frac{( 15 + 3 - 4 ) ( 2 3 + 1 )}{11} = \frac{6 5 + 15 + 2 - 7 3}{11}

\frac{5 - 1}{( 1 + 3 ) - 5} = \frac{( 5 - 1 ) [ ( 1 + 3 ) + 5 ]}{( 1 + 3 ) ^{2} - 5} = \frac{( 5 - 1 ) ( 1 + 3 + 5 )}{2 3 - 1} = \frac{( 15 + 4 - 3 ) ( 2 3 + 1 )}{11} = \frac{6 5 + 15 + 7 3 - 2}{11}

Cộng hai kết quả:

\frac{6 5 + 15 + 2 - 7 3}{11} + \frac{6 5 + 15 + 7 3 - 2}{11} = \frac{12 5 + 2 15}{11} = \frac{2 5 ( 6 + 3 )}{11}

3 - \frac{4}{3} + 2 = \frac{6 - 3}{3}; 0, 2 = \frac{5}{5}

P = \frac{2 5 ( 6 + 3 )}{11} \cdot \frac{6 - 3}{3} \cdot \frac{5}{5} = \frac{2 5 \cdot 33}{33} \cdot \frac{5}{5} = 2

Vậy $P = 2$ , là một số nguyên, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Trục căn riêng từng phân thức cho các số hạng trung gian dài hơn hẳn Cách 1, nên Cách 1 (quy đồng rồi mới trục căn) gọn hơn khi trình bày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng hai phân thức thành một trước rồi mới trục căn — chỉ trục căn đúng một mẫu chung, ít phép nhân hơn hẳn so với trục căn riêng từng phân thức ở Cách 2.

Đáp số.

P = 2

, là một số nguyên.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là trục căn thức xong một lần rồi dừng lại dù mẫu số

23 - 1

vẫn còn chứa căn, dẫn tới kết luận sai là biểu thức không phải số nguyên; hoặc quên đổi

0, 2

thành

\frac{5}{5}

mà để nguyên dạng thập phân trong căn khi nhân.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật trục căn hai tầng bằng hiệu hai bình phương liên tiếp, có thể chứng minh giá trị nguyên tương tự cho các biểu thức dạng

\frac{n + 1}{1 + n + m} + \frac{n - 1}{1 + m - n}

với

m, n

được chọn sao cho

(1 + m)^{2} - n

là một biểu thức đẹp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.20★★★Trang 36— Trục căn thức ở mẫu rồi tính giá trị đa thức bậc bốn tại giá trị vừa tìm được

Bài 3.20 (trang 36). a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

\frac{3 + 2}{2 2 - 1}

. b) Tính giá trị biểu thức

P = x (x^{4} - 6 x^{2} + 1)

tại

x = \frac{3 + 2}{2 2 - 1}

Kiến thức cần nhớ

Lượng liên hợp của $a - b$ (chứa căn) là $a + b$ , tích bằng $a^{2} - b^{2}$ .
Nếu $x - m = n$ thì $x$ thỏa mãn phương trình bậc hai $x^{2} - 2 m x + (m^{2} - n) = 0$ .
Có thể tính lũy thừa cao của $x$ bằng cách thế liên tiếp từ phương trình bậc hai mà $x$ thỏa mãn, không cần khai triển trực tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có mẫu số

22 - 1

dạng hiệu, nhân với lượng liên hợp

22 + 1

để được

(22)^{2} - 1^{2} = 7

là số hữu tỉ. Câu b) yêu cầu thế giá trị

x

vừa trục căn vào một đa thức bậc bốn — dấu hiệu để tìm phương trình bậc hai mà

x

thỏa mãn (vì

x - 1 = 2

) rồi dùng phép thế lặp thay vì khai triển trực tiếp lũy thừa bậc bốn. Bẫy của bài là khai triển

x^{4}

trực tiếp từ dạng

a + b 2

rất dễ nhầm dấu, trong khi dùng phương trình bậc hai của

x

cho kết quả nhanh và chắc chắn hơn.

