Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang28–29 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 28— Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax+b<0

Nghiệm của bất phương trình

- 5 x - 1 < 0

là A.

x > - \frac{1}{5}

x < - \frac{1}{5}

x \geq - \frac{1}{5}

x \leq - \frac{1}{5}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế: chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình thì phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân (chia): khi nhân hoặc chia cả hai vế bất phương trình với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bất phương trình bậc nhất một ẩn có hệ số của x là số âm (-5) — dấu hiệu bắt buộc phải đổi chiều bất phương trình khi chia. Nên chuyển hạng tử tự do sang vế phải trước, còn lại một mình hạng tử chứa x ở vế trái để chia an toàn. Bẫy hay gặp là quên đổi chiều khi chia cho số âm, dẫn tới chọn nhầm đáp án B.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia cho hệ số âm (đổi chiều)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia hai vế cho -5, nhớ đổi chiều bất phương trình vì -5 là số âm.

- 5 x - 1 < 0

- 5 x < 1

x > \frac{1}{- 5}

(đổi chiều vì chia cho số âm)

x > - \frac{1}{5}

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > - \frac{1}{5}$ , đáp án A.

2Cách 2. Nhân hai vế với -1 trước để hệ số của x dương

Nhân cả hai vế với -1 (đổi chiều) để hệ số của x trở thành dương, tránh phải nhớ đổi chiều ở bước chia sau.

- 5 x - 1 < 0

nhân hai vế với

- 1

(đổi chiều):

5 x + 1 > 0

5 x > - 1

x > - \frac{1}{5}

(chia cho

5 > 0

, không đổi chiều)

Vậy $x > - \frac{1}{5}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị đại diện của bốn phương án (đặc thù trắc nghiệm)

Thay $x = - \frac{1}{5}$ để kiểm tra dấu bằng, rồi thử thêm một giá trị lớn hơn $- \frac{1}{5}$ xem có thoả bất phương trình không.

x = - \frac{1}{5}

- 5 \cdot (- \frac{1}{5}) - 1 = 1 - 1 = 0

, không thoả

< 0

nên

x = - \frac{1}{5}

không là nghiệm, loại C và D (hai phương án nhận dấu bằng)

thử

x = 0

(lớn hơn

- \frac{1}{5}

- 5 \cdot 0 - 1 = - 1 < 0

đúng nên

x = 0

là nghiệm, khớp phương án A

Vậy nghiệm là $x > - \frac{1}{5}$ , đáp án A, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân -1 trước để hệ số của x dương, tránh phải nhớ quy tắc đổi chiều khi chia, giảm khả năng sai dấu.

Đáp số.

x > - \frac{1}{5}

, đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chia hai vế cho -5 nhưng quên đổi chiều bất phương trình, viết nhầm thành

x < - \frac{1}{5}

(đáp án B); quy tắc bắt buộc là khi nhân hoặc chia cả hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bất phương trình

a x + b < 0

với

a < 0

luôn có nghiệm

x > - \frac{b}{a}

; đổi hệ số

a

thành số dương thì chiều bất phương trình giữ nguyên khi chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★★Trang 29— Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x + 1} = \frac{7 x ^{2}}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

là A.

x \neq = 1

x \neq = - \frac{1}{2}

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

x \in R

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện làm cho mọi mẫu thức trong phương trình đều khác 0.
Phân tích mẫu thức thành nhân tử giúp nhận ra mẫu nào là tích của các mẫu khác, tránh liệt kê thừa điều kiện.

🧠 Phân tích tư duy

Đề có ba mẫu thức x-1, 2x+1, và tích (x-1)(2x+1) — dấu hiệu của bài tìm ĐKXĐ, không cần giải phương trình. Nên liệt kê từng mẫu riêng rồi cho khác 0, chú ý mẫu thứ ba chỉ là tích của hai mẫu đầu nên không sinh thêm điều kiện mới. Bẫy là tưởng có ba điều kiện độc lập trong khi thực ra chỉ có hai.

