Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương I

SBT (Sách bài tập) Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 17— Nhận diện hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa

Hệ phương trình nào sau đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

{2 x + y = 3 x - z = - 1

{2 x + y = 3 0 x + 0 y = 1

{2 x + y = 3 0 x - y = - 1

{2 x + y = 3 x + y^{2} = 1

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $a x + b y = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$ .
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm đúng hai phương trình như vậy, cùng chứa hai ẩn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn hệ trông gần giống nhau, chỉ khác đúng phương trình thứ hai — dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa chứ không phải bài tính toán. Nên rà từng điều kiện của định nghĩa (đúng hai ẩn, bậc của mỗi ẩn là 1, hệ số không đồng thời bằng 0) cho phương trình thứ hai của mỗi phương án. Bẫy nằm ở phương án B: nhìn qua tưởng đủ hai ẩn

x, y

nhưng hệ số của cả hai đều bằng

0

nên phương trình đó vô nghĩa với mọi

x, y

, không còn là phương trình bậc nhất.

1Cách 1. Loại trừ theo từng dấu hiệu của định nghĩa

Nhắc lại: phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $a x + b y = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$ . Xét lần lượt bốn phương án để loại các hệ vi phạm định nghĩa.

A có phương trình thứ hai chứa thêm ẩn

z

nên hệ có

3

ẩn, không phải hệ hai ẩn

B có phương trình thứ hai

0 x + 0 y = 1

, hệ số của cả

x

và

y

đều bằng

0

nên không là phương trình bậc nhất

D có phương trình thứ hai chứa

y^{2}

nên bậc của

y

là

2

, không phải bậc nhất

C có cả hai phương trình đều đúng dạng

a x + b y = c

với hệ số

a, b

không đồng thời bằng

0

Vậy hệ ở phương án C là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

2Cách 2. Nhận diện trực tiếp phương án đúng rồi kiểm tra lại

Nhìn nhanh cả bốn phương án, chỉ C có cả hai phương trình đúng dạng chuẩn ngay từ đầu (đúng hai ẩn $x, y$ , số mũ đều bằng $1$ ); kiểm tra riêng hệ số của phương trình thứ hai để chắc chắn không rơi vào trường hợp cả hai hệ số cùng bằng $0$ .

phương trình thứ hai của C là

0 x - y = - 1

, hệ số của

y

là

- 1

khác

0

Vậy C thoả mãn đầy đủ định nghĩa, đúng là hệ cần chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay C có dạng chuẩn rồi chỉ kiểm tra một chi tiết nhỏ, nhanh hơn hẳn việc loại trừ lần lượt cả bốn phương án.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cho rằng B là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì đếm thấy có đủ hai chữ

x, y

, quên kiểm tra hệ số: phương trình

0 x + 0 y = 1

có vế trái luôn bằng

0

với mọi

x, y

trong khi vế phải là

1

, vô lí, nên đây không phải phương trình bậc nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

a x + b y = c

là phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số

a, b

khác

0

; nếu đổi phương trình thứ hai của B thành

0 x + 5 y = 1

thì hệ đó lại trở thành hợp lệ.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 17— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

Nghiệm của hệ phương trình

{4 x + 3 y = - 1 2 x - y = 7

là A.

(- 1; 1)

(3; - 1)

(\frac{1}{2}; - 1)

(2; - 3)

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp cộng đại số: nhân hai vế một phương trình với số thích hợp để hệ số của một ẩn ở hai phương trình đối nhau, rồi cộng từng vế để khử ẩn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bốn cặp số cụ thể làm đáp án — dấu hiệu cho phép vừa giải hệ theo cách thông thường vừa có thể thử ngược từng cặp số vào cả hai phương trình để chọn nhanh. Nên ưu tiên khử ẩn

y

vì hệ số của

y

ở hai phương trình (

3

và

- 1

) dễ đưa về đối nhau chỉ bằng một phép nhân. Bẫy hay gặp là nhân phương trình thứ hai với

3

nhưng quên đổi dấu hạng tử

- y

thành

- 3 y

, dẫn đến cộng sai và ra nhầm sang một trong các đáp án gây nhiễu.

1Cách 1. Cộng đại số khử ẩn

y

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3$ để hệ số của $y$ đối nhau với phương trình thứ nhất, rồi cộng từng vế để khử $y$ .

{4 x + 3 y = - 1 6 x - 3 y = 21

cộng từng vế:

10 x = 20

x = 2

thay vào

2 x - y = 7

4 - y = 7

y = 4 - 7 = - 3

Vậy hệ có nghiệm $(2; - 3)$ .

2Cách 2. Phương pháp thế

Rút $y$ từ phương trình thứ hai rồi thế vào phương trình thứ nhất.

từ

2 x - y = 7

suy ra

y = 2 x - 7

thế vào

4 x + 3 y = - 1

4 x + 3 (2 x - 7) = - 1

4 x + 6 x - 21 = - 1

10 x = 20

x = 2

y = 2 \cdot 2 - 7 = - 3

Vậy phương pháp thế cũng cho nghiệm $(2; - 3)$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp từng đáp án (đặc thù trắc nghiệm)

Vì đề đã cho sẵn bốn cặp số, chỉ cần thay lần lượt vào cả hai phương trình, cặp nào làm đúng cả hai mới là nghiệm.

(2; - 3)

4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) = 8 - 9 = - 1

đúng;

2 \cdot 2 - (- 3) = 4 + 3 = 7

đúng

(3; - 1)

4 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 9 \neq = - 1

, loại ngay không cần thử tiếp

Vậy chỉ D thoả cả hai phương trình, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tránh hẳn việc giải hệ nếu phép thử vào hai phương trình đơn giản hơn phép khử ẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khử

y

chỉ bằng một phép nhân vì hệ số của

y

đã gần đối nhau sẵn, nhanh và ít khả năng sai dấu hơn Cách 2.

Đáp số.

(2; - 3)

, đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Nhân phương trình

2 x - y = 7

với

3

nhưng quên đổi dấu hạng tử

- y

, viết nhầm thành

6 x + 3 y = 21

(thay vì

6 x - 3 y = 21

) rồi cộng với

4 x + 3 y = - 1

10 x + 6 y = 20

, một phương trình còn hai ẩn nên không giải tiếp được; phải nhân đúng thành

6 x - 3 y = 21

để

3 y

và

- 3 y

triệt tiêu nhau khi cộng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hệ

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

luôn khử được một ẩn bằng cộng đại số miễn nhân hai phương trình với hai số thích hợp để hệ số của ẩn đó đối nhau; đổi hệ số

3

thành một số khác sẽ cho một hệ số nhân khác nhưng cách làm không đổi.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 18— Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng bằng cách thay toạ độ vào phương trình

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm

M (1; 2)

N (2; 3)

P (- 1; - 1)

Q (5; 8)

. Đường thẳng

3 x - 2 y = - 1

đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho? A. M và N B. M và P C. P và Q D. N và P

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đường thẳng $a x + b y = c$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} = c$ .
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng thì mọi cặp hai điểm trong ba điểm đó cũng đều nằm trên chính đường thẳng ấy.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận dạng: điểm thuộc đường thẳng khi toạ độ của nó thoả mãn đúng phương trình đường thẳng, nên chỉ cần thay lần lượt cả bốn điểm vào vế trái rồi so với vế phải

- 1

. Nên thử đủ cả bốn điểm chứ không dừng lại sớm, vì đề chỉ hỏi "hai điểm nào" trong khi thực tế có thể nhiều hơn hai điểm cùng thoả mãn. Bẫy ở đây nằm ngay trong dữ kiện của đề: khi thử đủ, có tới ba điểm

M, P, Q

cùng thuộc đường thẳng, nên phải đọc kĩ để nhận ra bốn phương án chỉ nêu từng cặp trong số đó chứ không có phương án nào liệt kê đủ cả ba.

1Cách 1. Thay toạ độ trực tiếp từng điểm vào phương trình

Thay lần lượt toạ độ bốn điểm vào vế trái $3 x - 2 y$ rồi so với vế phải $- 1$ .

M (1; 2)

3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1

, thoả mãn

N (2; 3)

3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0 \neq = - 1

, không thoả mãn

P (- 1; - 1)

3 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 1) = - 3 + 2 = - 1

, thoả mãn

Q (5; 8)

3 \cdot 5 - 2 \cdot 8 = 15 - 16 = - 1

, thoả mãn

Vậy ba điểm $M, P, Q$ cùng thuộc đường thẳng $3 x - 2 y = - 1$ , chỉ riêng $N$ không thuộc.

2Cách 2. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm rồi đối chiếu

Viết phương trình đường thẳng đi qua $M (1; 2)$ và $P (- 1; - 1)$ theo dạng $y = a x + b$ rồi so với đường đã cho.

hệ số góc:

a = \frac{2 - ( - 1 )}{1 - ( - 1 )} = \frac{3}{2}

thay

M (1; 2)

2 = \frac{3}{2} \cdot 1 + b

nên

b = \frac{1}{2}

đường qua

M, P

là

y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}

, tức

2 y = 3 x + 1

hay

3 x - 2 y = - 1

, đúng đường đã cho

thay

Q (5; 8)

vào

y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}

\frac{3}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} = 8

, khớp tung độ của

Q

Vậy đường thẳng qua $M, P$ chính là $3 x - 2 y = - 1$ và đi luôn qua $Q$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Xét ba điểm thẳng hàng bằng vectơ chỉ phương

Ba điểm $M, P, Q$ cùng thuộc một đường thẳng khi hai vectơ $M P$ và $M Q$ cùng phương (toạ độ tỉ lệ với nhau).

