Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương I

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang17–19 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 17— Nhận diện hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa

Hệ phương trình nào sau đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn? A.

{2 x + y = 3 x - z = - 1

{2 x + y = 3 0 x + 0 y = 1

{2 x + y = 3 0 x - y = - 1

{2 x + y = 3 x + y^{2} = 1

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $a x + b y = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$ .
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm đúng hai phương trình như vậy, cùng chứa hai ẩn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn hệ trông gần giống nhau, chỉ khác đúng phương trình thứ hai — dấu hiệu của dạng bài kiểm tra định nghĩa chứ không phải bài tính toán. Nên rà từng điều kiện của định nghĩa (đúng hai ẩn, bậc của mỗi ẩn là 1, hệ số không đồng thời bằng 0) cho phương trình thứ hai của mỗi phương án. Bẫy nằm ở phương án B: nhìn qua tưởng đủ hai ẩn

x, y

nhưng hệ số của cả hai đều bằng

0

nên phương trình đó vô nghĩa với mọi

x, y

, không còn là phương trình bậc nhất.

1Cách 1. Loại trừ theo từng dấu hiệu của định nghĩa

Nhắc lại: phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ có dạng $a x + b y = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$ . Xét lần lượt bốn phương án để loại các hệ vi phạm định nghĩa.

A có phương trình thứ hai chứa thêm ẩn

z

nên hệ có

3

ẩn, không phải hệ hai ẩn

B có phương trình thứ hai

0 x + 0 y = 1

, hệ số của cả

x

và

y

đều bằng

0

nên không là phương trình bậc nhất

D có phương trình thứ hai chứa

y^{2}

nên bậc của

y

là

2

, không phải bậc nhất

C có cả hai phương trình đều đúng dạng

a x + b y = c

với hệ số

a, b

không đồng thời bằng

0

Vậy hệ ở phương án C là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

2Cách 2. Nhận diện trực tiếp phương án đúng rồi kiểm tra lại

Nhìn nhanh cả bốn phương án, chỉ C có cả hai phương trình đúng dạng chuẩn ngay từ đầu (đúng hai ẩn $x, y$ , số mũ đều bằng $1$ ); kiểm tra riêng hệ số của phương trình thứ hai để chắc chắn không rơi vào trường hợp cả hai hệ số cùng bằng $0$ .

phương trình thứ hai của C là

0 x - y = - 1

, hệ số của

y

là

- 1

khác

0

Vậy C thoả mãn đầy đủ định nghĩa, đúng là hệ cần chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay C có dạng chuẩn rồi chỉ kiểm tra một chi tiết nhỏ, nhanh hơn hẳn việc loại trừ lần lượt cả bốn phương án.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cho rằng B là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì đếm thấy có đủ hai chữ

x, y

, quên kiểm tra hệ số: phương trình

0 x + 0 y = 1

có vế trái luôn bằng

0

với mọi

x, y

trong khi vế phải là

1

, vô lí, nên đây không phải phương trình bậc nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát,

a x + b y = c

là phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số

a, b

khác

0

; nếu đổi phương trình thứ hai của B thành

0 x + 5 y = 1

thì hệ đó lại trở thành hợp lệ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 17— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

Nghiệm của hệ phương trình

{4 x + 3 y = - 1 2 x - y = 7

là A.

(- 1; 1)

(3; - 1)

(\frac{1}{2}; - 1)

(2; - 3)

Kiến thức cần nhớ

Phương pháp cộng đại số: nhân hai vế một phương trình với số thích hợp để hệ số của một ẩn ở hai phương trình đối nhau, rồi cộng từng vế để khử ẩn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bốn cặp số cụ thể làm đáp án — dấu hiệu cho phép vừa giải hệ theo cách thông thường vừa có thể thử ngược từng cặp số vào cả hai phương trình để chọn nhanh. Nên ưu tiên khử ẩn

y

vì hệ số của

y

ở hai phương trình (

3

và

- 1

) dễ đưa về đối nhau chỉ bằng một phép nhân. Bẫy hay gặp là nhân phương trình thứ hai với

3

nhưng quên đổi dấu hạng tử

- y

thành

- 3 y

, dẫn đến cộng sai và ra nhầm sang một trong các đáp án gây nhiễu.

