Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1 (trắc nghiệm)★Trang 50— Trắc nghiệm về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Bài 1 (trang 50). Tam giác

A B C

vuông tại

A

thì:
A.

sin B + cos C = 0

;
B.

sin C + cos B = 0

;
C.

sin B - cos C = 0

;
D.

cos B + cos C = 0

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của một tam giác vuông là hai góc phụ nhau.
Với hai góc phụ nhau: $sin B = cos C$ , $cos B = sin C$ , $tan B = cot C$ , $cot B = tan C$ .
Mọi tỉ số lượng giác của một góc nhọn đều là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một tam giác vuông tại

A

mà không cho số đo cạnh nào, nên chắc chắn phải khai thác quan hệ

B + C = 9 0^{\circ}

chứ không phải tính toán. Hướng nhanh nhất là nhớ lại cặp công thức góc phụ nhau

sin B = cos C

cos B = sin C

rồi đọc thẳng vào bốn phương án. Bẫy của đề nằm ở dấu cộng: tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương nên tổng hai tỉ số không thể bằng

0

, chỉ có hiệu mới bằng

0

1Cách 1. Dùng quan hệ hai góc phụ nhau

Định hướng. Chỉ cần biến $cos C$ thành $sin$ của góc phụ với nó rồi so với $sin B$ .

B + C = 9 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - B

cos C = cos (9 0^{\circ} - B)

cos C = sin B

sin B - cos C = 0

Vậy phương án đúng là $C$ .

2Cách 2. Viết cả bốn phương án theo ba cạnh

Định hướng. Đặt tên ba cạnh rồi thay mọi tỉ số bằng phân số cạnh, bốn phương án hiện ra ngay đúng sai.

Đặt

A B = c

A C = b

B C = a

với

b > 0

c > 0

sin B = \frac{b}{a}

;

cos C = \frac{b}{a}

;

sin C = \frac{c}{a}

;

cos B = \frac{c}{a}

sin B - cos C = \frac{b}{a} - \frac{b}{a} = 0

sin B + cos C = \frac{b}{a} + \frac{b}{a} = \frac{2 b}{a} \neq = 0

sin C + cos B = \frac{c}{a} + \frac{c}{a} = \frac{2 c}{a} \neq = 0

cos B + cos C = \frac{c}{a} + \frac{b}{a} = \frac{b + c}{a} \neq = 0

Vậy chỉ phương án $C$ cho kết quả $0$ , ba phương án A, B, D đều sai.

3Cách 3. Đặc biệt hoá bằng tam giác vuông cân rồi loại trừ

Định hướng. Chọn một tam giác vuông cụ thể dễ tính nhất để loại nhanh ba phương án sai.

Lấy tam giác

A B C

vuông cân tại

A

B = C = 4 5^{\circ}

sin B + cos C = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

sin C + cos B = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

cos B + cos C = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

sin B - cos C = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0

Vậy ba phương án A, B, D bị loại, đáp án là $C$ .

Nhận xét. Mọi tỉ số lượng giác của góc nhọn đều dương, nên hễ thấy một phương án là TỔNG của hai tỉ số lượng giác thì loại ngay không cần tính — mẹo này dùng chung cho cả Bài 1 và Bài 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng biến đổi là ra, không phải đặt tên cạnh cũng không phải thử số; Cách 3 chỉ nên dùng khi quên mất công thức góc phụ nhau.

Đáp số. Chọn

C

vì

sin B = cos C

. Ba phương án còn lại sai vì đều là tổng của hai số dương:

sin B + cos C = \frac{2 b}{a}

(A),

sin C + cos B = \frac{2 c}{a}

(B),

cos B + cos C = \frac{b + c}{a}

(D).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ mang máng “góc phụ nhau thì sin bằng cos” rồi thấy phương án A có đủ cả

sin B

và

cos C

nên chọn luôn A. Thực ra

sin B = cos C

dẫn tới HIỆU bằng

0

, còn tổng của chúng là

2 sin B

— với tam giác vuông cân thì tổng đó bằng

2

, khác

0

🚀 Mở rộng. Cũng từ

B + C = 9 0^{\circ}

ta còn có hệ thức đẹp

sin^{2} B + sin^{2} C = sin^{2} B + cos^{2} B = 1

— hãy thử tự đặt một câu trắc nghiệm quanh hệ thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2 (trắc nghiệm)★Trang 50— Trắc nghiệm về quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau

Bài 2 (trang 50). Tam giác

A B C

vuông tại

A

thì:
A.

tan B + tan C = 0

;
B.

tan B + cot C = 0

;
C.

tan B - cot C = 0

;
D.

cot B + cot C = 0

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông tại $A$ : $tan B = \frac{A C}{A B}$ và $cot C = \frac{A C}{A B}$ .
Hai góc phụ nhau: $tan B = cot C$ và $cot B = tan C$ .
$tan α \cdot cot α = 1$ với mọi góc nhọn $α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ xoay quanh

tan

và

cot

của hai góc nhọn trong tam giác vuông, dấu hiệu rõ ràng của cặp công thức

tan B = cot C

. Nên nhìn dấu phép tính trước khi nhìn tên tỉ số: ba phương án A, B, D đều là tổng của hai số dương nên bị loại lập tức. Chỗ dễ nhầm là đổi

tan B

thành

tan C

thay vì

cot C

1Cách 1. Đổi côtang của góc phụ

Định hướng. Thay $cot C$ bằng $tan$ của góc phụ với $C$ rồi đối chiếu với $tan B$ .

B + C = 9 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - B

cot C = cot (9 0^{\circ} - B)

cot C = tan B

tan B - cot C = 0

Vậy phương án đúng là $C$ .

2Cách 2. Quy hết về ba cạnh của tam giác

Định hướng. Mỗi tỉ số là một phân số hai cạnh góc vuông; đưa về phân số rồi so sánh là thấy ngay.

Đặt

A B = c

A C = b

với

b > 0

c > 0

tan B = \frac{b}{c}

;

cot C = \frac{b}{c}

;

tan C = \frac{c}{b}

;

cot B = \frac{c}{b}

tan B - cot C = \frac{b}{c} - \frac{b}{c} = 0

tan B + tan C = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

tan B + cot C = \frac{b}{c} + \frac{b}{c} = \frac{2 b}{c} \neq = 0

cot B + cot C = \frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

Vậy chỉ có $C$ đúng, còn A, B, D đều là tổng của hai số dương nên khác $0$ .

3Cách 3. Thử với hai tam giác quen thuộc

Định hướng. Lấy hai tam giác có tỉ số lượng giác thuộc lòng để kiểm chứng phương án còn lại.

Tam giác vuông cân tại

A

B = C = 4 5^{\circ}

tan B - cot C = 1 - 1 = 0

Tam giác vuông tại

A

có

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

tan B - cot C = tan 6 0^{\circ} - cot 3 0^{\circ} = 3 - 3 = 0

tan B + tan C = 3 + \frac{3}{3} = \frac{4 3}{3} \neq = 0

tan B + cot C = 23 \neq = 0

cot B + cot C = \frac{3}{3} + 3 = \frac{4 3}{3} \neq = 0

Vậy phương án $C$ đúng với cả hai tam giác thử, ba phương án kia sai.

Nhận xét. Một phương án chỉ cần SAI với một tam giác cụ thể là đủ để loại; nhưng muốn KHẲNG ĐỊNH nó đúng thì vẫn phải chứng minh tổng quát như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên chọn Cách 1 khi làm bài thi trắc nghiệm vì chỉ mất một dòng; Cách 2 hơn ở chỗ giải thích luôn được vì sao ba phương án còn lại sai.

Đáp số. Chọn

C

vì

tan B = cot C = \frac{A C}{A B}

. Các phương án sai: A và D đều bằng

\frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

, còn B bằng

\frac{2 b}{c} \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là viết

tan B = tan C

(quên đổi sang côtang) rồi chọn phương án A. Thử ngay tam giác có

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

tan 6 0^{\circ} = 3

còn

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

, hai số này khác nhau.