M P = (- 1 - 1; - 1 - 2) = (- 2; - 3)

M Q = (5 - 1; 8 - 2) = (4; 6)

tỉ lệ toạ độ:

\frac{4}{- 2} = \frac{6}{- 3} = - 2

, hai vectơ cùng phương

Vậy $M, P, Q$ thẳng hàng, tức cùng thuộc một đường thẳng, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Đề bài có một điểm chưa chặt chẽ: có tới ba điểm $M, P, Q$ cùng thuộc đường thẳng $3 x - 2 y = - 1$ nên cả hai phương án B (M và P) lẫn C (P và Q) đều là mệnh đề đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thử toạ độ trực tiếp là nhanh và chắc chắn nhất, không phụ thuộc việc phải viết lại phương trình đường thẳng.

Đáp số.

M, P, Q

đều thuộc đường thẳng

3 x - 2 y = - 1

(chỉ

N

không thuộc); do đó cả phương án B (M và P) và C (P và Q) đều đúng.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ thử điểm đầu tiên trong mỗi phương án rồi vội chọn ngay khi thấy đúng, ví dụ ở phương án A thấy

M

thoả liền chọn A mà không thử tiếp

N

; thực ra

N (2; 3)

cho

3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0 \neq = - 1

nên A sai, phải thử đủ cả hai điểm của từng phương án.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, để kiểm tra

n

điểm có thẳng hàng hay không, chỉ cần viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đầu rồi thay toạ độ các điểm còn lại vào; cách này mở rộng được cho bài toán chứng minh thẳng hàng ở hình học.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★★Trang 18— Lập hệ phương trình từ điều kiện đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Giá trị của

a

và

b

để đường thẳng

y = a x + b

đi qua hai điểm

(1; - 1)

và

(- 1; 5)

là A.

a = 1, b = - 2

a = - 5, b = 1

a = - 3, b = 2

a = - 1, b = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai điểm mà đường thẳng

y = a x + b

phải đi qua — dấu hiệu quen thuộc để lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a, b

. Thay lần lượt toạ độ hai điểm vào

y = a x + b

sẽ được ngay hai phương trình. Bẫy hay gặp là thay nhầm vai trò

x, y

của điểm (đổi hoành độ thành tung độ) khi lập phương trình, nhất là với điểm có toạ độ âm như

(- 1; 5)

1Cách 1. Lập hệ hai ẩn

a, b

rồi cộng đại số

Thay toạ độ hai điểm vào $y = a x + b$ để lập hệ hai phương trình, rồi cộng từng vế để khử $a$ .

qua

(1; - 1)

a + b = - 1

qua

(- 1; 5)

- a + b = 5

cộng từng vế:

2 b = 4

b = 2

thay vào

a + b = - 1

a = - 1 - 2 = - 3

Vậy $a = - 3$ , $b = 2$ .

2Cách 2. Phương pháp thế

Rút $b$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

từ

a + b = - 1

suy ra

b = - 1 - a

thế vào

- a + b = 5

- a + (- 1 - a) = 5

- 2 a - 1 = 5

a = - 3

b = - 1 - (- 3) = 2

Vậy phương pháp thế cũng cho $a = - 3$ , $b = 2$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức hệ số góc, không cần lập hệ

Tính thẳng hệ số góc $a$ từ hai điểm đã cho rồi thay ngược vào một phương trình để tìm $b$ .

a = \frac{5 - ( - 1 )}{- 1 - 1} = \frac{6}{- 2} = - 3

thay

a = - 3

và điểm

(1; - 1)

vào

y = a x + b

- 1 = - 3 \cdot 1 + b

b = - 1 + 3 = 2

Vậy tính trực tiếp hệ số góc cũng cho $a = - 3$ , $b = 2$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 nhanh hơn hẳn khi đã thuộc công thức hệ số góc, tránh phải trình bày cả một hệ phương trình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ hai dòng tính hệ số góc rồi suy ra

b

, không cần lập và giải hệ đầy đủ như hai cách kia.

Đáp số.

a = - 3

b = 2

, đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Có bạn thay nhầm vai trò toạ độ, viết phương trình cho điểm

(- 1; 5)

thành

a + (- 1) b = 5

(đổi chỗ hoành độ và tung độ), giải ra cặp

a, b

sai hẳn; phải luôn viết đúng thứ tự

y_{0} = a x_{0} + b

, tức tung độ ở một vế, hoành độ nhân với

a

ở vế kia.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đường thẳng qua hai điểm phân biệt

(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})

với

x_{1} \neq = x_{2}

luôn xác định duy nhất bởi

a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

và

b = y_{1} - a x_{1}

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 18— Xét số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn qua tỉ số hệ số

Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất? A.

{x - 2 y = 3 2 x - 4 y = 5

{x - 2 y = 3 - 2 x + 4 y = - 6

{x - 2 y = 3 2 x + 4 y = 5

{x - 2 y = 3 - x + 2 y = - 2

Kiến thức cần nhớ

Hệ ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ ; vô nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ; vô số nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ .
Hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều giữ nguyên phương trình thứ nhất và chỉ đổi phương trình thứ hai — dấu hiệu rõ ràng của dạng bài xét vị trí tương đối hai đường thẳng qua tỉ số các hệ số, không cần giải trọn từng hệ. Nên so sánh tỉ số

\frac{a _{1}}{a _{2}}

với

\frac{b _{1}}{b _{2}}

trước, hệ nào có hai tỉ số này khác nhau mới cho nghiệm duy nhất. Bẫy là phương án B có tỉ số hệ số bằng nhau y hệt phương án A ở hai ẩn nhưng khác ở hằng số, dễ nhầm giữa hai trường hợp vô nghiệm và vô số nghiệm nếu không thử luôn tỉ số của hằng số.

1Cách 1. So sánh tỉ số hệ số

\frac{a _{1}}{a _{2}}

và

\frac{b _{1}}{b _{2}}

Với mỗi phương án, so sánh tỉ số hệ số của $x$ và của $y$ giữa hai phương trình; hai tỉ số khác nhau thì hệ có nghiệm duy nhất.

\frac{1}{2} = \frac{- 2}{- 4}

, hai tỉ số bằng nhau nên không có nghiệm duy nhất

\frac{1}{- 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}

, hai tỉ số bằng nhau nên không có nghiệm duy nhất

\frac{1}{2}

và

\frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}

, hai tỉ số khác nhau

\frac{1}{- 1} = - 1

và

\frac{- 2}{2} = - 1

, hai tỉ số bằng nhau nên không có nghiệm duy nhất

Vậy chỉ hệ C có nghiệm duy nhất.

2Cách 2. Giải trực tiếp từng hệ để xác nhận

Giải cả bốn hệ bằng cộng đại số để kiểm chứng lại kết luận ở Cách 1.

A: nhân phương trình đầu với

2

được

2 x - 4 y = 6

, so với

2 x - 4 y = 5

vô lí — hệ A vô nghiệm

B: nhân phương trình đầu với

- 2

được

- 2 x + 4 y = - 6

, trùng hệt phương trình thứ hai — hệ B vô số nghiệm

C: từ

x - 2 y = 3

suy ra

x = 3 + 2 y

; thế vào

2 x + 4 y = 5

2 (3 + 2 y) + 4 y = 5

, tức

8 y = - 1

y = - \frac{1}{8}

x = \frac{11}{4}

— hệ C có đúng một nghiệm

(\frac{11}{4}; - \frac{1}{8})

D: cộng hai phương trình được

0 x + 0 y = 1

, vô lí — hệ D vô nghiệm

Vậy chỉ hệ C có nghiệm duy nhất $(\frac{11}{4}; - \frac{1}{8})$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Xét hệ số góc của hai đường thẳng (góc nhìn hình học)

Viết mỗi phương trình về dạng $y = k x + m$ ; hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm khi và chỉ khi hai hệ số góc $k$ khác nhau.

phương trình chung

x - 2 y = 3

có hệ số góc

k = \frac{1}{2}

2 x - 4 y = 5

có

k = \frac{1}{2}

, trùng hệ số góc — song song hoặc trùng nhau, không cắt tại một điểm

- 2 x + 4 y = - 6

có

k = \frac{1}{2}

, trùng hệ số góc và trùng luôn đường thẳng — vô số điểm chung

2 x + 4 y = 5

có

k = - \frac{1}{2}

, khác hệ số góc

\frac{1}{2}

— hai đường cắt nhau tại đúng một điểm

- x + 2 y = - 2

có

k = \frac{1}{2}

, trùng hệ số góc nhưng khác tung độ gốc — hai đường song song, không điểm chung

Vậy chỉ C có hai đường thẳng cắt nhau, tức hệ có nghiệm duy nhất, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Nhìn theo hệ số góc giải thích trực quan vì sao A, B, D đều không có nghiệm duy nhất mà không cần giải hết cả bốn hệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so sánh tỉ số hệ số cho kết quả ngay mà không cần giải trọn hệ, nhanh nhất khi phải xét nhiều phương án cùng lúc.

