Chương III. Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài tập cuối chương III

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 3.32★Trang 65— Nhận biết căn bậc hai của một số dương

3.32 (trang 65). Căn bậc hai của

4

là
A.

2

. B.

- 2

. C.

2

và

- 2

. D.

2

và

- 2

Kiến thức cần nhớ

Căn bậc hai của một số $a > 0$ là số $x$ thoả mãn $x^{2} = a$ ; số dương $a$ luôn có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
Căn bậc hai của $0$ chỉ có một giá trị là $0$ ; số âm không có căn bậc hai (trong tập số thực).
Căn bậc hai số học của $a$ (kí hiệu $a$ ) là căn bậc hai không âm của $a$ , khác với ‘căn bậc hai của $a$ ’ gồm cả hai giá trị.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi thẳng ‘căn bậc hai của

4

’ chứ không phải ‘căn bậc hai số học của

4

’ — dấu hiệu để nhớ có hai giá trị đối nhau chứ không chỉ một số không âm. Hướng an toàn nhất là quay về định nghĩa: tìm mọi số mà bình phương bằng

4

, vì khai triển trực tiếp tránh nhầm với các phép khai căn khác. Bẫy của đề nằm ở việc trộn hai khái niệm gần giống nhau, và phương án D càng dễ gây rối vì đưa thêm cả căn bậc hai của

2

vào để đánh lừa.

1Cách 1. Quay lại định nghĩa, giải phương trình

x^{2} = 4

Định hướng. Căn bậc hai của $4$ là mọi số $x$ sao cho $x^{2} = 4$ ; liệt kê hết nghiệm của phương trình này.

x^{2} = 4

x^{2} - 4 = 0

(x - 2) (x + 2) = 0

x = 2

hoặc

x = - 2

Vậy căn bậc hai của $4$ là $2$ và $- 2$ , chọn $C$ .

2Cách 2. Áp dụng trực tiếp công thức căn bậc hai của một số chính phương

Định hướng. Với $a = b^{2}$ ( $b \geq 0$ ), căn bậc hai của $a$ luôn là cặp số đối nhau $b$ và $- b$ ; chỉ cần viết $4$ dưới dạng bình phương rồi lấy đối.

4 = 2^{2}

Căn bậc hai của

4

là

2

và

- 2

Vậy chọn $C$ .

3Cách 3. Kiểm tra từng phương án bằng phép bình phương

Định hướng. Bình phương từng số trong bốn phương án, phương án nào cho đúng hai số có bình phương bằng $4$ và không thừa không thiếu thì đó là đáp án.

2^{2} = 4

nhưng thiếu số

- 2

— sai vì chưa đủ
B.

(- 2)^{2} = 4

nhưng thiếu số

2

— sai vì chưa đủ
C.

2^{2} = 4

và

(- 2)^{2} = 4

, đủ cả hai số đối nhau — đúng
D.

(2)^{2} = 2 \neq = 4

— sai

Vậy chọn $C$ .

Nhận xét. Chỉ có đúng một phương án liệt kê đủ và đúng hai căn bậc hai — cách loại trừ này giúp tự tin khi làm trắc nghiệm dù quên định nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay

4 = 2^{2}

rồi viết cặp số đối

\pm 2

, nhanh hơn hẳn việc giải phương trình đầy đủ ở Cách 1.

Đáp số. Chọn C.

2

và

- 2

Sai lầm thường gặp. Nhầm ‘căn bậc hai của

4

’ với ‘căn bậc hai số học của

4

’ nên chỉ chọn A (

2

), bỏ sót nghiệm âm; hoặc chọn D vì thấy có dấu căn trong đề nên nghĩ đáp số cũng phải chứa dấu căn, trong khi

4

là số chính phương nên căn bậc hai của nó là số nguyên.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành ‘căn bậc hai của

0, 25

’, vẫn dùng Cách 2:

0, 25 = 0, 5^{2}

nên căn bậc hai là

0, 5

và

- 0, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.33★Trang 65— Nhận biết căn bậc hai số học của một số chính phương

3.33 (trang 65). Căn bậc hai số học của

49

là
A.

7

. B.

- 7

. C.

7

và

- 7

. D.

