Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài tập cuối chương III

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang39–40 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 39— Nhận biết các khẳng định đúng/sai về căn bậc hai và căn bậc ba

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Mọi số thực đều có căn bậc hai.
B. Các số thực âm không có căn bậc ba.
C. Mọi số thực đều có căn bậc hai số học.
D. Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.

Kiến thức cần nhớ

Số dương có hai căn bậc hai đối nhau; số $0$ có một căn bậc hai là $0$ ; số âm không có căn bậc hai (thực).
Căn bậc hai số học của một số chỉ tồn tại khi số đó không âm.
Mọi số thực (âm, dương, $0$ ) đều có đúng một căn bậc ba.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn khẳng định đều nói về ‘mọi số thực’ hoặc ‘số thực dương/âm’ — dấu hiệu cho thấy chỉ cần một phản ví dụ là đủ bác bỏ một khẳng định sai, trong khi khẳng định đúng phải đúng với TẤT CẢ trường hợp. Hướng an toàn là rà lại đúng ba khái niệm đã học: căn bậc hai, căn bậc hai số học, căn bậc ba, xem chúng áp dụng được cho số âm hay không. Bẫy nằm ở việc A và C rất giống nhau về cách diễn đạt nhưng đều sai khi áp dụng cho số âm.

1Cách 1. Xét từng khẳng định theo đúng định nghĩa đã học

Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa gốc của căn bậc hai, căn bậc hai số học và căn bậc ba để kết luận đúng/sai.

A. "Mọi số thực đều có căn bậc hai" — sai, vì số âm không có căn bậc hai thực (ví dụ

- 4

không có căn bậc hai)

B. "Các số thực âm không có căn bậc ba" — sai, vì mọi số thực kể cả số âm đều có đúng một căn bậc ba (ví dụ

3 - 8 = - 2

)

C. "Mọi số thực đều có căn bậc hai số học" — sai, vì căn bậc hai số học chỉ xác định với số không âm

D. "Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau" — đúng, đây chính là định nghĩa đã học

Vậy khẳng định đúng là D.

2Cách 2. Dùng phản ví dụ cụ thể để loại từng khẳng định sai

Với mỗi khẳng định bắt đầu bằng "mọi" hoặc phủ định của "mọi", chỉ cần tìm MỘT số cụ thể làm nó sai là đủ loại; khẳng định còn sống sót sau khi thử phản ví dụ chính là đáp án.

A: thử số

- 9

— không có số thực nào bình phương ra

- 9

, nên A sai

B: thử số

- 8

— có

3 - 8 = - 2

vì

(- 2)^{3} = - 8

, nên khẳng định "không có căn bậc ba" sai với chính số

- 8

này, B sai

C: thử số

- 9

— không tồn tại căn bậc hai số học của

- 9

, nên C sai

D: thử số

9

— có hai căn bậc hai đối nhau là

3

và

- 3

; thử thêm số

16

— có

4

và

- 4

; không tìm được phản ví dụ nào, D đúng

Vậy khẳng định đúng là D.

3Cách 3. Lập bảng tổng hợp số lượng căn bậc hai/căn bậc ba theo dấu của số rồi đối chiếu

Hệ thống hoá kiến thức thành một bảng ngắn theo ba loại số (âm, $0$ , dương), sau đó đối chiếu từng khẳng định với đúng dòng tương ứng trong bảng.

Số dương: có

2

căn bậc hai đối nhau, có

1

căn bậc hai số học, có

1

căn bậc ba

Số

0

: có

1

căn bậc hai (là

0

), có

1

căn bậc hai số học (là

0

), có

1

căn bậc ba (là

0

)

Số âm: không có căn bậc hai, không có căn bậc hai số học, vẫn có

1

căn bậc ba

Đối chiếu: A sai (dòng "số âm" không có căn bậc hai); B sai (dòng "số âm" vẫn có căn bậc ba); C sai (dòng "số âm" không có căn bậc hai số học); D đúng (đúng dòng "số dương")

Vậy khẳng định đúng là D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rà lại đúng ba định nghĩa rồi kết luận ngay, không cần liệt kê phản ví dụ hay dựng bảng, nhanh nhất cho câu hỏi lý thuyết thuần tuý.

Đáp số. Khẳng định đúng là D. Các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau.

Sai lầm thường gặp. Nhầm B là đúng vì nghĩ ‘số âm thì không khai căn được’, trong khi điều đó chỉ đúng với căn bậc hai — căn bậc ba luôn thực hiện được với mọi số thực kể cả số âm, ví dụ

3 - 8 = - 2

🚀 Mở rộng. Phát biểu lại ba khẳng định A, B, C cho đúng: ‘Số thực không âm mới có căn bậc hai’; ‘Mọi số thực đều có căn bậc ba’; ‘Số thực không âm mới có căn bậc hai số học’.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★Trang 39— Nhận biết khẳng định sai về căn bậc hai và căn bậc ba của một số âm cụ thể

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Mọi số thực dương đều có căn bậc hai.
B. Số

- 216

không có căn bậc ba.
C. Số

- 216

không có căn bậc hai.
D. Số

- 216

không có căn bậc hai số học.