🚀 Mở rộng. Từ

tan B = cot C

suy ra

tan B \cdot tan C = 1

— hãy thử chứng minh lại hệ thức này chỉ bằng hai cạnh góc vuông rồi mở rộng cho

cot B \cdot cot C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3 (trắc nghiệm)★★Trang 51— Trắc nghiệm tìm câu sai từ một giá trị lượng giác cho trước

Bài 3 (trang 51). Chọn câu SAI. Góc nhọn

α

có

sin α = \frac{1}{2}

thì:
A.

\frac{1}{tan α} = 3

;
B.

\frac{1}{sin α} = 2

;
C.

tan^{2} α = \frac{1}{3}

;
D.

cos^{2} α = \frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ với mọi góc nhọn $α$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và $\frac{1}{tan α} = cot α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng một giá trị

sin α = \frac{1}{2}

và hỏi câu SAI, nên việc đầu tiên là dựng lại toàn bộ bộ tỉ số lượng giác của

α

rồi soi từng phương án. Hướng nhanh nhất là nhận ra

α = 3 0^{\circ}

vì

\frac{1}{2}

là giá trị quen thuộc, khi đó mọi tỉ số đều thuộc lòng. Bẫy lớn nhất là bình phương: từ

sin α = \frac{1}{2}

nhiều bạn suy luôn

cos α = \frac{1}{2}

hoặc

cos^{2} α = \frac{1}{4}

mà quên hệ thức

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

1Cách 1. Nhận ra số đo góc rồi thay giá trị đặc biệt

Định hướng. Giá trị $\frac{1}{2}$ chỉ ứng với góc $3 0^{\circ}$ , thay số vào bốn phương án là xong.

sin α = \frac{1}{2}

α = 3 0^{\circ}

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

;

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

\frac{1}{tan α} = \frac{3}{3} = 3

\frac{1}{sin α} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

tan^{2} α = (\frac{3}{3})^{2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

cos^{2} α = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}

Vậy ba phương án A, B, C đúng, phương án sai là $D$ .

2Cách 2. Chỉ dùng hệ thức lượng giác cơ bản, không cần biết số đo góc

Định hướng. Từ $sin α$ suy ra $cos α$ bằng hệ thức $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ rồi suy tiếp $tan α$ .

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

cos^{2} α = 1 - (\frac{1}{2})^{2}

cos^{2} α = 1 - \frac{1}{4}

cos^{2} α = \frac{3}{4}

tan^{2} α = \frac{sin ^{2} α}{cos ^{2} α} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}

\frac{1}{tan ^{2} α} = 3

nên

\frac{1}{tan α} = 3

\frac{1}{sin α} = 2

Vậy $cos^{2} α = \frac{3}{4} \neq = \frac{1}{4}$ nên câu sai là $D$ .

3Cách 3. Dựng một tam giác vuông mang đúng dữ kiện

Định hướng. Vẽ tam giác vuông có cạnh đối bằng $1$ và cạnh huyền bằng $2$ rồi đọc thẳng các tỉ số trên hình.

Tam giác

M N P

vuông tại

N

M = α

N P = 1

M P = 2

M N^{2} = M P^{2} - N P^{2} = 4 - 1 = 3

M N = 3

sin α = \frac{N P}{M P} = \frac{1}{2}

;

cos α = \frac{M N}{M P} = \frac{3}{2}

tan α = \frac{N P}{M N} = \frac{1}{3}

\frac{1}{tan α} = 3

;

tan^{2} α = \frac{1}{3}

;

cos^{2} α = \frac{3}{4}

Vậy hình vẽ xác nhận A, B, C đúng và $D$ sai.

Nhận xét. Cách dựng hình này còn cho thấy tam giác nói trên chính là nửa tam giác đều cạnh $2$ , nên đường cao của nó bằng $3$ — một hình rất đáng nhớ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì nhận ra

3 0^{\circ}

là xong trong mười giây; Cách 2 dành cho trường hợp giá trị sin không đẹp, khi đó không thể đoán số đo góc.

Đáp số. Câu SAI là

D

vì

cos^{2} α = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

chứ không phải

\frac{1}{4}

. Ba câu còn lại đúng:

\frac{1}{tan α} = 3

(A),

\frac{1}{sin α} = 2

(B),

tan^{2} α = \frac{1}{3}

(C).

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến là “bình phương cả hai vế của

sin α = \frac{1}{2}

rồi gán luôn cho

cos^{2} α

”, tức lẫn lộn

sin^{2} α = \frac{1}{4}

với

cos^{2} α

. Chỉ cần thử lại: nếu

cos^{2} α = \frac{1}{4}

thì

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{1}{2}

, trái với hệ thức cơ bản.

🚀 Mở rộng. Thử đổi giả thiết thành

sin α = \frac{1}{3}

rồi tính lại bốn biểu thức trên: lúc này không còn góc đặc biệt nên bắt buộc phải đi bằng đường của Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.28★★Trang 51— Chứng minh hệ thức giữa hai cạnh của tam giác vuông

Bài 4.28 (trang 51). Chứng minh nếu một góc nhọn của một tam giác vuông có số đo gấp đôi số đo góc nhọn kia thì tam giác đó có một cạnh dài gấp đôi một trong hai cạnh còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Trong tam giác vuông tại $A$ : $A B = B C \cdot sin C$ .
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết “một góc nhọn gấp đôi góc nhọn kia” cộng với “hai góc nhọn phụ nhau” là hai phương trình cho hai ẩn, nên số đo hai góc hoàn toàn xác định trước khi nói tới cạnh. Khi đã có

3 0^{\circ}

và

6 0^{\circ}

thì

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cho ngay quan hệ gấp đôi giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông đối diện góc

3 0^{\circ}

. Bẫy của đề là kết luận mơ hồ “một cạnh gấp đôi một cạnh khác”: phải chỉ đích danh cặp cạnh nào, đó là cạnh huyền và cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

1Cách 1. Tính số đo hai góc rồi dùng tỉ số lượng giác

Định hướng. Hai giả thiết về góc đủ để tìm ra $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ ; sau đó chỉ cần một tỉ số lượng giác.

Xét

△ A B C

vuông tại

A

, giả sử

B = 2 C

B + C = 9 0^{\circ}

2 C + C = 9 0^{\circ}

3 C = 9 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

;

B = 6 0^{\circ}

sin C = \frac{A B}{B C}

\frac{A B}{B C} = sin 3 0^{\circ}

\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}

B C = 2 A B

Vậy cạnh huyền dài gấp đôi cạnh góc vuông đối diện góc $3 0^{\circ}$ : $B C = 2 A B$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng trung tuyến ứng với cạnh huyền

Định hướng. Nối trung điểm cạnh huyền với đỉnh góc vuông sẽ sinh ra một tam giác cân, mà cân có một góc $6 0^{\circ}$ thì đều.

Gọi

M

là trung điểm của

B C

M A = M B = M C = \frac{B C}{2}

△ A B M

có

M A = M B

nên cân tại

M

A B M = B = 6 0^{\circ}

△ A B M

cân có một góc bằng

6 0^{\circ}

nên

△ A B M

đều

A B = M B

A B = \frac{B C}{2}

B C = 2 A B

Vậy vẫn thu được $B C = 2 A B$ mà không cần dùng tỉ số lượng giác nào.

3Cách 3. Dựng thêm điểm đối xứng để có tam giác đều

Định hướng. Lấy đối xứng qua đỉnh góc vuông để biến tam giác vuông thành nửa của một tam giác cân, rồi khai thác góc $6 0^{\circ}$ .