7

và

- 7

Kiến thức cần nhớ

Căn bậc hai số học của số $a \geq 0$ là số $x \geq 0$ duy nhất thoả mãn $x^{2} = a$ , kí hiệu $a$ .
$a$ luôn là một số không âm; đề bài hỏi ‘căn bậc hai số học’ thì chỉ có đúng một đáp số.
Với $a = b^{2}$ , $b \geq 0$ : $a = b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khác với câu 3.32, đề lần này hỏi đúng cụm ‘căn bậc hai số học’ — dấu hiệu để nhớ chỉ lấy đúng một giá trị không âm chứ không phải cặp số đối. Hướng an toàn là đưa

49

về dạng bình phương của số không âm rồi lấy thẳng số đó làm kết quả duy nhất. Bẫy của đề đặt ngay các phương án B, C dễ khiến học sinh vừa học xong bài ‘căn bậc hai của một số’ nhầm lẫn ngược trở lại.

1Cách 1. Dùng định nghĩa căn bậc hai số học

Định hướng. Tìm số không âm có bình phương bằng $49$ theo đúng định nghĩa căn bậc hai số học.

Số không âm

x

thoả mãn

x^{2} = 49

là

x = 7

(vì

7 \geq 0

và

7^{2} = 49

)

Vậy căn bậc hai số học của $49$ là $7$ , chọn $A$ .

2Cách 2. Đưa 49 về dạng bình phương rồi áp dụng công thức

b^{2} = b

Định hướng. Viết $49$ dưới dạng $b^{2}$ với $b \geq 0$ rồi lấy $49 = b$ theo công thức đã học.

49 = 7^{2}

7 \geq 0

49 = 7^{2} = 7

Vậy chọn $A$ .

3Cách 3. Loại trừ bằng dấu và số lượng đáp số

Định hướng. Căn bậc hai số học của một số dương luôn là MỘT số không âm duy nhất; xét từng phương án theo hai tiêu chí đó để loại dần.

- 7

là số âm — trái với định nghĩa ‘không âm’, loại
C. gồm hai số

7

và

- 7

— ‘căn bậc hai số học’ chỉ có một giá trị, loại
D.

7

không âm nhưng

(7)^{2} = 7 \neq = 49

, loại
A.

7 \geq 0

và

7^{2} = 49

— thoả cả hai điều kiện

Vậy chọn $A$ .

Nhận xét. Cứ thấy đề hỏi ‘căn bậc hai số học’ thì đáp số chỉ có một số không âm — loại ngay mọi phương án âm hoặc có hai giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra

49 = 7^{2}

rồi viết thẳng

49 = 7

, chỉ một dòng, không cần lập luận dài.

Đáp số. Chọn A.

7

Sai lầm thường gặp. Nhầm sang khái niệm ‘căn bậc hai của

49

’ (có hai giá trị) nên chọn nhầm C; hoặc quên điều kiện không âm nên chọn nhầm B.

🚀 Mở rộng. Tương tự, căn bậc hai số học của

0, 81

là

0, 9

vì

0, 81 = 0, 9^{2}

và

0, 9 \geq 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.34★★Trang 65— Rút gọn căn bậc ba của một luỹ thừa bậc ba

3.34 (trang 65). Rút gọn biểu thức

3 (4 - 17)^{3}

ta được
A.

4 + 17

. B.

4 - 17

. C.

17 - 4

. D.

- 4 - 17

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $x$ (âm, dương hay $0$ ): $3 x^{3} = x$ — không cần điều kiện về dấu, khác hẳn $x^{2} = ∣ x ∣$ .
$17 \approx 4, 123$ nên $4 - 17 < 0$ , nhưng căn bậc ba của một số âm vẫn là chính nó, không đổi dấu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng dạng

3 (\dots)^{3}

— dấu hiệu để dùng ngay công thức căn bậc ba của luỹ thừa bậc ba, khác hẳn căn bậc hai vì căn bậc ba không cần xét dấu hay dùng trị tuyệt đối. Vì

17 \approx 4, 123 > 4

nên

4 - 17

là một số âm, nhưng với căn bậc ba điều đó không gây rắc rối gì. Bẫy của đề là đưa các phương án B và D nhìn gần giống nhau, khiến học sinh quen phản xạ ‘căn bậc hai thì phải đổi dấu số âm thành dương’ rồi lỡ tay áp dụng sai sang bài này.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức

3 x^{3} = x

Định hướng. Đặt $x = 4 - 17$ rồi áp dụng ngay công thức căn bậc ba của luỹ thừa bậc ba, đúng với mọi số thực $x$ không phân biệt âm dương.

