Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương II

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 28— Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax+b<0

Nghiệm của bất phương trình

- 5 x - 1 < 0

là A.

x > - \frac{1}{5}

x < - \frac{1}{5}

x \geq - \frac{1}{5}

x \leq - \frac{1}{5}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế: chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình thì phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân (chia): khi nhân hoặc chia cả hai vế bất phương trình với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bất phương trình bậc nhất một ẩn có hệ số của x là số âm (-5) — dấu hiệu bắt buộc phải đổi chiều bất phương trình khi chia. Nên chuyển hạng tử tự do sang vế phải trước, còn lại một mình hạng tử chứa x ở vế trái để chia an toàn. Bẫy hay gặp là quên đổi chiều khi chia cho số âm, dẫn tới chọn nhầm đáp án B.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia cho hệ số âm (đổi chiều)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, sau đó chia hai vế cho -5, nhớ đổi chiều bất phương trình vì -5 là số âm.

- 5 x - 1 < 0

- 5 x < 1

x > \frac{1}{- 5}

(đổi chiều vì chia cho số âm)

x > - \frac{1}{5}

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > - \frac{1}{5}$ , đáp án A.

2Cách 2. Nhân hai vế với -1 trước để hệ số của x dương

Nhân cả hai vế với -1 (đổi chiều) để hệ số của x trở thành dương, tránh phải nhớ đổi chiều ở bước chia sau.

- 5 x - 1 < 0

nhân hai vế với

- 1

(đổi chiều):

5 x + 1 > 0

5 x > - 1

x > - \frac{1}{5}

(chia cho

5 > 0

, không đổi chiều)

Vậy $x > - \frac{1}{5}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị đại diện của bốn phương án (đặc thù trắc nghiệm)

Thay $x = - \frac{1}{5}$ để kiểm tra dấu bằng, rồi thử thêm một giá trị lớn hơn $- \frac{1}{5}$ xem có thoả bất phương trình không.

x = - \frac{1}{5}

- 5 \cdot (- \frac{1}{5}) - 1 = 1 - 1 = 0

, không thoả

< 0

nên

x = - \frac{1}{5}

không là nghiệm, loại C và D (hai phương án nhận dấu bằng)

thử

x = 0

(lớn hơn

- \frac{1}{5}

- 5 \cdot 0 - 1 = - 1 < 0

đúng nên

x = 0

là nghiệm, khớp phương án A

Vậy nghiệm là $x > - \frac{1}{5}$ , đáp án A, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân -1 trước để hệ số của x dương, tránh phải nhớ quy tắc đổi chiều khi chia, giảm khả năng sai dấu.

Đáp số.

x > - \frac{1}{5}

, đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chia hai vế cho -5 nhưng quên đổi chiều bất phương trình, viết nhầm thành

x < - \frac{1}{5}

(đáp án B); quy tắc bắt buộc là khi nhân hoặc chia cả hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bất phương trình

a x + b < 0

với

a < 0

luôn có nghiệm

x > - \frac{b}{a}

; đổi hệ số

a

thành số dương thì chiều bất phương trình giữ nguyên khi chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★★Trang 29— Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x + 1}{2 x + 1} = \frac{7 x ^{2}}{( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}

là A.

x \neq = 1

x \neq = - \frac{1}{2}

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

x \in R

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là điều kiện làm cho mọi mẫu thức trong phương trình đều khác 0.
Phân tích mẫu thức thành nhân tử giúp nhận ra mẫu nào là tích của các mẫu khác, tránh liệt kê thừa điều kiện.

🧠 Phân tích tư duy

Đề có ba mẫu thức x-1, 2x+1, và tích (x-1)(2x+1) — dấu hiệu của bài tìm ĐKXĐ, không cần giải phương trình. Nên liệt kê từng mẫu riêng rồi cho khác 0, chú ý mẫu thứ ba chỉ là tích của hai mẫu đầu nên không sinh thêm điều kiện mới. Bẫy là tưởng có ba điều kiện độc lập trong khi thực ra chỉ có hai.

1Cách 1. Liệt kê từng mẫu thức và cho khác 0

Cho lần lượt ba mẫu thức khác 0.

x - 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

2 x + 1 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - \frac{1}{2}

(x - 1) (2 x + 1) \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

(không sinh thêm điều kiện mới)

Vậy ĐKXĐ là $x \neq = 1$ và $x \neq = - \frac{1}{2}$ , đáp án C.

2Cách 2. Nhận ra mẫu thứ ba là tích của hai mẫu còn lại

Nhận xét mẫu thứ ba $(x - 1) (2 x + 1)$ chính là tích của hai mẫu đầu, nên ĐKXĐ của cả phương trình chỉ phụ thuộc vào hai nhân tử $x - 1$ và $2 x + 1$ .

mẫu chung của cả ba phân thức là

(x - 1) (2 x + 1)

mẫu chung khác 0

\Leftrightarrow

x - 1 \neq = 0

và

2 x + 1 \neq = 0

Vậy ĐKXĐ: $x \neq = 1$ và $x \neq = - \frac{1}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Loại trừ từng phương án bằng phản ví dụ

Thử các giá trị $x = 1$ và $x = - \frac{1}{2}$ vào từng mẫu để loại các phương án thiếu điều kiện.

A chỉ nêu

x \neq = 1

, chưa loại

x = - \frac{1}{2}

(khi đó

2 x + 1 = 0

, mẫu bằng 0) nên A sai

B chỉ nêu

x \neq = - \frac{1}{2}

, chưa loại

x = 1

(khi đó

x - 1 = 0

) nên B sai

D coi mọi số thực đều thoả, trong khi

x = 1

và

x = - \frac{1}{2}

đều làm mẫu bằng 0 nên D sai

Vậy chỉ C nêu đủ cả hai điều kiện, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay mẫu thứ ba là tích của hai mẫu đầu nên không cần xét riêng, rút ngắn một bước so với Cách 1.

Đáp số.