Gọi

D

là điểm đối xứng với

B

qua

A

C A ⊥ B D

tại trung điểm

A

của

B D

nên

C A

là trung trực của

B D

C B = C D

△ B C D

cân tại

C

, lại có

D B C = B = 6 0^{\circ}

△ B C D

đều

B C = B D

B D = 2 A B

B C = 2 A B

Vậy $B C = 2 A B$ — đây chính là cách chứng minh quen thuộc của tính chất nửa tam giác đều.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết luận nhưng khác hẳn nhau về công cụ: tỉ số lượng giác, trung tuyến cạnh huyền và phép đối xứng trục.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 vì đúng mạch chương IV và chỉ mất bốn dòng; Cách 3 hay nhất về mặt ý tưởng nhưng phải vẽ thêm hình nên mất thời gian hơn.

Đáp số. Tam giác vuông đó có

C = 3 0^{\circ}

B = 6 0^{\circ}

và

B C = 2 A B

: cạnh huyền dài gấp đôi cạnh góc vuông đối diện góc

3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là kết luận “cạnh huyền gấp đôi cạnh

A C

”. Với

B = 6 0^{\circ}

thì

A C = B C \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{B C 3}{2}

, tức

B C = \frac{2 A C}{3}

chứ không phải

2 A C

; phải bám vào góc

3 0^{\circ}

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu

B = k C

thì

C = \frac{9 0 ^{\circ}}{k + 1}

và

\frac{A B}{B C} = sin \frac{9 0 ^{\circ}}{k + 1}

— tỉ số này chỉ “đẹp” khi

k = 1

hoặc

k = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.29★★★Trang 51— Chứng minh hệ thức độ dài nhờ góc ngoài và tam giác cân

Bài 4.29 (trang 51). Xét điểm

B

nằm giữa hai điểm

A

và

H

. Giả sử có điểm

D

sao cho

D H

vuông góc với

A B

và

D A H = 1 5^{\circ}

D B H = 3 0^{\circ}

. Chứng minh rằng

H D = \frac{A B}{2}

Kiến thức cần nhớ

Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ nên $cot 1 5^{\circ} = 2 + 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai số đo

1 5^{\circ}

và

3 0^{\circ}

gấp đôi nhau, lại nằm ở một góc trong và một góc ngoài của cùng tam giác

A B D

— đó là dấu hiệu của bài “góc ngoài sinh tam giác cân”. Khi đã có

B D = A B

thì đoạn cần tính

H D

nằm gọn trong tam giác vuông

B H D

có góc

3 0^{\circ}

, nên chỉ còn một bước. Bẫy của đề là tưởng phải tính

A H

hoặc

B H

theo

H D

: đi đường đó sẽ vướng

cot 1 5^{\circ}

, dài hơn nhiều.

1Cách 1. Góc ngoài của tam giác rồi tam giác cân

Định hướng. So sánh $3 0^{\circ}$ với $1 5^{\circ}$ qua góc ngoài của $△ A B D$ để phát hiện tam giác cân.

D B H

là góc ngoài tại

B

của

△ A B D

D B H = D A B + A D B

3 0^{\circ} = 1 5^{\circ} + A D B

A D B = 1 5^{\circ}

A D B = D A B

nên

△ A B D

cân tại

B

B D = A B

△ B H D

vuông tại

H

có

D B H = 3 0^{\circ}

H D = \frac{B D}{2}

H D = \frac{A B}{2}

Vậy $H D = \frac{A B}{2}$ (đpcm).

2Cách 2. Lấy đối xứng của

D

qua

H

để có tam giác đều

Định hướng. Nhân đôi góc $3 0^{\circ}$ thành $6 0^{\circ}$ bằng phép đối xứng, tam giác cân có góc $6 0^{\circ}$ sẽ thành tam giác đều.

Gọi

D^{'}

là điểm đối xứng với

D

qua

H

B H ⊥ D D^{'}

tại trung điểm

H

của

D D^{'}

nên

B H

là trung trực của

D D^{'}

B D = B D^{'}

và

D^{'} B H = D B H = 3 0^{\circ}

D B D^{'} = 6 0^{\circ}

△ B D D^{'}

cân tại

B

có một góc

6 0^{\circ}

nên đều

D D^{'} = B D

2 H D = B D

A D B = D B H - D A B = 1 5^{\circ} = D A B

nên

B D = A B

2 H D = A B

Vậy $H D = \frac{A B}{2}$ , không dùng tới tỉ số lượng giác nào.

3Cách 3. Tính thẳng

A B

theo

H D

bằng tỉ số lượng giác

Định hướng. Đặt $H D$ làm đơn vị rồi biểu diễn $A H$ và $B H$ qua côtang của $1 5^{\circ}$ và $3 0^{\circ}$ .

Đặt

H D = h

với

h > 0

△ A H D

vuông tại

H

A H = H D \cdot cot D A H

A H = h \cdot cot 1 5^{\circ}

A H = h (2 + 3)

△ B H D

vuông tại

H

B H = H D \cdot cot D B H

B H = h \cdot cot 3 0^{\circ}

B H = h 3

A B = A H - B H

A B = h (2 + 3) - h 3

A B = 2 h

h = \frac{A B}{2}

Vậy $H D = \frac{A B}{2}$ — kết quả trùng khít với hai cách hình học ở trên.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao con số $1 5^{\circ}$ được chọn: chỉ với $cot 1 5^{\circ} = 2 + 3$ thì phần $3$ mới triệt tiêu hết và hệ số còn lại đúng bằng $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng góc là ra tam giác cân, không phải nhớ giá trị

cot 1 5^{\circ}

vốn không có trong bảng quen thuộc.

Đáp số.

B D = A B

và

A D B = 1 5^{\circ}

, từ đó

H D = \frac{A B}{2}

; nói cách khác

A B = A H - B H = H D (cot 1 5^{\circ} - cot 3 0^{\circ}) = 2 H D

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là viết

A D B = 3 0^{\circ} - 1 5^{\circ}

nhưng lại kết luận

△ A B D

cân tại

A

hoặc tại

D

. Hai góc bằng nhau ở đây là

D A B

và

A D B

, tức hai góc kề cạnh

A D

, nên tam giác cân tại

B

và cạnh bằng nhau là

B A = B D

, không phải

D A = D B

🚀 Mở rộng. Thay

1 5^{\circ}

và

3 0^{\circ}

bằng

α

và

2 α

: lập luận góc ngoài vẫn giữ nguyên nên luôn có

B D = A B

và

H D = A B \cdot sin 2 α

, hệ thức của đề là trường hợp

2 α = 3 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.30★★Trang 51— Ứng dụng tỉ số lượng giác để tính chiều cao theo góc nghiêng

Bài 4.30 (trang 51). Cho hai toà nhà cách nhau

32

m. Tại điểm

A

trên nóc toà nhà cao nhìn xuống nóc

D

và chân

C

của toà nhà thấp lần lượt theo các góc

1 5^{\circ}

và

4 3^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Tính chiều cao của hai toà nhà đó (làm tròn đến m).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối diện.
Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật, hai cạnh đối bằng nhau.
$tan 4 3^{\circ} \approx 0, 9325$ ; $tan 1 5^{\circ} \approx 0, 2679$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc nhìn cùng xuất phát từ một điểm

A

và cùng đo so với phương nằm ngang, nên hai tam giác vuông sinh ra có chung cạnh góc vuông nằm ngang dài

32

m — đó là chìa khoá. Đi từ góc lớn

4 3^{\circ}

trước sẽ có ngay chiều cao toà nhà cao, rồi lấy hiệu với

32 tan 1 5^{\circ}

là ra toà nhà thấp. Bẫy của đề là tưởng

1 5^{\circ}

cho trực tiếp chiều cao toà nhà thấp; thực ra nó chỉ cho phần chênh lệch giữa hai nóc nhà.

1Cách 1. Hai tam giác vuông chung cạnh nằm ngang

32

Định hướng. Kẻ phương ngang qua $A$ để tạo hai tam giác vuông cùng có cạnh kề bằng $32$ m rồi dùng tang.