Đặt

x = 4 - 17

3 (4 - 17)^{3} = 3 x^{3} = x

3 (4 - 17)^{3} = 4 - 17

Vậy chọn $B$ .

2Cách 2. Xét dấu của

4 - 17

để phân biệt với trường hợp căn bậc hai

Định hướng. Kiểm tra dấu của biểu thức trong ngoặc để thấy rõ vì sao không cần đổi dấu như khi làm căn bậc hai của bình phương.

17 \approx 4, 123

4 - 17 \approx 4 - 4, 123 = - 0, 123 < 0

Với

y = 4 - 17 < 0

3 y^{3} = y

(căn bậc ba giữ nguyên dấu, không lấy trị tuyệt đối)

3 (4 - 17)^{3} = 4 - 17

Vậy chọn $B$ .

3Cách 3. Ước lượng bằng giá trị gần đúng rồi đối chiếu bốn phương án

Định hướng. Tính giá trị gần đúng của biểu thức đã cho và của cả bốn phương án, phương án nào có giá trị trùng khớp là đáp án.

3 (4 - 17)^{3} \approx 3 (- 0, 123)^{3} \approx - 0, 123

4 + 17 \approx 8, 123

— loại
B.

4 - 17 \approx - 0, 123

— khớp
C.

17 - 4 \approx 0, 123

— sai dấu, loại
D.

- 4 - 17 \approx - 8, 123

— loại

Vậy chọn $B$ .

Nhận xét. Cách ước lượng chỉ nên dùng để kiểm tra lại, vì so sánh số gần đúng không thay được một phép chứng minh chặt chẽ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức

3 x^{3} = x

, chỉ một dòng và không có nguy cơ nhầm dấu như khi làm với căn bậc hai.

Đáp số. Chọn B.

4 - 17

Sai lầm thường gặp. Nhầm quy tắc căn bậc hai

x^{2} = ∣ x ∣

sang căn bậc ba nên đổi dấu số âm thành dương, chọn nhầm C (

17 - 4

) — thực ra căn bậc ba không cần lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với mọi số thực

a

b

thì

3 (a - b)^{3} = a - b

dù

a - b

mang dấu gì; thử áp dụng cho

3 (1 - 5)^{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.35★★Trang 65— Vận dụng công thức diện tích hình tròn và căn bậc hai để tính đường kính

3.35 (trang 65). Độ dài đường kính (mét) của hình tròn có diện tích

4 m^{2}

sau khi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai bằng
A.

2, 26

. B.

2, 50

. C.

1, 13

. D.

1, 12

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình tròn bán kính $r$ : $S = π r^{2}$ , suy ra $r = \frac{S}{π}$ .
Đường kính $d = 2 r$ .
Số $π \approx 3, 14159$ là số vô tỉ, nên các phép tính liên quan thường phải làm tròn theo yêu cầu đề bài.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho diện tích và hỏi đường kính, ngược lại với công thức quen thuộc

S = π r^{2}

tính diện tích từ bán kính — dấu hiệu phải giải ngược để tìm

r

rồi suy ra

d

. Vì

π

là số vô tỉ nên

r = 4/ π

chắc chắn chứa căn bậc hai, đúng chủ đề của chương. Bẫy dễ gặp nhất là quên nhân đôi để chuyển từ bán kính sang đường kính (rơi vào phương án C, D).

1Cách 1. Tính bán kính trước rồi nhân đôi ra đường kính

Định hướng. Từ công thức diện tích, giải ngược để tìm bán kính $r \geq 0$ , sau đó nhân đôi theo đúng quan hệ giữa bán kính và đường kính.

S = π r^{2} = 4

r^{2} = \frac{4}{π}

r = \frac{4}{π} \approx 1, 1284

d = 2 r \approx 2 \cdot 1, 1284 \approx 2, 2568

Vậy $d \approx 2, 26$ m (làm tròn đến hàng phần trăm), chọn $A$ .

2Cách 2. Rút gọn thẳng công thức đường kính theo diện tích rồi thế số một lần

Định hướng. Thay $r = S / π$ vào $d = 2 r$ để có ngay công thức $d = 2 S / π$ , tránh phải tính $r$ như một bước trung gian riêng.

d = 2 r = 2 \frac{S}{π}

d = 2 \frac{4}{π} = \frac{4}{π}

d \approx \frac{4}{1 , 7725} \approx 2, 2568

Vậy $d \approx 2, 26$ m, chọn $A$ .