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

, đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng mẫu thứ ba

(x - 1) (2 x + 1)

sinh thêm một điều kiện riêng nữa nên chọn nhầm đáp án kiểu 'ba điều kiện'; thực chất

(x - 1) (2 x + 1) \neq = 0

tương đương với đúng hai điều kiện

x \neq = 1

và

x \neq = - \frac{1}{2}

đã có, không có điều kiện thứ ba.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi các mẫu thức của một phương trình có mẫu này là tích hoặc ước của mẫu kia, ĐKXĐ chỉ cần xét theo các nhân tử độc lập nhỏ nhất, không cần liệt kê thừa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 29— Biện luận điều kiện của tham số m qua nghiệm phương trình chứa tham số

Phương trình

2 x + 1 = m

có nghiệm lớn hơn

- 2

với A.

m > 0

m > - 2

m > - 3

m \leq - 3

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất $a x = b$ (với $a \neq = 0$ ) có nghiệm duy nhất $x = \frac{b}{a}$ .
Đưa điều kiện của nghiệm về một bất phương trình theo tham số rồi giải như bất phương trình một ẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để nghiệm x của phương trình thoả điều kiện

x > - 2

— dấu hiệu của dạng biện luận nghiệm theo tham số. Nên giải x theo m trước, rồi thay điều kiện đó để được một bất phương trình ẩn m. Bẫy là khi chia hai vế cho 2 (số dương) không cần đổi chiều, dễ nhầm với các bài có hệ số âm.

1Cách 1. Giải x theo m rồi thế điều kiện x>-2

Giải phương trình tìm x theo m, sau đó thay vào điều kiện $x > - 2$ .

2 x + 1 = m \Rightarrow x = \frac{m - 1}{2}

điều kiện

x > - 2

\frac{m - 1}{2} > - 2

m - 1 > - 4

m > - 3

Vậy phương trình có nghiệm lớn hơn $- 2$ khi $m > - 3$ , đáp án C.

2Cách 2. Thế nghiệm biên x=-2 để tìm ngưỡng của m

Coi $- 2$ là nghiệm biên, thay $x = - 2$ vào phương trình để tìm giá trị $m$ tương ứng, từ đó suy chiều bất đẳng thức của $m$ .

thay

x = - 2

2 \cdot (- 2) + 1 = m \Rightarrow m = - 3

(ngưỡng)

vì hệ số

2

của

x

dương nên

x

tăng khi

m

tăng, do đó

x > - 2 \Leftrightarrow m > - 3

Vậy $m > - 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị m để loại trừ các phương án

Thử một vài giá trị $m$ nằm giữa các mốc của bốn phương án để xem nghiệm $x$ tương ứng có lớn hơn $- 2$ hay không.

thử

m = - 3

(biên):

x = \frac{- 3 - 1}{2} = - 2

, không lớn hơn

- 2

nên

m = - 3

không được nhận

thử

m = - 2, 5

(thoả

m > - 3

nhưng không thoả

m > - 2

x = \frac{- 2 , 5 - 1}{2} = - 1, 75 > - 2

, vẫn thoả yêu cầu dù không thoả điều kiện của B, nên loại B

Vậy chỉ còn phương án C thoả mọi phép thử, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần thay nghiệm biên x=-2 vào phương trình để tìm ngay ngưỡng m=-3 rồi xét chiều tăng giảm, nhanh hơn việc giải x theo m rồi thế bất đẳng thức.

Đáp số.

m > - 3

, đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Có bạn cộng sai hằng số khi chuyển vế, viết nhầm

m - 1 > - 4

thành

m > - 4

(quên cộng thêm 1 vào hai vế), ra kết quả sai

m > - 4

; phải cộng đúng 1 vào cả hai vế để được

m > - 4 + 1 = - 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phương trình

a x + b = m

(với

a > 0

) có nghiệm lớn hơn

k

khi và chỉ khi

m > ak + b

; đổi chiều bất đẳng thức của nghiệm (nghiệm nhỏ hơn

k

) thì bất phương trình của

m

cũng đổi chiều tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★Trang 29— Giải bất phương trình đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nghiệm của bất phương trình

3 x - 1 \leq 2 x + 2

là A.

x > 3

x < 3

x \geq 3

x \leq 3

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chuyển vế đổi dấu áp dụng cho cả phương trình lẫn bất phương trình.
Sau khi chuyển vế, thu gọn về dạng $a x \leq b$ rồi chia hai vế cho hệ số $a$ , đổi chiều nếu $a < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bất phương trình có ẩn x ở cả hai vế — dấu hiệu quen thuộc của dạng đưa về bất phương trình bậc nhất bằng cách chuyển hết x sang một vế, số sang vế kia. Hệ số của x sau khi chuyển vế là dương (3-2=1) nên chia xong không cần đổi chiều, ít khả năng sai hơn các bài có hệ số âm.

1Cách 1. Chuyển vế, thu gọn rồi chia cho hệ số dương

Chuyển các hạng tử chứa x về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại rồi thu gọn.

3 x - 1 \leq 2 x + 2

3 x - 2 x \leq 2 + 1

x \leq 3

Vậy $x \leq 3$ , đáp án D.

2Cách 2. Xét hiệu hai vế và so sánh với 0

Xét hiệu $(3 x - 1) - (2 x + 2)$ rồi so sánh với 0, tránh nhầm chiều khi chuyển vế nhiều lần.

(3 x - 1) - (2 x + 2) = x - 3

bất phương trình

3 x - 1 \leq 2 x + 2

tương đương

x - 3 \leq 0

x \leq 3

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị đại diện của bốn phương án

Thử giá trị biên và một giá trị khác biên để xác định đúng chiều và có nhận dấu bằng hay không.

thử

x = 3

(biên):

3 \cdot 3 - 1 = 8

;

2 \cdot 3 + 2 = 8

;

8 \leq 8

đúng nên

x = 3

là nghiệm, loại A và B (không nhận biên)

thử

x = 4

(không thuộc D):

3 \cdot 4 - 1 = 11

;

2 \cdot 4 + 2 = 10

;

11 \leq 10

sai nên

x = 4

không phải nghiệm, loại C

Vậy chỉ D thoả mọi phép thử, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển vế trực tiếp là ngắn nhất khi hệ số x sau khi thu gọn là số dương, không cần đổi chiều.

Đáp số.

x \leq 3

, đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Có bạn chuyển vế sai dấu, viết nhầm

3 x + 2 x \leq 2 - 1

thay vì đưa đúng các số hạng chứa x về một vế và số hạng tự do về vế kia, dẫn tới kết quả sai hẳn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bất phương trình dạng

a_{1} x + b_{1} \leq a_{2} x + b_{2}

luôn đưa được về

(a_{1} - a_{2}) x \leq b_{2} - b_{1}

; dấu bất đẳng thức giữ nguyên hay đổi chiều phụ thuộc dấu của

(a_{1} - a_{2})

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 29— Vận dụng tính chất của bất đẳng thức (cộng, nhân hai vế với cùng một số)

Cho

a > b

, khi đó ta có A.

