Bài tập cuối chương III

Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa gốc của căn bậc hai, căn bậc hai số học và căn bậc ba để kết luận đúng/sai.

Vậy khẳng định đúng là D.

Với mỗi khẳng định bắt đầu bằng "mọi" hoặc phủ định của "mọi", chỉ cần tìm MỘT số cụ thể làm nó sai là đủ loại; khẳng định còn sống sót sau khi thử phản ví dụ chính là đáp án.

Vậy khẳng định đúng là D.

Hệ thống hoá kiến thức thành một bảng ngắn theo ba loại số (âm, $0$, dương), sau đó đối chiếu từng khẳng định với đúng dòng tương ứng trong bảng.

Vậy khẳng định đúng là D.

Xác nhận A đúng theo định nghĩa chung, sau đó kiểm tra riêng cả ba khẳng định B, C, D trên số cụ thể $-216$ để tìm khẳng định sai.

Vậy khẳng định sai là B.

Tìm ngay một số cụ thể mà lập phương bằng $-216$ để bác bỏ trực tiếp khẳng định B bằng phép tính.

Vậy khẳng định sai là B.

Ở Câu 1 đã xác nhận khẳng định đúng "các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau", ngầm cho thấy căn bậc hai chỉ dành cho số không âm; dùng lại tri thức đó để suy luận nhanh về căn bậc ba mà không cần tính toán lại.

Vậy khẳng định sai là B, khớp hai cách trên.

Viết lại số dưới căn thành tích của $9,61$ (đã biết căn bậc hai) với một luỹ thừa chẵn của $10$, rồi tách căn theo tính chất căn của một tích.

Vậy $\sqrt{0,000961}=0,031$, chọn C.

Đổi $0,000961$ thành phân số có mẫu số là luỹ thừa của $10$, tách căn của tử và của mẫu riêng biệt.

Vậy $\sqrt{0,000961}=0,031$, khớp Cách 1, chọn C.

Bình phương từng số trong bốn phương án, phương án nào cho đúng $0,000961$ là đáp án — không cần nhớ quy tắc tách căn, chỉ cần nhân đúng vị trí dấu phẩy.

Vậy $\sqrt{0,000961}=0,031$, chọn C, khớp hai cách trên.

Tính lần lượt từng biểu thức, chú ý phân biệt dấu trừ nằm trong hay ngoài phép bình phương/khai căn.

Vậy A, B, C đều bằng $7$; riêng D bằng $-7$, khác các biểu thức còn lại, chọn D.

Quan sát cấu trúc bốn biểu thức trước khi tính số: những biểu thức dạng $\sqrt{(\cdot {)}^2}$ hoặc $(\pm \sqrt{\cdot }{)}^2$ luôn cho kết quả không âm; biểu thức có dấu trừ đứng hẳn bên NGOÀI mới có thể âm.

Vậy D là biểu thức có giá trị khác ba biểu thức còn lại.

Đặt $a=\sqrt{7}$ ($a>0$, $a^2=7$) để bốn biểu thức chỉ còn là các phép toán đại số đơn giản theo $a$, giúp thấy ngay biểu thức nào lệch.

Vậy theo biến $a$: A=B=C=$7$, còn D=$-7$ — khớp hai cách trên, chọn D.

Đặt cạnh khối lập phương là $a$ (đơn vị dm), lập phương trình từ công thức thể tích, giải bằng căn bậc ba rồi đối chiếu đơn vị với bốn phương án.

Vậy cạnh khối lập phương là $8\text{ cm}$ (tức $0,8\text{ dm}$), chọn A.

Đổi thể tích về đơn vị ${\text{cm}}^3$ ngay từ đầu để kết quả ra thẳng đơn vị cm, tránh phải đổi đơn vị ở bước cuối.

Vậy cạnh khối lập phương là $8\text{ cm}$, khớp Cách 1, chọn A.

Lập phương từng giá trị ở bốn phương án (đổi về cùng đơn vị dm) rồi so sánh với $0,512{\text{ dm}}^3$, phương án nào khớp là đáp án.

Vậy chỉ phương án A cho đúng thể tích $0,512{\text{ dm}}^3$, khớp hai cách trên.

Nhân hai căn thành một căn nhờ hiệu hai bình phương ở câu a); khai triển hằng đẳng thức $(u+v{)}^2$ ở câu b).

Vậy a) $=11$; b) $=34$.

Đặt $S$ là biểu thức đề cho (biết $S\ge 0$), tính $S^2$ trước bằng khai triển, rồi khai căn lần cuối — kĩ thuật này tránh nhầm dấu khi biểu thức phức tạp hơn.

Vậy khớp Cách 1: a) $=11$; b) $=34$.