3Cách 3. Thử ngược từng phương án vào công thức diện tích

Định hướng. Từ mỗi phương án đường kính, tính lại bán kính rồi diện tích $S = π r^{2}$ ; phương án nào cho $S$ gần $4 m^{2}$ nhất là đáp án đúng.

d = 2, 26 \Rightarrow r = 1, 13 \Rightarrow S = π \cdot 1, 1 3^{2} \approx 4, 011

— rất gần

4

d = 2, 50 \Rightarrow r = 1, 25 \Rightarrow S = π \cdot 1, 2 5^{2} \approx 4, 909

— quá xa

4

d = 1, 13 \Rightarrow r = 0, 565 \Rightarrow S \approx 1, 003

— quá xa

4

d = 1, 12 \Rightarrow r = 0, 56 \Rightarrow S \approx 0, 985

— quá xa

4

Vậy chọn $A$ .

Nhận xét. Phương án C dễ bị chọn nhầm vì đúng bằng bán kính chứ không phải đường kính — luôn kiểm tra lại đề hỏi đại lượng nào trước khi khoanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gộp thẳng công thức

d = 2 S / π

rồi bấm máy một lần, tránh sai số làm tròn qua nhiều bước trung gian như Cách 1.

Đáp số. Chọn A.

2, 26

Sai lầm thường gặp. Tính đúng bán kính

r \approx 1, 13

nhưng quên nhân đôi nên chọn nhầm C, đó chính là bán kính chứ không phải đường kính.

🚀 Mở rộng. Nếu diện tích đổi thành

9 m^{2}

, đường kính là

d = 2 9/ π = 6/ π \approx 3, 39

m — thử làm tròn đến hàng phần trăm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.36★★Trang 65— Vận dụng căn bậc hai để giải bài toán chuyển động rơi tự do

3.36 (trang 65). Một vật rơi tự do từ độ cao

396, 9

m. Biết quãng đường chuyển động

S

(mét) của vật phụ thuộc vào thời gian

t

(giây) bởi công thức

S = 4, 9 t^{2}

. Vật chạm đất sau
A.

8

giây. B.

5

giây. C.

11

giây. D.

9

giây.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình khuyết dạng $t^{2} = a$ với $a > 0$ có hai nghiệm $t = a$ và $t = - a$ .
Trong bài toán thực tế về thời gian, chỉ nhận nghiệm dương (loại nghiệm âm vì thời gian không thể âm).
$81 = 9^{2}$ nên $81 = 9$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vật chạm đất khi quãng đường đi được

S

bằng đúng độ cao ban đầu

396, 9

m — dấu hiệu để thay

S = 396, 9

vào công thức đã cho rồi giải phương trình bậc hai khuyết bằng căn bậc hai. Hướng an toàn là chia trước để cô lập

t^{2}

rồi mới khai căn, tránh khai căn cả một biểu thức chưa rút gọn dễ sai số. Bẫy của đề nằm ở việc thời gian

t

phải dương, nên dù phương trình

t^{2} = 81

có hai nghiệm

\pm 9

vẫn chỉ nhận nghiệm dương.

1Cách 1. Thay số rồi giải phương trình bậc hai khuyết

Định hướng. Vật chạm đất khi $S = 396, 9$ ; thay vào công thức đã cho để được một phương trình chỉ chứa $t^{2}$ , giải bằng căn bậc hai rồi loại nghiệm âm.

S = 4, 9 t^{2} = 396, 9

t^{2} = \frac{396 , 9}{4 , 9} = 81

t = 9

hoặc

t = - 9

Vì

t

là thời gian nên

t > 0

, loại

t = - 9

Vậy vật chạm đất sau $9$ giây, chọn $D$ .

2Cách 2. Đưa thẳng về công thức tính thời gian rơi

Định hướng. Từ $S = 4, 9 t^{2}$ rút $t$ theo $S$ ngay từ đầu thành $t = S /4, 9$ (lấy nghiệm dương vì $t$ là thời gian), rồi thế số một lần.

t = \frac{S}{4 , 9}

(với

t > 0

)

t = \frac{396 , 9}{4 , 9} = 81

t = 9

Vậy chọn $D$ .