2 a > b + 1

- 2 a > - 2 b

2 a > a + b

3 a < a + 2 b

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ với mọi số $c$ (tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với cùng một số).
Nếu $a > b$ và $c > 0$ thì $a c > b c$ ; nếu $c < 0$ thì $a c < b c$ (tính chất nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số).

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều là các bất đẳng thức suy ra từ

a > b

bằng các phép biến đổi khác nhau — dấu hiệu của dạng kiểm tra tính chất bất đẳng thức chứ không phải tính số cụ thể. Nên thử cộng a vào cả hai vế của

a > b

vì phương án C có dạng a+b ở một vế, gần với thao tác đó nhất. Bẫy nằm ở phương án B: nhân cả hai vế của

a > b

với -2 phải ĐỔI CHIỀU thành

- 2 a < - 2 b

, không phải giữ nguyên chiều như B viết.

1Cách 1. Cộng cùng một số vào hai vế của a>b

Cộng $a$ vào cả hai vế của bất đẳng thức $a > b$ .

a > b

a + a > b + a

(cộng

a

vào hai vế, giữ nguyên chiều)

2 a > a + b

Vậy $2 a > a + b$ luôn đúng, đáp án C.

2Cách 2. Xét hiệu 2a-(a+b) và so sánh với 0

Đưa về xét dấu của hiệu hai vế thay vì biến đổi trực tiếp bất đẳng thức gốc.

2 a - (a + b) = a - b

vì

a > b

nên

a - b > 0

suy ra

2 a - (a + b) > 0

hay

2 a > a + b

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Phản ví dụ để loại các phương án còn lại

Chọn một cặp số cụ thể thoả $a > b$ rồi thử vào cả bốn phương án để loại các phương án sai.

chọn

a = 0, b = - 1

(thoả

a > b

): A:

2 \cdot 0 = 0

b + 1 = 0

0 > 0

sai nên loại A

- 2 a > - 2 b \Leftrightarrow 0 > 2

sai nên loại B

3 a < a + 2 b \Leftrightarrow 0 < - 2

sai nên loại D

2 a > a + b \Leftrightarrow 0 > - 1

đúng, giữ C

Vậy chỉ C đúng với phản ví dụ đã thử, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng a vào hai vế của

a > b

ra ngay

2 a > a + b

chỉ trong một dòng, nhanh hơn hẳn việc thử số hoặc xét hiệu.

Đáp số.

2 a > a + b

, đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cho rằng nhân bất đẳng thức

a > b

với

- 2

vẫn giữ nguyên chiều nên chọn B (

- 2 a > - 2 b

); thực ra nhân hai vế bất đẳng thức với số ÂM phải ĐỔI CHIỀU, kết quả đúng phải là

- 2 a < - 2 b

, nên B sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cộng hai vế bất đẳng thức

a > b

với cùng số k bất kì luôn cho

a + k > b + k

; đổi hệ số cộng từ a thành 2a, 3a,… sẽ cho một họ bất đẳng thức đúng tương tự C.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 2.20★★Trang 29— Giải phương trình bằng phương pháp đưa về phương trình tích

Giải các phương trình sau: a)

5 x (x + 2) - 10 x - 20 = 0

; b)

x^{2} - 4 x = x - 4

Kiến thức cần nhớ

Đưa phương trình về dạng tích $A (x) \cdot B (x) = 0$ rồi giải $A (x) = 0$ hoặc $B (x) = 0$ .
Sau khi tách nhân tử chung, nên nhân ngược lại để kiểm tra đúng biểu thức ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình đều có vế trái tách được thành nhóm có nhân tử chung nếu nhóm đúng cặp hạng tử — dấu hiệu của phương pháp đưa về phương trình tích. Ở câu a, hạng tử tự do -10x-20 phải nhóm thành -10(x+2), không phải -5(x+2); đây chính là bẫy dễ sai nhất của bài, vì nhóm sai hệ số sẽ ra một nghiệm hoàn toàn sai.

1Cách 1. Nhóm nhân tử chung, đưa về phương trình tích

Nhóm đúng nhân tử chung $(x + 2)$ ở câu a và $(x - 4)$ ở câu b rồi đưa về phương trình tích.

5 x (x + 2) - 10 x - 20 = 0

5 x (x + 2) - 10 (x + 2) = 0

(vì

- 10 x - 20 = - 10 (x + 2)

)

(x + 2) (5 x - 10) = 0

5 (x + 2) (x - 2) = 0

x + 2 = 0

hoặc

x - 2 = 0

x = - 2

hoặc

x = 2

Vậy phương trình câu a có nghiệm $x = 2$ và $x = - 2$ .

x^{2} - 4 x = x - 4

x (x - 4) - (x - 4) = 0

(x - 4) (x - 1) = 0

x = 4

hoặc

x = 1

Vậy phương trình câu b có nghiệm $x = 1$ và $x = 4$ .

2Cách 2. Khai triển, thu gọn về phương trình bậc hai

Khai triển hết vế trái, chuyển về dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ rồi giải bằng phân tích hoặc công thức nghiệm.

5 x (x + 2) = 5 x^{2} + 10 x

5 x^{2} + 10 x - 10 x - 20 = 0

5 x^{2} - 20 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4

x = 2

hoặc

x = - 2

Khớp Cách 1.

x^{2} - 4 x - x + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} - 5 x + 4 = 0

Δ = 25 - 16 = 9

Δ = 3

x = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 4

hoặc

x = 1

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại nghiệm bằng cách thế trực tiếp vào phương trình gốc

Sau khi dự đoán nghiệm từ hai cách trên, thế lại vào phương trình ban đầu để kiểm chứng — cũng là cách làm nhanh khi cần xác nhận đáp án trắc nghiệm.

x = 2

5 \cdot 2 \cdot 4 - 20 - 20 = 40 - 40 = 0

đúng;

x = - 2

5 \cdot (- 2) \cdot 0 + 20 - 20 = 0

đúng

Hai nghiệm $x = 2$ , $x = - 2$ đều thoả, khớp Cách 1 và 2.

x = 1

1 - 4 = - 3

;

x - 4 = 1 - 4 = - 3

, bằng nhau, đúng.

x = 4

16 - 16 = 0

;

x - 4 = 0

, đúng

Khớp Cách 1 và 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm nhân tử chung trực tiếp, chỉ cần cẩn thận đúng hệ số khi tách -10x-20=-10(x+2), nhanh hơn khai triển thành phương trình bậc hai rồi tính Δ.

