Bài tập cuối chương III

Định hướng. Căn bậc hai của $4$ là mọi số $x$ sao cho $x^2=4$; liệt kê hết nghiệm của phương trình này.

Vậy căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$, chọn $\boxed{\text{C}}$.

Định hướng. Với $a=b^2$ ($b\ge 0$), căn bậc hai của $a$ luôn là cặp số đối nhau $b$ và $-b$; chỉ cần viết $4$ dưới dạng bình phương rồi lấy đối.

Vậy chọn $\boxed{\text{C}}$.

Định hướng. Bình phương từng số trong bốn phương án, phương án nào cho đúng hai số có bình phương bằng $4$ và không thừa không thiếu thì đó là đáp án.

Vậy chọn $\boxed{\text{C}}$.

Nhận xét. Chỉ có đúng một phương án liệt kê đủ và đúng hai căn bậc hai — cách loại trừ này giúp tự tin khi làm trắc nghiệm dù quên định nghĩa.

Định hướng. Tìm số không âm có bình phương bằng $49$ theo đúng định nghĩa căn bậc hai số học.

Vậy căn bậc hai số học của $49$ là $7$, chọn $\boxed{\text{A}}$.

Định hướng. Viết $49$ dưới dạng $b^2$ với $b\ge 0$ rồi lấy $\sqrt{49}=b$ theo công thức đã học.

Vậy chọn $\boxed{\text{A}}$.

Định hướng. Căn bậc hai số học của một số dương luôn là MỘT số không âm duy nhất; xét từng phương án theo hai tiêu chí đó để loại dần.

Vậy chọn $\boxed{\text{A}}$.

Nhận xét. Cứ thấy đề hỏi ‘căn bậc hai số học’ thì đáp số chỉ có một số không âm — loại ngay mọi phương án âm hoặc có hai giá trị.

Định hướng. Đặt $x=4-\sqrt{17}$ rồi áp dụng ngay công thức căn bậc ba của luỹ thừa bậc ba, đúng với mọi số thực $x$ không phân biệt âm dương.

Vậy chọn $\boxed{\text{B}}$.

Định hướng. Kiểm tra dấu của biểu thức trong ngoặc để thấy rõ vì sao không cần đổi dấu như khi làm căn bậc hai của bình phương.

Vậy chọn $\boxed{\text{B}}$.

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của biểu thức đã cho và của cả bốn phương án, phương án nào có giá trị trùng khớp là đáp án.

Vậy chọn $\boxed{\text{B}}$.

Nhận xét. Cách ước lượng chỉ nên dùng để kiểm tra lại, vì so sánh số gần đúng không thay được một phép chứng minh chặt chẽ.

Định hướng. Từ công thức diện tích, giải ngược để tìm bán kính $r\ge 0$, sau đó nhân đôi theo đúng quan hệ giữa bán kính và đường kính.

Vậy $d\approx 2,26$ m (làm tròn đến hàng phần trăm), chọn $\boxed{\text{A}}$.

Định hướng. Thay $r=\sqrt{S/\pi }$ vào $d=2r$ để có ngay công thức $d=2\sqrt{S/\pi }$, tránh phải tính $r$ như một bước trung gian riêng.

Vậy $d\approx 2,26$ m, chọn $\boxed{\text{A}}$.

Định hướng. Từ mỗi phương án đường kính, tính lại bán kính rồi diện tích $S=\pi r^2$; phương án nào cho $S$ gần $4{\text{ m}}^2$ nhất là đáp án đúng.

Vậy chọn $\boxed{\text{A}}$.

Nhận xét. Phương án C dễ bị chọn nhầm vì đúng bằng bán kính chứ không phải đường kính — luôn kiểm tra lại đề hỏi đại lượng nào trước khi khoanh.

Định hướng. Vật chạm đất khi $S=396,9$; thay vào công thức đã cho để được một phương trình chỉ chứa $t^2$, giải bằng căn bậc hai rồi loại nghiệm âm.

Vậy vật chạm đất sau $9$ giây, chọn $\boxed{\text{D}}$.