3Cách 3. Thử ngược từng phương án vào công thức

Định hướng. Thay lần lượt bốn giá trị $t$ vào $S = 4, 9 t^{2}$ , phương án nào cho đúng $396, 9$ là đáp án.

t = 8 \Rightarrow S = 4, 9 \cdot 64 = 313, 6

— khác

396, 9

t = 5 \Rightarrow S = 4, 9 \cdot 25 = 122, 5

— khác

396, 9

t = 11 \Rightarrow S = 4, 9 \cdot 121 = 592, 9

— khác

396, 9

t = 9 \Rightarrow S = 4, 9 \cdot 81 = 396, 9

— đúng

Vậy chọn $D$ .

Nhận xét. Cách thử này chắc chắn nhưng chậm hơn giải phương trình trực tiếp; chỉ nên dùng khi còn dư thời gian kiểm tra lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết sẵn công thức ngược

t = S /4, 9

rồi bấm máy một lần, nhanh và ít khả năng sai hơn Cách 3.

Đáp số. Chọn D.

9

giây.

Sai lầm thường gặp. Quên loại nghiệm âm khi giải

t^{2} = 81

nên phân vân giữa

t = 9

và

t = - 9

; hoặc chia sai

396, 9 : 4, 9

dẫn đến số dưới căn không phải số chính phương.

🚀 Mở rộng. Nếu độ cao ban đầu là

122, 5

m, vật chạm đất sau

122, 5/4, 9 = 25 = 5

giây — đúng bằng phương án B của câu này, cho thấy đề đã cài các độ cao khác nhau ứng với từng phương án nhiễu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.37★★Trang 65— Tính giá trị biểu thức chứa căn bậc hai bằng cách đưa về trị tuyệt đối và trục căn thức

3.37 (trang 65). Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

A = (3 - 2)^{2} + 4 (2 + 3)^{2} - \frac{1}{2 - 3}

Kiến thức cần nhớ

Với mọi số thực $x$ : $x^{2} = ∣ x ∣$ ; nếu $x \geq 0$ thì $∣ x ∣ = x$ , nếu $x < 0$ thì $∣ x ∣ = - x$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{a + b}{a ^{2} - b ^{2}}$ khi $a^{2} \neq = b^{2}$ .
$3 \approx 1, 732$ , nên so sánh được $3 - 2 < 0$ và $2 + 3 > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai số hạng dạng

(\dots)^{2}

— dấu hiệu phải dùng công thức

x^{2} = ∣ x ∣

chứ không được bỏ căn một cách máy móc, vì dấu của biểu thức trong ngoặc chưa biết trước. Số hạng thứ ba có mẫu chứa căn nên cần trục căn thức trước khi cộng trừ với hai số hạng đầu. Bẫy lớn nhất nằm ở dấu của

3 - 2

: vì

3 \approx 1, 732 < 2

nên

3 - 2

âm, khai căn ra phải là

2 - 3

chứ không phải

3 - 2

1Cách 1. Đưa từng số hạng về trị tuyệt đối rồi trục căn thức số hạng cuối

Định hướng. Áp dụng $x^{2} = ∣ x ∣$ cho hai số hạng đầu (chú ý xét dấu), trục căn thức số hạng thứ ba, rồi cộng trừ.

(3 - 2)^{2} = 3 - 2 = 2 - 3

(vì

3 < 2

)

4 (2 + 3)^{2} = 2 2 + 3 = 2 (2 + 3) = 4 + 23

(vì

2 + 3 > 0

)

\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3

A = (2 - 3) + (4 + 23) - (2 + 3)

A = 2 - 3 + 4 + 23 - 2 - 3

A = 4

Vậy $A = 4$ .

2Cách 2. Trục căn thức trước, rồi mới khai căn hai số hạng đầu

Định hướng. Đổi thứ tự xử lý: trục căn thức mẫu số của số hạng thứ ba trước, sau đó mới rút gọn hai số hạng đầu bằng trị tuyệt đối.

\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3

(3 - 2)^{2} = 3 - 2 = 2 - 3

4 (2 + 3)^{2} = (2 (2 + 3))^{2} = 2 (2 + 3) = 4 + 23

A = (2 - 3) + (4 + 23) - (2 + 3) = 4

Vậy $A = 4$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Đặt

a = 3

rồi rút gọn biểu thức đại số theo

a

Định hướng. Xem $3$ như một biến $a$ (chỉ biết $1 < a < 2$ để xét dấu), viết $A$ thành biểu thức đại số theo $a$ , thu gọn rồi mới thay $a = 3$ vào bước cuối.