Đáp số. a) x = 2, x = -2. b) x = 1, x = 4.

Sai lầm thường gặp. Với câu a, dễ tách sai -10x-20 thành -5(x+2) (chỉ lấy 5 thay vì 10 làm nhân tử chung), khi đó phương trình tích viết nhầm thành (5x-5)(x+2)=0 và ra nghiệm sai x=1 thay vì đúng phải là x=2; luôn kiểm tra lại bằng cách nhân ngược nhân tử vừa tách để chắc chắn ra đúng biểu thức ban đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, mọi phương trình dạng

A \cdot x (x + m) - k \cdot x - k m = 0

(với

k = A \cdot m

) đều đưa được về

A \cdot x (x + m) - k (x + m) = (x + m) (A x - k) = 0

; nhóm đúng hằng số

k = A m

là bước quyết định.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 2.21★★★Trang 29— Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu (phương trình phân thức)

Giải các phương trình sau: a)

\frac{6}{8 + x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2} - 2 x + 4} + \frac{1}{x + 2}

; b)

\frac{x}{x + 5} + \frac{x - 5}{x} = 2

Kiến thức cần nhớ

Trình tự giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: tìm điều kiện xác định (mọi mẫu thức khác 0), rồi quy đồng và khử mẫu để đưa về phương trình không chứa mẫu.
Sau khi giải phương trình đã khử mẫu, luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định để loại nghiệm ngoại lai.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có mẫu

8 + x^{3}

phân tích được thành

(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

— đúng bằng tích hai mẫu còn lại, dấu hiệu để quy đồng gọn về đúng mẫu chung đó. Câu b có hai mẫu x+5 và x, phải đặt điều kiện xác định trước khi quy đồng. Bẫy chung của dạng phân thức là quên đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện xác định, dễ nhận nhầm nghiệm ngoại lai.

1Cách 1. Quy đồng khử mẫu rồi giải phương trình còn lại

Đặt điều kiện xác định, quy đồng theo mẫu chung rồi khử mẫu.

a) điều kiện:

x \neq = - 2

(vì

8 + x^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

, và

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3 > 0

với mọi x)

quy đồng theo mẫu chung

8 + x^{3}

6 = (x + 2) + (x^{2} - 2 x + 4)

6 = x^{2} - x + 6

x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0

hoặc

x = 1

đối chiếu điều kiện (

x \neq = - 2

): cả hai nghiệm đều thoả

Vậy phương trình câu a có nghiệm $x = 0$ và $x = 1$ .

b) điều kiện:

x \neq = 0

và

x \neq = - 5

quy đồng theo mẫu chung

x (x + 5)

x^{2} + (x - 5) (x + 5) = 2 x (x + 5)

2 x^{2} - 25 = 2 x^{2} + 10 x

- 25 = 10 x \Rightarrow x = - 2, 5

đối chiếu điều kiện:

x = - 2, 5

thoả (khác 0 và khác -5)

Vậy phương trình câu b có nghiệm $x = - 2, 5$ .

2Cách 2. Nhóm/biến đổi trước để rút gọn rồi mới quy đồng

Biến đổi khéo léo trước khi khử mẫu để phép tính gọn hơn.

a) vế phải

= \frac{( x + 2 ) + ( x ^{2} - 2 x + 4 )}{( x + 2 ) ( x ^{2} - 2 x + 4 )} = \frac{x ^{2} - x + 6}{8 + x ^{3}}

hai vế cùng mẫu

8 + x^{3}

nên chỉ cần so tử:

6 = x^{2} - x + 6

x^{2} - x = 0 \Rightarrow x = 0

hoặc

x = 1

Khớp Cách 1, gọn hơn vì tránh khử mẫu tường minh.

b) viết lại

\frac{x}{x + 5} = 1 - \frac{5}{x + 5}

và

\frac{x - 5}{x} = 1 - \frac{5}{x}

phương trình trở thành

1 - \frac{5}{x + 5} + 1 - \frac{5}{x} = 2

- \frac{5}{x + 5} - \frac{5}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 5} = - \frac{1}{x}

x = - (x + 5) \Rightarrow 2 x = - 5 \Rightarrow x = - 2, 5

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại nghiệm bằng cách thế trực tiếp vào phương trình gốc

Thế lại nghiệm dự đoán từ hai cách trên vào chính phương trình ban đầu (chưa quy đồng) để kiểm chứng, cũng là cách kiểm tra nhanh khi làm trắc nghiệm.

x = 0

\frac{6}{8 + 0} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

; vế phải

= \frac{1}{0 - 0 + 4} + \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}

, đúng.

x = 1

\frac{6}{8 + 1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

; vế phải

= \frac{1}{1 - 2 + 4} + \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

, đúng

Khớp Cách 1 và 2.

x = - 2, 5

\frac{x}{x + 5} = \frac{- 2 , 5}{2 , 5} = - 1

;

\frac{x - 5}{x} = \frac{- 7 , 5}{- 2 , 5} = 3

; tổng

= - 1 + 3 = 2

, đúng

Khớp Cách 1 và 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng khử mẫu theo đúng quy trình ba bước (điều kiện xác định – khử mẫu – đối chiếu) là cách an toàn nhất, ít bỏ sót điều kiện hơn.

Đáp số. a) x = 0, x = 1. b) x = -2,5.

Sai lầm thường gặp. Với phương trình chứa ẩn ở mẫu, lỗi phổ biến nhất là quên đặt điều kiện xác định trước khi quy đồng hoặc quên đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện đó; nếu nghiệm tìm được trùng với giá trị làm mẫu bằng 0 thì phải loại nghiệm đó (nghiệm ngoại lai), dù phép biến đổi đại số hoàn toàn đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi mẫu số này là tích của các mẫu số kia (như

8 + x^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)

), nên quy đồng theo đúng mẫu chung có sẵn thay vì khử mẫu tràn lan, giúp phương trình sau khi quy đồng gọn hơn hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 2.22★★Trang 29— Giải bất phương trình đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn (các hạng tử bậc hai triệt tiêu)

Giải các bất phương trình sau: a)

(3 x + 1) (x + 2) > x (3 x - 2) + 1

; b)

2 x (x + 1) + 3 < x (2 x + 5) - 7

Kiến thức cần nhớ

Khai triển tích, thu gọn các hạng tử bậc hai để hai vế còn lại là biểu thức bậc nhất.
Chuyển vế, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của x, đổi chiều bất phương trình nếu chia cho số âm.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai vế đều chứa tích của các biểu thức bậc nhất — nếu khai triển sẽ xuất hiện hạng tử bậc hai ở cả hai vế, dấu hiệu để kỳ vọng chúng triệt tiêu nhau và đưa về bất phương trình bậc nhất quen thuộc. Nên khai triển đầy đủ trước khi chuyển vế, tránh rút gọn tắt dễ nhầm dấu.