Đáp số. Đáp án C, nghiệm duy nhất

(\frac{11}{4}; - \frac{1}{8})

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy hệ số của B đổi dấu so với A rồi vội cho rằng B cũng vô nghiệm giống A; thực ra ở B khi nhân phương trình đầu với

- 2

lại trùng khít phương trình thứ hai (kể cả hằng số), nên B vô số nghiệm chứ không vô nghiệm — phải so thêm tỉ số của hằng số

c_{1}, c_{2}

chứ không chỉ dừng ở hệ số

a, b

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, chỉ cần so sánh bộ ba tỉ số

\frac{a _{1}}{a _{2}}, \frac{b _{1}}{b _{2}}, \frac{c _{1}}{c _{2}}

là xác định được đầy đủ ba khả năng vô nghiệm, vô số nghiệm hay nghiệm duy nhất mà không cần giải cụ thể.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu 6★★Trang 18— Đọc tập nghiệm của hệ phương trình từ giao điểm hai đường thẳng trên hình vẽ

Hình bên dưới minh hoạ tập nghiệm của hệ phương trình nào sau đây (biết hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có toạ độ

(2; 1)

)? A.

{x - y = 1 x - y = 3

{x - y = 1 x + y = 3

{x + y = 1 x - y = 3

{x + y = 1 x + y = 3

Kiến thức cần nhớ

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó.
Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì song song hoặc trùng nhau, không cắt nhau tại một điểm duy nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn toạ độ giao điểm đọc từ hình — dấu hiệu để giải ngược: hệ nào có nghiệm đúng bằng

(2; 1)

chính là hệ được minh hoạ. Nên loại nhanh hai phương án có hai phương trình cùng hệ số góc (đường thẳng song song, không cắt nhau tại một điểm) trước khi giải chi tiết các phương án còn lại. Bẫy là hai phương án B và C dùng cùng bốn hệ số nhưng đổi vế nên dễ giải nhầm nghiệm của phương án này sang phương án kia nếu không viết rõ từng phương trình.

1Cách 1. Giải từng hệ rồi đối chiếu với điểm trên hình

Giải lần lượt các hệ bằng cộng đại số, hệ nào cho nghiệm $(2; 1)$ đúng bằng giao điểm trên hình là hệ cần tìm.

A: trừ hai phương trình được

0 x + 0 y = - 2

, vô lí — hệ A vô nghiệm, loại

D: trừ hai phương trình được

0 x + 0 y = - 2

, vô lí — hệ D vô nghiệm, loại

B: cộng hai phương trình

x - y = 1

và

x + y = 3

được

2 x = 4

, suy ra

x = 2

, thay vào được

y = 1

C: cộng hai phương trình

x + y = 1

và

x - y = 3

được

2 x = 4

, suy ra

x = 2

, thay vào được

y = - 1

Vậy hệ B cho nghiệm $(2; 1)$ đúng bằng giao điểm trên hình.

2Cách 2. Loại theo hệ số góc rồi mới giải hệ còn nghi vấn

Nhận xét ngay A và D có hai phương trình cùng vế trái (chỉ khác hằng số), tức hai đường thẳng song song nên không thể cắt nhau tại một điểm như hình vẽ; chỉ cần phân biệt tiếp B và C.

x - y = 1

và

x - y = 3

có cùng hệ số góc

1

, hai đường song song — loại ngay không cần tính

x + y = 1

và

x + y = 3

có cùng hệ số góc

- 1

, hai đường song song — loại ngay không cần tính

còn lại B và C: thay

x = 2, y = 1

vào B được

2 - 1 = 1

đúng và

2 + 1 = 3

đúng

thay

x = 2, y = 1

vào C: phương trình đầu

2 + 1 = 1

sai

Vậy chỉ B thoả cả hai phương trình tại điểm $(2; 1)$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay trực tiếp toạ độ điểm vào cả bốn phương án

Thay thẳng $x = 2, y = 1$ vào từng phương trình của cả bốn phương án, phương án nào cả hai phương trình đều đúng là đáp án.

x - y = 1 \to 2 - 1 = 1

đúng;

x + y = 3 \to 2 + 1 = 3

đúng

các phương án còn lại đều có ít nhất một phương trình cho kết quả sai khi thay

(2; 1)

(đã kiểm ở Cách 1, Cách 2)

Vậy B là phương án duy nhất đúng cả hai phương trình tại $(2; 1)$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Khi đề đã cho sẵn toạ độ giao điểm, phép thử trực tiếp luôn là đường tắt nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần một phép thay số cho mỗi phương án, nhanh hơn hẳn việc giải trọn cả bốn hệ.

Đáp số. Đáp án B, hệ

{x - y = 1 x + y = 3

có nghiệm

(2; 1)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhầm lẫn giữa B và C vì hai hệ dùng đúng bốn con số

1, 1, 1, 3

chỉ khác cách ghép vế, dẫn tới giải hệ C rồi gán nhầm kết quả cho B; phải viết rõ từng phương trình của đúng phương án trước khi cộng trừ, không suy luận từ trí nhớ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hai đường thẳng

a_{1} x + b_{1} y = c_{1}

và

a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

song song (không trùng nhau) khi

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

; nhận ra dấu hiệu này giúp loại nhanh các phương án vô nghiệm trước khi giải chi tiết.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Câu 7★★★Trang 18— Tìm tham số trong hệ phương trình khi biết trước nghiệm

Hệ phương trình

{3 x - a y = b a x + b y = 3

có nghiệm là

(2; - 3)

khi A.

a = 3, b = 3

a = 3, b = - 3

a = - 3, b = 3

a = - 3, b = - 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ thì thay $x_{0}, y_{0}$ vào mỗi phương trình của hệ đều được đẳng thức đúng, từ đó lập hệ phương trình mới theo các tham số cần tìm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn nghiệm

(2; - 3)

của hệ chứa hai tham số

a, b

— dấu hiệu để thay ngược toạ độ vào từng phương trình, biến bài toán tham số thành một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a, b

quen thuộc. Nên gộp các hạng tử chứa

a, b

về đúng dạng chuẩn trước khi giải để tránh nhầm dấu. Bẫy nằm ở việc thay

y = - 3

khiến các hạng tử chứa

a

đổi dấu hai lần liên tiếp (nhân với số âm rồi lại là hệ số của phương trình), rất dễ chép sai dấu khi biến đổi.

1Cách 1. Thay nghiệm để lập hệ hai ẩn

a, b

rồi cộng đại số

Thay $x = 2, y = - 3$ vào cả hai phương trình của hệ để được một hệ mới với hai ẩn $a, b$ , rồi giải bằng cộng đại số.

phương trình 1:

3 \cdot 2 - a \cdot (- 3) = b

, tức

6 + 3 a = b

, hay

- 3 a + b = 6

phương trình 2:

a \cdot 2 + b \cdot (- 3) = 3

, tức

2 a - 3 b = 3

hệ mới:

{- 3 a + b = 6 2 a - 3 b = 3

nhân phương trình đầu với

3

- 9 a + 3 b = 18

cộng với

2 a - 3 b = 3

- 7 a = 21

a = - 3

thay vào

- 3 a + b = 6

9 + b = 6

, suy ra

b = - 3

Vậy $a = - 3$ , $b = - 3$ .

2Cách 2. Phương pháp thế

Từ phương trình $- 3 a + b = 6$ rút $b$ theo $a$ rồi thế vào phương trình còn lại.

b = 6 + 3 a

thế vào

2 a - 3 b = 3

2 a - 3 (6 + 3 a) = 3

2 a - 18 - 9 a = 3

- 7 a = 21

a = - 3

b = 6 + 3 \cdot (- 3) = - 3

Vậy phương pháp thế cũng cho $a = - 3$ , $b = - 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp từng đáp án vào hệ gốc

Thay lần lượt bốn cặp $(a; b)$ ở bốn phương án vào hệ gốc cùng với $(x; y) = (2; - 3)$ , cặp nào làm đúng cả hai phương trình là đáp án.

a = - 3, b = - 3

: phương trình 1:

3 \cdot 2 - (- 3) (- 3) = 6 - 9 = - 3

, đúng bằng

b = - 3

phương trình 2:

(- 3) \cdot 2 + (- 3) (- 3) = - 6 + 9 = 3

, đúng bằng vế phải

a = 3, b = 3

: phương trình 1:

3 \cdot 2 - 3 \cdot (- 3) = 6 + 9 = 15 \neq = 3

, loại ngay

Vậy chỉ D thoả cả hai phương trình, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 phù hợp khi làm trắc nghiệm và các phép thay số không quá phức tạp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập hệ chuẩn rồi cộng đại số, an toàn và trình bày được đầy đủ nếu đề yêu cầu giải thích; Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh lại đáp án.