Đặt

a = 3

(

1 < a < 2

nên

a - 2 < 0

và

2 + a > 0

)

A = (a - 2)^{2} + (2 (2 + a))^{2} - \frac{1}{2 - a}

A = (2 - a) + 2 (2 + a) - \frac{1}{2 - a}

\frac{1}{2 - a} = \frac{2 + a}{( 2 - a ) ( 2 + a )} = \frac{2 + a}{4 - a ^{2}} = \frac{2 + a}{4 - 3} = 2 + a

(vì

a^{2} = 3

)

A = (2 - a) + (4 + 2 a) - (2 + a) = 4

Vậy $A = 4$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Các hạng tử chứa $a$ triệt tiêu hết với nhau, nên kết quả $A = 4$ không phụ thuộc giá trị cụ thể của $a$ miễn $1 < a < 2$ — dấu hiệu đề đã được thiết kế ‘đẹp’.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xử lý theo đúng thứ tự bài cho, không cần đặt ẩn phụ, ít bước trung gian nhất và khó nhầm dấu nhất vì mỗi bước chỉ giải quyết một số hạng.

Đáp số.

A = 4

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu căn

(3 - 2)^{2}

thành thẳng

3 - 2

mà không xét dấu, dẫn đến kết quả sai vì quên công thức

x^{2} = ∣ x ∣

; hoặc quên trục căn thức, cứ giữ nguyên

\frac{1}{2 - 3}

khi cộng trừ nên không rút gọn được.

🚀 Mở rộng. Thử tính

B = (5 - 3)^{2} + 9 (3 + 5)^{2} - \frac{1}{3 - 5}

theo đúng ba bước của Cách 1 để luyện lại kĩ năng xét dấu và trục căn thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.38★★Trang 65— Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rồi tính giá trị tại một điểm

3.38 (trang 65). Cho biểu thức

A = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}

(x > 0, x \neq = 4)

.
a) Rút gọn biểu thức

A

.
b) Tính giá trị của

A

tại

x = 14

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện $x > 0, x \neq = 4$ đảm bảo $x$ xác định và $x - 2 \neq = 0$ .
Hằng đẳng thức: $(x - 2) (x + 2) = x - 4$ và $(x + 2)^{2} = x + 4 x + 4$ .
Sau khi quy đồng, các số hạng chứa $x$ ở tử có thể triệt tiêu nhau, cho kết quả rút gọn không còn dấu căn.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có mẫu

x - 2

và

x + 2

— dấu hiệu quy đồng theo hằng đẳng thức

(x - 2) (x + 2) = x - 4

, đúng lý do điều kiện

x \neq = 4

được cho sẵn. Hướng an toàn là quy đồng và khai triển tử số cẩn thận bằng hằng đẳng thức

(x + 2)^{2}

trước khi rút gọn, để không bỏ sót số hạng chứa

x

. Bẫy ở câu b) là phải dùng đúng biểu thức đã rút gọn để thế số, tránh thế trực tiếp

x = 14

vào biểu thức gốc rồi tính căn thức cồng kềnh.

1Cách 1. Quy đồng mẫu chung

(x - 2) (x + 2)

rồi rút gọn tử

Định hướng. Quy đồng hai phân thức về mẫu chung $x - 4$ , khai triển tử số bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn.

A = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{4}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

A = \frac{( x + 2 ) ^{2} - 4 ( x - 2 )}{x - 4}

A = \frac{x + 4 x + 4 - 4 x + 8}{x - 4}

A = \frac{x + 12}{x - 4}

b) Thay

x = 14

A = \frac{14 + 12}{14 - 4} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}

Vậy a) $A = \frac{x + 12}{x - 4}$ ; b) $A = \frac{13}{5}$ khi $x = 14$ .

2Cách 2. Tách phân thức đầu thành 1 cộng phần dư trước khi trừ

Định hướng. Viết $\frac{x + 2}{x - 2} = 1 + \frac{4}{x - 2}$ bằng phép chia, đưa bài toán về cộng trừ hai phân thức có tử số bằng nhau, mẫu số đơn giản hơn.