1Cách 1. Khai triển đầy đủ rồi chuyển vế thu gọn

Khai triển đầy đủ hai vế, các hạng tử bậc hai sẽ triệt tiêu, rồi chuyển vế đưa về bất phương trình bậc nhất.

(3 x + 1) (x + 2) = 3 x^{2} + 7 x + 2

x (3 x - 2) + 1 = 3 x^{2} - 2 x + 1

3 x^{2} + 7 x + 2 > 3 x^{2} - 2 x + 1

7 x + 2 > - 2 x + 1

9 x > - 1

x > - \frac{1}{9}

Vậy nghiệm câu a là $x > - \frac{1}{9}$ .

2 x (x + 1) + 3 = 2 x^{2} + 2 x + 3

x (2 x + 5) - 7 = 2 x^{2} + 5 x - 7

2 x^{2} + 2 x + 3 < 2 x^{2} + 5 x - 7

2 x + 3 < 5 x - 7

- 3 x < - 10

x > \frac{10}{3}

(chia cho -3, đổi chiều)

Vậy nghiệm câu b là $x > \frac{10}{3}$ .

2Cách 2. Xét hiệu hai vế và so sánh với 0

Xét hiệu vế trái trừ vế phải rồi rút gọn một lần, tránh chuyển vế nhiều bước như Cách 1.

VT - VP = (3 x^{2} + 7 x + 2) - (3 x^{2} - 2 x + 1) = 9 x + 1

bất phương trình tương đương

9 x + 1 > 0

x > - \frac{1}{9}

Khớp Cách 1.

VT - VP = (2 x^{2} + 2 x + 3) - (2 x^{2} + 5 x - 7) = - 3 x + 10

bất phương trình tương đương

- 3 x + 10 < 0

- 3 x < - 10 \Rightarrow x > \frac{10}{3}

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử một giá trị mỗi phía để kiểm chứng chiều nghiệm

Thử một giá trị thuộc nghiệm dự đoán và một giá trị không thuộc, để kiểm chứng chiều bất phương trình vừa tìm.

a) thử

x = 0

(nên

> - \frac{1}{9}

): VT

= (1) (2) = 2

, VP

= 0 + 1 = 1

2 > 1

đúng, khớp chiều nghiệm

thử

x = - 1

(không thuộc nghiệm vì

- 1 < - \frac{1}{9}

): VT

= (- 2) (1) = - 2

, VP

= (- 1) (- 5) + 1 = 6

- 2 > 6

sai, đúng như dự đoán

Hai phép thử khớp kết quả $x > - \frac{1}{9}$ của Cách 1.

b) thử

x = 4

(nên thuộc nghiệm vì

4 > \frac{10}{3}

): VT

= 2 \cdot 4 \cdot 5 + 3 = 43

, VP

= 4 \cdot 13 - 7 = 45

43 < 45

đúng

thử

x = 3

(không thuộc nghiệm vì

3 < \frac{10}{3}

): VT

= 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 = 27

, VP

= 3 \cdot 11 - 7 = 26

27 < 26

sai, đúng như dự đoán

Hai phép thử khớp kết quả $x > \frac{10}{3}$ của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: xét hiệu hai vế rồi rút gọn một lần, tránh phải chuyển vế nhiều bước như Cách 1 nên ít khả năng sai dấu hơn.

Đáp số. a)

x > - \frac{1}{9}

. b)

x > \frac{10}{3}

Sai lầm thường gặp. Khi khai triển (3x+1)(x+2), nhiều bạn quên hạng tử chéo (nhân 1 với x hoặc 3x với 2) nên thiếu mất một hạng tử bậc nhất, dẫn tới sai cả bất phương trình cuối; luôn khai triển đủ bốn tích trong (a+b)(c+d) rồi mới cộng gộp.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi hai vế của bất phương trình đều là tích các biểu thức bậc nhất có cùng hạng tử bậc hai dẫn đầu, luôn có thể xét hiệu hai vế để hạng tử bậc hai tự triệt tiêu, quy về bất phương trình bậc nhất mà không cần khai triển tường minh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 2.23★★Trang 29— Chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất cộng, nhân hai vế và tính chất bắc cầu

a) Cho

a < b

và

c < d

, chứng minh rằng

a + c < b + d

. b) Cho

0 < a < b

và

0 < c < d

, chứng minh rằng

0 < a c < b d

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cộng hai vế: nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ với mọi $c$ .
Tính chất bắc cầu: nếu $x < y$ và $y < z$ thì $x < z$ .
Tính chất nhân hai vế với số dương: nếu $0 < a < b$ và $c > 0$ thì $a c < b c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh tổng quát (không phải tính với số cụ thể) — dấu hiệu của dạng chứng minh bất đẳng thức bằng tính chất, phải dùng đúng các tính chất đã học chứ không được chỉ thử số. Câu b có thêm điều kiện dương

0 < a < b

và

0 < c < d

— đây là dấu hiệu bắt buộc phải dùng, vì tính chất nhân hai vế bất đẳng thức chỉ giữ chiều khi nhân với số dương.

1Cách 1. Cộng/nhân trực tiếp hai bất đẳng thức đã cho theo đúng tính chất

Áp dụng lần lượt tính chất cộng và tính chất nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số, rồi dùng tính chất bắc cầu.

a) vì

a < b

nên

a + c < b + c

(cộng

c

vào hai vế)

vì

c < d

nên

b + c < b + d

(cộng

b

vào hai vế)

theo tính chất bắc cầu:

a + c < b + c < b + d

, suy ra

a + c < b + d

Vậy $a + c < b + d$ (điều phải chứng minh).

b) vì

0 < a < b

và

c > 0

nên

a c < b c

(1)

vì

0 < c < d

và

b > 0

nên

b c < b d

(2)

vì

a > 0, c > 0

nên

a c > 0

(3)

từ (1),(2) theo tính chất bắc cầu:

a c < b c < b d

, suy ra

a c < b d

; kết hợp (3):

0 < a c < b d

Vậy $0 < a c < b d$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Xét hiệu hai vế cần chứng minh, đưa về tổng/tích các số dương

Xét hiệu vế phải trừ vế trái, đưa về tổng hoặc tích của các số dương để kết luận hiệu đó dương.