Định hướng. Từ $S=4,9t^2$ rút $t$ theo $S$ ngay từ đầu thành $t=\sqrt{S/4,9}$ (lấy nghiệm dương vì $t$ là thời gian), rồi thế số một lần.

Vậy chọn $\boxed{\text{D}}$.

Định hướng. Thay lần lượt bốn giá trị $t$ vào $S=4,9t^2$, phương án nào cho đúng $396,9$ là đáp án.

Vậy chọn $\boxed{\text{D}}$.

Nhận xét. Cách thử này chắc chắn nhưng chậm hơn giải phương trình trực tiếp; chỉ nên dùng khi còn dư thời gian kiểm tra lại.

Định hướng. Áp dụng $\sqrt{x^2}=|x|$ cho hai số hạng đầu (chú ý xét dấu), trục căn thức số hạng thứ ba, rồi cộng trừ.

Vậy $A=4$.

Định hướng. Đổi thứ tự xử lý: trục căn thức mẫu số của số hạng thứ ba trước, sau đó mới rút gọn hai số hạng đầu bằng trị tuyệt đối.

Vậy $A=4$, khớp Cách 1.

Định hướng. Xem $\sqrt{3}$ như một biến $a$ (chỉ biết $1<a<2$ để xét dấu), viết $A$ thành biểu thức đại số theo $a$, thu gọn rồi mới thay $a=\sqrt{3}$ vào bước cuối.

Vậy $A=4$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Các hạng tử chứa $a$ triệt tiêu hết với nhau, nên kết quả $A=4$ không phụ thuộc giá trị cụ thể của $a$ miễn $1<a<2$ — dấu hiệu đề đã được thiết kế ‘đẹp’.

Định hướng. Quy đồng hai phân thức về mẫu chung $x-4$, khai triển tử số bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn.

Vậy a) $A=\frac{x+12}{x-4}$; b) $A=\frac{13}{5}$ khi $x=14$.

Định hướng. Viết $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-2}$ bằng phép chia, đưa bài toán về cộng trừ hai phân thức có tử số bằng nhau, mẫu số đơn giản hơn.

Vậy kết quả khớp Cách 1: a) $A=\frac{x+12}{x-4}$; b) $A=\frac{13}{5}$.

Định hướng. Đặt $t=\sqrt{x}$ ($t>0,t\ne 2$) để biểu thức chỉ còn biến $t$, quy đồng như một phân thức đại số quen thuộc rồi mới trả về biến $x$ và thế số.

Vậy khớp hai cách trên: a) $A=\frac{x+12}{x-4}$; b) $A=\frac{13}{5}$.

Nhận xét. Đặt $t=\sqrt{x}$ biến bài toán căn thức thành phân thức đại số quen thuộc, hữu ích khi biểu thức phức tạp hơn nhiều tầng căn.

Định hướng. Thế $R=10$, $t=5$ và từng giá trị $I$ vào công thức gốc để lập bảng; sang câu b thì cho $Q=800$ và giải phương trình $I^{2}Rt=800$ để tìm $I$.

Vậy a) $Q$ lần lượt là $50\text{ J}$, $112,5\text{ J}$, $200\text{ J}$; b) $I=4$ A.

Định hướng. Thay $R=10$, $t=5$ vào công thức tổng quát một lần duy nhất để được công thức riêng $Q=50I^2$, rồi dùng công thức gọn này cho cả câu a) và câu b).

Vậy khớp Cách 1: a) $50\text{ J}$, $112,5\text{ J}$, $200\text{ J}$; b) $I=4$ A.

Định hướng. Vì $R$, $t$ không đổi nên $Q$ tỉ lệ thuận với $I^2$; chỉ cần tính $Q$ tại $I=1$ làm mốc, các giá trị còn lại và câu b) suy ra bằng tỉ số bình phương mà không cần thế lại từ công thức gốc.

Vậy khớp hai cách trên: a) $50\text{ J}$, $112,5\text{ J}$, $200\text{ J}$; b) $I=4$ A.

Nhận xét. Tính chất tỉ lệ thuận với bình phương giúp suy luận nhanh không cần tính toán lại từ đầu, rất hữu ích khi bảng có nhiều cột hơn.