\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) + 4}{x - 2} = 1 + \frac{4}{x - 2}

A = 1 + \frac{4}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}

A = 1 + \frac{4 ( x + 2 ) - 4 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

A = 1 + \frac{16}{x - 4}

A = \frac{x - 4 + 16}{x - 4} = \frac{x + 12}{x - 4}

b) Thay

x = 14

A = 1 + \frac{16}{14 - 4} = 1 + \frac{16}{10} = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}

Vậy kết quả khớp Cách 1: a) $A = \frac{x + 12}{x - 4}$ ; b) $A = \frac{13}{5}$ .

3Cách 3. Đặt

t = x

rồi rút gọn như phân thức đại số thông thường

Định hướng. Đặt $t = x$ ( $t > 0, t \neq = 2$ ) để biểu thức chỉ còn biến $t$ , quy đồng như một phân thức đại số quen thuộc rồi mới trả về biến $x$ và thế số.

Đặt

t = x

(

t > 0, t \neq = 2

)

A = \frac{t + 2}{t - 2} - \frac{4}{t + 2} = \frac{( t + 2 ) ^{2} - 4 ( t - 2 )}{( t - 2 ) ( t + 2 )} = \frac{t ^{2} + 12}{t ^{2} - 4}

Thay

t^{2} = x

A = \frac{x + 12}{x - 4}

x = 14 \Rightarrow t = 14

, thế vào

A = \frac{t ^{2} + 12}{t ^{2} - 4} = \frac{14 + 12}{14 - 4} = \frac{13}{5}

Vậy khớp hai cách trên: a) $A = \frac{x + 12}{x - 4}$ ; b) $A = \frac{13}{5}$ .

Nhận xét. Đặt $t = x$ biến bài toán căn thức thành phân thức đại số quen thuộc, hữu ích khi biểu thức phức tạp hơn nhiều tầng căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng trực tiếp theo đúng mẫu bài cho, không cần thêm bước tách hay đặt ẩn phụ, ít khả năng sai dấu khi khai triển hằng đẳng thức.

Đáp số. a)

A = \frac{x + 12}{x - 4}

(với

x > 0, x \neq = 4

); b)

A = \frac{13}{5}

khi

x = 14

Sai lầm thường gặp. Quy đồng nhưng quên đổi dấu khi trừ

4 (x - 2)

, viết nhầm thành

+ 4 (x - 2)

ở tử, dẫn tới đáp số sai còn sót

x

, không rút gọn triệt để.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hạng tử trừ thành

\frac{16}{x - 4}

ngay từ đề, kết quả rút gọn sẽ khác — thử làm lại bằng Cách 1 để thấy vai trò của mẫu số ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.39★★Trang 65— Vận dụng công thức vật lí có luỹ thừa bậc hai và căn bậc hai để lập bảng giá trị và giải ngược tìm ẩn

3.39 (trang 65). Biết rằng nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn được tính bởi công thức

Q = I^{2} R t

, trong đó

Q

là nhiệt lượng tính bằng đơn vị Joule (J),

R

là điện trở tính bằng đơn vị Ohm (

Ω

I

là cường độ dòng điện tính bằng đơn vị Ampe (A),

t

là thời gian tính bằng giây (s). Dòng điện chạy qua một dây dẫn có

R = 10 Ω

trong thời gian

5

giây.
a) Thay dấu "?" trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

$I$ (A)	$1$	$1, 5$	$2$
$Q$ (J)	?	?	?

b) Cường độ dòng điện là bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn đạt

800

Kiến thức cần nhớ

Thế số vào công thức có sẵn: $Q = I^{2} R t = I^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 50 I^{2}$ .
Giải ngược $I$ từ $Q$ : $I^{2} = \frac{Q}{50}$ , rồi $I = Q /50$ (chỉ nhận nghiệm dương vì $I$ là cường độ dòng điện).
$Q$ tỉ lệ thuận với $I^{2}$ khi $R$ , $t$ không đổi: tỉ số $\frac{Q _{2}}{Q _{1}} = (\frac{I _{2}}{I _{1}})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Với

R = 10

và

t = 5

cố định, công thức

Q = I^{2} R t

trở thành

Q = 50 I^{2}

— dấu hiệu

Q

tỉ lệ thuận với bình phương của

I

, nên câu a) chỉ là thế số trực tiếp còn câu b) là bài toán ngược cần dùng căn bậc hai để tìm

I

từ

Q

đã biết. Hướng an toàn là rút gọn công thức về

Q = 50 I^{2}

ngay từ đầu để tránh viết lại

R

t

ở mọi phép tính. Bẫy ở câu b) là quên loại nghiệm âm khi giải

I^{2} = 16

, vì cường độ dòng điện chỉ nhận giá trị dương.