Kiến thức cần nhớ

Số âm có đúng một căn bậc ba (âm), ví dụ $3 - 216 = - 6$ vì $(- 6)^{3} = - 216$ .
Số âm không có căn bậc hai và cũng không có căn bậc hai số học (trong tập số thực).
Số dương luôn có căn bậc hai (hai giá trị đối nhau) nên khẳng định A đúng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba khẳng định B, C, D đều nói về cùng một số cụ thể

- 216

— dấu hiệu nên kiểm tra trực tiếp trên số này thay vì lý thuyết chung chung. Vì

- 216

là số âm, nó chắc chắn không có căn bậc hai nên C, D đúng; còn MỌI số thực đều có căn bậc ba, kể cả số âm, nên khẳng định ‘không có căn bậc ba’ của B cần kiểm tra kỹ nhất. Bẫy là nhầm lẫn giữa ‘không có căn bậc hai’ (đúng với số âm) và ‘không có căn bậc ba’ (sai với mọi số thực).

1Cách 1. Xét từng khẳng định theo định nghĩa, đặc biệt kiểm tra kỹ B

Xác nhận A đúng theo định nghĩa chung, sau đó kiểm tra riêng cả ba khẳng định B, C, D trên số cụ thể $- 216$ để tìm khẳng định sai.

A. Mọi số thực dương đều có căn bậc hai — đúng, đây là định nghĩa đã học

B. Số

- 216

không có căn bậc ba — kiểm tra: mọi số thực đều có căn bậc ba, số âm cũng vậy, nên khẳng định này sai

C. Số

- 216

không có căn bậc hai — đúng, vì

- 216

âm nên không có căn bậc hai thực

D. Số

- 216

không có căn bậc hai số học — đúng, vì căn bậc hai số học cũng chỉ xác định với số không âm

Vậy khẳng định sai là B.

2Cách 2. Tính trực tiếp căn bậc ba của

- 216

để kiểm chứng khẳng định B bằng một phép tính cụ thể

Tìm ngay một số cụ thể mà lập phương bằng $- 216$ để bác bỏ trực tiếp khẳng định B bằng phép tính.

Tìm

x

sao cho

x^{3} = - 216

: nhận thấy

6^{3} = 216

nên

(- 6)^{3} = - 216

Vậy

3 - 216 = - 6

tồn tại, tức số

- 216

CÓ căn bậc ba

Khẳng định B nói "không có căn bậc ba" — trái với kết quả vừa tính, nên B sai

Ba khẳng định còn lại (A, C, D) đều đúng theo định nghĩa về căn bậc hai đã học

Vậy khẳng định sai là B.

3Cách 3. Suy luận loại suy từ khẳng định đúng đã biết ở Câu 1

Ở Câu 1 đã xác nhận khẳng định đúng "các số thực dương có hai căn bậc hai đối nhau", ngầm cho thấy căn bậc hai chỉ dành cho số không âm; dùng lại tri thức đó để suy luận nhanh về căn bậc ba mà không cần tính toán lại.

Đã biết: căn bậc hai chỉ tồn tại với số không âm, còn căn bậc ba tồn tại với MỌI số thực — đây là khác biệt cốt lõi giữa hai loại căn

Áp dụng cho

- 216

(một số âm cụ thể): căn bậc hai của nó không tồn tại (khớp C, D đúng), nhưng căn bậc ba của nó vẫn tồn tại

Khẳng định B phát biểu ngược lại điều đó ("không có căn bậc ba"), nên B sai; còn A đúng vì nói đúng về số dương, không liên quan tới

- 216

Vậy khẳng định sai là B, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhẩm ngay

6^{3} = 216

nên

(- 6)^{3} = - 216

, chỉ một dòng tính toán là bác bỏ được B chắc chắn, không cần lập luận lý thuyết dài.

Đáp số. Khẳng định sai là B. Số

- 216

không có căn bậc ba.

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn quy tắc của căn bậc hai sang căn bậc ba, tưởng số âm cũng ‘không có căn bậc ba’ như không có căn bậc hai, trong khi

3 - 216 = - 6

là một số thực xác định.

🚀 Mở rộng. Tính

3 - 1000

và

3 - 0, 027

bằng cách tìm số mà lập phương đúng bằng các giá trị đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 39— Tính căn bậc hai của một số thập phân bằng cách quy về dữ kiện đã cho

Cho biết

3, 1^{2} = 9, 61

. Số nào sau đây là giá trị của

0, 000961

?
A.

3, 1

.
B.

0, 31

.
C.

0, 031

.
D.

0, 000031

Kiến thức cần nhớ

$a \cdot b = a \cdot b$ với $a, b \geq 0$ .
$1 0^{2 n} = 1 0^{n}$ với $n$ nguyên (số mũ chẵn thì căn bậc hai vẫn là luỹ thừa nguyên của $10$ ).
Di chuyển dấu phẩy: nhân một số thập phân với $1 0^{- 4}$ tức là dịch dấu phẩy sang trái $4$ chữ số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★★Trang 39— Phân biệt các biểu thức chứa căn và luỹ thừa bậc hai lồng nhau

Biểu thức nào sau đây có giá trị khác với các biểu thức còn lại?
A.