1Cách 1. Liệt kê từng mẫu thức và cho khác 0

Cho lần lượt ba mẫu thức khác 0.

x - 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

2 x + 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - \frac{1}{2}

(x - 1) (2 x + 1) \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

(không sinh thêm điều kiện mới)

Vậy ĐKXĐ là $x \neq = 1$ và $x \neq = - \frac{1}{2}$ , đáp án C.

2Cách 2. Nhận ra mẫu thứ ba là tích của hai mẫu còn lại

Nhận xét mẫu thứ ba $(x - 1) (2 x + 1)$ chính là tích của hai mẫu đầu, nên ĐKXĐ của cả phương trình chỉ phụ thuộc vào hai nhân tử $x - 1$ và $2 x + 1$ .

mẫu chung của cả ba phân thức là

(x - 1) (2 x + 1)

mẫu chung khác 0

\Leftrightarrow

x - 1 \neq = 0

và

2 x + 1 \neq = 0

Vậy ĐKXĐ: $x \neq = 1$ và $x \neq = - \frac{1}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Loại trừ từng phương án bằng phản ví dụ

Thử các giá trị $x = 1$ và $x = - \frac{1}{2}$ vào từng mẫu để loại các phương án thiếu điều kiện.

A chỉ nêu

x \neq = 1

, chưa loại

x = - \frac{1}{2}

(khi đó

2 x + 1 = 0

, mẫu bằng 0) nên A sai

B chỉ nêu

x \neq = - \frac{1}{2}

, chưa loại

x = 1

(khi đó

x - 1 = 0

) nên B sai

D coi mọi số thực đều thoả, trong khi

x = 1

và

x = - \frac{1}{2}

đều làm mẫu bằng 0 nên D sai

Vậy chỉ C nêu đủ cả hai điều kiện, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay mẫu thứ ba là tích của hai mẫu đầu nên không cần xét riêng, rút ngắn một bước so với Cách 1.

Đáp số.

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

, đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng mẫu thứ ba

(x - 1) (2 x + 1)

sinh thêm một điều kiện riêng nữa nên chọn nhầm đáp án kiểu 'ba điều kiện'; thực chất

(x - 1) (2 x + 1) \neq = 0

tương đương với đúng hai điều kiện

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

đã có, không có điều kiện thứ ba.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi các mẫu thức của một phương trình có mẫu này là tích hoặc ước của mẫu kia, ĐKXĐ chỉ cần xét theo các nhân tử độc lập nhỏ nhất, không cần liệt kê thừa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 29— Biện luận điều kiện của tham số m qua nghiệm phương trình chứa tham số

Phương trình

2 x + 1 = m

có nghiệm lớn hơn

- 2

với A.

m > 0

m > - 2

m > - 3

m \leq - 3

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất $a x = b$ (với $a \neq = 0$ ) có nghiệm duy nhất $x = \frac{b}{a}$ .
Đưa điều kiện của nghiệm về một bất phương trình theo tham số rồi giải như bất phương trình một ẩn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 29— Giải bất phương trình đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nghiệm của bất phương trình

3 x - 1 \leq 2 x + 2

là A.

x > 3

x < 3

x \geq 3

x \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế đổi dấu áp dụng cho cả phương trình lẫn bất phương trình.
Sau khi chuyển vế, thu gọn về dạng $a x \leq b$ rồi chia hai vế cho hệ số $a$ , đổi chiều nếu $a < 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 29— Vận dụng tính chất của bất đẳng thức (cộng, nhân hai vế với cùng một số)

Cho

a > b

, khi đó ta có A.