Gọi

B

là chân toà nhà cao,

E

là giao của phương ngang qua

A

với đường thẳng

C D

A B C E

là hình chữ nhật nên

A E = B C = 32

và

E C = A B

△ A E C

vuông tại

E

có

E A C = 4 3^{\circ}

E C = A E \cdot tan 4 3^{\circ}

E C = 32 \cdot tan 4 3^{\circ}

E C \approx 29, 84

A B = E C \approx 29, 84

△ A E D

vuông tại

E

có

E A D = 1 5^{\circ}

E D = A E \cdot tan 1 5^{\circ}

E D = 32 \cdot tan 1 5^{\circ}

E D \approx 8, 57

C D = E C - E D

C D \approx 29, 84 - 8, 57

C D \approx 21, 27

Vậy toà nhà cao khoảng $30$ m và toà nhà thấp khoảng $21$ m.

2Cách 2. Đi vòng qua cạnh huyền của mỗi tam giác

Định hướng. Tính trước hai tia nhìn $A C$ , $A D$ bằng côsin rồi mới chiếu xuống phương thẳng đứng bằng sin.

A C = \frac{A E}{cos 4 3 ^{\circ}}

A C = \frac{32}{cos 4 3 ^{\circ}}

A C \approx 43, 76

E C = A C \cdot sin 4 3^{\circ}

E C \approx 43, 76 \cdot 0, 6820

E C \approx 29, 84

A D = \frac{32}{cos 1 5 ^{\circ}}

A D \approx 33, 13

E D = A D \cdot sin 1 5^{\circ}

E D \approx 33, 13 \cdot 0, 2588

E D \approx 8, 57

C D \approx 29, 84 - 8, 57 \approx 21, 27

Vậy vẫn được toà nhà cao $\approx 30$ m, toà nhà thấp $\approx 21$ m.

3Cách 3. Dùng góc kề phương thẳng đứng

Định hướng. Đổi sang góc mà tia nhìn tạo với phương thẳng đứng, khi đó độ dài cần tìm gắn với côtang.

Góc giữa

A C

và phương thẳng đứng

A B

bằng

9 0^{\circ} - 4 3^{\circ} = 4 7^{\circ}

E C = A E \cdot cot 4 7^{\circ}

E C = 32 \cdot cot 4 7^{\circ}

E C \approx 29, 84

Góc giữa

A D

và phương thẳng đứng bằng

9 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

E D = 32 \cdot cot 7 5^{\circ}

E D \approx 8, 57

C D = E C - E D \approx 21, 27

Vậy kết quả không đổi: $\approx 30$ m và $\approx 21$ m.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở tỉ số lượng giác được chọn; sai số làm tròn ở bước trung gian không làm đổi kết quả vì đề chỉ yêu cầu làm tròn đến mét.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi chiều cao chỉ một phép nhân với tang, ít thao tác bấm máy nhất nên cũng ít khả năng sai số nhất.

Đáp số. Toà nhà cao

A B = 32 tan 4 3^{\circ} \approx 29, 84

m, tức khoảng

30

m; toà nhà thấp

C D = 32 (tan 4 3^{\circ} - tan 1 5^{\circ}) \approx 21, 27

m, tức khoảng

21

m (làm tròn đến mét).

Sai lầm thường gặp. Sai điển hình là lấy

32 tan 1 5^{\circ} \approx 8, 57

m làm chiều cao toà nhà thấp. Một toà nhà cao

8, 57

m mà nhìn xuống chân nó phải dưới góc

1 5^{\circ}

thì vô lí, vì góc

1 5^{\circ}

chỉ ứng với khoảng chênh giữa hai NÓC nhà.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

4 3^{\circ}

thành

β

và

1 5^{\circ}

thành

γ

thì hai chiều cao là

32 tan β

và

32 (tan β - tan γ)

; hai toà nhà cao bằng nhau khi và chỉ khi

γ = 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.31★★Trang 51— Tính bóng của vật nghiêng khi tia nắng vuông góc mặt đất

Bài 4.31 (trang 51). Chiều cao từ mặt đất đến đỉnh tháp Pisa ở Italia là

58

m, tháp nghiêng góc

5^{\circ} 3 0^{'}

đối với phương thẳng đứng. Khi Mặt Trời chiếu vuông góc với mặt đất thì bóng của tháp dài bao nhiêu decimét?

Kiến thức cần nhớ

$5^{\circ} 3 0^{'} = 5, 5^{\circ}$ vì $1^{\circ} = 6 0^{'}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đó.
$1$ m $= 10$ dm.
$tan 5^{\circ} 3 0^{'} \approx 0, 0963$ ; $cos 5^{\circ} 3 0^{'} \approx 0, 9954$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt Trời chiếu vuông góc với mặt đất nghĩa là bóng của đỉnh tháp rơi đúng vào hình chiếu của đỉnh, nên bóng cần tìm chính là khoảng cách ngang từ chân tháp tới chân đường vuông góc hạ từ đỉnh. Đề cho sẵn chiều cao thẳng đứng

58

m, tức cạnh góc vuông kề góc nghiêng, nên dùng tang là ngắn nhất. Bẫy nằm ở đơn vị: kết quả tính ra mét nhưng câu hỏi đòi decimét, phải nhân thêm

10

1Cách 1. Tam giác vuông dựng trên chiều cao thẳng đứng

Định hướng. Chiều cao $58$ m là cạnh kề của góc nghiêng, bóng là cạnh đối, nên dùng ngay tang.

Gọi

O

là chân tháp,

B

là đỉnh tháp,

C

là chân đường vuông góc hạ từ

B

xuống mặt đất.

B C = 58

và

O B C = 5^{\circ} 3 0^{'}

; bóng của tháp là

O C

△ O B C

vuông tại

C

O C = B C \cdot tan O B C

O C = 58 \cdot tan 5^{\circ} 3 0^{'}

O C \approx 58 \cdot 0, 0963

O C \approx 5, 58

(m)

O C \approx 55, 8

(dm)

Vậy bóng của tháp dài khoảng $56$ dm (làm tròn đến decimét).

2Cách 2. Tính chiều dài thân tháp trước

Định hướng. Tìm cạnh huyền $O B$ của tam giác vuông rồi chiếu nó xuống mặt đất bằng sin.

O B = \frac{B C}{cos 5 ^{\circ} 3 0 ^{'}}

O B = \frac{58}{cos 5 ^{\circ} 3 0 ^{'}}

O B \approx 58, 27

(m)

O C = O B \cdot sin 5^{\circ} 3 0^{'}

O C \approx 58, 27 \cdot 0, 0958

O C \approx 5, 58

(m)

O C \approx 55, 8

(dm)

Vậy vẫn được khoảng $56$ dm; đồng thời biết thêm thân tháp dài $\approx 58, 27$ m.

3Cách 3. Dùng góc mà thân tháp tạo với mặt đất

Định hướng. Đổi góc nghiêng so với phương đứng thành góc so với mặt đất rồi dùng côtang.

Thân tháp hợp với mặt đất góc

9 0^{\circ} - 5^{\circ} 3 0^{'} = 8 4^{\circ} 3 0^{'}

O C = B C \cdot cot 8 4^{\circ} 3 0^{'}

O C = 58 \cdot cot 8 4^{\circ} 3 0^{'}

O C \approx 58 \cdot 0, 0963

O C \approx 5, 58

(m)

O C \approx 55, 8

(dm)

Vậy ba cách cho cùng một đáp số $\approx 56$ dm.

Nhận xét. Vì $cot 8 4^{\circ} 3 0^{'} = tan 5^{\circ} 3 0^{'}$ nên Cách 3 chỉ là Cách 1 nhìn từ góc phụ; giữ nó để quen với việc đổi qua lại giữa góc nghiêng và góc kề mặt đất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì đúng một phép nhân; nhớ đổi

5^{\circ} 3 0^{'}

sang

5, 5^{\circ}

trước khi bấm máy và đổi kết quả sang decimét ở dòng cuối.