Đáp số.

a = - 3

b = - 3

, đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Khi thay

y = - 3

vào hạng tử

- a y

, nhiều bạn quên hai lần đổi dấu liên tiếp (dấu trừ trước

a

và dấu âm của

y = - 3

) nên viết nhầm

- a \cdot (- 3)

thành

- 3 a

thay vì đúng là

+ 3 a

, dẫn tới cả hệ mới bị sai dấu; phải viết tách rõ từng bước:

- a \cdot (- 3) = 3 a

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi bài cho trước nghiệm của hệ chứa tham số đều quy được về việc thay nghiệm vào từng phương trình để tạo ra một hệ phương trình bậc nhất mới theo đúng các tham số cần tìm.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu 8★★★Trang 18— Tìm tham số để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm

Hệ phương trình

{x + m y = 1 - m x - y = - 1

có vô số nghiệm trong trường hợp nào sau đây? A.

m = 1

m = - 1

m = 2

m = - 2

Kiến thức cần nhớ

Hệ ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ có vô số nghiệm khi và chỉ khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ (hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng).

🧠 Phân tích tư duy

Hệ có cấu trúc đặc biệt: đổi dấu và hoán vị hệ số của phương trình thứ nhất gần như cho ra phương trình thứ hai — dấu hiệu gợi ý nên thử cộng trực tiếp hai phương trình để xem điều kiện triệt tiêu là gì. Nên tận dụng ngay tính đối xứng đó thay vì áp dụng máy móc công thức tỉ số ba hệ số. Bẫy là dễ vội kết luận

m = - 1

(đối của hệ số

m

) mà không thử lại bằng cách thay số vào hệ gốc để kiểm chứng hai phương trình có thực sự trùng nhau hay không.

1Cách 1. Cộng trực tiếp hai phương trình rồi ép hệ số bằng 0

Cộng từng vế hai phương trình đã cho; hệ có vô số nghiệm khi phương trình tổng trở thành $0 x + 0 y = 0$ đúng với mọi $x, y$ .

cộng:

(x + m y) + (- m x - y) = 1 + (- 1)

(1 - m) x + (m - 1) y = 0

để đúng với mọi

x, y

cần

1 - m = 0

và

m - 1 = 0

cả hai điều kiện đều cho

m = 1

Vậy $m = 1$ thì hệ có vô số nghiệm.

2Cách 2. Dùng điều kiện tỉ số ba hệ số

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

Viết đúng $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ của phương trình thứ nhất và $a_{2}, b_{2}, c_{2}$ của phương trình thứ hai rồi lập tỉ số.

phương trình 1:

a_{1} = 1, b_{1} = m, c_{1} = 1

; phương trình 2:

a_{2} = - m, b_{2} = - 1, c_{2} = - 1

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{1}{- m}

;

\frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{1}{- 1} = - 1

từ

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{1}{- m} = - 1

, suy ra

m = 1

kiểm lại

\frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{- 1} = - 1

, đúng bằng hai tỉ số kia khi

m = 1

Vậy ba tỉ số bằng nhau khi $m = 1$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp từng giá trị

m

ở bốn phương án

Thay lần lượt $m$ của mỗi phương án vào hệ gốc, kiểm tra hai phương trình có trở thành cùng một đường thẳng hay không.

m = 1

: hệ thành

{x + y = 1 - x - y = - 1

, hai phương trình này là một, nhân phương trình đầu với

- 1

ra đúng phương trình sau

m = - 1

: hệ thành

{x - y = 1 x - y = - 1

, hai vế trái giống nhau nhưng hằng số khác nhau nên vô nghiệm, không phải vô số nghiệm

Vậy chỉ $m = 1$ cho hệ vô số nghiệm, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Phép thử trực tiếp còn giúp phát hiện luôn $m = - 1$ là "bẫy gây nhiễu": tưởng đối xứng nhưng lại cho hệ vô nghiệm chứ không vô số nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng trực tiếp hai phương trình tận dụng đúng cấu trúc đối xứng của đề, ra kết quả chỉ sau vài dòng biến đổi.

Đáp số.

m = 1

, đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy hệ số của

x, y

ở hai phương trình đối nhau (một bên là

1, m

còn bên kia là

- m, - 1

) rồi vội đoán

m = - 1

cho "cân xứng"; thử lại với

m = - 1

: hệ trở thành

{x - y = 1 x - y = - 1

, hai vế trái trùng nhau nhưng vế phải khác nhau (

1 \neq = - 1

) nên hệ này vô nghiệm chứ không phải vô số nghiệm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hệ có dạng đối xứng

{x + m y = k - m x - y = - k

, hệ luôn vô số nghiệm khi

m = 1

(khi đó phương trình sau là phương trình đầu nhân với

- 1

) với mọi hằng số

k

, không riêng gì

k = 1

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.25★★Trang 19— Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ hai nghiệm cho trước của một phương trình

Hai nghiệm của phương trình

a x + b y = 1

là

(3; - 1)

và

(- 4; - 2)

. Tìm

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của phương trình $a x + b y = 1$ thì thay vào ta được đẳng thức đúng $a x_{0} + b y_{0} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai nghiệm cụ thể của cùng một phương trình chứa hai tham số

a, b

— dấu hiệu để thay lần lượt từng nghiệm vào phương trình, tạo ra một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a, b

. Nên thay cả hai nghiệm cùng lúc rồi mới giải hệ, tránh vừa thay vừa giải luôn một phương trình dễ nhầm biến. Bẫy nằm ở toạ độ âm

(- 4; - 2)

, dễ chép sai dấu khi nhân với

a, b

1Cách 1. Lập hệ hai ẩn

a, b

rồi cộng đại số

Thay hai nghiệm vào $a x + b y = 1$ để lập hệ, rồi khử bớt một ẩn bằng cộng đại số.

(3; - 1)

3 a - b = 1

(- 4; - 2)

- 4 a - 2 b = 1

nhân phương trình đầu với

2

6 a - 2 b = 2

trừ cho phương trình sau:

6 a - 2 b - (- 4 a - 2 b) = 2 - 1

10 a = 1

a = \frac{1}{10}

thay vào

3 a - b = 1

\frac{3}{10} - b = 1

, suy ra

b = - \frac{7}{10}

Vậy $a = \frac{1}{10}$ , $b = - \frac{7}{10}$ .

2Cách 2. Phương pháp thế

Rút $b$ từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai.

từ

3 a - b = 1

suy ra

b = 3 a - 1

thế vào

- 4 a - 2 b = 1

- 4 a - 2 (3 a - 1) = 1

- 4 a - 6 a + 2 = 1

- 10 a = - 1

a = \frac{1}{10}

b = 3 \cdot \frac{1}{10} - 1 = - \frac{7}{10}

Vậy phương pháp thế cũng cho $a = \frac{1}{10}$ , $b = - \frac{7}{10}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định thức (quy tắc Cramer)

Với hệ ${3 a - b = 1 - 4 a - 2 b = 1$ , tính các định thức $D, D_{a}, D_{b}$ rồi suy ra nghiệm trực tiếp.

D = 3 \cdot (- 2) - (- 4) \cdot (- 1) = - 6 - 4 = - 10

D_{a} = 1 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 1) = - 2 + 1 = - 1

D_{b} = 3 \cdot 1 - (- 4) \cdot 1 = 3 + 4 = 7

a = \frac{D _{a}}{D} = \frac{- 1}{- 10} = \frac{1}{10}

;

b = \frac{D _{b}}{D} = \frac{7}{- 10} = - \frac{7}{10}

Vậy quy tắc định thức cũng cho $a = \frac{1}{10}$ , $b = - \frac{7}{10}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách định thức áp dụng được cho mọi hệ hai ẩn dạng chuẩn mà không cần khử ẩn thủ công.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hệ số của

b

đã sẵn là

- 1

và

- 2

, chỉ cần một phép nhân là khử được ngay, ít bước hơn Cách 3.

Đáp số.

a = \frac{1}{10}

b = - \frac{7}{10}

Sai lầm thường gặp. Khi thay điểm

(- 4; - 2)

, nhiều bạn quên dấu âm của tung độ, viết nhầm

- 4 a - 2 b = 1

thành

- 4 a + 2 b = 1

(đổi dấu hạng tử chứa

b

); thử lại với

a = \frac{1}{10}

- 4 \cdot \frac{1}{10} - 2 \cdot (- \frac{7}{10}) = - \frac{4}{10} + \frac{14}{10} = 1

đúng, chứng tỏ phải giữ nguyên dấu trừ trước

2 b

🚀 Mở rộng. Tổng quát, một phương trình bậc nhất hai ẩn

a x + b y = 1

hoàn toàn xác định được

a, b

khi biết đúng hai nghiệm phân biệt không cùng nằm trên một đường thẳng qua gốc toạ độ.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.26★★Trang 19— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số thập phân hoặc phân số

Giải các hệ phương trình sau: a)

{0, 4 x + 0, 3 y = 1, 1 - 0, 5 x + 0, 2 y = 1, 5

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 1 - 4 x + 6 y = 3

⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x - 0, 3 y = 0, 6 - \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = - 1

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai vế một phương trình với số thích hợp để đưa hệ số về số nguyên trước khi cộng đại số hoặc thế.
Hệ vô nghiệm khi biến đổi dẫn tới $0 x + 0 y = k$ với $k \neq = 0$ ; hệ vô số nghiệm khi dẫn tới $0 x + 0 y = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba hệ đều có hệ số thập phân hoặc phân số — dấu hiệu nên nhân quy đồng để đưa về hệ số nguyên trước khi khử ẩn, tránh cộng trừ trực tiếp số thập phân dễ sai. Nên thử nhanh tỉ số hệ số của từng hệ trước khi giải chi tiết, vì câu b) và c) chứa những cặp hệ số tỉ lệ đặc biệt (có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm) chứ không phải lúc nào cũng ra nghiệm duy nhất như câu a). Bẫy là ở câu b), hệ số của phương trình thứ hai đúng bằng

- 12

lần hệ số phương trình thứ nhất ở cả

x

và

y

nhưng hằng số lại không theo đúng tỉ lệ đó, dễ nhầm sang vô số nghiệm nếu không thử luôn cả hằng số.