a) xét

(b + d) - (a + c) = (b - a) + (d - c)

vì

a < b

nên

b - a > 0

; vì

c < d

nên

d - c > 0

tổng hai số dương là số dương:

(b - a) + (d - c) > 0

Suy ra $(b + d) - (a + c) > 0$ hay $a + c < b + d$ (điều phải chứng minh), khớp Cách 1.

b) xét

b d - a c = b d - b c + b c - a c = b (d - c) + c (b - a)

vì

b > 0, d - c > 0

nên

b (d - c) > 0

; vì

c > 0, b - a > 0

nên

c (b - a) > 0

tổng hai số dương là số dương:

b (d - c) + c (b - a) > 0

, suy ra

b d - a c > 0

hay

a c < b d

; mà

a > 0, c > 0

nên

a c > 0

Vậy $0 < a c < b d$ (điều phải chứng minh), khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng ví dụ số cụ thể

Chọn một bộ số cụ thể thoả giả thiết để quan sát kết luận đúng trên thực tế; đây chỉ là bước kiểm chứng trực quan, không thay được lời giải tổng quát ở Cách 1, 2.

a) chọn

a = 1, b = 3, c = 2, d = 5

(thoả

a < b

c < d

a + c = 3

b + d = 8

3 < 8

đúng khớp kết luận

b) chọn

a = 1, b = 2, c = 3, d = 4

(thoả

0 < a < b

0 < c < d

a c = 3

b d = 8

0 < 3 < 8

đúng khớp kết luận

Các ví dụ số đều khớp kết luận tổng quát ở Cách 1, 2, củng cố thêm độ tin cậy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng trực tiếp hai tính chất cộng/nhân hai vế rồi bắc cầu, trình bày ngắn gọn đúng chuẩn chứng minh bất đẳng thức, không cần lập hiệu như Cách 2.

Đáp số. a)

a + c < b + d

. b)

0 < a c < b d

. (đã chứng minh)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhiều bạn nhân trực tiếp hai bất đẳng thức

a < b

và

c < d

để ra

a c < b d

mà không kiểm tra điều kiện dương của các số hạng; nếu thiếu điều kiện

a > 0, c > 0

thì phép nhân hai bất đẳng thức có thể sai, chẳng hạn

a = - 3 < b = 1

và

c = - 3 < d = 1

thì

a c = 9

không nhỏ hơn

b d = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát, tính chất 'nhân hai bất đẳng thức cùng chiều dương' mở rộng được cho nhiều số: nếu

0 < a_{1} < b_{1}, \dots, 0 < a_{n} < b_{n}

thì

a_{1} a_{2} \dots a_{n} < b_{1} b_{2} \dots b_{n}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 2.24★★★Trang 29— Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp xét hiệu đưa về bình phương

Chứng minh rằng với số

a > 0, b > 0

bất kì, ta luôn có

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $t$ , ta luôn có $t^{2} \geq 0$ , dấu bằng xảy ra khi $t = 0$ .
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về dạng một phân thức không âm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh bất đẳng thức tổng quát cho mọi a, b dương — dấu hiệu của phương pháp xét hiệu rồi đưa về một biểu thức luôn không âm, kỹ thuật quen thuộc với các biểu thức đối xứng dạng a/b+b/a. Nên quy đồng hiệu về một phân thức có tử là hằng đẳng thức

(a - b)^{2}

, mẫu dương

ab > 0

1Cách 1. Xét hiệu, quy đồng và đưa về bình phương

Xét hiệu vế trái trừ 2, quy đồng rồi đưa về một phân thức có tử là bình phương một hiệu.

xét hiệu

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2

= \frac{a ^{2} + b ^{2} - 2 ab}{ab}

= \frac{( a - b ) ^{2}}{ab}

vì

a > 0, b > 0

nên

ab > 0

; và

(a - b)^{2} \geq 0

với mọi

a, b

suy ra

\frac{( a - b ) ^{2}}{ab} \geq 0

, tức

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0

Vậy $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ với mọi $a > 0, b > 0$ (điều phải chứng minh); dấu bằng xảy ra khi $a = b$ .

2Cách 2. Dùng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương

Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ .

với hai số dương

\frac{a}{b}

và

\frac{b}{a}

, theo bất đẳng thức Cô-si:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

21 = 2

Vậy $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ (điều phải chứng minh), dấu bằng khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$ tức $a = b$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng một vài cặp số cụ thể

Thử một số cặp a, b dương để quan sát bất đẳng thức đúng như thế nào, đặc biệt trường hợp a=b để thấy dấu bằng; đây chỉ là minh hoạ, không thay cho chứng minh tổng quát.

a = b = 2

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + 1 = 2

, đúng bằng 2 (dấu bằng xảy ra)

a = 1, b = 4

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{1}{4} + 4 = 4, 25 \geq 2

, đúng

a = 5, b = 1

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 5 + \frac{1}{5} = 5, 2 \geq 2

, đúng

Các phép thử đều khớp kết luận tổng quát ở Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xét hiệu rồi quy đồng về (a-b)²/(ab) là cách trình bày chuẩn mực nhất, không cần nhớ thêm bất đẳng thức Cô-si như Cách 2.

Đáp số.

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

với mọi

a > 0, b > 0

; dấu bằng xảy ra khi

a = b

. (đã chứng minh)

Sai lầm thường gặp. Có bạn quy đồng

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2

sai thành

\frac{( a + b ) ^{2}}{ab}

thay vì đúng phải là

\frac{( a - b ) ^{2}}{ab}

(nhầm dấu trừ thành dấu cộng trong hằng đẳng thức); cần khai triển cẩn thận

a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2}

, không phải

(a + b)^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với mọi số dương

x

, ta luôn có

x + \frac{1}{x} \geq 2

(lấy

x = \frac{a}{b}

); đây là trường hợp riêng của bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 2.25★★Trang 29— Giải bài toán thực tế bằng cách lập bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc và viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78, 83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?