2 a > b + 1

- 2 a > - 2 b

2 a > a + b

3 a < a + 2 b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ với mọi số $c$ (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với cùng một số).
Nếu $a > b$ và $c > 0$ thì $a c > b c$ ; nếu $c < 0$ thì $a c < b c$ (tính chất nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 2.20★★Trang 29— Giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích

Giải các phương trình sau: a)

5 x (x + 2) - 10 x - 20 = 0

; b)

x^{2} - 4 x = x - 4

Kiến thức cần nhớ

Đưa phương trình về dạng tích $A (x) \cdot B (x) = 0$ rồi giải $A (x) = 0$ hoặc $B (x) = 0$ .
Sau khi tách nhân tử chung, nên nhân ngược lại để kiểm tra đúng biểu thức ban đầu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 2.21★★★Trang 29— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu (phương trình phân thức)

Giải các phương trình sau: a)

\frac{6}{8 + x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2} - 2 x + 4} + \frac{1}{x + 2}

; b)

\frac{x}{x + 5} + \frac{x - 5}{x} = 2

Kiến thức cần nhớ

Trình tự giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: tìm điều kiện xác định (mọi mẫu thức khác 0), rồi quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình không chứa mẫu.
Sau khi giải phương trình đã khử mẫu, luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định để loại nghiệm ngoại lai.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 2.22★★Trang 29— Giải bất phương trình đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn (các hạng tử bậc hai triệt tiêu)

Giải các bất phương trình sau: a)

(3 x + 1) (x + 2) > x (3 x - 2) + 1

; b)

2 x (x + 1) + 3 < x (2 x + 5) - 7

Kiến thức cần nhớ

Khai triển tích, thu gọn các hạng tử bậc hai để hai vế còn lại là biểu thức bậc nhất.
Chuyển vế, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của x, đổi chiều bất phương trình nếu chia cho số âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 2.23★★Trang 29— Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất cộng, nhân hai vế và tính chất bắc cầu

a) Cho

a < b

và

c < d

, chứng minh rằng

a + c < b + d

. b) Cho

0 < a < b

và

0 < c < d

, chứng minh rằng

0 < a c < b d

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cộng hai vế: nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ với mọi $c$ .
Tính chất bắc cầu: nếu $x < y$ và $y < z$ thì $x < z$ .
Tính chất nhân hai vế với số dương: nếu $0 < a < b$ và $c > 0$ thì $a c < b c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 2.24★★★Trang 29— Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp xét hiệu đưa về bình phương

Chứng minh rằng với số

a > 0, b > 0

bất kì, ta luôn có

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $t$ , ta luôn có $t^{2} \geq 0$ , dấu bằng xảy ra khi $t = 0$ .
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về dạng một phân thức không âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 2.25★★Trang 29— Giải bài toán thực tế bằng cách lập bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc và viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78, 83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?

Kiến thức cần nhớ

Điểm trung bình của n bài kiểm tra bằng tổng điểm chia cho n.
Cụm từ 'ít nhất' được dịch thành dấu $\geq$ (lớn hơn hoặc bằng).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 2.26★★Trang 29— Lập và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn từ bài toán thực tế (tiền công theo giờ)

Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là 10,25 € cho mỗi giờ làm việc. Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1500 € trong mùa hè này. a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này. b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên? (€ là viết tắt của từ Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)

Kiến thức cần nhớ

Số tiền kiếm được bằng đơn giá mỗi giờ nhân với số giờ làm.
Khi nghiệm bất phương trình ra số thập phân nhưng đại lượng thực tế (số giờ làm) phải nguyên và cần đạt ĐỦ ngưỡng, phải làm tròn LÊN chứ không làm tròn theo quy tắc toán học thông thường.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 2.27★★★Trang 29— Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình (chuyển động, phương trình chứa ẩn ở mẫu)

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Thời gian đi hết quãng đường bằng quãng đường chia cho vận tốc.
Đưa phương trình chứa ẩn ở mẫu về phương trình bậc hai bằng cách quy đồng, khử mẫu.
Đối chiếu điều kiện thực tế (vận tốc dương) để loại nghiệm không phù hợp.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