1Cách 1. Nhân quy đồng rồi cộng đại số cho cả ba câu

Nhân hai vế mỗi phương trình với số thích hợp để đưa hệ số về số nguyên, rồi cộng hoặc trừ để khử một ẩn.

a) nhân phương trình 1 với

5

và phương trình 2 với

4

{2 x + 1, 5 y = 5, 5 - 2 x + 0, 8 y = 6

cộng từng vế:

2, 3 y = 11, 5

, suy ra

y = 5

thay vào phương trình 1:

2 x + 7, 5 = 5, 5

, suy ra

x = - 1

b) nhân phương trình 1 với

12

4 x - 6 y = 12

; cộng với

- 4 x + 6 y = 3

được

0 x + 0 y = 15

, vô lí — hệ vô nghiệm

c) nhân phương trình 1 với

10

và phương trình 2 với

6

{2 x - 3 y = 6 - 2 x + 3 y = - 6

cộng từng vế:

0 x + 0 y = 0

, đúng với mọi

x, y

— hệ vô số nghiệm, biểu diễn theo

x

y = \frac{2 x - 6}{3}

Vậy a) có nghiệm $(- 1; 5)$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm dạng $(x; \frac{2 x - 6}{3})$ với $x$ tuỳ ý.

2Cách 2. Phương pháp thế cho cả ba câu

Rút một ẩn từ phương trình đơn giản hơn của mỗi hệ rồi thế vào phương trình còn lại.

a) từ

- 0, 5 x + 0, 2 y = 1, 5

suy ra

x = 0, 4 y - 3

; thế vào

0, 4 x + 0, 3 y = 1, 1

0, 4 (0, 4 y - 3) + 0, 3 y = 1, 1

0, 16 y - 1, 2 + 0, 3 y = 1, 1

, tức

0, 46 y = 2, 3

, suy ra

y = 5

, rồi

x = 0, 4 \cdot 5 - 3 = - 1

b) từ

\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 1

suy ra

x = 3 + \frac{3}{2} y

; thế vào

- 4 x + 6 y = 3

- 4 (3 + \frac{3}{2} y) + 6 y = 3

- 12 - 6 y + 6 y = 3

, tức

- 12 = 3

, vô lí — hệ vô nghiệm, khớp Cách 1

c) từ

0, 2 x - 0, 3 y = 0, 6

suy ra

x = 1, 5 y + 3

; thế vào

- \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = - 1

- \frac{1}{3} (1, 5 y + 3) + \frac{1}{2} y = - 1

- 0, 5 y - 1 + 0, 5 y = - 1

, tức

- 1 = - 1

, đúng với mọi

y

— hệ vô số nghiệm, khớp Cách 1

Vậy phương pháp thế cho lại đúng ba kết luận như Cách 1.

3Cách 3. Nhận diện nhanh bằng tỉ số ba hệ số trước khi giải chi tiết

So sánh tỉ số $\frac{a _{1}}{a _{2}}, \frac{b _{1}}{b _{2}}, \frac{c _{1}}{c _{2}}$ của mỗi hệ để biết trước dạng nghiệm, rồi mới tính cụ thể nếu là nghiệm duy nhất.

\frac{0 , 4}{- 0 , 5} = - 0, 8

và

\frac{0 , 3}{0 , 2} = 1, 5

, hai tỉ số khác nhau nên hệ có nghiệm duy nhất — giải như Cách 1 được

(- 1; 5)

\frac{1/3}{- 4} = - \frac{1}{12}

và

\frac{- 1/2}{6} = - \frac{1}{12}

, hai tỉ số bằng nhau; xét thêm

\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \neq = - \frac{1}{12}

nên hệ vô nghiệm

\frac{0 , 2}{- 1/3} = - 0, 6

và

\frac{- 0 , 3}{1/2} = - 0, 6

, hai tỉ số bằng nhau; xét thêm

\frac{0 , 6}{- 1} = - 0, 6

cũng bằng hai tỉ số kia nên hệ vô số nghiệm

Vậy tỉ số hệ số cho ngay dạng nghiệm của cả ba câu, khớp hai cách trên mà không cần biến đổi dài dòng để phát hiện vô nghiệm hay vô số nghiệm.

Nhận xét. Việc thử tỉ số trước giúp tránh mất công giải trọn một hệ vô nghiệm như câu b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 để nhận diện trước hệ nào vô nghiệm hoặc vô số nghiệm (tránh mất công giải như câu b), rồi dùng Cách 1 để giải cụ thể hệ có nghiệm duy nhất như câu a).

Đáp số. a)

(x; y) = (- 1; 5)

; b) hệ vô nghiệm; c) hệ vô số nghiệm, nghiệm dạng

(x; \frac{2 x - 6}{3})

với

x \in R

tuỳ ý.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), thấy hệ số của

x

và

y

ở phương trình 2 đều gấp

- 12

lần phương trình 1 (

\frac{1}{3} \cdot (- 12) = - 4

- \frac{1}{2} \cdot (- 12) = 6

), nhiều bạn vội kết luận hệ vô số nghiệm mà quên kiểm tra hằng số:

1 \cdot (- 12) = - 12 \neq = 3

, nên hai phương trình không cùng biểu diễn một đường thẳng, hệ thực ra vô nghiệm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi hệ số hai phương trình có dạng thập phân hoặc phân số, luôn nên nhân quy đồng đưa cả hệ về hệ số nguyên trước, sau đó áp dụng đúng ba trường hợp nghiệm duy nhất - vô nghiệm - vô số nghiệm như hệ hệ số nguyên thông thường.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.27★★★Trang 19— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số với các giá trị cụ thể

Cho hệ phương trình

{m x + 9 y = m + 3 x + m y = 2

. Giải hệ phương trình đã cho trong mỗi trường hợp sau: a)

m = 1

; b)

m = - 3

; c)

m = 3

Kiến thức cần nhớ

Khi thay một giá trị cụ thể của tham số vào hệ chứa tham số, hệ trở thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bình thường, giải như các bài đã biết.
Định thức $D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ của hệ quyết định hệ có nghiệm duy nhất ( $D \neq = 0$ ) hay cần xét thêm vô nghiệm/vô số nghiệm ( $D = 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu giải cùng một hệ chứa tham số

m

tại ba giá trị khác nhau — dấu hiệu nên thay số trước rồi giải từng hệ cụ thể, hoặc giải theo

m

tổng quát rồi thay số sau cùng để tiết kiệm công sức. Nên để ý hệ số của hệ đối xứng khá đặc biệt (

m, 9

và

1, m

) nên định thức

D = m^{2} - 9

triệt tiêu đúng tại hai giá trị

m = \pm 3

có trong đề — đây chính là lí do câu b), c) nhạy cảm hơn câu a). Bẫy là dễ áp dụng công thức nghiệm tổng quát tại

m = 3

mà quên đây là trường hợp

D = 0

, công thức chia cho

D

không còn dùng được.

1Cách 1. Thay số trước rồi cộng đại số cho từng trường hợp

Thay lần lượt $m = 1, - 3, 3$ vào hệ rồi giải bằng cộng đại số.

m = 1

{x + 9 y = 4 x + y = 2

; trừ từng vế:

8 y = 2

, suy ra

y = \frac{1}{4}

, rồi

x = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

m = - 3

{- 3 x + 9 y = 0 x - 3 y = 2

; nhân phương trình 2 với

3

3 x - 9 y = 6

; cộng với phương trình 1:

0 x + 0 y = 6

, vô lí — hệ vô nghiệm

m = 3

{3 x + 9 y = 6 x + 3 y = 2

; nhân phương trình 2 với

3

3 x + 9 y = 6

, trùng hệt phương trình 1 — hệ vô số nghiệm, biểu diễn

y = \frac{2 - x}{3}

Vậy a) nghiệm $(\frac{7}{4}; \frac{1}{4})$ ; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm dạng $(x; \frac{2 - x}{3})$ .

2Cách 2. Phương pháp thế cho từng trường hợp

Rút $x$ từ phương trình thứ hai rồi thế vào phương trình thứ nhất cho mỗi giá trị $m$ .

m = 1

: từ

x + y = 2

suy ra

x = 2 - y

; thế vào

x + 9 y = 4

2 - y + 9 y = 4

, tức

8 y = 2

y = \frac{1}{4}

x = \frac{7}{4}

m = - 3

: từ

x - 3 y = 2

suy ra

x = 2 + 3 y

; thế vào

- 3 x + 9 y = 0

- 3 (2 + 3 y) + 9 y = 0

, tức

- 6 - 9 y + 9 y = 0

, tức

- 6 = 0

, vô lí — vô nghiệm, khớp Cách 1

m = 3

: từ

x + 3 y = 2

suy ra

x = 2 - 3 y

; thế vào

3 x + 9 y = 6

3 (2 - 3 y) + 9 y = 6

, tức

6 - 9 y + 9 y = 6

, tức

6 = 6

, đúng với mọi

y

— vô số nghiệm, khớp Cách 1

Vậy phương pháp thế cho lại đúng ba kết luận như Cách 1.