Đáp số. Bóng của tháp dài

O C = 58 \cdot tan 5^{\circ} 3 0^{'} \approx 5, 58

m, tức khoảng

56

dm (làm tròn đến decimét; nếu giữ một chữ số thập phân thì

55, 8

dm).

Sai lầm thường gặp. Hai lỗi hay gặp: đọc

5^{\circ} 3 0^{'}

thành

5, 3^{\circ}

(đúng phải là

5, 5^{\circ}

vì

3 0^{'} = 0, 5^{\circ}

), và trả lời

5, 58

m trong khi đề hỏi decimét — mất trọn điểm dù phép tính đúng.

🚀 Mở rộng. Hãy thử tính ngược: muốn bóng dài đúng

1

m thì tháp phải nghiêng bao nhiêu, tức giải

58 tan α = 1

để thấy độ nghiêng chỉ khoảng

0^{\circ} 5 9^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.32★★★Trang 52— Tính đường cao khi biết một cạnh và hai góc kề

Bài 4.32 (trang 52). Cho tam giác

A B C

có đường cao

A H

B = 6 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

và cạnh

B C = 6

cm. Chứng minh rằng

A H = 3 (3 - 3)

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường cao $A H$ chia $B C$ thành hai đoạn $B H$ và $H C$ với $B H + H C = B C$ khi $H$ nằm giữa $B$ và $C$ .
Trong tam giác vuông: $A H = B H \cdot tan B$ và $B H = A H \cdot cot B$ .
$tan 6 0^{\circ} = 3$ ; $tan 4 5^{\circ} = 1$ ; $cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{6}{1 + 3} = \frac{6 ( 3 - 1 )}{2} = 3 (3 - 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao

A H

chia tam giác thành hai tam giác vuông cùng chứa

A H

, còn

B H + H C = 6

là sợi dây buộc hai tam giác ấy lại với nhau — dấu hiệu kinh điển của dạng đặt ẩn rồi lập phương trình. Vì

B

và

C

đều nhọn nên

H

nằm giữa

B

và

C

, do đó dùng phép cộng chứ không phải phép trừ. Điểm cần để ý là

C = 4 5^{\circ}

khiến

△ A H C

vuông cân, tức

H C = A H

— nắm được điều này thì bài rút ngắn một nửa.

1Cách 1. Đặt ẩn là

B H

Định hướng. Biểu diễn $A H$ hai lần qua $B H$ và qua $H C$ , rồi dùng $B H + H C = 6$ để khử ẩn.

Vì

B

và

C

nhọn nên

H

nằm giữa

B

và

C

△ A B H

vuông tại

H

A H = B H \cdot tan 6 0^{\circ} = B H 3

△ A H C

vuông tại

H

A H = H C \cdot tan 4 5^{\circ} = H C

H C = B H 3

B H + H C = 6

B H + B H 3 = 6

B H (1 + 3) = 6

B H = \frac{6}{1 + 3}

B H = 3 (3 - 1)

A H = 6 - B H

A H = 6 - 33 + 3

A H = 9 - 33

Vậy $A H = 3 (3 - 3)$ cm (đpcm), xấp xỉ $3, 80$ cm.

2Cách 2. Đặt ẩn là chính đường cao

A H

Định hướng. Viết cả $B H$ lẫn $H C$ theo $A H$ bằng côtang, tổng của chúng bằng $6$ cho ngay phương trình một ẩn.

B H = A H \cdot cot 6 0^{\circ} = \frac{A H 3}{3}

H C = A H \cdot cot 4 5^{\circ} = A H

\frac{A H 3}{3} + A H = 6

A H \cdot \frac{3 + 3}{3} = 6

A H = \frac{18}{3 + 3}

A H = \frac{18 ( 3 - 3 )}{( 3 + 3 ) ( 3 - 3 )}

A H = \frac{18 ( 3 - 3 )}{6}

A H = 3 (3 - 3)

Vậy cùng kết quả $A H = 3 (3 - 3)$ cm, lại còn ra thẳng dạng cần chứng minh.

3Cách 3. Đặt ẩn là cạnh

A B

Định hướng. Dùng hệ thức giữa cạnh huyền và góc để viết cả $B H$ lẫn $A H$ theo $A B$ , tận dụng $△ A H C$ vuông cân.

B H = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{A B}{2}

A H = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = \frac{A B 3}{2}

△ A H C

vuông cân tại

H

nên

H C = A H = \frac{A B 3}{2}

\frac{A B}{2} + \frac{A B 3}{2} = 6

A B (1 + 3) = 12

A B = \frac{12}{1 + 3}

A B = 6 (3 - 1)

A H = \frac{A B 3}{2}

A H = 33 (3 - 1)

A H = 9 - 33

Vậy $A H = 3 (3 - 3)$ cm, đồng thời biết thêm $A B = 6 (3 - 1)$ cm.

Nhận xét. Ba cách khác nhau ở chỗ chọn ẩn: $B H$ , $A H$ hay $A B$ . Chọn ẩn là đại lượng cần tìm như Cách 2 thường ngắn nhất vì không phải quay lại một phép trừ ở cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì ẩn chính là đại lượng cần chứng minh, chỉ một phương trình rồi trục căn là ra đúng dạng

3 (3 - 3)

mà không cần bước trừ cuối.

Đáp số.

B H = 3 (3 - 1)

cm,

H C = A H = 3 (3 - 3)

cm; vậy

A H = 3 (3 - 3) \approx 3, 80

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là dùng

B H - H C = 6

vì nghĩ

H

nằm ngoài đoạn

B C

. Tam giác này có

A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

nên cả ba góc đều nhọn, chân đường cao chắc chắn nằm GIỮA

B

và

C

, phải cộng chứ không trừ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tam giác có

B C = a

B = β

C = γ

thì

A H = \frac{a}{cot β + cot γ}

; thay

β = 6 0^{\circ}

γ = 4 5^{\circ}

a = 6

sẽ về đúng kết quả của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.33★★★Trang 52— Tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa tù

Bài 4.33 (trang 52). Tính khoảng cách giữa hai địa điểm

A

B

ở hai bên hồ nước (không đo trực tiếp được), biết

C A = 90

C B = 150

m và

A C B = 12 0^{\circ}

(làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ , nên $A C H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc côsin góc kề.
Định lí Pythagore: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ .
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc

12 0^{\circ}

là góc tù nên tam giác

A B C

không có sẵn tam giác vuông nào; muốn dùng tỉ số lượng giác của lớp 9 thì bắt buộc phải kẻ thêm một đường cao. Kẻ

A H

vuông góc với đường thẳng

B C

sẽ đưa góc

12 0^{\circ}

về góc kề bù

6 0^{\circ}

quen thuộc, từ đó có ngay

A H

và

C H

rồi khép lại bằng định lí Pythagore. Bẫy của đề là quên rằng

H

nằm NGOÀI đoạn

B C

, dẫn tới viết

B H = B C - C H

thay vì

B H = B C + C H

1Cách 1. Kẻ đường cao

A H

xuống đường thẳng

B C

Định hướng. Hạ đường vuông góc từ $A$ để biến góc tù thành góc kề bù $6 0^{\circ}$ , rồi khép bằng Pythagore.

Kẻ

A H ⊥ B C

tại

H

; vì

A C B = 12 0^{\circ}

tù nên

H

nằm trên tia đối của tia

C B

A C H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

A H = C A \cdot sin 6 0^{\circ}

A H = 90 \cdot \frac{3}{2}

A H = 453

C H = C A \cdot cos 6 0^{\circ}

C H = 90 \cdot \frac{1}{2}

C H = 45

B H = B C + C H

B H = 150 + 45

B H = 195

A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}

A B^{2} = (453)^{2} + 19 5^{2}

A B^{2} = 6075 + 38025

A B^{2} = 44100

A B = 210

Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm là $A B = 210$ m.