Kiến thức cần nhớ

Điểm trung bình của n bài kiểm tra bằng tổng điểm chia cho n.
Cụm từ 'ít nhất' được dịch thành dấu $\geq$ (lớn hơn hoặc bằng).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba điểm đã biết và yêu cầu tìm điểm còn thiếu sao cho trung bình đạt một ngưỡng cho trước — dấu hiệu quen thuộc của dạng lập bất phương trình từ công thức trung bình cộng. Gọi điểm bài viết là ẩn x, biểu diễn trung bình theo x rồi cho

\geq 85

. Bẫy nhỏ là cụm từ 'ít nhất' phải dịch đúng thành dấu

\geq

, không phải dấu

>

1Cách 1. Gọi ẩn, lập bất phương trình theo công thức trung bình cộng

Gọi điểm bài kiểm tra viết là ẩn, biểu diễn điểm trung bình bốn bài theo ẩn rồi cho trung bình đó ít nhất 85.

gọi điểm bài kiểm tra viết của Hà là

x

(điểm)

điểm trung bình 4 bài là

\frac{78 + 83 + 89 + x}{4} = \frac{250 + x}{4}

yêu cầu trung bình ít nhất 85 nên

\frac{250 + x}{4} \geq 85

250 + x \geq 340

x \geq 90

Vậy Hà cần đạt ít nhất 90 điểm ở bài kiểm tra viết.

2Cách 2. Xét phần chênh lệch so với mốc 85 của từng bài

So sánh trực tiếp từng điểm đã có với mốc 85, cộng dồn phần chênh lệch để suy ra điểm bài còn lại cần đạt.

so với mốc 85: nghe 78 hụt 7 điểm (

85 - 78 = 7

); nói 83 hụt 2 điểm; đọc 89 dư 4 điểm

tổng chênh lệch của ba bài đã có so với mốc 85:

- 7 - 2 + 4 = - 5

(thiếu 5 điểm so với việc cả ba bài đều đạt đúng 85)

để tổng 4 bài đạt trung bình ít nhất 85, bài viết phải bù đủ phần thiếu 5 điểm, tức đạt ít nhất

85 + 5 = 90

Vậy điểm bài viết cần ít nhất 90, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử trực tiếp giá trị 90 và một giá trị nhỏ hơn để kiểm chứng ngưỡng

Thử trực tiếp giá trị dự đoán và một giá trị nhỏ hơn để xác nhận đó đúng là ngưỡng nhỏ nhất thoả yêu cầu.

thử

x = 90

: trung bình

= \frac{78 + 83 + 89 + 90}{4} = \frac{340}{4} = 85

, đạt đúng mốc 85 (thoả "ít nhất 85")

thử

x = 89

(nhỏ hơn 90): trung bình

= \frac{78 + 83 + 89 + 89}{4} = \frac{339}{4} = 84, 75 < 85

, không đạt

$x = 90$ là ngưỡng nhỏ nhất thoả yêu cầu, khớp Cách 1 và 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập bất phương trình trực tiếp từ công thức trung bình cộng là cách tổng quát, an toàn và trình bày được điểm số tối thiểu chính xác mà không cần suy luận qua phần chênh lệch như Cách 2.

Đáp số. Hà cần đạt ít nhất 90 điểm ở bài kiểm tra viết.

Sai lầm thường gặp. Có bạn dịch 'ít nhất là 85' thành dấu

>

(trung bình

> 85

) thay vì đúng phải là

\geq

, dẫn tới kết quả

x > 90

(không nhận

x = 90

) trong khi thực ra

x = 90

vẫn thoả yêu cầu vì trung bình đúng bằng 85, đã đạt mốc 'ít nhất'.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán trung bình n số hạng với n-1 số đã biết và cần trung bình đạt ít nhất k, luôn lập được bất phương trình

\frac{S + x}{n} \geq k

với S là tổng đã biết, suy ra

x \geq nk - S

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 2.26★★Trang 29— Lập và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn từ bài toán thực tế (tiền công theo giờ)

Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là 10,25 € cho mỗi giờ làm việc. Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1500 € trong mùa hè này. a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này. b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên? (€ là viết tắt của từ Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)

Kiến thức cần nhớ

Số tiền kiếm được bằng đơn giá mỗi giờ nhân với số giờ làm.
Khi nghiệm bất phương trình ra số thập phân nhưng đại lượng thực tế (số giờ làm) phải nguyên và cần đạt ĐỦ ngưỡng, phải làm tròn LÊN chứ không làm tròn theo quy tắc toán học thông thường.

🧠 Phân tích tư duy

Đề tách rõ hai yêu cầu: câu a chỉ cần lập bất phương trình, câu b mới giải và biện luận thực tế. Dấu hiệu 'ít nhất 1500 €' cho biết dùng dấu ≥. Bẫy ở câu b: nghiệm đại số ra một số thập phân (khoảng 146,34) nhưng số giờ làm việc phải hiểu theo nghĩa thực tế — làm tròn LÊN chứ không làm tròn theo quy tắc toán học thông thường, vì làm 146 giờ chưa đủ 1500 €.

1Cách 1. Gọi ẩn số giờ, lập bất phương trình rồi giải và làm tròn theo thực tế

Gọi số giờ làm thêm là ẩn, lập bất phương trình từ điều kiện "kiếm được ít nhất 1500 €", rồi giải và làm tròn theo nghĩa thực tế.

a) gọi số giờ David làm thêm là

x

(giờ,

x > 0

); số tiền kiếm được là

10, 25 x

(€); yêu cầu kiếm được ít nhất 1500 € nên ta có bất phương trình

10, 25 x \geq 1500

b) giải bất phương trình:

x \geq \frac{1500}{10 , 25}

x \geq \frac{6000}{41} \approx 146, 34

vì số giờ làm việc phải là số nguyên và cần đạt ít nhất 1500 €, làm 146 giờ chưa đủ (

146 \times 10, 25 = 1496, 5 < 1500

) nên phải làm tròn LÊN thành 147 giờ

Vậy David cần làm thêm ít nhất 147 giờ.

2Cách 2. Ước lượng rồi kiểm tra hai mốc giờ liền kề

Ước lượng nhanh 1500 chia 10,25 rồi kiểm tra trực tiếp hai giá trị nguyên gần đó thay vì tính chính xác phân số.

ước lượng

1500 : 10 = 150

, mà

10, 25 > 10

nên thương thực phải nhỏ hơn 150 một chút; thử

x = 146

10, 25 \times 146 = 1496, 5 < 1500

, chưa đủ

thử

x = 147

10, 25 \times 147 = 1506, 75 \geq 1500

, đủ

147 giờ là số giờ nguyên nhỏ nhất thoả yêu cầu, khớp Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng tính tiền theo từng mốc giờ để xác định ngưỡng

Liệt kê số tiền kiếm được ứng với vài mốc giờ quanh 146,34 để trực quan hoá ngưỡng đạt yêu cầu.