3Cách 3. Giải tổng quát theo

m

bằng định thức rồi thay số

Tính nghiệm tổng quát theo $m$ bằng định thức, chỉ ra ngay hai giá trị đặc biệt làm $D = 0$ rồi mới thay từng $m$ .

định thức hệ:

D = m \cdot m - 9 \cdot 1 = m^{2} - 9

khi

D \neq = 0

(tức

m \neq = \pm 3

x = \frac{( m + 3 ) m - 9 \cdot 2}{m ^{2} - 9} = \frac{m ^{2} + 3 m - 18}{( m - 3 ) ( m + 3 )} = \frac{( m + 6 ) ( m - 3 )}{( m - 3 ) ( m + 3 )} = \frac{m + 6}{m + 3}

tương tự

y = \frac{m - 3}{m ^{2} - 9} = \frac{1}{m + 3}

m = 1

x = \frac{7}{4}

y = \frac{1}{4}

, khớp Cách 1

m = - 3

làm

D = 0

và tử số

x

khác

0

(vì

m + 6 = 3 \neq = 0

) — hệ vô nghiệm

m = 3

làm

D = 0

nhưng biểu thức

x, y

đều rút gọn được nhân tử

(m - 3)

— hệ suy biến thành vô số nghiệm

Vậy công thức tổng quát giải thích cùng lúc cả ba trường hợp, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Nhìn theo $D = m^{2} - 9$ thấy ngay $m = \pm 3$ là hai giá trị đặc biệt cần xét riêng trước khi dùng công thức chia cho $D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số ngay rồi cộng đại số là nhanh và chắc chắn nhất cho từng trường hợp cụ thể; Cách 3 dùng khi cần giải thích tổng quát vì sao đề chọn đúng

m = \pm 3

Đáp số. a)

(\frac{7}{4}; \frac{1}{4})

; b) vô nghiệm; c) vô số nghiệm, nghiệm dạng

(x; \frac{2 - x}{3})

với

x \in R

tuỳ ý.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn dùng máy tính cầm tay giải hệ tại

m = 3

rồi hoang mang vì máy báo lỗi hoặc vô số nghiệm mà không hiểu do đâu; nguyên nhân là tại

m = 3

định thức

D = m^{2} - 9 = 0

nên hai phương trình đã trở thành cùng một đường thẳng (

x + 3 y = 2

nhân

3

đúng bằng

3 x + 9 y = 6

), không thể áp dụng công thức nghiệm chia cho

D

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với hệ chứa tham số dạng

{m x + n y = p (m) x + m y = q

, luôn nên tính định thức

D

theo

m

trước để khoanh vùng chính xác những giá trị

m

cần xét riêng (làm

D = 0

) trước khi giải các trường hợp còn lại theo công thức chung.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.28★★★Trang 19— Tìm tham số để ba đường thẳng đồng quy

Tìm

a

để ba đường thẳng sau đồng quy:

d_{1} : x - y = 1

;

d_{2} : x + y = 3

;

d_{3} : 2 x + a y = 1

Kiến thức cần nhớ

Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi chúng cùng đi qua một điểm; điểm đó trước hết phải là giao điểm của hai trong ba đường.
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ hai phương trình biểu diễn hai đường đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba đường thẳng, trong đó hai đường

d_{1}, d_{2}

không chứa tham số — dấu hiệu để tìm giao điểm cố định của

d_{1}, d_{2}

trước, sau đó bắt buộc

d_{3}

phải đi qua đúng điểm đó mới suy ra

a

. Nên tìm giao điểm bằng phương pháp quen thuộc (cộng đại số hoặc thế) trước khi chạm đến tham số

a

, tránh xử lí ba ẩn cùng lúc. Bẫy là quên rằng điều kiện đồng quy cần "ba đường thẳng cùng qua một điểm", nếu chỉ thay tham số từ hai phương trình bất kỳ có chứa

a

mà không dùng đúng giao điểm cố định của hai đường không tham số thì kết quả có thể sai.

1Cách 1. Tìm giao điểm

d_{1} \cap d_{2}

bằng cộng đại số rồi thế vào

d_{3}

Giải hệ của $d_{1}, d_{2}$ để tìm giao điểm cố định, sau đó bắt điểm ấy thoả mãn phương trình $d_{3}$ để tìm $a$ .

{x - y = 1 x + y = 3

, cộng từng vế:

2 x = 4

x = 2

thay vào

x + y = 3

y = 3 - 2 = 1

giao điểm của

d_{1}, d_{2}

là

(2; 1)

; để

d_{3}

đi qua điểm này:

2 \cdot 2 + a \cdot 1 = 1

4 + a = 1

a = - 3

Vậy $a = - 3$ thì ba đường thẳng đồng quy tại điểm $(2; 1)$ .

2Cách 2. Tìm giao điểm

d_{1} \cap d_{2}

bằng phương pháp thế

Rút $y$ từ $d_{1}$ rồi thế vào $d_{2}$ để tìm giao điểm, sau đó thế vào $d_{3}$ như Cách 1.

từ

d_{1}

y = x - 1

thế vào

d_{2}

x + (x - 1) = 3

2 x = 4

x = 2

, suy ra

y = 2 - 1 = 1

thay

(2; 1)

vào

d_{3}

2 \cdot 2 + a \cdot 1 = 1

, suy ra

a = - 3

Vậy phương pháp thế cũng cho $a = - 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Điều kiện định thức ba đường thẳng đồng quy

Viết lại ba đường dưới dạng $A_{i} x + B_{i} y + C_{i} = 0$ ; ba đường đồng quy (không cùng song song) khi định thức ma trận hệ số $3 \times 3$ bằng $0$ .

d_{1} : x - y - 1 = 0

;

d_{2} : x + y - 3 = 0

;

d_{3} : 2 x + a y - 1 = 0

định thức

112 - 1 1 a - 1 - 3 - 1 = 1 \cdot (- 1 - (- 3 a)) - (- 1) \cdot (- 1 - (- 6)) + (- 1) \cdot (a - 2)

= (- 1 + 3 a) + (- 1 + 6) - (a - 2) = 2 a + 6

cho định thức bằng

0

2 a + 6 = 0

a = - 3

Vậy điều kiện định thức cũng cho $a = - 3$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách định thức không cần tìm trước giao điểm cụ thể, thích hợp khi cả ba đường đều chứa tham số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai đường

d_{1}, d_{2}

không chứa tham số nên tìm giao điểm trước rồi thế vào

d_{3}

là ngắn gọn và trực quan nhất.

Đáp số.

a = - 3

; ba đường thẳng đồng quy tại điểm

(2; 1)

Sai lầm thường gặp. Có bạn thử tìm giao điểm của

d_{1}

và

d_{3}

trước (cả hai đều chứa ẩn cần tìm liên quan đến bài), ra toạ độ giao điểm phụ thuộc

a

dưới dạng phân thức, sau đó thế vào

d_{2}

nhưng tính toán phức tạp dễ sai; nên ưu tiên tìm giao điểm của đúng hai đường KHÔNG chứa tham số trước để có toạ độ cố định, tránh phải xử lí phân thức chứa

a

ngay từ đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, ba đường thẳng

d_{1}, d_{2}

cố định và

d_{3}

chứa tham số đồng quy khi và chỉ khi

d_{3}

đi qua đúng giao điểm cố định của

d_{1}, d_{2}

; nếu đổi

d_{3}

thành

b x + 3 y = 1

thì bài toán trở thành tìm

b

theo cách làm hoàn toàn tương tự.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.29★★★Trang 19— Lập và giải phương trình từ điều kiện hoà vốn chi phí bằng doanh thu

Điểm mà tại đó chi phí sản xuất của công ty bằng doanh thu của nó được gọi là điểm hoà vốn. Dưới đây,

C

thể hiện chi phí sản xuất (tính bằng đô la) của

x

đơn vị sản phẩm và

R

thể hiện doanh thu (tính bằng đô la) từ việc bán

x

đơn vị sản phẩm:

C = 15 x + 12000

;

R = 18 x - 6000

. Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất và bán để hoà vốn, nghĩa là tìm giá trị của

x

để

C = R

. Tính doanh thu của công ty khi đó.

Kiến thức cần nhớ

Điểm hoà vốn là giá trị $x$ làm chi phí $C$ bằng doanh thu $R$ , tức nghiệm của phương trình $C = R$ .
Có thể xem $C, R$ như một ẩn phụ chung để đưa bài toán về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai biểu thức

C, R

theo cùng một ẩn

x

và yêu cầu tìm

x

để

C = R

— dấu hiệu của phương trình bậc nhất một ẩn quen thuộc, chỉ cần cho hai biểu thức bằng nhau. Nên giải phương trình

C = R

trước để tìm

x

, sau đó thay ngược vào một trong hai biểu thức để tính doanh thu hoà vốn. Bẫy là dễ quên tính tiếp doanh thu

R

sau khi đã tìm được

x

, trong khi đề hỏi cả hai đại lượng.