7^{2}

.
B.

(- 7)^{2}

.
C.

(- 7)^{2}

.
D.

- (7)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} = ∣ x ∣$ với mọi số thực $x$ ; đặc biệt $7^{2} = (- 7)^{2} = 7$ .
$(- a)^{2} = (a)^{2} = a$ với $a \geq 0$ — bình phương triệt tiêu dấu trừ bên trong.
$- (a)^{2} = - a$ — dấu trừ đứng ngoài không bị triệt tiêu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 40— Dùng căn bậc ba để tìm cạnh khối lập phương từ thể tích, có đổi đơn vị đo

Độ dài cạnh khối lập phương có thể tích bằng

0, 512 dm^{3}

là
A.

8 cm

.
B.

8 dm

.
C.

0, 8 cm

.
D.

0, 08 dm

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối lập phương cạnh $a$ : $V = a^{3}$ , suy ra $a = 3 V$ .
$0, 512 = 0, 8^{3}$ (vì $0, 8 \times 0, 8 \times 0, 8 = 0, 512$ ).
Đổi đơn vị độ dài: $1 dm = 10 cm$ , nên $0, 8 dm = 8 cm$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 3.28★★Trang 40— Nhân và bình phương các biểu thức chứa căn thức lồng đối xứng

Thực hiện phép tính:
a)

12 - 23 \cdot 12 + 23

(9 - 17 + 9 + 17)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Với $a, b \geq 0$ : $a \cdot b = ab$ .
Hằng đẳng thức $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2}$ áp dụng được cho cả biểu thức chứa căn.
$a - b \cdot a + b = a^{2} - b^{2}$ khi $a \geq ∣ b ∣$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 3.29★★★Trang 40— So sánh hai biểu thức chứa căn thức lồng nhau bằng cách đưa về dạng bình phương đúng

So sánh

89 + 245

và

1 + 122

Kiến thức cần nhớ

Với $x, y \geq 0$ : $x < y \Leftrightarrow x < y$ (hàm căn bậc hai đồng biến trên $[0; + \infty)$ ).
Nhận diện bình phương đúng dạng $a^{2} + 5 b^{2} + 2 ab 5 = (a + b 5)^{2}$ để bóc bớt một lớp căn.
So sánh hai biểu thức không âm bằng cách bình phương liên tiếp cả hai vế, giữ chiều bất đẳng thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 3.30★★★Trang 40— Chứng minh đẳng thức chứa căn lồng và dùng kết quả để rút gọn luỹ thừa bậc cao

a) Chứng minh rằng

3 + 5 \cdot 3 - 5 = 2

và

3 + 5 + 3 - 5 = 10

.
b) Rút gọn các biểu thức sau:

A = (3 + 5)^{3} + (3 - 5)^{3}

và

B = (3 + 5)^{5} + (3 - 5)^{5}

Kiến thức cần nhớ

Với $a, b \geq 0$ : $a \cdot b = ab$ ; và $(a + b)^{2} = a + b + 2 ab$ .
Đặt $u = 3 + 5$ , $v = 3 - 5$ : $u^{2} + v^{2} = 6$ , $uv = 2$ , $u + v = 10$ .
Công thức tổng luỹ thừa qua tổng và tích: $u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})$ ; $u^{n + 1} + v^{n + 1} = (u + v) (u^{n} + v^{n}) - uv (u^{n - 1} + v^{n - 1})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 3.31★★Trang 40— Tính giá trị biểu thức chứa căn bằng cách thay điều kiện ràng buộc để triệt tiêu căn thức

Cho

x, y

là hai số dương thoả mãn

x^{2} + y^{2} = 1

. Tính giá trị biểu thức

A = x - y + 1 - x^{2} - 1 - y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Từ $x^{2} + y^{2} = 1$ suy ra $1 - x^{2} = y^{2}$ và $1 - y^{2} = x^{2}$ .
Với số dương $x$ : $x^{2} = x$ (không cần trị tuyệt đối vì đã biết dấu).
Kết quả $A = 0$ không phụ thuộc giá trị cụ thể của $x, y$ , miễn thoả điều kiện đề cho.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 3.32★★★Trang 40— Khai triển hằng đẳng thức rồi dùng kết quả để rút gọn căn thức lồng nhiều tầng

a) Khai triển

(2 - 3)^{2}

và

(23 - 3)^{2}

thành những biểu thức không còn bình phương.
b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

A = 4 - 23 - 21 - 123

và

B = 2 + 3 + 4 - 23 - 21 - 123

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ ; cần xác định dấu của biểu thức trong ngoặc trước khi bỏ trị tuyệt đối.
$3 \approx 1, 732$ nên $23 \approx 3, 464 > 3$ , tức $23 - 3 > 0$ ; và $2 > 3$ nên $2 - 3 > 0$ .