144 giờ:

10, 25 \times 144 = 1476

€ (chưa đủ); 145 giờ:

1486, 25

€ (chưa đủ); 146 giờ:

1496, 5

€ (chưa đủ); 147 giờ:

1506, 75

€ (đủ)

Từ bảng trên, 147 giờ là mốc đầu tiên đạt từ 1500 € trở lên, khớp Cách 1 và 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập bất phương trình rồi giải trực tiếp là cách tổng quát và nhanh nhất; chỉ cần nhớ làm tròn LÊN ở bước cuối vì số giờ thực tế phải đủ để đạt ít nhất 1500 €.

Đáp số. a)

10, 25 x \geq 1500

với

x

là số giờ làm thêm. b) David cần làm thêm ít nhất 147 giờ.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn giải ra x≥146,34 rồi làm tròn theo quy tắc toán học thông thường (làm tròn đến số nguyên gần nhất) thành 146 giờ; nhưng 146 giờ chỉ kiếm được 1496,5€, CHƯA đủ 1500€ theo yêu cầu, nên với bài toán 'ít nhất' luôn phải làm tròn LÊN thành 147 giờ, không làm tròn theo cách thông thường.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán 'kiếm được ít nhất S € với đơn giá p €/giờ' luôn cho số giờ tối thiểu là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn

S / p

(làm tròn lên), khác với bài toán chia đều thông thường chỉ cần làm tròn gần đúng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 2.27★★★Trang 29— Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình (chuyển động, phương trình chứa ẩn ở mẫu)

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B trên cùng quãng đường dài 150 km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10 km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Thời gian đi hết quãng đường bằng quãng đường chia cho vận tốc.
Đưa phương trình chứa ẩn ở mẫu về phương trình bậc hai bằng cách quy đồng, khử mẫu.
Đối chiếu điều kiện thực tế (vận tốc dương) để loại nghiệm không phù hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho quãng đường cố định 150 km, chênh lệch vận tốc 10 km/h và chênh lệch thời gian 30 phút — dấu hiệu của dạng toán chuyển động lập phương trình từ hiệu thời gian. Gọi vận tốc xe thứ nhất là ẩn, thời gian mỗi xe biểu diễn qua quãng đường chia vận tốc, hiệu hai thời gian bằng 1/2 giờ. Bẫy ở bước quy đồng khử mẫu dễ ra phương trình bậc hai, phải giải đủ hai nghiệm rồi loại nghiệm âm không phù hợp thực tế.

1Cách 1. Gọi vận tốc xe thứ nhất là ẩn, lập phương trình theo hiệu thời gian

Gọi vận tốc xe thứ nhất là ẩn, biểu diễn thời gian mỗi xe theo ẩn rồi lập phương trình từ hiệu thời gian 30 phút.

đổi 30 phút

= \frac{1}{2}

giờ

gọi vận tốc xe thứ nhất là

x

(km/h,

x > 10

); vận tốc xe thứ hai là

x - 10

(km/h)

thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường:

\frac{150}{x}

(giờ); thời gian xe thứ hai:

\frac{150}{x - 10}

(giờ)

xe thứ nhất đến sớm hơn

\frac{1}{2}

giờ nên

\frac{150}{x - 10} - \frac{150}{x} = \frac{1}{2}

quy đồng mẫu

x (x - 10)

, nhân hai vế với

2 x (x - 10)

300 x - 300 (x - 10) = x (x - 10)

3000 = x^{2} - 10 x

x^{2} - 10 x - 3000 = 0

(x - 60) (x + 50) = 0

x = 60

hoặc

x = - 50

đối chiếu điều kiện

x > 10

: chỉ nhận

x = 60

Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là $60 - 10 = 50$ km/h.

2Cách 2. Gọi thời gian xe thứ hai là ẩn

Thay vì gọi vận tốc, gọi thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường là ẩn, biểu diễn vận tốc hai xe qua ẩn đó rồi dùng dữ kiện chênh lệch vận tốc 10 km/h.

gọi thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường là

t

(giờ,

t > \frac{1}{2}

); thời gian xe thứ nhất là

t - \frac{1}{2}

(giờ)

vận tốc xe thứ hai là

\frac{150}{t}

(km/h); vận tốc xe thứ nhất là

\frac{150}{t - \frac{1}{2}}

(km/h)

hiệu vận tốc là 10 km/h:

\frac{150}{t - \frac{1}{2}} - \frac{150}{t} = 10

quy đồng, khử mẫu:

150 t - 150 (t - \frac{1}{2}) = 10 t (t - \frac{1}{2})

75 = 10 t^{2} - 5 t

2 t^{2} - t - 15 = 0

Δ = 1 + 120 = 121 = 1 1^{2} \Rightarrow t = \frac{1 \pm 11}{4} \Rightarrow t = 3

hoặc

t = - 2, 5

(loại vì

t > 0

)

t = 3

giờ

\Rightarrow

vận tốc xe thứ hai

= \frac{150}{3} = 50

km/h; vận tốc xe thứ nhất

= 50 + 10 = 60

km/h

Khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại nghiệm bằng cách tính trực tiếp thời gian mỗi xe

Thay ngược vận tốc tìm được vào đề để kiểm tra đúng cả hai dữ kiện (chênh vận tốc và chênh thời gian).

với vận tốc 60 km/h và 50 km/h: chênh lệch vận tốc

60 - 50 = 10

km/h, đúng dữ kiện

thời gian xe thứ nhất:

\frac{150}{60} = 2, 5

giờ; thời gian xe thứ hai:

\frac{150}{50} = 3

giờ

chênh lệch thời gian:

3 - 2, 5 = 0, 5

giờ

= 30

phút, đúng dữ kiện

Cặp vận tốc (60; 50) km/h thoả mọi dữ kiện đề bài, khớp Cách 1 và 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi trực tiếp vận tốc xe thứ nhất là ẩn vì đề đã cho hiệu vận tốc trực tiếp là 10 km/h, không cần đổi biến qua thời gian như Cách 2.

Đáp số. Vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 50 km/h.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đối chiếu điều kiện

x > 10

(hoặc

x > 0

) sau khi giải phương trình bậc hai, dẫn tới lấy luôn cả nghiệm âm

x = - 50

km/h vào đáp số, trong khi vận tốc không thể âm nên bắt buộc phải loại nghiệm này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, bài toán hai xe cùng quãng đường

S

, chênh lệch vận tốc

Δ v

và chênh lệch thời gian

Δ t

luôn dẫn tới một phương trình bậc hai theo vận tốc; đổi các số liệu

S, Δ v, Δ t

sẽ cho một họ bài toán tương tự với cách giải hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