1Cách 1. Cho

C = R

rồi giải phương trình bậc nhất một ẩn

Đặt hai biểu thức $C, R$ bằng nhau, đưa về phương trình bậc nhất một ẩn $x$ .

15 x + 12000 = 18 x - 6000

12000 + 6000 = 18 x - 15 x

18000 = 3 x

x = 6000

doanh thu khi đó:

R = 18 \cdot 6000 - 6000 = 108000 - 6000 = 102000

Vậy cần sản xuất và bán $6000$ sản phẩm để hoà vốn, khi đó doanh thu là $102000$ đô la.

2Cách 2. Đặt

C, R

như một ẩn phụ chung, lập hệ hai ẩn rồi khử

x

Coi $C = R$ là một ẩn phụ $T$ chung cho cả hai đẳng thức, lập hệ hai phương trình theo $T, x$ rồi trừ để khử $x$ ... thực chất khử luôn $T$ theo một cách khác Cách 1.

tại điểm hoà vốn:

T = 15 x + 12000

và

T = 18 x - 6000

viết lại:

T - 15 x = 12000

và

T - 18 x = - 6000

trừ từng vế phương trình đầu cho phương trình sau:

(T - 15 x) - (T - 18 x) = 12000 - (- 6000)

3 x = 18000

x = 6000

thay vào

T - 15 x = 12000

T = 12000 + 15 \cdot 6000 = 102000

Vậy khử ẩn theo hệ hai phương trình cũng cho $x = 6000$ và doanh thu hoà vốn $102000$ đô la, khớp Cách 1.

3Cách 3. So sánh tốc độ thay đổi (không giải phương trình hình thức)

So sánh mức chênh lệch ban đầu (tại $x = 0$ ) và mức thu hẹp mỗi khi tăng thêm một đơn vị sản phẩm để suy ra ngay số đơn vị cần thiết.

tại

x = 0

: doanh thu thấp hơn chi phí một khoảng

12000 - (- 6000) = 18000

đô la

mỗi đơn vị sản phẩm tăng thêm, doanh thu tăng nhanh hơn chi phí:

18 - 15 = 3

đô la

số đơn vị cần để bù hết khoảng chênh lệch:

x = \frac{18 000}{3} = 6000

doanh thu khi đó:

R = 18 \cdot 6000 - 6000 = 102000

Vậy cách so sánh tốc độ thay đổi cũng cho $x = 6000$ và doanh thu $102000$ đô la, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 giải thích trực quan ý nghĩa của điểm hoà vốn: đó là lúc phần chênh lệch ban đầu vừa được bù đắp hết bởi tốc độ tăng nhanh hơn của doanh thu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cho

C = R

rồi giải phương trình bậc nhất một ẩn là ngắn gọn và quen thuộc nhất, không cần đặt thêm ẩn phụ.

Đáp số. Cần

6000

sản phẩm để hoà vốn; doanh thu khi đó là

102000

đô la.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn giải xong phương trình

15 x + 12000 = 18 x - 6000

x = 6000

rồi dừng lại, quên đề còn hỏi doanh thu; phải thay

x = 6000

trở lại vào

R = 18 x - 6000

(hoặc

C = 15 x + 12000

, hai kết quả phải trùng nhau vì đúng là điểm hoà vốn) để có đáp số đầy đủ

102000

đô la.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với chi phí

C = a_{1} x + b_{1}

và doanh thu

R = a_{2} x + b_{2}

(

a_{2} > a_{1}

), điểm hoà vốn luôn là

x = \frac{b _{1} - b _{2}}{a _{2} - a _{1}}

, chính là công thức rút gọn của phép so sánh tốc độ thay đổi ở Cách 3.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.30★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ bài toán tổng số lượng và tổng giá trị hai loại vé

Một buổi biểu diễn ca nhạc bán được

1500

vé. Mỗi vé loại I có giá

250

nghìn đồng và mỗi vé loại II có giá

150

nghìn đồng. Tổng số tiền bán vé thu được là

285

triệu đồng. Hỏi mỗi loại vé đã bán được bao nhiêu vé?

Kiến thức cần nhớ

Bài toán lập hệ hai ẩn: đặt tên hai đại lượng cần tìm là ẩn, một phương trình theo tổng số lượng và một phương trình theo tổng giá trị (số lượng nhân đơn giá).
Cần đổi các đơn vị tiền về cùng một loại (nghìn đồng hoặc đồng) trước khi lập phương trình.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng số vé và tổng số tiền thu được từ hai loại vé có đơn giá khác nhau — dấu hiệu quen thuộc của dạng lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo số lượng và theo giá trị. Nên đặt hai ẩn cho số vé mỗi loại vì đề hỏi trực tiếp cả hai. Bẫy là các đơn vị tiền lệch nhau (giá vé tính bằng nghìn đồng, tổng thu tính bằng triệu đồng), phải đổi về cùng đơn vị trước khi lập phương trình, nếu không sẽ lệch nhau

1000

lần.

1Cách 1. Lập hệ hai ẩn rồi giải bằng cộng đại số

Gọi $x, y$ lần lượt là số vé loại I và loại II đã bán ( $x, y$ nguyên dương). Lập một phương trình theo tổng số vé và một phương trình theo tổng số tiền (đổi cùng về đơn vị nghìn đồng).

tổng số vé:

x + y = 1500

tổng số tiền (nghìn đồng):

250 x + 150 y = 285000

, rút gọn

5 x + 3 y = 5700

nhân phương trình đầu với

3

3 x + 3 y = 4500

trừ cho phương trình sau:

3 x + 3 y - (5 x + 3 y) = 4500 - 5700

- 2 x = - 1200

x = 600

y = 1500 - 600 = 900

Vậy buổi biểu diễn đã bán được $600$ vé loại I và $900$ vé loại II.

2Cách 2. Đặt một ẩn, đưa về phương trình bậc nhất một ẩn

Chỉ đặt $x$ là số vé loại I, biểu diễn số vé loại II là $1500 - x$ rồi thay vào phương trình tổng số tiền.

số vé loại II:

1500 - x

5 x + 3 (1500 - x) = 5700

5 x + 4500 - 3 x = 5700

2 x = 1200

x = 600

số vé loại II:

1500 - 600 = 900

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra $600$ vé loại I và $900$ vé loại II, khớp Cách 1.

3Cách 3. Giả thiết tạm (giả sử toàn bộ là vé loại II)

Giả sử cả $1500$ vé đều là vé loại II (giá thấp hơn), tính xem còn thiếu bao nhiêu tiền so với thực tế, rồi suy ra số vé cần đổi sang loại I.

nếu toàn bộ là vé loại II: thu được

1500 \cdot 150 = 225000

(nghìn đồng)

còn thiếu so với thực tế:

285000 - 225000 = 60000

(nghìn đồng)

mỗi vé đổi từ loại II sang loại I thu thêm:

250 - 150 = 100

(nghìn đồng)

số vé cần đổi sang loại I:

60000 : 100 = 600

số vé loại II còn lại:

1500 - 600 = 900

Vậy giả thiết tạm cũng cho đúng $600$ vé loại I và $900$ vé loại II, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Giả thiết tạm tránh phải lập cả hệ hai ẩn, chỉ cần một phép trừ và một phép chia là ra ngay đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (giả thiết tạm) vì chỉ hai phép tính đơn giản là ra đáp số, nhanh hơn hẳn việc lập và giải cả hệ như Cách 1.

Đáp số.

600

vé loại I và

900

vé loại II.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lập phương trình tổng tiền mà quên đổi đơn vị, viết thẳng

250 x + 150 y = 285

(giữ nguyên đơn vị triệu đồng ở vế phải nhưng đơn giá lại tính bằng nghìn đồng ở vế trái), dẫn tới ra nghiệm âm hoặc vô lí; phải đổi

285

triệu đồng thành

285000

nghìn đồng để cùng đơn vị với

250 x + 150 y

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán bán hai loại vé giá

p_{1}, p_{2}

(

p_{1} > p_{2}

), tổng số vé

N

và tổng thu

S

luôn giải được bằng giả thiết tạm: số vé giá cao

x = \frac{S - p _{2} N}{p _{1} - p _{2}}

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.31★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ hai điều kiện tổng calo và tổng carbohydrate

Một khẩu phần súp cà chua chứa

100

calo và

18

gam carbohydrate. Một lát bánh mì nguyên hạt chứa

70

calo và

13

gam carbohydrate. Cần bao nhiêu khẩu phần mỗi loại để có được

230

calo và

42

gam carbohydrate?

Kiến thức cần nhớ

Khi trộn nhiều khẩu phần thức ăn, tổng lượng calo (hoặc tổng lượng chất dinh dưỡng) bằng tổng của (số khẩu phần mỗi loại) nhân (lượng calo hoặc chất dinh dưỡng của một khẩu phần loại đó).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai điều kiện tổng — tổng calo và tổng carbohydrate — ứng với hai loại thực phẩm, đây là dấu hiệu kinh điển của dạng lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo hai chỉ tiêu khác nhau của cùng một hỗn hợp. Nên đặt ẩn cho số khẩu phần mỗi loại rồi lập đúng hai phương trình theo hai chỉ tiêu calo và carbohydrate. Bẫy của bài là đáp số ra số không nguyên (phân số), dễ khiến học sinh nghi ngờ và tính lại sai, trong khi đề không yêu cầu số khẩu phần phải nguyên.

