Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang50–53 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1 (trắc nghiệm)★Trang 50— Trắc nghiệm về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Bài 1 (trang 50). Tam giác

A B C

vuông tại

A

thì:
A.

sin B + cos C = 0

;
B.

sin C + cos B = 0

;
C.

sin B - cos C = 0

;
D.

cos B + cos C = 0

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của một tam giác vuông là hai góc phụ nhau.
Với hai góc phụ nhau: $sin B = cos C$ , $cos B = sin C$ , $tan B = cot C$ , $cot B = tan C$ .
Mọi tỉ số lượng giác của một góc nhọn đều là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một tam giác vuông tại

A

mà không cho số đo cạnh nào, nên chắc chắn phải khai thác quan hệ

B + C = 9 0^{\circ}

chứ không phải tính toán. Hướng nhanh nhất là nhớ lại cặp công thức góc phụ nhau

sin B = cos C

cos B = sin C

rồi đọc thẳng vào bốn phương án. Bẫy của đề nằm ở dấu cộng: tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương nên tổng hai tỉ số không thể bằng

0

, chỉ có hiệu mới bằng

0

1Cách 1. Dùng quan hệ hai góc phụ nhau

Định hướng. Chỉ cần biến $cos C$ thành $sin$ của góc phụ với nó rồi so với $sin B$ .

B + C = 9 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - B

cos C = cos (9 0^{\circ} - B)

cos C = sin B

sin B - cos C = 0

Vậy phương án đúng là $C$ .

2Cách 2. Viết cả bốn phương án theo ba cạnh

Định hướng. Đặt tên ba cạnh rồi thay mọi tỉ số bằng phân số cạnh, bốn phương án hiện ra ngay đúng sai.

Đặt

A B = c

A C = b

B C = a

với

b > 0

c > 0

sin B = \frac{b}{a}

;

cos C = \frac{b}{a}

;

sin C = \frac{c}{a}

;

cos B = \frac{c}{a}

sin B - cos C = \frac{b}{a} - \frac{b}{a} = 0

sin B + cos C = \frac{b}{a} + \frac{b}{a} = \frac{2 b}{a} \neq = 0

sin C + cos B = \frac{c}{a} + \frac{c}{a} = \frac{2 c}{a} \neq = 0

cos B + cos C = \frac{c}{a} + \frac{b}{a} = \frac{b + c}{a} \neq = 0

Vậy chỉ phương án $C$ cho kết quả $0$ , ba phương án A, B, D đều sai.

3Cách 3. Đặc biệt hoá bằng tam giác vuông cân rồi loại trừ

Định hướng. Chọn một tam giác vuông cụ thể dễ tính nhất để loại nhanh ba phương án sai.

Lấy tam giác

A B C

vuông cân tại

A

B = C = 4 5^{\circ}

sin B + cos C = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

sin C + cos B = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

cos B + cos C = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \neq = 0

sin B - cos C = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0

Vậy ba phương án A, B, D bị loại, đáp án là $C$ .

Nhận xét. Mọi tỉ số lượng giác của góc nhọn đều dương, nên hễ thấy một phương án là TỔNG của hai tỉ số lượng giác thì loại ngay không cần tính — mẹo này dùng chung cho cả Bài 1 và Bài 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng biến đổi là ra, không phải đặt tên cạnh cũng không phải thử số; Cách 3 chỉ nên dùng khi quên mất công thức góc phụ nhau.

Đáp số. Chọn

C

vì

sin B = cos C

. Ba phương án còn lại sai vì đều là tổng của hai số dương:

sin B + cos C = \frac{2 b}{a}

(A),

sin C + cos B = \frac{2 c}{a}

(B),

cos B + cos C = \frac{b + c}{a}

(D).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhớ mang máng “góc phụ nhau thì sin bằng cos” rồi thấy phương án A có đủ cả

sin B

và

cos C

nên chọn luôn A. Thực ra

sin B = cos C

dẫn tới HIỆU bằng

0

, còn tổng của chúng là

2 sin B

— với tam giác vuông cân thì tổng đó bằng

2

, khác

0

🚀 Mở rộng. Cũng từ

B + C = 9 0^{\circ}

ta còn có hệ thức đẹp

sin^{2} B + sin^{2} C = sin^{2} B + cos^{2} B = 1

— hãy thử tự đặt một câu trắc nghiệm quanh hệ thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2 (trắc nghiệm)★Trang 50— Trắc nghiệm về quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau

Bài 2 (trang 50). Tam giác

A B C

vuông tại

A

thì:
A.

tan B + tan C = 0

;
B.

tan B + cot C = 0

;
C.

tan B - cot C = 0

;
D.

cot B + cot C = 0

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông tại $A$ : $tan B = \frac{A C}{A B}$ và $cot C = \frac{A C}{A B}$ .
Hai góc phụ nhau: $tan B = cot C$ và $cot B = tan C$ .
$tan α \cdot cot α = 1$ với mọi góc nhọn $α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án chỉ xoay quanh

tan

và

cot

của hai góc nhọn trong tam giác vuông, dấu hiệu rõ ràng của cặp công thức

tan B = cot C

. Nên nhìn dấu phép tính trước khi nhìn tên tỉ số: ba phương án A, B, D đều là tổng của hai số dương nên bị loại lập tức. Chỗ dễ nhầm là đổi

tan B

thành

tan C

thay vì

cot C

1Cách 1. Đổi côtang của góc phụ

Định hướng. Thay $cot C$ bằng $tan$ của góc phụ với $C$ rồi đối chiếu với $tan B$ .

B + C = 9 0^{\circ}

C = 9 0^{\circ} - B

cot C = cot (9 0^{\circ} - B)

cot C = tan B

tan B - cot C = 0

Vậy phương án đúng là $C$ .

2Cách 2. Quy hết về ba cạnh của tam giác

Định hướng. Mỗi tỉ số là một phân số hai cạnh góc vuông; đưa về phân số rồi so sánh là thấy ngay.

Đặt

A B = c

A C = b

với

b > 0

c > 0

tan B = \frac{b}{c}

;

cot C = \frac{b}{c}

;

tan C = \frac{c}{b}

;

cot B = \frac{c}{b}

tan B - cot C = \frac{b}{c} - \frac{b}{c} = 0

tan B + tan C = \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

tan B + cot C = \frac{b}{c} + \frac{b}{c} = \frac{2 b}{c} \neq = 0

cot B + cot C = \frac{c}{b} + \frac{b}{c} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

Vậy chỉ có $C$ đúng, còn A, B, D đều là tổng của hai số dương nên khác $0$ .

3Cách 3. Thử với hai tam giác quen thuộc

Định hướng. Lấy hai tam giác có tỉ số lượng giác thuộc lòng để kiểm chứng phương án còn lại.

Tam giác vuông cân tại

A

B = C = 4 5^{\circ}

tan B - cot C = 1 - 1 = 0

Tam giác vuông tại

A

có

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

tan B - cot C = tan 6 0^{\circ} - cot 3 0^{\circ} = 3 - 3 = 0

tan B + tan C = 3 + \frac{3}{3} = \frac{4 3}{3} \neq = 0

tan B + cot C = 23 \neq = 0

cot B + cot C = \frac{3}{3} + 3 = \frac{4 3}{3} \neq = 0

Vậy phương án $C$ đúng với cả hai tam giác thử, ba phương án kia sai.

Nhận xét. Một phương án chỉ cần SAI với một tam giác cụ thể là đủ để loại; nhưng muốn KHẲNG ĐỊNH nó đúng thì vẫn phải chứng minh tổng quát như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên chọn Cách 1 khi làm bài thi trắc nghiệm vì chỉ mất một dòng; Cách 2 hơn ở chỗ giải thích luôn được vì sao ba phương án còn lại sai.

Đáp số. Chọn

C

vì

tan B = cot C = \frac{A C}{A B}

. Các phương án sai: A và D đều bằng

\frac{b ^{2} + c ^{2}}{b c} \neq = 0

, còn B bằng

\frac{2 b}{c} \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Sai thường gặp là viết

tan B = tan C

(quên đổi sang côtang) rồi chọn phương án A. Thử ngay tam giác có

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

tan 6 0^{\circ} = 3

còn

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

, hai số này khác nhau.