2Cách 2. Kẻ đường cao

B K

xuống đường thẳng

A C

Định hướng. Đổi vai trò hai cạnh: hạ đường vuông góc từ $B$ để được tam giác vuông có cạnh huyền $C B = 150$ m.

Kẻ

B K ⊥ A C

tại

K

;

K

nằm trên tia đối của tia

C A

vì

A C B

tù.

B C K = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

B K = C B \cdot sin 6 0^{\circ}

B K = 150 \cdot \frac{3}{2}

B K = 753

C K = C B \cdot cos 6 0^{\circ}

C K = 75

A K = A C + C K

A K = 90 + 75

A K = 165

A B^{2} = A K^{2} + B K^{2}

A B^{2} = 16 5^{2} + (753)^{2}

A B^{2} = 27225 + 16875

A B^{2} = 44100

A B = 210

Vậy cùng đáp số $A B = 210$ m, chứng tỏ chọn đỉnh nào để hạ đường cao cũng được.

3Cách 3. Gắn hệ trục toạ độ vào đỉnh

C

Định hướng. Đặt $C$ ở gốc và $C B$ trên trục hoành, toạ độ của $A$ đọc trực tiếp từ góc $12 0^{\circ}$ .

Chọn hệ trục với

C (0; 0)

và

B (150; 0)

A (90 cos 12 0^{\circ}; 90 sin 12 0^{\circ})

A (- 45; 453)

A B^{2} = (150 - (- 45))^{2} + (0 - 453)^{2}

A B^{2} = 19 5^{2} + 6075

A B^{2} = 38025 + 6075

A B^{2} = 44100

A B = 210

Vậy $A B = 210$ m — ba con đường khác nhau cùng về một đích.

Nhận xét. Số liệu $90$ , $150$ , $12 0^{\circ}$ được chọn rất khéo: $A B^{2} = 44100$ là số chính phương nên $A B = 210$ m đúng bằng số nguyên, không phải làm tròn dù đề có cho phép.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ cần một đường kẻ thêm quen thuộc và các giá trị của

6 0^{\circ}

đều thuộc lòng; Cách 3 tiện khi đã quen toạ độ nhưng vượt khỏi công cụ lớp 9.

Đáp số.

A H = 453

C H = 45

B H = 195

m và

A B^{2} = 44100

, do đó

A B = 210

m (kết quả đúng bằng số nguyên nên không phải làm tròn).

Sai lầm thường gặp. Sai nặng nhất là coi

H

nằm giữa

B

và

C

rồi viết

B H = 150 - 45 = 105

, dẫn tới

A B^{2} = 6075 + 11025 = 17100

và

A B \approx 131

m. Chỉ cần nhớ: góc

C

tù thì chân đường cao hạ từ

A

rơi ra ngoài đoạn

B C

, về phía bên kia của

C

🚀 Mở rộng. Cùng cách kẻ thêm ấy, với

C A = b

C B = a

và

A C B = 12 0^{\circ}

ta luôn được

A B^{2} = a^{2} + b^{2} + ab

; thử kiểm lại bằng

a = 150

b = 90

để thấy ra đúng

44100

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.34★★Trang 52— Tính cạnh huyền khi biết một cạnh góc vuông và góc kề

Bài 4.34 (trang 52). Một cầu thủ đứng cách khung thành

18

m, đá quả bóng sát mặt đất, nghiêng một góc

2 0^{\circ}

so với phương vuông góc với khung thành, tới điểm

M

của khung thành. Tính khoảng cách từ cầu thủ đến điểm

M

(làm tròn đến dm).

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó.
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề.
Đường xiên luôn dài hơn đường vuông góc kẻ từ cùng một điểm.
$1$ m $= 10$ dm; $cos 2 0^{\circ} \approx 0, 9397$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm “cách khung thành

18

m” chính là độ dài đường vuông góc hạ từ chỗ đứng xuống khung thành, còn

2 0^{\circ}

là góc giữa đường bóng đi và đường vuông góc ấy. Như vậy

18

m là cạnh góc vuông kề góc

2 0^{\circ}

còn quãng đường bóng đi là cạnh huyền, dùng côsin là đi thẳng nhất. Bẫy là lấy

18 \cdot cos 2 0^{\circ}

: làm vậy sẽ ra quãng đường NGẮN HƠN

18

m, vô lí vì đường xiên luôn dài hơn đường vuông góc.

1Cách 1. Dùng côsin của góc đã cho

Định hướng. Cạnh $18$ m kề góc $2 0^{\circ}$ , cạnh cần tìm là cạnh huyền nên rút thẳng từ hệ thức côsin.

Gọi

A

là chỗ cầu thủ đứng,

H

là chân đường vuông góc hạ từ

A

xuống khung thành.

A H = 18

và

H A M = 2 0^{\circ}

△ A H M

vuông tại

H

A H = A M \cdot cos H A M

A M = \frac{A H}{cos 2 0 ^{\circ}}

A M = \frac{18}{cos 2 0 ^{\circ}}

A M \approx 19, 16

(m)

A M \approx 191, 6

(dm)

Vậy khoảng cách từ cầu thủ đến điểm $M$ khoảng $192$ dm.

2Cách 2. Tính

H M

rồi dùng định lí Pythagore

Định hướng. Tìm trước khoảng lệch $H M$ dọc khung thành, hai cạnh góc vuông đã đủ để khép bằng Pythagore.

H M = A H \cdot tan 2 0^{\circ}

H M = 18 \cdot tan 2 0^{\circ}

H M \approx 6, 55

A M^{2} = A H^{2} + H M^{2}

A M^{2} \approx 1 8^{2} + 6, 5 5^{2}

A M^{2} \approx 324 + 42, 90

A M^{2} \approx 366, 90

A M \approx 19, 16

(m)

Vậy vẫn được $A M \approx 191, 6$ dm, tức khoảng $192$ dm.

3Cách 3. Dùng góc còn lại của tam giác vuông

Định hướng. Góc tại $M$ phụ với $2 0^{\circ}$ ; khi đó $18$ m trở thành cạnh đối và ta dùng sin.

A M H = 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

A H = A M \cdot sin A M H

A M = \frac{A H}{sin 7 0 ^{\circ}}

A M = \frac{18}{sin 7 0 ^{\circ}}

A M \approx 19, 16

(m)

A M \approx 191, 6

(dm)

Vậy ba cách cùng cho $\approx 192$ dm.

Nhận xét. Kết quả $19, 16$ m lớn hơn $18$ m đúng như dự đoán về đường xiên; đây là phép thử nhanh để biết mình có dùng nhầm công thức hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ một phép chia; Cách 2 dài hơn và còn bị dồn sai số do phải làm tròn

H M

ở giữa chừng.

Đáp số.

A M = \frac{18}{cos 2 0 ^{\circ}} \approx 19, 16

m, tức khoảng

192

dm (làm tròn đến decimét; giá trị chưa làm tròn là

191, 55

dm).