1Cách 1. Thế trực tiếp từng giá trị vào công thức, rồi giải phương trình cho câu b

Định hướng. Thế $R = 10$ , $t = 5$ và từng giá trị $I$ vào công thức gốc để lập bảng; sang câu b thì cho $Q = 800$ và giải phương trình $I^{2} R t = 800$ để tìm $I$ .

I = 1

Q = 1^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 50

I = 1, 5

Q = 1, 5^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 2, 25 \cdot 50 = 112, 5

I = 2

Q = 2^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 4 \cdot 50 = 200

I^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 800

I^{2} = \frac{800}{50} = 16

I = 4

(nhận, vì

I > 0

) hoặc

I = - 4

(loại)

Vậy a) $Q$ lần lượt là $50 J$ , $112, 5 J$ , $200 J$ ; b) $I = 4$ A.

2Cách 2. Rút gọn công thức riêng cho bài toán trước khi thế số

Định hướng. Thay $R = 10$ , $t = 5$ vào công thức tổng quát một lần duy nhất để được công thức riêng $Q = 50 I^{2}$ , rồi dùng công thức gọn này cho cả câu a) và câu b).

Q = I^{2} R t = I^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 50 I^{2}

I = 1 \Rightarrow Q = 50

;

I = 1, 5 \Rightarrow Q = 50 \cdot 2, 25 = 112, 5

;

I = 2 \Rightarrow Q = 50 \cdot 4 = 200

50 I^{2} = 800 \Rightarrow I^{2} = 16 \Rightarrow I = 16 = 4

(nhận nghiệm dương)

Vậy khớp Cách 1: a) $50 J$ , $112, 5 J$ , $200 J$ ; b) $I = 4$ A.

3Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thuận giữa

Q

và

I^{2}

Định hướng. Vì $R$ , $t$ không đổi nên $Q$ tỉ lệ thuận với $I^{2}$ ; chỉ cần tính $Q$ tại $I = 1$ làm mốc, các giá trị còn lại và câu b) suy ra bằng tỉ số bình phương mà không cần thế lại từ công thức gốc.

Mốc:

I = 1 \Rightarrow Q_{1} = 1^{2} \cdot 10 \cdot 5 = 50

I = 1, 5

\frac{Q}{Q _{1}} = (\frac{1 , 5}{1})^{2} = 2, 25 \Rightarrow Q = 2, 25 \cdot 50 = 112, 5

I = 2

\frac{Q}{Q _{1}} = (\frac{2}{1})^{2} = 4 \Rightarrow Q = 4 \cdot 50 = 200

\frac{800}{Q _{1}} = (\frac{I}{1})^{2} \Rightarrow I^{2} = \frac{800}{50} = 16 \Rightarrow I = 4

(nhận nghiệm dương)

Vậy khớp hai cách trên: a) $50 J$ , $112, 5 J$ , $200 J$ ; b) $I = 4$ A.

Nhận xét. Tính chất tỉ lệ thuận với bình phương giúp suy luận nhanh không cần tính toán lại từ đầu, rất hữu ích khi bảng có nhiều cột hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn công thức

Q = 50 I^{2}

ngay từ đầu, dùng chung cho cả hai câu nên tính nhanh và ít sai sót hơn việc lặp lại

R

t

mỗi lần thế số.

Đáp số. a)

Q

lần lượt bằng

50 J

112, 5 J

200 J

ứng với

I = 1; 1, 5; 2

(A); b)

I = 4

Sai lầm thường gặp. Giải

I^{2} = 16

ra cả hai nghiệm

I = 4

và

I = - 4

rồi không loại nghiệm âm, trong khi cường độ dòng điện trong bài toán thực tế chỉ nhận giá trị dương.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thời gian thành

t = 10

giây (giữ

R = 10 Ω

), công thức trở thành

Q = 100 I^{2}

; hãy lập lại bảng câu a) và tìm

I

để

Q = 900

J bằng Cách 3.

Mở bài này trong app ↗