Thay $\sqrt{23}$, $\sqrt{17}$ bằng ẩn $t$ để các phép nhân/khai triển trở thành đại số thông thường, hạn chế nhầm lẫn giữa các tầng căn khi viết trực tiếp.

Vậy khớp hai cách trên: a) $=11$; b) $=34$.

Viết $89+24\sqrt{5}$ dưới dạng $(a+b\sqrt{5}{)}^2$ để bóc lớp căn ngoài của vế trái, sau đó bình phương cả hai vế thêm một lần nữa để so sánh trực tiếp hai số dưới căn cuối cùng.

Vậy $\sqrt{\sqrt{89+24\sqrt{5}}}<\sqrt{1+\sqrt{122}}$.

Tính gần đúng cả hai vế để dự đoán chiều so sánh trước, sau đó chứng minh chặt chẽ bằng phép bình phương đúng như dự đoán.

Vậy $\sqrt{\sqrt{89+24\sqrt{5}}}<\sqrt{1+\sqrt{122}}$, khớp dự đoán ban đầu; phép bình phương chặt chẽ mới là lời giải chính thức.

Xét hiệu $D$ của hai biểu thức sau khi đã bóc lớp căn ngoài vế trái, chứng minh $D>0$ bằng cách đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng bậc, từ đó suy ra chiều so sánh của cả bài.

Vậy $\sqrt{\sqrt{89+24\sqrt{5}}}<\sqrt{1+\sqrt{122}}$, khớp hai cách trên.

Nhân và cộng trực tiếp hai căn thức để chứng minh phần a), sau đó đặt $u,v$ và áp dụng công thức $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$ cho câu b).

Vậy a) hai đẳng thức đã được chứng minh; b) $A=4\sqrt{10}$ và $B=20\sqrt{10}$.

Thay $\sqrt{5}$ bởi ẩn $t$ ($t^2=5$) để phần chứng minh a) trở thành một phép nhân và cộng đại số thông thường, dùng công thức truy hồi cho câu b).

Vậy khớp Cách 1: a) đúng như đề; b) $A=4\sqrt{10}$, $B=20\sqrt{10}$.

Ở câu a), bình phương thẳng cả hai vế của mỗi đẳng thức cần chứng minh rồi so sánh — cách tiếp cận ngược để kiểm tra chéo. Ở câu b), khai triển $(u+v{)}^3$ và tách nhóm để lộ ra $u^3+v^3$.

Vậy khớp hai cách trên: a) đúng như đề; b) $A=4\sqrt{10}$, $B=20\sqrt{10}$.

Dùng ngay giả thiết $x^2+y^2=1$ để thay hai biểu thức dưới căn, đưa cả hai căn thức về dạng căn của một bình phương rồi khai căn nhờ dấu đã biết.

Vậy $A=0$ với mọi $x,y$ dương thoả $x^2+y^2=1$.

Chọn một cặp $(x;y)$ cụ thể thoả $x^2+y^2=1$ để tính thử $A$, dự đoán kết quả không đổi, sau đó chứng minh bằng đúng lập luận như Cách 1.

Vậy $A=0$ với mọi $x,y$ dương thoả điều kiện, không phụ thuộc cặp số cụ thể.

Nhóm $A$ thành hai cặp $(x-\sqrt{1-y^2})$ và $\left(\sqrt{1-x^2}-y\right)$, chỉ ra mỗi cặp bằng $0$ nhờ giả thiết, giúp nhìn ra kết quả nhanh hơn khi biểu thức có nhiều số hạng đan xen.

Vậy $A=0$, khớp hai cách trên.

Khai triển hai bình phương ở câu a), nhận ra căn trong cùng của $A$ chính là ${\left(2\sqrt{3}-3\right)}^2$, khai căn đó trước, rồi tiếp tục nhận ra phần còn lại của $A$ là ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^2$.

Vậy a) ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^2=7-4\sqrt{3}$, ${\left(2\sqrt{3}-3\right)}^2=21-12\sqrt{3}$; b) $A=2-\sqrt{3}$ và $B=2$.

Trước khi bỏ dấu trị tuyệt đối, chốt chắc dấu của từng biểu thức trong ngoặc bằng cách so sánh $\sqrt{3}$ với các số nguyên liên quan.

Vậy khớp Cách 1: a) $7-4\sqrt{3}$ và $21-12\sqrt{3}$; b) $A=2-\sqrt{3}$, $B=2$.

Đặt $t=\sqrt{3}$ ($1<t<2$) để cả câu a) và câu b) chỉ còn là các phép biến đổi đại số quen thuộc theo $t$, hạn chế nhầm lẫn giữa các tầng căn.

Vậy khớp hai cách trên: a) $7-4\sqrt{3}$ và $21-12\sqrt{3}$; b) $A=2-\sqrt{3}$, $B=2$.