1Cách 1. Cộng đại số khử ẩn

y

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3$ để hệ số của $y$ đối nhau với phương trình thứ nhất, rồi cộng từng vế để khử $y$ .

{4 x + 3 y = - 1 6 x - 3 y = 21

cộng từng vế:

10 x = 20

x = 2

thay vào

2 x - y = 7

4 - y = 7

y = 4 - 7 = - 3

Vậy hệ có nghiệm $(2; - 3)$ .

2Cách 2. Phương pháp thế

Rút $y$ từ phương trình thứ hai rồi thế vào phương trình thứ nhất.

từ

2 x - y = 7

suy ra

y = 2 x - 7

thế vào

4 x + 3 y = - 1

4 x + 3 (2 x - 7) = - 1

4 x + 6 x - 21 = - 1

10 x = 20

x = 2

y = 2 \cdot 2 - 7 = - 3

Vậy phương pháp thế cũng cho nghiệm $(2; - 3)$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp từng đáp án (đặc thù trắc nghiệm)

Vì đề đã cho sẵn bốn cặp số, chỉ cần thay lần lượt vào cả hai phương trình, cặp nào làm đúng cả hai mới là nghiệm.

(2; - 3)

4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) = 8 - 9 = - 1

đúng;

2 \cdot 2 - (- 3) = 4 + 3 = 7

đúng

(3; - 1)

4 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 9 \neq = - 1

, loại ngay không cần thử tiếp

Vậy chỉ D thoả cả hai phương trình, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tránh hẳn việc giải hệ nếu phép thử vào hai phương trình đơn giản hơn phép khử ẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khử

y

chỉ bằng một phép nhân vì hệ số của

y

đã gần đối nhau sẵn, nhanh và ít khả năng sai dấu hơn Cách 2.

Đáp số.

(2; - 3)

, đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Nhân phương trình

2 x - y = 7

với

3

nhưng quên đổi dấu hạng tử

- y

, viết nhầm thành

6 x + 3 y = 21

(thay vì

6 x - 3 y = 21

) rồi cộng với

4 x + 3 y = - 1

10 x + 6 y = 20

, một phương trình còn hai ẩn nên không giải tiếp được; phải nhân đúng thành

6 x - 3 y = 21

để

3 y

và

- 3 y

triệt tiêu nhau khi cộng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, hệ

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

luôn khử được một ẩn bằng cộng đại số miễn nhân hai phương trình với hai số thích hợp để hệ số của ẩn đó đối nhau; đổi hệ số

3

thành một số khác sẽ cho một hệ số nhân khác nhưng cách làm không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 18— Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng bằng cách thay toạ độ vào phương trình

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm

M (1; 2)

N (2; 3)

P (- 1; - 1)

Q (5; 8)

. Đường thẳng

3 x - 2 y = - 1

đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho? A. M và N B. M và P C. P và Q D. N và P

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đường thẳng $a x + b y = c$ khi và chỉ khi $a x_{0} + b y_{0} = c$ .
Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng thì mọi cặp hai điểm trong ba điểm đó cũng đều nằm trên chính đường thẳng ấy.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★★Trang 18— Lập hệ phương trình từ điều kiện đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Giá trị của

a

và

b

để đường thẳng

y = a x + b

đi qua hai điểm

(1; - 1)

và

(- 1; 5)

là A.

a = 1, b = - 2

a = - 5, b = 1

a = - 3, b = 2

a = - 1, b = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .
Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 18— Xét số nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn qua tỉ số hệ số

Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất? A.