🚀 Mở rộng. Từ

tan B = cot C

suy ra

tan B \cdot tan C = 1

— hãy thử chứng minh lại hệ thức này chỉ bằng hai cạnh góc vuông rồi mở rộng cho

cot B \cdot cot C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3 (trắc nghiệm)★★Trang 51— Trắc nghiệm tìm câu sai từ một giá trị lượng giác cho trước

Bài 3 (trang 51). Chọn câu SAI. Góc nhọn

α

có

sin α = \frac{1}{2}

thì:
A.

\frac{1}{tan α} = 3

;
B.

\frac{1}{sin α} = 2

;
C.

tan^{2} α = \frac{1}{3}

;
D.

cos^{2} α = \frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ với mọi góc nhọn $α$ .
$tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và $\frac{1}{tan α} = cot α$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.28★★Trang 51— Chứng minh hệ thức giữa hai cạnh của tam giác vuông

Bài 4.28 (trang 51). Chứng minh nếu một góc nhọn của một tam giác vuông có số đo gấp đôi số đo góc nhọn kia thì tam giác đó có một cạnh dài gấp đôi một trong hai cạnh còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau: $B + C = 9 0^{\circ}$ .
Trong tam giác vuông tại $A$ : $A B = B C \cdot sin C$ .
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.29★★★Trang 51— Chứng minh hệ thức độ dài nhờ góc ngoài và tam giác cân

Bài 4.29 (trang 51). Xét điểm

B

nằm giữa hai điểm

A

và

H

. Giả sử có điểm

D

sao cho

D H

vuông góc với

A B

và

D A H = 1 5^{\circ}

D B H = 3 0^{\circ}

. Chứng minh rằng

H D = \frac{A B}{2}

Kiến thức cần nhớ

Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ nên $cot 1 5^{\circ} = 2 + 3$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.30★★Trang 51— Ứng dụng tỉ số lượng giác để tính chiều cao theo góc nghiêng

Bài 4.30 (trang 51). Cho hai toà nhà cách nhau

32

m. Tại điểm

A

trên nóc toà nhà cao nhìn xuống nóc

D

và chân

C

của toà nhà thấp lần lượt theo các góc

1 5^{\circ}

và

4 3^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Tính chiều cao của hai toà nhà đó (làm tròn đến m).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối diện.
Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật, hai cạnh đối bằng nhau.
$tan 4 3^{\circ} \approx 0, 9325$ ; $tan 1 5^{\circ} \approx 0, 2679$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.31★★Trang 51— Tính bóng của vật nghiêng khi tia nắng vuông góc mặt đất

Bài 4.31 (trang 51). Chiều cao từ mặt đất đến đỉnh tháp Pisa ở Italia là

58

m, tháp nghiêng góc

5^{\circ} 3 0^{'}

đối với phương thẳng đứng. Khi Mặt Trời chiếu vuông góc với mặt đất thì bóng của tháp dài bao nhiêu decimét?

Kiến thức cần nhớ

$5^{\circ} 3 0^{'} = 5, 5^{\circ}$ vì $1^{\circ} = 6 0^{'}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đó.
$1$ m $= 10$ dm.
$tan 5^{\circ} 3 0^{'} \approx 0, 0963$ ; $cos 5^{\circ} 3 0^{'} \approx 0, 9954$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.32★★★Trang 52— Tính đường cao khi biết một cạnh và hai góc kề

Bài 4.32 (trang 52). Cho tam giác

A B C

có đường cao

A H

B = 6 0^{\circ}

C = 4 5^{\circ}

và cạnh

B C = 6

cm. Chứng minh rằng

A H = 3 (3 - 3)