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp là viết

A M = 18 \cdot cos 2 0^{\circ} \approx 16, 9

m. Kết quả này NHỎ hơn

18

m nên chắc chắn sai: đoạn

A M

là đường xiên, luôn dài hơn đường vuông góc

A H = 18

🚀 Mở rộng. Nếu cầu thủ đá lệch một góc

α

thì quãng đường bóng đi là

\frac{18}{cos α}

— hàm tăng theo

α

; thử tính với

α = 4 0^{\circ}

để thấy quãng đường vọt lên gần

23, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 4.35★★★Trang 52— Tính khoảng cách hai vật qua hiệu hai đoạn thẳng

Bài 4.35 (trang 52). Hai chiếc thuyền

A

và

B

ở vị trí được minh hoạ như trong Hình 4.20. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến m), biết

I K = 380

m.
(Theo Hình 4.20: $K I$ vuông góc với $I A$ tại $I$ ; $B$ nằm giữa $I$ và $A$ ; $I K B = 5 0^{\circ}$ và $I K A = 6 5^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đối diện.
Hai thuyền cùng phía so với $I$ thì $A B = I A - I B$ .
$tan 6 5^{\circ} \approx 2, 1445$ ; $tan 5 0^{\circ} \approx 1, 1918$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai tia ngắm từ

K

tới hai chiếc thuyền cùng tạo với

K I

các góc đã biết, mà

K I

lại vuông góc với đường thẳng chứa hai thuyền — vậy có hai tam giác vuông chung cạnh

K I

. Mỗi tam giác cho một khoảng cách từ

I

tới một thuyền, khoảng cách cần tìm chính là hiệu của chúng chứ không phải tổng. Bẫy là cộng nhầm

I A + I B

: phải đọc hình để thấy

A

và

B

nằm cùng một phía đối với

I

, với

B

ở giữa.

1Cách 1. Hai tam giác vuông chung cạnh

I K

Định hướng. Dùng tang của mỗi góc ngắm để có $I A$ và $I B$ , rồi lấy hiệu.

△ K I A

vuông tại

I

có

I K A = 6 5^{\circ}

I A = I K \cdot tan 6 5^{\circ}

I A = 380 \cdot tan 6 5^{\circ}

I A \approx 814, 91

△ K I B

vuông tại

I

có

I K B = 5 0^{\circ}

I B = I K \cdot tan 5 0^{\circ}

I B = 380 \cdot tan 5 0^{\circ}

I B \approx 452, 87

A B = I A - I B

A B \approx 814, 91 - 452, 87

A B \approx 362, 05

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền khoảng $362$ m.

2Cách 2. Đi qua hai cạnh huyền

K A

và

K B

Định hướng. Tính trước hai tia ngắm bằng côsin rồi chiếu xuống đường thẳng chứa hai thuyền bằng sin.

K A = \frac{I K}{cos 6 5 ^{\circ}}

K A = \frac{380}{cos 6 5 ^{\circ}}

K A \approx 899, 16

I A = K A \cdot sin 6 5^{\circ}

I A \approx 899, 16 \cdot 0, 9063

I A \approx 814, 91

K B = \frac{380}{cos 5 0 ^{\circ}}

K B \approx 591, 17

I B = K B \cdot sin 5 0^{\circ}

I B \approx 591, 17 \cdot 0, 7660

I B \approx 452, 87

A B \approx 362, 05

Vậy vẫn khoảng $362$ m, đồng thời biết hai thuyền cách người quan sát $\approx 899$ m và $\approx 591$ m.

3Cách 3. Nhìn từ phía hai chiếc thuyền

Định hướng. Dùng góc tại $A$ và tại $B$ (phụ với góc ngắm) để viết $I A$ , $I B$ qua côtang.

I A K = 9 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 2 5^{\circ}

I A = I K \cdot cot 2 5^{\circ}

I A = 380 \cdot cot 2 5^{\circ}

I A \approx 814, 91

I B K = 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

I B = 380 \cdot cot 4 0^{\circ}

I B \approx 452, 87

A B = I A - I B \approx 362, 05

Vậy ba cách đều cho $\approx 362$ m.

Nhận xét. Có thể gộp thành một dòng duy nhất $A B = 380 (tan 6 5^{\circ} - tan 5 0^{\circ})$ và bấm máy một lần, vừa nhanh vừa tránh dồn sai số làm tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nhưng viết gộp

A B = 380 (tan 6 5^{\circ} - tan 5 0^{\circ})

rồi bấm máy một lần: ngắn nhất và không bị sai số của các bước trung gian.

Đáp số.

I A \approx 814, 91

I B \approx 452, 87

m nên

A B = 380 (tan 6 5^{\circ} - tan 5 0^{\circ}) \approx 362, 05

m, tức khoảng

362

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là lấy

A B = I A + I B \approx 1268

m vì tưởng hai thuyền ở hai phía của

I

. Hình 4.20 cho thấy hai tia ngắm cùng lệch về một phía của

K I

, nên

B

nằm giữa

I

và

A

và phải lấy hiệu.

🚀 Mở rộng. Giữ nguyên

I K = 380

m mà tăng góc ngắm thứ hai lên

6 0^{\circ}

thì khoảng cách hai thuyền chỉ còn

380 (tan 6 5^{\circ} - tan 6 0^{\circ}) \approx 156

m — hãy thử giải thích vì sao khoảng cách giảm nhanh đến thế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 4.36★★★★Trang 53— Tính độ dài đoạn thẳng nhờ hai đường vuông góc song song

Bài 4.36 (trang 53). Tìm độ dài dây cáp mắc giữa hai cọc ở vị trí

C

D

trên hai bên bờ vực như trong Hình 4.21 (làm tròn đến mét).
(Theo Hình 4.21: $M E$ và $N C$ cùng vuông góc với đường thẳng $M N$ , $M N = 5$ m, $M E = 20$ m; ba điểm $E$ , $C$ , $D$ thẳng hàng, $D$ nằm trên đường thẳng $M N$ và $N C D = 6 0^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông: cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho côsin (hoặc sin) của góc tương ứng.
Kết quả bài 4.23: $A B = \frac{p tan α - n}{sin α}$ với $M N = n$ , $M P = p$ , $M P A = α$ .
$tan 6 0^{\circ} = 3$ ; $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đoạn

M E

và

N C

cùng vuông góc với

M N

nên chúng song song, kéo theo góc

6 0^{\circ}

ở

C

chuyển được nguyên vẹn về góc ở

E

— đó là mấu chốt giải phóng toàn bộ bài. Khi đã có

M E D = 6 0^{\circ}

thì

E D

tính được từ tam giác vuông

E M D

, còn

E C

tính được từ khoảng cách ngang

M N = 5

m, và dây cáp chính là hiệu

E D - E C

. Bẫy của đề là đi tìm bề rộng vực trước: bề rộng ấy không cần thiết và còn làm lời giải dài gấp đôi.

1Cách 1. Tính

E D

và

E C

rồi lấy hiệu

Định hướng. Chuyển góc $6 0^{\circ}$ về đỉnh $E$ nhờ hai đường song song, sau đó dùng hai tam giác vuông có cạnh $20$ m và $5$ m.

M E ⊥ M N

và

N C ⊥ M N

nên

M E ∥ N C

M E D = N C D = 6 0^{\circ}

(hai góc đồng vị)

△ E M D

vuông tại

M

E D = \frac{M E}{cos M E D}

E D = \frac{20}{cos 6 0 ^{\circ}}

E D = \frac{20}{\frac{1}{2}}

E D = 40

Hạ

C F ⊥ M E

tại

F

, khi đó

C F = M N = 5

△ E F C

vuông tại

F

có

F E C = 6 0^{\circ}

E C = \frac{C F}{sin F E C}

E C = \frac{5}{\frac{3}{2}}

E C = \frac{10 3}{3}

C D = E D - E C

C D = 40 - \frac{10 3}{3}

C D = \frac{120 - 10 3}{3}

C D \approx 34, 23

Vậy dây cáp dài khoảng $34$ m.

2Cách 2. Dùng thẳng kết quả của bài 4.23

Định hướng. Hình 4.21 đúng là cấu hình của bài 4.23 với $p = 20$ , $n = 5$ , $α = 6 0^{\circ}$ , nên thay số là xong.

C D = \frac{p tan α - n}{sin α}

với

p = M E = 20

n = M N = 5

α = 6 0^{\circ}

C D = \frac{20 tan 6 0 ^{\circ} - 5}{sin 6 0 ^{\circ}}

C D = \frac{20 3 - 5}{\frac{3}{2}}

C D = \frac{2 ( 20 3 - 5 )}{3}

C D = \frac{40 3 - 10}{3}

C D = 40 - \frac{10}{3}

C D = \frac{120 - 10 3}{3}

C D \approx 34, 23

Vậy vẫn khoảng $34$ m, chỉ mất ba dòng nhờ công thức đã chứng minh từ trước.