{x - 2 y = 3 2 x - 4 y = 5

{x - 2 y = 3 - 2 x + 4 y = - 6

{x - 2 y = 3 2 x + 4 y = 5

{x - 2 y = 3 - x + 2 y = - 2

Kiến thức cần nhớ

Hệ ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ ; vô nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ; vô số nghiệm khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ .
Hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu 6★★Trang 18— Đọc tập nghiệm của hệ phương trình từ giao điểm hai đường thẳng trên hình vẽ

Hình bên dưới minh hoạ tập nghiệm của hệ phương trình nào sau đây (biết hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có toạ độ

(2; 1)

)? A.

{x - y = 1 x - y = 3

{x - y = 1 x + y = 3

{x + y = 1 x - y = 3

{x + y = 1 x + y = 3

Kiến thức cần nhớ

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó.
Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì song song hoặc trùng nhau, không cắt nhau tại một điểm duy nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Câu 7★★★Trang 18— Tìm tham số trong hệ phương trình khi biết trước nghiệm

Hệ phương trình

{3 x - a y = b a x + b y = 3

có nghiệm là

(2; - 3)

khi A.

a = 3, b = 3

a = 3, b = - 3

a = - 3, b = 3

a = - 3, b = - 3

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ thì thay $x_{0}, y_{0}$ vào mỗi phương trình của hệ đều được đẳng thức đúng, từ đó lập hệ phương trình mới theo các tham số cần tìm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu 8★★★Trang 18— Tìm tham số để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm

Hệ phương trình

{x + m y = 1 - m x - y = - 1

có vô số nghiệm trong trường hợp nào sau đây? A.

m = 1

m = - 1

m = 2

m = - 2

Kiến thức cần nhớ

Hệ ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ có vô số nghiệm khi và chỉ khi $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ (hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 1.25★★Trang 19— Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ hai nghiệm cho trước của một phương trình

Hai nghiệm của phương trình

a x + b y = 1

là

(3; - 1)

và

(- 4; - 2)

. Tìm

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của phương trình $a x + b y = 1$ thì thay vào ta được đẳng thức đúng $a x_{0} + b y_{0} = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 1.26★★Trang 19— Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số thập phân hoặc phân số

Giải các hệ phương trình sau: a)

{0, 4 x + 0, 3 y = 1, 1 - 0, 5 x + 0, 2 y = 1, 5

⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 1 - 4 x + 6 y = 3

⎩ ⎨ ⎧ 0, 2 x - 0, 3 y = 0, 6 - \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = - 1

Kiến thức cần nhớ

Nhân hai vế một phương trình với số thích hợp để đưa hệ số về số nguyên trước khi cộng đại số hoặc thế.
Hệ vô nghiệm khi biến đổi dẫn tới $0 x + 0 y = k$ với $k \neq = 0$ ; hệ vô số nghiệm khi dẫn tới $0 x + 0 y = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 1.27★★★Trang 19— Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số với các giá trị cụ thể

Cho hệ phương trình

{m x + 9 y = m + 3 x + m y = 2

. Giải hệ phương trình đã cho trong mỗi trường hợp sau: a)

m = 1

; b)

m = - 3

; c)

m = 3

Kiến thức cần nhớ

Khi thay một giá trị cụ thể của tham số vào hệ chứa tham số, hệ trở thành hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bình thường, giải như các bài đã biết.
Định thức $D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ của hệ quyết định hệ có nghiệm duy nhất ( $D \neq = 0$ ) hay cần xét thêm vô nghiệm/vô số nghiệm ( $D = 0$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 1.28★★★Trang 19— Tìm tham số để ba đường thẳng đồng quy

Tìm

a

để ba đường thẳng sau đồng quy:

d_{1} : x - y = 1

;

d_{2} : x + y = 3

;

d_{3} : 2 x + a y = 1

Kiến thức cần nhớ

Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi chúng cùng đi qua một điểm; điểm đó trước hết phải là giao điểm của hai trong ba đường.
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ hai phương trình biểu diễn hai đường đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 1.29★★★Trang 19— Lập và giải phương trình từ điều kiện hoà vốn chi phí bằng doanh thu