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường cao $A H$ chia $B C$ thành hai đoạn $B H$ và $H C$ với $B H + H C = B C$ khi $H$ nằm giữa $B$ và $C$ .
Trong tam giác vuông: $A H = B H \cdot tan B$ và $B H = A H \cdot cot B$ .
$tan 6 0^{\circ} = 3$ ; $tan 4 5^{\circ} = 1$ ; $cot 6 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\frac{6}{1 + 3} = \frac{6 ( 3 - 1 )}{2} = 3 (3 - 1)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.33★★★Trang 52— Tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và góc xen giữa tù

Bài 4.33 (trang 52). Tính khoảng cách giữa hai địa điểm

A

B

ở hai bên hồ nước (không đo trực tiếp được), biết

C A = 90

C B = 150

m và

A C B = 12 0^{\circ}

(làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ , nên $A C H = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc côsin góc kề.
Định lí Pythagore: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ .
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.34★★Trang 52— Tính cạnh huyền khi biết một cạnh góc vuông và góc kề

Bài 4.34 (trang 52). Một cầu thủ đứng cách khung thành

18

m, đá quả bóng sát mặt đất, nghiêng một góc

2 0^{\circ}

so với phương vuông góc với khung thành, tới điểm

M

của khung thành. Tính khoảng cách từ cầu thủ đến điểm

M

(làm tròn đến dm).

Kiến thức cần nhớ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó.
Trong tam giác vuông: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề.
Đường xiên luôn dài hơn đường vuông góc kẻ từ cùng một điểm.
$1$ m $= 10$ dm; $cos 2 0^{\circ} \approx 0, 9397$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 4.35★★★Trang 52— Tính khoảng cách hai vật qua hiệu hai đoạn thẳng

Bài 4.35 (trang 52). Hai chiếc thuyền

A

và

B

ở vị trí được minh hoạ như trong Hình 4.20. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến m), biết

I K = 380

m.
(Theo Hình 4.20: $K I$ vuông góc với $I A$ tại $I$ ; $B$ nằm giữa $I$ và $A$ ; $I K B = 5 0^{\circ}$ và $I K A = 6 5^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đối diện.
Hai thuyền cùng phía so với $I$ thì $A B = I A - I B$ .
$tan 6 5^{\circ} \approx 2, 1445$ ; $tan 5 0^{\circ} \approx 1, 1918$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 4.36★★★★Trang 53— Tính độ dài đoạn thẳng nhờ hai đường vuông góc song song

Bài 4.36 (trang 53). Tìm độ dài dây cáp mắc giữa hai cọc ở vị trí

C

D

trên hai bên bờ vực như trong Hình 4.21 (làm tròn đến mét).
(Theo Hình 4.21: $M E$ và $N C$ cùng vuông góc với đường thẳng $M N$ , $M N = 5$ m, $M E = 20$ m; ba điểm $E$ , $C$ , $D$ thẳng hàng, $D$ nằm trên đường thẳng $M N$ và $N C D = 6 0^{\circ}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song thì bằng nhau.
Trong tam giác vuông: cạnh huyền bằng cạnh góc vuông chia cho côsin (hoặc sin) của góc tương ứng.
Kết quả bài 4.23: $A B = \frac{p tan α - n}{sin α}$ với $M N = n$ , $M P = p$ , $M P A = α$ .
$tan 6 0^{\circ} = 3$ ; $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ; $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.37★★★Trang 53— Tính chiều cao bằng tổng hai đoạn trên cùng một đường thẳng đứng

Bài 4.37 (trang 53). Một người đứng cách chân ngọn hải đăng

50

m, nhìn xuống chân hải đăng dưới góc

2^{\circ}

và nhìn lên đỉnh ngọn hải đăng dưới góc

4 5^{\circ}

(so với phương nằm ngang). Tính chiều cao ngọn hải đăng (làm tròn đến mét).

Kiến thức cần nhớ

Góc nâng và góc hạ đều được đo so với phương nằm ngang qua mắt người quan sát.
Trong tam giác vuông: cạnh đối bằng cạnh kề nhân với tang góc đó.
Tam giác vuông có một góc $4 5^{\circ}$ là tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông bằng nhau.
$tan 2^{\circ} \approx 0, 0349$ ; $tan 4 5^{\circ} = 1$ .