1Cách 1. Lập hệ hai ẩn theo calo và carbohydrate rồi cộng đại số

Gọi $x, y$ lần lượt là số khẩu phần súp cà chua và số lát bánh mì cần dùng ( $x, y > 0$ ). Lập một phương trình theo tổng calo và một phương trình theo tổng carbohydrate.

tổng calo:

100 x + 70 y = 230

, rút gọn

10 x + 7 y = 23

tổng carbohydrate:

18 x + 13 y = 42

nhân phương trình đầu với

13

và phương trình sau với

7

{130 x + 91 y = 299 126 x + 91 y = 294

trừ từng vế:

4 x = 5

x = \frac{5}{4}

thay vào

10 x + 7 y = 23

\frac{25}{2} + 7 y = 23

, suy ra

y = \frac{3}{2}

Vậy cần $\frac{5}{4}$ khẩu phần súp cà chua và $\frac{3}{2}$ lát bánh mì.

2Cách 2. Phương pháp thế

Rút $x$ từ phương trình rút gọn của calo rồi thế vào phương trình carbohydrate.

từ

10 x + 7 y = 23

suy ra

x = \frac{23 - 7 y}{10}

thế vào

18 x + 13 y = 42

18 \cdot \frac{23 - 7 y}{10} + 13 y = 42

nhân cả hai vế với

10

18 (23 - 7 y) + 130 y = 420

414 - 126 y + 130 y = 420

4 y = 6

, suy ra

y = \frac{3}{2}

x = \frac{23 - 7 \cdot 1 , 5}{10} = \frac{5}{4}

Vậy phương pháp thế cũng cho $x = \frac{5}{4}$ , $y = \frac{3}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định thức (quy tắc Cramer)

Với hệ ${10 x + 7 y = 23 18 x + 13 y = 42$ , tính các định thức rồi suy ra nghiệm trực tiếp.

D = 10 \cdot 13 - 18 \cdot 7 = 130 - 126 = 4

D_{x} = 23 \cdot 13 - 7 \cdot 42 = 299 - 294 = 5

D_{y} = 10 \cdot 42 - 23 \cdot 18 = 420 - 414 = 6

x = \frac{D _{x}}{D} = \frac{5}{4}

;

y = \frac{D _{y}}{D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Vậy quy tắc định thức cũng cho $x = \frac{5}{4}$ , $y = \frac{3}{2}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách định thức tránh được việc nhân cả hai phương trình cùng lúc, hạn chế sai sót khi hệ số khá lớn như $18, 13$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tính trực tiếp ba định thức rồi chia là ra ngay đáp số, ít bước biến đổi trung gian hơn Cách 1 và Cách 2 khi hệ số cồng kềnh.

Đáp số. Cần

\frac{5}{4}

khẩu phần súp cà chua và

\frac{3}{2}

lát bánh mì.

Sai lầm thường gặp. Thấy đáp số ra phân số, nhiều bạn nghi mình tính sai rồi cố làm tròn thành số nguyên; thực ra đề không yêu cầu số khẩu phần nguyên (có thể hiểu là phần khẩu phần, ví dụ nửa lát bánh mì), nên cần thử lại bằng cách thay

x = \frac{5}{4}, y = \frac{3}{2}

vào cả hai phương trình gốc:

100 \cdot \frac{5}{4} + 70 \cdot \frac{3}{2} = 125 + 105 = 230

đúng, xác nhận đáp số phân số là chính xác.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán trộn hai loại thực phẩm theo hai chỉ tiêu dinh dưỡng luôn quy về một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; nếu đổi mục tiêu thành

300

calo và

50

gam carbohydrate, chỉ cần thay lại hằng số ở vế phải rồi giải theo đúng quy trình trên.

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.32★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ bài toán tổng quãng đường và tổng nhiên liệu tiêu thụ theo hai mức tiêu hao khác nhau

Một loại xe ô tô có mức tiêu hao nhiên liệu là

8, 1

lít/

100

km khi lái xe trong thành phố và

4, 8

lít/

100

km khi lái xe trên đường cao tốc. Vào một ngày Chủ nhật, chiếc xe đi tổng quãng đường trong thành phố và trên đường cao tốc là

165

km và tiêu thụ hết

8, 415

lít xăng. Tính độ dài quãng đường xe ô tô đi trong thành phố và trên đường cao tốc vào ngày Chủ nhật đó.

Kiến thức cần nhớ

Lượng nhiên liệu tiêu thụ trên một quãng đường bằng (mức tiêu hao trên $100$ km) nhân với (quãng đường tính theo đơn vị trăm km).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng quãng đường và tổng lượng xăng tiêu thụ ứng với hai mức tiêu hao khác nhau trong thành phố và trên cao tốc — dấu hiệu quen thuộc của dạng lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo quãng đường và theo nhiên liệu. Nên đặt hai ẩn cho hai quãng đường cần tìm vì đề hỏi trực tiếp cả hai. Bẫy là mức tiêu hao cho theo đơn vị lít trên

100

km, phải nhân đúng hệ số

8, 1

và

4, 8

với quãng đường (tính bằng km) rồi hiểu ngầm là đã chia cho

100

, dễ nhầm nếu quy đổi thêm một lần nữa.

1Cách 1. Lập hệ hai ẩn theo quãng đường và nhiên liệu

Gọi $x, y$ (km) lần lượt là quãng đường đi trong thành phố và trên cao tốc ( $x, y > 0$ ). Lập một phương trình theo tổng quãng đường và một phương trình theo tổng nhiên liệu.

tổng quãng đường:

x + y = 165

tổng nhiên liệu:

8, 1 x + 4, 8 y = 8, 415 \cdot 100 = 841, 5

(tính theo đơn vị lít trên mỗi

100

km, quy đổi cả hai vế theo cùng thang đo)

nhân phương trình đầu với

4, 8

4, 8 x + 4, 8 y = 792

trừ cho phương trình sau:

4, 8 x + 4, 8 y - (8, 1 x + 4, 8 y) = 792 - 841, 5

- 3, 3 x = - 49, 5

x = 15

y = 165 - 15 = 150

Vậy xe đi $15$ km trong thành phố và $150$ km trên đường cao tốc.

2Cách 2. Đặt một ẩn, đưa về phương trình bậc nhất một ẩn

Chỉ đặt $x$ là quãng đường trong thành phố, biểu diễn quãng đường cao tốc là $165 - x$ rồi thay vào phương trình nhiên liệu.

quãng đường cao tốc:

165 - x

8, 1 x + 4, 8 (165 - x) = 841, 5

8, 1 x + 792 - 4, 8 x = 841, 5

3, 3 x = 49, 5

x = 15

quãng đường cao tốc:

165 - 15 = 150

Vậy chỉ với một ẩn cũng ra $15$ km trong thành phố và $150$ km trên cao tốc, khớp Cách 1.

3Cách 3. Giả thiết tạm (giả sử toàn bộ quãng đường đi trên cao tốc)

Giả sử cả $165$ km đều đi trên cao tốc (mức tiêu hao thấp hơn), tính xem còn thiếu bao nhiêu lít xăng so với thực tế, rồi suy ra quãng đường cần đổi sang đi trong thành phố.

nếu toàn bộ

165

km đều đi cao tốc: tiêu thụ

165 \cdot \frac{4 , 8}{100} = 7, 92

(lít)

còn thiếu so với thực tế:

8, 415 - 7, 92 = 0, 495

(lít)

mỗi km đổi từ cao tốc sang thành phố tốn thêm:

\frac{8 , 1 - 4 , 8}{100} = 0, 033

(lít/km)

số km trong thành phố:

0, 495 : 0, 033 = 15

số km trên cao tốc:

165 - 15 = 150

Vậy giả thiết tạm cũng cho đúng $15$ km trong thành phố và $150$ km trên cao tốc, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Giả thiết tạm quy đổi bài toán về một phép trừ và một phép chia, không cần lập hệ đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một ẩn, thay trực tiếp vào phương trình nhiên liệu, ít khả năng nhầm dấu hơn khi phải nhân cả hai phương trình như Cách 1.

Đáp số.

15

km trong thành phố và

150

km trên đường cao tốc.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết phương trình nhiên liệu mà quên mức tiêu hao đã tính theo

100

km, viết nhầm thành

8, 1 x + 4, 8 y = 8, 415

(không nhân

100

ở vế phải), khiến vế trái và vế phải lệch nhau

100

lần rồi giải ra quãng đường âm hoặc quá nhỏ so với

165

km; phải quy đổi đúng

8, 415

lít ứng với quãng đường tính theo đơn vị trăm km, tức nhân

100

trước khi lập phương trình theo

x, y

tính bằng km.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán xe chạy hai chặng với hai mức tiêu hao

m_{1}, m_{2}

(lít/

100

km), tổng quãng đường

S

và tổng nhiên liệu

F

(lít) luôn giải được bằng giả thiết tạm: quãng đường ứng với mức tiêu hao cao hơn là

x = \frac{100 F - m _{2} S}{m _{1} - m _{2}}

Nguồn: SBT Toán 9 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-9-kn/bai-tap-cuoi-chuong-1.jsp · https://loigiaihay.com/chuong-1-phuong-trinh-va-he-hai-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-sbt-toan-9-kntt-e37156.html