Điểm mà tại đó chi phí sản xuất của công ty bằng doanh thu của nó được gọi là điểm hoà vốn. Dưới đây,

C

thể hiện chi phí sản xuất (tính bằng đô la) của

x

đơn vị sản phẩm và

R

thể hiện doanh thu (tính bằng đô la) từ việc bán

x

đơn vị sản phẩm:

C = 15 x + 12000

;

R = 18 x - 6000

. Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất và bán để hoà vốn, nghĩa là tìm giá trị của

x

để

C = R

. Tính doanh thu của công ty khi đó.

Kiến thức cần nhớ

Điểm hoà vốn là giá trị $x$ làm chi phí $C$ bằng doanh thu $R$ , tức nghiệm của phương trình $C = R$ .
Có thể xem $C, R$ như một ẩn phụ chung để đưa bài toán về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 1.30★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ bài toán tổng số lượng và tổng giá trị hai loại vé

Một buổi biểu diễn ca nhạc bán được

1500

vé. Mỗi vé loại I có giá

250

nghìn đồng và mỗi vé loại II có giá

150

nghìn đồng. Tổng số tiền bán vé thu được là

285

triệu đồng. Hỏi mỗi loại vé đã bán được bao nhiêu vé?

Kiến thức cần nhớ

Bài toán lập hệ hai ẩn: đặt tên hai đại lượng cần tìm là ẩn, một phương trình theo tổng số lượng và một phương trình theo tổng giá trị (số lượng nhân đơn giá).
Cần đổi các đơn vị tiền về cùng một loại (nghìn đồng hoặc đồng) trước khi lập phương trình.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 1.31★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ hai điều kiện tổng calo và tổng carbohydrate

Một khẩu phần súp cà chua chứa

100

calo và

18

gam carbohydrate. Một lát bánh mì nguyên hạt chứa

70

calo và

13

gam carbohydrate. Cần bao nhiêu khẩu phần mỗi loại để có được

230

calo và

42

gam carbohydrate?

Kiến thức cần nhớ

Khi trộn nhiều khẩu phần thức ăn, tổng lượng calo (hoặc tổng lượng chất dinh dưỡng) bằng tổng của (số khẩu phần mỗi loại) nhân (lượng calo hoặc chất dinh dưỡng của một khẩu phần loại đó).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 1.32★★★Trang 19— Lập hệ phương trình từ bài toán tổng quãng đường và tổng nhiên liệu tiêu thụ theo hai mức tiêu hao khác nhau

Một loại xe ô tô có mức tiêu hao nhiên liệu là

8, 1

lít/

100

km khi lái xe trong thành phố và

4, 8

lít/

100

km khi lái xe trên đường cao tốc. Vào một ngày Chủ nhật, chiếc xe đi tổng quãng đường trong thành phố và trên đường cao tốc là

165

km và tiêu thụ hết

8, 415

lít xăng. Tính độ dài quãng đường xe ô tô đi trong thành phố và trên đường cao tốc vào ngày Chủ nhật đó.

Kiến thức cần nhớ

Lượng nhiên liệu tiêu thụ trên một quãng đường bằng (mức tiêu hao trên $100$ km) nhân với (quãng đường tính theo đơn vị trăm km).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Bài tiếp theo ›Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

📚 Cùng chương: Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài tập cuối chương I

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 9 Tập 1 — Phân dạng và bài tập (KNTT)

Tuyển tập 100+ đề giữa kì I Toán 9 (106 đề)

Trọn bộ 77 đề HSG Toán 9

Toán 9 – Phương trình tích & phương trình chứa ẩn ở mẫu

Toán 9 – Luyện thi vào 10