1Cách 1. Trục căn liên hợp rồi thế trực tiếp tính

x^{2}, x^{4}

Định hướng. Trục căn thức ở mẫu bằng lượng liên hợp $22 + 1$ , rồi thế $x$ vừa tìm được, tính trực tiếp $x^{2}$ , $x^{4}$ để thay vào $P$ .

x = \frac{3 + 2}{2 2 - 1} = \frac{( 3 + 2 ) ( 2 2 + 1 )}{( 2 2 - 1 ) ( 2 2 + 1 )} = \frac{6 2 + 3 + 4 + 2}{8 - 1} = \frac{7 2 + 7}{7} = 2 + 1

x^{2} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

x^{4} = (3 + 22)^{2} = 9 + 122 + 8 = 17 + 122

x^{4} - 6 x^{2} + 1 = (17 + 122) - 6 (3 + 22) + 1 = 17 + 122 - 18 - 122 + 1 = 0

P = x \cdot 0 = 0

Vậy a) $\frac{3 + 2}{2 2 - 1} = 2 + 1$ ; b) $P = 0$ .

2Cách 2. Dùng phương trình bậc hai mà

x

thỏa mãn

Định hướng. Sau khi trục căn được $x = 2 + 1$ , nhận xét $x - 1 = 2$ nên $x$ thỏa mãn phương trình $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , tức $x^{2} = 2 x + 1$ ; dùng phép thế này hai lần để tính $x^{4} - 6 x^{2} + 1$ mà không cần khai triển số cụ thể.

x = \frac{3 + 2}{2 2 - 1} = 2 + 1

(trục căn như Cách 1)
b)

x - 1 = 2 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 2 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 2 x + 1

x^{4} = (x^{2})^{2} = (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1 = 4 (2 x + 1) + 4 x + 1 = 12 x + 5

x^{4} - 6 x^{2} + 1 = (12 x + 5) - 6 (2 x + 1) + 1 = 12 x + 5 - 12 x - 6 + 1 = 0

P = x \cdot 0 = 0

Vậy a) $x = 2 + 1$ ; b) $P = 0$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách này không cần tính giá trị cụ thể của $x^{2}, x^{4}$ mà vẫn ra $P = 0$ , vì $x^{4} - 6 x^{2} + 1$ triệt tiêu hoàn toàn theo phương trình bậc hai của $x$ — nhanh và khó sai dấu hơn Cách 1.

3Cách 3. Tính gần đúng bằng MTCT để kiểm tra

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của $x$ bằng máy tính cầm tay rồi thay vào $P$ để kiểm tra nhanh, chỉ dùng làm bước kiểm tra cuối khi đi thi.

x = 2 + 1 \approx 2, 414

x^{2} \approx 5, 828; x^{4} \approx 33, 971

x^{4} - 6 x^{2} + 1 \approx 33, 971 - 34, 971 + 1 \approx 0

P \approx 2, 414 \times 0 = 0

Vậy $P = 0$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Kết quả gần đúng bằng $0$ chỉ mang tính kiểm tra do sai số làm tròn, không thay được chứng minh đại số ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra

x

thỏa mãn

x^{2} - 2 x - 1 = 0

rồi thế lặp hai lần — không phải khai triển

(3 + 22)^{2}

nên nhanh và khó sai dấu hơn Cách 1.

Đáp số. a)

\frac{3 + 2}{2 2 - 1} = 2 + 1

. b)

P = 0

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu a) là nhân liên hợp nhưng quên đổi dấu, nhân với chính mẫu số

22 - 1

thay vì

22 + 1

, khiến mẫu vẫn còn chứa căn; ở câu b) hay khai triển sai

(3 + 22)^{2}

do quên nhân đôi tích chéo, dẫn tới

x^{4}

sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách tìm phương trình bậc hai mà

x

thỏa mãn, có thể tính nhanh

x^{5}, x^{6}, \dots

hay bất kỳ đa thức bậc cao nào của

x = 2 + 1

bằng phép thế lặp từ

x^{2} = 2 x + 1

mà không cần khai triển trực tiếp.

Mở bài này trong app ↗