3Cách 3. Gắn toạ độ vào điểm

M

Định hướng. Đặt $M$ ở gốc, $M N$ trên trục hoành và $M E$ trên trục tung âm, mọi điểm đều tính được toạ độ.

Chọn

M (0; 0)

N (5; 0)

E (0; - 20)

.
Tia

E D

hợp với tia

E M

(hướng lên) góc

6 0^{\circ}

nên điểm chạy trên tia đó là

(t sin 6 0^{\circ}; - 20 + t cos 6 0^{\circ})

với

t =

độ dài kể từ

E

D

thuộc đường thẳng

M N

nên

- 20 + \frac{t}{2} = 0

t = 40

, tức

E D = 40

C

có hoành độ

5

nên

t \cdot \frac{3}{2} = 5

t = \frac{10 3}{3}

, tức

E C = \frac{10 3}{3}

C D = E D - E C

C D = 40 - \frac{10 3}{3}

C D \approx 34, 23

Vậy ba cách cùng cho dây cáp dài $\approx 34$ m.

Nhận xét. Toạ độ của $C$ là $(5; - 20 + \frac{5 3}{3})$ , tức cọc $C$ thấp hơn mép bờ khoảng $17, 11$ m — con số này giúp kiểm tra lại hình vẽ có đúng tỉ lệ hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nếu đã làm bài 4.23 thì đi thi dùng Cách 2, chỉ ba dòng thay số; còn khi không nhớ công thức thì Cách 1 an toàn hơn vì mọi bước đều là tam giác vuông quen thuộc.

Đáp số.

E D = 40

E C = \frac{10 3}{3}

m nên

C D = \frac{120 - 10 3}{3} \approx 34, 23

m, tức dây cáp dài khoảng

34

m (làm tròn đến mét).

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là lấy

C D = E D + E C

vì nghĩ

E

nằm giữa

C

và

D

. Trên hình,

C

nằm GIỮA

E

và

D

(ba điểm thẳng hàng theo thứ tự

E

C

D

), nên phải lấy hiệu; lấy tổng sẽ cho

45, 77

m, dài hơn cả đoạn

E D = 40

m nên vô lí.

🚀 Mở rộng. Giữ

n = 5

m mà nâng cọc lên

p = 30

m thì dây cáp thành

\frac{30 3 - 5}{\frac{3}{2}} = 60 - \frac{10 3}{3} \approx 54, 23

m — phần trừ đi không đổi, chỉ phần

\frac{p}{cos α}

thay đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.37★★★Trang 53— Tính chiều cao bằng tổng hai đoạn trên cùng một đường thẳng đứng

Bài 4.37 (trang 53). Một người đứng cách chân ngọn hải đăng

50

m, nhìn xuống chân hải đăng dưới góc

2^{\circ}

và nhìn lên đỉnh ngọn hải đăng dưới góc

4 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Tính chiều cao ngọn hải đăng (làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Góc nâng và góc hạ đều được đo so với phương nằm ngang qua mắt người quan sát.
Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đó.
Tam giác vuông có một góc $4 5^{\circ}$ là tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau.
$tan 2^{\circ} \approx 0, 0349$ ; $tan 4 5^{\circ} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Người quan sát nhìn XUỐNG chân hải đăng, chứng tỏ mắt người cao hơn chân hải đăng, nên chiều cao cần tìm phải là TỔNG của hai đoạn chứ không phải hiệu. Kẻ đường nằm ngang từ mắt người tới thân hải đăng sẽ tách

A B

thành

A H

ứng với góc

2^{\circ}

và

H B

ứng với góc

4 5^{\circ}

, cả hai tam giác vuông đều có cạnh kề

50

m. Điểm đáng chú ý là

4 5^{\circ}

cho tam giác vuông cân, tức

H B = C H = 50

m mà không cần bấm máy.

1Cách 1. Tách chiều cao thành hai đoạn rồi cộng lại

Định hướng. Đường nằm ngang qua mắt người cắt thân hải đăng, chia chiều cao thành phần dưới và phần trên.

Gọi

A

là chân hải đăng,

B

là đỉnh,

C

là vị trí mắt người quan sát,

H

là chân đường vuông góc hạ từ

C

xuống

A B

; khi đó

C H = 50

A C H = 2^{\circ}

B C H = 4 5^{\circ}

△ A C H

vuông tại

H

A H = C H \cdot tan 2^{\circ}

A H = 50 \cdot tan 2^{\circ}

A H \approx 1, 75

△ B C H

vuông tại

H

H B = C H \cdot tan 4 5^{\circ}

H B = 50 \cdot 1

H B = 50

A B = A H + H B

A B \approx 1, 75 + 50

A B \approx 51, 75

Vậy ngọn hải đăng cao khoảng $52$ m.

2Cách 2. Khai thác tam giác vuông cân rồi dùng góc phụ

Định hướng. Góc $4 5^{\circ}$ cho ngay $H B = C H$ ; phần còn lại tính qua góc kề phương thẳng đứng.

B C H = 4 5^{\circ}

nên

△ B C H

vuông cân tại

H

H B = C H = 50

H A C = 9 0^{\circ} - 2^{\circ} = 8 8^{\circ}

A H = C H \cdot cot 8 8^{\circ}

A H = 50 \cdot cot 8 8^{\circ}

A H \approx 1, 75

A B = A H + H B

A B \approx 1, 75 + 50

A B \approx 51, 75

Vậy vẫn khoảng $52$ m, trong đó mắt người cao hơn chân hải đăng $\approx 1, 75$ m.

3Cách 3. Đi qua hai cạnh huyền

C A

và

C B

Định hướng. Tính hai tia nhìn trước bằng côsin rồi chiếu xuống phương thẳng đứng bằng sin.

C A = \frac{C H}{cos 2 ^{\circ}}

C A = \frac{50}{cos 2 ^{\circ}}

C A \approx 50, 03

A H = C A \cdot sin 2^{\circ}

A H \approx 50, 03 \cdot 0, 0349

A H \approx 1, 75

C B = \frac{50}{cos 4 5 ^{\circ}}

C B = 502

H B = C B \cdot sin 4 5^{\circ}

H B = 502 \cdot \frac{2}{2}

H B = 50

A B \approx 51, 75

Vậy ba cách cùng cho chiều cao $\approx 52$ m.

Nhận xét. Con số $1, 75$ m chính là chiều cao mắt người quan sát — đây là chi tiết thực tế rất hợp lí, và cũng là cách nhanh nhất để tự kiểm tra lời giải có sai dấu hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết gọn

A B = 50 (1 + tan 2^{\circ})

rồi bấm máy một lần, vừa nhanh vừa thấy rõ vì sao phải cộng hai phần.

Đáp số.

A H = 50 tan 2^{\circ} \approx 1, 75

H B = 50

m nên

A B = 50 (1 + tan 2^{\circ}) \approx 51, 75

m, tức ngọn hải đăng cao khoảng

52

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là lấy hiệu

A B = 50 - 1, 75 = 48, 25

m vì thấy chữ “nhìn xuống”. Nhìn xuống chân hải đăng nghĩa là chân hải đăng THẤP hơn mắt người, nên đoạn

A H

nằm dưới đường ngang và phải CỘNG vào phần trên

H B

🚀 Mở rộng. Nếu người ấy lùi ra xa

100

m thì chiều cao vẫn phải là

52

m, nhưng hai góc đổi thành

A C H \approx 1^{\circ}

và

B C H \approx 2 6^{\circ} 3 3^{'}

— hãy thử kiểm tra lại bằng

100 (tan 1^{\circ} + tan 2 6^{\circ} 3 3^{'})

Mở bài này trong app ↗